Siinus, koosinus, puutuja: mis see on? Kuidas leida siinust, koosinust ja puutujat? Trigonomeetria Nurga leidmine koosinuse järgi
Näited:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Argument ja väärtus
Teravnurga koosinus
Teravnurga koosinus saab määrata täisnurkse kolmnurga abil - see võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.
Näide :
1) Olgu antud nurk ja tuleb määrata selle nurga koosinus.
2) Lõpetame selle nurga suvalise täisnurkse kolmnurga.
3) Olles mõõtnud vajalikud küljed, saame arvutada koosinuse.
Teravnurga koosinus on suurem kui \(0\) ja väiksem kui \(1\)
Kui ülesande lahendamisel osutus teravnurga koosinus suuremaks kui 1 või negatiivseks, siis kuskil lahenduses on viga.
Arvu koosinus
Arvuring võimaldab määrata mis tahes arvu koosinuse, kuid tavaliselt leiab arvude koosinuse, mis on kuidagi seotud : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Näiteks arvu \(\frac(π)(6)\) puhul on koosinus võrdne \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Ja arvu \(-\)\(\frac(3π)(4)\) puhul on see võrdne \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ligikaudu \ (-0 ,71\)).
Koosinus teiste praktikas sageli esinevate arvude jaoks, vt.
Koosinusväärtus jääb alati \(-1\) ja \(1\) vahele. Sel juhul saab koosinuse arvutada absoluutselt mis tahes nurga ja arvu jaoks.
Mis tahes nurga koosinus
Tänu numbrilisele ringile on võimalik määrata mitte ainult teravnurga, vaid ka nüri, negatiivse ja isegi suurema kui \ (360 ° \) (täispööre) koosinus. Kuidas seda teha - lihtsam on üks kord näha kui \(100\) korda kuulda, nii et vaadake pilti.
Nüüd selgitus: olgu vaja määrata nurga koosinus KOA kraadiga \(150°\). Ühendame punkti KOHTA ringi keskpunkti ja küljega Okei- teljega \(x\). Pärast seda pange kõrvale \ (150 ° \) vastupäeva. Siis punkti ordinaat AGA näitab meile selle nurga koosinust.
Kui meid huvitab nurk kraadiga, näiteks \ (-60 ° \) (nurk KOV), teeme sama, kuid \(60°\) jätame päripäeva kõrvale.
Ja lõpuks, nurk on suurem kui \(360°\) (nurk KOS) - kõik sarnaneb nüriga, alles pärast täispööret päripäeva läheme teisele ringile ja “saame kraadide puudumise”. Täpsemalt, meie puhul on nurk \(405°\) kujutatud kujul \(360° + 45°\).
Lihtne on arvata, et nurga kõrvalejätmiseks näiteks \ (960 ° \) peate tegema kaks pööret (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) ja nurga jaoks \ (2640 ° \) - terved seitse.
Tasub meeles pidada, et:
Täisnurga koosinus on null. Nürinurga koosinus on negatiivne.
Koosinusmärgid neljandikku
Koosinustelje (st joonisel punasega esile tõstetud abstsisstellje) abil on koosinuste märke lihtne määrata mööda numbrilist (trigonomeetrilist) ringi:
Kui telje väärtused on vahemikus \(0\) kuni \(1\), on koosinusel plussmärk (I ja IV veerand on haljasala),
- kui telje väärtused on vahemikus \(0\) kuni \(-1\), on koosinusel miinusmärk (II ja III veerand - lilla ala).
Näide.
Defineerige märk \(\cos 1\).
Lahendus:
Leiame trigonomeetrilisel ringil \(1\). Alustame sellest, et \ (π \u003d 3,14 \). See tähendab, et üks on nullile ("alguspunkt") ligikaudu kolm korda lähemal.
Kui joonistada koosinusteljega risti, selgub, et \(\cos1\) on positiivne.
Vastus:
pluss.
