Lihtsate sõnadega piir. Funktsiooni piiri määramine lõpmatuses
Funktsioon y = f (x) on seadus (reegel), mille kohaselt on hulga X iga element x seotud hulga Y ühe ja ainult ühe elemendiga y.
Element x ∈ X helistas funktsiooni argument või sõltumatu muutuja.
Element y ∈ Y helistas funktsiooni väärtus või sõltuv muutuja.
Hulk X kutsutakse funktsiooni domeen.
Elementide hulk y ∈ Y, mille komplektis X on eelkujutised, kutsutakse ala või funktsiooni väärtuste komplekt.
Tegelikku funktsiooni nimetatakse ülalt piiratud (altpoolt), kui on selline arv M, et ebavõrdsus kehtib kõigi kohta:
.
Kutsutakse numbrifunktsiooni piiratud, kui on olemas selline arv M, et kõigi jaoks:
.
Ülemine serv või täpne ülemine piir tõeline funktsioon on väikseim arv, mis piirab selle väärtuste vahemikku ülalt. See tähendab, et see on arv s, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus ületab s′: .
Funktsiooni ülemist piiri saab tähistada järgmiselt:
.
Vastavalt alumine serv või täpne alumine piir Reaalfunktsiooni nimetatakse suurimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku altpoolt. See tähendab, et see on arv i, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus on väiksem kui i′: .
Funktsiooni infimumi saab tähistada järgmiselt:
.
Funktsiooni piiri määramine
Funktsiooni piiri määramine Cauchy järgi
Funktsiooni lõplikud piirid lõpp-punktides
Olgu funktsioon defineeritud mõnes naabruses lõpp-punkt välja arvatud ehk punkt ise. punktis, kui mõne jaoks on olemas selline asi, olenevalt , et kõigi x puhul, mille puhul kehtib ebavõrdsus
.
Funktsiooni piirang on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Ühepoolsed piirid.
Vasakpoolne piir punktis (vasakpoolne piir):
.
Punkti parempoolne piir (parempoolne piir):
.
Vasak- ja parempoolsed piirid on sageli tähistatud järgmiselt:
;
.
Funktsiooni lõplikud piirid lõpmatuse punktides
Piirid lõpmatuse punktides määratakse kindlaks sarnasel viisil.
.
.
.
Neid nimetatakse sageli:
;
;
.
Punkti naabruse mõiste kasutamine
Kui võtta kasutusele punkti punktsiooniga ümbruse mõiste, siis saame anda funktsiooni lõpliku piiri ühtse definitsiooni lõplikes ja lõpmata kaugetes punktides:
.
Siin on lõpp-punktid
;
;
.
Lõpmatuse punktide mis tahes ümbrus torgatakse:
;
;
.
Lõpmatud funktsioonipiirangud
Definitsioon
Olgu funktsioon määratletud punkti mingis punkteeritud ümbruses (lõpmatus või lõpmatuses). Funktsiooni piir f (x) kui x → x 0
võrdub lõpmatusega, kui kellelegi, siis suvaliselt suur number M > 0
, on arv δ M > 0
, olenevalt M-st, et kõigi punktide δ M - punkti naabrusesse kuuluvate x kohta kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Lõpmatu piir on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni lõpmatu piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Võite tutvustada ka teatud märkide lõpmatute piiride määratlusi, mis on võrdsed ja :
.
.
Funktsiooni piiri universaalne määratlus
Kasutades punkti naabruse mõistet, saame anda funktsiooni lõpliku ja lõpmatu piiri universaalse definitsiooni, mis on rakendatav nii lõplike (kahe- ja ühepoolsete) kui ka lõpmata kaugete punktide jaoks:
.
Funktsiooni piiri määramine Heine järgi
Olgu funktsioon defineeritud mingil hulgal X:.
Arvu a nimetatakse funktsiooni piiriks punktis:
,
kui mis tahes jada puhul, mis läheneb x-le 0
:
,
mille elemendid kuuluvad hulka X: ,
.
Kirjutame selle määratluse eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid kasutades:
.
