Testid

Aritmeetika tüübid. Aritmeetiliste tehete tekkimise ajalugu. Aritmeetika on matemaatika ABC

Mis on aritmeetika? Millal hakkas inimkond numbreid kasutama ja nendega töötama? Kuhu ulatuvad selliste igapäevaste mõistete juured nagu arvud, liitmine ja korrutamine, millest inimene on saanud oma elu ja maailmapildi lahutamatuks osaks? Vana-Kreeka meeled imetlesid selliseid teadusi nagu geomeetria kui inimloogika kauneimaid sümfooniaid.

Võib-olla pole aritmeetika nii sügav kui teised teadused, aga mis juhtuks nendega, kui inimene unustaks elementaarkorrutustabeli? Loogiline mõtlemine, millega oleme harjunud, kasutades numbreid, murde ja muid vahendeid, ei olnud inimestele kerge ja oli pikka aega kättesaamatu meie esivanematele. Tegelikult ei olnud ükski inimteadmiste valdkond kuni aritmeetika väljatöötamiseni tõeliselt teaduslik.

Aritmeetika on matemaatika ABC

Aritmeetika on arvude teadus, millega iga inimene hakkab tutvuma matemaatika põneva maailmaga. Nagu ütles M.V. Lomonosov, on aritmeetika õppimise värav, mis avab meile tee maailmateadmiseni. Kuid tal on õigus, kas teadmisi maailmast saab eraldada numbrite ja tähtede, matemaatika ja kõne tundmisest? Võib-olla vanasti, aga mitte tänapäeva maailmas, kus teaduse ja tehnika kiire areng dikteerib oma seadused.

Sõna "aritmeetika" (kreeka keeles "aritmos") on kreeka päritolu ja tähendab "arvu". Ta uurib numbrit ja kõike, mida saab nendega seostada. See on arvude maailm: mitmesugused toimingud arvudega, arvureeglid, korrutamist, lahutamist jms hõlmavate ülesannete lahendamine.

Aritmeetika põhiobjekt

Aritmeetika aluseks on täisarv, mille omadusi ja mustreid vaadeldakse kõrgemas aritmeetikas või Tegelikult sõltub kogu hoone tugevus - matemaatika - sellest, kui õigesti lähenetakse nii väikese ploki naturaalarvuna käsitlemisel. .

Seetõttu saab küsimusele, mis on aritmeetika, vastata lihtsalt: see on arvude teadus. Jah, umbes tavalise seitsme, üheksa ja kogu selle mitmekesise kogukonna kohta. Ja nagu te ei saa kirjutada head või isegi kõige keskpärasemat luulet ilma elementaartähestikuta, ei saa te ilma aritmeetikata lahendada isegi elementaarset ülesannet. Seetõttu arenesid kõik teadused alles pärast aritmeetika ja matemaatika arengut, olles varem olnud vaid oletuste kogum.

Aritmeetika on fantoomteadus

Mis on aritmeetika – loodusteadus või fantoom? Tegelikult, nagu Vana-Kreeka filosoofid arutlesid, ei eksisteeri tegelikkuses ei numbreid ega arve. See on lihtsalt fantoom, mis tekib inimese mõtlemises, kui arvestada keskkonda ja selle protsesse. Tegelikult ei näe me kusagil midagi sellist, mida võiks nimetada numbriks; pigem on arv inimmõistuse viis maailma uurida. Või äkki on see meie endi uurimine seestpoolt? Filosoofid on selle üle vaielnud juba mitu sajandit järjest, nii et me ei võta ammendavat vastust ette. Nii või teisiti on aritmeetika suutnud oma positsiooni võtta nii kindlalt, et tänapäeva maailmas ei saa kedagi pidada sotsiaalselt kohandatuks, kui ta ei tea selle põhialuseid.

Kuidas naturaalarv tekkis?

