Lihtsast keerukani. Logaritmilised võrrandid. Kuidas lahendada logaritmilisi võrrandeid

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Teatavasti liidetakse avaldiste astmetega korrutamisel alati nende eksponendid (a b * a c = a b + c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvunäitajate tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja kohmakas korrutamine lihtsaks liitmiseks lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtne ja juurdepääsetav keel.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) "b" logaritmi vastavalt selle alusele "a" peetakse "c" astmeks. ", millele on vaja tõsta alus "a", et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, tuleb leida selline kraad, et 2-st kuni vajaliku kraadini saad 8. Mõttes arvutusi tehes saame numbri 3! Ja õigustatult, sest 2 astmel 3 annab vastuses arvu 8.

Logaritmide sordid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Logaritmilisi avaldisi on kolme erinevat tüüpi:

Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
Kümnend a, kus alus on 10.
Mis tahes arvu b logaritm baasile a>1.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja sellele järgnev taandamine ühele logaritmile, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks tuleks otsuste tegemisel meeles pidada nende omadusi ja toimingute järjekorda.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, see tähendab, et need ei kuulu arutelule ja on tõesed. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsetest arvudest paarisastme juurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida, kuidas töötada isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

alus "a" peab alati olema suurem kui null ja samal ajal ei tohi olla võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
kui a > 0, siis a b > 0, selgub, et "c" peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks anti ülesanne leida vastus võrrandile 10 x \u003d 100. See on väga lihtne, peate valima sellise astme, tõstes arvu kümme, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 \u003d 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilise avaldisena. Saame log 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt sellele, et leida, mil määral tuleb antud arvu saamiseks sisestada logaritmi alus.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõtteviis ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks on aga vaja toitetabelit. Seda saavad kasutada ka need, kes keerulistes matemaatilistes teemades üldse millestki aru ei saa. Vasakpoolses veerus on arvud (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, millele tõstetakse arv a. Lahtrite ristumiskohas määratakse numbrite väärtused, mis on vastus (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrrandina kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada logaritmina 81 alusele 3, mis on neli (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid osi on "logaritmide" teema. Vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi veidi madalamal, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse järgmise kujuga avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm aluses kahes on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) viitavad vastuses ühele või mitmele konkreetsele arvväärtusele, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel on nii vahemik vastuvõetavad väärtused ja punktid, mis seda funktsiooni rikuvad. Sellest tulenevalt ei ole vastuseks lihtne üksikute arvude komplekt, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete ülesannete lahendamisel logaritmi väärtuste leidmisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Tutvume võrrandite näidetega hiljem, analüüsime esmalt iga omadust üksikasjalikumalt.

Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul on eelduseks: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Selle logaritmi valemi kohta saate esitada tõestuse näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (kraadiomadused ), ja edasi definitsiooni järgi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mida tuli tõestada.
Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika toetub tavalistele postulaatidele. Vaatame tõestust.

Logige logima a b \u003d t, selgub a t \u003d b. Kui tõstad mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmiülesannete tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need sisalduvad ka matemaatika eksamite kohustuslikes osades. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiskatsete sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt tuleks välja selgitada, kas väljendit saab lihtsustada või taandada üldisele kujule. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega varsti tuttavaks.

Logaritmvõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, milline logaritm meil ees on: avaldise näide võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et peate määrama, mil määral on baas 10 võrdne vastavalt 100 ja 1026-ga. Naturaallogaritmide lahenduste puhul tuleb rakendada logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid peamiste teoreemide kasutamisest logaritmidel.

Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja arvu b suur väärtus lagundada lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada esmapilgul keeruline ja lahendamatu avaldis. On vaja ainult baas faktoriseerida ja seejärel võtta eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ülesanded eksamilt

Sisseastumiseksamitel leidub sageli logaritme, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami kõige lihtsam testiosa), vaid ka C-osas (kõige raskemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema "Looduslikud logaritmid" täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendamine on võetud eksami ametlikest versioonidest. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4 , seega 2x = 17; x = 8,5.

Kõik logaritmid on kõige parem taandada samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
Kõik logaritmi märgi all olevad avaldised on märgitud positiivsetena, seetõttu, võttes välja avaldise eksponendi, mis on logaritmi märgi all ja selle alusena, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Selles õppetükis kordame põhilisi teoreetilisi fakte logaritmide kohta ja kaalume lihtsaimate logaritmivõrrandite lahendust.

Tuletage meelde keskne määratlus - logaritmi määratlus. See on seotud eksponentsiaalvõrrandi lahendusega. Sellel võrrandil on üks juur, seda nimetatakse b logaritmiks aluse a suhtes:

Definitsioon:

Arvu b logaritm aluse a suhtes on eksponent, milleni tuleb arvu b saamiseks alus a tõsta.

Tagasikutsumine põhilogaritmiline identiteet.

