Tõenäosusteooria käsiraamat. Vene Föderatsiooni haridusministeerium Kaasani Riiklik Tehnikaülikool, mis sai nime V.I. A. N. Tupoleva tõenäosusteooria (õpetus). Ülesanded enese lahendamiseks Tõenäosus sportlase jaoks paraneb

, Vene Föderatsiooni kriminaalmenetluse seadustik 18.1.rtf , Vene Föderatsiooni tervisekaitsealaste õigusaktide alused , EIK. Individuaalkaebuse esitamise õiguslik mehhanism ja juriidiline .

Tund 4. Tõenäosuste liitmise teoreem.

14.1. Lühike teoreetiline osa

Kahe sündmuse summa tõenäosus määratakse valemiga

P( A+AT) = P( A)+P( B) - R( AB),

mis üldistab suvalise arvu sündmuste summaks

Kokkusobimatute sündmuste korral on sündmuste summa tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, s.t.

24.2. Test

Millisel juhul nimetatakse sündmusi A ja B kokkusobimatuks või kokkusobimatuks?

a) Kui ühe neist esinemise tõenäosus ei sõltu teise esinemise tõenäosusest

b) Kui testi ajal leiab aset vähemalt üks neist sündmustest

c) Kui nende sündmuste ühine esinemine on võimatu

d) Kui mõlemad sündmused toimuvad katse käigus

Määrake ühilduvad sündmused.

a) "vapi" ja numbrite kaotamine mündi viskamisel

b) Sama õpilase samaaegne viibimine loengus klassiruumis ja kinos

c) Kevade algus kalendri järgi ja lumesadu

d) Kummagi kahe kolmepunktilise täringu välimus ja mõlema täringu visatud külje punktide summa võrdsus paaritu arvuga

e) Jalgpallimatši näitamine ühel telekanalil ja pressiteade teisel

Ühildumatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem on sõnastatud järgmiselt:

a) Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus on võrdne teise sündmuse toimumise tõenäosusega

b) Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga

c) Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste toimumise tõenäosuste vahega

Ühissündmuste tõenäosuste liitmise teoreem on sõnastatud järgmiselt:

a) Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga

b) Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta

c) Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste ja nende ühise toimumise tõenäosuse summaga

Tõenäosuste liitmise teoreem on üldistatud suvalise arvu sündmuste summaks ja sündmuste summa tõenäosus üldiselt arvutatakse valemiga:

Kui sündmused ei ühildu, on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne:

b)
sisse)

34.3. Tüüpiliste ülesannete lahendamine

Näide 4.1. Määrake tõenäosus, et sajast tootest koosnev partii, sealhulgas viis defektset toodet, aktsepteeritakse pisteliselt valitud poole kogu partiist testimisel, kui vastuvõtutingimused lubavad mitte rohkem kui ühte toote viiekümnest.
Lahendus.

Koos, mis seisneb selles, et sajast tootest koosnev partii, millest viis on defektsed, võetakse pisteliselt vastu valitud poole kogu partiist.

Tähistage AGA sündmus, mis seisnes selles, et testi ajal ja pärast seda ei saadud ühtegi defektset toodet AT- sündmus, mis seisneb ainult ühe defektse kauba kättesaamises.

Kuna С=А+В, siis soovitud tõenäosus P(C) = Р( AGA+B).

Arengud AGA ja AT Sobimatu. Seetõttu P(C) = P( AGA)+ P( B).

100 toote hulgast saab 50 valida erinevatel viisidel. 95 defektita tootest on 50 võimalik valida erinevatel viisidel.

Seetõttu R( A)=.

Samamoodi R( B)= .

P(C) = P( AGA)+ P( B)=+==0,181.
Näide 4.2. Elektriahel punktide vahel M ja N koostatud vastavalt joonisel fig. viis.

Ebaõnnestumine aja jooksul T ahela erinevad elemendid - sõltumatud sündmused järgmiste tõenäosustega (tabel 1).