Muidugi on põhiobjekt, millega aritmeetika opereerib, naturaalarv, näiteks 1, 2, 3, 4, ..., 152... jne. Naturaalarvude aritmeetika on tavaliste objektide, näiteks heinamaal olevate lehmade loendamise tulemus. Sellegipoolest ei sobinud definitsioon "palju" või "natuke" kunagi inimestele ja tuli leiutada arenenumad loendustehnikad.

Tõeline läbimurre toimus aga siis, kui inimlik mõtlemine jõudis selleni, et sama numbrit “kaks” saab kasutada 2 kilogrammi, 2 tellise ja 2 osa tähistamiseks. Asi on selles, et peate abstraheerima objektide vormidest, omadustest ja tähendusest, siis saate nende objektidega naturaalarvude kujul mingeid toiminguid teha. Nii sündis arvude aritmeetika, mis edasi arenes ja laienes, hõivates ühiskonnaelus üha suuremaid positsioone.

Sellistel arvukatel süvendatud mõistetel nagu null- ja negatiivsed arvud, murrud, arvude numbrite järgi märkimine ja muud meetodid on rikkalik ja huvitav arengulugu.

Aritmeetilised ja praktilised egiptlased

Inimese kaks iidsemat kaaslast ümbritseva maailma uurimisel ja igapäevaülesannete lahendamisel on aritmeetika ja geomeetria.

Arvatakse, et aritmeetika ajalugu pärineb Vana-Idast: Indiast, Egiptusest, Babülonist ja Hiinast. Seega on Rhinda papüürus Egiptuse päritolu (nii sai selle nime, kuna see kuulus samanimelisele omanikule), mis pärineb 20. sajandist. BC sisaldab lisaks muudele väärtuslikele andmetele ühe murru lagunemist erinevate nimetajatega ja ühega võrdse lugejaga murdude summaks.

Näiteks: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Aga mis on sellise keerulise lagunemise mõte? Fakt on see, et Egiptuse lähenemisviis ei sallinud abstraktset arvude üle mõtlemist, vastupidi, arvutusi tehti ainult praktilistel eesmärkidel. See tähendab, et egiptlane tegeleb sellise asjaga nagu arvutused ainult selleks, et ehitada näiteks hauakamber. Oli vaja arvutada konstruktsiooni serva pikkus ja see sundis inimest papüüruse juurde istuma. Nagu näete, põhjustas Egiptuse edusammud arvutustes pigem massiivne ehitus kui armastus teaduse vastu.

Sel põhjusel ei saa papüürustest leitud arvutusi nimetada mõtisklusteks murdude teemal. Tõenäoliselt oli see praktiline ettevalmistus, mis aitas tulevikus lahendada ülesandeid murdarvudega. Vanad egiptlased, kes korrutustabeleid ei tundnud, tegid üsna pikki arvutusi, mis jagunesid paljudeks alamülesanneteks. Võib-olla on see üks neist alamülesannetest. On lihtne näha, et selliste toorikute arvutused on väga töömahukad ja neil on vähe väljavaateid. Võib-olla sel põhjusel ei näe me Vana-Egiptuse suurt panust matemaatika arengusse.

Vana-Kreeka ja filosoofiline aritmeetika

Suure osa Vana-Ida teadmistest omandasid edukalt iidsed kreeklased, kuulsad abstraktsete, abstraktsete ja filosoofiliste mõtete armastajad. Neid ei huvitanud vähem ka praktika, kuid paremaid teoreetikuid ja mõtlejaid oli raske leida. See tuli teadusele kasuks, kuna aritmeetikasse on võimatu süveneda, ilma et see reaalsusest lahti oleks. Muidugi võite korrutada 10 lehma ja 100 liitrit piima, kuid te ei jõua kaugele.

Sügava mõtlemisega kreeklased jätsid ajalukku olulise jälje ja nende teosed on meieni jõudnud:

Eukleides ja elemendid.
Pythagoras.
Archimedes.
Eratosthenes.
Zeno.
Anaxagoras.

