Sest logaritmide alused on võrdsed. Logaritmide arvutamine, näited, lahendused

Jätkame logaritmide uurimist. Selles artiklis räägime sellest logaritmide arvutamine, seda protsessi nimetatakse logaritm. Esiteks käsitleme logaritmide arvutamist definitsiooni järgi. Järgmisena mõelge, kuidas logaritmide väärtused nende omaduste abil leitakse. Pärast seda peatume logaritmide arvutamisel teiste logaritmide algselt antud väärtuste kaudu. Lõpuks õpime kasutama logaritmitabeleid. Kogu teooria on varustatud näidetega koos üksikasjalike lahendustega.

Leheküljel navigeerimine.

Logaritmide arvutamine definitsiooni järgi

Kõige lihtsamal juhul on võimalik kiiresti ja lihtsalt teostada logaritmi leidmine definitsiooni järgi. Vaatame lähemalt, kuidas see protsess toimub.

Selle olemus seisneb arvu b esitamises kujul a c , kust logaritmi definitsiooni järgi on arv c logaritmi väärtus. See tähendab, et definitsiooni järgi vastab logaritmi leidmine järgmisele võrduste ahelale: log a b=log a a c =c .

Niisiis taandub logaritmi arvutamine definitsiooni järgi sellise arvu c leidmisele, et a c \u003d b, ja arv c ise on logaritmi soovitud väärtus.

Arvestades eelmiste lõikude teavet, kui logaritmi märgi all olev arv on antud logaritmi aluse teatud määral, saate kohe näidata, millega logaritm võrdub - see on võrdne eksponendiga. Näitame näiteid.

Näide.

Leidke log 2 2 −3 ja arvutage ka e 5,3 naturaallogaritm.

Lahendus.

Logaritmi definitsioon võimaldab kohe öelda, et log 2 2 −3 = −3 . Tõepoolest, logaritmi märgi all olev arv on võrdne baasiga 2 astmega −3.

Samamoodi leiame teise logaritmi: lne 5.3 =5.3.

Vastus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3 .

Kui logaritmi märgi all olevat arvu b ei ole antud logaritmi aluse astmena, siis peate hoolikalt kaaluma, kas arvu b esitus on võimalik esitada kujul a c . Sageli on see esitus üsna ilmne, eriti kui logaritmi märgi all olev arv on võrdne baasiga astmel 1, 2 või 3, ...

Näide.

Arvutage logaritmid log 5 25 ja .

Lahendus.

On lihtne näha, et 25=5 2, see võimaldab arvutada esimese logaritmi: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Jätkame teise logaritmi arvutamisega. Arvu saab esitada 7 astmena: (vaata vajadusel). Järelikult .

Kirjutame kolmanda logaritmi järgmisel kujul ümber. Nüüd näete seda , kust me selle järeldame . Seega logaritmi definitsiooni järgi .

Lühidalt võiks lahenduse kirjutada järgmiselt:

Vastus:

log 5 25=2, ja .

Kui logaritmi märgi all on piisavalt suur naturaalarv, siis ei maksa seda algteguriteks lagundada. Sageli aitab sellist arvu esitada logaritmi aluse mõne astmena ja seetõttu arvutada see logaritm definitsiooni järgi.

Näide.

Leidke logaritmi väärtus.

Lahendus.

Mõned logaritmide omadused võimaldavad kohe määrata logaritmide väärtuse. Nende omaduste hulka kuuluvad ühe logaritmi omadus ja baasiga võrdse arvu logaritmi omadus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1 . See tähendab, et kui arv 1 või arv a on logaritmi märgi all, võrdne logaritmi alusega, siis nendel juhtudel on logaritmid vastavalt 0 ja 1.

Näide.

Mis on logaritmid ja lg10?

Lahendus.

Kuna , tuleneb see logaritmi definitsioonist .

Teises näites langeb logaritmi märgi all olev arv 10 kokku selle alusega, seega kümnendlogaritm on võrdne ühega, st lg10=lg10 1 =1 .

Vastus:

Ja lg10=1 .

Pange tähele, et logaritmide arvutamine definitsiooni järgi (mida käsitlesime eelmises lõigus) eeldab võrdsuse logaritmi a a p =p kasutamist, mis on üks logaritmide omadusi.

Praktikas, kui logaritmi märgi all olev arv ja logaritmi alus on lihtsalt esitatud mõne arvu astmena, on väga mugav kasutada valemit , mis vastab logaritmide ühele omadusele. Vaatleme logaritmi leidmise näidet, mis illustreerib selle valemi kasutamist.

Näide.

Arvutage logaritm .

Lahendus.

Vastus:

.

Arvutamisel kasutatakse ka ülalmainimata logaritmide omadusi, kuid sellest räägime järgmistes lõikudes.