Kui me võtame punkti x vasakpoolse ümbruse hulgana X 0 , siis saame vasakpoolse piiri määratluse. Kui see on paremakäeline, saame õige piiri definitsiooni. Kui võtta lõpmatuses oleva punkti naabruskond hulgana X, saame funktsiooni piiri määratluse lõpmatuses.
Teoreem
Funktsiooni piiri Cauchy ja Heine definitsioonid on samaväärsed.
Tõestus
Funktsiooni piiri omadused ja teoreemid
Lisaks eeldame, et vaadeldavad funktsioonid on määratletud punkti vastavas läheduses, milleks on lõplik arv või üks sümbolitest: . See võib olla ka ühepoolne piirpunkt, st olla kujul või . Naabruskond on kahepoolse piirmäära jaoks kahepoolne ja ühepoolse piiri jaoks ühepoolne.
Põhiomadused
Kui funktsiooni f väärtused (x) muuta (või määramata) lõplikku arvu punkte x 1, x 2, x 3, ... x n, siis see muudatus ei mõjuta funktsiooni piiri olemasolu ja väärtust suvalises punktis x 0 .
Kui on olemas lõplik piir, siis on olemas punkti x punkteeritud ümbrus 0
, millel funktsioon f (x) piiratud:
.
Olgu funktsioonil punkt x 0
lõplik nullist erinev piir:
.
Siis on suvalise arvu c korral vahemikust punkt x selline punkteeritud naabruskond 0
, milleks ,
, Kui ;
, Kui.
Kui mõnel punkti naabruskonnal , , on konstant, siis .
Kui punkti x mõnel torgatud ümbruskonnal on lõplikud piirid ja ja 0
,
See .
Kui , Ja mõnel punkti naabruses
,
See .
Eelkõige siis, kui mõne punkti naabruses
,
siis kui , siis ja ;
kui , siis ja .
Kui mõnel punkti x torgatud ümbruskonnal 0
:
,
ja on olemas lõplikud (või teatud märgi lõpmatud) võrdsed piirid:
, See
.
Peamiste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride põhiomadused."
Funktsiooni piiri aritmeetilised omadused
Olgu funktsioonid ja määratletud punkti mõnes punktsiooniga naabruses. Ja olgu piiratud piirid:
Ja .
Ja olgu C konstant, see tähendab etteantud arv. Siis
;
;
;
, Kui.
Kui siis.
Aritmeetiliste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride aritmeetilised omadused".
Cauchy kriteerium funktsiooni piiri olemasoluks
Teoreem
Selleks, et funktsioon, mis on defineeritud lõpliku punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal või lõpmatuspunktis x 0
, oli selles punktis lõplik piir, on vajalik ja piisav, et iga ε korral > 0
seal oli selline punkti x torgatud naabruskond 0
, et mis tahes punktide ja selle naabruskonna puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Keerulise funktsiooni piir
Piiriteoreem keeruline funktsioon
Laske funktsioonil olla piir ja kaardistada punkti läbimurtud naabruskond punkti punkteeritud ümbrusega. Olgu see funktsioon sellel naabruskonnal määratletud ja sellel on piirang.
Siin on viimased või lõpmatult kauged punktid: . Naabruskonnad ja neile vastavad piirid võivad olla kas kahe- või ühepoolsed.
Siis on keerulise funktsiooni piirang ja see on võrdne:
.
Kompleksfunktsiooni piirteoreemi rakendatakse siis, kui funktsioon ei ole punktis defineeritud või selle väärtus erineb piirväärtusest. Selle teoreemi rakendamiseks peab punktis, kus funktsiooni väärtuste hulk punkti ei sisalda, olema punkteeritud naabrus:
.
Kui funktsioon on pidev punktis , saab pideva funktsiooni argumendile rakendada piirmärki:
.
Järgnev on sellele juhtumile vastav teoreem.
Teoreem funktsiooni pidevfunktsiooni piiri kohta
Olgu funktsiooni g limiit (t) nagu t → t 0
, ja see on võrdne x-ga 0
:
.
Siin on punkt t 0
võib olla lõplik või lõpmatult kauge: .
Ja olgu funktsioon f (x) on pidev punktis x 0
.
Siis on kompleksfunktsiooni f piir (g(t)), ja see on võrdne f-ga (x0):
.