Ja muidugi olid kreeklased, kes muutsid kõik filosoofiaks, ja eriti Pythagorase loomingu järeltulijad niivõrd arvudest, et pidasid neid maailma harmoonia sakramendiks. Arvu on nii palju uuritud ja uuritud, et mõnele neist ja nende paaridest on omistatud erilisi omadusi. Näiteks:

Täiuslikud arvud on need, mis on võrdsed kõigi nende jagajate summaga, välja arvatud arv ise (6=1+2+3).
Sõbralikud arvud on need arvud, millest üks on võrdne teise jagajate summaga ja vastupidi (pythagoraslased teadsid ainult ühte sellist paari: 220 ja 284).

Kreeklased, kes uskusid, et teadust tuleb armastada ja mitte kasu saada, saavutasid suure edu uurimise, mängimise ja numbrite lisamise kaudu. Tuleb märkida, et mitte kõik nende uuringud ei leidnud laialdast rakendust; mõned neist jäid ainult "ilu pärast".

Keskaja ida mõtlejad

Samamoodi võlgneb aritmeetika keskajal oma arengu Ida kaasaegsetele. Indiaanlased andsid meile numbreid, mida me aktiivselt kasutame, näiteks mõiste "null" ja kaasaegsele tajule tuttava positsioonivaliku. 15. sajandil Samarkandis töötanud Al-Kashilt pärisime, ilma milleta on tänapäevast aritmeetikat raske ette kujutada.

Paljuski sai Euroopa tutvumine ida saavutustega võimalikuks tänu itaalia teadlase Leonardo Fibonacci tööle, kes kirjutas ida uuendusi tutvustava teose “Abakuse raamat”. Sellest sai algebra ja aritmeetika, uurimistöö ja teadustegevuse arengu nurgakivi Euroopas.

Vene aritmeetika

Ja lõpuks hakkas aritmeetika, mis leidis oma koha ja juurdus Euroopas, levima Venemaa maadele. Esimene vene aritmeetika ilmus 1703. aastal – see oli Leonti Magnitski raamat aritmeetikast. Pikka aega jäi see ainsaks matemaatika õpikuks. See sisaldab algebra ja geomeetria algpunkte. Venemaa esimese aritmeetikaõpiku näidetes kasutatud numbrid on araabiakeelsed. Kuigi araabia numbreid leiti varem, 17. sajandist pärit gravüüridelt.

Raamat ennast on kaunistatud Archimedese ja Pythagorase kujutistega ning esimesel leheküljel on aritmeetika kujutis naise näol. Ta istub troonil, tema alla on kirjutatud heebrea keeles sõna, mis tähistab Jumala nime, ja troonile viivatele treppidele on kirjutatud sõnad "jagamine", "korrutamine", "liitmine" jne. kujutage ette, mis tähendusega nad edastasid selliseid tõdesid, mida praegu peetakse tavaliseks.

600-leheküljeline õpik hõlmab nii põhitõdesid nagu liitmis- ja korrutustabelid ning navigatsiooniteaduse rakendused.

Pole üllatav, et autor valis oma raamatusse kujundid kreeka mõtlejatest, sest ta ise oli aritmeetika ilust vaimustuses, öeldes: “Aritmeetika on lugeja, see on aus, kadeda kunst...” Selline lähenemine aritmeetikale on igati õigustatud, sest just selle laialdast rakendamist võib pidada Venemaa teadusliku mõtte ja üldhariduse kiire arengu alguseks.

Mittealgarvud

Algarv on naturaalarv, millel on ainult 2 positiivset jagajat: 1 ja ta ise. Kõiki teisi numbreid, 1 arvestamata, nimetatakse liitarvudeks. Algarvude näited: 2, 3, 5, 7, 11 ja kõik teised, millel pole peale arvu 1 ja enda jagajaid.

Mis puutub numbrisse 1, siis sellel on eriline koht – on kokku lepitud, et seda ei tohiks pidada lihtsaks ega liiteks. Pealtnäha lihtne arv peidab endas palju lahendamata saladusi.

