Näited kolme tundmatuga süsteemide lahendamisest. Kolme tundmatuga võrrandite lahendamine matemaatikas

Tunni sisu

Lineaarvõrrandid kahe muutujaga

Õpilasel on koolis lõunatamiseks 200 rubla. Kook maksab 25 rubla ja tass kohvi 10 rubla. Mitu kooki ja tassi kohvi saab osta 200 rubla eest?

Tähistage läbivate kookide arvu x, ja kohvitasside arv läbi y. Siis tähistatakse kookide maksumust avaldisega 25 x ja kohvitasside hind 10 y .

25x- hind x koogid
10ja- hind y tassid kohvi

Kogusumma peaks olema 200 rubla. Siis saame kahe muutujaga võrrandi x ja y

25x+ 10y= 200

Mitu juurt sellel võrrandil on?

Kõik oleneb õpilase isust. Kui ta ostab 6 kooki ja 5 tassi kohvi, siis on võrrandi juurteks numbrid 6 ja 5.

Väärtuste paar 6 ja 5 on võrrandi 25 juured x+ 10y= 200. Kirjutatud kujul (6; 5) , kusjuures esimene number on muutuja väärtus x, ja teine - muutuja väärtus y .

6 ja 5 ei ole ainsad juured, mis võrrandit 25 ümber pööravad x+ 10y= 200 identiteedile. Soovi korral saab tudeng sama 200 rubla eest osta 4 kooki ja 10 tassi kohvi:

In e sel juhul võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtuste paar (4; 10) .

Pealegi ei pruugi tudeng üldse kohvi osta, vaid osta koogid kõigi 200 rubla eest. Siis võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtused 8 ja 0

Või vastupidi, ära osta kooke, vaid osta kohvi kõigi 200 rubla eest. Siis võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtused 0 ja 20

Proovime loetleda kõik võrrandi 25 võimalikud juured x+ 10y= 200. Leppigem kokku, et väärtused x ja y kuuluvad täisarvude hulka. Ja olgu need väärtused suuremad või võrdsed nulliga:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Nii on see õpilasele endale mugav. Kooke on mugavam osta tervelt kui näiteks mitut tervet kooki ja pool kooki. Samuti on kohvi tervete tasside kaupa mugavam võtta kui näiteks mitut tervet tassi ja pool tassi.

Pange tähele, et paaritu jaoks xühegi all on võrdsust võimatu saavutada y. Siis väärtused x seal on järgmised numbrid 0, 2, 4, 6, 8. Ja teadmine x saab kergesti määrata y

Seega saime järgmised väärtuspaarid (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Need paarid on võrrandi 25 lahendid või juured x+ 10y= 200. Nad muudavad selle võrrandi identiteediks.

Tüüpvõrrand ax + by = c helistas kahe muutujaga lineaarvõrrand. Selle võrrandi lahendus või juured on väärtuste paar ( x; y), mis muudab selle identiteediks.

Pange tähele ka seda, et kui kahe muutujaga lineaarvõrrand on kirjutatud kujul ax + b y = c , siis nad ütlevad, et see on sisse kirjutatud kanooniline(tavaline) vorm.

Mõned lineaarvõrrandid kahes muutujas saab taandada kanooniliseks vormiks.

Näiteks võrrand 2(16x+ 3ja- 4) = 2(12 + 8x − y) võib meelde tuletada ax + by = c. Avame selle võrrandi mõlemas osas sulud, saame 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tundmatuid sisaldavad terminid on rühmitatud võrrandi vasakule küljele ja tundmatutest vabad terminid paremale. Siis saame 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Toome mõlemas osas sarnased terminid, saame võrrandi 16 x+ 8y= 32. See võrrand taandatakse kujule ax + by = c ja on kanooniline.

Varem vaadeldud võrrand 25 x+ 10y= 200 on ka kahe muutujaga lineaarvõrrand kanoonilisel kujul. Selles võrrandis on parameetrid a , b ja c võrdub väärtustega vastavalt 25, 10 ja 200.

Tegelikult võrrand ax + by = c on lõpmatu arv lahendusi. Võrrandi lahendamine 25x+ 10y= 200, otsisime selle juuri ainult täisarvude hulgast. Selle tulemusena saime mitu väärtuspaari, mis muutsid selle võrrandi identiteediks. Aga ratsionaalarvude hulga võrrand 25 x+ 10y= 200 on lõpmatu arv lahendusi.

Uute väärtuspaaride saamiseks peate võtma suvalise väärtuse x, siis väljenda y. Näiteks võtame muutuja x väärtus 7. Siis saame ühe muutujaga võrrandi 25 × 7 + 10y= 200 milles väljendada y

Lase x= 15. Siis võrrand 25x+ 10y= 200 saab 25 × 15 + 10y= 200. Siit leiame selle y = −17,5

Lase x= –3 . Siis võrrand 25x+ 10y= 200 muutub 25 × (−3) + 10y= 200. Siit leiame selle y = −27,5

Kahe kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteem

Võrrandi jaoks ax + by = c võite võtta suvalise arvu suvalisi väärtusi x ja leida väärtusi y. Eraldi võttes on sellisel võrrandil lõpmatu arv lahendusi.