Avaldis (avaldis 1) on võrrandi juur (avaldis 2). Asendame x väärtuse avaldises 1 avaldises 2 oleva x asemel ja saame põhilogaritmilise identiteedi:

Seega näeme, et igale väärtusele on määratud väärtus. Tähistame b x (), c jaoks y ja seega saame logaritmilise funktsiooni:

Näiteks:

Tuletage meelde logaritmilise funktsiooni põhiomadusi.

Pöörame siinkohal veel kord tähelepanu, sest logaritmi all võib logaritmi alusena olla rangelt positiivne avaldis.

Riis. 1. Erinevate aluste logaritmifunktsiooni graafik

Funktsiooni at graafik on näidatud mustana. Riis. 1. Kui argument suureneb nullist lõpmatuseni, suureneb funktsioon miinuspunktist plusslõpmatuseni.

Funktsiooni at graafik on näidatud punaselt. Riis. üks.

Selle funktsiooni omadused:

Domeen: ;

Väärtuste vahemik: ;

Funktsioon on monotoonne kogu oma määratluspiirkonnas. Kui monotoonselt (rangelt) suureneb, vastab argumendi suurem väärtus funktsiooni suuremale väärtusele. Kui monotoonselt (rangelt) väheneb, vastab argumendi suurem väärtus funktsiooni väiksemale väärtusele.

Logaritmifunktsiooni omadused on võti erinevate logaritmiliste võrrandite lahendamisel.

Mõelge kõige lihtsamale logaritmilisele võrrandile; kõik muud logaritmilised võrrandid taandatakse reeglina sellele kujule.

Kuna logaritmide alused ja logaritmid ise on võrdsed, on ka logaritmi all olevad funktsioonid võrdsed, kuid me ei tohi kaotada määratlusvaldkonda. Logaritmi all võib olla ainult positiivne arv, meil on:

Saime teada, et funktsioonid f ja g on võrdsed, nii et ODZ järgimiseks piisab, kui valida ükskõik milline ebavõrdsus.

Seega saime segasüsteemi, milles on võrrand ja ebavõrdsus:

Ebavõrdsust reeglina lahendada pole vaja, piisab võrrandi lahendamisest ja leitud juurte asendamisest ebavõrdsusega, teostades nii kontrolli.

Sõnastame lihtsaimate logaritmvõrrandite lahendamise meetodi:

Tasandada logaritmide aluseid;

Võrdsusta sublogaritmilised funktsioonid;

Käivitage kontroll.

Vaatleme konkreetseid näiteid.

Näide 1 – lahendage võrrand:

Logaritmide alused on algselt võrdsed;

Näide 2 – lahendage võrrand:

See võrrand erineb eelmisest selle poolest, et logaritmide alused on väiksemad kui üks, kuid see ei mõjuta lahendust kuidagi:

Leiame juure ja asendame selle ebavõrdsusega:

Saime vale ebavõrdsuse, mis tähendab, et leitud juur ei rahulda ODZ-d.

Näide 3 – lahendage võrrand:

Logaritmide alused on algselt võrdsed;

Leiame juure ja asendame selle ebavõrdsusega:

Ilmselgelt rahuldab ODZ-d ainult esimene juur.

Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat logaritmvõrrandite kohta. Nüüd on teil korraga kolm näidet, mille põhjal õpime lahendama lihtsamaid ülesandeid, mida nimetatakse nii - algloomad.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Lubage mul teile meelde tuletada, et lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:

log a f(x) = b

On oluline, et muutuja x oleks olemas ainult argumendi sees, st ainult funktsioonis f(x). Ja arvud a ja b on lihtsalt arvud ja mitte mingil juhul ei ole funktsioonid, mis sisaldavad muutujat x.

Põhilised lahendusmeetodid

Selliste struktuuride lahendamiseks on palju võimalusi. Näiteks koolis soovitab enamik õpetajaid nii: Väljendage valemi abil kohe funktsioon f ( x ). f( x ) = a b . See tähendab, et kui kohtute kõige lihtsama konstruktsiooniga, saate kohe lahenduse juurde asuda ilma täiendavate toimingute ja konstruktsioonideta.

Jah, loomulikult osutub otsus õigeks. Selle valemi probleem seisneb aga selles, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see tuleb ja miks me täpselt tõstame tähe a täheks b.

Seetõttu märkan sageli väga solvavaid vigu, kui näiteks neid tähti vahetatakse. Seda valemit tuleb kas mõista või pähe õppida ning teine meetod põhjustab vigu kõige ebasobivamatel ja otsustavamatel hetkedel: eksamitel, testidel jne.

Sellepärast soovitan kõigil oma õpilastel loobuda kooli tavavalemist ja kasutada logaritmvõrrandite lahendamiseks teist lähenemist, mida, nagu nimest arvatavasti arvasite, nimetatakse kanooniline vorm.

Kanoonilise vormi idee on lihtne. Vaatame uuesti oma ülesannet: vasakul on meil log a , täht a tähendab aga täpselt numbrit ja mitte mingil juhul muutujat x sisaldavat funktsiooni. Seetõttu kehtivad sellele kirjale kõik piirangud, mis on kehtestatud logaritmi alusel. nimelt:

1 ≠ a > 0

Teisest küljest näeme samast võrrandist, et logaritm peab olema võrdne arvuga b ja sellele tähele ei sea piiranguid, sest see võib võtta mis tahes väärtuse - nii positiivse kui ka negatiivse. Kõik sõltub sellest, milliseid väärtusi funktsioon f(x) võtab.

