Ratsionaalsete avaldiste teisendus: teisenduste liigid, näited. Ratsionaalsete (algebraliste) murdude teisendus, teisenduste liigid, näited Murdratsionaalsete algebraavaldiste teisendus

>>Matemaatika: ratsionaalsete avaldiste teisendamine

Ratsionaalväljendite teisendamine

See lõik võtab kokku kõik, mida oleme alates 7. klassist rääkinud matemaatilise keele, matemaatilise sümboolika, arvude, muutujate, astmete, polünoomide ja algebralised murrud. Kuid kõigepealt teeme väikese kõrvalepõike minevikku.

Pidage meeles, kuidas oli lugu madalamate klasside arvude ja arvavaldiste õppimisega.

Ja ütleme, et murdosa külge saab kinnitada ainult ühe sildi – ratsionaalarvu.

Sarnane on olukord ka algebraavaldistega: nende uurimise esimene etapp on arvud, muutujad, astmed (“numbrid”); nende õppimise teine etapp on monomiaalid ("looduslikud arvud"); nende uurimise kolmas etapp on polünoomid ("täisarvud"); nende õppetöö neljas etapp – algebralised murded
("ratsionaalarvud"). Pealegi neelab iga järgmine etapp justkui eelmise: näiteks arvud, muutujad, kraadid on monomiaalide erijuhud; monomiaalid on polünoomide erijuhud; polünoomid on algebraliste murdude erijuhud. Muide, algebras kasutatakse mõnikord järgmisi termineid: polünoom on täisarv väljendus, algebraline murd on murdosa avaldis (see ainult tugevdab analoogiat).

Jätkame ülaltoodud analoogiaga. Teate, et iga arvavaldis võtab pärast kõigi selles sisalduvate aritmeetiliste toimingute sooritamist konkreetse arvväärtuse - ratsionaalarvu (muidugi võib see osutuda naturaalarvuks, täisarvuks või murdeks - vahet pole). Sarnaselt võib iga algebraline avaldis, mis koosneb arvudest ja muutujatest, kasutades aritmeetilisi tehteid ja tõstab loomuliku kraadi, pärast teisendusi on see algebralise murru kujul ja eriti võib jällegi osutuda, et see pole murd, vaid polünoomi või isegi monomial). Selliste algebra avaldiste jaoks kasutatakse mõistet ratsionaalne avaldis.

Näide. Tõesta identiteet

Otsus.
Identiteedi tõestamine tähendab kindlaks teha, et muutujate kõigi lubatud väärtuste puhul on selle vasak ja parem osa identselt võrdsed avaldised. Algebras tõestatakse identiteete mitmel viisil:

1) sooritada vasaku poole teisendusi ja saada selle tulemusena parem pool;

2) sooritada parema poole teisendusi ja saada selle tulemusena vasak pool;

3) teisendab eraldi parem- ja vasakpoolne osa ning saab esimesel ja teisel juhul sama avaldise;

4) moodustab vasaku ja parema osa vahe ja selle teisenduste tulemusena nulli.

Millist meetodit valida, sõltub konkreetsest tüübist identiteedid mida teil palutakse tõestada. Selles näites on soovitatav valida esimene meetod.

Ratsionaalavaldiste teisendamiseks kasutatakse sama protseduuri nagu arvavaldiste teisendamiseks. See tähendab, et esmalt sooritatakse sulgudes olevad toimingud, seejärel teise etapi toimingud (korrutamine, jagamine, astendamine), seejärel esimese etapi toimingud (liitmine, lahutamine).

Teeme nende reeglite alusel toimingute kaupa teisendusi, algoritmid mis on välja töötatud eelmistes lõikudes.

