Armastuse astroloogia ja horoskoobid 

Eksamiprofiili lihtsaimad võrrandid. KASUTAMINE ülesanne: lihtsate võrrandite lahendamine. Keerukate võrrandite lahendamise skeem

Võrrandid, osa $C$

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut arvu, mida tähistatakse tähega, nimetatakse võrrandiks. Võrdlusmärgist vasakul olevat avaldist nimetatakse võrrandi vasakuks pooleks ja paremal asuvat avaldist võrrandi parempoolseks pooleks.

Keerukate võrrandite lahendamise skeem:

  1. Enne võrrandi lahendamist on vaja kirja panna selle lubatud väärtuste pindala (ODV).
  2. Lahenda võrrand.
  3. Valige saadud võrrandi juurtest need, mis vastavad ODZ-le.

Erinevate avaldiste ODZ (avaldise all mõistame tähtnumbrilist kirjet):

1. Nimetaja avaldis ei tohi võrduda nulliga.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Juureavaldis ei tohi olla negatiivne.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.

3. Nimetaja radikaalavaldis peab olema positiivne.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Logaritmi jaoks: alamaritmiline avaldis peab olema positiivne; alus peab olema positiivne; alus ei saa olla võrdne ühega.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmvõrrandid

Logaritmvõrrandid on võrrandid kujul $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kus $a$ on positiivne arv, mis erineb väärtusest $1$, ja võrrandid, mis taanduvad sellele kujule.

Logaritmvõrrandite lahendamiseks on vaja teada logaritmide omadusi: me võtame arvesse kõiki logaritmide omadusi $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ puhul - mis tahes reaalarv.

1. Mis tahes reaalarvude $m$ ja $n$ korral on võrdsused tõesed:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Korrutise logaritm võrdub iga teguri logaritmide summaga samas baasis.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Jagatise logaritm võrdub lugeja ja nimetaja logaritmide erinevusega samal alusel

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Kahe logaritmi korrutamisel saate nende aluseid vahetada

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, kui $a, b, c$ ja $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kus $a, b, c > 0, a≠1$

6. Valem uude põhja kolimiseks

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Eelkõige juhul, kui on vaja vahetada alust ja alamaritmilist avaldist

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Logaritmilisi võrrandeid on mitut tüüpi:

Lihtsamad logaritmvõrrandid: $log_(a)x=b$. Seda tüüpi võrrandite lahendus tuleneb logaritmi definitsioonist, s.o. $x=a^b$ ja $x > 0$

Esitagem võrrandi mõlemad pooled logaritmi kujul baasis $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Kui logaritmid on samas baasis võrdsed, siis on võrdsed ka alaaritmilised avaldised.

Vastus: $x = $8

Võrrandid kujul: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised ja võtame arvesse ODZ-d:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Sest alused on samad, siis võrdsustame alaaritmilised avaldised

Viime kõik liikmed võrrandi vasakule poole ja anname sarnased terminid

Kontrollime leitud juuri vastavalt tingimustele $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Teise võrratuse asendamisel ei täida juur $x=4$ tingimust, seega on see kõrvaline juur

Vastus: $x=-3$

  • Muutuv asendusmeetod.

Selle meetodi puhul vajate:

  1. Kirjutage ODZ võrrand.
  2. Vastavalt logaritmide omadustele veenduge, et võrrandis saadakse samad logaritmid.
  3. Asenda $log_(a)f(x)$ mis tahes muutujaga.
  4. Lahendage uue muutuja võrrand.
  5. Naaske 3. sammu juurde, asendage muutuja asemel väärtus ja hankige lihtsaim võrrand kujul: $log_(a)x=b$
  6. Lahendage kõige lihtsam võrrand.
  7. Pärast logaritmilise võrrandi juurte leidmist on vaja need panna punkti 1 ja kontrollida ODZ tingimust.

