Kompleksarvude trigonomeetriline kuju. Kompleksarvud trigonomeetrilises vormis Kompleksarvu omaduse trigonomeetriline vorm

KEERULISED NUMBRID XI

§ 256. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Olgu kompleksarv a + bi vastab vektorile OA> koordinaatidega ( a, b ) (vt joonis 332).

Tähistage selle vektori pikkust r , ja nurk, mille see teljega moodustab X , üle φ . Siinuse ja koosinuse määratluse järgi:

a / r = cos φ , b / r = patt φ .

Sellepärast aga = r cos φ , b = r patt φ . Aga antud juhul kompleksarv a + bi võib kirjutada järgmiselt:

a + bi = r cos φ + ir patt φ = r (cos φ + i patt φ ).

Nagu teate, on mis tahes vektori pikkuse ruut võrdne selle koordinaatide ruutude summaga. Sellepärast r 2 = a 2 + b 2, kust r = √a 2 + b 2

Niisiis, mis tahes kompleksarv a + bi saab kujutada kui :

a + bi = r (cos φ + i patt φ ), (1)

kus r = √a 2 + b 2 ja nurk φ määratud tingimusest:

Sellist kompleksarvude kirjutamise vormi nimetatakse trigonomeetriline.

Number r valemis (1) nimetatakse moodul ja nurk φ - argument, kompleksarv a + bi .

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis on selle moodul positiivne; kui a + bi = 0, siis a = b = 0 ja siis r = 0.

Iga kompleksarvu moodul määratakse üheselt.

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis määratakse selle argument valemitega (2) kindlasti kuni nurga kordne 2 π . Kui a + bi = 0, siis a = b = 0. Sel juhul r = 0. Valemist (1) on seda lihtne argumendina mõista φ sel juhul saate valida mis tahes nurga: lõppude lõpuks iga jaoks φ

0 (maks φ + i patt φ ) = 0.

Seetõttu pole nullargument defineeritud.

Kompleksarvu moodul r mõnikord tähistavad | z | ja argument arg z . Vaatame mõnda näidet kompleksarvude esitamisest trigonomeetrilisel kujul.

Näide. üks. 1 + i .

Leiame mooduli r ja argument φ see number.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Seetõttu patt φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, kust φ = π / 4 + 2nπ .

Sellel viisil,

1 + i = √ 2 ,

kus P - mis tahes täisarv. Tavaliselt valitakse kompleksarvu argumendi lõpmatust väärtuste hulgast üks, mis on vahemikus 0 kuni 2 π . Sel juhul on see väärtus π / 4 . Sellepärast

1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i patt π / 4)

Näide 2 Kirjutage trigonomeetrilisel kujul kompleksarv √ 3 - i . Meil on:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Seetõttu kuni nurgani, mis jagub 2-ga π , φ = 11 / 6 π ; Järelikult

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i patt 11/6 π ).

Näide 3 Kirjutage trigonomeetrilisel kujul kompleksarv mina .

kompleksarv i vastab vektorile OA> mis lõpeb telje punktis A juures ordinaadiga 1 (joonis 333). Sellise vektori pikkus on 1 ja nurk, mille see moodustab abstsissteljega, on võrdne π / 2. Sellepärast

i = cos π / 2 + i patt π / 2 .

Näide 4 Kirjutage kompleksarv 3 trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarv 3 vastab vektorile OA > X abstsiss 3 (joonis 334).

Sellise vektori pikkus on 3 ja nurk, mille ta teeb x-teljega, on 0. Seega

3 = 3 (cos 0 + i patt 0),

Näide 5 Kirjutage trigonomeetrilisel kujul kompleksarv -5.

Kompleksarv -5 vastab vektorile OA> lõpeb telje punktis X abstsissiga -5 (joonis 335). Sellise vektori pikkus on 5 ja nurk, mille see teeb x-teljega, on π . Sellepärast

5 = 5 (tas π + i patt π ).

Harjutused

2047. Kirjutage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Märkige tasapinnal kompleksarve esindavate punktide hulgad, mille moodulid r ja argumendid φ vastavad tingimustele:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kas arvud võivad olla korraga kompleksarvu mooduliks? r Ja - r ?