Ja siin meenub meie imeline reegel, et iga arvu b saab esitada logaritmina baasis a alates a astmeni b:

b = log a a b

Kuidas seda valemit meeles pidada? Jah, väga lihtne. Kirjutame järgmise konstruktsiooni:

b = b 1 = b log a a

Loomulikult tekivad sel juhul kõik piirangud, mis alguses kirja panime. Ja nüüd kasutame logaritmi põhiomadust ja sisestame teguri b a astmena. Saame:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Selle tulemusena kirjutatakse algne võrrand ümber järgmisel kujul:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

See on kõik. Uus funktsioon ei sisalda enam logaritmi ja seda lahendatakse tavaliste algebraliste tehnikatega.

Muidugi vaidleb nüüd keegi vastu: miks oli üldse vaja välja mõelda mingi kanooniline valem, milleks teha veel kaks mittevajalikku sammu, kui sai kohe algsest konstruktsioonist lõpliku valemi juurde minna? Jah, kasvõi sellepärast, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see valem pärineb, ja seetõttu teevad selle rakendamisel regulaarselt vigu.

Kuid selline kolmest sammust koosnev toimingute jada võimaldab teil lahendada algse logaritmilise võrrandi, isegi kui te ei saa aru, kust see lõplik valem pärineb. Muide, seda kirjet nimetatakse kanooniliseks valemiks:

log a f(x) = log a a b

Kanoonilise vormi mugavus seisneb ka selles, et sellega saab lahendada väga laia klassi logaritmilisi võrrandeid, mitte ainult kõige lihtsamaid, mida me täna kaalume.

Lahendusnäited

Vaatame nüüd tõelisi näiteid. Nii et otsustame:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Kirjutame selle ümber nii:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Paljud õpilased kiirustavad ja püüavad kohe tõsta arvu 0,5 võimsusele, mis meile algsest probleemist tuli. Ja tõepoolest, kui olete selliste probleemide lahendamiseks juba hästi koolitatud, saate selle sammu kohe teha.

Kui aga alles hakkate seda teemat uurima, on parem mitte kuhugi kiirustada, et mitte teha solvavaid vigu. Seega on meil kanooniline vorm. Meil on:

3x - 1 = 0,5 -3

See ei ole enam logaritmiline võrrand, vaid lineaarne võrrand muutuja x suhtes. Selle lahendamiseks käsitleme esmalt arvu 0,5 astmeni −3. Pange tähele, et 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Logaritmilise võrrandi lahendamisel teisendage kõik kümnendkohad murdudeks.

Kirjutame ümber ja saame:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Kõik saime vastuse. Esimene ülesanne on lahendatud.

Teine ülesanne

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Nagu näete, pole see võrrand enam kõige lihtsam. Kasvõi sellepärast, et erinevus on vasakul ja mitte ühtegi logaritmi ühes baasis.

Seetõttu peate sellest erinevusest kuidagi lahti saama. Sel juhul on kõik väga lihtne. Vaatame aluseid lähemalt: vasakul on number juure all:

Üldine soovitus: püüdke kõigis logaritmivõrrandites vabaneda radikaalidest, st juurtega kirjetest ja liikuda edasi astmefunktsioonide juurde, lihtsalt seetõttu, et nende astmete eksponendid on kergesti logaritmi märgist välja jäetud ja lõpuks sellised. tähistus lihtsustab ja kiirendab arvutusi oluliselt. Kirjutame selle nii:

Nüüd tuletame meelde logaritmi tähelepanuväärset omadust: nii argumendist kui ka alusest saate kraadid välja võtta. Aluste puhul juhtub järgmine:

log a k b = 1/k loga b

Teisisõnu, aluse astmes seisnud arv tuuakse ette ja samal ajal pööratakse ümber, see tähendab, et see muutub arvu pöördarvuks. Meie puhul oli baasaste näitajaga 1/2. Seetõttu võime selle välja võtta kui 2/1. Saame:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Pange tähele: mitte mingil juhul ei tohiks te selles etapis logaritmidest lahti saada. Mõelge tagasi 4.-5. klassi matemaatikale ja tehte järjekorrale: kõigepealt tehakse korrutamine ja alles seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul lahutame 10 elemendist ühe sama elemendi:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nüüd näeb meie võrrand välja selline, nagu peaks. See on kõige lihtsam konstruktsioon ja lahendame selle kanoonilise vormi abil:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

See on kõik. Teine probleem on lahendatud.

Kolmas näide

Liigume edasi kolmanda ülesande juurde:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Tuletage meelde järgmine valem:

log b = log 10 b

Kui lg b kirjutamine sind mingil põhjusel segadusse ajab, siis kõiki arvutusi tehes võid lihtsalt kirjutada log 10 b . Kümnendlogaritmidega saate töötada samamoodi nagu teistega: võtke välja astmed, lisage ja esitage mis tahes arv lg 10-na.