Tabel 1

Element K 1 K 2 L 1 L 2 L 3 Tõenäosus0,60,50,40,70,9 Määrake vooluringi katkemise tõenäosus kindlaksmääratud ajavahemiku jooksul.
Lahendus.
Vaatleme sündmust Koos, mis seisneb selles, et määratud aja jooksul toimub keti katkestus.

Tähistage A j (j= 1,2) sündmus, mis seisneb elemendi rikkes To j, üle AGA- vähemalt ühe elemendi rike To j, ja läbi AT- kõigi kolme elemendi rike AGA i (i=1, 2, 3).

Siis soovitud tõenäosus

R( Koos) = P( A + AT) = P( A) + P( AT) - R( A)R( B).

R( A) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - R( A 1 )R( A 2 ) = 0,8,

R( AT) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,

siis.
Näide 4.3. Urn sisaldab n valge, m mustad ja l punased pallid, mis loositakse juhuslikult ükshaaval:

a) ei tagastata

b) tagastamisega pärast iga ekstraheerimist.

Määrake mõlemal juhul tõenäosus, et valge pall tõmmatakse enne musta.
Lahendus.

Las olla R 1 on tõenäosus, et valge pall tõmmatakse enne musta, ja R 11 on tõenäosus, et must pall tõmmatakse enne valget.

Tõenäosus R 1 on valge palli tõmbamise tõenäosuste summa kohe pärast ühe punase, kahe punase jne tõmbamist. Seega võib kirjutada juhul, kui palle ei tagastata,

ja kui pallid tagasi tulevad

Tõenäosuste saamiseks R 11 eelmistes valemites peate asendama n peal m, a m peal n. Sellest järeldub, et mõlemal juhul R 1 :R 11 = n:m. Kuna pealegi R 1 +R 11 = 1, siis on ka soovitud tõenäosus pallide tõmbamisel ilma asendamiseta võrdne.
Näide 4.4. Keegi kirjutas n kirju, pitseeris need ümbrikutesse ja kirjutas seejärel juhuslikult igaühele erineva aadressi. Määrake tõenäosus, et vähemalt ühel ümbrikul on õige aadress.
Lahendus.

Las sündmus A k kas see on peal k- see ümbrik sisaldab õiget aadressi ( k=l, 2,..., n).

Soovitud tõenäosus.

Arengud A k liigend; mis tahes erineva jaoks k, j, i, ... võrdsused kehtivad:

Kasutades summa tõenäosuse valemit n sündmused, saame

Üldiselt n.

44.4. Ülesanded iseseisvaks tööks

4.1. Kõik neli kokkusobimatut sündmust võivad esineda vastavalt tõenäosustega 0,012, 0,010, 0,006 ja 0,002. Määrake tõenäosus, et vähemalt üks neist sündmustest leiab aset katse tulemusena.

(Vastus: p = 0,03)
4.2. Laskja laseb ühe lasu sihtmärgi pihta, mis koosneb keskringist ja kahest kontsentrilisest rõngast. Ringi ja rõnga tabamise tõenäosus on vastavalt 0,20, 0,15 ja 0,10. Määrake sihtmärgi tabamise tõenäosus.

(Vastus: p = 0,55)
4.3. Kaks identset raadiusega münti r asub raadiusega ringi sees R, millesse visatakse juhuslikult punkt. Määrake tõenäosus, et see punkt langeb ühele mündile, kui mündid ei kattu.

(Vastus: p =)
4.4. Kui suur on tõenäosus, et 52 kaardipakist (tükki nimetatakse tungrauaks, emandaks või kuningaks) tõmmatakse mõni masti või labidakaart?

(Vastus: p =)
4.5. Karbis on 10 20-kopikalist münti, 5 15-kopikat. ja 2 münti 10 kopikat. Juhuslikult loositakse välja kuus münti. Kui suur on tõenäosus, et need moodustavad kokku maksimaalselt ühe rubla?