2050. Kas kompleksarvu argument võib olla samal ajal ka nurgad φ Ja - φ ?

Esitage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

2051*. 1 + cos α + i patt α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. patt φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i sin 15°).

3.1. Polaarkoordinaadid

Kasutatakse sageli lennukis polaarkoordinaatide süsteem . See on määratletud, kui punkt O on antud, kutsutud poolus, ja poolusest väljuv kiir (meie jaoks on see telg Ox) on polaartelg. Punkti M asukoht on fikseeritud kahe numbriga: raadius (või raadiuse vektor) ning polaartelje ja vektori vaheline nurk φ. Nurka φ nimetatakse polaarnurk; Seda mõõdetakse radiaanides ja loendatakse polaarteljest vastupäeva.

Punkti asukoha polaarkoordinaatide süsteemis annab järjestatud arvupaar (r; φ). Pooluse juures r = 0 ja φ ei ​​ole määratletud. Kõigi muude punktide jaoks r > 0 ja φ on defineeritud kuni 2π kordseni. Sel juhul omistatakse arvupaaridele (r; φ) ja (r 1 ; φ 1) sama punkt, kui .

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi jaoks xOy punkti ristkoordinaadid on kergesti väljendatavad selle polaarkoordinaatidena järgmiselt:

3.2. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendamine

Vaatleme tasapinnal Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi xOy.

Mis tahes kompleksarvule z=(a, b) määratakse tasandi punkt koordinaatidega ( x, y), kus koordinaat x = a, st. kompleksarvu reaalosa ja koordinaat y = bi on imaginaarne osa.

Tasand, mille punktid on kompleksarvud, on komplekstasand.

Joonisel kompleksarv z = (a, b) mängupunkt M(x, y).

Ülesanne.Joonistage koordinaattasandile kompleksarvud:

3.3. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Kompleksarvul tasapinnal on punkti koordinaadid M(x; y). Kus:

Kompleksarvu kirjutamine - kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Kutsutakse numbrit r moodul kompleksarv z ja on tähistatud. Moodul on mittenegatiivne reaalarv. Sest .

Moodul on null siis ja ainult siis z = 0, st. a=b=0.

Kutsutakse numbrit φ argument z ja tähistatud. Argument z on defineeritud mitmetähenduslikult, nagu polaarnurk polaarkoordinaatide süsteemis, nimelt kuni 2π kordseni.

Seejärel aktsepteerime: , kus φ on argumendi väikseim väärtus. See on ilmne

.

Teema sügavamal uurimisel tuuakse sisse abiargument φ*, nii et

Näide 1. Leidke kompleksarvu trigonomeetriline kuju.

Lahendus. 1) käsitleme moodulit: ;

2) otsin φ: ;

3) trigonomeetriline vorm:

Näide 2 Leia kompleksarvu algebraline vorm .

Siin piisab trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste asendamisest ja avaldise teisendamisest:

Näide 3 Leia kompleksarvu moodul ja argument ;

1) ;

2) ; φ - 4 kvartali jooksul:

3.4. Tehted kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul

· Liitmine ja lahutamine kompleksarvudega on mugavam teostada algebralises vormis:

· Korrutamine– lihtsate trigonomeetriliste teisenduste abil saab seda näidata korrutamisel korrutatakse arvude moodulid ja lisatakse argumendid: ;

Selles osas keskendume rohkem kompleksarvu trigonomeetrilisele kujule. Eksponentvorm praktilistes ülesannetes on palju vähem levinud. Võimaluse korral laadige alla ja printige. trigonomeetrilised tabelid, metoodilise materjali leiab lehelt Matemaatilised valemid ja tabelid. Ilma laudadeta ei jõua kaugele.

Iga kompleksarvu (välja arvatud null) saab kirjutada trigonomeetrilisel kujul:

Kus see on kompleksarvu moodul, aga - kompleksarvu argument.

Joonistage komplekstasandile arv. Selgituste täpsuse ja lihtsuse huvides asetame selle esimesse koordinaatide veerandisse, s.o. me usume, et:

Kompleksarvu moodul on kaugus koordinaatide alguspunktist komplekstasandi vastava punktini. Lihtsamalt öeldes, moodul on pikkus raadiuse vektor, mis on joonisel punasega märgitud.

Kompleksarvu moodulit tähistatakse tavaliselt: või

Pythagorase teoreemi abil on lihtne tuletada valem kompleksarvu mooduli leidmiseks: . See valem on kehtiv iga tähendused "a" ja "olla".

Märge : kompleksarvu moodul on mõiste üldistus reaalarvu moodul, kui kaugus punktist lähtepunktini.

Kompleksarvu argument helistas süstimine vahel positiivne telg reaaltelg ja lähtepunktist vastavasse punkti tõmmatud raadiuse vektor. Argumenti pole ainsuse jaoks määratletud.

Vaadeldav põhimõte sarnaneb tegelikult polaarkoordinaatidega, kus polaarraadius ja polaarnurk määravad üheselt punkti.

Kompleksarvu argumenti tähistatakse tavaliselt järgmisega: või

Geomeetriliste kaalutluste põhjal saadakse argumendi leidmiseks järgmine valem:

. Tähelepanu! See valem töötab ainult parempoolses pooltasandis! Kui kompleksarv ei asu 1. või 4. koordinaatkvadrandis, on valem veidi erinev. Kaalume ka neid juhtumeid.

Kuid kõigepealt vaadake lihtsamaid näiteid, kui kompleksarvud asuvad koordinaatide telgedel.

Näide 7

Väljendage kompleksarve trigonomeetrilisel kujul: ,,,. Teostame joonise:

Tegelikult on ülesanne suuline. Selguse huvides kirjutan ümber kompleksarvu trigonomeetrilise kuju:

Pidagem tihedalt meeles, moodul - pikkus(mis on alati mittenegatiivne), on argument süstimine

1) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leidke selle moodul ja argument. See on ilmne. Formaalne arvutus valemi järgi:. On ilmne, et (arv asub otse reaalsel positiivsel poolteljel). Seega on arv trigonomeetrilisel kujul:

Selge nagu päev, pöördkontrolli toiming:

2) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leidke selle moodul ja argument. See on ilmne. Formaalne arvutus valemi järgi:. Ilmselgelt (või 90 kraadi). Joonisel on nurk märgitud punasega. Seega on arv trigonomeetrilisel kujul: .

Kasutades , on lihtne arvu algebralist kuju tagasi saada (samal ajal kontrollides):

3) Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Otsige üles selle moodul ja

argument. On ilmne, et. Ametlik arvutus valemi järgi:

Ilmselgelt (või 180 kraadi). Joonisel on nurk tähistatud sinisega. Seega on arv trigonomeetrilisel kujul:

Eksam:

4) Ja neljas huvitav juhtum. See on ilmne. Formaalne arvutus valemi järgi:.

Argumendi saab kirjutada kahel viisil: Esimene viis: (270 kraadi) ja vastavalt: . Eksam:

Kuid järgmine reegel on tavalisem: Kui nurk on suurem kui 180 kraadi, siis kirjutatakse see miinusmärgiga ja nurga vastassuunaga (“kerimine”): (miinus 90 kraadi), joonisel on nurk märgitud rohelisega. Seda on lihtne näha

mis on sama nurga all.

Seega muutub kirje:

Tähelepanu! Mitte mingil juhul ei tohiks kasutada koosinuse ühtlust, siinuse veidrust ega teha kirje täiendavat "lihtsustamist":

Muide, kasulik on meeles pidada trigonomeetriliste ja pöördtrigonomeetriliste funktsioonide välimust ja omadusi, võrdlusmaterjalid on lehe viimastes lõikudes Põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Ja keerulisi numbreid on palju lihtsam õppida!

Lihtsamate näidete kujunduses tuleks see kirja panna : "Ilmselt on moodul... ilmselt argument on...". See on tõesti ilmne ja kergesti lahendatav suuliselt.

Liigume edasi levinumate juhtumite juurde. Mooduliga probleeme pole, alati tuleks kasutada valemit . Kuid argumendi leidmise valemid on erinevad, see sõltub sellest, millises koordinaatveerandis arv asub. Sel juhul on võimalikud kolm võimalust (kasulik on need ümber kirjutada):

1) If (1. ja 4. koordinaatveerand ehk parempoolne tasapind), siis tuleb argument leida valemiga.

2) Kui (2. koordinaatveerand), siis tuleb argument leida valemiga .

3) Kui (3. koordinaatveerand), siis tuleb argument leida valemiga .

Näide 8

Väljendage kompleksarve trigonomeetrilisel kujul: ,,,.

Niipea, kui on olemas valmisvalemid, pole joonistamine vajalik. Kuid on üks punkt: kui teil palutakse esitada arv trigonomeetrilisel kujul, siis joonistamist on igal juhul parem teha. Fakt on see, et õpetajad lükkavad sageli ilma jooniseta lahenduse tagasi, joonise puudumine on miinuse ja ebaõnnestumise tõsine põhjus.

Esitame numbreid ja komplekskujul on esimene ja kolmas number iseseisva lahenduse jaoks.

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leidke selle moodul ja argument.

Kuna (juhtum 2), siis

- siin peate kasutama kaare puutuja veidrust. Kahjuks pole tabelis väärtust, nii et sellistel juhtudel tuleb argument jätta tülikasse vormi: - numbrid trigonomeetrilisel kujul.

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul. Leidke selle moodul ja argument.

Alates (1. juhtum), siis (miinus 60 kraadi).

Sellel viisil:

on trigonomeetrilisel kujul olev arv.

Ja siin, nagu juba märgitud, on miinused ärge puudutage.

Lisaks naljakale graafilisele kontrollimeetodile on olemas ka analüütiline kontrollimine, mis on juba tehtud näites 7. Kasutame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel, võttes samas arvesse, et nurk on täpselt tabeli nurk (või 300 kraadi): - algebralisel kujul olevad arvud.

Numbrid ja kujutage ennast trigonomeetrilisel kujul. Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Lõigu lõpus lühidalt kompleksarvu eksponentsiaalsest vormist.

Iga kompleksarvu (välja arvatud null) saab kirjutada eksponentsiaalsel kujul:

Kus on kompleksarvu moodul ja kompleksarvu argument.

Mida tuleb teha kompleksarvu esitamiseks eksponentsiaalsel kujul? Peaaegu sama: käivitage joonis, leidke moodul ja argument. Ja kirjutage number kujul .

Näiteks leidsime eelmise näite numbri jaoks mooduli ja argumendi:,. Seejärel kirjutatakse see arv eksponentsiaalsel kujul järgmiselt:

Arv eksponentsiaalsel kujul näeks välja järgmine:

Number - Niisiis:

Ainus nõuanne on ärge puudutage indikaatorit eksponendid, pole vaja tegureid ümber paigutada, sulgusid avada jne. Kirjutatakse eksponentsiaalsel kujul kompleksarv rangelt vormis.

Toimingud algebralisel kujul kirjutatud kompleksarvudele

Kompleksarvu z = algebraline vorm(a,b). nimetatakse vormi algebraliseks avaldiseks

z = a + bi.

Aritmeetilised tehted kompleksarvudega z 1 = a 1 +b 1 i Ja z 2 = a 2 +b 2 i, mis on kirjutatud algebralises vormis, viiakse läbi järgmiselt.

1. Kompleksarvude summa (vahe).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙ mina,

need. liitmine (lahutamine) viiakse läbi vastavalt polünoomide liitmise reeglile sarnaste liikmete redutseerimisega.

2. Kompleksarvude korrutis

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙ mina,

need. korrutamine toimub polünoomide korrutamise tavapärase reegli järgi, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = 1.

3. Kahe kompleksarvu jagamine toimub järgmise reegli järgi:

, (z 2 ≠ 0),

need. jagamine toimub dividendi ja jagaja korrutamisel jagaja konjugaadiga.

Kompleksarvude astendamine on defineeritud järgmiselt:

Seda on lihtne näidata

Näited.

1. Leidke kompleksarvude summa z 1 = 2 – i Ja z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙ mina)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Leidke kompleksarvude korrutis z 1 = 2 – 3i Ja z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ma∙ 5i = 7+22i.

3. Leidke privaatne z divisjonist z 1 \u003d 3–2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Lahendage võrrand:, x Ja y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleksarvude võrdsuse tõttu on meil:

kus x=–1 , y= 4.

5. Arvutage: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Arvutage, kui .

.

7. Arvutage arvu pöördväärtus z=3-i.

Kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

keeruline lennuk nimetatakse tasapinnaks ristkoordinaatidega ( x, y), kui iga punkt koordinaatidega ( a, b) on määratud kompleksarv z = a + bi. Sel juhul nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja y-telg on kujuteldav. Siis iga kompleksarv a+bi geomeetriliselt kujutatud tasapinnal punktina A (a, b) või vektor .

Seega punkti asukoht AGA(ja sellest ka kompleksarv z) saab määrata vektori | pikkusega | = r ja nurk j moodustatud vektorist | | reaaltelje positiivse suunaga. Vektori pikkust nimetatakse kompleksarvu moodul ja seda tähistatakse | z|=r ja nurk j helistas kompleksarvu argument ja tähistatud j = argz.

On selge, et | z| ³ 0 ja | z | = 0 Û z= 0.

Jooniselt fig. 2 näitab, et.

Kompleksarvu argument on defineeritud mitmetähenduslikult ja kuni 2 pk, kÎ Z.

Jooniselt fig. 2 näitab ka seda, et kui z=a+bi Ja j=argz, siis

cos j =, patt j =, tg j = .

Kui zОR Ja z > 0 siis argz = 0 +2pk;

kui z ОR Ja z< 0 siis argz = p + 2pk;

kui z= 0,argz pole kindlaks määratud.

Argumendi põhiväärtus määratakse intervallil 0 £argz 2 naela p,

või -lk£ arg z £ p.

Näited:

1. Leidke kompleksarvude moodul z 1 = 4 – 3i Ja z 2 = –2–2i.

2. Määrake komplekstasandil tingimustega määratud alad:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 naela; 3) | z – (2+i) | 3 naela; 4) £6 | z – i| 7 naela.

Lahendused ja vastused:

1) | z| = 5 Û Û on ringi võrrand raadiusega 5 ja mille keskpunkt on alguspunktis.

2) Ring raadiusega 6, mille keskpunkt on alguspunktis.

3) Ringjoon raadiusega 3, mille keskpunkt on punkt z0 = 2 + i.

4) Ring, mis on piiratud 6 ja 7 raadiusega ringidega, mille keskpunkt on punkt z 0 = i.

3. Leia arvude moodul ja argument: 1) ; 2).

1) ; aga = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Märkus. Põhiargumendi määratlemisel kasutage komplekstasandit.

Sellel viisil: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

Loeng

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Plaan

1.Kompleksarvude geomeetriline esitus.

2.Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

3. Tegevused kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarvude geomeetriline esitus.

a) Kompleksarvud esitatakse tasandi punktidega vastavalt järgmisele reeglile: a + bi = M ( a ; b ) (joonis 1).

1. pilt

b) Kompleksarvu saab esitada vektorina, mis algab punktistKOHTA ja lõpeb etteantud punktis (joonis 2).

Joonis 2

Näide 7. Joonistage kompleksarve esindavad punktid:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (joonis 3).

Joonis 3

Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

Kompleksnumberz = a + bi saab määrata raadiuse - vektori abil koordinaatidega( a ; b ) (joonis 4).

Joonis 4

Definitsioon . Vektori pikkus esindab kompleksarvuz , nimetatakse selle arvu mooduliks ja tähistatakse võir .

Mis tahes kompleksarvu jaoksz selle moodulr = | z | määratakse üheselt valemiga .

Definitsioon . Reaaltelje positiivse suuna ja vektori vahelise nurga väärtus kompleksarvu esindamist nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja seda tähistatakseAGA rg z võiφ .

Kompleksarvu argumentz = 0 pole kindlaks määratud. Kompleksarvu argumentz≠ 0 on mitme väärtusega suurus ja määratakse kuni tähtajani2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , kusarg z - argumendi põhiväärtus, mis on intervalliga ümbritsetud(-π; π] , st-π < arg z ≤ π (mõnikord võetakse argumendi põhiväärtuseks intervallile kuuluv väärtus .

See valem selleksr =1 mida sageli nimetatakse De Moivre'i valemiks:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Näide 11 Arvutage(1 + i ) 100 .

Kirjutame kompleksarvu1 + i trigonomeetrilisel kujul.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ma patustan )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ma patustan 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = -2 50 .

4) kompleksarvu ruutjuure eraldamine.

Kompleksarvu ruutjuure eraldamisela + bi meil on kaks juhtumit:

kuib > umbes , siis ;