Märgid ja ebausud 

Näited samade nimetajatega murdude võrdlemisest. Murdude võrdlemine. Kuidas võrrelda erinevate nimetajatega murde

Selles artiklis vaadeldakse murdude võrdlemist. Siin saame teada, milline murd on suurem või väiksem, rakendame reeglit ja vaatame lahendusnäiteid. Võrdleme murde nii võrdsete kui ka erinevad nimetajad. Teeme võrdluse harilik murd naturaalarvuga.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Samade nimetajatega murdude võrdlemine

Samade nimetajatega murdude võrdlemisel töötame ainult lugejaga, mis tähendab, et võrdleme arvu murde. Kui on murd 3 7, siis sellel on 3 osa 1 7, siis murdosas 8 7 on 8 sellist osa. Teisisõnu, kui nimetaja on sama, võrreldakse nende murdude lugejaid, st 3 7 ja 8 7 võrreldakse arvudega 3 ja 8.

See järgib samade nimetajatega murdude võrdlemise reeglit: olemasolevatest murdudest samad näitajad Murd, mille lugeja on suurem, loetakse suuremaks ja vastupidi.

See viitab sellele, et peaksite pöörama tähelepanu lugejatele. Selleks vaatame näidet.

Näide 1

Võrrelge antud murde 65 126 ja 87 126.

Lahendus

Kuna murdude nimetajad on samad, liigume edasi lugejate juurde. Arvudest 87 ja 65 on ilmne, et 65 on vähem. Tuginedes samade nimetajatega murdude võrdlemise reeglile, saame, et 87 126 on suurem kui 65 126.

Vastus: 87 126 > 65 126 .

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemine

Selliste murdude võrdlemist saab korreleerida samade astendajatega murdude võrdlemisega, kuid erinevus on olemas. Nüüd tuleb murded taandada ühise nimetajani.

Kui on erineva nimetajaga murde, peate nende võrdlemiseks tegema järgmist:

  • leida ühisosa;
  • võrrelda murde.

Vaatame neid toiminguid näite abil.

Näide 2

Võrrelge murde 5 12 ja 9 16.

Lahendus

Kõigepealt on vaja murded taandada ühisele nimetajale. Seda tehakse järgmiselt: leidke LCM, see tähendab väikseim ühine jagaja, 12 ja 16 . See number on 48. Esimesele murdarvule 5 12 on vaja lisada täiendavad tegurid, see arv leitakse jagatisest 48: 12 = 4, teise murdosa jaoks 9 16 – 48: 16 = 3. Kirjutame tulemuse järgmiselt: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 ja 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Pärast murdude võrdlemist saame 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Vastus: 5 12 < 9 16 .

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks on veel üks võimalus. Seda tehakse ilma ühisnimetajasse taandamata. Vaatame näidet. Murdude a b ja c d võrdlemiseks taandame need ühiseks nimetajaks, seejärel b · d, st nende nimetajate korrutiseks. Siis on murdude lisategurid naabermurru nimetajad. See kirjutatakse kujul a · d b · d ja c · b d · b . Kasutades identsete nimetajatega reeglit, saame, et murdude võrdlus on taandatud korrutistele a · d ja c · b. Siit saame reegli erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks: kui a · d > b · c, siis a b > c d, aga kui a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Näide 3

Võrrelge murde 5 18 ja 23 86.

Lahendus

Selles näites on a = 5, b = 18, c = 23 ja d = 86. Siis on vaja arvutada a·d ja b·c. Sellest järeldub, et a · d = 5 · 86 = 430 ja b · c = 18 · 23 = 414. Aga 430 > 414, siis antud murd 5 18 on suurem kui 23 86.

Vastus: 5 18 > 23 86 .

Samade lugejatega murdude võrdlemine

Kui murdudel on samad lugejad ja erinevad nimetajad, siis saab võrrelda eelmise punkti järgi. Võrdluse tulemus on võimalik nende nimetajate võrdlemisel.

Samade lugejatega murdude võrdlemiseks kehtib reegel : Kahest samade lugejatega murdest on väiksema nimetajaga murd suurem ja vastupidi.

Vaatame näidet.

