Ellipsi parameetriline võrrand. Teist järku kõverad. Ellips
11.1. Põhimõisted
Vaatleme sirgeid, mis on määratletud teise astme võrranditega hetkekoordinaatide suhtes
Võrrandi koefitsiendid on reaalarvud, kuid vähemalt üks arvudest A, B või C on nullist erinev. Selliseid jooni nimetatakse teist järku joonteks (kõverateks). Allpool tehakse kindlaks, et võrrand (11.1) defineerib tasapinnal ringi, ellipsi, hüperbooli või parabooli. Enne selle väite juurde asumist uurime loetletud kõverate omadusi.
11.2. Ring
Lihtsaim teist järku kõver on ring. Tuletame meelde, et ring raadiusega R, mille keskpunkt on punktis, on tasandi kõigi punktide M hulk, mis vastavad tingimusele . Olgu ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis punkti koordinaadid x 0, y 0 ja - suvaline punkt ringil (vt joonis 48).
Seejärel saame tingimusest võrrandi
(11.2)
Võrrandit (11.2) rahuldavad antud ringi mis tahes punkti koordinaadid ja ei rahulda ühegi punkti koordinaadid, mis ei asu ringil.
Nimetatakse võrrandit (11.2). ringi kanooniline võrrand
Eelkõige, milles ja , Saame võrrand ringi keskusega päritolu 
.
Ringvõrrand (11.2) saab pärast lihtsaid teisendusi kujul . Võrreldes seda võrrandit teist järku kõvera üldvõrrandiga (11.1), on lihtne märgata, et ringjoone võrrandi jaoks on täidetud kaks tingimust:
1) x 2 ja y 2 koefitsiendid on üksteisega võrdsed;
2) ei ole ühtegi liiget, mis sisaldab hetkekoordinaatide korrutist xy.
Vaatleme pöördprobleemi. Pannes väärtused ja võrrandisse (11.1), saame
Teisendame selle võrrandi:
(11.4)
Sellest järeldub, et võrrand (11.3) määrab tingimuse all ringi 
. Selle keskpunkt on punktis 
ja raadius
.
Kui 
, siis on võrrandil (11.3) vorm
.
See rahuldatakse ühe punkti koordinaatidega 
. Sel juhul öeldakse: "ringkond on muutunud punktiks" (null raadiusega).
Kui 
, siis võrrand (11.4) ja seega ka samaväärne võrrand (11.3) ei määratle ühtegi sirget, kuna võrrandi (11.4) parem pool on negatiivne ja vasak ei ole negatiivne (ütleme: "kujutletav ring").
11.3. Ellips
Kanooniline ellipsi võrrand
Ellips on tasandi kõigi punktide hulk, mille kauguste summa igast punktist selle tasandi kahe antud punktini, nn. trikid , on konstantne väärtus, mis on suurem kui fookuste vaheline kaugus.
Tähistame fookused tähega F 1 Ja F 2, nende vaheline kaugus on 2 c, ja kauguste summa ellipsi suvalisest punktist fookuseni - 2-s a(vt joonis 49). Definitsiooni järgi 2 a > 2c, st. a
> c.
Ellipsi võrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi nii, et fookused F 1 Ja F 2 asetsema teljel ja alguspunkt langes kokku segmendi keskkohaga F 1 F 2. Siis on fookustel järgmised koordinaadid: ja .
Laskma olema suvaline punkt ellipsi. Siis vastavalt ellipsi määratlus, , st.
See on sisuliselt ellipsi võrrand.
Teisendame võrrandi (11.5) rohkemaks lihtne vaade järgmisel viisil:
Sest a>Koos, See. Paneme
(11.6)
Siis võtab viimane võrrand kuju või
(11.7)
Võib tõestada, et võrrand (11.7) on võrdne algvõrrandiga. Seda nimetatakse kanooniline ellipsi võrrand .
Ellips on teist järku kõver.
Ellipsi kuju uurimine võrrandi abil
Määrame ellipsi kuju, kasutades selle kanoonilist võrrandit.
1. Võrrand (11.7) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes, seega kui punkt kuulub ellipsisse, siis kuuluvad sinna ka punktid ,,. Sellest järeldub, et ellips on sümmeetriline nii telgede ja kui ka punkti suhtes, mida nimetatakse ellipsi keskpunktiks.
2. Leidke ellipsi lõikepunktid koordinaattelgedega. Pannes , leiame kaks punkti ja , kus telg lõikub ellipsiga (vt joonis 50). Pannes võrrandisse (11.7) , leiame ellipsi lõikepunktid teljega: ja . Punktid A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 kutsutakse ellipsi tipud. Segmendid A 1 A 2 Ja B 1 B 2, samuti nende pikkused 2 a ja 2 b kutsutakse vastavalt suur- ja kõrvalteljed ellips. Numbrid a Ja b nimetatakse vastavalt suureks ja väikeseks telje võllid ellips.
