Interneti-ringi pindala ruutmeetrites. Ringi pindala: valem. Kui suur on ruudu, täis- ja võrdhaarse kolmnurga, ristküliku, võrdhaarse trapetsi ümberpiiratud ja sisse kirjutatud ringi pindala

Kuidas leida ringi pindala? Kõigepealt leidke raadius. Õppige lahendama lihtsaid ja keerulisi probleeme.

Ring on suletud kõver. Ringjoone mis tahes punkt on keskpunktist samal kaugusel. Ring on lame figuur, seega on ala leidmisega seotud probleemide lahendamine lihtne. Selles artiklis vaatleme, kuidas leida kolmnurga, trapetsi, ruudukujulise ja nende kujundite ümber piiritletud ringi pindala.

Antud joonise pindala leidmiseks peate teadma, mis on raadius, läbimõõt ja arv π.

Raadius R on ringi keskpunktiga piiratud kaugus. Ühe ringi kõigi R-raadiuste pikkused on võrdsed.

Läbimõõt D on sirge mis tahes kahe punkti vahel ringil, mis läbib keskpunkti. Selle segmendi pikkus võrdub R-raadiuse pikkusega, mis on korrutatud 2-ga.

Arv π on konstantne väärtus, mis võrdub 3,1415926. Matemaatikas ümardatakse see arv tavaliselt 3,14-ni.

Valem ringi pindala leidmiseks raadiuse abil:

Näited probleemide lahendamisest ringi S-ala leidmisel R-raadiuse abil:

Ülesanne: Leidke ringi pindala, kui selle raadius on 7 cm.

Lahendus: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Vastus: Ringi pindala on 153,86 cm².

Valem ringi S-ala leidmiseks läbi D-diameetri:

Näited probleemide lahendamisest S leidmiseks, kui D on teada:

————————————————————————————————————————-

Ülesanne: Leidke ringi S, kui selle D on 10 cm.

Lahendus: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Vastus: Lameda ümmarguse kujundi pindala on 78,5 cm².

Ringjoone S leidmine, kui ümbermõõt on teada:

Kõigepealt leiame, millega raadius on võrdne. Ringjoone ümbermõõt arvutatakse valemiga: vastavalt L=2πR, raadius R võrdub L/2π. Nüüd leiame ringi pindala, kasutades valemit läbi R.

Vaatame lahendust näiteprobleemi abil:

———————————————————————————————————————-

Ülesanne: Leidke ringi pindala, kui on teada ümbermõõt L - 12 cm.

Lahendus: Kõigepealt leiame raadiuse: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Nüüd leiame ala läbi raadiuse: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Vastus: Ringi pindala on 11,46 cm².

Ruutu sisse kirjutatud ringi pindala leidmine on lihtne. Ruudu külg on ringi läbimõõt. Raadiuse leidmiseks peate külje jagama 2-ga.

Ruudusse kirjutatud ringi pindala leidmise valem:

Näited ruudule kirjutatud ringi pindala leidmise probleemide lahendamisest:

———————————————————————————————————————

Ülesanne nr 1: Teada on ruudukujulise kuju külg, mis on 6 sentimeetrit. Leidke sisse kirjutatud ringi S-ala.

Lahendus: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Vastus: Lameda ümmarguse kujundi pindala on 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Ülesanne nr 2: Leia ruudukujulisele ringile S ja selle raadius, kui üks külg on a=4 cm.

Otsustage nii: Kõigepealt leiame R=a/2=4/2=2 cm.

Nüüd leiame ringi pindala S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Vastus: Lameda ümmarguse kujundi pindala on 12,56 cm².

Ruudu ümber kirjeldatud ümmarguse kujundi pindala on veidi keerulisem leida. Kuid valemit teades saate selle väärtuse kiiresti arvutada.

Ruutkujundi ümber piiratud ringi S leidmise valem:

Näited ülesannete lahendamisest ruudukujulise kujundi ümber piiritletud ringi pindala leidmiseks:

Ülesanne

Kolmnurksele kujundile kantud ring on ring, mis puudutab kolmnurga kõiki kolme külge. Ringi saab sobitada igasse kolmnurkse kujundisse, kuid ainult ühte. Ringi keskpunkt on kolmnurga nurkade poolitajate lõikepunkt.

Valem sisse kirjutatud ringi pindala leidmiseks võrdhaarne kolmnurk:

Kui raadius on teada, saab pindala arvutada valemiga: S=πR².