Seos teiste trigonomeetriliste funktsioonidega:
- sama nurk (või arv): põhiline trigonomeetriline identsus \(\sin^2x+\cos^2x=1\)- sama nurk (või arv): valemiga \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- ja sama nurga (või arvu) siinus: \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Vaadake teisi kõige sagedamini kasutatavaid valemeid.
Funktsioon \(y=\cos(x)\)
Kui joonistame nurgad radiaanides piki \(x\) telge ja nendele nurkadele vastavad koosinusväärtused piki \(y\) telge, saame järgmise graafiku:
Seda graafikut nimetatakse ja sellel on järgmised omadused:
Määratluspiirkond on mis tahes x väärtus: \(D(\cos(x))=R\)
- väärtuste vahemik - \(-1\) kuni \(1\) kaasa arvatud: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- paaris: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- perioodiline perioodiga \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- koordinaattelgede lõikepunktid:
abstsiss: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kus \(n ϵ Z\)
y-telg: \((0;1)\)
- tähemärkide intervallid:
funktsioon on positiivne intervallidel: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kus \(n ϵ Z\)
funktsioon on negatiivne intervallidel: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kus \(n ϵ Z\)
- suurendamise ja vähendamise intervallid:
funktsioon suureneb intervallidel: \((π+2πn;2π+2πn)\), kus \(n ϵ Z\)
funktsioon väheneb intervallidel: \((2πn;π+2πn)\), kus \(n ϵ Z\)
- funktsiooni maksimumid ja miinimumid:
funktsioonil on maksimaalne väärtus \(y=1\) punktides \(x=2πn\), kus \(n ϵ Z\)
funktsioonil on minimaalne väärtus \(y=-1\) punktides \(x=π+2πn\), kus \(n ϵ Z\).
Nagu näete, on see ring ehitatud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega, samal ajal kui ringi keskpunkt asub lähtepunktis, on raadiuse vektori algpositsioon fikseeritud piki telje positiivset suunda (meie näites on see raadius).
Igale ringi punktile vastab kaks numbrit: koordinaat piki telge ja koordinaat piki telge. Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks pidage meeles vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Kaaluge kolmnurka. See on ristkülikukujuline, kuna see on teljega risti.
Millega võrdub kolmnurgast? See on õige. Lisaks teame, et see on ühiku ringi raadius ja seetõttu . Asendage see väärtus meie koosinusvalemiga. See juhtub järgmiselt.
Ja millega võrdub kolmnurgast? No muidugi,! Asendage selle valemiga raadiuse väärtus ja saate:
Niisiis, kas saate mulle öelda, mis on ringile kuuluva punkti koordinaadid? No mitte kuidagi? Ja kui sa sellest aru saad ja oled vaid numbrid? Mis koordinaadile see vastab? No muidugi koordinaat! Mis koordinaadile see vastab? Täpselt nii, kooskõlasta! Seega punkt.
Ja mis siis on võrdsed ja? See on õige, kasutame sobivaid puutuja ja kotangensi definitsioone ja saame selle, a.
Mis siis, kui nurk on suurem? Siin näiteks nagu sellel pildil:
Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka: nurk (nurgaga külgnevana). Mis on nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile; nurga koosinuse väärtus - koordinaat; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega on need seosed rakendatavad raadiusvektori mis tahes pöörete korral.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud suurusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates - negatiivne.
Niisiis, me teame, et raadiusvektori terve pööre ümber ringi on või. Kas raadiusvektorit on võimalik pöörata või võrra? No muidugi saab! Seetõttu teeb esimesel juhul raadiuse vektor ühe täieliku pöörde ja peatub asendis või.
Teisel juhul, see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täielikku pööret ja peatub asendis või.