3. Võrrandist (11.7) järeldub, et iga liige vasakul pool ei ületa ühte, s.o. ebavõrdsused ja või ja leiavad aset. Järelikult asuvad kõik ellipsi punktid sirgjoonte moodustatud ristküliku sees.
4. Võrrandis (11.7) on mittenegatiivsete liikmete summa ja võrdne ühega. Järelikult ühe liikme kasvades teine kahaneb, st kui suureneb, siis kahaneb ja vastupidi.
Ülaltoodust järeldub, et ellipsil on joonisel fig. 50 (ovaalne suletud kõver).
Lisateavet ellipsi kohta
Ellipsi kuju sõltub suhtest. Kui ellips muutub ringiks, saab ellipsi võrrand (11.7) kuju . Suhet kasutatakse sageli ellipsi kuju iseloomustamiseks. Poole fookuste ja ellipsi poolpeatelje vahelise kauguse suhet nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks ja o6o tähistatakse tähega ε (“epsilon”):
0-ga<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
See näitab, et mida väiksem on ellipsi ekstsentrilisus, seda vähem on ellips lame; kui seame ε = 0, siis muutub ellips ringiks.
Olgu M(x;y) ellipsi suvaline punkt fookustega F 1 ja F 2 (vt joonis 51). Lõikude F 1 M = r 1 ja F 2 M = r 2 pikkusi nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Ilmselgelt
Valemid peavad vastu
Otseliine nimetatakse
Teoreem 11.1. Kui on kaugus ellipsi suvalisest punktist mõne fookuseni, d on kaugus samast punktist sellele fookusele vastava suunajooneni, siis on suhe konstantne väärtus, mis on võrdne ellipsi ekstsentrilisusega:
Võrdsusest (11.6) järeldub, et . Kui, siis võrrand (11.7) defineerib ellipsi, mille suurtelg asub Oy teljel ja kõrvaltelg Ox-teljel (vt joonis 52). Sellise ellipsi fookused on punktides ja , kus 
.
11.4. Hüperbool
Kanooniline hüperbooli võrrand
Hüperbool on tasandi kõigi punktide hulk, nendest igaühest selle tasandi kahe etteantud punkti kauguste erinevuse moodul, nn. trikid , on konstantne väärtus, mis on väiksem kui fookuste vaheline kaugus.
Tähistame fookused tähega F 1 Ja F 2 nende vaheline kaugus on 2s ja kauguste erinevuse moodul hüperbooli igast punktist läbiva fookuse vahel 2a. A-prioor 2a < 2s, st. a < c.
Hüperboolvõrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi nii, et fookused F 1 Ja F 2 asusid teljel ja alguspunkt langes kokku segmendi keskkohaga F 1 F 2(vt joonis 53). Siis saavad fookused koordinaadid ja
Laskma olema suvaline punkt hüperbool. Siis vastavalt hüperbooli definitsioonile 
või , st pärast lihtsustusi, nagu tehti ellipsi võrrandi tuletamisel, saame
kanooniline hüperbooli võrrand
(11.9)
(11.10)
Hüperbool on teist järku rida.
Hüperbooli kuju uurimine võrrandi abil
Määrakem hüperbooli kuju, kasutades selle kakoonilist võrrandit.
1. Võrrand (11.9) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes. Järelikult on hüperbool sümmeetriline telgede ja , samuti punkti suhtes, mis on nn. hüperbooli keskpunkt.
2. Leidke hüperbooli ja koordinaattelgede lõikepunktid. Pannes võrrandisse (11.9), leiame kaks hüperbooli ja telje lõikepunkti: ja. Pannes sisse (11.9), saame , mis ei saa olla. Järelikult ei ristu hüperbool Oy teljega.
Punkte nimetatakse tipud hüperboolid ja segment
tegelik telg , joonelõik - tõeline pooltelg hüperbool.
Nimetatakse lõiku, mis ühendab punkte kujuteldav telg , number b - kujuteldav pooltelg . Ristkülik külgedega 2a Ja 2b helistas hüperbooli põhiristkülik .
3. Võrrandist (11.9) järeldub, et minuend ei ole väiksem kui üks, st et või . See tähendab, et hüperbooli punktid asuvad sirgest paremal (hüperbooli parem haru) ja joonest vasakul (hüperbooli vasak haru).
4. Hüperbooli võrrandist (11.9) on selge, et kui see suureneb, siis see suureneb. See tuleneb asjaolust, et erinevus säilitab konstantse väärtuse, mis on võrdne ühega.
Eelnevast järeldub, et hüperbool on joonisel 54 näidatud kujul (kahest piiramatust harust koosnev kõver).
Hüperbooli asümptoodid
Sirget L nimetatakse asümptoodiks 
piiramata kõvera K, kui kaugus d kõvera K punktist M selle sirgjooneni kipub olema null, kui punkti M kaugus piki kõverat K lähtepunktist on piiramatu. Joonis 55 illustreerib asümptoodi kontseptsiooni: sirgjoon L on kõvera K asümptoot.