Näide 4

Võrrelge murde 54 19 ja 54 31.

Lahendus

Meil on see, et lugejad on samad, mis tähendab, et murd, mille nimetaja on 19, on suurem kui murd, mille nimetaja on 31. See on reegli põhjal arusaadav.

Vastus: 54 19 > 54 31 .

Vastasel juhul võime vaadata näidet. Seal on kaks taldrikut, millel on 1 2 pirukat ja veel 1 16 anna. Kui sööd 12 pirukat, saad kõhu täis kiiremini kui 116. Sellest järeldub, et suurim võrdsete lugejatega nimetaja on murdude võrdlemisel väikseim.

Murru võrdlemine naturaalarvuga

Hariliku murru võrdlus naturaalmurruga number läheb samuti kahe murdosa võrdlemine kujul 1 kirjutatud nimetajatega. Üksikasjaliku ülevaate saamiseks on allpool toodud näide.

Näide 4

Tuleb teha võrdlus 63 8 ja 9 vahel.

Lahendus

Arv 9 tuleb esitada murdarvuna 9 1. Seejärel peame võrdlema murde 63 8 ja 9 1. Sellele järgneb taandamine ühise nimetajani lisategurite leidmisega. Pärast seda näeme, et peame võrdlema samade nimetajatega 63 8 ja 72 8 murde. Võrdlusreegli põhjal 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Vastus: 63 8 < 9 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Selles õppetükis õpime, kuidas murde omavahel võrrelda. See on väga kasulik oskus, mis on vajalik terve klassi keerukamate probleemide lahendamiseks.

Kõigepealt tuletan teile meelde murdude võrdsuse määratlust:

Murrud a /b ja c /d on võrdsed, kui ad = bc.

  1. 5/8 = 15/24, kuna 5 24 = 8 15 = 120;
  2. 3/2 = 27/18, kuna 3 18 = 2 27 = 54.

Kõigil muudel juhtudel on murrud ebavõrdsed ja nende puhul kehtib üks järgmistest väidetest:

  1. Fraktsioon a/b on suurem kui fraktsioon c/d;
  2. Murd a /b on väiksem kui murdosa c /d.

Murd a /b on suurem kui murdosa c /d, kui a /b − c /d > 0.

Murd x /y on väiksem kui murd s /t, kui x /y − s /t< 0.

Määramine:

Seega taandub murdude võrdlemine nende lahutamisele. Küsimus: kuidas mitte sattuda segadusse märgetega "rohkem kui" (>) ja "vähem kui" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

  1. Noka laienev osa osutab alati suurema numbri poole;
  2. Noka terav nina viitab alati väiksemale numbrile.

Tihti ülesannete puhul, kus on vaja numbreid võrrelda, pannakse nende vahele märk “∨”. See on nina maas olev koit, mis näib vihjavat: suuremat numbrit pole veel kindlaks tehtud.

Ülesanne. Võrdle numbreid:

Järgides definitsiooni, lahutage murdarvud üksteisest:


Igas võrdluses pidime murdude vähendama ühise nimetajani. Täpsemalt kasutades ristimeetodit ja vähima ühiskordse leidmist. Ma ei keskendunud meelega nendele punktidele, kuid kui midagi pole selge, vaadake õppetundi "Murdude liitmine ja lahutamine" - see on väga lihtne.

Kümnendkohtade võrdlus

Kümnendmurdude puhul on kõik palju lihtsam. Siin pole vaja midagi lahutada – lihtsalt võrrelge numbreid. Hea mõte on meeles pidada, mis on arvu oluline osa. Neile, kes on unustanud, soovitan korrata õppetundi “Komakohtade korrutamine ja jagamine” - see võtab samuti vaid paar minutit.

Positiivne kümnendkoht X on suurem kui positiivne kümnendkoht Y, kui see sisaldab kümnendkohta nii, et:

  1. Selle koha number murrus X on suurem kui vastav number murrus Y;
  2. Kõik sellest kõrgemad numbrid murdude X ja Y puhul on samad.
  1. 12.25 > 12.16. Esimesed kaks numbrit on samad (12 = 12) ja kolmas on suurem (2 > 1);
  2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Teisisõnu vaatame järjest läbi kümnendkohad ja otsi vahet. Sel juhul vastab suurem arv suuremale murdarvule.

