Kaugus punktist täisnurkse kolmnurgani. Punkti ja sirge kauguse määramine. Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni. Sirgete vaheline nurk

Oi-oi-oi-oi... no see on karm, nagu loeks ta endale lauset ette =) Küll aga aitab lõõgastumine hiljem, seda enam, et täna ostsin vastavad tarvikud. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirge suhteline asukoht

Seda siis, kui publik laulab kooris kaasa. Kaks sirgjoont võivad:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Pidage meeles matemaatilist ristmikumärki, see ilmub väga sageli. Tähistus tähendab, et sirge lõikub joonega punktis .

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on võrdelised, see tähendab, et on olemas arv “lambda”, mille puhul võrdsused on täidetud

Vaatleme sirgeid ja loome vastavatest koefitsientidest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutades –1-ga (muuda märke) ja vähendades kõiki võrrandi koefitsiente 2-ga, saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid on võrdelised: , Aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on üsna ilmne, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed st “lambda” väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saate kasutada äsja käsitletud lahendusskeemi. Muide, see meenutab väga vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmi, mida me klassis vaatasime Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektorite alused. Kuid on ka tsiviliseeritud pakend:

Näide 1

Uurige joonte suhtelisi asukohti:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule siltidega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgivad edasi, otse Kashchei Surematu juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on paralleelsed või langevad kokku. Siin pole vaja determinanti kokku lugeda.

On ilmne, et tundmatute koefitsiendid on proportsionaalsed ja .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame nende vektorite koordinaatidest koosneva determinandi:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või kattuvad.

Proportsionaalsuskoefitsienti “lambda” on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Üsna pea õpite (või isegi olete juba õppinud) suuliselt arutatud probleemi mõne sekundiga sõna otseses mõttes lahendama. Sellega seoses ei näe ma mõtet iseseisva lahenduse jaoks midagi pakkuda, parem on panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas konstrueerida antud sirgega paralleelset sirget?

Selle lihtsaima ülesande teadmatuse eest karistab röövel Ööbik karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistame tundmatut rida tähega . Mida seisund tema kohta ütleb? Sirge läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmne, et sirge “tse” suunavektor sobib ka sirge “de” konstrueerimiseks.

Võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Geomeetria näidis näeb välja lihtne:

Analüütiline testimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Enamikul juhtudel saab analüütilist testimist hõlpsasti läbi viia suuliselt. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist määravad kiiresti ilma joonisteta joonte paralleelsuse.

Tänapäeva iseseisvate lahenduste näited on loomingulised. Sest peate ikkagi võistlema Baba Yagaga ja teate, ta on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Selle lahendamiseks on ratsionaalne ja mitte nii ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Töötasime veidi paralleelsete joontega ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühinevate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega vaatleme probleemi, mis on teile kooli õppekavast väga tuttav:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Palun kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi geomeetriline tähendus- need on kaks tasapinnal ristuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline meetod on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igas sirge võrrandis asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Sisuliselt vaatasime graafilist lahendust lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid on märgatavaid puudusi. Ei, asi ei ole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise loomine võtab aega. Lisaks ei ole mõnda sirget nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib asuda kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminikaupa liitmise meetodit. Asjakohaste oskuste arendamiseks võtke õppetund Kuidas võrrandisüsteemi lahendada?

Vastus:

Kontroll on triviaalne – lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesanne on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage üles sirge võrrand.
2) Kirjutage üles sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täislahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Enne tunni teise osasse jõudmist polnud isegi kingapaar kulunud:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Sirgete vaheline nurk

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime sellega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas konstrueerida antud sirgega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand, mis on risti läbiva joonega.

Lahendus: Tingimuste järgi on teada, et . Oleks tore leida joone suunav vektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Vastus:

Laiendame geomeetrilist visandit:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Võtame võrranditest välja suunavektorid ja abiga vektorite skalaarkorrutis jõuame järeldusele, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Testi on jällegi lihtne suuliselt sooritada.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja periood.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on lahendust mugav sõnastada punkt-punkti haaval.

Meie põnev teekond jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikuda mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega “rho”, näiteks: – kaugus punktist “em” sirgjooneni “de”.