Näitame, et hüperboolil on kaks asümptooti:
(11.11)
Kuna jooned (11.11) ja hüperbool (11.9) on sümmeetrilised koordinaatteljed, siis piisab, kui arvestada ainult neid näidatud joonte punkte, mis asuvad esimeses kvartalis.
Võtame sirge punkti N, millel on sama abstsiss x kui hüperbooli punktil 
(vt joonis 56) ja leidke vahe ΜΝ sirge ja hüperbooli haru ordinaatide vahel:
Nagu näete, suureneb x suurenedes murdosa nimetaja; lugeja on konstantne väärtus. Seetõttu lõigu pikkus 
ΜΝ kipub nulli. Kuna MΝ on suurem kui kaugus d punktist M sirgeni, siis d kipub olema null. Seega on jooned hüperbooli (11.9) asümptoodid.
Hüperbooli (11.9) koostamisel on soovitav esmalt konstrueerida hüperbooli põhiristkülik (vt joonis 57), tõmmata selle ristküliku vastandtippe läbivad sirgjooned - hüperbooli asümptoodid ning märkida ära tipud ja , hüperboolist.
Võrdkülgse hüperbooli võrrand.
mille asümptootideks on koordinaatteljed
Hüperbooli (11.9) nimetatakse võrdkülgseks, kui selle poolteljed on võrdsed (). Selle kanooniline võrrand
(11.12)
Võrdkülgse hüperbooli asümptootidel on võrrandid ja seetõttu on need koordinaatnurkade poolitajad.
Vaatleme selle hüperbooli võrrandit uues koordinaatsüsteemis (vt joonis 58), mis on saadud vanast koordinaatide telgede nurga võrra pööramisel. Koordinaatide telgede pööramiseks kasutame valemeid:
Asendame x ja y väärtused võrrandisse (11.12):
Võrdkülgse hüperbooli võrrand, mille jaoks Ox ja Oy teljed on asümptoodid, on kujul .
Lisateave hüperbooli kohta
Ekstsentrilisus hüperbool (11.9) on fookuste vahelise kauguse ja hüperbooli tegeliku telje väärtuse suhe, mida tähistatakse ε-ga:
Kuna hüperbooli korral on hüperbooli ekstsentrilisus suurem kui üks: . Ekstsentrilisus iseloomustab hüperbooli kuju. Tõepoolest, võrdsusest (11.10) järeldub, et s.o. Ja 
.
Sellest on näha, et mida väiksem on hüperbooli ekstsentrilisus, seda väiksem on tema pooltelgede suhe ja seetõttu piklik on selle põhiristkülik.
Võrdkülgse hüperbooli ekstsentrilisus on . Tõesti,
Fookusraadiused 
Ja 
parempoolse haru punktide puhul on hüperboolide kuju ja , vasaku haru jaoks - 
Ja 
.
Otsejooni nimetatakse hüperbooli suunadeks. Kuna hüperbooli puhul ε > 1, siis . See tähendab, et parempoolne suund asub hüperbooli keskpunkti ja parema tipu vahel, vasak - keskpunkti ja vasaku tipu vahel.
Hüperbooli suundudel on sama omadus kui ellipsi suundtel.
Võrrandiga defineeritud kõver on samuti hüperbool, mille reaaltelg 2b asub Oy teljel ja imaginaartelg 2 a- härja teljel. Joonisel 59 on see näidatud punktiirjoonena.
On ilmne, et hüperboolidel on ühised asümptoodid. Selliseid hüperboole nimetatakse konjugaatideks.
11.5. Parabool
Kanooniline parabooli võrrand
Parabool on kogum tasapinna kõigist punktidest, millest igaüks on antud punktist võrdsel kaugusel, mida nimetatakse fookuspunktiks, ja antud sirgest, mida nimetatakse otsejooneks. Kaugust fookusest F suunani nimetatakse parabooli parameetriks ja seda tähistatakse p-ga (p > 0).
Parabooli võrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi Oxy nii, et Ox-telg läbib fookuse F risti otsesuunaga suunalt F-i ja koordinaatide alguspunkt O asub keskel fookus ja suund (vt joonis 60). Valitud süsteemis on fookuses F koordinaadid ja suundvõrrandil on vorm või .
1. Võrrandis (11.13) esineb muutuja y paarisastmes, mis tähendab, et parabool on sümmeetriline Ox-telje suhtes; Härg telg on parabooli sümmeetriatelg.
2. Kuna ρ > 0, siis (11.13) järeldub, et . Järelikult asub parabool Oy teljest paremal.
3. Kui meil on y = 0. Seetõttu läbib parabool alguspunkti.
4. Kui x suureneb lõputult, suureneb ka moodul y lõputult. Parabooli kuju (kuju) on näidatud joonisel 61. Punkti O(0; 0) nimetatakse parabooli tipuks, lõiku FM = r nimetatakse punkti M fookusraadiuseks.