Eukleidese teoreem ütleb, et algarve on lõpmatult palju ja Eratosthenes tuli välja spetsiaalse aritmeetilise “sõelaga”, mis sõelub välja keerulised arvud, jättes alles vaid algarvud.

Selle olemus seisneb selles, et esimene läbikriipsutamata number tuleb alla joonida ja seejärel läbi kriipsutada need, mis on selle kordsed. Kordame seda protseduuri mitu korda ja saame algarvude tabeli.

Aritmeetika alusteoreem

Algarvude kohta tehtavatest tähelepanekutest tuleb eraldi välja tuua aritmeetika põhiteoreem.

Aritmeetika põhiteoreem väidab, et iga täisarv, mis on suurem kui 1, on algarv või selle saab unikaalsel viisil faktoriseerida algarvude korrutiseks kuni tegurite järjekorrani.

Aritmeetika põhiteoreemi tõestamine on üsna tülikas ja selle mõistmine ei sarnane enam kõige lihtsamate põhitõdedega.

Esmapilgul on algarvud elementaarne mõiste, kuid see pole nii. Ka füüsika pidas kunagi aatomit elementaarseks, kuni leidis enda seest terve universumi. Algarvud on teemaks matemaatik Don Tsagiri imelises loos "Esimesed viiskümmend miljonit algarvu".

Alates "kolmest õunast" kuni deduktiivsete seadusteni

Mida võib tõesti nimetada kogu teaduse tugevdatud vundamendiks, on aritmeetika seadused. Juba lapsepõlves seisavad kõik silmitsi aritmeetikaga, uurides nukkude jalgade ja käte arvu, kuubikute, õunte jne arvu. Nii õpime aritmeetikat, mis areneb seejärel keerukamateks reegliteks.

Kogu meie elu tutvustab meile aritmeetikareegleid, millest on saanud tavainimese jaoks kõige kasulikum kõigest, mida teadus pakub. Arvude uurimine on “beebiaritmeetika”, mis tutvustab inimesele juba varases lapsepõlves numbrite maailma numbrite kujul.

Kõrgem aritmeetika on deduktiivne teadus, mis uurib aritmeetika seadusi. Me teame enamikku neist, kuigi me ei pruugi teada nende täpset sõnastust.

Liitmise ja korrutamise seadus

Mis tahes kahte naturaalarvu a ja b saab väljendada summana a+b, mis on samuti naturaalarv. Lisamisel kehtivad järgmised seadused:

Kommutatiivne, mis ütleb, et terminite ümberpaigutamine ei muuda summat ehk a+b= b+a.
Assotsiatiivne, mis ütleb, et summa ei sõltu sellest, kuidas terminid on kohtadesse rühmitatud, või a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Aritmeetikareeglid, näiteks liitmine, on ühed elementaarsemad, kuid neid kasutavad kõik teadused, igapäevaelust rääkimata.

Mis tahes kahte naturaalarvu a ja b saab väljendada korrutis a*b või a*b, mis on samuti naturaalarv. Tootele kehtivad samad kommutatiivsed ja assotsiatiivsed seadused, mis lisamisel:

a*b= b*a;
a*(b*c)= (a* b)* c.

Huvitaval kombel on seadus, mis ühendab liitmise ja korrutamise, mida nimetatakse ka jaotus- või jaotusseaduseks:

a(b+c)= ab+ac

See seadus tegelikult õpetab meid töötama sulgudega neid avades, seega saame töötada keerukamate valemitega. Just need seadused juhatavad meid läbi algebra veidra ja keerulise maailma.

Aritmeetilise järjekorra seadus

Korraseadust kasutab inimloogika iga päev, kellasid kontrollides ja arveid lugedes. Ja sellegipoolest tuleb see vormistada konkreetsete formulatsioonide kujul.

