Määrake vektori projektsioon teljele. Vektorprojektsioon. Koordinaatide teljed. Punkti projektsioon. Telje punkti koordinaadid

Vektori algebraline projektsioon mis tahes teljel on võrdne vektori pikkuse ja telje ja vektori vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Pr a b = |b|cos(a,b) või

Kus a b on vektorite skalaarkorrutis, |a| - vektori a moodul.

Juhised. Et leida vektori Пp a b projektsioon sisse võrgurežiim on vaja näidata vektorite a ja b koordinaadid. Sel juhul saab vektori määrata tasapinnal (kaks koordinaati) ja ruumis (kolm koordinaati). Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili. Kui vektorid on määratud punktide koordinaatide kaudu, peate kasutama seda kalkulaatorit.

Vektorprojektsioonide klassifikatsioon

Projektsioonide tüübid definitsioonivektori projektsiooni järgi

Projektsioonide tüübid koordinaatsüsteemi järgi

Vektorprojektsiooni omadused

Vektori geomeetriline projektsioon on vektor (omab suunda).
Vektori algebraline projektsioon on arv.

Vektorprojektsiooni teoreemid

1. teoreem. Vektorite summa projektsioon mis tahes teljele on võrdne vektorite summade projektsiooniga samale teljele.

2. teoreem. Vektori algebraline projektsioon mis tahes teljele on võrdne vektori pikkuse ja telje ja vektori vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Pr a b = |b|cos(a,b)

Vektorprojektsioonide tüübid

projektsioon OX-teljele.
projektsioon OY teljele.
projektsioon vektorile.

Projektsioon OX-teljel	Projektsioon OY teljel	Projektsioon vektorisse
Kui vektori A’B’ suund langeb kokku OX-telje suunaga, siis on vektori A’B’ projektsioon positiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund langeb kokku OY telje suunaga, siis on vektori A’B’ projektsioon positiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund langeb kokku vektori NM suunaga, siis on vektori A’B’ projektsioon positiivse märgiga.
Kui vektori suund on vastupidine OX-telje suunale, siis on vektori A’B’ projektsioon negatiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund on vastupidine OY telje suunale, siis vektori A’B’ projektsioon on negatiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund on vastupidine vektori NM suunale, siis on vektori A’B’ projektsioon negatiivse märgiga.
Kui vektor AB on paralleelne OX-teljega, siis vektori A’B’ projektsioon on võrdne vektori AB absoluutväärtusega.	Kui vektor AB on paralleelne OY-teljega, siis on vektori A’B’ projektsioon võrdne vektori AB absoluutväärtusega.	Kui vektor AB on paralleelne vektoriga NM, siis on vektori A’B’ projektsioon võrdne vektori AB absoluutväärtusega.
Kui vektor AB on risti teljega OX, siis projektsioon A’B’ võrdub nulliga (nullvektor).	Kui vektor AB on risti OY-teljega, siis projektsioon A’B’ on võrdne nulliga (nullvektor).	Kui vektor AB on risti vektoriga NM, siis projektsioon A’B’ on võrdne nulliga (nullvektor).

1. Küsimus: Kas vektori projektsioonil võib olla negatiivne märk? Vastus: Jah, projektsioonivektor võib olla negatiivne. Sel juhul on vektoril vastupidine suund (vaadake, kuidas OX-telg ja AB vektor on suunatud)
2. Küsimus: kas vektori projektsioon võib ühtida vektori absoluutväärtusega? Vastus: Jah, saab. Sel juhul on vektorid paralleelsed (või asuvad samal sirgel).
3. Küsimus: kas vektori projektsioon võib olla võrdne nulliga (nullvektor). Vastus: Jah, saab. Sel juhul on vektor vastava teljega (vektoriga) risti.

Näide 1. Vektor (joonis 1) moodustab OX-teljega 60° nurga (seda määrab vektor a). Kui OE on skaalaühik, siis |b|=4, seega .