Võrrandid , , ( p>0) määratlevad ka paraboolid, need on näidatud joonisel 62
Ei ole raske näidata, et ruuttrinoomi graafik, kus , B ja C on mis tahes reaalarvud, on parabool selle ülaltoodud definitsiooni tähenduses.
11.6. Teist järku ridade üldvõrrand
Teist järku kõverate võrrandid, mille sümmeetriateljed on paralleelsed koordinaattelgedega
Leiame esmalt ellipsi võrrandi, mille keskpunkt on punktis, mille sümmeetriateljed on paralleelsed koordinaattelgedega Ox ja Oy ning poolteljed on vastavalt võrdsed a Ja b. Asetame ellipsi O 1 keskmesse uue koordinaatsüsteemi alguse, mille teljed ja poolteljed a Ja b(vt joonis 64):
Lõpuks on joonisel 65 näidatud paraboolidel vastavad võrrandid.
Võrrand
Ellipsi, hüperbooli, parabooli ja ringi võrrandi pärast teisendusi (avage sulud, viige võrrandi kõik liikmed ühele poole, viige sarnased terminid, sisestage koefitsientide jaoks uued tähistused) saab kirjutada ühe võrrandi abil. vormi
kus koefitsiendid A ja C ei ole samal ajal võrdsed nulliga.
Tekib küsimus: kas iga võrrand kujult (11.14) määrab ühe teist järku kõveratest (ring, ellips, hüperbool, parabool)? Vastuse annab järgmine teoreem.
Teoreem 11.2. Võrrand (11.14) defineerib alati: kas ringi (A = C puhul) või ellipsi (A C > 0 puhul) või hüperbooli (A C puhul< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Üldine teist järku võrrand
Nüüd kaalume üldvõrrand teine aste kahe tundmatuga:
See erineb võrrandist (11.14) selle poolest, et on olemas liige koordinaatide korrutisega (B¹ 0). Koordinaatide telgede pööramisel nurga a võrra on võimalik seda võrrandit teisendada nii, et liige koordinaatide korrutisega puudub.
Telje pööramise valemite kasutamine
Avaldame vanad koordinaadid uutega:
Valime nurga a nii, et x" · y" koefitsient muutub nulliks, st et võrdsus oleks
Seega, kui telgi pöörata nurga a võrra, mis vastab tingimusele (11.17), taandatakse võrrand (11.15) võrrandiks (11.14).
Järeldus: üldine teist järku võrrand (11.15) defineerib tasapinnal (välja arvatud degeneratsiooni ja lagunemise juhud) järgmised kõverad: ring, ellips, hüperbool, parabool.
Märkus. Kui A = C, siis võrrand (11.17) muutub mõttetuks. Sel juhul cos2α = 0 (vt (11.16)), siis 2α = 90°, st α = 45°. Seega, kui A = C, tuleks koordinaatsüsteemi pöörata 45°.
Loengud algebrast ja geomeetriast. 1. semester.
Loeng 15. Ellips.
Peatükk 15. Ellips.
punkt 1. Põhimääratlused.
Definitsioon. Ellips on tasapinna GMT, tasandi kahe fikseeritud punkti kauguste summa, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus.
Definitsioon. Kaugust tasapinna suvalisest punktist M ellipsi fookuseni nimetatakse punkti M fookusraadiuseks.
Nimetused: 
- ellipsi kolded, 
- punkti M fookusraadiused.
Ellipsi definitsiooni järgi on punkt M ellipsi punkt siis ja ainult siis 
- püsiv väärtus. Seda konstanti tähistatakse tavaliselt kui 2a:
.
(1)
Märka seda 
.
Ellipsi definitsiooni järgi on selle fookused fikseeritud punktid, seega on ka nendevaheline kaugus antud ellipsi jaoks konstantne väärtus.
Definitsioon. Ellipsi fookuste vahelist kaugust nimetatakse fookuskaugus.
Määramine: 
.
Kolmnurgast 
järgib seda 
, st.
.
Tähistame b-ga arvu, mis on võrdne 
, st.
.
(2)
Definitsioon. Suhtumine
(3)
nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks.
Tutvustame sellel tasapinnal koordinaatide süsteemi, mida ellipsi puhul nimetame kanooniliseks.
Definitsioon. Telge, millel asuvad ellipsi fookused, nimetatakse fookusteljeks.
Koostame ellipsi jaoks kanoonilise PDSC, vt joonis 2.
Valime abstsissteljeks fookustelje ja joonistame ordinaattelje läbi segmendi keskosa 
fookusteljega risti.
Siis on fookustel koordinaadid 
,
.
punkt 2. Ellipsi kanooniline võrrand.