(Vastus: p =)
4.6. Kahes urnis on palle, mis erinevad ainult värvi poolest ning esimeses urnis on 5 valget palli, neist 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8 ja 6. Mõlemast urnist loositakse juhuslikult üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?

(Vastus: p = 0,323)
4.7. mäng vahel A ja B viiakse läbi järgmistel tingimustel: esimese käigu tulemusena, mis alati teeb AGA, võib ta võita tõenäosusega 0,3; kui esimene käik A ei võida, siis on käik tehtud AT ja võib võita tõenäosusega 0,5; kui selle käigu tulemusena AT siis ei võida A teeb teise käigu, mis võib viia tema võiduni tõenäosusega 0,4. Määrake võidu tõenäosus AGA ja eest AT.

(Vastus: = 0,44, = 0,35)
4.8. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel on R. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma sooritust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

(Vastus: p(A) =)
4.9. Urnist, mis sisaldab n pallid nummerdatud 1 kuni n, loositakse kaks palli järjest, kusjuures esimene pall tagastatakse, kui selle arv ei ole võrdne ühega. Määrake tõenäosus, et teisel loosimisel loositakse pall numbriga 2.

(Vastus: p =)
4.10. Mängija AGA vaheldumisi mängijatega mängides AT ja Koos, mille võidu tõenäosus on igas mängus 0,25 ja peatab mängu pärast esimest kaotust või pärast iga mängijaga mängitud kahte mängu. Määrake võidu tõenäosus AT ja Koos.

(Vastus: )
4.11. Kaks inimest viskavad kordamööda münti. Võidab see, kellel on esimesena vapp. Määrake iga mängija võidu tõenäosus.

(Vastus: )
4.12. Tõenäosus saada punkt ilma servi kaotamata kahe võrdväärse võrkpallimeeskonnaga mängides on pool. Määrake serveeriva meeskonna ühe punkti saamise tõenäosus.

(Vastus: p =)
4.13. Kaks laskurit lasevad vaheldumisi märklauda kuni esimese tabamuseni. Esimese laskuri tabamuse tõenäosus on 0,2 ja teise laskuri tabamuse tõenäosus 0,3. Leidke tõenäosus, et esimene laskur tulistab rohkem kui teine.

(Vastus: p = 0,455)
4.14. Võitmiseks mängivad kaks ja selleks on vaja, et võidaks esimene t pooled ja teine P peod. Tõenäosus, et esimene mängija võidab iga mängu, on võrdne R, ja teine q=1-R. Määrake tõenäosus, et esimene mängija võidab kogu mängu.

(Vastus: p(A) =)

1. Esimeses karbis on 2 valget ja 10 musta palli; Teises karbis on 8 valget ja 4 musta palli. Igast kastist võeti pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on valged?

2. Esimeses karbis on 2 valget ja 10 musta palli; Teises karbis on 8 valget ja 4 musta palli. Igast kastist võeti pall. Kui suur on tõenäosus, et üks pall on valge ja teine must?

3. Karbis on 6 valget ja 8 musta palli. Kastist võetakse välja kaks palli (ilma eemaldatud palli kasti tagastamata). Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.

4. Kolm laskurit lasevad iseseisvalt märklauda. Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,75, teisel - 0,8, kolmandal - 0,9. Määrake tõenäosus, et kõik kolm noolt tabavad sihtmärki korraga; vähemalt üks laskur tabab sihtmärki.

5. Urnis on 9 valget ja 1 must kuul. Kolm palli võeti korraga välja. Kui suur on tõenäosus, et kõik pallid on valged?

6. Laske kolm lasku ühte märklauda. Iga lasu tabamise tõenäosus on 0,5. Leidke tõenäosus, et nende võtete tulemusel tekib ainult üks tabamus.

7. Kaks laskurit, kelle märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8, lasevad kumbki ühe lasu. Määrake vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus.