Tõepoolest, vektori pikkus (geomeetriline projektsioon b) on võrdne 2-ga ja suund langeb kokku OX-telje suunaga.

Näide 2. Vektor (joonis 2) moodustab OX-teljega (vektoriga a) nurga (a,b) = 120 o. Pikkus |b| vektor b on võrdne 4-ga, seega pr a b=4·cos120 o = -2.

Tõepoolest, vektori pikkus on 2 ja suund on vastupidine telje suunale.

Nüüd oleme valmis tutvustama üliolulist vektori projektsiooni kontseptsiooni teljele. Seda kasutatakse pidevalt füüsiliste probleemide lahendamisel.

7.5.1 Mis on vektori projektsioon teljele?

Olgu antud vektor ~a ja X-telg Eeldatakse, et X-teljel on skaala, mis võimaldab mõõta lõikude pikkusi ja määrata neile vektori ~a mõõde.

Vektori ~a algusest ja lõpust langetame risti X-teljega; olgu A ja B nende perpendikulaaride alused (joonis 7.26). Lõigu AB pikkust tähistame jABj-ga.

Riis. 7.26. Vektori projektsioon teljele

Definitsioon. Vektori ~a projektsioonitelg X-teljele on võrdne lõigu AB pikkusega, mis võetakse plussmärgiga, kui vektori ~a ja X-telje vaheline nurk on terav, ja võetakse vastavalt miinusmärgiga. kui " on nüri (või voldimata). Kui nurk on õige, siis ax = 0.

Lühidalt, meil on järgmine valem:

Joonis 7.27 illustreerib kõiki neid võimalusi.

Siin, nagu tavaliselt, a = j~aj vektori ~a moodul.

Tõepoolest, kui"< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

Kui " > 90, siis liikudes joonise 7.27 keskosas nurgaga külgneva nurga juurde, näeme, et valem (7.10) annab keskmise punase segmendi pikkuse miinusmärgiga (tulenevalt koosinus), mis on täpselt see, mida me vajame.

Lõpuks, kui " = 90, siis valem (7.10) annab ax = 0, kuna koosinus täisnurk võrdne nulliga. Täpselt nii peabki olema (pildil parem pool).

Oletame nüüd, et X-teljele on antud ka alguspunkt, nii et see on tuttav koordinaattelg. Siis on meil projektsioonkirve jaoks veel üks valem, mis sisaldab ka kõiki kolme joonise 7.27 juhtumit “arhiveeritud” kujul.

Järeldus 2. Olgu x1 ja x2 vastavalt vektori ~a alguse ja lõpu koordinaadid. Seejärel arvutatakse projektsioonitelg järgmise valemiga:

ax = x2 x1 :

Tõepoolest, vaatame joonist fig. 7.28. See on positiivse projektsiooni juhtum. Jooniselt on ilmne, et erinevus x2 x1 võrdub punase segmendi pikkusega ja see pikkus on sel juhul see on täpselt kirve projektsioon.

Riis. 7.28. Vektori projektsioon teljele. Järeldus 2

Mis juhtub kahel ülejäänud juhul (ax< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 Vektori teljele projitseerimise omadused

Vektori projekteerimine teljele on märkimisväärselt kooskõlas vektorite liitmise ja skalaari vektoriga korrutamise operatsioonidega. Nimelt, olgu X-telg milline tahes, kehtivad järgmised kaks disainiomadust.

1. Vektori ~a + b projektsioon X-teljele on võrdne ax + bx.

Lühike verbaalne sõnastus: vektorite summa projektsioon on võrdne nende projektsioonide summaga. See kehtib suvalise arvu vektorite summa kohta, mitte ainult kahe.




		Riis. 7.29. ~c = ~a + b) cx = ax

Kõigepealt illustreerigem seda väidet joonisel. Asetame sajandi alguse-

torus b vektori ~a lõppu ja olgu ~c = ~a + b (joon. 7.29).