Kuid juhtub ka seda, et muutujad x ja yühendatud mitte ühe, vaid kahe võrrandiga. Sel juhul moodustavad nad nn süsteem lineaarvõrrandid kahe muutujaga. Sellisel võrrandisüsteemil võib olla üks väärtuspaar (või teisisõnu: "üks lahendus").

Samuti võib juhtuda, et süsteemil puuduvad lahendused. Lineaarvõrrandisüsteemil võib harvadel ja erandjuhtudel olla lõpmatu arv lahendusi.

Kaks lineaarset võrrandit moodustavad süsteemi, kui väärtused x ja y sisalduvad kõigis nendes võrrandites.

Läheme tagasi kõige esimese võrrandi 25 juurde x+ 10y= 200. Üks selle võrrandi väärtuste paaridest oli paar (6; 5) . Seda siis, kui 200 rubla eest sai osta 6 kooki ja 5 tassi kohvi.

Koostame ülesande nii, et paarist (6; 5) saab võrrandi 25 ainus lahendus x+ 10y= 200. Selleks koostame teise võrrandi, mis ühendaks sama x koogid ja y tassid kohvi.

Paneme ülesande teksti järgmiselt:

«Koolipoiss ostis 200 rubla eest mitu kooki ja mitu tassi kohvi. Kook maksab 25 rubla ja tass kohvi 10 rubla. Mitu kooki ja tassi kohvi ostis õpilane, kui on teada, et kooke on ühe võrra rohkem kui kohvitasse?

Meil on juba esimene võrrand. See on võrrand 25 x+ 10y= 200. Nüüd kirjutame tingimuse võrrandi "kookide arv on ühe ühiku võrra rohkem kui tasside arv kohvi" .

Tortide arv on x, ja kohvitasside arv on y. Selle fraasi saate kirjutada võrrandi abil x − y= 1. See võrrand tähendaks, et kookide ja kohvi erinevus on 1.

x=y+ 1 . See võrrand tähendab, et kookide arv on ühe võrra suurem kui tasside arv kohvi. Seetõttu lisatakse võrdsuse saavutamiseks kohvitasside arvule üks. Seda saab hõlpsasti mõista, kui kasutame kaalumudelit, mida kaalusime kõige lihtsamate probleemide uurimisel:

Saime kaks võrrandit: 25 x+ 10y= 200 ja x=y+ 1. Kuna väärtused x ja y, nimelt 6 ja 5 sisalduvad kõigis nendes võrrandites, siis moodustavad nad koos süsteemi. Paneme selle süsteemi kirja. Kui võrrandid moodustavad süsteemi, siis on need raamitud süsteemi märgiga. Süsteemimärk on lokkis sulg:

Otsustame see süsteem. See võimaldab meil näha, kuidas jõuame väärtusteni 6 ja 5. Selliste süsteemide lahendamiseks on palju meetodeid. Mõelge neist kõige populaarsematele.

Asendusmeetod

Selle meetodi nimi räägib enda eest. Selle olemus seisneb ühe võrrandi asendamises teisega, olles eelnevalt ühe muutuja väljendanud.

Meie süsteemis ei pea midagi väljendama. Teises võrrandis x = y+ 1 muutuja x juba väljendatud. See muutuja on võrdne avaldisega y+ 1 . Seejärel saate selle avaldise muutuja asemel asendada esimeses võrrandis x

Pärast väljendi asendamist y+ 1 asemel esimesse võrrandisse x, saame võrrandi 25(y+ 1) + 10y= 200 . See on ühe muutujaga lineaarne võrrand. Seda võrrandit on üsna lihtne lahendada:

Leidsime muutuja väärtuse y. Nüüd asendame selle väärtuse ühe võrrandiga ja leiame väärtuse x. Selleks on mugav kasutada teist võrrandit x = y+ 1 . Paneme sellesse väärtuse y

Seega on paar (6; 5) võrrandisüsteemi lahendus, nagu me kavatsesime. Kontrollime ja veendume, et paar (6; 5) vastab süsteemile:

Näide 2

Asendage esimene võrrand x= 2 + y teise võrrandisse 3 x - 2y= 9. Esimeses võrrandis muutuja x on võrdne avaldisega 2 + y. Selle asemel asendame selle avaldise teise võrrandiga x

Nüüd leiame väärtuse x. Selleks asendage väärtus y esimesse võrrandisse x= 2 + y

Seega on süsteemi lahenduseks paari väärtus (5; 3)

Näide 3. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Erinevalt eelmistest näidetest ei ole siin üks muutujatest selgesõnaliselt väljendatud.

Ühe võrrandi asendamiseks teisega peate esmalt .

Soovitav on väljendada muutujat, mille koefitsient on üks. Koefitsiendi ühikul on muutuja x, mis sisaldub esimeses võrrandis x+ 2y= 11. Väljendame seda muutujat.