Valem täisnurksesse kolmnurka kirjutatud ringi pindala leidmiseks:

Näited probleemide lahendamisest:

Ülesanne nr 1

Kui selles ülesandes on vaja leida ka 4 cm raadiusega ringi pindala, saab seda teha valemiga: S=πR²

Ülesanne nr 2

Lahendus:

Nüüd, kui raadius on teada, leiame raadiuse abil ringi pindala. Vaadake ülaltoodud valemit tekstist.

Ülesanne nr 3

Täis- ja võrdhaarse kolmnurga ümber piiritletud ringi pindala: valem, probleemide lahendamise näited

Kõik ringi pindala leidmise valemid taanduvad asjaolule, et kõigepealt peate leidma selle raadiuse. Kui raadius on teada, on ala leidmine lihtne, nagu eespool kirjeldatud.

Täis- ja võrdhaarse kolmnurga ümber piiritletud ringi pindala leitakse järgmise valemiga:

Näited probleemide lahendamisest:

Siin on veel üks näide probleemi lahendamisest Heroni valemi abil.

Selliste probleemide lahendamine on keeruline, kuid neid saab omandada, kui teate kõiki valemeid. Selliseid ülesandeid lahendavad õpilased 9. klassis.

Ristkülikukujulisse ja võrdhaarsesse trapetsi kantud ringi pindala: valem, probleemide lahendamise näited

Võrdhaarsel trapetsil on kaks võrdset külge. Ristkülikukujulise trapetsi üks nurk on 90º. Vaatame, kuidas ülesannete lahendamise näitel leida ristkülikukujulise ja võrdhaarse trapetsi sisse kirjutatud ringi pindala.

Näiteks ringjoon on kantud võrdhaarsesse trapetsi, mis jagab kokkupuutepunktis ühe külje lõikudeks m ja n.

Selle probleemi lahendamiseks peate kasutama järgmisi valemeid:

Ristkülikukujulisesse trapetsi kantud ringi pindala leidmine toimub järgmise valemi abil:

Kui on teada pool, siis leiate raadiuse selle väärtuse kaudu. Trapetsi külje kõrgus võrdub ringi läbimõõduga ja raadius on pool läbimõõdust. Vastavalt on raadius R=d/2.

Näited probleemide lahendamisest:

Trapetsi saab kirjutada ringi, kui selle vastasnurkade summa on 180º. Seetõttu saate kirjutada ainult võrdhaarse trapetsi. Raadius ristkülikukujulise või võrdhaarse trapetsi ümber piiratud ringjoone pindala arvutamiseks arvutatakse järgmiste valemite abil:

Näited probleemide lahendamisest:

Lahendus: Suur alus sees sel juhul läbib keskpunkti, kuna võrdhaarne trapets on kirjutatud ringi. Keskosa jagab selle aluse täpselt pooleks. Kui alus AB on 12, siis raadiuse R võib leida järgmiselt: R=12/2=6.

Vastus: Raadius on 6.

Geomeetrias on oluline teada valemeid. Kuid neid kõiki on võimatu meeles pidada, nii et isegi paljudel eksamitel on lubatud kasutada spetsiaalset vormi. Siiski on oluline osata leida õige valem konkreetse probleemi lahendamiseks. Harjutage erinevate ülesannete lahendamist, et leida ringi raadius ja pindala, et saaksite valemeid õigesti asendada ja täpseid vastuseid saada.

Video: matemaatika | Ringi ja selle osade pindalade arvutamine

Läbimõõdu pikkus on lõik, mis läbib ringi keskpunkti ja ühendab ringi kahte vastandlikku punkti või raadius on segment, mille üks äärmuslikest punktidest asub ringi keskel ja teine ringikaarel. Seega läbimõõt pikkusega võrdne raadius korrutatuna kahega.
Arvu π väärtus. See väärtus on konstant – irratsionaalne murd, millel pole lõppu. Siiski ei ole see perioodiline. See arv väljendab suhet ümbermõõt selle raadiuses. Ringi pindala arvutamiseks koolikursuste ülesannetes kasutatakse π väärtust, mis on antud sajandiku täpsusega - 3,14.

Valemid ringi pindala, selle lõigu või sektori leidmiseks

Sõltuvalt geomeetrilise ülesande konkreetsetest tingimustest kaks valemid ringi pindala leidmiseks:

Ringi pindala leidmise lihtsaima viisi kindlaksmääramiseks peate hoolikalt analüüsima ülesande tingimusi.

