Meeste kohta 

Kahe ringi otsepuutuja konstrueerimine. Ringi puutuja. Täistunnid – Knowledge Hypermarket. Kõrgeim kvalifikatsioonikategooria

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium

Valla eelarveline õppeasutus

Novosibirski linn "Gümnaasium nr 4"

Sektsioon: matemaatika

UURIMUS

sellel teemal:

KAHE PUUTUMIRINGI OMADUSED

10. klassi õpilased:

Khaziakhmetov Radik Ildarovitš

Zubarev Jevgeni Vladimirovitš

Juhendaja:

L.L. Barinova

Matemaatika õpetaja

Kõrgeim kvalifikatsioonikategooria

§ 1. Sissejuhatus………..………………………….………………………………………………………3

§ 1.1 Kahe ringi vastastikune paigutus……………………………………………………3

§ 2 Omadused ja nende tõendid……………………………………………………………………….…4

§ 2.1 Vara 1…………………………………………………………..………………………….…4

§ 2.2 Kinnistu 2……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Kinnistu 3………………………………………………………..…………………………………6

§ 2.4 Kinnistu 4……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Vara 5…………………………………………………………………………………………8

§ 2.6 Kinnistu 6…………………………………………………………………………………………………9

§ 3 Ülesanded…………………………………………………..……………………………………..…11

Viited……………………………………………………………………………………….13

§ üks. Sissejuhatus

Paljusid kahte puutujaringi puudutavaid ülesandeid saab lahendada lühidalt ja lihtsamalt, teades mõningaid hiljem esitatavaid omadusi.

Kahe ringi vastastikune paigutus

Alustuseks arutame kahe ringi võimalikku vastastikust paigutust. Võib olla 4 erinevat juhtumit.

1. Ringid ei tohi ristuda.

2. Rist.


3. Puudutage väljas ühte punkti.

4. Puudutage ühte punkti sees.


§ 2. Omadused ja nende tõendid

Liigume otse omaduste tõestamise juurde.

§ 2.1 Vara 1

Ringjoontega puutujate lõikepunktide vahelised lõigud on üksteisega võrdsed ja võrdsed nende ringide kahe geomeetrilise keskmise raadiusega.

Tõestus 1. O 1 A 1 ja O 2 V 1 - kokkupuutepunktidesse tõmmatud raadiused.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (vastavalt lõikele 1)



  1. ▲O 1 O 2 D - ristkülikukujuline, sest O 2 D ┴ O 2 V 1
  2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

  1. Pythagorase teoreemi järgi А 1 В 1 = 2√Rr

(O1D2 =(R+r)2-(R-r)2 =R2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (tõestatud sarnaselt)

1) Joonistage raadiused puutujate ja ringidega ristumispunktidesse.

2) Need raadiused on puutujatega risti ja üksteisega paralleelsed.

3) Kujutage risti väiksema ringi keskpunktist suurema ringi raadiusele.

4) Saadud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on võrdne ringide raadiuste summaga. Jalg on võrdne nende erinevusega.

5) Pythagorase teoreemi abil saame soovitud seose.

§ 2.2 Vara 2

Sirge, mis lõikub ringide puutepunktiga ja ei asu üheski neist, lõikepunktid jagavad puutujatega puutepunktidega piiratud väliste puutujate lõigud osadeks, millest igaüks on võrdne nende ringide raadiuste geomeetriline keskmine.

Tõestus 1.PRL= MA 1 (puutujate segmentidena)

2.MS = MV 1 (puutujate segmentidena)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (vastavalt lõigetele 1 ja 2 )

Tõestuses kasutatud väited Ühest punktist mõnele ringile tõmmatud puutujate segmendid on võrdsed. Kasutame seda omadust mõlema antud ringi jaoks.

§ 2.3 Vara 3

Väliste puutujate vahele jääva sisepuutuja segmendi pikkus on võrdne kokkupuutepunktide vahelise välispuutuja segmendi pikkusega ja võrdub nende ringide kahe geomeetrilise keskmise raadiusega.

Tõestus See järeldus tuleneb eelmisest omadusest.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Vara 4

Puuteringide keskpunktidest ja puutujapunktidesse tõmmatud raadiuste vahelise puutuja lõigu keskpunktist moodustatud kolmnurk on ristkülikukujuline. Selle jalgade suhe on võrdne nende ringide raadiuste juurte jagatisega.