8. Tõenäosus, et esimesel masinal valmistatud detail on esmaklassiline, on 0,7 Kui sama detail on valmistatud teisel masinal, on see tõenäosus 0,8. Esimesel masinal tehakse kaks osa, teisel kolm. Leidke tõenäosus, et kõik osad on esmaklassilised.

9. Seadme töö seiskus ühe lambi viiest rikke tõttu . Selle lambi otsimine toimub, asendades iga lambi kordamööda uuega. Määrake tõenäosus, et peate kontrollima 2 lambid, kui iga lambi rikke tõenäosus on p = 0,2 .

10. Saidil AB Võidusõidumootorratturi jaoks on ette nähtud 12 takistust, igaühel peatumise tõenäosus on 0,1. Tõenäosus, et esemest AT lõppsihtkohta Koos mootorrattur möödub peatumata, on 0,7. Määrake tõenäosus, et ala AC peatust ei tule.

11. Auto teel on 4 foori. Esimesel kahel peatumise tõenäosus on 0,3 ja kahel järgmisel on 0,4. Kui suur on tõenäosus mööduda fooridest peatumata?

12. Auto teel on 3 foori. Esimesel kahel peatumise tõenäosus on 0,4 ja kolmandal 0,5. Kui suur on tõenäosus ühe peatusega foorist mööda minna?

13. Internetis on kaks võrguserverit päevas tõenäosusega 0,3 viiruse rünnaku ohus. Kui suur on tõenäosus, et 2 päeva jooksul ei toimunud neile ühtegi rünnakut?

14. Ühe lasuga märklaua tabamise tõenäosus antud laskuril on 2/3 Kui tabamus fikseeritakse esimesel lasul, siis laskur saab õiguse teisele. Kui teisel tabab ta uuesti, siis laseb kolmandat korda. Kui suur on tõenäosus tabada kolme lasuga?

15. Mäng vahel AGA ja AT mängitakse järgmistel tingimustel: esimese käigu tulemusena, mis alati teeb JA, ta võib võita tõenäosusega 0,3; kui esimene käik AGA ei võida, siis on käik tehtud AT ja võib võita tõenäosusega 0,5; kui selle käigu tulemusena AT siis ei võida AGA teeb teise käigu, mis võib viia tema võiduni tõenäosusega 0,4. Määrake võidu tõenäosus AGA ja eest AT.

16. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel, on 0,2 . Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma sooritust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

17. Mängija AGA mängib vaheldumisi mängijatega kahte mängu AT ja KOOS. Esimese mängu võidu tõenäosus AT ja Koos on vastavalt 0,1 ja 0,2; teise mängu võidu tõenäosus AT on 0,3, eest Koos võrdub 0,4. Määrake tõenäosus, et: a) B võidab esimesena; b) esimesena võita KOOS.

18. Urnist, mis sisaldab P pallid nummerdatud 1 kuni n, loositakse kaks palli järjest, esimene tagastatakse, kui selle arv ei ole võrdne ühega. Määrake tõenäosus, et teisel loosimisel loositakse pall numbriga 2.

19. Mängija AGA mängib vaheldumisi mängijatega B ja C, võidutõenäosusega igas setis 0,25 ja peatab mängu pärast esimest võitu või pärast kaht kaotatud mängu kummagi mängijaga. Määrake B ja C võitmise tõenäosus.

20. Kaks inimest viskavad kordamööda münti. See, kes võidab. mille vapp ilmub esimesena. Määrake iga mängija võidu tõenäosus.

21. Urnis on 8 valget ja 6 musta palli. Kaks mängijat tõmbavad järjest ühe palli, tagastades iga kord tõmmatud palli. Mäng jätkub, kuni üks neist saab valge palli. Määrake tõenäosus, et mängu alustanud mängija tõmbab esimesena valge palli.

22. Dokumentidele saadeti kuller 4 arhiivi. I-ndas arhiivis vajalike dokumentide olemasolu tõenäosus on 0,9; II-s - 0,95; III-em - 0,8; IV-s - oomi - 0,6. Leia tõenäosus P, et dokument puudub ainult ühes arhiivis.