Logaritmide leidmine teiste teadaolevate logaritmide järgi

Selles lõigus esitatud teave jätkab logaritmide omaduste kasutamise teemat nende arvutamisel. Siin on aga põhiline erinevus selles, et logaritmide omadusi kasutatakse algse logaritmi väljendamiseks teise logaritmi kaudu, mille väärtus on teada. Toome selgituseks näite. Oletame, et teame, et log 2 3≈1.584963 , siis leiame näiteks log 2 6, tehes logaritmi omadusi kasutades väikese teisenduse: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Ülaltoodud näites piisas, kui kasutasime korrutise logaritmi omadust. Palju sagedamini tuleb aga kasutada laiemat logaritmide omaduste arsenali, et arvutada algne logaritm etteantud omadega.

Näide.

Arvutage logaritm 27-st aluse 60-ni, kui on teada, et log 60 2=a ja log 60 5=b .

Lahendus.

Seega peame leidma logi 60 27 . On lihtne näha, et 27=3 3 ja algse logaritmi saab astme logaritmi omaduse tõttu ümber kirjutada 3·log 60 3 .

Nüüd vaatame, kuidas saab log 60 3 väljendada tuntud logaritmide kaudu. Alusega võrdse arvu logaritmi omadus võimaldab kirjutada võrduslogi 60 60=1 . Teisest küljest log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Sellel viisil, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Järelikult log 60 3=1-2 log 60 2-log 60 5=1-2 a-b.

Lõpuks arvutame algse logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Vastus:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Eraldi tasub mainida valemi tähendust üleminekuks vormi logaritmi uuele alusele . See võimaldab liikuda mis tahes alusega logaritmidelt kindla baasiga logaritmidele, mille väärtused on teada või neid on võimalik leida. Tavaliselt lülituvad nad algsest logaritmist vastavalt üleminekuvalemile logaritmidele ühes alustest 2, e või 10, kuna nende aluste jaoks on olemas logaritmitabelid, mis võimaldavad neid teatud täpsusega arvutada. Järgmises osas näitame, kuidas seda tehakse.

Logaritmide tabelid, nende kasutamine

Logaritmide väärtuste ligikaudseks arvutamiseks võib kasutada logaritmi tabelid. Kõige sagedamini kasutatakse kahe aluse logaritmi tabelit, naturaallogaritmi tabelit ja kümnendlogaritmi tabelit. Kümnendarvusüsteemis töötades on mugav kasutada kümne baasiks logaritmide tabelit. Tema abiga õpime leidma logaritmide väärtusi.

Esitatud tabel võimaldab kümnetuhandiku täpsusega leida arvude kümnendlogaritmide väärtused vahemikus 1000 kuni 9,999 (kolme kümnendkohaga). Analüüsime logaritmi väärtuse leidmise põhimõtet kümnendlogaritmide tabeli abil konkreetse näite abil - see on selgem. Leiame lg1,256 .

Kümnendlogaritmide tabeli vasakpoolsest veerust leiame arvu 1,256 kaks esimest numbrit, st leiame 1,2 (selguse huvides on see arv sinisega ümbritsetud). Arvu 1.256 kolmas koht (arv 5) asub topeltreast vasakul esimesel või viimasel real (see number on punasega ümbritsetud). Algarvu 1.256 neljas number (arv 6) asub topeltreast paremal esimesel või viimasel real (see number on roheliselt ümbritsetud). Nüüd leiame numbrid logaritmide tabeli lahtritest märgitud rea ja märgitud veergude ristumiskohalt (need numbrid on esile tõstetud oranžiga). Märgitud arvude summa annab kümnendlogaritmi soovitud väärtuse kuni neljanda kümnendkohani, st log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Kas ülaltoodud tabeli abil on võimalik leida nende arvude kümnendlogaritmide väärtusi, mille pärast koma on rohkem kui kolm kohta ja mis ületavad ka piire vahemikus 1 kuni 9,999? Jah, sa saad. Näitame näitega, kuidas seda tehakse.

Arvutame lg102.76332 . Kõigepealt peate kirjutama number standardkujul: 102.76332=1.0276332 10 2 . Pärast seda tuleks mantiss ümardada ülespoole kolmanda kümnendkohani, meil on 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, samas kui algne kümnendlogaritm on ligikaudu võrdne saadud arvu logaritmiga, st võtame lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Nüüd rakendage logaritmi omadusi: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lõpuks leiame kümnendlogaritmide tabeli järgi logaritmi lg1,028 väärtuse lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Selle tulemusena näeb kogu logaritmi arvutamise protsess välja järgmine: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Kokkuvõtteks väärib märkimist, et kümnendlogaritmide tabeli abil saate arvutada mis tahes logaritmi ligikaudse väärtuse. Selleks piisab üleminekuvalemi kasutamisest, et minna kümnendlogaritmidele, leida nende väärtused tabelist ja teha ülejäänud arvutused.

Näiteks arvutame log 2 3 . Vastavalt valemile üleminekuks uuele logaritmi alusele on meil . Kümnendlogaritmide tabelist leiame lg3≈0,4771 ja lg2≈0,3010. Sellel viisil, .

Bibliograafia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele).

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

(kreeka keelest λόγος - "sõna", "seos" ja ἀριθμός - "arv") b põhjusega a(log α b) nimetatakse selliseks numbriks c ja b= a c, see tähendab log α b=c ja b=ac on samaväärsed. Logaritm on mõttekas, kui a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Teisisõnu logaritm numbrid b põhjusega a sõnastatud astendajana, milleni tuleb arv tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).

Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x= log α b, on samaväärne võrrandi a x =b lahendamisega.

Näiteks:

log 2 8 = 3, sest 8 = 2 3 .

Märgime, et näidatud logaritmi sõnastus võimaldab kohe määrata logaritmi väärtus kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud aste. Tõepoolest, logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhjusega a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmi teema on teemaga tihedalt seotud arvu aste.

Viidatakse logaritmi arvutamisele logaritm. Logaritm on logaritmi võtmise matemaatiline tehe. Logaritmi võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liikmete summadeks.

Potentsieerimine on logaritmile pöördvõrdeline matemaatiline tehe. Potentsieerimisel tõstetakse antud alus avaldise astmeni, millel potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutiseks.

Üsna sageli kasutatakse reaallogaritme alustega 2 (binaarne), e Euleri arv e ≈ 2,718 (looduslik logaritm) ja 10 (kümnend).

Selles etapis tasub seda kaaluda logaritmide näidised logi 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Ja kirjetel lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 pole mõtet, kuna esimeses neist on logaritmi märgi alla paigutatud negatiivne arv, teises - negatiivne arv alus ja kolmandas - negatiivne arv logaritmi ja ühiku märgi all aluses.

Logaritmi määramise tingimused.

Eraldi tasub kaaluda tingimusi a > 0, a ≠ 1, b > 0. logaritmi määratlus. Mõelgem, miks need piirangud on võetud. See aitab meil saavutada võrdsust kujul x = log α b, mida nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks, mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Võtke tingimus a≠1. Kuna üks on võrdne ühega mis tahes astmega, siis võrdus x=log α b saab eksisteerida ainult siis, kui b = 1, kuid log 1 1 on mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks võtame a≠1.

Tõestame tingimuse vajalikkust a>0. Kell a=0 logaritmi sõnastuse järgi saab eksisteerida ainult siis, kui b = 0. Ja siis vastavalt logi 0 0 võib olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erinev aste on null. Selle ebaselguse kõrvaldamiseks tingimus a≠0. Ja millal a<0 peaksime logaritmi ratsionaalsete ja irratsionaalsete väärtuste analüüsi tagasi lükkama, kuna ratsionaalse ja irratsionaalse astendajaga astendaja on määratletud ainult mittenegatiivsete aluste jaoks. Just sel põhjusel on tingimus a>0.

Ja viimane tingimus b>0 tuleneb ebavõrdsusest a>0, kuna x = log α b, ja positiivse baasiga kraadi väärtus a alati positiivne.

Logaritmide omadused.

Logaritmid iseloomustab eristav Funktsioonid, mis viis nende laialdase kasutamiseni, et hõlbustada märkimisväärselt hoolikaid arvutusi. Üleminekul "logaritmide maailma" muudetakse korrutamine palju lihtsamaks liitmiseks, jagamine lahutamiseks ning astmeni tõstmine ja juure võtmine vastavalt astendajaga korrutamiseks ja jagamiseks.

Logaritmide sõnastuse ja nende väärtuste tabeli (trigonomeetriliste funktsioonide jaoks) avaldas esmakordselt 1614. aastal Šoti matemaatik John Napier. Teiste teadlaste poolt suurendatud ja üksikasjalikult kirjeldatud logaritmilisi tabeleid kasutati laialdaselt teaduslikes ja tehnilistes arvutustes ning need jäid oluliseks seni, kuni hakati kasutama elektroonilisi kalkulaatoreid ja arvuteid.

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: log a x ja logi a y. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

1. logi a x+logi a y= log a (x · y);
2. logi a x−logi a y= log a (x : y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Pange tähele: võtmepunkt siin on - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmi avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

log 6 4 + palk 6 9.