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leia kaugus punktist sirgeni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teeme joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui koostate ruudulisele paberile joonise skaalal 1 ühikut. = 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Vaatleme teist ülesannet, mis põhineb samal joonisel:

Ülesandeks on leida punktiga, mis on sirgjoone suhtes sümmeetriline, koordinaadid . Soovitan toimingud ise läbi viia, kuid toon välja lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskpunkti koordinaatide valemid leiame.

Hea oleks kontrollida, et vahemaa oleks ka 2,2 ühikut.

Arvutamisel võib siin raskusi tekkida, kuid tornis on suureks abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab arvutada tavalisi murde. Olen teile korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide, mille saate ise otsustada. Annan teile väikese vihje: selle lahendamiseks on lõputult palju viise. Aruanne tunni lõpus, kuid parem on proovida ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi arenenud.

Nurk kahe sirge vahel

Iga nurk on lengiks:


Geomeetrias võetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks VÄIKSEM nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka lõikuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja tema "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud"vaarika" nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on nurga "kerimise" suund põhimõtteliselt oluline. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma sulle seda ütlesin? Tundub, et saame tavalise nurga mõistega hakkama. Fakt on see, et valemid, mille abil leiame nurgad, võivad kergesti anda negatiivse tulemuse ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel negatiivse nurga puhul märkige kindlasti noolega (päripäeva) selle suund.

Kuidas leida nurk kahe sirge vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus Ja Meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on määratletud võrranditega üldkujul:

Kui sirge mitte risti, See orienteeritud Nende vahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörakem hoolikalt tähelepanu nimetajale - see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavad vektorid:

Kui , siis on valemi nimetaja null ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti sõnastuses reservatsioon sirgjoonte mitteperpendikulaarsuse suhtes.

Eeltoodust lähtuvalt on mugav lahendus vormistada kahes etapis:

1) Arvutame sirgete suunavektorite skalaarkorrutise:
, mis tähendab, et jooned ei ole risti.

2) Leidke sirgjoonte vaheline nurk valemi abil:

Kasutades pöördfunktsiooni, on nurga enda leidmine lihtne. Sel juhul kasutame arctangensi veidrust (vt. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Teie vastuses märgime täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides), mis on arvutatud kalkulaatori abil.

Noh, miinus, miinus, pole suurt probleemi. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesandepüstituses on esimene number sirge ja nurga “lahti keeramine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist , ja võtke koefitsiendid esimesest võrrandist. Lühidalt, peate alustama otsesest .

See artikkel räägib teemast « kaugus punktist jooneni », Arutab illustreeritud näidetega koordinaatide meetodil punkti ja sirge kauguse määratlust. Iga teooriaplokk lõpus on näidanud näiteid sarnaste probleemide lahendamisest.

Kaugus punktist jooneni leitakse punktist punkti kauguse määramisega. Vaatame lähemalt.

Olgu sirge a ja punkt M 1, mis antud sirgele ei kuulu. Selle kaudu tõmbame sirge b, mis asub risti sirgjoonega a. Võtame sirgete lõikepunktiks H 1. Saame, et M 1 H 1 on risti, mis langetati punktist M 1 sirgele a.

Definitsioon 1

Kaugus punktist M 1 sirgjooneni a nimetatakse kauguseks punktide M 1 ja H 1 vahel.

On definitsioone, mis sisaldavad risti pikkust.

2. definitsioon

Kaugus punktist jooneni on antud punktist antud sirgele tõmmatud risti pikkus.

Definitsioonid on samaväärsed. Mõelge allolevale joonisele.

On teada, et punkti ja joone vaheline kaugus on väikseim võimalikest. Vaatame seda näitega.

Kui võtta punkt Q, mis asub sirgel a, mis ei lange kokku punktiga M 1, siis saame, et lõiku M 1 Q nimetatakse kaldlõiguks, mis on langetatud punktist M 1 sirgele a. On vaja näidata, et risti punktist M 1 on väiksem kui mis tahes muu punktist sirgele tõmmatud kaldjoon.

Selle tõestamiseks vaatleme kolmnurka M 1 Q 1 H 1, kus M 1 Q 1 on hüpotenuus. On teada, et selle pikkus on alati suurem kui mõne jala pikkus. See tähendab, et meil on M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Punktist joonele leidmise lähteandmed võimaldavad kasutada mitmeid lahendusviise: Pythagorase teoreemi kaudu siinuse, koosinuse, nurga puutuja jt määramine. Enamik seda tüüpi ülesandeid lahendatakse koolis geomeetriatundides.