Pärast muutuvat avaldist x, näeb meie süsteem välja selline:

Nüüd asendame esimese võrrandi teisega ja leiame väärtuse y

Asendaja y x

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (3; 4)

Muidugi saab väljendada ka muutujat y. Juured ei muutu. Aga kui väljendad y, tulemuseks ei ole väga lihtne võrrand, mille lahendamine võtab rohkem aega. See näeb välja selline:

Me näeme seda selles see näide väljendada x palju mugavam kui väljendada y .

Näide 4. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Väljendage esimeses võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Asendaja y esimesse võrrandisse ja leidke x. Võite kasutada algset võrrandit 7 x+ 9y= 8 või kasutage võrrandit, milles muutuja on väljendatud x. Kasutame seda võrrandit, kuna see on mugav:

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (5; −3)

Lisamise meetod

Liitmismeetodiks on süsteemis sisalduvate võrrandite liitmine termini haaval. Selle liitmise tulemuseks on uus ühe muutuja võrrand. Ja seda võrrandit on üsna lihtne lahendada.

Lahendame järgmise võrrandisüsteemi:

Lisage esimese võrrandi vasak pool teise võrrandi vasakpoolsele küljele. Ja esimese võrrandi parem pool teise võrrandi parema küljega. Saame järgmise võrdsuse:

Siin on sarnased terminid:

Selle tulemusena saime kõige lihtsama võrrandi 3 x= 27 mille juur on 9. Väärtuse teadmine x leiate väärtuse y. Asendage väärtus x teise võrrandisse x − y= 3. Saame 9 − y= 3. Siit y= 6 .

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (9; 6)

Näide 2

Lisage esimese võrrandi vasak pool teise võrrandi vasakpoolsele küljele. Ja esimese võrrandi parem pool teise võrrandi parema küljega. Saadud võrdsuses esitame sarnased terminid:

Selle tulemusena saime lihtsaima võrrandi 5 x= 20, mille juur on 4. Väärtuse teadmine x leiate väärtuse y. Asendage väärtus x esimesse võrrandisse 2 x+y= 11. Võtame 8+ y= 11. Siit y= 3 .

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (4;3)

Lisamisprotsessi pole üksikasjalikult kirjeldatud. Seda tuleb teha mõttes. Liitmisel tuleb mõlemad võrrandid taandada kanoonilisele kujule. See tähendab mõistusele ac+by=c .

Vaadeldavatest näidetest on näha, et võrrandite lisamise peamine eesmärk on vabaneda ühest muutujast. Kuid alati pole võimalik võrrandisüsteemi kohe liitmismeetodiga lahendada. Kõige sagedamini viiakse süsteem eelnevalt sellisele kujule, kus on võimalik selles süsteemis sisalduvad võrrandid liita.

Näiteks süsteem saab lahendada otse liitmismeetodiga. Mõlema võrrandi liitmisel terminid y ja −y kaovad, sest nende summa on null. Selle tulemusena moodustub lihtsaim võrrand 11 x= 22 , mille juur on 2. Siis on võimalik määrata y võrdne 5-ga.

Ja võrrandisüsteem liitmismeetodit ei saa kohe lahendada, kuna see ei too kaasa ühe muutuja kadumist. Lisamise tulemuseks on võrrand 8 x+ y= 28 , millel on lõpmatu arv lahendeid.

Kui võrrandi mõlemad osad korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saadakse võrrand, mis on võrdne antud arvuga. See reegel kehtib ka kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi puhul. Ühe võrrandi (või mõlema võrrandi) saab korrutada mõne arvuga. Tulemuseks on samaväärne süsteem, mille juured langevad kokku eelmisega.

Tuleme tagasi kõige esimese süsteemi juurde, mis kirjeldas, mitu kooki ja tassi kohvi õpilane ostis. Selle süsteemi lahendus oli väärtuste paar (6; 5) .

Korrutame mõlemad selles süsteemis sisalduvad võrrandid mõne arvuga. Oletame, et korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise võrrandi 3-ga

Tulemuseks on süsteem
Selle süsteemi lahendus on ikkagi väärtuste paar (6; 5)

See tähendab, et süsteemis olevaid võrrandeid saab taandada liitmismeetodi rakendamiseks sobivale kujule.

Tagasi süsteemi juurde , mida me ei saanud liitmismeetodiga lahendada.

Korrutage esimene võrrand 6-ga ja teine -2-ga

Siis saame järgmise süsteemi:

Lisame selles süsteemis sisalduvad võrrandid. Komponentide lisamine 12 x ja -12 x tulemuseks on 0, lisandub 18 y ja 4 y annab 22 y, ning 108 ja −20 liitmine annab 88. Siis saadakse võrrand 22 y= 88, seega y = 4 .

Kui alguses on võrrandite lisamine mõttes raske, siis võid kirja panna, kuidas esimese võrrandi vasak pool liidetakse teise võrrandi vasaku poole ja esimese võrrandi parem pool teine võrrand:

Teades, et muutuja väärtus y on 4, leiate väärtuse x. Asendaja yühte võrrandisse, näiteks esimesse võrrandisse 2 x+ 3y= 18. Siis saame võrrandi ühe muutujaga 2 x+ 12 = 18 . Viime 12 paremale küljele, muutes märki, saame 2 x= 6, seega x = 3 .