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad või (kus on mis tahes täisarv), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka. Sama pilt vastab nurgale jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga või (kus on suvaline täisarv)
Nüüd, teades trigonomeetriliste põhifunktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millega väärtused on võrdsed:
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
Siit määrame nurga teatud mõõtmetele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk kohas vastab koordinaatidega punktile, seega:
Ei eksisteeri;
Edasi, järgides sama loogikat, saame teada, et nurgad vastavad vastavalt koordinaatidega punktidele. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
Kuid allolevas tabelis toodud nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja tuleb meeles pidada:
Ärge kartke, nüüd näitame ühte näidetest üsna lihtne vastavate väärtuste meeldejätmine:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada siinuse väärtusi kõigi kolme nurga mõõtmise jaoks (), samuti nurga puutuja väärtust. Neid väärtusi teades on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
Seda teades saate väärtused taastada. Lugeja " " ühtib ja nimetaja " " ühtib. Kootangentsi väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui mõistate seda ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate kogu väärtust tabelist.
Ringjoone punkti koordinaadid
Kas ringilt on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, selle raadiust ja pöördenurka?
No muidugi saab! Toome välja üldvalem punkti koordinaatide leidmiseks.
Näiteks siin on meil selline ring:
Meile antakse, et punkt on ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. Punkti kraadide kaupa pööramisel saadud punkti koordinaadid on vaja leida.
Nagu jooniselt näha, vastab lõigu pikkus punkti koordinaadile. Lõigu pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile, see tähendab, et see on võrdne. Lõigu pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooni abil:
Siis on meil see punkti koordinaat.
Sama loogika järgi leiame punkti y-koordinaadi väärtuse. Sellel viisil,
Üldiselt määratakse punktide koordinaadid valemitega:
Ringi keskpunkti koordinaadid,
ringi raadius,
Raadiusvektori pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi jaoks need valemid oluliselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on null ja raadius on võrdne ühega:
No proovime maitsta neid valemeid, harjutame ringilt punktide leidmist?
1. Leia punkti sisselülitamisel saadud ühikringjoone punkti koordinaadid.
2. Leia punkti sisselülitamisel saadud ühikringjoone punkti koordinaadid.
3. Leia punkti sisselülitamisel saadud ühikringjoone punkti koordinaadid.
4. Punkt – ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
5. Punkt – ringi keskpunkt. Ringjoone raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
Kas teil on raskusi ringi punkti koordinaatide leidmisega?
Lahenda need viis näidet (või mõista lahendust hästi) ja õpid, kuidas neid leida!
1.
Seda on näha. Ja me teame, mis vastab lähtepunkti täispöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti soovitud koordinaadid:
2. Ring on ühik, mille keskpunkt on punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Seda on näha. Teame, mis vastab lähtepunkti kahele täielikule pöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti soovitud koordinaadid:
Siinus ja koosinus on tabeli väärtused. Me mäletame nende väärtusi ja saame:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
3. Ring on ühik, mille keskpunkt on punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Seda on näha. Kujutame vaadeldavat näidet joonisel:
Raadius moodustab nurgad, mille telg on võrdne ja. Teades, et koosinuse ja siinuse tabeliväärtused on võrdsed, ja tehes kindlaks, et siinusel on negatiivne väärtus ja siinus on positiivne, saame:
Sarnaseid näiteid analüüsitakse üksikasjalikumalt teemas trigonomeetriliste funktsioonide redutseerimise valemeid uurides.
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
4.
Raadiusvektori pöördenurk (tingimuse järgi)
Siinuse ja koosinuse vastavate märkide määramiseks konstrueerime ühikringi ja nurga:
Nagu näete, on väärtus, see tähendab, positiivne ja väärtus, see tähendab, on negatiivne. Teades vastavate trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi, saame, et:
Asendame saadud väärtused oma valemiga ja leiame koordinaadid:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
5. Selle ülesande lahendamiseks kasutame valemeid üldkujul, kus
Ringi keskpunkti koordinaadid (meie näites
Ringi raadius (tingimuse järgi)
Raadiusvektori pöördenurk (tingimuse järgi).