Tõestus 1.MO 1 on nurga A 1 MC poolitaja, MO 2 on nurga B 1 MC poolitaja, sest Nurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitajal.

2. Vastavalt lõikele 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5 p = p/2

3.РО 1 MO 2 - sirge. MS - kolmnurga O 1 MO 2 kõrgus, sest puutuja MN on risti puutepunktidele tõmmatud raadiustega → kolmnurgad О 1 МС ja MO 2 С on sarnased.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (sarnasuse järgi)

Tõestuses kasutatud väited 1) Nurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitajal. Kolmnurga jalad on nurkade poolitajad.

2) Kasutades seda, et sel viisil moodustatud nurgad on võrdsed, saame, et otsitav nurk on täisnurk. Me järeldame, et see kolmnurk on tõepoolest täisnurkne kolmnurk.

3) Tõestame nende kolmnurkade sarnasuse, mille kõrgus (kuna puutuja on risti puutepunktidesse tõmmatud raadiustega) jagab täisnurkse kolmnurga ja sarnasuse abil saame soovitud suhte.

§ 2.5 Vara 5

Kolmnurk, mille moodustavad ringjoonte kokkupuutepunkt üksteisega ja ringide lõikepunktid puutujaga, on täisnurkne kolmnurk. Selle jalgade suhe on võrdne nende ringide raadiuste juurte jagatisega.

Tõestus

  1. ▲А 1 МС ja ▲СМВ 1 on võrdhaarsed → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

  1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

  1. Kuid RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - otsene → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

  1. ▲A 1 MS ja ▲CO 2 B 1 on sarnased → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Tõestuses kasutatud väited 1) Värvime kolmnurkade nurkade summa, kasutades asjaolu, et need on võrdhaarsed. Võrdhaarsete kolmnurkade tõestamiseks kasutatakse puutujalõikude võrdsuse omadust.

2) Olles maalinud nurkade summa sellisel viisil, saame, et vaadeldavas kolmnurgas on täisnurk, seega ristkülikukujuline. Väite esimene osa on tõestatud.

3) Kolmnurkade sarnasuse järgi (selle põhjendamisel kasutame kahe nurga sarnasuse märki) leiame täisnurkse kolmnurga jalgade suhte.

§ 2.6 Vara 6

Ringjoonte lõikepunktidest puutujaga moodustatud nelinurk on trapets, millesse saab ringjoone kirjutada.

Tõestus 1.▲A 1 RA 2 ja ▲B 1 RV 2 on võrdhaarsed, sest A 1 P \u003d RA 2 ja B 1 P \u003d PB 2 puutujate segmentidena → ▲A 1 RA 2 ja ▲B 1 PB 2 on sarnased.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, sest sekandi A 1 B 1 ristumiskohas moodustatud vastavad nurgad on võrdsed.

  1. MN – keskmine rida omaduse 2 järgi → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

  1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → trapetsis A 2 A 1 B 1 B 2 summa alused on võrdne külgede summaga ja see on sissekirjutatud ringi olemasoluks vajalik ja piisav tingimus.

Tõestuses kasutatud väited 1) Kasutame uuesti puutujate segmentide omadust. Selle abil tõestame puutujate ja puutujapunktide lõikepunktist moodustatud võrdhaarseid kolmnurki.

2) Siit tuleneb nende kolmnurkade sarnasus ja nende aluste paralleelsus. Selle põhjal järeldame, et see nelinurk on trapets.

3) Vastavalt varem tõestatud omadusele (2) leiame trapetsi keskjoone. See võrdub kahe ringide geomeetrilise keskmise raadiusega. Saadud trapetsis on aluste summa võrdne külgede summaga ning see on sissekirjutatud ringi olemasoluks vajalik ja piisav tingimus.

§ 3. Ülesanded

Vaatleme praktilise näite varal, kuidas on võimalik ülaltoodud omadusi kasutades ülesande lahendamist lihtsustada.

1. ülesanne

Kolmnurga ABC külje AC = 15 cm Kolmnurka on sisse kirjutatud ringjoon. Teine ring puudutab esimest ning külgi AB ja BC. Punkt F valitakse küljele AB ja punkt M küljele BC, nii et lõik FM on ringide ühine puutuja. Leidke kolmnurga BFM ja nelinurga AFMC pindalade suhe, kui FM on 4 cm ja punkt M on ühe ringi keskpunktist kaks korda kaugemal kui teise ringi keskpunktist.