Just neid omadusi kasutame nüüd probleemi lahendamiseks, kuna see pole kõige lihtsam, mille me tunni alguses üles kirjutasime.

Alustuseks pange tähele, et teguri 2 enne lg 5 saab sisestada ja see muutub aluse 5 astmeks. Lisaks saab vaba liiget 3 esitada ka logaritmina – seda on meie tähistusest väga lihtne jälgida.

Otsustage ise: mis tahes arvu saab esitada logina kuni 10. aluseni:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjutame algse probleemi ümber, võttes arvesse saadud muudatusi:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Meie ees on jälle kanooniline vorm ja me saime selle teisenduste etapist mööda minnes, st kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit ei tulnud meiega kuskil ette.

Sellest ma juba tunni alguses rääkisin. Kanooniline vorm võimaldab lahendada laiemat ülesannete klassi kui tavapärane koolivalem, mille esitavad enamik kooliõpetajaid.

See on kõik, vabaneme kümnendlogaritmi märgist ja saame lihtsa lineaarse konstruktsiooni:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Kõik! Probleem lahendatud.

Märkus ulatuse kohta

Siinkohal tahaksin teha olulise märkuse määratlusvaldkonna kohta. Kindlasti on nüüd õpilasi ja õpetajaid, kes ütlevad: "Kui lahendame avaldisi logaritmidega, tuleb kindlasti meeles pidada, et argument f (x) peab olema suurem kui null!" Sellega seoses tekib loogiline küsimus: miks me ei nõudnud üheski vaadeldavast probleemist selle ebavõrdsuse rahuldamist?

Ära muretse. Sellistel juhtudel ei ilmu lisajuuri. Ja see on veel üks suurepärane nipp, mis võimaldab teil lahendust kiirendada. Lihtsalt teadke, et kui ülesandes esineb muutuja x ainult ühes kohas (täpsemalt ühe ja ainsa logaritmi ühes ja ainsas argumendis) ja mitte kusagil mujal meie puhul muutujat x ei esine, siis kirjutage domeen. pole tarvis sest see töötab automaatselt.

Otsustage ise: esimeses võrrandis saime, et 3x - 1, st argument peaks olema võrdne 8-ga. See tähendab automaatselt, et 3x - 1 on suurem kui null.

Sama edukalt võime kirjutada, et teisel juhul peab x olema võrdne 5 2-ga, st see on kindlasti suurem kui null. Ja kolmandal juhul, kus x + 3 = 25 000, st jällegi ilmselgelt suurem kui null. Teisisõnu, ulatus on automaatne, kuid ainult siis, kui x esineb ainult ühe logaritmi argumendis.

See on kõik, mida peate lihtsate probleemide lahendamiseks teadma. Ainuüksi see reegel koos teisendusreeglitega võimaldab teil lahendada väga laia klassi probleeme.

Kuid olgem ausad: selle tehnika lõpuks mõistmiseks ja logaritmilise võrrandi kanoonilise vormi rakendamise õppimiseks ei piisa ainult ühe videotunni vaatamisest. Seetõttu laadige kohe alla iseseisva lahenduse valikud, mis on lisatud sellele videoõpetusele, ja alustage vähemalt ühe neist kahest sõltumatust tööst lahendamist.

See võtab vaid mõne minuti. Kuid sellise koolituse mõju on palju suurem võrreldes sellega, kui vaatasite seda videoõpetust.

Loodan, et see õppetund aitab teil logaritmilisi võrrandeid mõista. Rakendage kanoonilist vormi, lihtsustage avaldisi, kasutades logaritmidega töötamise reegleid - ja te ei karda ühtegi ülesannet. Ja see on kõik, mis mul tänaseks on.

Reguleerimisala kaalumine

Räägime nüüd logaritmilise funktsiooni valdkonnast ja sellest, kuidas see mõjutab logaritmiliste võrrandite lahendamist. Mõelge vormi konstruktsioonile

log a f(x) = b

Sellist avaldist nimetatakse kõige lihtsamaks - sellel on ainult üks funktsioon ning numbrid a ja b on lihtsalt numbrid ning mitte mingil juhul ei ole funktsioon, mis sõltub muutujast x. See lahendatakse väga lihtsalt. Peate lihtsalt kasutama valemit:

b = log a a b

See valem on logaritmi üks peamisi omadusi ja kui asendada meie algse avaldisega, saame järgmise:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

See on juba kooliõpikutest tuttav valem. Tõenäoliselt tekib paljudel õpilastel küsimus: kuna funktsioon f ( x ) algses avaldises on logimärgi all, on sellele kehtestatud järgmised piirangud:

f(x) > 0

See piirang kehtib, kuna negatiivsete arvude logaritmi ei eksisteeri. Seega, võib-olla peaksite selle piirangu tõttu kasutusele võtma vastuste kontrolli? Võib-olla tuleb need allikas asendada?