See määratlus vajab aga täpsustamist. Näiteks kuidas kirjutada ja võrrelda kümnendkohti? Pidage meeles: mis tahes kümnendkujul kirjutatud arvule võib vasakule lisada mis tahes arvu nulle. Siin on veel paar näidet:

  1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (me räägime kõrgema auastme kohta).
  2. 2300,5 > 0,0025, sest 0,0025 = 0000,0025 - vasakule lisati kolm nulli. Nüüd näete, et erinevus algab esimesest numbrist: 2 > 0.

Muidugi, antud nullidega näidetes oli ilmselge liialdus, kuid mõte on täpselt selline: täitke vasakul olevad puuduvad bitid ja seejärel võrrelge.

Ülesanne. Võrdle murde:

  1. 0,029 ∨ 0,007;
  2. 14,045 ∨ 15,5;
  3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
  4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Definitsiooni järgi on meil:

  1. 0,029 > 0,007. Esimesed kaks numbrit langevad kokku (00 = 00), siis algab erinevus (2 > 0);
  2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
  3. 0,00003 > 0,0000099. Siin peate nullid hoolikalt lugema. Mõlema murru esimesed 5 numbrit on null, kuid siis on esimeses murrus 3 ja teises - 0. Ilmselgelt 3 > 0;
  4. 1700,1 > 0,99501. Kirjutame teise murru ümber 0000.99501, lisades vasakule 3 nulli. Nüüd on kõik ilmne: 1 > 0 - erinevus tuvastatakse esimeses numbris.

Kahjuks antud võrdlusskeem kümnendkohad mitte universaalne. Seda meetodit saab ainult võrrelda positiivsed numbrid. Üldjuhul on tööalgoritm järgmine:

  1. Positiivne murd on alati suurem kui negatiivne murd;
  2. Kahte positiivset murdu võrreldakse ülaltoodud algoritmi abil;
  3. Kahte negatiivset murdu võrreldakse samal viisil, kuid lõpus pööratakse ebavõrdsusmärk ümber.

Noh, pole paha? Nüüd vaatame konkreetsed näited- ja kõik saab selgeks.

Ülesanne. Võrdle murde:

  1. 0,0027 ∨ 0,0072;
  2. −0,192 ∨ −0,39;
  3. 0,15 ∨ −11,3;
  4. 19,032 ∨ 0,0919295;
  5. −750 ∨ −1,45.
  1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
  2. −0,192 > −0,39. Murrud on negatiivsed, 2. number on erinev. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
  3. 0,15 > −11,3. Positiivne number alati negatiivsem;
  4. 19,032 > 0,091. Piisab teise murru ümberkirjutamisest kujul 00.091, et näha, et erinevus tekib juba 1. numbris;
  5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Erinevus on esimeses kategoorias.

Võrrelda ei saa mitte ainult algarve, vaid ka murde. Murd on ju sama arv kui näiteks täisarvud. Peate teadma vaid reegleid, mille järgi murde võrreldakse.

Samade nimetajatega murdude võrdlemine.

Kui kahel murdel on samad nimetajad, siis on selliseid murde lihtne võrrelda.

Samade nimetajatega murdude võrdlemiseks peate võrdlema nende lugejaid. Murd, millel on suurem lugeja, on suurem.

Vaatame näidet:

Võrrelge murde \(\frac(7)(26)\) ja \(\frac(13)(26)\).

Mõlema murru nimetajad on samad ja võrdsed 26-ga, seega võrdleme lugejaid. Arv 13 on suurem kui 7. Saame:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Võrdsete lugejatega murdude võrdlemine.

Kui murdul on samad lugejad, siis väiksema nimetajaga murd on suurem.

Sellest reeglist saab aru, kui tuua näite elust. Meil on kook. Meile võib külla tulla 5 või 11 külalist. Kui tuleb 5 külalist, siis lõikame koogi 5 võrdseks tükiks ja kui tuleb 11 külalist, siis jagame selle 11 võrdseks tükiks. Mõelge nüüd olukorrale, kus üks külaline saab koogitüki suurem suurus? Muidugi 5 külalise saabudes on koogitükk suurem.