Nagu näete, õnnestus meil testitava identiteedi vasak pool muuta parema külje vormiks. See tähendab, et isikusamasus on tõestatud. Siiski tuletame meelde, et identiteet kehtib ainult muutujate lubatud väärtuste puhul. Selle näite need on mis tahes a ja b väärtused, välja arvatud need, mis muudavad murdude nimetajad nulliks. See tähendab, et lubatud on kõik arvupaarid (a; b), välja arvatud need, mille puhul on täidetud vähemalt üks võrdsustest:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovitš A.G., Algebra. 8. klass: Proc. üldhariduse jaoks institutsioonid – 3. väljaanne, lõpetatud. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 lk.: ill.

Täielik teemade loend klasside kaupa, kalendrikava vastavalt kooli matemaatika õppekavale veebis, matemaatika videomaterjal 8. klassi jaoks allalaadimine

Tunni sisu tunni kokkuvõte tugiraam õppetund esitlus kiirendusmeetodid interaktiivsed tehnoloogiad Harjuta ülesanded ja harjutused enesekontrolli töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, huumoriskeemid, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid kiibid uudishimulikele petulehtedele õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku killu uuendamine innovatsiooni elementide tunnis vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid kalenderplaan aastaks aruteluprogrammi metoodilised soovitused Integreeritud õppetunnid

Kooli õppekava algebrakursusest pöördume spetsiifika poole. Selles artiklis uurime üksikasjalikult teatud tüüpi ratsionaalseid väljendeid ratsionaalsed murded ja analüüsida ka, milline omadus on identne ratsionaalsete murdude teisendused aset leidma.

Märgime kohe, et ratsionaalseid murde selles tähenduses, milles me neid allpool määratleme, nimetatakse mõnes algebraõpikus algebralisteks murdudeks. See tähendab, et selles artiklis mõistame sama asja ratsionaalsete ja algebraliste murdude all.

Nagu tavaliselt, alustame määratluse ja näidetega. Järgmisena räägime ratsionaalse murdu viimisest uude nimetajasse ja murru liikmete märkide muutmisest. Pärast seda analüüsime, kuidas toimub fraktsioonide redutseerimine. Lõpuks peatume ratsionaalse murru esitamisel mitme murru summana. Kogu teave on varustatud näidetega koos lahenduste üksikasjalike kirjeldustega.

Leheküljel navigeerimine.

Ratsionaalsete murdude definitsioon ja näited

Ratsionaalmurde õpitakse algebratundides 8. klassis. Kasutame ratsionaalse murru definitsiooni, mis on antud Yu. N. Makarychevi jt algebraõpikus 8. klasside jaoks.

See definitsioon ei täpsusta, kas ratsionaalse murru lugejas ja nimetajas olevad polünoomid peavad olema standardkujulised polünoomid või mitte. Seetõttu eeldame, et ratsionaalsed murrud võivad sisaldada nii standardseid kui ka mittestandardseid polünoome.

Siin on mõned ratsionaalsete murdude näited. Niisiis, x/8 ja - ratsionaalsed murded. Ja murrud ja ei sobi ratsionaalse murru kõlalise definitsiooniga, kuna esimeses neist ei ole lugeja polünoom ja teises sisaldavad nii lugeja kui ka nimetaja avaldisi, mis ei ole polünoomid.

Ratsionaalmurru lugeja ja nimetaja teisendamine

Mis tahes murru lugeja ja nimetaja on iseseisvad matemaatilised avaldised, ratsionaalsete murdude puhul on need polünoomid, konkreetsel juhul monomialid ja arvud. Seetõttu saab ratsionaalse murru lugeja ja nimetajaga, nagu iga avaldise puhul, läbi viia identsed teisendused. Teisisõnu, ratsionaalse murru lugejas oleva avaldise saab asendada avaldisega, mis on sellega identselt võrdne, nagu ka nimetaja.

Ratsionaalmurru lugejas ja nimetajas saab sooritada identseid teisendusi. Näiteks lugejas saab grupeerida ja taandada sarnaseid termineid ning nimetajas saab mitme arvu korrutise asendada selle väärtusega. Ja kuna ratsionaalse murru lugejaks ja nimetajaks on polünoomid, siis on nendega võimalik teostada polünoomidele iseloomulikke teisendusi, näiteks taandada standardkujule või esitada korrutisena.