23. Leidke tõenäosus, et arvutusseadme kolmest sõltumatult töötavast elemendist kaks rikki lähevad, kui esimese, teise ja kolmanda elemendi rikke tõenäosus on vastavalt 0,3, 0,5, 0,4.

24. Puuris on 8 valget ja 4 halli hiirt. Kolm hiirt valitakse juhuslikult laboratoorseteks testideks ja neid ei tagastata. Leidke tõenäosus, et kõik kolm hiirt on valged.

25. Puuris on 8 merisiga. Kolm neist kannatavad mineraalsoolade vahetuse rikkumise all. Kolm looma võetakse järjest ilma tagasi. Kui suur on tõenäosus, et nad on terved?

26. Tiigis elab 12 ristikut, 18 latikat ja 10 karpkala. Püütud kolm kala. Leidke tõenäosus, et järjestikku püüti kaks karpkala ja ristis.

27. Karjas on 12 lehma, neist 4 simmentali tõugu, ülejäänud Hallstein-Friest tõugu. Valikutööks valiti kolm looma. Leidke tõenäosus, et kõik kolm neist on simmentali tõud.

28. Hipodroomil on 10 lahehobust, 3 halli ja 7 valget. Võistlusele valiti juhuslikult 2 hobust. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas pole valget hobust?

29. Kennelis on 9 koera, neist 3 on kollid, 2 on bokserid, ülejäänud on koerad. Kolm koera valitakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas on vähemalt üks poksija?

30. Loomade keskmine järglane on 4. Emas- ja isaste isendite ilmumine on võrdselt tõenäoline. Leidke tõenäosus, et järglaste hulgas on kaks isast.

31. Pakis on seemned, mille idanevus on 0,85. Tõenäosus, et taim õitseb, on 0,9. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud seemnest kasvatatud taim õitseb?

32. Pakis on oaseemned, mille idanemismäär on 0,9. Tõenäosus, et oaõied on punased, on 0,3. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud seemnest pärit taimel on punased õied?

33. Tõenäosus, et juhuslikult valitud inimene satub järgmise kuu jooksul haiglasse, on 0,01. Kui suur on tõenäosus, et kolmest juhuslikult tänaval valitud inimesest satub järgmise kuu jooksul haiglasse täpselt üks?

34. Lüpsja teenindab 4 lehma. Tõenäosus haigestuda kuu jooksul mastiidile on esimesel lehmal 0,1, teisel - 0,2, kolmandal - 0,2, neljandal - 0,15. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks lehm haigestub kuu aja jooksul mastiidi.

35. Neli jahimeest nõustusid kordamööda uluki pihta tulistama. Järgmine jahimees teeb lasu ainult siis, kui eelmine eksib. Tõenäosused, et iga jahimees tabab sihtmärki, on sama ja võrdne 0,8-ga. Leidke tõenäosus, et tehakse kolm lasku.

36. Õpilane õpib keemiat, matemaatikat ja bioloogiat. Tema hinnangul on nendel kursustel "suurepärase" saamise tõenäosus vastavalt 0,5, 0,3 ja 0,4. Eeldades, et nende kursuste hinded on sõltumatud, leidke tõenäosus, et ta ei saa ühtegi "suurepärast" hinnet.

37. Õpilane teab programmi 25 küsimusest 20. Kui suur on tõenäosus, et ta teab kõiki kolme eksamineerija antud programmi küsimust?

38. Kaks jahimeest lasevad hundi pihta ja kumbki teeb ühe lasu. Esimese ja teise jahimehe sihtmärgi tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8. Kui suur on tõenäosus tabada hunti vähemalt ühe lasuga?

39. Tõenäosus tabada sihtmärki kolme lasuga vähemalt korra mõne laskuri puhul on 0,875. Leia ühe lasuga tabamise tõenäosus.