Asendage valemis kõik väärtused ja saate:
ja - tabeliväärtused. Jätame need meelde ja asendame need valemiga:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEM
Nurga siinus on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja on vastassuunalise (kaugema) jala ja külgneva (lähedase) suhe.
Nurga kootangens on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
KASUTADA 4 jaoks? Kas sa pole õnnest pakatav?
Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav ... Saate, saate 4 edasi anda! Ja samal ajal ärge lõhkege ... Peamine tingimus on regulaarselt harjutada. Siin on põhiline ettevalmistus matemaatika eksamiks. Kõigi ühtse riigieksami saladuste ja saladustega, millest te õpikutest ei loe... Uurige seda jaotist, lahendage erinevatest allikatest rohkem ülesandeid - ja kõik saab korda! Eeldatakse, et põhijaotis "Aitab sulle ja kolmele!" ei tekita teile probleeme. Aga kui äkki ... Järgige linke, ärge olge laisk!
Ja me alustame suurepärase ja kohutava teemaga.
Trigonomeetria
Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
See teema tekitab õpilastele palju probleeme. Seda peetakse üheks kõige raskemaks. Mis on siinus ja koosinus? Mis on puutuja ja kotangent? Mis on numbriring? Neid kahjutuid küsimusi tasub küsida, kuna inimene muutub kahvatuks ja püüab vestlust kõrvale juhtida ... Aga asjata. Need on lihtsad mõisted. Ja see teema pole teistest raskem. Peate lihtsalt nendele küsimustele vastuseid algusest peale selgelt aru saama. See on väga tähtis. Kui sa selle välja mõtlesid, meeldib sulle trigonomeetria. Niisiis,
Mis on siinus ja koosinus? Mis on puutuja ja kotangent?
Alustame iidsetest aegadest. Ärge muretsege, me läbime kõik 20 trigonomeetria sajandit 15 minutiga. Ja endalegi märkamatult kordame 8. klassist geomeetriatükki.
Joonistage täisnurkne kolmnurk külgedega a, b, c ja nurk X. Siin on üks.
Tuletan meelde, et külgi, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. a ja c- uisud. Neid on kaks. Teist poolt nimetatakse hüpotenuusiks. alates- hüpotenuus.
Kolmnurk ja kolmnurk, mõelge sellele! Mida temaga teha? Aga muistsed inimesed teadsid, mida teha! Kordame nende tegevust. Mõõdame külge sisse. Joonisel on lahtrid spetsiaalselt joonistatud, nagu see juhtub eksami ülesannetes. Külg sisse võrdub nelja lahtriga. OKEI. Mõõdame külge aga. Kolm rakku.
Nüüd jagame külje pikkuse aga külje pikkuse kohta sisse. Või nagu öeldakse, võtame suhtumise aga juurde sisse. a/c= 3/4.
Teise võimalusena saate jagada sisse peal aga. Saame 4/3. Saab sisse poolt jagama alates. hüpotenuus alatesära loe lahtrite kaupa, vaid see võrdub 5-ga. Saame a/c= 4/5. Ühesõnaga saab külgede pikkused üksteisega jagada ja saada mõned numbrid.
Mis siis? Mis on selle huvitava tegevuse mõte? Seni mitte ühtegi. Rumal töö, ausalt öeldes.)
Ja nüüd teeme seda. Suurendame kolmnurka. Laiendame külgi sinna ja tagasi, vaid nii, et kolmnurk jääks täisnurkseks. Süstimine X, muidugi ei muutu. Selle nägemiseks hõljutage kursorit pildi kohal või puudutage seda (kui teil on tahvelarvuti). Peod a, b ja c muunduma m, n, k, ja loomulikult muutuvad külgede pikkused.
Aga nende suhe ei ole!