Teoreem. Ellipsi kanoonilises koordinaatsüsteemis on ellipsi võrrand järgmine:
.
(4)
Tõestus. Tõestust teostame kahes etapis. Esimeses etapis tõestame, et mis tahes ellipsil asuva punkti koordinaadid vastavad võrrandile (4). Teises etapis tõestame, et iga võrrandi (4) lahend annab ellipsil asuva punkti koordinaadid. Siit järeldub, et võrrandit (4) rahuldavad need ja ainult need koordinaattasandi punktid, mis asuvad ellipsil. Sellest ja kõvera võrrandi definitsioonist järeldub, et võrrand (4) on ellipsi võrrand.
1) Olgu punkt M(x, y) ellipsi punkt, s.o. selle fookusraadiuste summa on 2a:
.
Kasutame kahe punkti vahelise kauguse valemit koordinaattasand ja kasutage antud punkti M fookusraadiuste leidmiseks seda valemit:
,
, kust me saame:
Liigutame ühe juure võrdsuse paremale poole ja paneme selle ruutu:
Vähendades saame:
Esitame sarnased, vähendame 4 võrra ja eemaldame radikaali:
.
Ruudukujundamine
Avage klambrid ja lühendage 
:
kust me saame:
Võrdsust (2) kasutades saame:
.
Viimase võrdsuse jagamine 
, saame võrdsuse (4) jne.
2) Olgu nüüd, et arvupaar (x, y) täidab võrrandi (4) ja M(x, y) on vastav punkt koordinaattasandil Oxy.
Seejärel punktist (4) järeldub:
.
Asendame selle võrdsuse punkti M fookusraadiuste avaldisega:
.
Siin kasutasime võrdsust (2) ja (3).
Seega 
. Samamoodi 
.
Nüüd pange tähele, et võrdsusest (4) järeldub, et
või 
jne. 
, siis järgneb ebavõrdsus:
.
Siit järeldub omakorda, et
või 
Ja
,
.
(5)
Võrdsustest (5) järeldub, et 
, st. punkt M(x, y) on ellipsi punkt jne.
Teoreem on tõestatud.
Definitsioon. Võrrandit (4) nimetatakse ellipsi kanooniliseks võrrandiks.
Definitsioon. Ellipsi kanoonilisi koordinaattelgi nimetatakse ellipsi põhitelgedeks.
Definitsioon. Ellipsi kanoonilise koordinaatsüsteemi alguspunkti nimetatakse ellipsi keskpunktiks.
punkt 3. Ellipsi omadused.
Teoreem. (Ellipsi omadused.)
1. Ellipsi kanoonilises koordinaatsüsteemis kõik
ellipsi punktid on ristkülikus
,
.
2. Punktid asuvad peal
3. Ellips on kõver, mis on sümmeetriline
nende põhiteljed.
4. Ellipsi keskpunkt on selle sümmeetriakese.
Tõestus. 1, 2) Tuleneb kohe ellipsi kanoonilisest võrrandist.
3, 4) Olgu M(x, y) ellipsi suvaline punkt. Siis vastavad selle koordinaadid võrrandile (4). Kuid siis täidavad ka punktide koordinaadid võrrandit (4) ja on seetõttu ellipsi punktid, millest tulenevad teoreemi väited.
Teoreem on tõestatud.
Definitsioon. Suurust 2a nimetatakse ellipsi peateljeks, suurust a ellipsi poolsuurteljeks.
Definitsioon. Suurust 2b nimetatakse ellipsi väiketeljeks, suurust b ellipsi poolteljeks.
Definitsioon. Ellipsi ja tema põhitelgede lõikepunkte nimetatakse ellipsi tippudeks.
Kommenteeri. Ellipsi saab konstrueerida järgmiselt. Lennukis lööme “naela koldedesse” ja kinnitame neile niidipikkuse 
. Seejärel võtame pliiatsi ja kasutame seda niidi venitamiseks. Seejärel liigutame pliiatsi juhet mööda tasapinda, veendudes, et niit on pingul.
Ekstsentrilisuse määratlusest järeldub, et
Fikseerime arvu a ja suuname arvu c nulli. Siis kl 
,
Ja 
. Piiris, mille me saame
või 
– ringi võrrand.
Nüüd suuname 
. Siis 
,
ja me näeme, et piirjoones degenereerub ellips sirgjooneliseks lõiguks 
joonise 3 tähistuses.
punkt 4. Ellipsi parameetrilised võrrandid.
Teoreem. Lase 
- suvalised reaalarvud. Siis võrrandisüsteem
,
(6)
on ellipsi parameetrilised võrrandid ellipsi kanoonilises koordinaatsüsteemis.
Tõestus. Piisab, kui tõestada, et võrrandisüsteem (6) on samaväärne võrrandiga (4), s.t. neil on samad lahendused.