40. Karjast valitakse välja kõrge tootlikkusega lehmad. Tõenäosus, et juhuslikult valitud loom on väga produktiivne, on 0,2. Leidke tõenäosus, et ainult kaks kolmest valitud lehmast on kõrge tootlikkusega.

41. Esimeses puuris on 3 valget ja 4 halli jänest, teises puuris 7 valget ja 5 musta jänest. Igast puurist võeti juhuslikult üks küülik. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad küülikud on valged?

42. Kahe vaktsiini efektiivsust uuriti loomade rühmas. Mõlemad vaktsiinid võivad tekitada loomadel allergiat võrdse tõenäosusega 0,2. Leidke tõenäosus, et vaktsiinid ei põhjusta allergiat.

43. Peres kasvab kolm last. Eeldades, et poisi ja tüdruku sünnist koosnevad sündmused on võrdselt tõenäolised, leidke tõenäosus, et kõik pere lapsed on samast soost.

44. Stabiilse lumikatte tekkimise tõenäosus antud piirkonnas alates oktoobrist on 0,1. Määrake tõenäosus, et järgmise kolme aasta jooksul tekib selles piirkonnas stabiilne lumikate alates oktoobrist vähemalt korra.

45. Määrake tõenäosus, et juhuslikult valitud toode on esmaklassiline, kui on teada, et 4% kõigist toodetest on defektsed ja 75% defektita toodetest vastab esimese klassi nõuetele.

46. Kaks laskurit, kelle märklaua tabamise tõenäosus on vastavalt 0,7 ja 0,8, lasevad kumbki ühe lasu. Määrake vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus.

47. Sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on sama ja võrdub 0,2. Katseid tehakse järjestikku kuni sündmuse toimumiseni. Määrake tõenäosus, et tuleb läbi viia neljas katse.

48. Tõenäosus, et esimesel masinal valmistatud detail on esmaklassiline, on 0,7. Sama detaili valmistamisel teisel masinal on see tõenäosus 0,8. Esimesel masinal tehakse kaks osa, teisel kolm. Leidke tõenäosus, et kõik osad on esmaklassilised.

49. Elektriahela katkemine võib tekkida elemendi või kahe elemendi rikke korral, mis rikkis üksteisest sõltumatult, tõenäosusega 0,3; 0,2 ja 0,2. Määrake elektriahela katkemise tõenäosus.

50. Seadme töö seiskus ühe lambi 10-st rikke tõttu. Selle lambi otsimine toimub, asendades iga lambi kordamööda uuega. Määrake tõenäosus, et tuleb kontrollida 7 lampi, kui iga lambi rikke tõenäosus on 0,1.

51. Tõenäosus, et pinge elektriahelas ületab nimiväärtuse, on 0,3. Suurenenud pinge korral on seadme avarii tõenäosus - elektrivoolu tarbija 0,8. Määrake pinge suurenemise tõttu seadme rikke tõenäosus.

52. Esimese märklaua tabamise tõenäosus antud laskuri puhul on 2/3. Kui tabamus fikseeritakse esimese lasu ajal, siis saab laskur õiguse lasta teisele märklauale. Tõenäosus tabada mõlemat märklauda kahe lasuga on 0,5. Määrake teise sihtmärgi tabamise tõenäosus.

53. Kuue kaardi abil, millele on kirjutatud üks täht, koostatakse sõna “vanker”. Kaardid segatakse ja seejärel loositakse juhuslikult ükshaaval. Kui suur on tõenäosus, et sõna "rakett" tekib tähtede järjekorras?

54. Tellija unustas telefoninumbri viimase numbri ja valib selle seetõttu juhuslikult. Määrake tõenäosus, et ta peab helistama kõige rohkem kolmele kohale.

55. Iga neljast kokkusobimatust sündmusest võib toimuda vastavalt tõenäosusega 0,012; 0,010; 0,006 ja 0,002. Määrake tõenäosus, et vähemalt üks neist sündmustest leiab aset katse tulemusena.