Teoreemide tõestused on toodud lehel
"Keerulise funktsiooni piir ja järjepidevus".
Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured funktsioonid
Lõpmatult väikesed funktsioonid
Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult väikeseks, kui
.
Summa, vahe ja toode Lõpliku arvu lõpmatute väikeste funktsioonide juures on lõpmatult väike funktsioon juures .
Piiratud funktsiooni korrutis mõnel torgatud naabruses punkt , Et lõpmatult väike juures on lõpmatu funktsioon juures .
Selleks, et funktsioonil oleks lõplik piir, on vajalik ja piisav, et
,
kus on infinitesimal funktsioon juures .
"Lõpmata väikeste funktsioonide omadused".
Lõpmatult suured funktsioonid
Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult suureks, kui
.
Piiratud funktsiooni summa või erinevus, mõnel punkti naabruses ja lõpmatult suur funktsioon juures on lõpmatult suur funktsioon .
Kui funktsioon on jaoks lõpmatult suur ja funktsioon on piiratud punkti mingi läbitorkatud naabrusega, siis
.
Kui funktsioon , punkti mõnel torgatud naabruses, rahuldab ebavõrdsust:
,
ja funktsioon on lõpmatult väike:
, ja (punkti mõnel torgatud naabruskonnal), siis
.
Omaduste tõendid on esitatud jaotises
"Lõpmatult suurte funktsioonide omadused".
Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vaheline seos
Kahest eelnevast omadusest tuleneb seos lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vahel.
Kui funktsioon on lõpmatult suur juures , siis funktsioon on lõpmatult väike juures .
Kui funktsioon on , ja jaoks lõpmatult väike, on funktsioon lõpmatult suur.
Võib väljendada seost lõpmata väikese ja lõpmata suure funktsiooni vahel sümboolselt:
,
.
Kui lõpmata väikesel funktsioonil on teatud märk punktis , see tähendab, et see on positiivne (või negatiivne) punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal, siis saab seda fakti väljendada järgmiselt:
.
Samamoodi, kui lõpmata suurel funktsioonil on teatud märk kohas , kirjutavad nad:
.
Siis saab sümboolset seost lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide vahel täiendada järgmiste seostega:
,
,
,
.
Täiendavad valemid lõpmatuse sümbolite kohta leiate lehelt
"Punktid lõpmatusele ja nende omadused."
Monotoonsete funktsioonide piirid
Definitsioon
Kutsutakse välja funktsioon, mis on defineeritud mõnel reaalarvude hulgal X rangelt suurenev, kui kõigi puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Vastavalt sellele, jaoks rangelt vähenemas funktsioon kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Sest mitte-kahanev:
.
Sest mitte suurenev:
.
Sellest järeldub, et ka rangelt kasvav funktsioon ei ole kahanev. Rangelt kahanev funktsioon on ka mittekasv.
Funktsiooni kutsutakse üksluine, kui see ei vähene või ei suurene.
Teoreem
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus .
Kui see on ülalt piiratud arvuga M: siis on olemas lõplik piir. Kui ülalt ei piirata, siis .
Kui see on altpoolt piiratud arvuga m: siis on olemas lõplik piir. Kui altpoolt ei piirdu, siis .
Kui punktid a ja b on lõpmatuses, siis avaldistes tähendavad piirmärgid, et .
Seda teoreemi saab sõnastada kompaktsemalt.
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus . Siis on punktides a ja b ühepoolsed piirid:
;
.
Sarnane teoreem mittekasvava funktsiooni kohta.
Las funktsioon ei suurene intervallil, kus . Siis on ühepoolsed piirangud:
;
.
Teoreemi tõestus on toodud lehel
"Monotoonsete funktsioonide piirid".
Viited:
L.D. Kudrjavtsev. Noh matemaatiline analüüs. 1. köide. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.
Selgitasime välja põhilised elementaarfunktsioonid.
Funktsioonidele liikudes rohkem kompleksne tüüp kindlasti kohtame väljendite ilmumist, mille tähendus on määratlemata. Selliseid väljendeid nimetatakse ebakindlust.