Suhtumine a/c See oli: a/c= 3/4, sai m/n= 6/8 = 3/4. Ka teiste asjassepuutuvate osapoolte suhted ei muutu . Saate suvaliselt muuta täisnurkse kolmnurga külgede pikkust, suurendada, vähendada, ilma nurka x muutmata – vastavate osapoolte suhted ei muutu . Saate kontrollida või võite võtta muistsete inimeste sõna.
Nüüd on see väga oluline! Täisnurkse kolmnurga külgede suhted ei sõltu kuidagi külgede pikkustest (sama nurga puhul). See on nii oluline, et osapoolte suhted on pälvinud oma erilise nime. Nende nimed nii-öelda.) Saage tuttavaks.
Mis on nurga x siinus ? See on vastasjala ja hüpotenuusi suhe:
sinx = a/c
Mis on nurga x koosinus ? See on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
alatesosx= a/c
Mis on nurga x puutuja ? See on vastasjala ja külgneva jala suhe:
tgx=a/c
Mis on nurga x kootangens ? See on külgneva jala ja vastupidise jala suhe:
ctgx = in/a
Kõik on väga lihtne. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on mõned arvud. Mõõtmeteta. Lihtsalt numbrid. Iga nurga jaoks - oma.
Miks ma ennast nii igavalt kordan? Mis see siis on vaja meeles pidada. Iroonilisel kombel mäletan. Meeldejätmist saab lihtsamaks muuta. Kas fraas "Alustame kaugelt ..." on tuttav? Nii et alusta kaugelt.
Sinus nurk on suhe kauge jala nurgast hüpotenuusini. Koosinus on lähima ja hüpotenuusi suhe.
Tangent nurk on suhe kauge kateetri nurgast lähima nurgani. Kotangent- vastupidi.
Juba lihtsam, eks?
Noh, kui mäletate, et puutujas ja kotangensis istuvad ainult jalad ning siinus ja koosinus ilmub hüpotenuus, siis muutub kõik üsna lihtsaks.
Kogu seda hiilgavat perekonda - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens nimetatakse ka trigonomeetrilised funktsioonid.
Ja nüüd küsimus kaalumiseks.
Miks me ütleme siinus, koosinus, puutuja ja kotangens nurk? Räägime osapoolte suhetest, nagu ... Mis sellega pistmist on süstimine?
Vaatame teist pilti. Täpselt sama, mis esimene.
Hõljutage kursorit pildi kohal. Muutsin nurka X. suurendas seda alates x kuni x. Kõik suhted on muutunud! Suhtumine a/c oli 3/4 ja vastav suhe t/in sai 6/4.
Ja kõik muud suhted on muutunud teistsuguseks!
Seetõttu ei sõltu külgede suhted kuidagi nende pikkustest (ühe nurga all x), vaid sõltuvad järsult just sellest nurgast! Ja ainult temalt. Seetõttu viitavad terminid siinus, koosinus, puutuja ja kotangens nurk. Siinne nurk on peamine.
Tuleb irooniliselt mõista, et nurk on lahutamatult seotud selle trigonomeetriliste funktsioonidega. Igal nurgal on oma siinus ja koosinus. Ja peaaegu igaühel on oma puutuja ja kotangent. See on tähtis. Arvatakse, et kui meile on antud nurk, siis on selle siinus, koosinus, puutuja ja kotangens me teame ! Ja vastupidi. Kui antud siinus või mõni muu trigonomeetriline funktsioon, siis me teame nurka.
On olemas spetsiaalsed tabelid, kus iga nurga jaoks on kirjutatud selle trigonomeetrilised funktsioonid. Bradysi tabeleid nimetatakse. Neid on tehtud väga pikka aega. Siis, kui polnud veel kalkulaatoreid ega arvuteid...
Loomulikult ei saa kõigi nurkade trigonomeetrilisi funktsioone meelde jätta. Peate neid teadma vaid mõne nurga alt, sellest hiljem. Aga loits Ma tean nurka, seega tean selle trigonomeetrilisi funktsioone" - töötab alati!