56. Kui suur on tõenäosus, et 52 kaardist koosnevast pakist eraldatakse mis tahes masti või labidakaardi tükk (nuppu nimetatakse tungrauaks, emandaks või kuningaks)?

57. Karbis on 10 20 kopikat, igaüks 5 15 kopikat. ja 2 münti 10 kopikat. Juhuslikult võetakse 6 münti. Kui suur on tõenäosus, et need moodustavad kokku maksimaalselt ühe rubla?

58. Pallid on kahes urnis: esimeses 5 valget, 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8 ja 6. Mõlemast urnist loositakse juhuslikult üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?

59. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel, on 0,4. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma sooritust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

(Vastus: p = 0,03)

4.2. Laskja laseb ühe lasu sihtmärgi pihta, mis koosneb keskringist ja kahest kontsentrilisest rõngast. Ringi ja rõnga tabamise tõenäosus on vastavalt 0,20, 0,15 ja 0,10. Määrake sihtmärgi tabamise tõenäosus.

(Vastus: p = 0,55)

4.3. Kaks identset raadiusega r münti asetatakse raadiusega R ringi sisse, millesse visatakse juhuslikult punkt. Määrake tõenäosus, et see punkt langeb ühele mündile, kui mündid ei kattu.

(Vastus: p = )

4.4. Kui suur on tõenäosus, et 52 kaardipakist (tükki nimetatakse tungrauaks, emandaks või kuningaks) tõmmatakse mõni masti või labidakaart?

(Vastus: p = )

4.5. Karbis on 10 20-kopikalist münti, 5 15-kopikat. ja 2 münti 10 kopikat. Juhuslikult loositakse välja kuus münti. Kui suur on tõenäosus, et need moodustavad kokku maksimaalselt ühe rubla?

(Vastus: p = )

4.6. Kahes urnis on palle, mis erinevad ainult värvi poolest ning esimeses urnis on 5 valget palli, neist 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8 ja 6. Mõlemast urnist loositakse juhuslikult üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?

(Vastus: p = 0,323)

4.7. Mängu A ja B vahel mängitakse järgmistel tingimustel: esimese käigu tulemusena, mille A alati teeb, võib ta võita tõenäosusega 0,3; kui A ei võida esimesel käigul, siis B sooritab käigu ja võib võita tõenäosusega 0,5; kui selle käigu tulemusena B ei võida, teeb A teise käigu, mis võib viia tema võiduni tõenäosusega 0,4. Määrake A ja B võidutõenäosused.

(Vastus: = 0,44, = 0,35)

4.8. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust ühel katsel, on võrdne p. Määrake tõenäosus, et sportlane parandab oma sooritust võistlusel, kui on lubatud kaks katset.

(Vastus: p(A) = )

4.9. Urnist, mis sisaldab n palli numbritega 1 kuni n, tõmmatakse järjestikku kaks palli, kusjuures esimene pall tagastatakse, kui selle arv ei ole võrdne ühega. Määrake tõenäosus, et teisel loosimisel loositakse pall numbriga 2.

(Vastus: p = )

4.10. Mängija A mängib vaheldumisi mängijatega B ja C, iga seti võidu tõenäosusega 0,25 ja peatab mängu pärast esimest kaotust või pärast iga mängijaga mängitud kahte mängu. Määrake B ja C võitmise tõenäosus.

4.11. Kaks inimest viskavad kordamööda münti. Võidab see, kellel on esimesena vapp. Määrake iga mängija võidu tõenäosus.

(Vastus: )

4.12. Tõenäosus saada punkt ilma servi kaotamata kahe võrdväärse võrkpallimeeskonnaga mängides on pool. Määrake serveeriva meeskonna ühe punkti saamise tõenäosus.

(Vastus: p = )

4.13. Kaks laskurit lasevad vaheldumisi märklauda kuni esimese tabamuseni. Esimese laskuri tabamuse tõenäosus on 0,2 ja teise laskuri tabamuse tõenäosus 0,3. Leidke tõenäosus, et esimene laskur tulistab rohkem kui teine.