Kooli geomeetria kursus sisaldab ka segmentide või sektorite pindala arvutamise ülesandeid, mille jaoks kasutatakse spetsiaalseid valemeid:

Sektor on ringi osa, mis on piiratud ringi ja nurgaga, mille tipp asub keskel. Sektori pindala arvutatakse valemiga: S = (π*r 2 /360)*A;
- r – raadius;
- A on nurga suurus kraadides.
- r – raadius;
- p – kaare pikkus.

On ka teine võimalus S = 0,5*p*r;

Lõik on osa, mis on piiratud ringi lõigu (akordi) ja ringiga. Selle pindala saab leida valemiga S=(π*r 2 /360)*A ± S ∆ ;

r – raadius;
A – nurga väärtus kraadides;
S ∆ – kolmnurga pindala, mille külgedeks on ringi raadiused ja kõõl; sel juhul asub üks selle tippudest ringi keskel ja ülejäänud kaks on ringikaare ja kõõlu kokkupuutepunktides. Oluline punkt– miinusmärk pannakse, kui A väärtus on väiksem kui 180 kraadi, ja plussmärk – kui see on üle 180 kraadi.

Geomeetrilise ülesande lahendamise lihtsustamiseks saate arvutada ringi ala võrgus. Spetsiaalne programm teeb arvutuse kiiresti ja täpselt mõne sekundiga. Kuidas arvutada kujundite pindala Internetis? Selleks tuleb sisestada teadaolevad algandmed: raadius, läbimõõt, nurk.

Ring on nähtav kogum paljudest punktidest, mis asuvad keskpunktist samal kaugusel. Selle pindala leidmiseks peate teadma, mis on raadius, diameeter, π arv ja ümbermõõt.

Ringi pindala arvutamisel osalevad kogused

Ringjoone keskpunkti ja ringi mis tahes punktiga piiratud kaugust nimetatakse selle geomeetrilise kujundi raadiuseks. Ühe ringi kõigi raadiuste pikkused on ühesugused. Ringjoone mis tahes kahe punkti vahelist lõiku, mis läbib keskpunkti, nimetatakse läbimõõduks. Läbimõõdu pikkus võrdub raadiuse pikkusega, mis on korrutatud 2-ga.

Ringi pindala arvutamiseks kasutatakse arvu π väärtust. See väärtus võrdub ümbermõõdu ja ringi läbimõõdu pikkuse suhtega ja sellel on konstantne väärtus. Π = 3,1415926. Ümbermõõt arvutatakse valemiga L=2πR.

Leidke raadiuse abil ringi pindala

Seetõttu võrdub ringi pindala arvu π ja teise astmeni tõstetud ringi raadiuse korrutisega. Näiteks võtame ringi raadiuse pikkuseks 5 cm. Siis võrdub ringi S pindala 3,14*5^2=78,5 ruutmeetrit. cm.

Läbimõõduga ringi pindala

Ringi pindala saab arvutada ka ringi läbimõõtu teades. Sel juhul S = (π/4)*d^2, kus d on ringi läbimõõt. Võtame sama näite, kus raadius on 5 cm. Siis on selle läbimõõt 5*2=10 cm. Ringi pindala on S = 3,14/4*10^2=78,5 ruutcm. Tulemus, mis on võrdne esimese näite arvutuste kogusummaga, kinnitab mõlemal juhul arvutuste õigsust.

Ringi pindala läbi ümbermõõdu

Kui ringi raadius on esitatud ümbermõõduna, siis on valemis järgmine vaade: R=(L/2)π. Asendame selle avaldise ringi pindala valemis ja selle tulemusena saame S=(L^2)/4π. Vaatleme näidet, kus ümbermõõt on 10 cm. Siis on ringi pindala S = (10^2)/4*3,14=7,96 ruutmeetrit. cm.

Ringjoone pindala läbi kirjutatud ruudu külje pikkuse

Kui ruut on ringi sisse kirjutatud, siis on ringi läbimõõdu pikkus võrdne ruudu diagonaali pikkusega. Teades ruudu külje suurust, saate hõlpsalt teada ringi läbimõõdu, kasutades valemit: d^2=2a^2. Teisisõnu, teise astme läbimõõt on võrdne teise astme ruudu küljega, mis on korrutatud 2-ga.

Olles arvutanud ringi läbimõõdu pikkuse, saate teada selle raadiuse ja seejärel kasutada ringi pindala määramiseks üht valemit.

Ringi sektori pindala

Sektor on ringi osa, mis on piiratud 2 raadiusega ja kaarega nende vahel. Selle pindala väljaselgitamiseks peate mõõtma sektori nurka. Pärast seda peate looma murdosa, mille lugejaks on sektori nurga väärtus ja nimetajaks 360. Sektori pindala arvutamiseks peab murdosa jagamisel saadud väärtus olema korrutatakse ringi pindalaga, mis arvutatakse ühe ülaltoodud valemi abil.

Geomeetrias ümberringi on kõigi tasapinna punktide kogum, mis on ühest punktist, mida nimetatakse selle keskpunktiks, eemale antud punktist mitte suurema kauguse võrra, mida nimetatakse selle raadiuseks. Sel juhul on ringi välispiir ring, ja juhul, kui raadiuse pikkus on null, ring degenereerub punktini.

Ringi pindala määramine

Kui vajalik ringi pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

πr 2

D 2

r- ringi raadius

D- ringi läbimõõt

S- ringi pindala

π - 3.14

See geomeetriline kujund väga sageli nii tehnoloogias kui ka arhitektuuris. Masinate ja mehhanismide disainerid töötavad välja erinevaid osi, millest paljude sektsioonid on täpselt sellised ring. Näiteks on need võllid, vardad, vardad, silindrid, teljed, kolvid jne. Nende osade valmistamisel toorikud alates erinevaid materjale(metallid, puit, plast), esindavad ka nende sektsioonid täpselt ring. On ütlematagi selge, et arendajad peavad sageli arvutama ringi pindala läbi diameetri või raadiuse, kasutades lihtsat matemaatilised valemid, avastati iidsetel aegadel.

Täpselt siis ümmargused elemendid hakati arhitektuuris aktiivselt ja laialdaselt kasutama. Selle üks ilmekamaid näiteid on tsirkus, mis on teatud tüüpi hoone, mis on mõeldud erinevate meelelahutusürituste korraldamiseks. Nende areenid on vormitud ring, ja esmakordselt hakati neid ehitama iidsetel aegadel. Sõna ise" tsirkus"tõlgitud keelest ladina keel tähendab " ring" Kui iidsetel aegadel käidi tsirkuses teatrietendused ja peeti gladiaatorite võitlusi, nüüd on need kohad, kus tsirkuseetendusi peetakse peaaegu eranditult treenerite, akrobaatide, mustkunstnike, klounide jne osavõtul. Tsirkuseareeni standardläbimõõt on 13 meetrit ja see pole sugugi juhuslik: tõsiasi on see, et just tema annab areeni minimaalsed vajalikud geomeetrilised parameetrid, kus tsirkusehobused saavad ringiga galoppida. Kui arvutame ringi pindala läbi läbimõõdu selgub, et tsirkuseareeni jaoks on see väärtus 113,04 ruutmeetrit.

Arhitektuurielemendid, mis võivad võtta ringi kuju, on aknad. Loomulikult on need enamasti ristküliku- või ruudukujulised (palju seetõttu, et nii on lihtsam nii arhitektidel kui ka ehitajatel), kuid mõnel hoonel võib leida ka ümaraid aknaid. Pealegi sellises sõidukid, nagu õhu-, mere- ja jõelaevad, on need enamasti täpselt sellised.

Mööbli tootmisel ei ole sugugi haruldane kasutada ümaraid elemente, nagu lauad ja toolid. On isegi kontseptsioon " ümarlaud ", mis eeldab konstruktiivset arutelu, mille käigus arutatakse kõikehõlmavalt erinevaid olulised küsimused ja töötatakse välja viise nende lahendamiseks. Mis puudutab ümmarguse kujuga töölaudade valmistamist, siis nende tootmiseks kasutatakse spetsiaalseid tööriistu ja seadmeid, kui osalevad üsna kõrge kvalifikatsiooniga töötajad.

Ringid nõuavad hoolikamat lähenemist ja on ülesannetes B5 palju vähem levinud. Samal ajal, üldine skeem lahendused on veelgi lihtsamad kui hulknurkade puhul (vt õpetust “Polügoonide pindalad koordinaatvõrgul”).

Selliste ülesannete puhul on vaja vaid leida ringi R raadius. Seejärel saate arvutada ringi pindala valemiga S = πR 2. Sellest valemist järeldub ka, et selle lahendamiseks piisab R 2 leidmisest.

Näidatud väärtuste leidmiseks piisab, kui märkida ringil punkt, mis asub võrgujoonte ristumiskohas. Ja siis kasuta Pythagorase teoreemi. Mõelgem konkreetsed näited raadiuse arvutused:

Ülesanne. Leidke joonisel näidatud kolme ringi raadiused:

Teeme igas ringis täiendavaid konstruktsioone:

Igal juhul valitakse ringil punkt B, mis asub võrgujoonte ristumiskohas. Punkt C ringides 1 ja 3 viige joonis lõpuni täisnurkne kolmnurk. Jääb üle leida raadiused:

Vaatleme kolmnurka ABC esimeses ringis. Pythagorase teoreemi järgi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Teise ringi puhul on kõik ilmne: R = AB = 2.

Kolmas juhtum sarnaneb esimesega. Kolmnurgast ABC Pythagorase teoreemi abil: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Nüüd teame, kuidas leida ringi (või vähemalt selle ruudu) raadiust. Seetõttu leiame selle piirkonna üles. On probleeme, kus peate leidma sektori ala, mitte kogu ringi. Sellistel juhtudel on lihtne välja selgitada, milline osa ringist see sektor on, ja seeläbi piirkond üles leida.

Ülesanne. Leidke varjutatud sektori ala S. Palun märkige vastuses S/π.

Ilmselgelt on sektor üks veerand ringist. Seetõttu S = 0,25 S ring.

Jääb leida ringi S - ringi pindala. Selleks teostame täiendava ehituse:

Kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreemi järgi on meil: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Nüüd leiame ringi ja sektori pindala: S ring = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S ring = 2π.

Lõpuks on soovitud väärtus S /π = 2.

Sektori ala teadmata raadiusega

See on absoluutselt uut tüüpiülesandeid, aastatel 2010-2011 midagi sellist ei olnud. Tingimuse järgi antakse meile teatud pindala ring (nimelt pindala, mitte raadius!). Seejärel valitakse selle ringi sees sektor, mille pindala tuleb leida.

Hea uudis on see, et sellised ülesanded on matemaatika ühtsel riigieksamil esinevatest alaülesannetest kõige lihtsamad. Lisaks on ring ja sektor alati paigutatud koordinaatide ruudustikule. Seetõttu vaadake selliste probleemide lahendamise õppimiseks lihtsalt pilti:

Olgu algse ringi pindala S = 80. Seejärel saab selle jagada kaheks sektoriks, mille pindala on S = 40 (vt samm 2). Samamoodi saab kõik need “poolikud” sektorid uuesti pooleks jagada – saame neli sektorit pindalaga S = 20 (vt 3. sammu). Lõpuks saame kõik need sektorid jagada veel kaheks - saame 8 sissekannet. Kõigi nende "jääkide" pindala on S = 10.

Pange tähele: üheski pole väiksemat partitsiooni Ühtne riigieksami ülesanne ei matemaatikas! Seega on ülesande B-3 lahendamise algoritm järgmine:

Lõika algne ring 8 "jääkide" sektoriks. Iga nende pindala on täpselt 1/8 kogu ringi pindalast. Näiteks kui tingimuse kohaselt on ringil ringi pindala S = 240, siis “jääkide” pindala on S = 240: 8 = 30;
Uurige, kui palju "jääke" mahub algsesse sektorisse, mille pindala tuleb leida. Näiteks kui meie sektor sisaldab 3 “jääke” pindalaga 30, siis on soovitud sektori pindala S = 3 · 30 = 90. See on vastus.

See on kõik! Probleem lahendatakse praktiliselt suuliselt. Kui midagi pole ikka veel selge, ostke pitsa ja lõigake see 8 tükiks. Iga selline tükk on sama sektor - "jäägid", mida saab kombineerida suuremateks tükkideks.

Vaatame nüüd näiteid ühtse riigieksami prooviversioonist:

Ülesanne. Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 40. Leidke varjutatud figuuri pindala.

Seega on ringi pindala 40. Jagage see 8 sektoriks - igaüks pindalaga S = 40: 5 = 8. Saame:

Ilmselgelt koosneb varjutatud sektor täpselt kahest "jääkide" sektorist. Seetõttu on selle pindala 2 · 5 = 10. See on kogu lahendus!

Ülesanne. Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 64. Leidke varjutatud figuuri pindala.

Jällegi jagage kogu ring 8 võrdseks sektoriks. Ilmselgelt on ühe neist ala just see, mida tuleb leida. Seetõttu on selle pindala S = 64: 8 = 8.

Ülesanne. Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 48. Leidke varjutatud figuuri pindala.

Jällegi jagage ring 8 võrdseks sektoriks. Igaühe nende pindala on võrdne S = 48: 8 = 6. Nõutav sektor sisaldab täpselt kolme "praagi" sektorit (vt joonist). Seetõttu on nõutava sektori pindala 3 6 = 18.