Lahendage võrrand $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Kirjutame ODZ võrrandid:

$\table\(\ x>0,\text"sest see on juure ja logaritmi märgi all";\ √x≠1→x≠1;$

2. Teeme logaritmid baasile $2$, selleks kasutame teisel liikmel uuele alusele ülemineku reeglit:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Muutuja t suhtes saame murdosa - ratsionaalvõrrandi

Vähendame kõik terminid ühisele nimetajale $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Murd on null, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Saadud ruutvõrrandi lahendame Vieta teoreemi abil:

6. Läheme tagasi 3. sammu juurde, teeme pöördasenduse ja saame kaks lihtsat logaritmilist võrrandit:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Võtame võrrandite parempoolsete osade logaritmi

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Võrdsustage alaaritmilised avaldised

$√x=2$, $√x=4$

Juurest vabanemiseks paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu

$х_1 = 4 $, $х_2 = 16 $

7. Asendame punktis 1 oleva logaritmilise võrrandi juured ja kontrollime ODZ seisukorda.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Esimene juur vastab ODZ-le.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Teine juur rahuldab ka DDE-d.

Vastus: 4 dollarit; 16 $

  • Võrrandid kujul $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Sellised võrrandid lahendatakse uue muutuja sisseviimisega ja üleminekuga tavapärasele ruutvõrrandile. Pärast võrrandi juurte leidmist on vaja need valida, võttes arvesse ODZ-d.

Murdratsionaalvõrrandid

  • Kui murdosa on null, siis on lugeja null ja nimetaja ei ole null.
  • Kui vähemalt üks osa ratsionaalsest võrrandist sisaldab murdosa, nimetatakse võrrandit murdratsionaalarvuks.

Murdratsionaalvõrrandi lahendamiseks vajate:

  1. Leidke muutuja väärtused, mille puhul võrrandil pole mõtet (ODV)
  2. Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja;
  3. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga;
  4. Lahendage saadud täisvõrrand;
  5. Jäta selle juurtest välja need, mis ei vasta ODZ tingimusele.
  • Kui võrrandisse on kaasatud kaks murdosa ja lugejad on nende võrdsed avaldised, siis saab nimetajaid omavahel võrdsustada ja saadud võrrandit lahendada lugejatele tähelepanu pööramata. AGA arvestades kogu algse võrrandi ODZ-d.

eksponentsiaalvõrrandid

Eksponentvõrrand on võrrand, mille eksponendis sisaldub tundmatu.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse astmete omadusi, meenutagem mõnda neist:

1. Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus samaks ja astendajad liidetakse.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Kraadide jagamisel samade alustega jääb alus samaks ja näitajad lahutatakse

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Kraadi tõstmisel astmeni jääb alus samaks ja eksponendid korrutatakse

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur selle astmeni

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Murru tõstmisel astmeni tõstetakse lugeja ja nimetaja selle astmeni

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Mis tahes aluse tõstmisel nullastendajani on tulemus võrdne ühega

7. Mis tahes negatiivse eksponendi alust saab esitada sama positiivse astendaja alusena, muutes aluse asukohta murdosa joone suhtes

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikaali (juur) saab esitada murdosaastendajaga astmena

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Eksponentvõrrandite tüübid:

1. Lihtsad eksponentsiaalvõrrandid:

a) Vorm $a^(f(x))=a^(g(x))$, kus $a >0, a≠1, x$ on tundmatu. Selliste võrrandite lahendamiseks kasutame astmete omadust: sama alusega astmed ($а >0, a≠1$) on võrdsed ainult siis, kui nende eksponendid on võrdsed.

b) Võrrand kujul $a^(f(x))=b, b>0$

Selliste võrrandite lahendamiseks on vaja võtta mõlemad logaritmi osad baasis $a$, selgub

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Aluse reguleerimise meetod.