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

[Joonise pealkiri]

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meil on:

[Joonise pealkiri]

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Laske logaritmil logida a x. Siis suvalise numbri jaoks c selline, et c> 0 ja c≠ 1, võrdsus on tõene:

[Joonise pealkiri]

Eelkõige, kui paneme c = x, saame:

[Joonise pealkiri]

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

[Joonise pealkiri]

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

[Joonise pealkiri]

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

[Joonise pealkiri]

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul number n muutub argumendi eksponendiks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks.

Tõepoolest, mis saab siis, kui number b tõsta võimule nii et b sel määral annab numbri a? See on õige: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

[Joonise pealkiri]

Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 - lihtsalt võttis ruudu baasist välja ja logaritmi argumendi. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

[Joonise pealkiri]

Kui keegi pole kursis, siis eksamilt oli see päris ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad nad probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

1. logi a a= 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest alusest ise on võrdne ühega.
2. logi a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik, kuid kui argument on üks, on logaritm null! sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks kahe tõstma. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.

Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:

Argumendi x aluse a logaritm on aste, milleni tuleb arv a tõsta, et saada arv x.

Tähistus: logi a x \u003d b, kus a on alus, x on argument, b on tegelikult see, millega logaritm võrdub.

Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama hästi võiks logida 2 64 = 6 , sest 2 6 = 64 .

Arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsiooni nimetatakse logaritmiks. Nii et lisame oma tabelisse uue rea:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Kahjuks kõiki logaritme nii lihtsalt ei käsitleta. Näiteks proovige leida logi 2 5 . Arv 5 pole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil segmendis. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid numbreid saab kirjutada lõputult ja need ei kordu kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti:

Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millele argumendi saamiseks peate aluse tõstma. See on alus, mis tõstetakse võimsusele - pildil on see punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Räägin seda imelist reeglit oma õpilastele juba esimeses tunnis – ja seal pole segadust.

Mõistsime definitsiooni välja – jääb üle õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:

1. Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse.
2. Alus peab erinema ühtsusest, kuna ühik mis tahes võimsusele on ikkagi üksus. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!

Selliseid piiranguid nimetatakse kehtiv vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) ei ole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 \u003d -1, sest 0,5 = 2-1.

Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, kus pole vaja teada logaritmi ODZ-d. Kõiki piiranguid on probleemide koostajad juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DHS-i nõuded kohustuslikuks. Tõepoolest, aluses ja argumendis võivad olla väga tugevad konstruktsioonid, mis ei pruugi ülaltoodud piirangutele vastata.

Nüüd kaaluge logaritmide arvutamise üldist skeemi. See koosneb kolmest etapist:

1. Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille väikseim võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendmurdudest lahti saada;
2. Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
3. Saadud arv b on vastuseks.

See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on seda näha juba esimesel sammul. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga asjakohane: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Samamoodi kümnendmurdudega: kui need kohe tavalisteks teisendada, siis on vigu kordades vähem.

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25

1. Esitame alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Koostame ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Sai vastuse: 2.

Ülesanne. Arvutage logaritm:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64

1. Esitame alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Koostame ja lahendame võrrandi:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Sai vastuse: 3.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1

1. Esitame alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Koostame ja lahendame võrrandi:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Sai vastuse: 0.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14

1. Esitame alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei ole esitatud seitsme astmena, sest 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Eelmisest lõigust järeldub, et logaritmi ei arvestata;
3. Vastus ei muutu: logi 7 14.

Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas teha kindlaks, et arv ei oleks teise arvu täpne aste? Väga lihtne – lihtsalt jagage see algteguriteks. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.

Ülesanne. Uurige, kas arvu täpsed astmed on: 8; 48; 81; 35; neliteist .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - täpne kraad, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ei ole täpne võimsus, sest tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - täpne kraad;
35 = 7 5 - jällegi mitte täpne kraad;
14 \u003d 7 2 - jällegi mitte täpne kraad;

Pange tähele ka seda, et algarvud ise on alati iseenda täpsed astmed.

Kümnendlogaritm

Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja tähistus.

Argumendi x kümnendlogaritm on 10 baaslogaritm, st. võimsus, milleni peate suurendama arvu 10, et saada arv x. Nimetus: lg x .

Näiteks log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te pole aga sellise nimetusega harjunud, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x

Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendkohtade puhul.

naturaallogaritm

On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnend. See on loomulik logaritm.

X naturaallogaritm on e baaslogaritm, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x .

Paljud küsivad: mis veel on number e? See on irratsionaalne arv, selle täpset väärtust pole võimalik leida ja üles kirjutada. Siin on vaid esimesed numbrid:
e = 2,718281828459...

Me ei hakka süvenema sellesse, mis see number on ja milleks seda vaja on. Pidage meeles, et e on naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x

Seega ln e = 1 ; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt on mis tahes ratsionaalarvu naturaallogaritm irratsionaalne. Välja arvatud muidugi ühtsus: ln 1 = 0.

Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.