Sellel joonisel on selgelt näha, et projektsioon cx on võrdne punaste ja roheliste segmentide pikkuste summaga, st lihtsalt ax + bx.

Tõsi, joon. 7.29 tehakse juhtudel ax > 0 ja bx > 0. Tõestada meie väidet korraga võimalikud väärtused projektsioonid ax ja bx, teostame valemi (7.11) põhjal järgmise universaalse arutluskäigu.


Niisiis, olgu vektorid ~a ja b paigutatud suvaliselt. Ühendame uuesti alguse

vektor b vektori ~a lõpuga ja tähistada ~c = ~a + b. Las olla:
	vektori ~a alguse koordinaat ja samal ajal vektori ~c alguse koordinaat;

	vektori ~a lõpu koordinaat ja samal ajal vektori b algus;

	vektori b lõpu koordinaat ja samal ajal vektori ~c lõpp.

Need tähised on ka joonisel fig. 7.29.

Valemi (7.11) alusel saame: ax = x2 x1, bx = x3 x2, cx = x3 x1. Nüüd on seda lihtne näha:

ax + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :

Seega on meie disaini esimene omadus tõestatud.

2. Vektori ~a projektsioon X-teljele on võrdne a-ga x.

Verbaalne sõnastus: skalaari korrutise projektsioon vektori järgi on võrdne skalaari korrutisega vektori projektsiooni järgi.

Alustame uuesti illustratsiooniga. Joonise 7.30 vasak pool näitab vektorit ~a positiivse projektsiooniteljega.

Riis. 7.30. Vektori ~a projektsioon on võrdne axega

Kui korrutada vektor ~a 2-ga, siis selle pikkus kahekordistub, ka vektori projektsioon kahekordistub (märki säilitades) ja võrdub 2ax-ga.

Kui korrutada vektor ~a 2-ga, siis selle pikkus taas kahekordistub, kuid suund muutub vastupidiseks. Projektsioon muudab märki ja võrdub 2ax-ga.

Seega on teise omaduse olemus selge ja nüüd saab esitada range tõestuse.

Nii et las ~ . Me tahame tõestada, et x x . b = ~a b = a

Kasutame selleks valemit (7.10). Meil on:

ax = a cos "; bx = b cos ;

kus on nurk vektori ja telje vahel ning nurk vektori ~ ja telje vahel. Välja arvatud

Lisaks skalaari vektoriga korrutamise määratluse kohaselt:

Seega:

bx = j ja cos:

Kui, siis j j ; sel juhul on vektor ~ vektoriga samasuunaline ja seetõttu.

> 0 = b ~a = "

bx = a cos " = ax :

Kui, siis j j ; sel juhul on vektor ~ vektori suunas vastupidine

ru ~a. Pole raske aru saada, et = " (näiteks kui " on äge, see tähendab, et selle kõrval on nüri ja vastupidi). Meil on siis:

bx = ()a cos() = ()a(cos ") = a cos " = ax :

Seega saavutatakse kõigil juhtudel soovitud seos ja seega on disaini teine omadus täielikult tõestatud.

7.5.3 Projekteerimisoperatsioon füüsikas

Projekteerimisoperatsiooni tõestatud omadused on meie jaoks väga olulised. Näiteks mehaanikas kasutame neid igal sammul.

Seega algab paljude dünaamika probleemide lahendamine Newtoni teise seaduse vektorkujul kirjutamisest. Võtame näiteks keermele riputatud pendli massiga m. Pendli jaoks on Newtoni teine seadus:

Olles kirjutanud Newtoni teise seaduse vektorkujul, jätkame selle projitseerimisega

sobivad teljed. Võtame võrdsuse (7.12) ja projekteerime X-teljele:
max = mgx + Tx + fx :

Vektorvõrdsuselt (7.12) skalaarvõrdusele (7.13) liikudes kasutatakse mõlemat projektsiooniomadust! Nimelt panime tänu omadusele 1 üles vektorite summa projektsiooni nende projektsioonide summaks; Omaduse 2 toimel saime kirja panna vektorite m~a ja m~g projektsioonid kujul max ja mgx.