1) Olgu (x, y) süsteemi (6) suvaline lahend. Jagage esimene võrrand a-ga, teine b-ga, ruudustage mõlemad võrrandid ja lisage:
.
Need. süsteemi (6) iga lahendus (x, y) rahuldab võrrandit (4).
2) Ja vastupidi, olgu paar (x, y) võrrandi (4) lahend, s.t.
.
Sellest võrdsusest järeldub, et koordinaatidega punkt 
asub ühikulise raadiusega ringil, mille keskpunkt on alguspunktis, s.o. on trigonomeetrilise ringi punkt, millele vastab teatud nurk 
:
Siinuse ja koosinuse definitsioonist järeldub kohe, et
,
, Kus 
, millest järeldub, et paar (x, y) on lahendus süsteemile (6) jne.
Teoreem on tõestatud.
Kommenteeri. Ellipsi võib saada raadiusega a ringi ühtlase "kokkusurumise" tulemusel abstsisstelje suunas.
Lase 
– ringi võrrand, mille keskpunkt on lähtepunktis. Ringi "kokkusurumine" abstsissteljele pole midagi muud kui koordinaattasandi teisendamine, mis viiakse läbi vastavalt järgmisele reeglile. Iga punkti M(x, y) jaoks seotakse punkt samal tasapinnal 
, Kus 
,
- "kompressioonikoefitsient".
Selle teisendusega "üleminek" ringil olev iga punkt teise tasandi punkti, millel on sama abstsiss, kuid väiksem ordinaat. Avaldame punkti vana ordinaati läbi uue:
ja asendage võrrandis ringid:
.
Siit saame:
.
(7)
Siit järeldub, et kui enne “kokkusurumise” teisendust asetseb ringjoonel punkt M(x, y), s.o. selle koordinaadid rahuldasid ringi võrrandit, siis pärast "tihendamise" teisendust "teisendus" see punkt punktiks 
, mille koordinaadid rahuldavad ellipsi võrrandit (7). Kui tahame saada ellipsi võrrandit poolväikse teljegab, siis peame võtma tihendusteguri
.
punkt 5. Ellipsi puutuja.
Teoreem. Lase 
– ellipsi suvaline punkt
.
Seejärel selle ellipsi puutuja võrrand punktis 
on kujul:
.
(8)
Tõestus. Piisab, kui arvestada juhtumiga, kui puutepunkt asub koordinaattasandi esimeses või teises veerandis: 
. Ellipsi võrrand ülemisel pooltasandil on järgmine:
.
(9)
Kasutame funktsiooni graafiku puutujavõrrandit 
punktis 
:
Kus 
– antud funktsiooni tuletise väärtus punktis 
. Esimese kvartali ellipsit võib vaadelda funktsiooni (8) graafikuna. Leiame selle tuletise ja selle väärtuse puutepunktis:
,
. Siin kasutasime ära asjaolu, et puutujapunkt 
on ellipsi punkt ja seetõttu rahuldavad selle koordinaadid ellipsi võrrandit (9), s.t.
.
Asendame tuletise leitud väärtuse puutuja võrrandiga (10):
,
kust me saame:
See tähendab:
Jagame selle võrdsuse arvuga 
:
.
Jääb üle märkida, et 
, sest punkt 
kuulub ellipsi alla ja selle koordinaadid vastavad selle võrrandile.
Puutuja võrrand (8) tõestatakse sarnasel viisil puutepunktis, mis asub koordinaattasandi kolmandas või neljandas veerandis.
Ja lõpuks saame hõlpsasti kontrollida, et võrrand (8) annab punktides puutuja võrrandi 
,
:
või 
, Ja 
või 
.
Teoreem on tõestatud.
punkt 6. Ellipsi peegelomadus.
Teoreem. Ellipsi puutujal on puutepunkti fookusraadiusega võrdsed nurgad.
Lase 
- kontaktpunkt, 
,
– puutepunkti fookusraadiused, P ja Q – fookuste projektsioonid punktis ellipsile tõmmatud puutujale 
.
Teoreem väidab, et
.
(11)
Seda võrdsust võib tõlgendada kui fookusest vabanenud ellipsi valguskiire langemis- ja peegeldusnurkade võrdsust. Seda omadust nimetatakse ellipsi peegelomaduseks:
Ellipsi fookusest vabanev valguskiir läbib pärast peegeldumist ellipsi peeglist läbi teise ellipsi fookuse.
Teoreemi tõestus. Nurkade (11) võrdsuse tõestamiseks tõestame kolmnurkade sarnasust 
Ja 
, milles pooled 
Ja 
saab olema sarnane. Kuna kolmnurgad on täisnurksed, siis piisab võrdsuse tõestamisest
Ellips on punktide geomeetriline asukoht tasapinnal, mille kauguste summa igast punktist F_1 ja F_2 on konstantne väärtus (2a), mis on suurem kui nende antud punktide vaheline kaugus (2c) 3.36, a). See geomeetriline määratlus väljendab ellipsi fookusomadus.