Selguse huvides kaaluge mitme näite lahendusi.

Näide.

Teisenda ratsionaalne murd nii et lugeja on standardkuju polünoom ja nimetaja polünoomide korrutis.

Otsus.

Ratsionaalsete murdude taandada uuele nimetajale kasutatakse peamiselt ratsionaalsete murdude liitmisel ja lahutamisel.

Märkide muutmine murdu ees, samuti selle lugejas ja nimetajas

Murru põhiomaduse abil saab muuta murruliikmete märke. Tõepoolest, ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja korrutamine -1-ga võrdub nende märkide muutmisega ja tulemuseks on murd, mis on identselt võrdne antud murruga. Sellist teisendust tuleb ratsionaalsete murdudega töötamisel üsna sageli kasutada.

Seega, kui muudate samaaegselt murdosa lugeja ja nimetaja märke, saate algse murdosaga võrdse murdosa. See väide vastab võrdsusele.

Võtame näite. Ratsionaalmurru saab asendada identselt võrdse murruga, millel on vormi lugeja ja nimetaja ümberpööratud märgid.

Murdudega saab läbi viia veel ühe identse teisenduse, milles märki muudetakse kas lugejas või nimetajas. Vaatame sobiva reegli üle. Kui asendate murru märgi koos lugeja või nimetaja märgiga, saate murru, mis on identselt võrdne originaaliga. Kirjalik avaldus vastab võrdsustele ja .

Neid võrdsusi pole raske tõestada. Tõestus põhineb arvude korrutamise omadustel. Tõestame neist esimest: . Sarnaste teisenduste abil tõestatakse ka võrdsust.

Näiteks võib murdosa asendada avaldisega või .

Selle alajao lõpetuseks esitame veel kaks kasulikku võrdsust ja . See tähendab, et kui muudate ainult lugeja või ainult nimetaja märki, muudab murdosa oma märki. Näiteks, ja .

Vaadeldavaid teisendusi, mis võimaldavad muuta murdosa liikmete märki, kasutatakse sageli murdratsionaalsete avaldiste teisendamisel.

Ratsionaalsete murdude vähendamine

Järgnev ratsionaalsete murdude teisendus, mida nimetatakse ratsionaalsete murdude redutseerimiseks, põhineb murru samal põhiomadusel. See teisendus vastab võrdsusele , kus a , b ja c on mõned polünoomid ning b ja c on nullist erinevad.

Ülaltoodud võrdsusest selgub, et ratsionaalse murru taandamine eeldab selle lugeja ja nimetaja ühistegurist vabanemist.

Näide.

Vähendage ratsionaalset murdosa.

Otsus.

Ühistegur 2 on kohe näha, vähendame seda (kirjutamisel on mugav maha kriipsutada ühised tegurid, millega vähendamine toimub). Meil on . Kuna x 2 \u003d x x ja y 7 \u003d y 3 y 4 (vaadake vajadusel), on selge, et x on saadud murru lugeja ja nimetaja ühine tegur, nagu y 3 . Vähendame järgmiste teguritega: . See viib vähendamise lõpule.

Ülalpool teostasime ratsionaalse murdosa taandamise järjest. Ja redutseerimist oli võimalik teostada ühe sammuga, vähendades koheselt murdosa 2·x·y 3 võrra. Sel juhul näeks lahendus välja järgmine: .

Vastus:

Ratsionaalsete murdude vähendamisel on põhiprobleemiks see, et lugeja ja nimetaja ühistegur pole alati nähtav. Pealegi pole see alati olemas. Ühise teguri leidmiseks või selle puudumises veendumiseks peate ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja faktoriseerima. Kui ühistegurit pole, ei pea algset ratsionaalset murdosa vähendama, vastasel juhul tehakse redutseerimine.

Ratsionaalsete murdude vähendamise käigus võivad tekkida erinevad nüansid. Peamisi peensusi koos näidete ja detailidega käsitletakse artiklis algebraliste murdude redutseerimine.

Ratsionaalsete murdude vähendamise vestlust lõpetades märgime, et see teisendus on identne ja selle rakendamise peamine raskus seisneb polünoomide faktoriseerimises lugejas ja nimetajas.

Ratsionaalse murru esitamine murdude summana

Üsna spetsiifiline, kuid mõnel juhul väga kasulik on ratsionaalse murru teisendus, mis seisneb selle esitamises mitme murru summana ehk täisarvulise avaldise ja murru summana.

Ratsionaalmurdu, mille lugejas on polünoom, mis on mitme monoomi summa, saab alati kirjutada samade nimetajatega murdude summaks, mille lugejates on vastavad monoomid. Näiteks, . Seda esitust seletatakse samade nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegliga.

Üldiselt saab mis tahes ratsionaalset murdu esitada murdude summana mitmel erineval viisil. Näiteks võib murdosa a/b kujutada kahe murru summana – suvalise murdosa c/d ja murdosa, mis on võrdne murdude a/b ja c/d vahega. See väide on tõsi, kuna võrdsus . Näiteks saab ratsionaalset murdosa esitada murdude summana mitmel viisil: Esitame algset murdu täisarvulise avaldise ja murru summana. Pärast lugeja jagamist nimetajaga veeruga saame võrdsuse . Avaldise n 3 +4 väärtus mis tahes täisarvu n korral on täisarv. Ja murdosa väärtus on täisarv siis ja ainult siis, kui selle nimetaja on 1, −1, 3 või −3. Need väärtused vastavad vastavalt väärtustele n=3, n=1, n=5 ja n=-1.

Vastus:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliograafia.

Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 13. väljaanne, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Ratsionaalväljendid ja murrud on kogu algebra kursuse nurgakivi. Need, kes õpivad selliste avaldistega töötama, neid lihtsustama ja arvesse võtma, suudavad tegelikult lahendada mis tahes probleemi, kuna avaldiste teisendamine on iga tõsise võrrandi, ebavõrdsuse ja isegi tekstülesannete lahutamatu osa.

Selles videoõpetuses näeme, kuidas õigesti rakendada lühendatud korrutusvalemeid, et lihtsustada ratsionaalseid avaldisi ja murde. Õpime nägema neid valemeid, kus esmapilgul pole midagi. Samal ajal kordame sellist lihtsat nippi nagu ruudukujulise trinoomi arvestamine teguriteks diskriminandi kaudu.

Nagu te ilmselt juba arvasite mu selja taga olevate valemite põhjal, uurime täna lühendatud korrutamise valemeid, õigemini mitte valemeid endid, vaid nende rakendamist keerukate ratsionaalsete avaldiste lihtsustamiseks ja vähendamiseks. Kuid enne näidete lahendamise juurde asumist vaatame neid valemeid lähemalt või tuletame meelde:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ on ruutude erinevus;
$((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ on summa ruut;
$((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ on erinevus ruudus;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\vasak(a+b \parem)\vasak(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ on kuubikute summa;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\vasak(a-b \parem)\vasak(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ on kuubikute vahe.

Samuti märgin ära, et meie kooliharidussüsteem on kujundatud nii, et just selle teema uurimisega, s.o. ratsionaalsed väljendid, samuti juured, moodulid, kõigil õpilastel on sama probleem, mida ma nüüd selgitan.

Fakt on see, et lühendatud korrutamise valemite ja vastavalt murdude vähendamise toimingute uurimise alguses (see on umbes 8. klass) ütlevad õpetajad midagi sellist: "Kui midagi pole teile selge, siis ärge muretsege. , me tuleme selle teema juurde veel kord tagasi, keskkoolis kindlasti. Eks me mõtleme selle hiljem välja." Noh, siis 9.-10. klassi vahetusel seletavad samad õpetajad samadele õpilastele, kes ikka veel ei tea, kuidas ratsionaalseid murde lahendada, umbes nii: „Kus sa olid eelmisel kahel aastal? Sama õpiti algebras 8. klassis! Mis siin arusaamatut saab olla? See on nii ilmne!"

Tavaliste õpilaste jaoks pole aga sellised seletused sugugi lihtsamad: neil oli ikka segadus peas, seega analüüsime kohe kahte lihtsat näidet, mille põhjal näeme, kuidas neid väljendeid reaalsetes ülesannetes esile tõsta, mis viib meid lühikeste korrutusvalemiteni ja kuidas seda hiljem rakendada keerukate ratsionaalsete avaldiste teisendamiseks.

Lihtratsionaalsete murdude taandamine

Ülesanne nr 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Esimese asjana peame õppima eristama originaalavaldistes täpseid ruute ja kõrgemaid võimsusi, mille põhjal saame seejärel valemeid rakendada. Vaatame:

Kirjutame oma väljendi ümber, võttes arvesse järgmisi fakte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3(y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \parem))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3(y)^(2))-4x \parem)\vasak(3 ((y)^(2))+4x \parem))=\frac(1)(3(y)^(2))-4x)\]

Vastus: $\frac(1)(3(y)^(2))-4x)$.

Ülesanne nr 2

Liigume edasi teise ülesande juurde:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Siin pole midagi lihtsustada, sest lugeja on konstant, kuid pakkusin selle ülesande välja just selleks, et saaksite teada, kuidas kahte muutujat sisaldavad polünoomid faktoriseerida. Kui selle asemel oleks allpool kirjutatud polünoom, kuidas me selle lagundaksime?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Lahendame võrrandi ja leiame $x$, mille saame punktide asemele panna:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Saame trinoomi ümber kirjutada järgmiselt:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Õppisime töötama ruudukujulise trinoomiga – selleks pidime selle videotunni salvestama. Aga mis siis, kui lisaks $x$ ja konstandile on olemas ka $y$? Vaatame neid koefitsientide teise elemendina, s.o. Kirjutame oma väljendi ümber järgmiselt:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5a+7a)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Kirjutame oma ruudukonstruktsiooni lagunemise:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Kokkuvõttes, kui pöördume tagasi algse avaldise juurde ja kirjutame selle muudatusi arvesse võttes ümber, saame järgmise:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Mida selline rekord meile annab? Mitte midagi, sest seda ei saa vähendada, seda ei korruta ega jagata millegagi. Kuid niipea, kui see murd osutub mõne keerukama avaldise lahutamatuks osaks, tuleb selline laiendus kasuks. Seega, niipea kui näete ruudukujulist trinoomi (olenemata sellest, kas see on koormatud lisaparameetritega või mitte), proovige seda alati koefitsieneerida.

Lahenduse nüansid

Pidage meeles ratsionaalsete avaldiste teisendamise põhireegleid:

Kõik nimetajad ja lugejad tuleb arvesse võtta kas lühendatud korrutusvalemite või diskriminandi kaudu.
Peame töötama selle algoritmi järgi: kui me vaatame ja proovime lühendatud korrutamisvalemit esile tõsta, siis kõigepealt proovime tõlkida kõike võimalikult suurel määral. Pärast seda võtame sulgudest välja üldise astme.
Väga sageli on avaldised parameetriga: muud muutujad ilmuvad koefitsientidena. Leiame need ruutlaienduse valemi abil.

Seega, niipea kui näete ratsionaalseid murde, tuleb esimese asjana arvestada nii lugeja kui ka nimetaja teguriteks (lineaarseteks avaldisteks), samal ajal kui kasutame vähendatud korrutusvalemeid või diskriminant.

Vaatame paari sellist ratsionaalset väljendit ja proovime neid välja arvutada.

Keerulisemate näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9(y)^(2))- 4((x)^(2)))(8(x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Kirjutame ümber ja proovime iga terminit laiendada:

Kirjutame kogu oma ratsionaalse väljendi ümber, pidades silmas neid fakte:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y\right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \parem))=-1\]

Vastus: $-1 $.

Ülesanne nr 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Vaatame kõiki murde.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cpunkt 2x+((2)^( 2))=((\left(x-2 \right))^(2))\]

Kirjutame kogu struktuuri ümber, võttes arvesse muudatusi:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \parem))(\vasak(2x-1 \parem)\vasak(2x+1 \parem))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Vastus: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Lahenduse nüansid

Mida me just õppisime:

Mitte iga ruuttrinoom ei ole faktoriseeritud, eriti puudutab see summa või erinevuse mittetäielikku ruutu, mida sageli leidub summa või erinevuse kuubikute osadena.
Konstandid, s.o. Tavalised arvud, millel ei ole muutujaid, võivad toimida ka lagunemisprotsessis aktiivsete elementidena. Esiteks saab need sulgudest välja võtta ja teiseks saab konstandid ise esitada võimsustena.
Väga sageli tekivad pärast kõigi elementide teguriteks lagundamist vastupidised konstruktsioonid. Peate neid murde väga hoolikalt vähendama, sest kui need ülevalt või alt läbi kriipsutada, ilmub lisategur $-1 $ - see on täpselt nende vastandlikkuse tagajärg.

Keeruliste probleemide lahendamine

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Vaatleme iga terminit eraldi.

Esimene murdosa:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \parem))^(2))+3a\cpunkt 4b+((\vasak(4b \parem))^(2)) \parem)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\vasak(b-2 \parem)\vasak(b+2 \parem)\]

Saame kogu teise murru lugeja ümber kirjutada järgmiselt:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Vaatame nüüd nimetajat:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cpunkt 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Arvestades ülaltoodud fakte, kirjutame kogu ratsionaalse avaldise ümber:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \parem))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Vastus: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Lahenduse nüansid

Nagu taaskord nägime, ei pea siiski kartma summa mittetäielikud ruudud või erinevuse mittetäielikud ruudud, mida sageli leidub reaalsetes ratsionaalsetes avaldistes, sest pärast iga elemendi teisendamist nad peaaegu alati tühistavad. Lisaks ei tohiks te mingil juhul karta suuri konstruktsioone lõplikus vastuses - on täiesti võimalik, et see pole teie viga (eriti kui kõik on arvesse võetud), kuid autor mõtles sellise vastuse välja.

Kokkuvõtteks tahaksin analüüsida veel üht keerukamat näidet, mis ei ole enam otseselt seotud ratsionaalsete murdudega, kuid sisaldab kõike, mis sind reaalsetel testidel ja eksamitel ees ootab, nimelt: faktoriseerimine, taandamine ühise nimetajani, sarnaste terminite taandamine. . Täpselt seda me nüüd teemegi.

Ratsionaalsete avaldiste lihtsustamise ja teisendamise keerulise probleemi lahendamine

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Esiteks kaaluge ja laiendage esimest sulgu: selles näeme kolme erinevat murdu, millel on erinevad nimetajad, nii et esimene asi, mida peame tegema, on viia kõik kolm murdu ühisele nimetajale ja selleks tuleks igaüks neist arvesse võtta:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \parem)\]

Kirjutame kogu oma struktuuri järgmiselt:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \parem))(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \parem))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \parem))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

See on esimesest sulust tehtud arvutuste tulemus.

Teise sulu käsitlemine:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(x+2 \ õige)\]

Kirjutame teise sulg ümber, võttes arvesse muudatusi:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\vasak(x-2 \parem)\vasak(x+2 \parem))\]

Nüüd kirjutame kogu algse konstruktsiooni:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Vastus: $\frac(1)(x+2)$.

Lahenduse nüansid

Nagu näha, osutus vastus üsna mõistlikuks. Kuid pange tähele: väga sageli selliste suuremahuliste arvutuste puhul, kui ainus muutuja on ainult nimetajas, unustavad õpilased, et see on nimetaja ja see peaks olema murdosa allosas ning kirjutama selle avaldise lugejasse - see on ränk viga.

Lisaks tahaksin juhtida teie erilist tähelepanu selliste ülesannete vormistamisele. Mis tahes keeruliste arvutuste puhul viiakse kõik sammud läbi samm-sammult: esiteks loeme esimese sulu eraldi, seejärel teise sulu eraldi ja alles lõpus ühendame kõik osad ja arvutame tulemuse. Seega kindlustame end rumalate vigade vastu, paneme kõik arvutused hoolikalt kirja ja samas ei raiska lisaaega, nagu esmapilgul võib tunduda.

See artikkel räägib sellest ratsionaalsete väljendite teisendamine, enamasti murdosaliselt ratsionaalne, on 8. klassi algebrakursuse üks võtmeküsimusi. Esiteks tuletame meelde, milliseid väljendeid nimetatakse ratsionaalseteks. Järgmisena keskendume standardsete teisenduste tegemisele ratsionaalsete avaldistega, nagu terminite rühmitamine, ühistegurite väljavõtmine sulgudest, sarnaste terminite vähendamine jne. Lõpuks õpime esitama murdarvulisi ratsionaalseid avaldisi ratsionaalsete murdudena.

Leheküljel navigeerimine.

Ratsionaalsete väljendite definitsioon ja näited

Ratsionaalväljendid on üks koolis algebratundides õpitavaid avaldiste liike. Anname definitsiooni.

Definitsioon.

Nimetatakse avaldisi, mis koosnevad arvudest, muutujatest, sulgudest, kraadidest täisarvuliste astendajatega, mis on ühendatud aritmeetiliste tehete +, −, · ja: märkide abil, kus jagamist saab tähistada murdarvuga. ratsionaalsed väljendid.

Siin on mõned näited ratsionaalsetest väljenditest: .

Ratsionaalseid väljendeid hakatakse sihipäraselt õppima 7. klassist. Veelgi enam, 7. klassis töötamise põhitõed nn terved ratsionaalsed väljendid st ratsionaalsete avaldistega, mis ei sisalda muutujatega avaldisteks jagunemist. Selleks uuritakse järjepidevalt mono- ja polünoome ning nendega toimingute sooritamise põhimõtteid. Kõik need teadmised võimaldavad lõpuks teostada täisarvuavaldiste teisendamist.

8. klassis minnakse edasi muutujatega avaldisega jagamist sisaldavate ratsionaalsete avaldiste uurimisega, mida nimetatakse nn. murdarvulised ratsionaalsed avaldised. Samas pööratakse erilist tähelepanu nn ratsionaalsed murded(nimetatud ka algebralised murrud), see tähendab murde, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome. See võimaldab lõppkokkuvõttes teostada ratsionaalsete murdude teisendamist.

Omandatud oskused võimaldavad meil liikuda suvalise vormiga ratsionaalsete väljendite teisendamiseni. Seda seletatakse asjaoluga, et mis tahes ratsionaalset avaldist võib käsitleda avaldisena, mis koosneb ratsionaalsetest murdudest ja täisarvulistest avaldistest, mida ühendavad aritmeetiliste toimingute märgid. Ja me juba teame, kuidas töötada täisarvuliste avaldiste ja algebraliste murdudega.

Ratsionaalväljendite teisenduste põhitüübid

Ratsionaalväljendite abil saate läbi viia mis tahes põhilise identiteedi teisendusi, olgu selleks terminite või tegurite rühmitamine, sarnaste terminite toomine, numbritega tehte tegemine jne. Tavaliselt on nende teisenduste eesmärk ratsionaalse väljenduse lihtsustamine.

Näide.

Otsus.

On selge, et see ratsionaalne avaldis on kahe avaldise erinevus ja pealegi on need avaldised sarnased, kuna neil on sama sõnasõnaline osa. Seega saame sarnaseid termineid vähendada:

Vastus:

On selge, et ratsionaalsete väljenditega teisenduste tegemisel, nagu ka kõigi teiste väljenditega, tuleb jääda aktsepteeritud toimingute järjekorra raamidesse.

Näide.

Teisenda ratsionaalne väljend.

Otsus.

Teame, et sulgudes olevad toimingud täidetakse kõigepealt. Seetõttu teisendame kõigepealt sulgudes oleva avaldise: 3 x − x=2 x .

Nüüd saate tulemuse asendada algse ratsionaalse avaldisega: . Nii jõudsime väljendini, mis sisaldab ühe etapi toiminguid - liitmist ja korrutamist.

Vabaneme avaldise lõpus olevatest sulgudest, rakendades korrutis-jagamise omadust: .

Lõpuks saame rühmitada arvulised tegurid ja tegurid muutujaga x ning seejärel teha arvudega vastavad toimingud ja rakendada : .

See lõpetab ratsionaalse avaldise teisenduse ja selle tulemusena saime monomiaali.

Vastus:

Näide.

Teisenda ratsionaalne väljendus .

Otsus.

Kõigepealt teisendame lugeja ja nimetaja. See murdude teisendamise järjekord on seletatav asjaoluga, et murdosa tõmme on sisuliselt teine jaotuse tähis ja algne ratsionaalne avaldis on sisuliselt konkreetne vorm , ja sulgudes olevad toimingud sooritatakse esimesena.

Niisiis, lugejas teostame polünoomidega tehteid, kõigepealt korrutamist, seejärel lahutamist ning nimetajas rühmitame arvulised tegurid ja arvutame nende korrutise: .

Kujutagem ette ka saadud murru lugejat ja nimetajat korrutisena: äkki on võimalik algebralist murdu vähendada. Selleks kasutame lugejas ruutude erinevuse valem, ja nimetajas võtame sulgudest välja kahekoha, meil on .

Vastus:

Seega võib esialgset tutvumist ratsionaalsete väljendite teisendamisega lugeda sooritatuks. Me läheme nii-öelda magusamatele.

Esitamine ratsionaalse murdena

Avaldiste teisendamise kõige levinum lõppeesmärk on nende vormi lihtsustamine. Selles valguses on kõige lihtsam vorm, milleks saab murdratsionaalse avaldise teisendada, ratsionaalne (algebraline) murd ja konkreetsel juhul polünoom, monoom või arv.

Kas mis tahes ratsionaalset avaldist on võimalik esitada ratsionaalse murdena? Vastus on jah. Selgitame, miks see nii on.

Nagu me juba ütlesime, võib iga ratsionaalset avaldist pidada polünoomideks ja ratsionaalseteks murdudeks, mis on ühendatud pluss-, miinusmärkidega, korrutamine ja jagamine. Kõik polünoomidega tehtavad asjakohased toimingud annavad polünoomi või ratsionaalse murru. Iga polünoomi saab omakorda teisendada algebraliseks murdeks, kirjutades selle nimetajaga 1. Ja ratsionaalsete murdude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel saadakse uus ratsionaalne murd. Seega, pärast kõigi polünoomide ja ratsionaalsete murdudega tehte sooritamist ratsionaalses avaldises, saame ratsionaalse murru.

Näide.

Väljendage avaldist ratsionaalse murruna .

Otsus.

Algne ratsionaalne avaldis on vahe murdosa ja vormi murdude korrutise vahel . Vastavalt tehte järjekorrale peame esmalt sooritama korrutamise ja alles siis liitmise.

Alustame algebraliste murdude korrutamisest:

Saadud tulemuse asendame algse ratsionaalse avaldisega: .

Oleme jõudnud erinevate nimetajatega algebraliste murdude lahutamiseni:

Niisiis, olles sooritanud toiminguid ratsionaalsete murdudega, mis moodustavad algse ratsionaalse avaldise, esitasime selle ratsionaalse murruna.

Vastus:

Materjali koondamiseks analüüsime veel ühe näite lahendust.

Näide.

Väljendage ratsionaalset avaldist ratsionaalse murruna.