Või teine ​​näide. Meil on 20 kommi. Kommid saame kinkida võrdselt 4 sõbrale või jagada kommid võrdselt 10 sõbra vahel. Millisel juhul on igal sõbral rohkem komme? Muidugi, kui jagame ainult 4 sõbra vahel, on iga sõbra kommide arv suurem. Kontrollime seda ülesannet matemaatiliselt.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Kui lahendame need murrud enne, saame arvud \(\frac(20)(4) = 5\) ja \(\frac(20)(10) = 2\). Saame, et 5 > 2

See on samade lugejatega murdude võrdlemise reegel.

Vaatame teist näidet.

Võrrelge sama lugejaga \(\frac(1)(17)\) ja \(\frac(1)(15)\) murde.

Kuna lugejad on samad, on väiksema nimetajaga murd suurem.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Erinevate nimetajate ja lugejatega murdude võrdlemine.

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks peate murdude taandama väärtusele ja seejärel võrdlema lugejaid.

Võrrelge murde \(\frac(2)(3)\) ja \(\frac(5)(7)\).

Kõigepealt leiame murdude ühisnimetaja. See võrdub arvuga 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \ korda 3) (7 \ korda 3) = \frac(15) (21)\\\\ \end(joonda)\)

Seejärel liigume lugejate võrdlemise juurde. Reegel samade nimetajatega murdude võrdlemiseks.

\(\begin(joonda)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Võrdlus.

Mitte õige murdosa alati õigem. Sest vale murd on suurem kui 1, kuid õige murd on väiksem kui 1.

Näide:
Võrrelge murde \(\frac(11)(13)\) ja \(\frac(8)(7)\).

Murd \(\frac(8)(7)\) on vale ja on suurem kui 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Murd \(\frac(11)(13)\) on õige ja see on väiksem kui 1. Võrdleme:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Saame \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Seotud küsimused:
Kuidas võrrelda erinevate nimetajatega murde?
Vastus: peate viima murrud ühise nimetajani ja seejärel võrdlema nende lugejaid.

Kuidas murde võrrelda?
Vastus: Kõigepealt peate otsustama, millisesse kategooriasse murrud kuuluvad: neil on ühine nimetaja, neil on ühine lugeja, neil pole ühist nimetajat ja lugejat või on teil õige ja vale murd. Pärast murdude klassifitseerimist rakendage sobivat võrdlusreeglit.

Mis on samade lugejatega murdude võrdlemine?
Vastus: Kui murdudel on samad lugejad, on väiksema nimetajaga murd suurem.

Näide nr 1:
Võrrelge murde \(\frac(11)(12)\) ja \(\frac(13)(16)\).

Lahendus:
Kuna identseid lugejaid ega nimetajaid pole, rakendame erinevate nimetajatega võrdlemise reeglit. Peame leidma ühise nimetaja. Ühisnimetajaks saab 96. Vähendame murrud ühiseks nimetajaks. Korrutage esimene murd \(\frac(11)(12)\) lisateguriga 8 ja teine ​​murd \(\frac(13)(16)\) 6-ga.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \ korda 6) (16 \ korda 6) = \frac(78) (96)\\\\ \end(joonda)\)

Me võrdleme lugejatega murde, suurema lugejaga murd on suurem.

\(\begin(joonda)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\lõpp(joonda)\)

Näide nr 2:
Võrdle õiget murru ühega?

Lahendus:
Iga õige murd on alati väiksem kui 1.

Ülesanne nr 1:
Poeg ja isa mängisid jalgpalli. Poeg tabas väravat 5 korda 10 lähenemisest. Ja isa tabas väravat 3 korda viiest lähenemisest. Kelle tulemus on parem?

Lahendus:
Poeg tabas 5 korda 10 võimalikust lähenemisest. Kirjutame selle murruna \(\frac(5)(10)\).
Isa tabas 3 korda 5 võimalikust lähenemisest. Kirjutame selle murruna \(\frac(3)(5)\).

Võrdleme murde. Meil on erinevad lugejad ja nimetajad, taandame need ühele nimetajale. Ühisnimetajaks saab 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Vastus: Isal on parem tulemus.