Seega võimaldavad projektsioonitehte mõlemad omadused üleminekut vektorvõrdsustelt skalaarsetele ning seda üleminekut saab sooritada formaalselt ja mõtlemata: vektori tähistuses olevad nooled jätame kõrvale ja paneme nende asemele projektsiooniindeksid. Täpselt selline näeb välja üleminek võrrandilt (7.12) võrrandile (7.13).

Liikumise vektorkirjeldus on kasulik, kuna ühel joonisel saate alati kujutada palju erinevaid vektoreid ja saate silme ette liikumisest visuaalse "pildi". Kuid joonlaua ja nurgamõõtja iga kord kasutamine vektoritega tehte tegemiseks on väga töömahukas. Seetõttu taanduvad need tegevused positiivsete ja negatiivsed arvud– vektorite projektsioonid.

Vektori projektsioon teljele nimetatakse skalaarsuuruseks, mis on võrdne projekteeritud vektori mooduli ja vektori suundade ja valitud koordinaattelje vahelise nurga koosinuse korrutisega.

Vasakpoolsel joonisel on kujutatud nihkevektor, mille moodul on 50 km ja selle suund kujuneb nürinurk 150° X-telje suunaga Definitsiooni kasutades leiame nihke projektsiooni X-teljel:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Kuna telgedevaheline nurk on 90°, siis on lihtne arvutada, et liikumissuund moodustab Y-telje suunaga 60° teravnurga. Definitsiooni kasutades leiame nihke projektsiooni Y-teljel:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Nagu näete, kui vektori suund moodustab telje suunaga teravnurga, on projektsioon positiivne; kui vektori suund moodustab telje suunaga nürinurga, on projektsioon negatiivne.

Parempoolsel joonisel on kujutatud kiirusvektor, mille moodul on 5 m/s ja suund moodustab X-telje suunaga nurga 30°.Leiame projektsioonid:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Palju lihtsam on leida vektorite projektsioone telgedel, kui projekteeritud vektorid on valitud telgedega paralleelsed või risti. Pange tähele, et paralleelsuse puhul on võimalikud kaks võimalust: vektor on telje suhtes kaassuunaline ja vektor on teljega vastassuunas ning perpendikulaarsuse korral on ainult üks võimalus.

Teljega risti oleva vektori projektsioon on alati null (vt sy ja ay vasakpoolsel joonisel ning sx ja υx parempoolsel joonisel). Tõepoolest, teljega risti oleva vektori korral on selle ja telje vaheline nurk 90°, seega on koosinus null, mis tähendab, et projektsioon on null.

Teljega kaassuunalise vektori projektsioon on positiivne ja võrdne selle absoluutväärtusega, näiteks sx = +s (vt vasakpoolset joonist). Tõepoolest, teljega samasuunalise vektori korral on selle ja telje vaheline nurk null ja koosinus on "+1", see tähendab, et projektsioon on võrdne vektori pikkusega: sx = x – xo = + s .

Telje vastas oleva vektori projektsioon on negatiivne ja võrdne selle mooduliga, mis on võetud miinusmärgiga, näiteks sy = –s (vt parempoolset joonist). Tõepoolest, telje vastas oleva vektori puhul on selle ja telje vaheline nurk 180° ja koosinus on “–1”, see tähendab, et projektsioon on võrdne negatiivse märgiga võetud vektori pikkusega: sy = y – yo = –s .

Mõlema joonise parempoolsed küljed näitavad muid juhtumeid, kus vektorid on paralleelsed ühe koordinaatteljega ja risti teisega. Kutsume teid ise veenduma, et ka nendel juhtudel järgitakse eelmistes lõikudes sõnastatud reegleid.