Ei, kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites pole lisakontroll vajalik. Ja sellepärast. Vaadake meie lõplikku valemit:

f(x) = a b

Fakt on see, et arv a on igal juhul suurem kui 0 - selle nõude kehtestab ka logaritm. Arv a on alus. Sel juhul arvule b piiranguid ei seata. Kuid sellel pole tähtsust, sest ükskõik mis kraadi me positiivset arvu tõstame, saame väljundis ikkagi positiivse arvu. Seega on nõue f (x) > 0 automaatselt täidetud.

Tõesti tasub kontrollida logi märgi all oleva funktsiooni ulatust. Võib olla üsna keerulisi kujundusi ja nende lahendamise käigus tuleb neid kindlasti järgida. Vaatame.

Esimene ülesanne:

Esimene samm: teisendage parempoolne murd. Saame:

Vabaneme logaritmi märgist ja saame tavalise irratsionaalse võrrandi:

Saadud juurtest sobib meile ainult esimene, kuna teine juur on väiksem kui null. Ainus vastus on number 9. See on kõik, probleem on lahendatud. Täiendavaid kontrolle, et logaritmimärgi all olev avaldis on suurem kui 0, pole vaja, sest see ei ole lihtsalt suurem kui 0, vaid võrrandi tingimuse järgi on see võrdne 2-ga. Seetõttu on nõue "nullist suurem" automaatselt rahuldatud.

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Siin on kõik endine. Kirjutame konstruktsiooni ümber, asendades kolmiku:

Vabaneme logaritmi märkidest ja saame irratsionaalse võrrandi:

Paneme mõlemad osad ruutudesse, võttes arvesse piiranguid, ja saame:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Lahendame saadud võrrandi diskriminandi kaudu:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Kuid x = −6 meile ei sobi, sest kui asendame selle arvu oma ebavõrdsusega, saame:

−6 + 4 = −2 < 0

Meie puhul nõutakse, et see oleks suurem kui 0 või äärmuslikel juhtudel võrdne. Kuid meile sobib x = −1:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainus vastus meie puhul on x = −1. See on kõik lahendus. Läheme tagasi oma arvutuste algusesse.

Selle õppetunni peamine järeldus on, et funktsiooni piirväärtusi ei ole vaja kontrollida kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites. Kuna lahendamise käigus täidetakse kõik piirangud automaatselt.

Kuid see ei tähenda mingil juhul seda, et võite kinnitamise täielikult unustada. Logaritmilise võrrandi kallal töötades võib see muutuda irratsionaalseks, millel on paremale poolele oma piirangud ja nõuded, mida oleme täna näinud kahes erinevas näites.

Lahendage selliseid probleeme julgelt ja olge eriti ettevaatlik, kui vaidluses on juur.

Logaritmvõrrandid erinevate alustega

Jätkame logaritmiliste võrrandite uurimist ja analüüsime veel kahte üsna huvitavat nippi, millega on moes keerulisemaid struktuure lahendada. Kuid kõigepealt meenutagem, kuidas lahendatakse lihtsamaid ülesandeid:

log a f(x) = b

Selles tähistuses on a ja b lihtsalt arvud ning funktsioonis f (x) peab muutuja x olemas olema ja ainult seal, st x peab olema ainult argumendis. Teisendame sellised logaritmilised võrrandid kanoonilise vormi abil. Selle jaoks märgime, et

b = log a a b

Ja a b on lihtsalt argument. Kirjutame selle avaldise ümber järgmiselt:

log a f(x) = log a a b

See on täpselt see, mida me püüame saavutada, nii et nii vasakul kui ka paremal on logaritm alusele a. Sel juhul võime piltlikult öeldes logi märgid maha kriipsutada ja matemaatika seisukohalt võib öelda, et me lihtsalt võrdsustame argumendid:

f(x) = a b

Selle tulemusena saame uue väljendi, mida saab palju lihtsamalt lahendada. Rakendame seda reeglit oma tänaste ülesannete puhul.

Nii et esimene kujundus:

Kõigepealt märgin, et paremal on murd, mille nimetaja on log. Kui näete sellist väljendit, tasub meeles pidada logaritmide imelist omadust:

Vene keelde tõlgituna tähendab see, et mis tahes logaritmi saab esitada kahe logaritmi jagatisena mis tahes alusega c. Muidugi, 0< с ≠ 1.

Niisiis: sellel valemil on üks imeline erijuhtum, kui muutuja c on võrdne muutujaga b. Sel juhul saame vormi konstruktsiooni:

Just seda konstruktsiooni me oma võrrandis paremal oleva märgi järgi jälgime. Asendame selle konstruktsiooni log a b-ga, saame:

Teisisõnu, võrreldes algse ülesandega oleme argumendi ja logaritmi aluse vahetanud. Selle asemel pidime murdosa ümber pöörama.

Tuletame meelde, et mis tahes kraadi saab baasist välja võtta vastavalt järgmisele reeglile:

Teisisõnu, koefitsient k, mis on aluse aste, võetakse välja pööratud murdena. Võtame selle välja pöördmurruna:

Murdutegurit ette jätta ei saa, sest sel juhul ei saa me seda kirjet kanoonilise vormina esitada (kanoonilises vormis pole ju teise logaritmi ees lisategurit). Seetõttu paneme argumendis astmeks murdosa 1/4:

Nüüd võrdsustame argumendid, mille alused on samad (ja meil on tegelikult samad alused), ja kirjutame:

x + 5 = 1

x = −4

See on kõik. Saime vastuse esimesele logaritmilisele võrrandile. Pöörake tähelepanu: algülesandes esineb muutuja x ainult ühes logis ja see on selle argumendis. Seetõttu pole domeeni vaja kontrollida ja meie arv x = −4 on tõepoolest vastus.

Liigume nüüd teise väljendi juurde:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

Siin peame lisaks tavapärastele logaritmidele töötama ka lg f (x)-ga. Kuidas sellist võrrandit lahendada? Ettevalmistumata õpilasele võib tunduda, et see on mingi tina, aga tegelikult on kõik elementaarselt lahendatud.

Vaadake tähelepanelikult terminit lg 2 log 2 7. Mida selle kohta öelda? Logi ja lg alused ja argumendid on samad ning see peaks andma vihjeid. Meenutagem veel kord, kuidas logaritmi märgi alt astmeid välja võetakse:

log a b n = n log a b

Teisisõnu, see, mis oli argumendis arvu b võimsus, muutub logi enda ees teguriks. Rakendame seda valemit avaldisele lg 2 log 2 7. Ärge kartke lg 2 - see on kõige levinum väljend. Saate selle ümber kirjutada järgmiselt:

Tema jaoks kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad mis tahes muu logaritmi puhul. Eelkõige saab argumendi jõusse lisada ees oleva teguri. Kirjutame:

Väga sageli õpilased punkti tühjaks seda toimingut ei näe, sest ühte palki pole hea teise sildi all sisestada. Tegelikult pole selles midagi kriminaalset. Lisaks saame valemi, mida on lihtne arvutada, kui mäletate olulist reeglit:

Seda valemit võib pidada nii definitsiooniks kui ka selle üheks omaduseks. Igal juhul, kui teisendate logaritmilise võrrandi, peaksite seda valemit teadma samamoodi nagu mis tahes arvu esitamist logaritmi kujul.

Me pöördume tagasi oma ülesande juurde. Kirjutame selle ümber, võttes arvesse asjaolu, et võrdusmärgist paremal olev esimene liige võrdub lihtsalt lg 7-ga. Meil on:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Liigutame lg 7 vasakule, saame:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Lahutame vasakul olevad avaldised, kuna neil on sama alus:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Vaatame nüüd saadud võrrandit lähemalt. See on praktiliselt kanooniline vorm, kuid paremal on tegur −3. Paneme selle õigesse lg-argumendisse:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, seega kriipsutame lg märgid läbi ja võrdsustame argumendid:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

See on kõik! Oleme lahendanud teise logaritmilise võrrandi. Sel juhul pole täiendavaid kontrolle vaja, sest algülesandes esines x ainult ühes argumendis.

Lubage mul korrata selle õppetunni põhipunktid.

Peamine valem, mida uuritakse kõigis selle lehe tundides, mis on pühendatud logaritmiliste võrrandite lahendamisele, on kanooniline vorm. Ja ärge laske end heidutada sellest, et enamikus kooliõpikutes õpetatakse sedalaadi probleeme erinevalt lahendama. See tööriist töötab väga tõhusalt ja võimaldab teil lahendada palju laiemat klassi ülesandeid kui kõige lihtsamad, mida me tunni alguses uurisime.

Lisaks on logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasulik teada põhiomadusi. Nimelt:

Ühele alusele liikumise valem ja erijuhtum, kui me logi ümber pöörame (see oli meile esimeses ülesandes väga kasulik);
Valem võimsuste sisse- ja väljavõtmiseks logaritmi märgi alt. Siin jäävad paljud õpilased jänni ega näe täpipealt, et väljavõetud ja sisse toodud võimsus võib ise sisaldada log f (x). Selles pole midagi halba. Saame tutvustada ühte palki teise märgi järgi ja samal ajal oluliselt lihtsustada ülesande lahendamist, mida me ka teisel juhul jälgime.

Kokkuvõtteks tahaksin lisada, et igal juhul ei ole vaja ulatust kontrollida, sest igal pool on muutuja x ainult ühes logimärgis ja on samal ajal selle argumendis. Selle tulemusena täidetakse kõik domeeni nõuded automaatselt.

Probleemid muutuva baasiga

Täna käsitleme logaritmilisi võrrandeid, mis paljude õpilaste jaoks tunduvad ebastandardsed, kui mitte täiesti lahendamatud. Me räägime avaldistest, mis põhinevad mitte numbritel, vaid muutujatel ja isegi funktsioonidel. Sellised konstruktsioonid lahendame oma standardtehnikas, nimelt kanoonilise vormi kaudu.

Alustuseks tuletagem meelde, kuidas lahendatakse lihtsamaid ülesandeid, mis põhinevad tavalistel numbritel. Niisiis, nimetatakse lihtsaimat konstruktsiooni

log a f(x) = b

Selliste probleemide lahendamiseks saame kasutada järgmist valemit:

b = log a a b

Kirjutame oma algse avaldise ümber ja saame:

log a f(x) = log a a b

Seejärel võrdsustame argumendid, st kirjutame:

f(x) = a b

Seega vabaneme logimärgist ja lahendame tavapärase probleemi. Sel juhul on lahenduses saadud juured algse logaritmilise võrrandi juured. Lisaks nimetatakse kanooniliseks vormiks kirjet, kui nii vasak kui ka parem on samal logaritmil ja sama alusega. Just sellele rekordile püüame vähendada tänaseid ehitusi. Nii et lähme.

Esimene ülesanne:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Asendage 1 log x − 2 (x − 2) 1-ga. See aste, mida argumendis jälgime, on tegelikult arv b , mis asus võrdusmärgist paremal. Nii et kirjutame oma väljendi ümber. Saame:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mida me näeme? Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, nii et saame argumendid ohutult võrdsustada. Saame:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Kuid lahendus ei lõpe sellega, sest see võrrand ei ole samaväärne algse võrrandiga. Saadud konstruktsioon koosneb ju funktsioonidest, mis on defineeritud tervel arvureal ning meie algsed logaritmid pole defineeritud igal pool ja mitte alati.

Seetõttu peame määramisvaldkonna eraldi kirja panema. Ärgem olgem targemad ja pange kõigepealt kirja kõik nõuded:

Esiteks peab iga logaritmi argument olema suurem kui 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Teiseks peab alus olema mitte ainult suurem kui 0, vaid ka erinev 1-st:

x − 2 ≠ 1

Selle tulemusena saame süsteemi:

Kuid ärge kartke: logaritmiliste võrrandite töötlemisel saab sellist süsteemi oluliselt lihtsustada.

Otsustage ise: ühelt poolt nõutakse meilt, et ruutfunktsioon oleks suurem kui null, ja teisest küljest võrdsustatakse see ruutfunktsioon mingi lineaaravaldisega, mis on samuti nõutav, et see oleks suurem kui null.

Sel juhul, kui nõuame, et x − 2 > 0, siis on automaatselt täidetud nõue 2x 2 − 13x + 18 > 0. Seetõttu võib ruutfunktsiooni sisaldava võrratuse julgelt läbi kriipsutada. Seega väheneb meie süsteemis sisalduvate avaldiste arv kolmele.

Muidugi võiks sama hästi ka lineaarse ebavõrdsuse maha kriipsutada, st maha kriipsutada x - 2 > 0 ja nõuda, et 2x 2 - 13x + 18 > 0. Kuid peate tunnistama, et kõige lihtsama lineaarvõrratuse lahendamine on palju kiirem ja lihtsam. kui ruutkeskmine, isegi kui kogu selle süsteemi lahendamise tulemusena saame samad juured.

Üldiselt proovige arvutusi igal võimalusel optimeerida. Ja logaritmiliste võrrandite puhul kriipsutage läbi kõige raskemad võrratused.

Kirjutame oma süsteemi ümber:

Siin on selline kolme väljendi süsteem, millest kaks oleme tegelikult juba välja mõelnud. Kirjutame ruutvõrrandi eraldi välja ja lahendame selle:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

Meie ees on taandatud ruudukujuline trinoom ja seetõttu saame kasutada Vieta valemeid. Saame:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nüüd, tagasi meie süsteemi juurde, leiame, et x = 2 meile ei sobi, sest meilt nõutakse, et x oleks rangelt suurem kui 2.

Kuid x \u003d 5 sobib meile üsna hästi: arv 5 on suurem kui 2 ja samal ajal ei ole 5 võrdne 3-ga. Seetõttu on selle süsteemi ainus lahendus x \u003d 5.

Kõik, ülesanne on lahendatud, sealhulgas ODZ-d arvesse võttes. Liigume edasi teise võrrandi juurde. Siin ootame huvitavamaid ja sisukamaid arvutusi:

Esimene samm: nagu ka eelmisel korral, viime kogu selle äri kanoonilisse vormi. Selleks saame kirjutada numbri 9 järgmiselt:

Juurega alust ei saa puudutada, kuid argumenti on parem teisendada. Liigume ratsionaalse astendajaga juurest astmele. Kirjutame:

Lubage mul mitte kogu meie suurt logaritmilist võrrandit ümber kirjutada, vaid võrdsustada kohe argumendid:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Enne meid on taas taandatud ruuttrinoom, kasutame Vieta valemeid ja kirjutame:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Niisiis, saime juured, kuid keegi ei garanteerinud meile, et need sobiksid algse logaritmilise võrrandiga. Logimärgid seavad ju lisapiirangud (siinkohal peaksime süsteemi üles kirjutama, aga kogu konstruktsiooni kohmakuse tõttu otsustasin defineerimispiirkonna eraldi välja arvutada).

Kõigepealt pidage meeles, et argumendid peavad olema suuremad kui 0, nimelt:

Need on määratlusvaldkonna nõuded.

Märgime kohe, et kuna me võrdsustame süsteemi kaks esimest avaldist üksteisega, võime neist ühe läbi kriipsutada. Tõmmake esimene läbi, sest see näeb välja ähvardavam kui teine.

Lisaks pange tähele, et teise ja kolmanda võrratuse lahendid on samad hulgad (mõne arvu kuup on suurem kui null, kui see arv ise on suurem kui null; sarnaselt kolmanda astme juurega - need võrratused on täiesti sarnased, nii et ühe neist võime maha kriipsutada).

Kuid kolmanda ebavõrdsusega see ei tööta. Vabaneme vasakpoolsest radikaali märgist, mille jaoks tõstame mõlemad osad kuubikuks. Saame:

Seega saame järgmised nõuded:

−2 ≠ x > −3

Milline meie juurtest: x 1 = -3 või x 2 = -1 vastab nendele nõuetele? Ilmselgelt ainult x = −1, sest x = −3 ei rahulda esimest võrratust (kuna meie ebavõrdsus on range). Kokkuvõttes, naastes meie probleemi juurde, saame ühe juure: x = −1. See on kõik, probleem lahendatud.

Veelkord selle ülesande põhipunktid:

Rakendage ja lahendage kanoonilise vormi abil logaritmilisi võrrandeid. Õpilased, kes teevad sellise kirje ja ei lähe algülesande juurest otse konstruktsiooni juurde nagu log a f ( x ) = b , teevad palju vähem vigu kui need, kes kuhugi kiirustavad, jättes arvutuste vaheetapid vahele;
Niipea, kui logaritmis ilmub muutuv alus, lakkab probleem olemast kõige lihtsam. Seetõttu on selle lahendamisel vaja arvestada määratluspiirkonda: argumendid peavad olema suuremad kui null ja alused ei tohi olla mitte ainult suuremad kui 0, vaid ka ei tohi olla võrdsed 1-ga.

Viimaseid nõudeid saab lõplikele vastustele esitada erineval viisil. Näiteks on võimalik lahendada terve süsteem, mis sisaldab kõiki domeeninõudeid. Teisest küljest saate esmalt lahendada probleemi enda ja seejärel meeles pidada definitsioonivaldkonda, töötada see süsteemi kujul eraldi välja ja rakendada saadud juurtele.

Milline viis konkreetse logaritmilise võrrandi lahendamisel valida, on teie otsustada. Igal juhul on vastus sama.

põhiomadused.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

samadel alustel

log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on 2,7 ja kaks korda Lev Tolstoi sünniaasta.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Võtke avaldiste logaritm

Näide 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Arvutame omaduste 3,5 järgi

4. kus .

Näide 2 Leia x kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Pange tähele: võtmepunkt siin on - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad arvutada logaritmilist avaldist isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgida ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmide valemid. Logaritmid on lahenduste näited.

Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui paneme c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii:

Tõepoolest, mis juhtub, kui arvu b tõstetakse sellisel määral, et selle astme arv b annab arvu a? Täpselt nii: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis välja ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi pole kursis, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne 🙂

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad nad probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla mis tahes, kuid kui argument on üks, on logaritm null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

Arvu b logaritm alusele a tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab sellise astme x () leidmist, mille korral võrdsus on tõene

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna nende põhjal lahendatakse peaaegu kõik ülesanded ja näited logaritmide põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide (3.4) summa ja erinevuse valemite arvutamisel kohtab üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kahekordne.
Kümne baaslogaritmi nimetatakse tavaliselt kümne baaslogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x).

Plaadilt on näha, et põhitõed pole protokollis kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on eksponent (tähistatakse ln(x)).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on 2,7 ja kaks korda Lev Tolstoi sünniaasta. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline kahe aluse logaritm on

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse sõltuvuse järgi

Ülaltoodud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali assimileerimiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekavast ja ülikoolidest.

Logaritmide näited

Võtke avaldiste logaritm

Näide 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Arvutame omaduste 3,5 järgi

2.
Logaritmide erinevusomaduse järgi on meil

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. kus .

Näiliselt keeruline avaldis, mis kasutab reegleid, on vormile lihtsustatud

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2 Leia x kui

Lahendus. Arvutamiseks kasutame omadusi 5 ja 13 kuni viimase tähtajani

Asendage protokollis ja leinake

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtke muutuja logaritm, et kirjutada logaritm läbi liikmete summa

See on alles logaritmide ja nende omadustega tutvumise algus. Harjuta arvutusi, rikasta oma praktilisi oskusi – peagi läheb sul omandatud teadmisi vaja logaritmvõrrandite lahendamiseks. Olles uurinud selliste võrrandite lahendamise põhimeetodeid, laiendame teie teadmisi veel ühe sama olulise teema jaoks - logaritmilised ebavõrdsused ...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Need valemid aitavad arvutada logaritmilist avaldist isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui paneme c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii:

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis välja ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi pole kursis, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne 🙂

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla mis tahes, kuid kui argument on üks, on logaritm null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.