Kui meil on kaks naturaalarvu a ja b, on võimalikud järgmised võimalused:

a on võrdne b-ga või a=b;
a on väiksem kui b või a< b;
a on suurem kui b või a > b.

Kolmest võimalusest saab õiglane olla ainult üks. Põhiseadus, mis korda reguleerib, ütleb: kui a< b и b < c, то a< c.

Korrutamise ja liitmise toimingute järjekorra kohta kehtivad ka seadused: kui a< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Aritmeetikaseadused õpetavad meid töötama numbrite, märkide ja sulgudega, muutes kõik harmooniliseks arvude sümfooniaks.

Positsioonilised ja mittepositsioonilised arvusüsteemid

Võime öelda, et arvud on matemaatiline keel, mille mugavusest sõltub palju. Arvusüsteeme on palju, mis, nagu ka erinevate keelte tähestikud, erinevad üksteisest.

Vaatleme arvusüsteeme positsiooni mõjust selle koha numbri kvantitatiivsele väärtusele. Näiteks Rooma süsteem on mittepositsiooniline, kus iga number on kodeeritud teatud erimärkide komplektiga: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Need on vastavalt võrdsed numbritega 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Sellises süsteemis ei muuda arv oma kvantitatiivset määratlust olenevalt sellest, millises positsioonis see asub: esimene, teine jne. Teiste arvude saamiseks tuleb lisada baasarvud. Näiteks:

DCC=700.
CCM = 800.

Meile araabia numbreid kasutades tuttavam numbrisüsteem on positsiooniline. Sellises süsteemis määrab numbri number numbrite arvu, näiteks kolmekohalised numbrid: 333, 567 jne. Iga numbri kaal sõltub asukohast, kus konkreetne number asub, näiteks teise koha numbri 8 väärtus on 80. See on tüüpiline kümnendsüsteemile, on ka teisi asukohasüsteeme, näiteks kahendsüsteem.

Binaararitmeetika

Binaararitmeetika töötab kahendtähestikuga, mis koosneb ainult 0-st ja 1-st. Ja selle tähestiku kasutamist nimetatakse kahendarvusüsteemiks.

Binaararitmeetika ja kümnendaritmeetika erinevus seisneb selles, et vasakpoolse positsiooni olulisus ei ole 10, vaid 2 korda suurem. Kahendarvud on kujul 111, 1001 jne. Kuidas selliseid numbreid mõista? Niisiis, kaaluge arvu 1100:

Esimene number vasakul on 1*8=8, pidades meeles, et neljas number, mis tähendab, et see tuleb korrutada 2-ga, saame positsiooni 8.
Teine number on 1*4=4 (positsioon 4).
Kolmas number on 0*2=0 (positsioon 2).
Neljas number on 0*1=0 (positsioon 1).
Niisiis, meie arv on 1100=8+4+0+0=12.

See tähendab, et kui liigute vasakul asuvale uuele numbrile, korrutatakse selle olulisus kahendsüsteemis 2-ga ja kümnendsüsteemis 10-ga. Sellisel süsteemil on üks puudus: see on liiga suur arvude suurenemine. vaja kirjutada numbreid. Näiteid kümnendarvude esitamise kohta kahendarvudena on näha järgmises tabelis.

Kümnendarvud kahendkujul on näidatud allpool.

Samuti kasutatakse nii kaheksand- kui ka kuueteistkümnendsüsteemi.

See salapärane aritmeetika

Mis on aritmeetika, "kaks kaks" või numbrite tundmatud saladused? Nagu näeme, võib aritmeetika esmapilgul tunduda lihtne, kuid selle ilmselge lihtsus on petlik. Lapsed saavad seda uurida koos tädi öökulliga multifilmist “Beebi aritmeetika” või sukelduda peaaegu filosoofilises plaanis sügavteaduslikku uurimisse. Ajaloos jõudis ta objektide loendamise juurest numbrite ilu kummardamiseni. Üks on kindel: aritmeetika põhipostulaatide kehtestamisega saab kogu teadus toetuda oma tugevale õlale.

Vastus Nikolai Fedotovilt[guru]
Kes leiutas aritmeetika?
Aritmeetika on arvude teadus. See käsitleb numbrite tähendusi, nende sümboleid ja nendega töötamist.
Keegi ei "leiutanud" aritmeetikat. See tekkis inimeste vajadustest. Algul opereeriti ainult kvantiteedi mõistega, kuid ei osanud veel lugeda. Näiteks ürgne mees võis öelda, et on marju kogunud piisavalt. Jahimees võis esmapilgul aru saada, et ta oli ühe oda kaotanud.
Kuid aeg läks ja inimesel tekkis vajadus kvantiteedi, see tähendab numbrite, kindlaksmääramiseks. Karjased pidid loomade arvu kokku lugema. Põllumehed pidid hooajatööde aega kokku lugema. Seetõttu, kaua aega tagasi, ei tea keegi millal, nii numbrid kui ka nende nimed leiutati. Nimetame neid numbreid täis- või naturaalarvudeks.
Hiljem vajas inimene numbreid, mis on väiksemad kui üks, ja arve täisarvude vahel. Nii tekkisid murded. Palju hiljem tulid kasutusele teised numbrid. Mõned neist olid negatiivsed, näiteks miinus kaks või miinus seitse.
Nummerdamisest sai aritmeetika alus ja seejärel õppis inimene sooritama nelja põhilist aritmeetikatehet – liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist.
Allikas: link

Vastus alates Tuttav[guru]
ARITMEETIKA, positiivsete reaalarvudega arvutamise kunst.
Lühike aritmeetika ajalugu. Juba iidsetest aegadest on töö arvudega jagatud kahte erinevasse valdkonda: üks puudutas otseselt arvude omadusi, teine oli seotud loendustehnikatega. "Aritmeetika" all mõeldakse paljudes riikides tavaliselt seda viimast valdkonda, mis on kahtlemata vanim matemaatika haru.
Ilmselt oli iidsete kalkulaatorite jaoks suurim raskus murrudega töötamine. Seda võib näha Ahmesi papüürusest (nimetatakse ka Rhindi papüüruseks), Vana-Egiptuse matemaatikateosest, mis pärineb umbes aastast 1650 eKr. e. Kõigil papüüruses mainitud murdudel, välja arvatud 2/3, on lugejad võrdsed 1-ga. Murdude käsitlemise raskus on märgatav ka Vana-Babüloonia kiilkirjatahvlite uurimisel. Nii iidsed egiptlased kui ka babüloonlased tegid ilmselt arvutusi mingisuguse aabitsa abil. Numbriteadus arenes iidsete kreeklaste seas märkimisväärselt, alates Pythagorasest, umbes 530 eKr. e. Mis puudutab arvutustehnoloogiat ennast, siis kreeklased tegid selles valdkonnas palju vähem.
Hilisemad roomlased, vastupidi, praktiliselt mingit panust arvuteadusesse ei andnud, kuid lähtudes kiiresti areneva tootmise ja kaubanduse vajadustest, täiustasid nad aabitsat kui loendusseadet. India aritmeetika päritolu kohta on väga vähe teada. Meieni on jõudnud vaid mõned hilisemad arvutehte teooriat ja praktikat käsitlevad tööd, mis on kirjutatud pärast seda, kui India positsioonisüsteemi täiustati nulli lisamisega. Millal see täpselt juhtus, me täpselt ei tea, kuid just siis pandi alus meie levinuimatele aritmeetikaalgoritmidele (vt ka NUMBRID JA ARVUSSÜSTEEMID).
India numbrisüsteemi ja esimesed aritmeetilised algoritmid laenasid araablased. Varaseima säilinud araabia keele aritmeetikaõpiku kirjutas al-Khwarizmi umbes 825. aastal. Selles kasutatakse laialdaselt ja selgitatakse India numbreid. See õpik tõlgiti hiljem ladina keelde ja sellel oli oluline mõju Lääne-Euroopale. Nime al-Khwarizmi moonutatud versioon jõudis meieni sõnast "algorism", mis segatuna kreekakeelse sõnaga aritmos sai terminiks "algoritm".
Indoaraabia aritmeetika sai Lääne-Euroopas tuntuks peamiselt tänu L. Fibonacci teosele "Abakuse raamat" (Liber abaci, 1202). Abacisti meetod pakkus meie positsioonisüsteemi kasutamisega sarnaseid lihtsustusi, vähemalt liitmiseks ja korrutamiseks. Abasistid asendati algoritmidega, mis kasutasid nulli ja araabia jagamise ja ruutjuure eraldamise meetodit. Üks esimesi aritmeetikaõpikuid, mille autor on meile teadmata, ilmus 1478. aastal Trevisos (Itaalia), mis käsitles arvutusi kaubatehingute tegemisel. Sellest õpikust sai paljude hiljem ilmunud aritmeetikaõpikute eelkäija. Kuni 17. sajandi alguseni. Euroopas anti välja üle kolmesaja sellise õpiku. Aritmeetilised algoritmid on selle aja jooksul oluliselt paranenud. 16.–17. sajandil. ilmusid aritmeetiliste tehete sümbolid, nagu =, +, -
On üldtunnustatud, et kümnendmurrud leiutas S. Stevin 1585. aastal, logaritmid J. Napier 1614. aastal ja slaidireegli W. Oughtred 1622. Kaasaegsed analoog- ja digitaalsed arvutusseadmed leiutati 20. sajandi keskel.