Ellipsi fookusomadus
Punkte F_1 ja F_2 nimetatakse ellipsi fookusteks, nendevaheline kaugus 2c=F_1F_2 on fookuskaugus, lõigu F_1F_2 keskmine O on ellipsi keskpunkt, arv 2a on ellipsi peatelje pikkus. ellips (vastavalt on arv a ellipsi poolsuurtelg). Lõike F_1M ja F_2M, mis ühendavad ellipsi suvalist punkti M selle fookustega, nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Ellipsi kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse ellipsi kõõluks.
Suhet e=\frac(c)(a) nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Definitsioonist (2a>2c) järeldub, et 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Ellipsi geomeetriline määratlus, mis väljendab selle fookusomadust, on samaväärne selle analüütilise definitsiooniga - ellipsi kanoonilise võrrandiga antud joon:
Tõepoolest, tutvustame ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi (joonis 3.36c). Koordinaatsüsteemi alguspunktiks võtame ellipsi keskpunkti O; võtame abstsissteljeks fookusi läbiva sirge (fookustelg ehk ellipsi esimene telg) (positiivne suund sellel on punktist F_1 punkti F_2); võtame ordinaatteljeks sirge, mis on fookusteljega risti ja läbib ellipsi keskpunkti (ellipsi teist telge) (suund ordinaatteljel on valitud nii, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy on õige) .
Loome ellipsi jaoks võrrandi, kasutades selle geomeetrilist definitsiooni, mis väljendab fookuskaugust. Valitud koordinaatsüsteemis määrame fookuste koordinaadid F_1(-c,0),~F_2(c,0). Ellipsile kuuluva suvalise punkti M(x,y) jaoks on meil:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Kirjutades selle võrdsuse koordinaatide kujul, saame:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Liigume teise radikaali paremale poole, ruudustame võrrandi mõlemad pooled ja toome sarnased terminid:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\vasakparemnool ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Jagades 4-ga, paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\vasakparemnool~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Olles määranud b=\sqrt(a^2-c^2)>0, saame b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Jagades mõlemad pooled a^2b^2\ne0-ga, saame ellipsi kanoonilise võrrandi:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Seetõttu on valitud koordinaatsüsteem kanooniline.
Kui ellipsi fookused langevad kokku, siis on ellips ring (joon. 3.36,6), kuna a=b. Sel juhul on iga ristkülikukujuline koordinaatide süsteem, mille alguspunkt on punktis, kanooniline O\equiv F_1\equiv F_2, ja võrrand x^2+y^2=a^2 on võrrand ringist, mille keskpunkt on punktis O ja raadius on võrdne a-ga.
Arutledes sisse vastupidises järjekorras, saab näidata, et kõik punktid, mille koordinaadid vastavad võrrandile (3.49), ja ainult need, kuuluvad punktide geomeetrilisse lookusesse, mida nimetatakse ellipsiks. Teisisõnu, ellipsi analüütiline määratlus on samaväärne selle geomeetrilise määratlusega, mis väljendab ellipsi fookusomadust.
Ellipsi direktoriomadus
Ellipsi suunad on kaks sirget, mis kulgevad paralleelselt kanoonilise koordinaatsüsteemi ordinaatteljega ja asuvad sellest samal kaugusel \frac(a^2)(c). Kui ellips on ringikujuline, c=0 korral ei ole ühtegi suundi (võime eeldada, et suunad on lõpmatuses).
Ellips ekstsentrilisusega 0
Tegelikult on näiteks fookuse F_2 ja suuna d_2 jaoks (joon. 3.37,6) tingimus \frac(r_2)(\rho_2)=e saab kirjutada koordinaatide kujul:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Irratsionaalsusest vabanemine ja asendamine e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, jõuame kanoonilise ellipsi võrrandini (3.49). Sarnaseid arutlusi saab läbi viia fookuse F_1 ja režissööri puhul d_1\koolon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ellipsi võrrand polaarkoordinaatide süsteemis
Ellipsi võrrand polaarkoordinaatide süsteemis F_1r\varphi (joonis 3.37, c ja 3.37 (2)) on kujul
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kus p=\frac(b^2)(a) on ellipsi fookusparameeter.