Näide 4. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Korrutage teine võrrand -1-ga. Seejärel võtab süsteem järgmise vormi:

Lisame mõlemad võrrandid. Komponentide lisamine x ja −x tulemuseks on 0, lisandub 5 y ja 3 y annab 8 y, ning 7 ja 1 liitmisel saadakse 8. Tulemuseks on võrrand 8 y= 8 , mille juur on 1. Teades, et väärtus y on 1, leiate väärtuse x .

Asendaja y esimesse võrrandisse, saame x+ 5 = 7, seega x= 2

Näide 5. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Soovitav on, et samu muutujaid sisaldavad terminid paikneksid üksteise all. Seetõttu on teises võrrandis terminid 5 y ja −2 x kohta vahetada. Selle tulemusena on süsteem järgmisel kujul:

Korrutage teine võrrand 3-ga. Seejärel saab süsteem järgmise kuju:

Nüüd lisame mõlemad võrrandid. Liitmise tulemusena saame võrrandi 8 y= 16 , mille juur on 2.

Asendaja y esimesse võrrandisse saame 6 x− 14 = 40 . Viime termini −14 paremale poole, muutes märki, saame 6 x= 54 . Siit x= 9.

Näide 6. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Loobume murdudest. Korrutage esimene võrrand 36-ga ja teine 12-ga

Saadud süsteemis esimest võrrandit saab korrutada -5-ga ja teise võrrandiga 8

Lisame saadud süsteemi võrrandid. Siis saame lihtsaima võrrandi −13 y= –156 . Siit y= 12. Asendaja y esimesse võrrandisse ja leidke x

Näide 7. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Toome mõlemad võrrandid normaalne välimus. Siin on mugav mõlemas võrrandis rakendada proportsioonireeglit. Kui esimeses võrrandis on parem pool kujutatud kui , ja teise võrrandi parem pool kui , siis saab süsteem järgmise kuju:

Meil on proportsioon. Korrutame selle äärmus- ja keskterminid. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Korrutame esimese võrrandi -3-ga ja avame teises sulud:

Nüüd lisame mõlemad võrrandid. Nende võrrandite liitmise tulemusena saame võrdsuse, mille mõlemas osas on null:

Selgub, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi.

Kuid me ei saa lihtsalt suvalisi väärtusi taevast võtta x ja y. Saame määrata ühe väärtustest ja teine määratakse sõltuvalt meie määratud väärtusest. Näiteks lase x= 2. Asendage see väärtus süsteemis:

Ühe võrrandi lahendamise tulemusena tekib väärtus for y, mis rahuldab mõlemad võrrandid:

Saadud väärtuste paar (2; −2) rahuldab süsteemi:

Leiame veel ühe väärtuspaari. Lase x= 4. Asendage see väärtus süsteemis:

Seda saab silma järgi kindlaks teha y võrdub nulliga. Seejärel saame väärtuste paari (4; 0), mis rahuldab meie süsteemi:

Näide 8. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Korrutage esimene võrrand 6-ga ja teine 12-ga

Kirjutame üle, mis üle jääb:

Korrutage esimene võrrand -1-ga. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Nüüd lisame mõlemad võrrandid. Liitmise tulemusena moodustub võrrand 6 b= 48 , mille juur on 8. Asendaja b esimesse võrrandisse ja leidke a

Kolme muutujaga lineaarvõrrandi süsteem

Kolme muutujaga lineaarvõrrand sisaldab kolme koefitsientidega muutujat ja lõikepunkti. Kanoonilises vormis saab selle kirjutada järgmiselt:

ax + by + cz = d

Sellel võrrandil on lõpmatu arv lahendeid. Kahe muutuja andmine erinevaid tähendusi, leiate kolmanda väärtuse. Lahenduseks on sel juhul väärtuste kolmik ( x; y; z), mis muudab võrrandi identiteediks.

Kui muutujad x, y, z on omavahel ühendatud kolme võrrandiga, siis moodustub kolmest lineaarsest võrrandist koosnev süsteem kolme muutujaga. Sellise süsteemi lahendamiseks saate rakendada samu meetodeid, mis kehtivad kahe muutujaga lineaarsete võrrandite puhul: asendusmeetod ja liitmismeetod.

Näide 1. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Avaldame kolmandas võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Nüüd teeme asendustööd. Muutuv x on võrdne väljendiga 3 − 2y − 2z . Asendage see avaldis esimeses ja teises võrrandis:

Avame mõlemas võrrandis sulud ja esitame sarnased terminid:

Oleme jõudnud kahe muutujaga lineaarsete võrrandite süsteemini. AT sel juhul on mugav rakendada liitmismeetodit. Selle tulemusena muutuja y kaob ja leiame muutuja väärtuse z

Nüüd leiame väärtuse y. Selleks on mugav kasutada võrrandit − y+ z= 4. Asendage väärtus z

Nüüd leiame väärtuse x. Selleks on mugav kasutada võrrandit x= 3 − 2y − 2z . Asendage väärtused sellesse y ja z

Seega on väärtuste kolmik (3; −2; 2) meie süsteemi lahendus. Kontrollides veendume, et need väärtused vastavad süsteemile:

Näide 2. Lahendage süsteem liitmismeetodil

Liidame esimese võrrandi teise võrrandiga, mis on korrutatud -2-ga.

Kui teine võrrand korrutada -2-ga, saab see kuju −6x+ 6ja- 4z = −4 . Nüüd lisage see esimesse võrrandisse:

Näeme, et elementaarteisenduste tulemusena määrati muutuja väärtus x. See on võrdne ühega.

Tagasi põhisüsteem. Liidame teise võrrandi kolmandaga, mis on korrutatud -1-ga. Kui kolmas võrrand korrutada -1-ga, saab see kuju −4x + 5y − 2z = −1 . Nüüd lisage see teise võrrandisse:

Sain võrrandi x - 2y= −1. Asendage väärtus sellega x mille me varem leidsime. Siis saame väärtuse määrata y

Nüüd teame väärtusi x ja y. See võimaldab teil määrata väärtuse z. Kasutame üht süsteemis sisalduvatest võrranditest:

Seega on väärtuste kolmik (1; 1; 1) meie süsteemi lahendus. Kontrollides veendume, et need väärtused vastavad süsteemile:

Lineaarvõrrandisüsteemide koostamise ülesanded

Võrrandisüsteemide koostamise ülesanne lahendatakse mitme muutuja sisseviimisega. Järgmiseks koostatakse võrrandid lähtudes ülesande tingimustest. Koostatud võrranditest moodustavad nad süsteemi ja lahendavad selle. Pärast süsteemi lahendamist tuleb kontrollida, kas selle lahendus vastab probleemi tingimustele.

Ülesanne 1. Sõiduauto Volga lahkus linnast kolhoosi. Ta naasis tagasi mööda teist teed, mis oli 5 km lühem kui esimene. Kokku sõitis auto mõlemale poole 35 km. Mitu kilomeetrit on iga tee pikk?

Lahendus

Lase x- esimese tee pikkus, y- teise pikkus. Kui auto sõitis mõlemale poole 35 km, siis võib esimese võrrandi kirjutada järgmiselt x+ y= 35. See võrrand kirjeldab mõlema tee pikkuste summat.

Väidetavalt pöördus auto tagasi mööda teed, mis oli esimesest 5 km lühem. Siis saab teise võrrandi kirjutada kujul x− y= 5. See võrrand näitab, et teede pikkuste vahe on 5 km.

Või võib teise võrrandi kirjutada kui x= y+ 5 . Me kasutame seda võrrandit.

Kuna muutujad x ja y mõlemas võrrandis tähistavad sama numbrit, siis saame neist moodustada süsteemi:

Lahendame selle süsteemi ühe eelnevalt uuritud meetodi abil. Sel juhul on mugav kasutada asendusmeetodit, kuna teises võrrandis on muutuja x juba väljendatud.

Asendage teine võrrand esimesega ja leidke y

Asendage leitud väärtus y teise võrrandisse x= y+ 5 ja leia x

Esimese tee pikkust tähistati muutujaga x. Nüüd oleme leidnud selle tähenduse. Muutuv x on 20. Seega on esimese tee pikkus 20 km.

Ja teise tee pikkust näitas y. Selle muutuja väärtus on 15. Seega on teise tee pikkus 15 km.

Teeme kontrolli. Esmalt veendume, et süsteem on õigesti lahendatud:

Nüüd kontrollime, kas lahendus (20; 15) vastab ülesande tingimustele.

Räägiti, et kokku sõitis auto mõlemale poole 35 km. Liidame mõlema tee pikkused kokku ja veendume, et lahendus (20; 15) vastab sellele tingimusele: 20 km + 15 km = 35 km

Järgmine tingimus: auto naasis tagasi mööda teist teed, mis oli 5 km lühem kui esimene . Näeme, et lahendus (20; 15) vastab ka sellele tingimusele, kuna 15 km on lühem kui 20 km 5 km võrra: 20 km − 15 km = 5 km

Süsteemi koostamisel on oluline, et muutujad tähistaksid kõigis selles süsteemis sisalduvates võrrandites samu numbreid.

Seega sisaldab meie süsteem kahte võrrandit. Need võrrandid sisaldavad omakorda muutujaid x ja y, mis tähistavad mõlemas võrrandis samu numbreid, nimelt teede pikkusi 20 km ja 15 km.

2. ülesanne. Platvormile laaditi tamme- ja männipuidust liiprid, kokku 300 liiprit. Teadaolevalt kaalusid kõik tammeliiprid 1 tonni vähem kui kõik männipuidust liiprid. Tehke kindlaks, mitu tamme- ja männiliiprit oli eraldi, kui iga tammeliipri kaal oli 46 kg ja iga männiliips 28 kg.

Lahendus

Lase x tamm ja y platvormile laaditi männiliiprid. Kui liipriid oli kokku 300, siis võib esimese võrrandi kirjutada järgmiselt x+y = 300 .

Kõik tammepuidust liiprid kaalusid 46 x kg ja mänd kaalus 28 y kg. Kuna tammeliiprid kaalusid 1 tonni vähem kui männipuidust liiprid, võib teise võrrandi kirjutada järgmiselt. 28ja- 46x= 1000 . See võrrand näitab, et tamme- ja männipuidust liiprite massivahe on 1000 kg.

Tonnid on ümber arvestatud kilogrammideks, sest tamme- ja männipuidust liiprite massi mõõdetakse kilogrammides.

Selle tulemusena saame kaks võrrandit, mis moodustavad süsteemi

Lahendame selle süsteemi. Väljendage esimeses võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Asendage esimene võrrand teisega ja leidke y

Asendaja y võrrandisse x= 300 − y ja uuri, mida x

See tähendab, et platvormile laaditi 100 tamme- ja 200 männipuidust liiprit.

Kontrollime, kas lahendus (100; 200) vastab ülesande tingimustele. Esmalt veendume, et süsteem on õigesti lahendatud:

Öeldi, et kokku oli 300 magajat. Liidame kokku tamme ja männi liiprite arvud ja veendume, et lahendus (100; 200) vastab sellele tingimusele: 100 + 200 = 300.

Järgmine tingimus: kõik tammest liiprid kaalusid 1 tonni vähem kui kõik männid . Näeme, et lahendus (100; 200) vastab ka sellele tingimusele, kuna 46 × 100 kg tammeliiprid on kergemad kui 28 × 200 kg männipuidust liiprid: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

3. ülesanne. Võtsime kolm tükki vase ja nikli sulamit massi vahekorras 2:1, 3:1 ja 5:1. Neist 12 kg kaaluv tükk sulatati vase ja nikli suhtega 4: 1. Leidke iga algse tüki mass, kui neist esimese mass on kaks korda suurem kui teise mass.

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Kolmest võrrandist koosneva kolme tundmatuga võrrandi süsteemil pole siiski kõigil juhtudel lahendust suur hulk võrrandid. Reeglina lahendatakse sellised süsteemid asendusmeetodi või Crameri meetodi abil. Teine meetod võimaldab esimestel etappidel kindlaks teha, kas süsteemil on lahendus.

Oletame, et meile on antud järgmine kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga:

\[\left\(\begin(maatriks) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(maatriks)\paremale.\]

Seda ebahomogeenset lineaarset süsteemi on võimalik lahendada algebralised võrrandid Ax = B Crameri meetodi järgi:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Süsteemi \ determinant ei ole võrdne nulliga. Leia abideterminandid \ kui need pole võrdsed nulliga, siis lahendeid pole, kui need on võrdsed, siis on lahendeid lõpmatu arv

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Kolmest lineaarsest võrrandist koosnev 3 tundmatuga süsteem, mille determinant erineb nullist, on alati ühilduv ja sellel on ainulaadne lahendus, mis arvutatakse valemitega:

Vastus: sain otsuse

\[\left\(\begin(maatriks) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(maatriks)\right.\]

Kust saab võrgus lahendada kolme tundmatuga võrrandisüsteemi?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https: //. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videoõpetust ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Pärast seda, kui saidi autor suutis õpetada oma robotit lahendama kahe muutujaga lineaarset diofantiini võrrandit, tekkis soov õpetada robotit lahendama sarnaseid võrrandeid, kuid kolme tundmatuga. Pidin raamatutesse sukelduma.

Olles sealt kaks kuud hiljem välja tulnud, mõistis autor, et ei saa millestki aru. Innukalt targad matemaatikud kirjutasid valemite tuletamise algoritmi nii keeruliselt, et mul oli sureliku pärast häbi. Olin kurb, kuid siiski leidsin raamatu lagendikutest ühe kasuliku mõtte ja sellest mõttest sündis arusaam, kuidas lahendada kolme tundmatuga diofantiuse võrrandeid.

Seega kõigile, kes pole matemaatik, aga tahavad olla :)

Kolme tundmatuga diofantiini võrrand näeb välja selline

kus on täisarvud

Kui me mõtleme, mida ühine otsus võib-olla tundmatu, kõige banaalsem näeb välja selline

Asendage võrrand meie üldlahendiga

Mis kasu sellest on, küsib kannatamatu lugeja? Aga millise, me grupeerime kõik tundmatute järgi, me saame

Vaata, paremal pool on mingi konstantne arv, mida tähistatakse tähega d

See tähendab, et see ei sõltu t-st (see on muutuja, kunagi ei tea, milliseks väärtuseks see saada tahab), mis tähendab

Loogiline on eeldada, et see ei sõltu ka z-st, mis tähendab

kuid see sõltub otseselt A 3 ja B 3 konstantsetest väärtustest, see tähendab

Milleni me lõpuks jõudsime? Ja saime kolm tüüpilised klassikalised diofantiini võrrandid kahes tundmatus mille üle saame lihtsalt ja loomulikult otsustada.

Proovime otsustada?

Otsingumootorite esimestel ridadel oli see võrrand

Esimene võrrand on selline

selle juured

Vabaneme nullidest, võttes näiteks k=-1. (Kui soovite, võite võtta 2 või 100 või -3) See ei mõjuta lõplikku otsust.