Nii kordasime 8. klassist geomeetriatükki. Kas meil on seda eksamiks vaja? Vajalik. Siin on tüüpiline probleem eksamilt. Mille lahendamiseks piisab 8. klassist. Pilt antud:
Kõik. Rohkem andmeid pole. Peame leidma jala pikkuse BC.
Rakud aitavad vähe, kolmnurk on kuidagi valesti paigutatud .... Meelega vist ... Info järgi on hüpotenuusi pikkus. 8 rakku. Millegipärast on antud nurk.
Siin peame kohe meeles pidama trigonomeetriat. Nurk on olemas, seega teame kõiki selle trigonomeetrilisi funktsioone. Millist funktsiooni neljast tuleks rakendada? Vaatame, mida me teame, eks? Me teame hüpotenuusi, nurka, kuid me peame leidma külgnevad sellesse nurgakatetti! On selge, et koosinus tuleb ellu viia! Siin me käivitame. Me lihtsalt kirjutame koosinuse määratluse järgi (suhe külgnevad jalg hüpotenuusini):
cosC = BC/8
Nurk C on 60 kraadi ja selle koosinus on 1/2. Sa pead seda teadma, ilma tabeliteta! See on:
1/2 = päike/8
Elementaarlineaarvõrrand. Tundmatu - Päike. Kes unustas võrrandite lahendamise, jalutage lingil, ülejäänud lahendage:
päike = 4
Kui muistsed inimesed mõistsid, et igal nurgal on oma trigonomeetriliste funktsioonide komplekt, tekkis neil mõistlik küsimus. Kas siinus, koosinus, puutuja ja kotangens pole omavahel kuidagi seotud? Nii et teades ühte nurga funktsiooni, leiate ülejäänud? Ilma nurka ise arvutamata?
Nii nad olid rahutud ...)
Ühendus ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel.
Loomulikult on seotud sama nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Igasugune seos avaldiste vahel on matemaatikas antud valemitega. Trigonomeetrias on tohutult palju valemeid. Kuid siin vaatleme kõige elementaarsemaid. Neid valemeid nimetatakse: põhilised trigonomeetrilised identiteedid. Siin nad on:
Need valemid peavad teadma rauda. Ilma nendeta pole trigonomeetrias üldse midagi peale hakata. Nendest põhiidentiteetidest tuleneb veel kolm abiidentiteeti:
Hoiatan kohe, et kolm viimast valemit kukuvad kiiresti mälust välja. Millegipärast.) Neid valemeid saab loomulikult tuletada kolmest esimesest. Kuid raskel hetkel ... saate aru.)
Tavalistes ülesannetes, nagu allolevad, on võimalus nendest unustatavatest valemitest mööda hiilida. JA drastiliselt vähendada vigu unustamisest ja ka arvutustes. See tava on jaotises 555, õppetükis "Ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonide vaheline seos".
Millistes ülesannetes ja kuidas kasutatakse põhilisi trigonomeetrilisi identiteete? Kõige populaarsem ülesanne on leida mõni nurga funktsioon, kui see on antud. Eksamil on selline ülesanne aastast aastasse olemas.) Näiteks:
Leidke sinxi väärtus, kui x on teravnurk ja cosx=0,8.
Ülesanne on peaaegu elementaarne. Otsime valemit, kus on siinus ja koosinus. Siin on see valem:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Asendame siin teadaoleva väärtuse, nimelt koosinuse asemel 0,8:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Noh, me kaalume nagu tavaliselt:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x \u003d 1 - 0,64
Siin peaaegu kõike. Arvutasime siinuse ruudu, jääb üle ruutjuur välja võtta ja vastus ongi valmis! 0,36 juur on 0,6.
Ülesanne on peaaegu elementaarne. Kuid sõna "peaaegu" pole siin asjata ... Fakt on see, et vastus sinx = - 0,6 sobib ka ... (-0,6) 2 saab samuti 0,36.
Saadakse kaks erinevat vastust. Ja sa vajad ühte. Teine on vale. Kuidas olla!? Jah, nagu tavaliselt.) Lugege ülesanne hoolikalt läbi. Millegipärast on kirjas... kui x on teravnurk... Ja ülesannetes on igal sõnal tähendus, jah ... See fraas on lahenduse lisateave.
Teravnurk on nurk, mis on väiksem kui 90°. Ja selliste nurkade all kõik trigonomeetrilised funktsioonid - nii siinus kui koosinus ja puutuja kotangensiga - positiivne. Need. me lihtsalt jätame siin eitava vastuse kõrvale. Meil on õigus.
Tegelikult ei vaja kaheksanda klassi õpilased selliseid peensusi. Need töötavad ainult täisnurksete kolmnurkadega, kus nurgad võivad olla ainult teravad. Ja nad ei tea, õnnelikud, et on olemas negatiivsed nurgad ja 1000 ° nurgad ... Ja kõigil neil painajatel on oma trigonomeetrilised funktsioonid, millel on nii pluss kui miinus ...
Gümnaasiumiõpilastele aga märki arvestamata – mitte kuidagi. Palju teadmisi korrutab kurbust, jah...) Ja õige lahenduse jaoks peab ülesanne sisaldama lisainfot (vajadusel). Näiteks võib selle anda järgmiselt:
Või mõnel muul viisil. Allolevates näidetes näete.) Selliste näidete lahendamiseks peate teadma millisesse veerandisse antud nurk x langeb ja milline on soovitud trigonomeetrilise funktsiooni märk selles veerandis.
Neid trigonomeetria põhitõdesid käsitletakse tundides, mis on trigonomeetriline ring, selle ringi nurkade loendamine, nurga radiaanmõõt. Mõnikord on vaja teada ka puutujate ja kootangentide koosinuste siinuste tabelit.
Niisiis, paneme tähele kõige olulisemat:
Praktilised näpunäited:
1. Pidage meeles siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. Väga kasulik.
2. Assimileerime selgelt: siinus, koosinus, puutuja ja kotangent on nurkadega kindlalt seotud. Me teame üht, seega teame midagi muud.
3. Assimileerime selgelt: ühe nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on omavahel seotud trigonomeetriliste põhiidentiteetidega. Teame ühte funktsiooni, mis tähendab, et saame (vajaliku lisainfo olemasolul) kõik teised välja arvutada.
Ja nüüd otsustame, nagu tavaliselt. Esiteks ülesanded 8. klassi mahus. Kuid ka keskkooliõpilased saavad ...)
1. Arvutage tgA väärtus, kui ctgA = 0,4.
2. β - nurk täisnurkses kolmnurgas. Leidke tgβ väärtus, kui sinβ = 12/13.
3. Määrake teravnurga x siinus, kui tgx \u003d 4/3.
4. Leidke avaldise väärtus:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Leidke avaldise väärtus:
(1-cosx)(1+cosx), kui sinx = 0,3
Vastused (eraldatud semikooloniga, segaduses):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Juhtus? Hästi! Kaheksanda klassi õpilased saavad juba oma A-d järgida.)
Kas kõik ei õnnestunud? Ülesanded 2 ja 3 ei ole kuidagi väga ...? Pole probleemi! Selliste ülesannete jaoks on üks ilus tehnika. Kõik otsustatakse praktiliselt, ilma valemiteta! Ja seetõttu ilma vigadeta. Seda tehnikat kirjeldatakse õppetükis "Ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonide vaheline seos" jaotises 555. Kõik muud ülesanded on ka seal lahti võetud.
Need olid probleemid nagu ühtne riigieksam, kuid vähendatud versioonis. KASUTAMINE – valgus). Ja nüüd peaaegu samad ülesanded, kuid täieõiguslikul kujul. Teadmistekoormatud keskkooliõpilastele.)
6. Leidke tgβ väärtus, kui sinβ = 12/13 ja
7. Määrake sinx, kui tgx = 4/3 ja x kuulub intervalli (-540°; -450°).
8. Leidke avaldise sinβ cosβ väärtus, kui ctgβ = 1.
Vastused (segaduses):
0,8; 0,5; -2,4.
Siin ülesandes 6 on nurk antud kuidagi mitte väga üheselt... Aga ülesandes 8 pole seda üldse seatud! See on meelega). Lisainfot ei võeta ainult ülesandest, vaid ka peast.) Aga kui otsustad - üks õige ülesanne on garanteeritud!
Mis siis, kui te pole otsustanud? Ee... Noh, paragrahv 555 aitab siin. Seal on kõigi nende ülesannete lahendused üksikasjalikult kirjeldatud, raske on mitte mõista.
Selles õppetükis antakse trigonomeetriliste funktsioonide väga piiratud kontseptsioon. 8. klassi piires. Vanuritel on küsimusi...
Näiteks kui nurk X(vt teist pilti sellel lehel) - tee loll!? Kolmnurk laguneb! Ja kuidas olla? Ei tule jalga, ei ole hüpotenuusi ... Siinus on kadunud ...
Kui vanarahvas poleks sellest olukorrast väljapääsu leidnud, poleks meil praegu mobiiltelefone, televiisorit ega elektrit. Jah Jah! Kõigi nende asjade teoreetiline alus ilma trigonomeetriliste funktsioonideta on null ilma võlukepita. Kuid muistsed inimesed ei valmistanud pettumust. Kuidas nad välja said - järgmises õppetükis.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
|BD| - kaare pikkus keskendunud punktile A.
α
on radiaanides väljendatud nurk.
siinus ( sinα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
koosinus ( cosα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
Aktsepteeritud nimetused
;
;
.
;
;
.
Siinusfunktsiooni graafik, y = sin x
Koosinusfunktsiooni graafik, y = cos x
Siinuse ja koosinuse omadused
Perioodilisus
Funktsioonid y= sin x ja y= cos x perioodiline perioodiga 2 π.
Pariteet
Siinusfunktsioon on paaritu. Koosinusfunktsioon on paaris.
Määratluse ja väärtuste valdkond, äärmused, tõus, vähenemine
Siinus- ja koosinusfunktsioonid on pidevad oma definitsioonipiirkonnas, st kõigi x-ide puhul (vt joonis 1). järjepidevuse tõend). Nende peamised omadused on toodud tabelis (n - täisarv).
| y= sin x | y= cos x | |
| Ulatus ja järjepidevus | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Kasvav | ||
| Langevad | ||
| Maksimum, y= 1 | ||
| Miinimum, y = - 1 | ||
| Nullid, y= 0 | ||
| Lõikepunktid y-teljega, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Põhivalemid
Siinuse ja koosinuse ruudu summa
Siinus- ja koosinusvalemid summa ja vahe jaoks
;
;
Siinuse ja koosinuse korrutise valemid
Summa ja vahe valemid
Siinuse väljendamine koosinuse kaudu
;
;
;
.
Koosinuse väljendamine siinuse kaudu
;
;
;
.
Väljend puutuja järgi
; .
Meil on:
;
.
aadressil:
;
.
Siinuste ja koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel
See tabel näitab siinuste ja koosinuste väärtusi mõne argumendi väärtuse jaoks. 
Avaldised keeruliste muutujate kaudu
;
Euleri valem
Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi
;
;
Tuletised
N-ndat järku tuletised:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, kosekant
Pöördfunktsioonid
Siinuse ja koosinuse pöördfunktsioonid on arcsiinus ja arkosiinus, vastavalt.
Arksiin, arcsin
Arccosine, arccos
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.