Millise parameetri a väärtuse juures on võrrand. Ruutvõrrandid parameetritega. Eksponentvõrrandid parameetriga
Tüüpvõrrand f(x; a) = 0 kutsutakse muutuv võrrand X ja parameeter a.
Lahendage võrrand parameetriga a See tähendab, et iga väärtuse kohta a leida väärtusi X selle võrrandi rahuldamiseks.
Näide 1 Oh= 0
Näide 2 Oh = a
Näide 3
x + 2 = ax
x - kirves \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
kui 1 - a= 0, st. a= 1, siis X 0 = -2 juurteta
kui 1 - a 0, st. a 1, siis X =
Näide 4
(a 2 – 1) X = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)X = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)X = (1a – 3)(a – 1)
Kui a a= 1, siis 0 X = 0
X- mis tahes reaalarv
Kui a a= -1, siis 0 X = -2
pole juuri
Kui a a 1, a-1 siis X= (ainus lahendus).
See tähendab, et iga kehtiva väärtuse kohta a vastab ühele väärtusele X.
Näiteks:
kui a= 5, siis X = = ;
kui a= 0, siis X= 3 jne.
Didaktiline materjal
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. a = +
juures a= 1 juured puuduvad.
juures a= 3 juurteta.
juures a = 1 X mis tahes reaalarv, välja arvatud X = 1
juures a = -1, a= 0 lahendusi pole.
juures a = 0, a= 2 lahendusi pole.
juures a = -3, a = 0, 5, a= -2 lahendusi pole
juures a = -Koos, Koos= 0 lahendusi pole.
Ruutvõrrandid parameetriga
Näide 1 lahendage võrrand
(a – 1)X 2 = 2(2a + 1)X + 4a + 3 = 0
Kell a = 1 6X + 7 = 0
Millal a 1 valige need parameetri väärtused, mille jaoks D läheb nulli.
D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Kui a a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Kui a a> -4/5 ja a 1, siis D > 0,
X = 
Kui a a= 4/5, siis D = 0,
Näide 2 Millistel parameetri väärtustel on võrrand
x 2 + 2( a + 1)X + 9a– 5 = 0 on 2 erinevat negatiivset juurt?
D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
t. Vieta järgi: X 1 + X 2 = -2(a + 1)
X 1 X 2 = 9a – 5
Tingimuste järgi X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Lõpuks | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Riis. üks) < a < 1, либо a > 6 |
Näide 3 Leia väärtused a mille jaoks sellel võrrandil on lahendus.
x 2 - 2( a – 1)X + 2a + 1 = 0
D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 või a – 4 = 0
a = 4
(Riis. 2)
Vastus: a 0 ja a 4
Didaktiline materjal
1. Millise väärtusega a võrrand Oh 2 – (a + 1) X + 2a– 1 = 0 on ühe juurega?
2. Millise väärtusega a võrrand ( a + 2) X 2 + 2(a + 2)X+ 2 = 0 on üks juur?
3. Milliste a väärtuste jaoks on võrrand ( a 2 – 6a + 8) X 2 + (a 2 – 4) X + (10 – 3a – a 2) = 0-l on rohkem kui kaks juurt?
4. Milliste võrrandi 2 väärtuste korral X 2 + X – a= 0-l on vähemalt üks ühine juur koos võrrandiga 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Milliste a väärtuste jaoks on võrrandid X 2 +Oh+ 1 = 0 ja X 2 + X + a= 0 on vähemalt üks ühine juur?
1. Millal a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. Millal a = 0
3. Millal a = 2
4. Millal a = 10
5. Millal a = - 2
Eksponentvõrrandid parameetriga
Näide 1.Leia kõik väärtused a, mille jaoks võrrand
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) on täpselt kaks juurt.
Lahendus. Korrutades võrrandi (1) mõlemad pooled 3 2/x-ga, saame samaväärse võrrandi
3 2 (x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Olgu 3 x+1/x = juures, siis saab võrrand (2) kuju juures 2 – (a + 2)juures + 2a= 0 või
(juures – 2)(juures – a) = 0, kust juures 1 =2, juures 2 = a.
Kui a juures= 2, st. 3 x + 1/x = 2 siis X + 1/X= log 3 2 või X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Sellel võrrandil pole tegelikke juuri, sest see D= log 2 3 2 – 4< 0.
Kui a juures = a, st. 3 x+1/x = a siis X + 1/X= log 3 a, või X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Võrrandil (3) on täpselt kaks juurt siis ja ainult siis
D = log 2 3 2 – 4 > 0 või |log 3 a| > 2.
Kui log 3 a > 2, siis a> 9 ja kui logi 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
Vastus: 0< a < 1/9, a > 9.
Näide 2. Millistel võrrandi väärtustel 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a= 0 on lahendused?