Lahendame teise võrrandi

ja selle juured

siin olgu k=0 (kuna X ja Y ei lange juba nullväärtuste korral kokku)

Ja viimane kolmandik võrrand

Juured on siin

Asendame nüüd kõik leitud väärtused üldvormile

See on kõik!

Pange tähele, et kõik on lahendatud väga lihtsalt ja läbipaistvalt! Kindlasti võtavad õpetajad ja võimekad õpilased selle tehnika kasutusele, kuna roboti autor leidis selle raamatutest.

Veel üks näide, mis on juba robotiga lahendatud.

Täiendus: Kui lahendate sarnaseid võrrandeid roboti abil, võite kohata tõsiasja, et robot annab teile veateate, paludes teil vahetada muutujad teise võrrandi lahendamise katse vastu. See on tingitud asjaolust, et vahearvutuste käigus saadakse lahendamatu võrrand

Näitena

Kui püütakse võrrandit lahendada

meie puhul

saame vea, kuna mis tahes väärtuste korral on vasakul (!) alati paarisarv ja paremal pool paaritu arv, nagu näeme.

Kuid see ei tähenda, et algne võrrand on lahendamatu. Piisab tingimuste muutmisest teises järjekorras, näiteks niimoodi

ja saada vastus

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Kolme tundmatuga võrrandid on matemaatikas tavalised. Seda tüüpi võrrandite lahendamiseks on üsna palju võimalusi ja enamikul juhtudel lisandub nende lõviosale veel 2 võrrandit/tingimust. Lahendusmeetodi valik sõltub otseselt konkreetsest võrrandist.

Kui teie süsteemis on ainult 2 kolmest tundmatust, siis tõenäoliselt on selle süsteemi jaoks mugav lahendus väljendada mõned muutujad teistega, asendades need võrrandis 3 tundmatuga. Seda kõike tehakse selleks, et muuta see tavaliseks võrrandiks, milles on ainult 1 tundmatu ja mille lahendus annab numbri, mida saab asendada tundmatuga ja saada lõpptulemus kõigi teiste tundmatute jaoks.

On võrrandisüsteeme, mida saab lahendada, lahutades ühest võrrandist teise. See on võimalik, kui on võimalik üht avaldist korrutada muutujaga / väärtusega, mis võimaldab lahutamisel lahutada mitu tundmatut. Siiski tasub meeles pidada, et arvuga korrutamisel ja lahutamisel tuleb sooritada tehteid avaldise mõlema osaga.

Kust lahendada võrgus võrrand 3 tundmatuga?

Võrrandi saate lahendada kolme tundmatu veebilahendusega meie veebisaidil https: //. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videoõpetust ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Lineaarvõrrandi süsteem on mitme lineaarvõrrandi kogum, mida vaadeldakse koos.

Süsteemis võib olla suvaline arv võrrandeid suvalise arvu tundmatutega.

Võrrandisüsteemi lahendus on tundmatute väärtuste kogum, mis rahuldab kõik süsteemi võrrandid, st teisendab need identiteetideks.

Süsteemi, millel on lahendus, nimetatakse ühilduvaks, vastasel juhul nimetatakse seda ebajärjekindlaks.

Süsteemi lahendamiseks kasutatakse erinevaid meetodeid.

Lase
(võrrandite arv võrdub tundmatute arvuga).

Crameri meetod

Vaatleme kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi lahendust:

(7)

Et leida tundmatut
Rakendame Crameri valemit:

(8)

kus - süsteemi determinant, mille elementideks on tundmatute koefitsiendid:

mis saadakse determinandi esimese veeru asendamisel tasuta liikmete veerg:

Sarnaselt:

;
.

Näide 1 Lahendage süsteem Crameri valemi abil:

Lahendus: kasutame valemeid (8):

;

Vastus:
.

Iga süsteemi jaoks lineaarvõrrandid tundmatud võivad öelda:

Maatrikslahendus

Vaatleme kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi (7) lahendust maatriksmeetodil.

Maatrikskorrutamise reegleid kasutades saab selle võrrandisüsteemi kirjutada järgmiselt:
, kus

Laske maatriksil mitte-mandunud, st.
. Vasakpoolse maatriksvõrrandi mõlema poole korrutamine maatriksiga
, maatriksi pöördväärtus , saame:
.

Arvestades seda
, meil on

(9)

Näide 2 Lahendage süsteem maatriksmeetodil:

Lahendus: tutvustame maatrikseid:

- koefitsientidest teadmata;

- vabaliikmete kolonn.

Seejärel saab süsteemi kirjutada maatriksvõrrandina:
.

Kasutame valemit (9). Leiame pöördmaatriksi
vastavalt valemile (6):

;

Järelikult

Sain:

Vastus:
.

Tundmatute järjestikune kõrvaldamine (Gaussi meetod)

Kasutatava meetodi põhiidee on järjestikune tundmatute kõrvaldamine. Selgitame selle meetodi tähendust kolme tundmatuga võrrandisüsteemis:

Oletame, et
(kui
, siis muudame võrrandite järjekorda, valides esimeseks võrrandiks selle, milles koefitsient ei ole võrdne nulliga).