Vastus:

Projektsiooni omadused:

Vektorprojektsiooni omadused

Vara 1.

Kahe vektori summa projektsioon teljele võrdub vektorite projektsioonide summaga samale teljele:

See omadus võimaldab asendada vektorite summa projektsiooni nende projektsioonide summaga ja vastupidi.

Vara 2. Kui vektorit korrutada arvuga λ, siis selle arvuga korrutatakse ka selle projektsioon teljele:

Vara 3.

Vektori projektsioon teljele l on võrdne vektori mooduli ja vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Orth telg. Vektori lagunemine koordinaatühiku vektorites. Vektori koordinaadid. Koordinaatide omadused

Vastus:

Telgede ühikvektorid.

Ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi (mis tahes mõõtmega) kirjeldab ka koordinaattelgedega joondatud ühikvektorite komplekt. Ühikvektorite arv on võrdne koordinaatsüsteemi mõõtmetega ja need on kõik üksteisega risti.

Kolmemõõtmelisel juhul tähistatakse tavaliselt ühikvektoreid

Ja noolesümboleid ja võib samuti kasutada.

Sel juhul kehtivad õige koordinaatsüsteemi korral järgmised valemid ühikvektorite vektorkorrutistega:

Vektori lagunemine koordinaatühiku vektorites.

Koordinaatide telje ühikvektorit tähistatakse , telgede tähisega , telgede tähistamist (joon. 1)

Iga tasapinnal asuva vektori puhul toimub järgmine laienemine:

Kui vektor ruumis, siis on koordinaattelgede laiendus ühikvektorites kujul:

Vektori koordinaadid:

Vektori koordinaatide arvutamiseks, teades selle alguse A koordinaate (x1; y1) ja lõpu B koordinaate (x2; y2), peate lahutama alguse koordinaadid lõpu koordinaatidest: ( x2 – x1; y2 – y1).

Koordinaatide omadused.

Vaatleme koordinaatjoont, mille alguspunkt on punktis O ja ühikvektor i. Siis mis tahes vektori a jaoks sellel real: a = telg.

Arvtelge nimetatakse vektori a koordinaadiks koordinaatteljel.

Vara 1. Vektorite lisamisel teljel liidetakse nende koordinaadid.

Vara 2. Kui vektorit korrutatakse arvuga, korrutatakse selle koordinaat selle arvuga.

Skalaarkorrutis vektorid. Omadused.

Vastus:

Kahe nullist erineva vektori skalaarkorrutis on arv

võrdne nende vektorite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Omadused:

1. Skalaarkorrutisel on kommutatiivne omadus: ab=ba

Koordinaatühiku vektorite skalaarkorrutis. Nende koordinaatidega määratud vektorite skalaarkorrutise määramine.

Vastus:

Ühikvektorite punktkorrutis (×).

(X)	I	J	K
I
J
K

Nende koordinaatidega määratud vektorite skalaarkorrutise määramine.

Kahe vektori skalaarkorrutist, mis on antud nende koordinaatidega, saab arvutada valemi abil

Kahe vektori ristkorrutis. Vektorkorrutise omadused.

Vastus:

Kolm mittetasatasandilist vektorit moodustavad parempoolse kolmiku, kui alates kolmanda lõpust pööratakse esimesest vektorist teise vastupäeva. Kui päripäeva, siis vasakule. Kui ei, siis vastupidises suunas ( näita, kuidas ta "käepidemetega" näitas)

Vektori ristkorrutis A vektorile b nimetatakse vektoriks millest:

1. Vektoritega risti A Ja b

2. Omab pikkust, arvuliselt võrdne pindalaga kohta moodustatud rööpkülik a Ja b vektorid

3. vektorid, a,b, Ja c moodustavad vektorite parempoolse kolmiku

Omadused:

Koordinaatühiku vektorite vektorkorrutis. Nende koordinaatidega määratud vektorite vektorkorrutise määramine.