Et antud võrrandil oleks lahendid, on vajalik ja piisav, et võrrand t 2 – (a - 3) t – 3a= 0-l on vähemalt üks positiivne juur. Leiame juured Vieta teoreemi abil: X 1 = -3, X 2 = a = >
a on positiivne arv.
Vastus: millal a > 0
Didaktiline materjal
1. Leidke kõik a väärtused, mille jaoks on võrrand
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 on täpselt 2 lahendust.
2. Milliste a väärtuste korral võrrand kehtib
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 on üks juur?
3. Milliste parameetri väärtuste jaoks on võrrand
4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 on unikaalne lahendus?
Logaritmvõrrandid parameetriga
Näide 1 Otsige üles kõik väärtused a, mille jaoks võrrand
log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
on ainulaadne lahendus.
Lahendus. Võrrand (1) on samaväärne võrrandiga
1 + Oh = 2X juures X > 0, X 1/4 (3)
X = juures
au 2 - juures + 1 = 0 (4)
Tingimus (2) punktist (3) ei ole täidetud.
Lase a 0 siis au 2 – 2juures+ 1 = 0-l on reaaljuured siis ja ainult siis D = 4 – 4a 0, st. juures a 1. Ebavõrdsuse (3) lahendamiseks koostame funktsioonide graafikud Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi kursuse süvendatud õppimine. - M.: Valgustus, 1990
1. Ülesanne.
Millistel parameetri väärtustel a võrrand ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 on täpselt üks juur?
1. Otsus.
Kell a= 1 võrrandil on vorm 2 x= 0 ja sellel on ilmselt üks juur x= 0. Kui a 1, siis on see võrrand ruutkeskne ja sellel on üks juur parameetri nende väärtuste jaoks, mille puhul ruudukujulise trinoomi diskriminant on võrdne nulliga. Võrdsustades diskriminandi nulliga, saame parameetri võrrandi a
4a 2 - 8a= 0, kust a= 0 või a = 2.
1. Vastus: võrrandil on üks juur a O(0; 1; 2).
2. Ülesanne.
Otsige üles kõik parameetrite väärtused a, mille võrrandil on kaks erinevat juurt x 2 +4kirves+8a+3 = 0.
2. Otsus.
Võrrand x 2 +4kirves+8a+3 = 0 on kaks erinevat juurt siis ja ainult siis D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Saame (pärast taandamist ühisteguriga 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, kust
2. Vastus:
| a O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) JA (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Ülesanne.
On teada, et
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Joonistage funktsiooni graafik f 1 (x) kell a = 1.
b) Millise väärtusega a funktsiooni graafikud f 1 (x) ja f 2 (x) kas teil on üks ühine punkt?
3. Lahendus.
3.a. Muutkem f 1 (x) järgmisel viisil
Selle funktsiooni graafik a= 1 on näidatud parempoolsel joonisel.
3.b. Märgime kohe, et funktsiooni graafikud y =
kx+b ja y = kirves 2 +bx+c
(a Nr 0) lõikuvad ühes punktis siis ja ainult siis, kui ruutvõrrand kx+b =
kirves 2 +bx+c on üks juur. Vaate kasutamine f 1/ 3.a, võrdsustame võrrandi diskriminandi a = 6x-x 2-6 nullini. Võrrandist 36-24-4 a= 0 saame a= 3. Teeme sama võrrandiga 2 x-a = 6x-x 2-6 leid a= 2. On lihtne kontrollida, kas need parameetrite väärtused vastavad probleemi tingimustele. Vastus: a= 2 või a = 3.
4. Ülesanne.
Otsige üles kõik väärtused a, mille all on võrratuse lahendite hulk x 2 -2kirves-3a i 0 sisaldab segmenti .
4. Lahendus.
Parabooli tipu esimene koordinaat f(x) =
x 2 -2kirves-3a on võrdne x 0 =
a. Ruutfunktsiooni omadustest tingimus f(x) i 0 intervallil on võrdne kolme süsteemi kogusummaga
on täpselt kaks lahendust?
5. Otsus.
Kirjutame selle võrrandi ümber kujul x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. See on ruutvõrrand, sellel on täpselt kaks lahendit, kui selle diskriminant on rangelt suurem kui null. Diskriminandi arvutamisel saame, et täpselt kahe juure olemasolu tingimuseks on ebavõrdsuse täitumine a 2 +a-6 > 0. Lahendades ebavõrdsust, leiame a < -3 или a> 2. Ilmselgelt ei ole esimesel võrratustel naturaalarvudes lahendeid ja teise väikseim loomulik lahend on arv 3.
5. Vastus: 3.
6. Ülesanne (10 lahtrit)
Otsige üles kõik väärtused a, mille puhul funktsiooni graafik või pärast ilmseid teisendusi a-2 = |
2-a| . Viimane võrrand on võrdne ebavõrdsusega a mina 2.
6. Vastus: a O )