Esimene samm: a) jagage võrrand
peal
; b) korrutage saadud võrrand arvuga
ja lahutada sellest
; c) seejärel korrutage tulemus arvuga
ja lahutada sellest
. Esimese sammu tulemusena on meil süsteem:

Teine samm: käsitlege võrrandit
ja
täpselt nagu võrrandite puhul
.

Selle tulemusena muudetakse algne süsteem nn astmeliseks vormiks:

Teisendatud süsteemist määratakse kõik tundmatud järjestikku ilma raskusteta.

Kommenteeri. Praktikas on mugavam taandada astmelisele kujule mitte võrrandisüsteem ise, vaid koefitsientide maatriks tundmatute ja vabade liikmetega.

Näide 3 Lahendage süsteem Gaussi meetodil:

Üleminek ühelt maatriksilt teisele kirjutatakse samaväärsuse märgiga ~.

~
~
~
~

~
.

Saadud maatriksi abil kirjutame välja teisendatud süsteemi:

Vastus:
.

Märkus. Kui süsteemil on kordumatu lahendus, taandatakse astmeline süsteem kolmnurkseks, st selliseks, mille viimane võrrand sisaldab üht tundmatut. Kui tegemist on ebamäärase süsteemiga, st sellisega, milles tundmatute arv rohkem numbrit lineaarselt sõltumatud võrrandid, kolmnurksüsteemi ei tule, kuna viimane võrrand sisaldab rohkem kui ühte tundmatut (süsteemil on lõpmatu arv lahendeid). Kui süsteem on ebaühtlane, sisaldab see pärast selle astmelisele vormile redutseerimist vähemalt ühte lahke väärtus
, see tähendab võrrandit, milles kõigil tundmatutel on nullkoefitsiendid ja parem pool on nullist erinev (lahendussüsteemi pole). Gaussi meetod on rakendatav suvalise lineaarvõrrandisüsteemi jaoks (mis tahes
ja ).

Olemasoluteoreem lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks

Lineaarvõrrandisüsteemi Gaussi meetodil lahendamisel saab vastuse küsimusele, kas antud süsteem on ühilduv või vastuoluline, anda alles arvutuste lõpus. Sageli on aga oluline lahendada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebaühtluse küsimus lahendusi ise leidmata. Sellele küsimusele annab vastuse järgmine Kroneckeri-Capelli teoreem.

Las süsteem
lineaarvõrrandid teadmata:

(10)

Et süsteem (10) oleks järjepidev, on vajalik ja piisav, et süsteemi maatriksi auaste

oli võrdne selle suurendatud maatriksi auastmega

Veelgi enam, kui
, siis on süsteemil (10) ainulaadne lahendus; kui
, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendusi.

Vaatleme lineaarsete võrrandite homogeenset süsteemi (kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga):

See süsteem on alati järjekindel, kuna sellel on nulllahendus.

Järgnev teoreem annab tingimused, mille korral süsteemil on ka nullist erineva lahendusi.

Terema. To homogeenne süsteem joonvõrranditel on nulllahendus, on vajalik ja piisav, et selle determinant oli võrdne nulliga:

Seega, kui
, siis lahendus on ainuke. Kui a
, siis on muid nullist erinevaid lahendusi lõpmatu arv. Näidakem ühte meetodit kolme tundmatuga kolme lineaarvõrrandi homogeense süsteemi lahenduste leidmiseks juhul
.

Võib tõestada, et kui
, ning esimene ja teine võrrand on mitteproportsionaalsed (lineaarselt sõltumatud), siis on kolmas võrrand kahe esimese tagajärg. Kolmest kolme tundmatust võrrandist koosneva homogeense süsteemi lahendus taandatakse kahe kolme tundmatuga võrrandi lahendiks. Ilmub nn vaba tundmatu, millele saab omistada suvalisi väärtusi.

Näide 4 Leia kõik süsteemilahendused:

Lahendus. Selle süsteemi määraja

Seetõttu on süsteemil nulllahendused. On näha, et näiteks kaks esimest võrrandit ei ole proportsionaalsed, seega on nad lineaarselt sõltumatud. Kolmas on kahe esimese tagajärg (saadud, kui esimesele võrrandile lisatakse kaks korda teine). Selle tagasilükkamisel saame kahest võrrandist koosneva süsteemi kolme tundmatuga:

Eeldusel, et näiteks
, saame

Lahendades kahe lineaarvõrrandi süsteemi, väljendame ja läbi :
. Seetõttu saab süsteemi lahenduse kirjutada järgmiselt:
, kus - suvaline arv.

Näide 5 Leia kõik süsteemilahendused:

Lahendus. On lihtne näha, et selles süsteemis on ainult üks sõltumatu võrrand (teised kaks on sellega võrdelised). Kolmest võrrandist koosnev kolme tundmatuga süsteem on taandatud üheks võrrandiks kolme tundmatuga. Ilmub kaks vaba tundmatut. Leidmine näiteks esimesest võrrandist
meelevaldseks ja , saame selle süsteemi lahendused. Lahenduse üldkuju võib kirjutada kujul ja - suvalised arvud.