Vastus:

Koordinaatühiku vektorite vektorkorrutis.

Nende koordinaatidega määratud vektorite vektorkorrutise määramine.

Olgu vektorid a = (x1; y1; z1) ja b = (x2; y2; z2) antud nende koordinaatide järgi ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis O, i, j, k ja kolmik i, j, k on paremakäeline.

Laiendame a ja b baasvektoriteks:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Vektorkorrutise omadusi kasutades saame

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Vektorkorrutise definitsiooni järgi leiame

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Neid võrdusi arvesse võttes saab valemi (1) kirjutada järgmiselt:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Valem (2) annab avaldise kahe vektori vektori korrutisele, mis on määratud nende koordinaatidega.

Saadud valem on tülikas, kasutades determinantide tähistust, saate selle kirjutada muul kujul, mis on meeldejätmiseks mugavam:

Tavaliselt kirjutatakse valem (3) veelgi lühemalt:

Palju füüsikalised kogused on täielikult kindlaks määratud teatud arvu määramisega. Need on näiteks maht, mass, tihedus, kehatemperatuur jne. Selliseid suurusi nimetatakse skalaarideks. Seetõttu nimetatakse numbreid mõnikord skalaarideks. Kuid on ka koguseid, mis määratakse kindlaks mitte ainult arvu, vaid ka teatud suuna määramisega. Näiteks kui keha liigub, peaksite märkima mitte ainult keha liikumiskiiruse, vaid ka liikumise suuna. Samamoodi on mis tahes jõu mõju uurimisel vaja näidata mitte ainult selle jõu väärtust, vaid ka selle mõju suunda. Selliseid koguseid nimetatakse vektor. Nende kirjeldamiseks võeti kasutusele vektori mõiste, mis osutus matemaatika jaoks kasulikuks.

Vektori määratlus

Iga ruumi punktide A kuni B järjestatud paar määratleb suunatud segment, st. segment koos sellel määratud suunaga. Kui punkt A on esimene, nimetatakse seda suunatud lõigu alguseks ja punktiks B selle lõpp. Lõigu suunaks loetakse suund algusest lõpuni.

Definitsioon
Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks.

Tähistame vektorit sümboliga \(\overrightarrow(AB) \), kusjuures esimene täht tähistab vektori algust ja teine selle lõppu.

Vektorit, mille algus ja lõpp langevad kokku, nimetatakse null ja seda tähistatakse \(\vec(0)\) või lihtsalt 0-ga.

Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse vektoriks pikkus ja seda tähistatakse \(|\overrightarrow(AB)| \) või \(|\vec(a)| \).

Vektoreid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Kollineaarsetel vektoritel võib olla sama või vastupidine suund.

Nüüd saame sõnastada kahe vektori võrdsuse olulise mõiste.

Definitsioon
Vektorid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) on võrdsed (\(\vec(a) = \vec(b) \)), kui nad on kollineaarsed, neil on sama suund ja nende pikkused on võrdsed .

Joonisel fig. 1 näitab vasakul ebavõrdseid vektoreid ja paremal võrdseid vektoreid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \). Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et kui antud vektorit endaga paralleelselt nihutada, on tulemuseks vektor, mis on võrdne antud vektoriga. Sellega seoses on vektorid sisse analüütiline geomeetria helistas tasuta.

Vektori projektsioon teljele

Olgu ruumis antud telg \(u\) ja mõni vektor \(\overrightarrow(AB)\). Joonistame punktide A ja B kaudu teljega \(u\) risti olevad tasapinnad. Tähistagem A" ja B" nende tasandite lõikepunktid teljega (vt joonis 2).

Vektori \(\overrightarrow(AB) \) projektsioon teljele \(u\) on telje \(u\) suunatud segmendi A"B" väärtus A"B". Tuletame teile seda meelde
\(A"B" = |\üleparemnool(A"B")| \) , kui suund \(\üleparemnool(A"B") \) langeb kokku telje suunaga \(u\),
\(A"B" = -|\overright nool(A"B")| \) , kui suund \(\overright nool(A"B") \) on vastupidine telje suunale \(u\),
Vektori \(\overrightarrow(AB)\) projektsioon teljele \(u\) on tähistatud järgmiselt: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

Teoreem
Vektori \(\overrightarrow(AB) \) projektsioon teljele \(u\) võrdub vektori \(\overrightarrow(AB) \) pikkusega, mis on korrutatud vektori vahelise nurga koosinusega (\overrightarrow(AB) \) ja telg \( u\) , st.

\(Pr_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) kus \(\varphi \) on nurk vektori \(\overrightarrow(AB) \) ja telje \(u) vahel \).

Kommenteeri
Olgu määratud \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) ja mõni telg \(u\). Rakendades teoreemi valemit kõigile nendele vektoritele, saame

\(Pr_u \overrightarrow(A_1B_1) = Pr_u \overrightarrow(A_2B_2) \) st. võrdsetel vektoritel on võrdsed projektsioonid samale teljele.

Vektorprojektsioonid koordinaatide telgedel

Olgu ruumis antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxyz ja suvaline vektor \(\overrightarrow(AB)\). Olgu veel \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). X, Y, Z vektori \(\overrightarrow(AB)\) projektsioone koordinaattelgedel nimetatakse koordinaadid. Samal ajal nad kirjutavad
\(\overright nool(AB) = (X;Y;Z) \)

Teoreem
Olenemata kahest punktist A(x 1 ; y 1 ; z 1) ja B(x 2 ; y 2 ; z 2), määratakse vektori \(\overrightarrow(AB) \) koordinaadid järgmiste valemitega :

X = x2-x1, Y = y2-y1, Z = z2-z1

Kommenteeri
Kui vektor \(\overrightarrow(AB) \) väljub algpunktist, st. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, siis on vektori \(\overrightarrow(AB) \) koordinaadid X, Y, Z võrdsed selle lõpu koordinaatidega:
X = x, Y = y, Z = z.

Vektori suunakoosinused

Olgu suvaline vektor \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); eeldame, et \(\vec(a) \) väljub lähtepunktist ega asu ühelgi koordinaattasandil. Joonistame punkti A kaudu telgedega risti olevad tasapinnad. Koos koordinaattasandid need moodustavad ristkülikukujulise rööptahuka, mille diagonaaliks on segment OA (vt joonis).

Elementaargeomeetriast on teada, et ristkülikukujulise rööptahuka diagonaali pikkuse ruut võrdub selle kolme mõõtme pikkuste ruutude summaga. Seega
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Aga \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); nii saame
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
või
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
See valem väljendab suvalise vektori pikkust selle koordinaatide kaudu.

Tähistagem \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) nurki vektori \(\vec(a) \) ja koordinaattelgede vahel. Vektori teljele projektsiooni valemitest ja vektori pikkusest saame
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) nimetatakse vektori \(\vec(a) \) suunakoosinused.

Iga eelmise võrrandi vasaku ja parema külje ruudustamisel ja saadud tulemuste summeerimisel saame
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
need. mis tahes vektori suunakoosinuste ruutude summa on võrdne ühega.

Lineaartehted vektoritega ja nende põhiomadused

Lineaartehted vektoritega on vektorite liitmise ja lahutamise ning vektorite arvudega korrutamise operatsioonid.

Kahe vektori liitmine

Olgu antud kaks vektorit \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \). Summa \(\vec(a) + \vec(b) \) on vektor, mis läheb vektori \(\vec(a) \) algusest vektori \(\vec(b) lõpuni \) eeldusel, et vektor \(\vec(b) \) on kinnitatud vektori \(\vec(a) \) lõppu (vt joonist).