Kahest samade nimetajatega murdest on suurema lugejaga murd suurem ja väiksema lugejaga murdosa väiksem.. Tegelikult näitab nimetaja, mitmeks osaks üks tervikväärtus jagunes, ja lugeja näitab, kui palju selliseid osi võeti.

Selgub, et jagasime iga terve ringi sama arvuga 5 , aga nad võtsid erinevad kogused osad: nad võtsid rohkem - suurem osa ja selgus.

Kahest samade lugejatega murdest on väiksema nimetajaga murd suurem ja suurema nimetajaga murd väiksem. Noh, tegelikult, kui me jagame ühe ringi 8 osad ja teine ​​edasi 5 osad ja võta igast ringist üks osa. Kumb osa saab olema suurem?

Loomulikult jagatud ringist 5 osad! Kujutage nüüd ette, et nad ei jaganud mitte ringe, vaid kooke. Kumba tükki eelistaksite, õigemini, millist jagamist: viiendikku või kaheksandat?

Erinevate lugejate ja erinevate nimetajatega murdude võrdlemiseks peate murdud vähendama nende madalaima ühisnimetajani ja seejärel võrdlema samade nimetajatega murde.

Näited. Võrdle tavalisi murde:

Vähendame need murrud nende väikseima ühisnimetajani. NOZ(4 ; 6) = 12. Leiame iga fraktsiooni jaoks täiendavaid tegureid. 1. fraktsiooni jaoks lisategur 3 (12: 4=3 ). 2. fraktsiooni jaoks lisategur 2 (12: 6=2 ). Nüüd võrdleme kahe saadud murru lugejaid samade nimetajatega. Kuna esimese murru lugeja on väiksem kui teise murru lugeja ( 9<10) , siis esimene murd ise on väiksem kui teine ​​murd.

Igapäevaelus peame sageli võrdlema murdosa suurusi. Enamasti ei tekita see raskusi. Tõepoolest, kõik saavad aru, et pool õuna on suurem kui veerand. Kuid kui tegemist on selle matemaatilise avaldisena kirja panemisega, võib see segadusse ajada. Järgmisi matemaatilisi reegleid rakendades saate selle ülesande hõlpsalt lahendada.

Kuidas võrrelda samade nimetajatega murde

Selliseid murde on kõige mugavam võrrelda. Sel juhul kasutage reeglit:

Kahest samade nimetajatega, kuid erinevate lugejatega murdest on suurem see, mille lugeja on suurem, ja väiksem on see, mille lugeja on väiksem.

Võrrelge näiteks murde 3/8 ja 5/8. Selle näite nimetajad on võrdsed, seega rakendame seda reeglit. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Tõepoolest, kui lõikad kaks pitsat 8 viiluks, siis 3/8 viilust on alati väiksem kui 5/8.

Sarnaste lugejatega ja erineva nimetajaga murdude võrdlemine

Sel juhul võrreldakse nimetaja osade suurusi. Kohaldatav reegel on:

Kui kahel murrul on võrdsed lugejad, siis murdosa, mille nimetaja on väiksem, on suurem.

Võrrelge näiteks murde 3/4 ja 3/8. Selles näites on lugejad võrdsed, mis tähendab, et kasutame teist reeglit. Murd 3/4 on väiksema nimetajaga kui murd 3/8. Seega 3/4>3/8

Tõepoolest, kui sa sööd 3 viilu pitsat, mis on jagatud 4 osaks, siis oled kõhu täis rohkem kui siis, kui sööd 3 pitsaviilu, mis on jagatud 8 osaks.


Erinevate lugejate ja nimetajatega murdude võrdlemine

Rakendame kolmandat reeglit:

Erinevate nimetajatega murdude võrdlemine peaks viima samade nimetajatega murdude võrdlemiseni. Selleks tuleb murded taandada ühise nimetajani ja kasutada esimest reeglit.

Näiteks peate võrdlema murde ja . Suurema murdosa määramiseks taandame need kaks murdosa ühiseks nimetajaks:

  • Nüüd leiame teise lisateguri: 6:3=2. Kirjutame selle teise murru kohale: