Võrrandid mannekeenide parameetriga. "Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks: probleemid parameetritega." Probleem iseseisvalt lahendada

Aruanne MBOU 9. keskkooli matemaatikaõpetaja GMO-st

Moltšanova Jelena Vladimirovna

"Matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumine: probleemid parameetritega."

Alates aastast kooliõpikud Parameetri definitsioon puudub, teen ettepaneku võtta aluseks järgmine kõige lihtsam versioon.

Definitsioon . Parameeter on sõltumatu muutuja, mille väärtuseks ülesandes loetakse etteantud fikseeritud või suvaline reaalarv või etteantud hulka kuuluva arv.

Mida tähendab "probleemi lahendamine parameetriga"?

Loomulikult sõltub see probleemis olevast küsimusest. Kui on vaja lahendada näiteks võrrand, võrratus, süsteem või nende hulk, siis see tähendab põhjendatud vastuse esitamist kas parameetri suvalise väärtuse või etteantud hulka kuuluva parameetri väärtuse kohta. .

Kui on vaja leida parameetriväärtusi, mille puhul võrrandi, võrratuse vms lahenduste komplekt rahuldab deklareeritud tingimust, siis ilmselgelt seisneb ülesande lahendus määratud parameetriväärtuste leidmises.

Lugejal kujuneb läbipaistvam arusaam sellest, mida tähendab ülesande lahendamine parameetriga, olles tutvunud järgmistel lehekülgedel toodud probleemide lahendamise näidetega.

Millised on peamised parameetritega seotud probleemide tüübid?

Tüüp 1. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid ja hulgad, mis tuleb lahendada kas parameetri (parameetrite) mis tahes väärtuse või etteantud hulka kuuluvate parameetrite väärtuste jaoks.

Seda tüüpi ülesanded on teema “Probleemid parameetritega” valdamisel elementaarsed, kuna investeeritud töö määrab edu kõigi teiste põhitüüpide probleemide lahendamisel.

Tüüp 2. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid ja hulgad, mille puhul on vaja määrata lahendite arv sõltuvalt parameetri (parameetrite) väärtusest.

Juhin teie tähelepanu asjaolule, et probleemide lahendamisel seda tüüpi ei ole vaja etteantud võrrandeid, võrratusi, nende süsteeme ja kombinatsioone jne lahendada ega neid lahendusi pakkuda; Enamasti on selline tarbetu töö taktikaline viga, mis toob kaasa asjatut ajaraiskamist. Seda ei tohiks aga absoluutseks teha, sest mõnikord on 1. tüübile vastav otselahendus ainus mõistlik viis vastuse saamiseks 2. tüüpi ülesande lahendamisel.

Tüüp 3. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid ja kogumid, mille jaoks on vaja leida kõik need parameetrite väärtused, mille jaoks määratud võrranditel, võrranditel, nende süsteemidel ja kogumitel on etteantud arv lahendeid (eelkõige neil ei ole või on lõpmatu arv lahendusi).

On lihtne näha, et 3. tüüpi probleemid on mõnes mõttes vastupidised 2. tüüpi probleemidele.

Tüüp 4. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid ja hulgad, mille jaoks parameetri nõutud väärtuste jaoks lahenduste hulk rahuldab antud tingimustel määratluse valdkonnas.

Näiteks leidke parameetrite väärtused, mille juures:

1) võrrand on täidetud muutuja mis tahes väärtuse korral antud intervallist;
2) esimese võrrandi lahendite hulk on teise võrrandi lahendite hulga alamhulk jne.

Kommentaar. Parameetriga seotud ülesannete mitmekesisus hõlmab kogu koolimatemaatika kursust (nii algebrat kui ka geomeetriat), kuid valdav enamus neist kuulub nii lõpu- kui ka sisseastumiseksamitel ühte neljast loetletud tüübist, mida sel põhjusel nimetatakse põhilisteks.

Kõige levinum parameetriga seotud probleemide klass on ühe tundmatu ja ühe parameetriga seotud probleemid. Järgmine lõik näitab selle konkreetse klassi probleemide lahendamise peamisi viise.

Millised on peamised viisid (meetodid) probleemide lahendamiseks parameetriga?

Meetod I (analüütiline). See on nn otselahenduse meetod, mis kordab parameetrita ülesannetes vastuse leidmiseks standardprotseduure. Mõnikord öeldakse, et see on jõumeetod heas mõttes"julmetu" otsus.

Kommentaar. Analüütiline meetod parameetriga probleemide lahendamiseks on kõige keerulisem meetod, mis nõuab kõrge kirjaoskus ja suurimaid jõupingutusi selle valdamiseks.

II meetod (graafika). Olenevalt ülesandest (muutuja x ja parameetrigaa ) graafikuid peetakse või sisse koordinaattasand(x; y) või koordinaattasandil (x;a ).

Kommentaar. Parameetriga ülesannete lahendamise graafilise meetodi erakordne selgus ja ilu köidab teema “Parameetriga seotud probleemid” õpilasi niivõrd, et nad hakkavad ignoreerima teisi lahendusviise, unustades üldtuntud fakti: mis tahes probleemide klassi puhul. , oskavad nende autorid sõnastada sellise, mis on sel viisil hiilgavalt lahendatud ja muul viisil kolossaalsete raskustega. Seetõttu edasi esialgne etapp Parameetriga ülesannete lahendamiseks on ohtlik alustada õppimist graafiliste võtetega.

III meetod (otsus parameetri kohta). Selliselt lahendamisel eeldatakse, et muutujad x ja a on võrdsed ning valitakse muutuja, mille suhtes analüütilist lahendust peetakse lihtsamaks. Pärast loomulikke lihtsustusi pöördume tagasi muutujate x ja a algse tähenduse juurde ning lõpetame lahenduse.

Nüüd jätkan nende meetodite demonstreerimisega probleemide lahendamiseks parameetriga, kuna see on minu lemmikmeetod seda tüüpi probleemide lahendamiseks.

Olles analüüsinud kõiki ülesandeid graafiliselt lahendatud parameetritega, alustan parameetritega tutvumist ühtse riigieksami B7 2002 ülesannetega:

Kell mis on võrrandi 45x – 3x täisarv 2 - X 3 + 3k = 0 on täpselt kaks juurt?

Need ülesanded võimaldavad esiteks meeles pidada, kuidas tuletist kasutades graafikuid koostada, ja teiseks selgitada sirge y = k tähendust.

Järgmistes tundides kasutan valikut lihtsaid ja keskmise tasemega võistlusülesandeid koos parameetritega ühtseks riigieksamiks valmistumiseks, võrrandeid mooduliga. Neid ülesandeid võib soovitada matemaatikaõpetajatele kui harjutuste algkomplekti mooduli märgi all oleva parameetriga töötama õppimiseks. Enamik numbreid lahendatakse graafiliselt ja antakse õpetajale valmis plaan tund (või kaks õppetundi) tugeva õpilasega. Esialgne koolitus matemaatika ühtseks riigieksamiks, kasutades ülesandeid, mis on keerukuselt lähedased reaalarvudele C5. Paljud pakutud ülesanded on võetud 2009. aasta ühtseks riigieksamiks valmistumise materjalidest ja mõned on pärit Internetist kolleegide kogemuste põhjal.

1) Määrake kõik parameetrite väärtusedlk , mille jaoks võrrand on 4 juurt?
Vastus:

2) Millistel parameetri väärtustelA võrrand pole lahendusi?
Vastus:

3) Leidke kõik a väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand on täpselt 3 juurt?
Vastus: a=2

4) Milliste parameetrite väärtustelb võrrand Sellel on ainus otsus? Vastus:

5) Leia kõik väärtusedm , mille jaoks võrrand pole lahendusi.
Vastus:

6) Leidke kõik a väärtused, mille jaoks on võrrand on täpselt 3 erinevat juurt. (Kui a väärtusi on rohkem kui üks, kirjutage oma vastusesse nende summa.)

Vastus: 3

7) Millistel väärtustelb võrrand on täpselt 2 lahendust?
Vastus:

8) Määrake need parameetridk , mille jaoks võrrand on vähemalt kaks lahendust.
Vastus:

9) Milliste parameetrite väärtustellk võrrand on ainult üks lahendus?
Vastus:

10) Leidke kõik a väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand (x + 1)on täpselt 2 juurt? Kui a väärtusi on mitu, kirjutage vastuseks nende summa.

Vastus: - 3

11) Leidke kõik a väärtused, mille jaoks on võrrand on täpselt 3 juurt? (Kui a väärtusi on rohkem kui üks, siis kirjuta vastuseks nende summa).

Vastus: 4

12) Millise miinimumiga loodusväärtus parameeter a võrrand – = 11 on ainult positiivsete juurtega?

Vastus: 19

13) Leidke kõik a väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand = 1-l on täpselt 3 juurt? (Kui a väärtusi on rohkem kui üks, siis kirjuta nende summa vastusesse).

Vastus: - 3

14) Määrake järgmised parameetrite väärtusedt , mille jaoks võrrand on 4 erinevat lahendust. Vastus:

15) Leidke need parameetridm , mille jaoks võrrand on kaks erinevat lahendust. Vastus:

16) Millistel parameetri väärtustellk võrrand on täpselt 3 ekstreemsust? Vastus:

17) Märkige kõik võimalikud parameetrid n, mille jaoks funktsioon on on täpselt üks miinimumpunkt. Vastus:

Avaldatud komplekti kasutan regulaarselt töötamiseks võimeka, kuid mitte kõige tugevama õpilasega, kes siiski pürgib numbri C5 lahendamisega kõrgele ühtse riigieksami hindele. Õpetaja valmistab sellise õpilase ette mitmes etapis, tuues välja õpetamiseks individuaalsed otsimiseks ja rakendamiseks vajalikud oskused pikad lahendused, eraldi õppetunnid. See valik sobib olenevalt parameetrist ujuvmustrite ideede kujundamise etapis. Numbrid 16 ja 17 põhinevad Unified State Exami 2011 parameetriga reaalvõrrandi mudelil. Ülesanded on järjestatud raskusastme suurenemise järjekorras.

Ülesanne C5 matemaatikas 2012. aasta ühtne riigieksam

Siin on traditsiooniline parameetriprobleem, mis nõuab materjali mõõdukat valdamist ning mitme omaduse ja teoreemi rakendamist. See ülesanne on üks enim raskeid ülesandeidÜks riigieksam matemaatika. See on mõeldud eelkõige neile, kes kavatsevad jätkata oma haridusteed ülikoolides, kus on kõrgendatud nõuded kandideerijate matemaatilisele ettevalmistusele. Sest edukas lahendusülesandes on oluline vabalt opereerida uuritud definitsioonide, omaduste, teoreemidega ja neid rakendada erinevaid olukordi, analüüsige seisukorda ja leidke võimalikud viisid lahendusi.

Aleksander Larini ühtseks riigieksamiks valmistumise kohas alates 11. maist 2012 koolitusvõimalused Nr 1 – 22 ülesannetega “C”, osa C5 olid sarnased päriseksami ülesannetega. Näiteks leidke parameetri a kõik väärtused, millest igaühe jaoks on funktsioonide graafikudf(x) = Jag(x) = a(x + 5) + 2 ei oma ühiseid punkte?

Vaatame 2012. aasta eksami ülesande C5 lahendust.

Ülesanne C5 ühtsest riigieksamist 2012

Milliste parameetri a väärtuste korral võrrand kehtib on vähemalt kaks juurt.

Lahendame selle probleemi graafiliselt. Joonistame võrrandi vasaku külje: ja paremal pool olev graafik:ja sõnastada probleemküsimus järgmiselt: millistel parameetri a väärtustel on funktsioonide graafikud Janeil on kaks või enam ühist punkti.

Algse võrrandi vasakul küljel parameetrit pole, seega saame funktsiooni joonistada.

Koostame selle graafiku kasutades funktsioonid:

1. Nihutage funktsiooni graafikut3 ühikut mööda OY telge allapoole, saame funktsiooni graafiku:

2. Joonistame funktsiooni . Selleks osa funktsiooni graafikust , mis asub OX-telje all, kuvatakse selle telje suhtes sümmeetriliselt:

Niisiis, funktsiooni graafikon kujul:

Funktsiooni graafik

Millegipärast sisse Hiljuti probleemid parameetritega tekitavad koolilastes peaaegu püha õudust, vahel vaikset ja vahel mitte nii väga. Probleem on ilmselt jällegi selles, et neid niimoodi õpetatakse. Üldiselt, vaesed lapsed... Õppige pähe hunnik ülesandeid ühe, kahe või enama parameetriga, lahendage neid lugematuid kordi ilma nähtava põhjuseta ja samal kurikuulsal ühtsel riigieksamil saate sellise probleemi tingimused parameetriga mida te pole kunagi varem näinud ja langete stuuporisse suutmatusest seda isegi lahendada, aru saada, millises suunas liikuda. No kuidas siis lõpetajatest kahju ei ole!

Sest mulle meeldib väga kirjeldada oma kooliaastaid, minu õpingud (mida, muide, olete ilmselt juba märganud))), siis kirjutan, kuidas meiega oli. Tähelepanu, te ei usu seda: keegi pole kunagi õpetanud meid parameetritega probleeme lahendama! Noh, ma kirjutasin veel ühe väljaande))) Meid lihtsalt õpetati probleeme lahendama, see on kõik. Puudus eraldi ülesannete klass/tüüp/rühm, mida nimetati parameetritega seotud probleemideks. Ja samas ei üllatanud sellised ülesanded kedagi ega pannud kedagi värisema. Kõik need olid lihtsalt lahendatud, nagu kõik muud probleemid. Nagu nii.

Ja ei olnud erinevaid õpetusi, mis ütleksid, mida teha, kui näete parameetreid, kuidas liikuda ja kuhu asendada... Lihtsalt iga probleemi puhul tuli aru saada, kuidas selle lahenduseni jõuda, milleks, miks ja miks. millist järjestust teha, et saada vastus. Ja see oli arusaam, miks ja miks see oli peamine. Nendes ülesannetes pole midagi keerulist, palun uskuge mind! Ei midagi erilist spetsiaalsed tehnikad Lahendusi pole ka. Jah, saate näidata mõnda meetodit, mis toimuvast (miks ja miks) täieliku arusaamise puudumisel aitavad toime tulla kümne, viieteistkümne, saja identse probleemiga, kuid neid on sada ja üks, mida ei saa lahendada kasutades seda meetodit!

Mis sellest järeldub? See on mis. Kui kardate mingil põhjusel parameetritega seotud probleeme, kui teie põlved hakkavad värisema, kui neid mainitakse, peate võtma samal teemal parameetriteta probleemid, mida arvate, et saate lahendada, ja püüdma mõista, mis on mis iseloom, arusaam, mida, miks, miks ja kuidas seda tehakse. Kui mõistate seda üksikasjalikult ja põhjalikult ning hakkate toimuvast selgelt aru saama, pole teil midagi erilist vaja õppevahendid, mis pakuvad selliseid "kasulikke" lahendusmeetodeid, ja juhendajaid, kellest paljusid õpetatakse samade juhendite abil. Ja boonusena saate ilma hirmu ja hirmuta asuda lahendama kõiki probleeme, milles on nii näiliselt kohutavaid parameetreid, kuid tegelikult - ainult tähed, mille taga võivad olla ainult tavalised numbrid ja ei midagi muud !

Kahjuks ei saa ma lubada, et kõik saab olema lihtne. Veelgi enam, kui te pole kunagi proovinud endalt küsida neid salakavalaid küsimusi: miks? Milleks? kust see tuli? ja mis sellest järeldub? Kui aga tahad õppida probleeme lahendama, tahad aru saada, peaksid seda tegema. Jah, seda on raske mõelda, aga ilma selleta ei saa! Proovige järele ja näete, kui palju huvitavamaks on elu muutunud!

1. Ülesanne.
Milliste parameetrite väärtustel a võrrand ( a - 1)x 2 + 2x + a- Kas 1 = 0 on täpselt üks juur?

1. Lahendus.
Kell a= 1, võrrand on 2 x= 0 ja sellel on ilmselt üks juur x= 0. Kui a 1, siis on see võrrand ruut ja sellel on üks juur nende parameetriväärtuste jaoks, mille juures ruuttrinoomi diskriminant on võrdne nulliga. Võrdsustades diskriminandi nulliga, saame parameetri võrrandi a 4a 2 - 8a= 0, kust a= 0 või a = 2.

1. Vastus: võrrandil on üks juur a O (0; 1; 2).

2. Ülesanne.
Otsige üles kõik parameetrite väärtused a, mille võrrandil on kaks erinevat juurt x 2 +4kirves+8a+3 = 0.
2. Lahendus.
Võrrand x 2 +4kirves+8a+3 = 0 on kaks erinevat juurt siis ja ainult siis D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Saame (pärast taandamist ühisteguriga 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, kust

2. Vastus:

a O (-Ґ ; 1 –

Ts 7 2

) JA (1 +

Ts 7 2

; Ґ ).

3. Ülesanne.
On teada, et
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Joonistage funktsiooni graafik f 1 (x) kell a = 1.
b) Millise väärtusega a funktsiooni graafikud f 1 (x) Ja f 2 (x) kas teil on üks ühine punkt?

3. Lahendus.
3.a. Muutkem f 1 (x) järgmisel viisil
Selle funktsiooni graafik at a= 1 on näidatud parempoolsel joonisel.
3.b. Märgime kohe, et funktsioonide graafikud y = kx+b Ja y = kirves 2 +bx+c (a Nr 0) lõikuvad ühes punktis siis ja ainult siis ruutvõrrand kx+b = kirves 2 +bx+c on üks juur. Vaate kasutamine f 1/ 3.a, võrdsustame võrrandi diskriminandi a = 6x-x 2-6 kuni null. Võrrandist 36-24-4 a= 0 saame a= 3. Tehke sama võrrandiga 2 x-a = 6x-x 2-6 leiame a= 2. On lihtne kontrollida, kas need parameetrite väärtused vastavad probleemi tingimustele. Vastus: a= 2 või a = 3.

4. Ülesanne.
Otsige üles kõik väärtused a, mille jaoks ebavõrdsuse lahenduste hulk x 2 -2kirves-3a i 0 sisaldab segmenti .

4. Lahendus.
Parabooli tipu esimene koordinaat f(x) = x 2 -2kirves-3a võrdne x 0 = a. Ruutfunktsiooni omadustest tingimus f(x) i 0 segmendil on samaväärne kolme süsteemi komplektiga
on täpselt kaks lahendust?

5. Lahendus.
Kirjutame selle võrrandi ümber kujul x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. See on ruutvõrrand, millel on täpselt kaks lahendit, kui selle diskriminant on rangelt suurem kui null. Diskriminandi arvutamisel leiame, et täpselt kahe juure olemasolu tingimuseks on ebavõrdsuse täitumine a 2 +a-6 > 0. Lahendades ebavõrdsust, leiame a < -3 или a> 2. Esimene ebavõrdsustest on ilmselgelt lahendused sisse naturaalarvud ei oma ja teise väikseim loomulik lahendus on number 3.

5. Vastus: 3.

6. Probleem (10 klahvi)
Otsige üles kõik väärtused a, mille puhul funktsiooni graafik või pärast ilmseid teisendusi a-2 = | 2-a| . Viimane võrrand on võrdne ebavõrdsusega a mina 2.

6. Vastus: a TEAVE )