(Vastus: p = 0,455)

4.14. Kaks mängivad võiduni ja selleks on vaja, et esimene võidab m ja teine n mängu. Iga mängu võitmise tõenäosus esimese mängija poolt on p ja teise mängija q=1-p. Määrake tõenäosus, et esimene mängija võidab kogu mängu.

9. valik

1. Igale kuuele identsele kaardile on trükitud üks järgmistest tähtedest: o, g, o, p, o, d. Kaardid segatakse põhjalikult. Leidke tõenäosus, et neid ritta paigutades on võimalik lugeda sõna "aed".

2. Tõenäosus, et antud sportlane parandab oma eelmist tulemust 1 katselt, on 0,6. Määrake tõenäosus, et võistlusel parandab sportlane oma tulemust, kui on lubatud 2 katset.

3. Esimene kast sisaldab 20 osa, neist 15 on standardsed; teises - 30 osa, millest 24 on standardsed; kolmandas - 10 osa, millest 6 on standardsed. Leidke tõenäosus, et juhuslikult valitud kastist juhuslikult valitud osa on standardne.

4. Lahenda ülesanded Bernoulli valemi ja Moivre-Laplace'i teoreemi abil: a) teate edastamisel on 1 märgi moonutamise tõenäosus 0,24. Määrake tõenäosus, et 10 tähemärgi pikkune teade ei sisalda rohkem kui 3 moonutust;

b) istutati 400 puud. Tõenäosus, et puu jääb ellu, on 0,8. Leia tõenäosus, et ellujäänud puude arv: 1) võrdub 300ga; 2) rohkem kui 310, kuid alla 330.

5. Arvutage tabeliandmete abil juhusliku suuruse X matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve ning määrake ka tõenäosus, et juhuslik suurus võtab oodatust suurema väärtuse.

Х i
P i

6. Pideva juhusliku suuruse X annab jaotusfunktsioon

Leia: a) parameeter k ; b) matemaatiline ootus; c) dispersioon.

7. Sotsioloogiline organisatsioon viib läbi küsitluse ettevõtte töötajate seas, et selgitada nende suhtumist ettevõtte juhtkonna poolt läbiviidavatesse struktuurilistesse ümberkorraldustesse. Eeldades, et struktuursete teisendustega rahulolevate inimeste osakaalu kirjeldab normaaljaotuse seadus parameetritega a = 53,1% ja σ = 3,9%, leidke tõenäosus, et teisendustega rahulolevate inimeste osakaal jääb alla 50%.

8. Üldkogumist eraldati valim, mis esitatakse intervalli variatsioonireana (vt tabel): a) eeldades, et üldkogumil on normaaljaotus, koostage usaldusvahemik matemaatilise ootuse jaoks. tõenäosus γ = 0,95; b) arvutab lihtsustatud meetodil kaldsuse ja kurtoosi koefitsiendid ning teeb vastavad eeldused populatsiooni jaotusfunktsiooni vormi kohta; c) testida Pearsoni testi abil hüpoteesi üldkogumi jaotuse normaalsusest olulisuse tasemel α = 0,05.


29-32
32-35
35-38
38-41
41-44
44-47
47-50

9. Antakse X ja Y väärtuste korrelatsioonitabel: a) arvutatakse korrelatsioonikordaja r xy , tehakse järeldused X ja Y vahelise seose kohta; b) leidke lineaarse regressiooni võrrandid X-l Y-l ja Y-l X-l ning koostage nende graafikud.


	5.24-5.35	5.35-5.46	5.46-5.47	5.47-5.68	5.68-5.79	5.79-5.90	5.90-6.01	6.01-6.12	6.12-6.23
21.3-22.0
22.0-22.7
22.7-23.4
23.4-24.1
24.1-24.8
24.8-25.5
25.5-26.2
26.2-26.9