Kui punktist sirgeni kauguse leidmisel saab kasutusele võtta ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi, siis kasutatakse koordinaatide meetodit. Selles lõigus käsitleme kahte peamist meetodit vajaliku kauguse leidmiseks antud punktist.

Esimene meetod hõlmab kauguse otsimist risti, mis on tõmmatud punktist M 1 sirgjooneni a. Teine meetod kasutab vajaliku kauguse leidmiseks sirge a tavavõrrandit.

Kui tasapinnal on punkt koordinaatidega M 1 (x 1 , y 1), mis asub ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, sirge a ja teil on vaja leida kaugus M 1 H 1, saate arvutuse teha kahes viise. Vaatame neid.

Esimene viis

Kui punkti H 1 koordinaadid on võrdsed x 2, y 2, siis kaugus punktist sirgeni arvutatakse koordinaatide abil valemist M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) - y 1) 2.

Liigume nüüd edasi punkti H 1 koordinaatide leidmise juurde.

On teada, et sirge O x y-s vastab tasapinna sirgjoone võrrandile. Võtame sirge a defineerimise meetodi, kirjutades sirge üldvõrrandi või võrrandi nurkkoefitsiendiga. Koostame võrrandi sirgest, mis läbib punkti M 1 risti antud sirgega a. Tähistame sirgjoont tähega b. H 1 on sirgete a ja b lõikepunkt, mis tähendab, et koordinaatide määramiseks peate kasutama artiklit, mis käsitleb kahe sirge lõikepunktide koordinaate.

On näha, et antud punktist M 1 (x 1, y 1) sirge a kauguse leidmise algoritm viiakse läbi punktide järgi:

3. definitsioon

• sirge a üldvõrrandi leidmine kujul A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 või nurkkoefitsiendiga võrrandi, mille vorm on y = k 1 x + b 1;
• sirge b üldvõrrandi saamine kujul A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 või võrrandi nurkkoefitsiendiga y = k 2 x + b 2, kui sirge b lõikub punktiga M 1 ja on sellega risti antud rida a;
• punkti a ja b lõikepunktiks oleva punkti H 1 koordinaatide x 2, y 2 määramine, selleks lahendatakse lineaarvõrrandisüsteem A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 või y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• vajaliku kauguse arvutamine punktist sirgeni, kasutades valemit M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Teine viis

Teoreem võib aidata vastata küsimusele, kuidas leida kaugus antud punktist antud tasapinna sirgjooneni.

Teoreem

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y on punkt M 1 (x 1, y 1), millest tõmmatakse tasapinnale sirgjoon, mis on antud tasapinna normaalvõrrandiga kujul cos α x + cos β y - p = 0, võrdne sirge normaalvõrrandi vasakul küljel saadud absoluutväärtus, mis arvutatakse x = x 1, y = y 1, tähendab, et M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - lk.

Tõestus

Sirge a vastab tasapinna normaalvõrrandile kujul cos α x + cos β y - p = 0, siis loetakse n → = (cos α, cos β) joone a normaalvektoriks, mis asub joonest eemal. lähtepunkt, et rida a p ühikuga . Joonisel on vaja kuvada kõik andmed, lisada punkt koordinaatidega M 1 (x 1, y 1), kus punkti raadiuse vektor M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Punktist sirgele on vaja tõmmata sirge, mida tähistame kui M 1 H 1 . Vaja on näidata punktide M 1 ja H 2 projektsioonid M 2 ja H 2 punkti O läbivale sirgele suunavektoriga kujul n → = (cos α, cos β) ja tähistada vektori kui O M 1 → = (x 1, y 1) arvprojektsioon suunas n → = (cos α , cos β) kui n p n → O M 1 → .

Variatsioonid sõltuvad punkti M1 asukohast. Vaatame allolevat joonist.

Fikseerime tulemused valemiga M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Seejärel toome võrdsuse kujule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, et saada n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Vektorite skalaarkorrutis annab tulemuseks teisendatud valemi kujul n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , mis on korrutis koordinaatide kujul kujul n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . See tähendab, et saame, et n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Sellest järeldub, et M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teoreem on tõestatud.

Leiame, et kauguse leidmiseks punktist M 1 (x 1 , y 1) tasapinna sirgjooneni a peate tegema mitu toimingut:

4. definitsioon

• sirge a normaalvõrrandi saamine cos α · x + cos β · y - p = 0, eeldusel, et seda ülesandes ei ole;
• avaldise cos α · x 1 + cos β · y 1 - p arvutamine, kus saadud väärtuseks on M 1 H 1.

Rakendame neid meetodeid punkti ja tasapinna kauguse leidmise probleemide lahendamiseks.

Näide 1

Leidke kaugus punktist koordinaatidega M 1 (- 1, 2) sirgjooneni 4 x - 3 y + 35 = 0.

Lahendus

Kasutame lahendamiseks esimest meetodit.

Selleks on vaja leida sirge b üldvõrrand, mis läbib antud punkti M 1 (- 1, 2), mis on risti sirgega 4 x - 3 y + 35 = 0. Tingimusest on selge, et sirge b on risti sirgega a, siis selle suunavektori koordinaadid on võrdsed (4, - 3). Seega on meil võimalus tasapinnale üles kirjutada sirge b kanooniline võrrand, kuna seal on sirgele b kuuluva punkti M 1 koordinaadid. Määrame sirge b suunavektori koordinaadid. Saame, et x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Saadud kanooniline võrrand tuleb teisendada üldiseks võrrandiks. Siis me saame selle

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Leiame sirgete lõikepunktide koordinaadid, mida võtame tähiseks H 1. Teisendused näevad välja sellised:

4 x - 3 a + 35 = 0 3 x + 4 a - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 a - 35 4 3 x + 4 a - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 a - 35 4 3 3 4 a - 35 4 + 4 a - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 a - 35 4 a = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 a = 5 ⇔ x = - 5 a = 5

Eespool kirjutatu põhjal saame, et punkti H 1 koordinaadid on võrdsed (- 5; 5).

On vaja arvutada kaugus punktist M 1 sirgjooneni a. Meil on, et punktide M 1 (- 1, 2) ja H 1 (- 5, 5) koordinaadid, siis asendame need valemis, et leida kaugus ja saada see

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Teine lahendus.

Teisel viisil lahendamiseks on vaja saada sirge normaalvõrrand. Arvutame normaliseeriva teguri väärtuse ja korrutame võrrandi mõlemad pooled 4 x - 3 y + 35 = 0. Siit saame, et normaliseeriv tegur on võrdne - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 ja normaalvõrrand on kujul - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 a - 7 = 0 .

Arvutusalgoritmi kohaselt on vaja saada sirge normaalvõrrand ja arvutada see väärtustega x = - 1, y = 2. Siis me saame selle

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Sellest saame, et kaugus punktist M 1 (- 1, 2) antud sirgeni 4 x - 3 y + 35 = 0 on väärtusega - 5 = 5.

Vastus: 5 .

On näha, et selle meetodi puhul on oluline kasutada sirge normaalvõrrandit, kuna see meetod on kõige lühem. Kuid esimene meetod on mugav, kuna see on järjepidev ja loogiline, kuigi sellel on rohkem arvutuspunkte.

Näide 2

Tasapinnal on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y punktiga M 1 (8, 0) ja sirgjoonega y = 1 2 x + 1. Leia kaugus antud punktist sirgjooneni.

Lahendus

Esimene meetod hõlmab antud võrrandi taandamist nurkkoefitsiendiga üldvõrrandiks. Lihtsustamise huvides saate seda teha teisiti.

Kui ristsirgete nurkkoefitsientide korrutis on -1, siis antud joonega risti oleva sirge nurkkoefitsient y = 1 2 x + 1 on 2. Nüüd saame võrrandi sirgest, mis läbib punkti koordinaatidega M 1 (8, 0). Meil on, et y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Jätkame punkti H 1 koordinaatide leidmisega, see tähendab, et lõikepunktid y = - 2 x + 16 ja y = 1 2 x + 1. Koostame võrrandisüsteemi ja saame:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Sellest järeldub, et kaugus punktist koordinaatidega M 1 (8, 0) sirgjooneni y = 1 2 x + 1 on võrdne kaugusega alguspunktist ja lõpp-punktist koordinaatidega M 1 (8, 0) ja H1 (6, 4). Arvutame ja leiame, et M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Teisel viisil on lahendus liikuda koefitsiendiga võrrandilt selle normaalkujule. See tähendab, et saame y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, siis normaliseeriva teguri väärtus on - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Sellest järeldub, et sirge normaalvõrrand on kujul - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Arvutame punktist M 1 8, 0 kujuga - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 sirgele. Saame:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Vastus: 2 5 .

Näide 3

On vaja arvutada kaugus punktist koordinaatidega M 1 (- 2, 4) joonteni 2 x - 3 = 0 ja y + 1 = 0.

Lahendus

Saame sirge 2 x - 3 = 0 normaalkuju võrrandi:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Seejärel jätkame kauguse arvutamist punktist M 1 - 2, 4 sirgjooneni x - 3 2 = 0. Saame:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Sirge y + 1 = 0 võrrandil on normaliseeriv tegur väärtusega -1. See tähendab, et võrrand on kujul - y - 1 = 0. Jätkame kauguse arvutamisega punktist M 1 (- 2, 4) sirgjooneni - y - 1 = 0. Leiame, et see on võrdne - 4 - 1 = 5.

Vastus: 3 1 2 ja 5.

Vaatame lähemalt kauguse leidmist tasapinna antud punktist koordinaattelgede O x ja O y vahel.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on O-teljel y sirgjoone võrrand, mis on mittetäielik ja mille kuju on x = 0 ja O x - y = 0. Võrrandid on koordinaatide telgede jaoks normaalsed, siis on vaja leida kaugus punktist koordinaatidega M 1 x 1, y 1 joonteni. Seda tehakse valemite M 1 H 1 = x 1 ja M 1 H 1 = y 1 alusel. Vaatame allolevat joonist.

Näide 4

Leidke kaugus punktist M 1 (6, - 7) O x y tasapinnal paiknevate koordinaatjoonteni.

Lahendus

Kuna võrrand y = 0 viitab sirgele O x, saate valemi abil leida kauguse M 1-st antud koordinaatidega selle sirgeni. Saame, et 6 = 6.

Kuna võrrand x = 0 viitab sirgele O y, saate valemi abil leida kauguse M 1 ja selle sirge vahel. Siis saame selle - 7 = 7.

Vastus: kaugus M 1-st O x-ni on 6 ja M 1-st O y-ni väärtus 7.

Kui kolmemõõtmelises ruumis on punkt koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1), on vaja leida kaugus punktist A sirgjooneni a.

Vaatleme kahte meetodit, mis võimaldavad teil arvutada kaugust punktist ruumis asuva sirgjooneni a. Esimesel juhul võetakse arvesse kaugust punktist M 1 sirgeni, kus joone punkti nimetatakse H 1 ja see on punktist M 1 sirgele a tõmmatud risti alus. Teine juhtum viitab sellele, et rööpküliku kõrgusena tuleb otsida selle tasandi punkte.

Esimene viis

Definitsioonist saame, et kaugus sirgel a asuvast punktist M 1 on risti M 1 H 1 pikkus, siis saame selle punkti H 1 leitud koordinaatidega, siis leiame kauguse punkti M 1 ( x 1, y 1, z 1) ja H 1 (x 1, y 1, z 1) põhinevad valemil M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Leiame, et kogu lahendus läheb M 1-lt sirgele a tõmmatud risti aluse koordinaatide leidmisele. Seda tehakse järgmiselt: H 1 on punkt, kus sirgjoon a lõikub antud punkti läbiva tasapinnaga.

See tähendab, et punktist M 1 (x 1, y 1, z 1) ruumis oleva jooneni a kauguse määramise algoritm hõlmab mitut punkti:

Definitsioon 5

• tasapinna χ võrrandi koostamine joonega risti asetsevat etteantud punkti läbiva tasandi võrrandiks;
• Punkti H 1, mis on sirge a ja tasandi χ lõikepunktiks, kuuluvate koordinaatide (x 2, y 2, z 2) määramine;
• punktist sirgeni kauguse arvutamine valemiga M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Teine viis

Tingimusest on meil sirge a, siis saame määrata suunavektori a → = a x, a y, a z koordinaatidega x 3, y 3, z 3 ja kindla sirgele a kuuluva punktiga M 3. Kui teil on punktide M 1 (x 1, y 1) ja M 3 x 3, y 3, z 3 koordinaadid, saate arvutada M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Peaksime punktist M 3 kõrvale jätma vektorid a → = a x , a y , a z ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 , ühendama need ja saama rööpküliku kujundi . M 1 H 1 on rööpküliku kõrgus.

Vaatame allolevat joonist.

Meil on, et kõrgus M 1 H 1 on vajalik kaugus, siis on vaja see valemi abil leida. See tähendab, et me otsime M 1 H 1.

Tähistame rööpküliku pindala tähega S, mis leitakse valemiga, kasutades vektorit a → = (a x, a y, a z) ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Pindala valem on S = a → × M 3 M 1 → . Samuti võrdub joonise pindala selle külgede pikkuste ja kõrguse korrutisega, saame, et S = a → · M 1 H 1 koos a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, mis on vektori a → = (a x, a y, a z) pikkus, mis on võrdne rööpküliku küljega. See tähendab, et M 1 H 1 on kaugus punktist sirgeni. See leitakse valemiga M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Et leida kaugust punktist koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1) ruumi sirgjooneni a, peate läbima mitu algoritmi sammu:

Definitsioon 6

• sirge a - a → = (a x, a y, a z) suunavektori määramine;
• suunavektori a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 pikkuse arvutamine;
• sirgel a asuvale punktile M 3 kuuluvate koordinaatide x 3 , y 3 , z 3 saamine;
• vektori M 3 M 1 → koordinaatide arvutamine;
• vektorite a → (a x, a y, a z) ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektorkorrutise leidmine kui a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pikkuse saamiseks valemiga a → × M 3 M 1 → ;
• kauguse arvutamine punktist sirgeni M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Antud punkti ja antud ruumi sirge kauguse leidmise ülesannete lahendamine

Näide 5

Leidke kaugus punktist koordinaatidega M 1 2, - 4, - 1 sirgeni x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Lahendus

Esimene meetod algab M 1 läbiva ja antud punktiga risti oleva tasandi χ võrrandi kirjutamisega. Saame väljendi nagu:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Vaja on leida punkti H 1 koordinaadid, mis on χ tasandi lõikepunkt tingimusega määratud sirgele. Peaksite liikuma kanoonilisest vaatest ristuvale vaatele. Seejärel saame võrrandisüsteemi kujul:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

On vaja arvutada süsteem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Crameri meetodil, siis saame selle:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = 0 - ∆ 60 = 0

Siit saame selle H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Teine meetod peab algama koordinaatide otsimisega kanoonilisest võrrandist. Selleks peate pöörama tähelepanu murdosa nimetajatele. Siis a → = 2, - 1, 5 on sirge x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 suunavektor. Pikkus on vaja arvutada valemiga a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

On selge, et sirge x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 lõikub punktiga M 3 (- 1 , 0 , - 5), seega on vektor, mille alguspunkt on M 3 (- 1 , 0 , - 5) ja selle ots punktis M 1 2, - 4, - 1 on M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Leidke vektorkorrutis a → = (2, - 1, 5) ja M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Saame avaldise kujul a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

leiame, et vektorkorrutise pikkus on võrdne a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Meil on kõik andmed, et kasutada valemit sirgjoone punktist kauguse arvutamiseks, nii et rakendame seda ja saame:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Vastus: 11 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Sissejuhatus

Antud kursusetöös käsitlesin teemat “kaugus punktist sirgeni”: on antud punkti ja sirge kauguse definitsioon ning graafilised illustratsioonid. Käsitletakse punktist sirge kauguse leidmist tasapinnal ja ruumis koordinaatide meetodil. Iga teooriaploki järel näidatakse üksikasjalikke näidete lahendusi ja ülesandeid punktist sirgeni kauguse leidmiseks.

Kaugus punktist jooneni – määratlus

Olgu antud tasapinnal või ruumilises ruumis sirge a ja punkt M 1, mis ei asu sirgel a. Joonistame sirge b läbi punkti M 1, mis on risti sirgega a. Tähistame sirgete a ja b lõikepunkti kui H 1 . Lõigu M 1 H 1 nimetatakse ristsuunaks, mis on tõmmatud punktist M 1 sirgele a.

Definitsioon.

Kaugus punktist M 1 sirgjooneni a on punktide M 1 ja H 1 vaheline kaugus.

Punkti ja sirge kauguse kõige levinum määratlus on aga risti pikkus.

Definitsioon.

Kaugus punktist sirgeni on antud punktist antud sirgele tõmmatud risti pikkus.

See määratlus on samaväärne punkti ja joone vahelise kauguse esimese määratlusega.

Pilt 1

Pange tähele, et kaugus punktist jooneni on väikseim vahemaa sellest punktist antud joone punktideni. Näitame seda.

Võtame sirgel a punkti Q, mis ei lange kokku punktiga M 1 . Lõigu M 1 Q nimetatakse kaldlõiguks, mis on tõmmatud punktist M 1 sirgele a. Peame näitama, et punktist M 1 sirgele a tõmmatud rist on väiksem kui mis tahes punktist M 1 sirgele a tõmmatud kaldnurk. See on tõsi: kolmnurk M 1 QH 1 on täisnurkne hüpotenuusiga M 1 Q ja seetõttu on hüpotenuusi pikkus alati suurem kui mis tahes jala pikkus.

Olgu ristkülikukujuline koordinaatsüsteem fikseeritud kolmemõõtmelises ruumis Oxyz, antud punkt , sirgjoon a ja peate leidma kauguse punktist A sirgjoonele a.

Näitame kahte meetodit, mis võimaldavad teil arvutada kaugust punktist ruumis oleva jooneni. Esimesel juhul kauguse leidmine punktist M 1 sirgjoonele a taandub punktist kauguse leidmisele M 1 asja juurde H 1 , Kus H 1 - punktist langenud risti alus M 1 otse a. Teisel juhul leiame rööpküliku kõrguseks kauguse punktist tasapinnani.

Nii et alustame.

Esimene viis punkti ja joone a kauguse leidmiseks ruumis.

Kuna definitsiooni järgi on kaugus punktist M 1 sirgjoonele a on risti pikkus M 1 H 1 , siis, olles määranud punkti koordinaadid H 1 , saame vajaliku kauguse arvutada punktidevahelise kaugusena Ja valemi järgi.

Seega taandub probleem punktist konstrueeritud risti aluse koordinaatide leidmisele M 1 sirgjoonele a. Seda on üsna lihtne teha: punkt H 1 on sirge lõikepunkt a punkti läbiva tasapinnaga M 1 joonega risti a.

Seega Algoritm, mis võimaldab määrata kaugust punktist sirgjoonelea kosmoses, on:

Teine meetod võimaldab teil leida kauguse punktist jooneni a ruumis.

Kuna ülesandepüstituses on meile antud sirge a, siis saame määrata selle suunavektori ja mõne punkti koordinaadid M 3 , lamades sirgjoonel a. Seejärel vastavalt punktide koordinaatidele ja saame arvutada vektori koordinaadid: (vajadusel viidata vektori artikli koordinaatidele selle algus- ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu).

Jätame vektorid kõrvale ja punktist M 3 ja konstrueerida neile rööpkülik. Sellel rööpkülikul joonistame kõrguse M 1 H 1 .

Ilmselgelt kõrgus M 1 H 1 konstrueeritud rööpkülik on võrdne vajaliku kaugusega punktist M 1 sirgjoonele a. Otsime üles.

Ühel küljel rööpküliku pindala (tähistagem seda S) võib leida vektorite vektorkorrutise kaudu ja valemi järgi . Teisest küljest on rööpküliku pindala võrdne selle külje pikkuse ja kõrguse korrutisega, st , Kus - vektori pikkus , võrdne kõnealuse rööpküliku külje pikkusega. Seega kaugus antud punktist M 1 etteantud sirgele a võib leida võrdsusest Kuidas .

Niisiis, et leida kaugus punktist sirgjoonelea vajalikus ruumis

Antud punkti ja antud ruumi sirge kauguse leidmise ülesannete lahendamine.

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Leidke kaugus punktist sirgjoonele .

Lahendus.

Esimene viis.

Kirjutame üles punkti läbiva tasandi võrrandi M 1 antud sirgega risti:

Leidke punkti koordinaadid H 1 - tasapinna ja etteantud sirge lõikepunktid. Selleks tehkem üleminek sirgjoone kanoonilistest võrranditest kahe lõikuva tasandi võrranditele

mille järel lahendame lineaarvõrrandisüsteemi Crameri meetod:

Seega,.

Jääb üle arvutada punktidevaheliseks kauguseks vajalik kaugus punktist jooneni Ja:.

Teine viis.

Sirge kanooniliste võrrandite murdude nimetajates olevad numbrid tähistavad selle sirge suunavektori vastavaid koordinaate, st - otsevektor . Arvutame selle pikkuse: .

Ilmselgelt otse läbib punkti , siis vektor, mille alguspunkt on punktis ja lõpetada punktis Seal on . Leiame vektorite vektorkorrutise Ja :
siis selle vektorkorrutise pikkus on .

Nüüd on meil kõik andmed, et kasutada valemit, et arvutada kaugus antud punktist antud tasapinnani: .

Vastus:

Joonte suhteline asukoht ruumis

Peate määrama kauguse punktist jooneni. Üldine plaan probleemi lahendamiseks:

- läbi etteantud punkti joonestame etteantud sirgega risti oleva tasandi;

- leidke joone kohtumispunkt

lennukiga;

- määrata kauguse looduslik väärtus.

Läbi antud punkti joonestame sirgega AB risti oleva tasapinna. Tasapinna defineerime ristuvate horisontaal- ja frontaaljoontena, mille projektsioonid konstrueeritakse perpendikulaarsusalgoritmi järgi (pöördülesanne).

Leidke punkt, kus sirge AB kohtub tasapinnaga. See on tüüpiline probleem sirge ja tasapinnaga lõikumise kohta (vt jaotist "Sirge ristumiskoht tasapinnaga").

Tasapindade perpendikulaarsus

Tasapinnad on üksteisega risti, kui üks neist sisaldab sirget, mis on risti teise tasapinnaga. Seetõttu tuleb teise tasapinnaga risti oleva tasandi joonistamiseks kõigepealt joonistada tasapinnaga risti ja seejärel tõmmata läbi selle soovitud tasapind. Diagrammil on tasapind määratletud kahe risuva sirgega, millest üks on risti tasapinnaga ABC.

Kui tasapinnad on määratletud jälgedega, on võimalikud järgmised juhtumid:

- kui kaks risti asetsevat tasandit on väljaulatuvad, siis on nende kollektiivsed jäljed üksteisega risti;

- üldtasand ja eenduv tasapind on risti, kui eenduva tasandi kollektiivjälg on risti üldtasandi sama jäljega;

- kui kahe üldasendis oleva tasandi samanimelised jäljed on risti, siis tasandid ei ole üksteisega risti.

Projektsioonitasapinna asendamise meetod

	projektsioonitasapindade asendamine
on see, et lennukid on
sektsioonid asendatakse teise korteriga
	nii et	geomeetriline
objekt uues tasapinnalises süsteemis
prognoosid hakkasid hõivama jagatist - poolt
olukord, mis võimaldab seda lihtsustada
probleemide lahendamine. Ruumilisel skaalal
kete näitab tasapinna V asendamist
uus V1. Samuti on näidatud projekteeritud
punkti A ülekandmine algtasanditele
projektsioonid ja uus projektsioonitasand
V 1. Projektsioontasandite asendamisel
süsteemi ortogonaalsus säilib.

Muudame ruumilise paigutuse tasapinnaliseks, pöörates tasapindu mööda nooli. Saame kolm projektsioonitasandit, mis on ühendatud üheks tasapinnaks.

Seejärel eemaldame projektsioonitasandid ja
		prognoosid
Punkti diagrammil järgib reegel: millal
V asendamine V 1-ga selleks, et
		eesmine
uuelt teljelt nõutava punkti
kohast võetud rakenduspunkt kõrvale jätta
eelmine lennukite süsteem
tegevused. Samamoodi võib tõestada
	H asendamine H 1-ga on vajalik
pane kõrvale punkti ordinaat.

Projektsioontasandi asendusmeetodi esimene tüüpiline probleem

Projektsioontasandi asendamise meetodi esimene tüüpiline ülesanne on muundada üldine sirge esmalt tasapinnaliseks ja seejärel väljaulatuvaks sirgeks. See ülesanne on üks peamisi, kuna seda kasutatakse teiste ülesannete lahendamisel, näiteks paralleelsete ja ristuvate sirgete kauguse määramisel, kahetahulise nurga määramisel jne.

Teeme asendus V → V 1.
tõmmake telg horisontaaliga paralleelselt
		prognoosid.
eesmine projektsioon sirge, eest
				edasi lükata
dot aplikaatorid. Uus esiosa
sirge projektsioon on HB sirgjoon.
Sirge ise muutub frontaaljooneks.
Määratakse nurk α°.

Teeme asendus H → H 1. Joonistame uue telje risti sirge esiprojektsiooniga. Konstrueerime sirge uue horisontaalprojektsiooni, mille jaoks joonistame eelmisest projektsioonitasandite süsteemist võetud sirge ordinaadid uuelt teljest. Sirge muutub horisontaalselt eenduvaks sirgjooneks ja “mandub” punktiks.