Loetleme kõik määramatuse peamised liigid: null jagatud nulliga (0-ga 0), lõpmatus jagatud lõpmatusega, null korrutatud lõpmatusega, lõpmatus miinus lõpmatus, üks lõpmatuse astmega, null nulli astmega, lõpmatus nulli astmega.
KÕIK MUUD MÄÄRATLUSE VÄLJENDUSED EI OLE NING ON TÄIELIKULT KONKREETSED LÕPKULISED VÕI LÕPMATUD VÄÄRTUSED.
Avasta ebakindlus võimaldab:
- funktsiooni vormi lihtsustamine (avaldise teisendamine lühendatud korrutusvalemite abil, trigonomeetrilised valemid, korrutamine konjugeeritud avaldistega, millele järgneb redutseerimine jne);
- kasutamine imelised piirid;
- L'Hopitali reegli kohaldamine;
- kasutades lõpmatu väikese avaldise asendamist selle ekvivalendiga (kasutades samaväärsete lõpmatute avaldiste tabelit).
Rühmitame ebakindlused rühmadesse määramatuse tabel. Iga määramatuse tüübi jaoks seostame selle avalikustamise meetodi (piiri leidmise meetod).
See tabel koos põhiliste elementaarfunktsioonide piirangute tabeliga on teie peamised tööriistad piirangute leidmisel.
Toome paar näidet, kui pärast väärtuse asendamist kohe kõik õnnestub ja ebakindlust ei teki.
Näide.
Arvutage limiit 
Lahendus.
Asendage väärtus: 
Ja saime kohe vastuse.
Vastus:
Näide.
Arvutage limiit 
Lahendus.
Asendame väärtuse x=0 meie eksponentsiaalse võimsusfunktsiooni alusega: 
See tähendab, et piiri saab ümber kirjutada kui 
Vaatame nüüd indikaatorit. See on toitefunktsioon. Pöördume negatiivse eksponendiga astmefunktsioonide piirväärtuste tabeli juurde. Sealt on meil 
Ja 
, seega võime kirjutada 
.
Selle põhjal kirjutatakse meie limiit järgmiselt: 
Pöördume uuesti piirmäärade tabeli juurde, kuid eksponentsiaalsete funktsioonide jaoks, mille alus on suurem kui üks, millest saame:
Vastus:
Vaatame üksikasjalike lahendustega näiteid Ebakindluse paljastamine avaldiste teisendamise teel.
Väga sageli tuleb piirimärgi all olevat avaldist veidi muuta, et ebakindlusest vabaneda.
Näide.
Arvutage limiit
Lahendus.
Asendage väärtus: 
Oleme jõudnud ebakindluseni. Lahendusmeetodi valimiseks vaatame määramatuse tabelit. Proovime väljendit lihtsustada. 
Vastus:
Näide.
Arvutage limiit 
Lahendus.
Asendage väärtus: 
Jõudsime ebakindluseni (0:0). Lahendusmeetodi valimiseks vaatame määramatuse tabelit ja proovime avaldist lihtsustada. Korrutame nii lugeja kui ka nimetaja avaldisega, mis on konjugeeritud nimetajaga.
Nimetaja jaoks on konjugaadi avaldis 
Korrutasime nimetaja, et saaksime rakendada lühendatud korrutamisvalemit - ruutude erinevus ja seejärel vähendada saadud avaldist. 
Pärast mitmeid ümberkujundamisi kadus ebakindlus.
Vastus:
KOMMENTAAR: Seda tüüpi piirangute puhul on tüüpiline konjugeeritud avaldistega korrutamise meetod, seega kasutage seda julgelt.
Näide.
Arvutage limiit 
Lahendus.
Asendage väärtus: 
Oleme jõudnud ebakindluseni. Lahendusmeetodi valimiseks vaatame määramatuse tabelit ja proovime avaldist lihtsustada. Kuna x = 1 juures kaovad nii lugeja kui ka nimetaja, siis kui neid avaldisi saab taandada (x-1) ja määramatus kaob.
Faktoriseerime lugeja: 
Faktoriseerime nimetaja: 
Meie limiit on kujul: 
Pärast ümberkujundamist selgus ebakindlus.
Vastus:
Vaatleme võimsusväljenditest lõpmatuse piire. Kui astmeavaldise eksponendid on positiivsed, siis on piir lõpmatuses lõpmatu. Pealegi on esmatähtis suurim aste, ülejäänu võib ära visata.
Näide.
Näide.
Kui piirmärgi all olev avaldis on murd ja nii lugeja kui ka nimetaja on jõu väljendused(m on lugeja aste ja n on nimetaja aste), siis kui tekib vormi lõpmatus kuni lõpmatuseni määramatus, antud juhul ilmneb ebakindlus jagades nii lugeja kui ka nimetaja arvuga
Näide.
Arvutage limiit 
Funktsiooni piirväärtus lõpmatuses:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Cauchy piiri määramine
Olgu funktsioon f (x) on määratletud lõpmatuse punkti teatud läheduses koos |x|-ga > Arvu a nimetatakse funktsiooni piiriks f (x) x kaldub lõpmatuseni (), kui see on olemas, olgu see siis väike positiivne arv ε > 0
, on arv N ε >K, olenevalt ε-st, mis kõigi x, |x| > N ε, funktsiooni väärtused kuuluvad punkti a ε naabrusesse:
|f (x)-a|< ε
.
Funktsiooni piir lõpmatuses on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Sageli kasutatakse ka järgmist tähistust:
.
Kirjutame selle definitsiooni, kasutades olemasolu ja universaalsuse loogilisi sümboleid:
.
See eeldab, et väärtused kuuluvad funktsiooni domeeni.
Ühepoolsed piirid
Funktsiooni vasakpoolne piir lõpmatuses:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Sageli on juhtumeid, kus funktsioon on määratletud ainult positiivse või negatiivsed väärtused muutuja x (täpsemalt punkti või läheduses). Samuti võivad x positiivsete ja negatiivsete väärtuste jaoks olla lõpmatuse piirid erinevaid tähendusi. Siis kasutatakse ühepoolseid piire.
Vasak piir lõpmatuses või piir, kui x kaldub miinus lõpmatuseni () on määratletud järgmiselt:
.
Parem piir lõpmatuses või piir, kui x kipub pluss lõpmatus ():
.
Lõpmatuse ühepoolseid piire tähistatakse sageli järgmiselt:
;
.
Funktsiooni lõpmatu piir lõpmatuses
Funktsiooni lõpmatu piir lõpmatuses:
|f(x)| > M jaoks |x| > N
Lõpmatu piiri definitsioon Cauchy järgi
Olgu funktsioon f (x) on määratletud lõpmatuse punkti teatud läheduses koos |x|-ga > K, kus K on positiivne arv. Funktsiooni piir f (x) kuna x kaldub lõpmatuseni (), on võrdne lõpmatusega, kui suvaliselt suure arvu M korral > 0
, on selline number N M >K, olenevalt M, mis kõigi x, |x| > N M , funktsiooni väärtused kuuluvad lõpmatuse punkti naabrusesse:
|f (x) | > M.
Lõpmatu piir, kui x kaldub lõpmatuseni, on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni lõpmatu piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Samamoodi tutvustatakse teatud märkide lõpmatute piiride määratlusi, mis on võrdsed ja:
.
.
Lõpmatuse ühepoolsete piiride määratlused.
Vasakpoolsed piirid.
.
.
.
Õiged piirid.
.
.
.
Funktsiooni piiri määramine Heine järgi
Olgu funktsioon f (x) defineeritud lõpmatuse punkti x mõnel naabruskonnal 0
, kus või või .
Arvu a (lõplik või lõpmatus) nimetatakse funktsiooni f piiriks (x) punktis x 0
:
,
kui mingi jada puhul (xn), lähenedes x-le 0
:
,
mille elemendid kuuluvad naabrusse, järjestusse (f(xn)) koondub a:
.
Kui võtta naabrusena märgita punkti naabrus lõpmatuses: , siis saame funktsiooni piiri definitsiooni, kui x kaldub lõpmatusse, . Kui võtame lõpmatuse punkti x vasak- või parempoolse ümbruse 0 : või , siis saame piiri definitsiooni, kuna x kaldub vastavalt miinus lõpmatuseni ja pluss lõpmatuseni.