Tegelikult valime polaarkoordinaatide süsteemi pooluseks ellipsi vasakpoolne fookus F_1 ja polaarteljeks kiir F_1F_2 (joonis 3.37, c). Siis suvalise punkti M(r,\varphi) jaoks on meil ellipsi geomeetrilise definitsiooni (fokaalomaduse) järgi r+MF_2=2a. Väljendame punktide M(r,\varphi) ja F_2(2c,0) vahelise kauguse (vt):
\begin(joondatud)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(joondatud)
Seetõttu on koordinaatide kujul ellipsi võrrand F_1M+F_2M=2a kujul
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Eraldame radikaali, ruudustage võrrandi mõlemad pooled, jagame 4-ga ja esitame sarnased terminid:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Väljendage polaarraadius r ja tehke asendus e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightnool \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Koefitsientide geomeetriline tähendus ellipsi võrrandis
Leiame ellipsi (vt joonis 3.37a) lõikepunktid koordinaattelgedega (ellipsi tipud). Asendades võrrandisse y=0, leiame ellipsi lõikepunktid abstsissteljega (fookusteljega): x=\pm a. Seetõttu on ellipsi sees oleva fookustelje segmendi pikkus võrdne 2a. Nagu eespool märgitud, nimetatakse seda segmenti ellipsi peateljeks ja arvu a on ellipsi poolsuurtelg. Asendades x=0, saame y=\pm b. Seetõttu on ellipsi sees oleva ellipsi teise telje segmendi pikkus võrdne 2b-ga. Seda segmenti nimetatakse ellipsi väiketeljeks ja arvu b on ellipsi pooltelg.
Tõesti, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ja võrdus b=a saadakse ainult juhul c=0, kui ellips on ringjoon. Suhtumine k=\frac(b)(a)\leqslant1 nimetatakse ellipsi tihendussuhteks.
Märkused 3.9
1. Sirged x=\pm a,~y=\pm b piiravad koordinaattasandil põhiristkülikut, mille sees on ellips (vt joon. 3.37, a).
2. Ellipsi saab defineerida kui punktide asukoht, mis saadakse ringi kokkusurumisel selle läbimõõduni.
Tõepoolest, olgu ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy ringjoone võrrand x^2+y^2=a^2. Kokkusurutuna x-teljele koefitsiendiga 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Asendades võrrandis ringid x=x" ja y=\frac(1)(k)y", saame punkti M(x,y) kujutise M"(x",y") koordinaatide võrrandi ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} kuna b=k\cdot a . See on ellipsi kanooniline võrrand. 3. Koordinaatide teljed (kanoonilise koordinaatsüsteemi) on ellipsi sümmeetriateljed (nimetatakse ellipsi põhitelgedeks) ja selle keskpunkt on sümmeetria keskpunkt. Tõepoolest, kui punkt M(x,y) kuulub ellipsi . siis samasse ellipsi kuuluvad ka punktid M"(x,-y) ja M""(-x,y), mis on sümmeetrilised punktiga M koordinaattelgede suhtes. 4. Ellipsi võrrandist polaarkoordinaatide süsteemis r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vt joon. 3.37, c), selgitatakse fookusparameetri geomeetrilist tähendust - see on pool ellipsi kõõlu pikkusest, mis läbib selle fookuse fookusteljega risti (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekstsentrilisus e iseloomustab ellipsi kuju, nimelt ellipsi ja ringi erinevust. Mida suurem e, seda piklikum on ellips ja mida lähemal e on nullile, seda lähemal on ellips ringile (joonis 3.38a). Tõepoolest, võttes arvesse, et e=\frac(c)(a) ja c^2=a^2-b^2 , saame e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} kus k on ellipsi tihendusaste, 0 6. Võrrand \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 aadressil a 7. Võrrand \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b määrab ellipsi, mille keskpunkt on punktis O"(x_0,y_0), mille teljed on paralleelsed koordinaattelgedega (joonis 3.38, c). See võrrand taandatakse paralleeltõlke (3.36) abil kanooniliseks. Kui a=b=R võrrand (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 kirjeldab raadiusega R ringi, mille keskpunkt on punktis O"(x_0,y_0) . Ellipsi parameetriline võrrand kanoonilises koordinaatsüsteemis on vorm \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Tõepoolest, asendades need avaldised võrrandiga (3.49), jõuame peamise trigonomeetrilise identiteedi juurde \cos^2t+\sin^2t=1. Näide 3.20. Joonistage ellips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanoonilises koordinaatsüsteemis Oxy. Leidke poolteljed, fookuskaugus, ekstsentrilisus, kuvasuhe, fookusparameeter ja suundvõrrandid. Lahendus. Võrreldes antud võrrandit kanoonilisega, määrame poolteljed: a=2 - ellipsi poolsuurtelg, b=1 - ellipsi pooltelg. Ehitame põhiristküliku külgedega 2a=4,~2b=2, mille keskpunkt on algpunktis (joonis 3.39). Arvestades ellipsi sümmeetriat, sobitame selle põhiristkülikusse. Vajadusel määrake ellipsi mõne punkti koordinaadid. Näiteks asendades x=1 ellipsi võrrandiga, saame \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftright nool \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Seetõttu punktid koordinaatidega \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- kuuluvad ellipsisse. Kompressiooniastme arvutamine k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fookuskaugus 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekstsentrilisus e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fookusparameeter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Koostame suunavõrrandid: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftright nool~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Ellipsi parameetriline võrrand