Kommenteeri
Lahutamisvektorite tegevus on pöördvõrdeline liitmise tegevusega, s.t. erinevus \(\vec(b) - \vec(a) \) vektorid \(\vec(b) \) ja \(\vec(a) \) on vektor, mis summas vektoriga \(\ vec(a ) \) annab vektori \(\vec(b) \) (vt joonist).

Kommenteeri
Määrates kahe vektori summa, saate leida suvalise arvu antud vektorite summa. Olgu näiteks antud kolm vektorit \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Lisades \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \, saame vektori \(\vec(a) + \vec(b) \). Nüüd lisades sellele vektori \(\vec(c) \, saame vektori \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Vektori ja arvu korrutis

Olgu antud vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) ja arv \(\lambda \neq 0 \). Korrutis \(\lambda \vec(a) \) on vektor, mis on kollineaarne vektoriga \(\vec(a) \), mille pikkus on võrdne \(|\lambda| |\vec(a)| \) ja suund on sama mis vektoril \(\vec(a) \), kui \(\lambda > 0 \), ja vastupidine, kui \(\lambda Vektori \(\) korrutamise operatsiooni geomeetriline tähendus vec(a) \neq \vec (0) \) arvuga \(\lambda \neq 0 \) saab väljendada järgmiselt: kui \(|\lambda| >1 \), siis vektori korrutamisel \( \vec(a) \) arvuga \( \lambda \) on vektor \(\vec(a) \) "venitatud" \(\lambda \) korda ja kui \(|\lambda| 1 \ ).

Kui \(\lambda =0 \) või \(\vec(a) = \vec(0) \), loetakse korrutis \(\lambda \vec(a) \) võrdseks nullvektoriga.

Kommenteeri
Kasutades vektori arvuga korrutamise definitsiooni, on lihtne tõestada, et kui vektorid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) on kollineaarsed ja \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), siis on olemas (ja ainult üks) arv \(\lambda \), nii et \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Lineaartehte põhiomadused

1. Liitumise kommutatiivne omadus
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Liitmise ühendomadus
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Korrutamise kombineeriv omadus
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Jaotusomadus arvude summa osas
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Jaotusomadus vektorite summa suhtes
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Kommenteeri
Need lineaartehte omadused on fundamentaalse tähtsusega, kuna võimaldavad sooritada tavalisi algebralisi toiminguid vektoritega. Näiteks omaduste 4 ja 5 tõttu saate korrutada skalaarse polünoomi vektori polünoomiga "termini kaupa".

Vektorprojektsiooni teoreemid

Teoreem
Kahe vektori summa projektsioon teljele on võrdne nende projektsioonide summaga sellele teljele, s.o.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teoreemi saab üldistada suvalise arvu terminite puhul.

Teoreem
Kui vektor \(\vec(a) \) korrutada arvuga \(\lambda \), korrutatakse selle arvuga ka selle projektsioon teljele, s.t. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

Tagajärg
Kui \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) ja \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), siis
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Tagajärg
Kui \(\vec(a) = (x;y;z) \), siis \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) mis tahes number \(\lambda \)

Siit on lihtne järeldada kahe vektori kollineaarsuse tingimus koordinaatides.
Tõepoolest, võrdsus \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) on samaväärne võrdustega \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) või
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) st. vektorid \(\vec(a) \) ja \(\vec(b) \) on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende koordinaadid on võrdelised.

Vektori dekomponeerimine baasiks

Olgu vektorid \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) koordinaattelgede ühikvektoriteks, st. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), ja igaüks neist on võrdselt suunatud vastava koordinaatteljega (vt joonist). Vektorite kolmik \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) nimetatakse alus.
Kehtib järgmine teoreem.

Teoreem
Iga vektorit \(\vec(a) \) saab üheselt laiendada üle aluse \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \, st. esitatakse kui
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
kus \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) on mõned arvud.