Arvestades: FM ühine puutuja AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Otsige üles S BFM / S AFMC

Otsus:

1) FM = 2√Rr, ​​O 1 M/O 2 M = √r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1, R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P ja ▲BO 2 Q on sarnased → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4) FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

2. ülesanne

Võrdhaarsesse kolmnurka ABC on kantud kaks puutujaringi, mille ühine punkt D ja ühine puutuja FK, mis läbivad seda punkti. Leidke nende ringide keskpunktide vaheline kaugus, kui kolmnurga alus AC = 9 cm ja ringide kokkupuutepunktide vahele jääv kolmnurga külgkülje lõik on 4 cm.

Arvestades: ABC on võrdhaarne kolmnurk; FK on sissekirjutatud ringide ühine puutuja. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Otsus:

Olgu sirged AB ja CD ristuvad punktis O. Siis OA = OD, OB = OC, seega CD = AB = 2√Rr

Punktid O 1 ja O 2 asuvad nurga AOD poolitajal. Võrdhaarse kolmnurga AOD poolitaja on selle kõrgus, seega AD ┴ O 1 O 2 ja BC ┴ O 1 O 2, seega

AD ║ BC ja ABCD on võrdhaarne trapets.

Lõik MN on selle keskjoon, seega AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Seetõttu saab sellesse trapetsi sisse kirjutada ringi.

Olgu AP trapetsi kõrgus, täisnurksed kolmnurgad АРВ ja О 1 FO 2 on sarnased, seega АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Siit leiame selle

Bibliograafia

  • Ajalehe "Esimene september" lisa "Matemaatika" nr 43 2003
  • KASUTAMINE 2010. Matemaatika. Ülesanne C4. Gordin R.K.

Geomeetrilised konstruktsioonid

Ringide puutujate ehitamine

Mõelge probleemidele, mis seisnevad teiste ringide puutujate joonistamise probleemide lahendamisel.

Olgu punktistAGA(joonis 1) on vaja tõmmata puutujad ringile, mille keskpunkt on punktO.

Puutujate täpseks konstrueerimiseks on vaja määrata joonte puutepunktid ringiga. Selle punkti jaoksAGAtuleks ühendada punktigaOja jagage segmentOApooleks. Selle segmendi keskelt - punktidKoos, kuidas kirjeldada ringi keskelt, mille läbimõõt peaks olema võrdne segmendigaOA. punktidTo1 jaTo2 punktis keskpunktiga ringide lõikepunktidKoosja tsentreeritud punktiOon joonte kokkupuutepunktidAK1 jaAK2 etteantud ringile.

Ülesande lahenduse õigsust kinnitab asjaolu, et puutepunkti tõmmatud ringi raadius on risti ringjoone puutujaga. nurgadOkei1 AGAjaOkei2 AGAon sirged, kuna need sõltuvad läbimõõdustJSCring, mille keskpunkt on punktKoos.

Riis. üks.

Kahe ringi puutujate konstrueerimisel eristatakse puutujaidsiseminejavälised. Kui antud ringide keskpunktid asuvad ühel pool puutujat, siis loetakse seda väliseks ja kui ringide keskpunktid on puutuja vastaskülgedel, siis sisemiseks.

O1 jaO2 R1 jaR2 . Antud ringidele on vaja joonistada välised puutujad.

Täpse ehitamise jaoks on vaja määrata joonte ja etteantud ringide kokkupuutepunktid. Kui tsentritega ringide raadiusedO1 jaO2 alustage sama väärtuse võrra järjest kahanemist, siis saate väiksema läbimõõduga kontsentriliste ringide jada. Veelgi enam, igal raadiuse vähenemise korral on väiksemate ringide puutujad paralleelsed soovitud. Pärast mõlema raadiuse vähendamist väiksema raadiuse võrraR2 ring keskpunktigaO2 muutub punktiks ja keskpunktiga ringiksO1 teisendatakse raadiusega kontsentriliseks ringiksR3 , võrdne raadiuste erinevusegaR1 jaR2 .

Kasutades eelnevalt kirjeldatud meetodit, punktistO2 joonestada raadiusega ringjoone välispuutujaidR3 , ühendage punktidO1 jaO2 , jagatud punktigaKoosjoonelõikO1 O2 pooleks ja joonista raadiusNII1 kaar, mille lõikepunkt antud ringjoonega määrab joonte kokkupuutepunktidO2 To1 jaO2 To2 .

PunktAGA1 jaAGA2 soovitud joonte kontakt suurema ringiga asub joonte jätkulO1 To1 jaO1 To2 . punktidAT1 jaAT2 väiksema ringiga sirgete puutujad on alusega ristiO2 vastavalt abipuutujateleO2 To1 jaO2 To2 . Puutepunktide olemasolul saate tõmmata soovitud jooniAGA1 AT1 jaAGA2 AT2 .

Riis. 2.

Laske punktides kaks ringi keskpunktidegaO1 jaO2 (joonis 2), millel on vastavalt raadiusedR1 jaR2 . Etteantud ringidele tuleb tõmmata sisemised puutujad.

Sirgete ja ringide kokkupuutepunktide määramiseks kasutame argumente, mis on sarnased eelmise ülesande lahendamisel toodud argumentidega. Kui vähendame raadiustR2 nullini, seejärel ring keskpunktigaO2 pöörduge asja juurde. Kuid sel juhul, et säilitada abipuutujate paralleelsus vajalike puutujatega, tuleb raadiusR1 tuleks suurendadaR2 ja joonista raadiusega ringR3 , võrdne raadiuste summagaR1 jaR2 .

Ühest punktistO2 joonistada raadiusega ringile puutujaidR3 , mille jaoks ühendame punktidO1 jaO2 , jagatud punktigaKoosjoonelõikO1 O2 pooleks ja tõmmake punktis keskpunktiga ringjoone kaarKoosja raadiusNII1 . Kaare ristmik raadiusega ringigaR3 määrab punktide asukohaTo1 jaTo2 abijoonte puutujaO2 To1 jaO2 To2 .

PunktAGA1 jaAGA2 R1 on selle ringi ja lõigu ristumiskohasO1 To1 jaO1 To2 . Punktide määratlemiseksIN 1ja2raadiusega ringiga soovitud joonte puutujaR2 tuleneb punktistO2seada ristsirged abijoonteleO2K1jaO2K2kuni see lõikub etteantud ringiga. Omades soovitud sirgete puutujapunktid ja antud ringid, joonistame joonedA1B1jaA2B2.

Riis. 3.

Transektid, puutujad – seda kõike võis geomeetriatundides sadu kordi kuulda. Aga kooli lõpetamine on läbi, aastad mööduvad ja kõik need teadmised ununevad. Mida tuleks meeles pidada?

Essents

Mõiste "ringi puutuja" on ilmselt kõigile tuttav. Kuid on ebatõenäoline, et igaüks suudab selle määratluse kiiresti sõnastada. Samal ajal on puutuja selline sirgjoon, mis asub samas tasapinnas ringiga, mis lõikab seda ainult ühes punktis. Neid võib olla tohutult erinevaid, kuid neil kõigil on samad omadused, millest tuleb juttu allpool. Nagu võite arvata, on kokkupuutepunkt koht, kus ringjoon ja joon ristuvad. Igal juhul on see üks, aga kui neid on rohkem, siis on see sekant.

Avastamise ja uurimise ajalugu

Tangensi mõiste ilmus antiikajal. Nende sirgjoonte ehitamine algul ringiks ja seejärel joonlaua ja kompassi abil ellipsideks, paraboolideks ja hüperboolideks viidi läbi isegi geomeetria arendamise algstaadiumis. Muidugi pole ajalugu avastaja nime säilitanud, kuid on ilmselge, et juba tol ajal olid inimesed ringi puutuja omadustest üsna teadlikud.

Tänapäeval puhkes huvi selle nähtuse vastu uuesti - algas selle kontseptsiooni uurimise uus ring koos uute kõverate avastamisega. Niisiis tutvustas Galileo tsükloidi kontseptsiooni ning Fermat ja Descartes ehitasid sellele puutuja. Mis puudutab ringe, siis tundub, et siinkandis ei jää muistsetele saladusi.

Omadused

Lõikepunktini tõmmatud raadius on

peamine, kuid mitte ainus omadus, mis ringi puutujal on. Teine oluline omadus sisaldab juba kahte sirget joont. Seega saab ühe punkti kaudu, mis asub väljaspool ringi, tõmmata kaks puutujat, samas kui nende segmendid on võrdsed. Sellel teemal on veel üks teoreem, kuid seda käsitletakse harva tavakoolikursuse raames, kuigi see on mõne ülesande lahendamiseks äärmiselt mugav. See kõlab nii. Ühest punktist, mis asub väljaspool ringi, tõmmatakse sellele puutuja ja sekant. Moodustatakse segmendid AB, AC ja AD. A on sirgete ristumiskoht, B on kokkupuutepunkt, C ja D on ristumiskohad. Sel juhul kehtib järgmine võrdsus: ringi puutuja pikkus ruudus võrdub segmentide AC ja AD korrutisega.

Ülaltoodul on oluline tagajärg. Ringi iga punkti jaoks saate luua puutuja, kuid ainult ühe. Selle tõestus on üsna lihtne: teoreetiliselt kukutades sellele risti raadiusest, saame teada, et tekkinud kolmnurka ei saa eksisteerida. Ja see tähendab, et puutuja on ainulaadne.

Hoone

Muude geomeetria ülesannete hulgas on erikategooria, reeglina mitte

õpilaste ja üliõpilaste poolt eelistatud. Selle kategooria ülesannete lahendamiseks vajate ainult kompassi ja joonlauda. Need on ehitusülesanded. Samuti on puutuja konstrueerimise meetodeid.

Niisiis, antud ring ja punkt, mis asuvad väljaspool selle piire. Ja läbi nende on vaja tõmmata puutuja. Kuidas seda teha? Kõigepealt peate joonistama lõigu ringi O keskpunkti ja antud punkti vahele. Seejärel jagage see kompassi abil pooleks. Selleks tuleb määrata raadius – veidi rohkem kui pool algse ringi keskpunkti ja antud punkti vahelisest kaugusest. Pärast seda peate ehitama kaks ristuvat kaare. Veelgi enam, kompassi raadiust ei pea muutma ja ringi iga osa keskpunkt on vastavalt algpunkt ja O. Kaarte ristumiskohad peavad olema ühendatud, mis jagab segmendi pooleks. Määrake kompassi raadius, mis on võrdne selle kaugusega. Järgmisena tõmmake teine ​​ring, mille keskpunkt on ristumispunktis. Sellel asuvad nii algpunkt kui ka O. Sel juhul tekib ülesandes antud ringiga veel kaks ristumiskohta. Need on algselt antud punkti puutepunktid.

See oli ringi puutujate konstrueerimine, mis viis sünnini

diferentsiaalarvutus. Esimese selleteemalise teose avaldas kuulus saksa matemaatik Leibniz. Ta nägi ette võimaluse leida maksimumid, miinimumid ja puutujad, sõltumata murd- ja irratsionaalsetest väärtustest. Noh, nüüd kasutatakse seda ka paljude muude arvutuste jaoks.

Lisaks on ringi puutuja seotud puutuja geomeetrilise tähendusega. Sealt ka selle nimi pärineb. Ladina keelest tõlgituna tähendab tangens "puutuja". Seega on see mõiste seotud mitte ainult geomeetria ja diferentsiaalarvutusega, vaid ka trigonomeetriaga.

Kaks ringi

Tangens ei mõjuta alati ainult ühte figuuri. Kui ühele ringile saab tõmmata tohutult palju sirgeid, siis miks mitte ka vastupidi? Saab. Kuid antud juhul on ülesanne tõsiselt keeruline, kuna kahe ringi puutuja ei pruugi ühtegi punkti läbida ja kõigi nende kujundite suhteline asukoht võib olla väga suur.

erinev.

Tüübid ja sordid

Kui rääkida kahest ringist ja ühest või mitmest sirgest, siis isegi kui on teada, et need on puutujad, ei saa kohe selgeks, kuidas kõik need kujundid üksteise suhtes paiknevad. Selle põhjal on mitu sorti. Seega võib ringidel olla üks või kaks ühist punkti või üldse mitte olla. Esimesel juhul nad ristuvad ja teisel juhul puudutavad. Ja siin on kaks sorti. Kui üks ring on justkui teise sisse ehitatud, nimetatakse puudutust sisemiseks, kui mitte, siis väliseks. Jooniste suhtelisest asukohast saate aru mitte ainult joonise põhjal, vaid omades ka teavet nende raadiuste summa ja nende keskpunktide vahelise kauguse kohta. Kui need kaks suurust on võrdsed, siis ringid puudutavad. Kui esimene on suurem, siis nad lõikuvad ja kui vähem, siis pole neil ühiseid punkte.

Sama ka sirgjoontega. Kahe ringi jaoks, millel pole ühiseid punkte, saab

ehitada neli puutujat. Kaks neist ristuvad kujundite vahel, neid nimetatakse sisemiseks. Paar teist on välised.

Kui me räägime ringidest, millel on üks ühine punkt, siis on ülesanne oluliselt lihtsustatud. Fakt on see, et mis tahes vastastikuse kokkuleppe korral on neil sel juhul ainult üks puutuja. Ja see läbib nende ristumispunkti. Nii et ehitamine raskusi ei põhjusta.

Kui kujunditel on kaks lõikepunkti, siis saab nende jaoks konstrueerida sirge, mis puutub ringiga, nii üks kui ka teine, kuid ainult välimine. Selle probleemi lahendus on sarnane allpool käsitletavaga.

Probleemi lahendamine

Kahe ringi sisemised ja välised puutujad ei ole ehituselt nii lihtsad, kuigi seda probleemi saab lahendada. Fakt on see, et selleks kasutatakse abifiguuri, nii et mõelge sellele meetodile ise

üsna problemaatiline. Seega on antud kaks erineva raadiuse ja keskpunktiga O1 ja O2 ringi. Nende jaoks peate ehitama kaks paari puutujaid.

Kõigepealt peate suurema ringi keskpunkti lähedale ehitama abi. Sel juhul tuleb kompassil kindlaks teha kahe algkuju raadiuste vahe. Abiringi puutujad ehitatakse väiksema ringi keskpunktist. Pärast seda tõmmatakse nendele joontele O1-st ja O2-st ristid, kuni need ristuvad algkujunditega. Nagu puutuja põhiomadusest tuleneb, leitakse mõlemal ringil soovitud punktid. Probleem on lahendatud vähemalt selle esimese osaga.

Sisemiste puutujate konstrueerimiseks tuleb lahendada praktiliselt

sarnane ülesanne. Jällegi on vaja abifiguuri, kuid seekord on selle raadius võrdne algsete summaga. Sellele konstrueeritakse puutujad ühe antud ringi keskpunktist. Lahenduse edasine kulg on arusaadav eelmisest näitest.

Ringi või isegi kahe või enama puutuja pole nii keeruline ülesanne. Muidugi pole matemaatikud juba ammu selliseid probleeme käsitsi lahendamast ja usaldavad arvutused eriprogrammidele. Kuid ärge arvake, et nüüd pole vaja seda ise teha, sest selleks, et arvuti jaoks ülesanne õigesti sõnastada, peate palju tegema ja aru saama. Paraku kardetakse, et pärast lõplikku üleminekut teadmiste kontrolli testvormile valmistavad ehitusülesanded õpilastele aina rohkem raskusi.

Mis puudutab ühiste puutujate leidmist rohkematele ringidele, siis see pole alati võimalik, isegi kui need asuvad samal tasapinnal. Kuid mõnel juhul on sellist rida võimalik leida.

Näited elust

Praktikas kohtab sageli kahe ringi ühist puutujat, kuigi see pole alati märgatav. Konveierid, plokisüsteemid, rihmaratta ülekanderihmad, õmblusmasina niidipingutus ja isegi ainult jalgrattakett - kõik need on näited elust. Nii et ärge arvake, et geomeetrilised probleemid jäävad vaid teooriaks: inseneriteaduses, füüsikas, ehituses ja paljudes muudes valdkondades leiavad need praktilise rakenduse.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

  • Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

  • Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
  • Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
  • Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
  • Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

  • Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
  • Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Riigieelarveline õppeasutus

Gümnaasium nr 000

Geomeetria projekteerimistööd.

Kaheksa võimalust ringi puutuja konstrueerimiseks.

9 bioloogiline ja keemiline klass

juhendaja: ,

õppedirektori asetäitja,

matemaatika õpetaja.

Moskva 2012

Sissejuhatus

1. peatükk ………………………………………………………………………4

Järeldus (järeldus)

Sissejuhatus

Vaimu kõrgeim ilming on mõistus.

Meele kõrgeim ilming on geomeetria.

Geomeetria lahter on kolmnurk. Ta on samasugune

ammendamatu, nagu universum. Ring on geomeetria hing.

Teadke ümbermõõtu ja te ei tunne mitte ainult hinge

geomeetriat, vaid ka ülenda oma hinge.

Claudius Ptolemaios
Ülesanne.

Koostage puutuja ringjoonele, mille keskpunkt O ja raadius R läbib väljaspool ringi asuvat punkti A

1. peatükk.

Ringjoone puutuja konstruktsioonid, mis ei vaja paralleelsete sirgete teooriast lähtuvat põhjendamist.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Ringjoone jaoks (O; r) OB - raadius. OB AB, seega AB on puutuja alusel puutuja.

Samamoodi on AC ringi puutuja.

Konstruktsioon nr 1 põhineb sellel, et ringi puutuja on risti puutujapunkti tõmmatud raadiusega.

Sirge jaoks on ainult üks kokkupuutepunkt ringiga.

Läbi antud punkti joonel saab tõmmata ainult ühe risti.

Hoone number 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB - raadius, ABO = 90°, seega AB - puutuja alusel.

6. Samamoodi on võrdhaarses kolmnurgas AON AC puutuja (ACO \u003d 90 °, OS on raadius)

7. Seega on AB ja AC puutujad

Hoone nr 3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (vastavate nurkadena võrdsetes kolmnurkades), seega AB - puutuja puutuja alusel.

4. Samamoodi on AC puutuja

Hoone №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

Hoone number 6.

Hoone:

2. Joonestage läbi punkti A suvaline sirge, mis lõikab ringi (O, r) punktides M ja N.

6. AB ja BC on soovitud puutujad.

Tõestus:

1. Kuna kolmnurgad PQN ja PQM on kirjutatud ringi ja külg PQ on ringi läbimõõt, on need kolmnurgad täisnurksed kolmnurgad.

2. Kolmnurgas PQL on lõigud PM ja QN kõrgused, mis lõikuvad punktis K, seega KL on kolmas kõrgus..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° – https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, seejärel |AQ| = |AS|ctg β Seetõttu |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. Võrreldes (1) ja (2) saame |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ| või

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

Pärast sulgude avamist ja lihtsustamist leian, et |OD|·|OA|=R².

5. Seosest |OD|·|OA|=R² tuleneb, et |OD|:R=R: |OA| ehk kolmnurgad ODB ja OBA on sarnased..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°. Seetõttu on sirge AB nõutav puutuja, mida tuli tõestada.

Hoone number 6.

Hoone:

1. Joonista ring (A; |OA|).

2. Leian kompassi ava, mis on võrdne 2R-ga, mille jaoks valin ringil punkti S (O; R) ja jätan kõrvale kolm kaare, millest igaüks on 60º: SP=PQ=QT=60°. Punktid S ja T on diametraalselt vastandlikud.

3. Ehitan ristuva ringi (O; ST). w 1 Mis see ring on? punktides M ja N.

4. Nüüd ehitan keskmise MO. Selleks ehitan ringid (O; OM) ja (M; MO) ning siis punktide M ja O jaoks leiame nendelt diametraalselt vastupidised punktid U ja V.

6. Lõpuks konstrueerin ringi (K; KM) ja (L; LM), mis ristuvad soovitud punktis B - MO keskel.

Tõestus:

Kolmnurgad KMV ja UMK on võrdhaarsed jms. Seetõttu tuleneb asjaolust, et KM \u003d 0,5MU, et MB \u003d 0,5MK \u003d 0,5R. Seega on punkt B soovitud kokkupuutepunkt. Samamoodi leiate kontaktpunkti C.

3. peatükk

Ringjoone puutuja konstrueerimine sekantide, poolitajate omaduste põhjal.

Hoone nr 7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Hoone nr 8

Hoone:

1. Koostage ringjoon (A; AP), mis lõikub sirgega AP punktis D.

2. Konstrueerige läbimõõdule QD ring w

3. Lõikan selle risti sirgega AR punktis A ja saan punktid M ja N.

Tõestus:

Ilmselgelt AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Seejärel lõikub ring (A; AM) (O; R) kokkupuutepunktides B ja C. AB ja AC on soovitud puutujad.