Heine ja Cauchy piirimääratlused on samaväärsed.
Näited
Näide 1
Kasutades selle näitamiseks Cauchy definitsiooni
.
Tutvustame järgmist tähistust:
.
Leiame funktsiooni definitsioonipiirkonna. Kuna murdosa lugeja ja nimetaja on polünoomid, on funktsioon defineeritud kõigi x jaoks, välja arvatud punktid, kus nimetaja kaob. Leiame need punktid. Ruutvõrrandi lahendamine. ;
.
Võrrandi juured:
;
.
Alates , siis ja .
Seetõttu on funktsioon defineeritud aadressil . Kasutame seda hiljem.
Kirjutame üles funktsiooni lõpliku piiri määratlus lõpmatuses Cauchy järgi:
.
Teisendame erinevust:
.
Jagage lugeja ja nimetaja ja korrutage arvuga -1
:
.
Laske .
Siis
;
;
;
.
Niisiis leidsime, et kui
.
.
Sellest järeldub
aadressil , ja .
Kuna saate seda alati suurendada, võtame . Siis kellelegi,
aadressil .
See tähendab et .
Näide 2
Laske .
Kasutades Cauchy piirangu määratlust, näidake, et:
1)
;
2)
.
1) Lahendus kui x kaldub miinus lõpmatusse
Kuna , on funktsioon defineeritud kõigi x-ide jaoks.
Kirjutame üles funktsiooni piiri definitsiooni miinus lõpmatusega:
.
Laske . Siis
;
.
Niisiis leidsime, et kui
.
Sisestage positiivsed arvud ja:
.
Sellest järeldub, et iga positiivse arvu M puhul on arv, nii et ,
.
See tähendab et .
2) Lahendus kui x kipub plussis lõpmatus
Teisendame algse funktsiooni. Korrutage murdosa lugeja ja nimetaja ning rakendage ruutude erinevuse valemit:
.
Meil on:
.
Kirjutame üles funktsiooni parempoolse piiri määratluse aadressil:
.
Tutvustame tähistust: .
Teisendame erinevust:
.
Korrutage lugeja ja nimetaja arvuga:
.
Lase
.
Siis
;
.
Niisiis leidsime, et kui
.
Sisestage positiivsed arvud ja:
.
Sellest järeldub
kell ja .
Kuna see kehtib iga positiivse arvu kohta, siis
.
Viited:
CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.
Matemaatikas on selline asi nagu funktsiooni piir. Piiride leidmise mõistmiseks peate meeles pidama funktsiooni piiri määratlust: funktsioonil f (x) on piir L punktis x = a, kui iga x väärtuste jada jaoks, mis koondub punkti. a, y väärtuste jada läheneb:
- L lim f(x) = L
Piiride mõiste ja omadused
Mis on piir, saab aru näitest. Oletame, et meil on funktsioon y=1/x. Kui suurendame järjepidevalt x väärtust ja vaatame, millega y on võrdne, saame järjest kahanevaid väärtusi: x=10000 y=1/10000; x = 1000000 y = 1/1000000. Need. mida rohkem x, seda vähem y. Kui x=∞, on y nii väike, et seda võib lugeda võrdseks 0-ga. Seega on funktsiooni y=1/x piir, kui x kaldub ∞, võrdub 0-ga. Kirjutatakse nii:
- lim1/х=0
Funktsiooni limiidil on mitmeid omadusi, mida peate meeles pidama: see hõlbustab oluliselt piiride leidmisega seotud probleemide lahendamist:
- Summa limiit on võrdne piirmäärade summaga: lim(x+y)=lim x+lim y
- Korrutise limiit võrdub piiride korrutisega: lim(xy)=lim x*lim y
- Jagatise piir on võrdne piirmäärade jagatisega: lim(x/y)=lim x/lim y
- Konstanttegur võetakse piirmärgist välja: lim(Cx)=C lim x
Funktsiooni y=1/x, milles x →∞, piirväärtus on võrdne nulliga, x→0 puhul on piirväärtus ∞.
- lim (sin x)/x=1 x→0