3. Muutuja faktoriseerimise ja muutmise meetod.

  • Selle meetodi puhul on kogu võrrandis vastavalt kraadide omadusele vaja astmed teisendada üheks kujule $a^(f(x))$.
  • Muutke muutujat $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Saame ratsionaalse võrrandi, mis tuleb lahendada avaldise faktoriseerimisega.
  • Teeme pöördasendusi, võttes arvesse, et $t >

Lahendage võrrand $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Kraadide omaduse järgi teisendame avaldise nii, et saadakse aste 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Muudame muutujat $2^x=t; t>0 $

Saame vormi kuupvõrrandi

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Nimetajatest vabanemiseks korrutage kogu võrrand 2 dollariga

2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Laiendame võrrandi vasakut poolt rühmitamismeetodi abil

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Esimesest sulust võtame välja ühisteguri $2$, teisest sulust $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Lisaks näeme esimeses sulus kuubikute erinevuse valemit

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Lahendame esimese võrrandi

Teise võrrandi lahendame diskriminandi kaudu

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3 = 1 $

Vastus: $-1; 0; 1 $

4. Ruutvõrrandiks teisendamise meetod

  • Meil on võrrand kujul $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, kus $A, B$ ja $C$ on koefitsiendid.
  • Teeme muudatuse $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Selgub ruutvõrrand kujul $A·t^2+B·t+С=0$. Lahendame saadud võrrandi.
  • Teeme pöördasenduse, võttes arvesse, et $t > 0$. Saame lihtsaima eksponentsiaalvõrrandi $a^(f(x))=t$, lahendame selle ja kirjutame vastuse vastuseks.

Faktoreerimismeetodid:

  • Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

Polünoomi faktoriseerimiseks, võttes ühisteguri sulgudest välja, vajate:

  1. Määrake ühine tegur.
  2. Jagage antud polünoom sellega.
  3. Kirjutage üles ühisteguri ja saadud jagatise korrutis (märkige see jagatis sulgudes).

Tegutses polünoom: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Selle polünoomi ühine tegur on $2a$, kuna kõik liikmed jaguvad $2$ ja "a"-ga. Järgmisena leiame algse polünoomi jagamise "2a"-ga, saame:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

See on faktoriseerimise lõpptulemus.

Lühendatud korrutusvalemite rakendamine

1. Summa ruut jaotatakse esimese arvu ruuduks pluss esimese arvu kahekordne korrutis teise arvuga ja pluss teise arvu ruut.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Erinevuse ruut jaotatakse esimese arvu ruuduks, millest on lahutatud esimese arvu kahekordne korrutis teisega ja pluss teise arvu ruut.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Ruudude vahe jagatakse arvude erinevuse ja nende summa korrutiseks.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Summa kuup võrdub esimese arvu kuubiga pluss kolm korda esimese ja teise arvu ruut pluss kolm korda esimese ja teise arvu ruudu korrutis pluss teise arvu kuup .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Erinevuse kuup võrdub esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu ruudu kolm korda korrutis, pluss kolm korda esimese ja teise arvu ruudu korrutis ning miinus teise numbri kuup.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Kuubikute summa võrdub arvude summa ja erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Kuubikute vahe võrdub arvude erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Rühmitamise meetod

Rühmitamismeetodit on mugav kasutada, kui on vaja paarisarvuga polünoomi faktoriseerida. Selle meetodi puhul on vaja terminid rühmadesse koguda ja igast rühmast ühistegur sulust välja võtta. Mitmed rühmad peaksid pärast sulgudesse paigutamist saama samad avaldised, siis võtame selle sulg ühise tegurina edasi ja korrutame selle saadud jagatise suuga.

Tegutses polünoom $2a^3-a^2+4a-2$

Selle polünoomi laiendamiseks kasutame liitmise rühmitamise meetodit, selleks rühmitame kaks esimest ja kaks viimast liiget, samas kui on oluline panna märk õigesti teise rühmituse ette, paneme märgi + ja kirjutame seetõttu terminid koos nende märkidega sulgudes.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Pärast ühiste tegurite väljavõtmist saime paar identset sulgu. Nüüd võtame selle klambri ühise tegurina välja.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Nende sulgude korrutis on faktoriseerimise lõpptulemus.

Ruuttrinoomi valemit kasutades.

Kui on olemas ruuttrinoom kujul $ax^2+bx+c$, siis saab seda valemiga laiendada

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kus $x_1$ ja $x_2$ on ruuttrinoomi juured

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, siis tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Analüüsitud on kõik FIPI ülesannete panga 1. osa asjakohased ülesanded. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

  • Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

  • Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
  • Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
  • Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
  • Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

  • Kui see on vajalik – vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel – avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
  • Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.