Meie tutvus matemaatikaga algab aritmeetikast, arvuteadusest. Üks esimesi vene aritmeetikaõpikuid, mille kirjutas L. F. Magnitski 1703. aastal, algas sõnadega: „Aritmeetika ehk lugeja on aus, kadestamisväärne kunst ja kõigile mugavalt arusaadav, kõige kasulikum ja palju kiidetud kõige iidsemast ajast. ja uusimad, kes elasid kõige õiglasemate aritmeetikute eri aegadel, leiutasid ja selgitasid. Aritmeetika abil siseneme, nagu ütles M. V. Lomonosov, "õppimise väravatesse" ja alustame oma pikka ja rasket, kuid põnevat maailma mõistmise teed.

Sõna "aritmeetika" pärineb kreekakeelsest sõnast arithmos, mis tähendab "arvu". See teadus uurib tehteid arvudega, erinevaid reegleid nende käsitlemiseks ning õpetab lahendama probleeme, mis taanduvad arvude liitmisele, lahutamisele, korrutamisele ja jagamisele. Aritmeetikat kujutatakse sageli ette matemaatika mõne esimese etapina, mille põhjal saab uurida selle keerukamaid lõike – algebrat, matemaatilist analüüsi jne. Isegi täisarvud – aritmeetika põhiobjekt – liigitatakse kõrgemaks aritmeetikaks, kui nende üldised omadused ja mustrid on peetakse , ehk arvuteooriat. Sellel aritmeetika vaatel on muidugi alust - see jääb tõesti "loendamise tähestikuks", kuid tähestik on "kõige kasulikum" ja "kergesti mõistetav".

Aritmeetika ja geomeetria on inimese kauaaegsed kaaslased. Need teadused ilmusid siis, kui tekkis vajadus loendada objekte, mõõta maatükke, jagada saaki ja jälgida aega.

Aritmeetika sai alguse Vana-Ida riikidest: Babülonist, Hiinast, Indiast, Egiptusest. Näiteks Egiptuse Rindi papüürus (nimetatud selle omaniku G. Rindi järgi) pärineb 20. sajandist. eKr. Muuhulgas sisaldab see murdosa jagamisi murdude summaks, mille lugeja on võrdne ühega, näiteks:

2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Vana-Ida riikides kogutud matemaatiliste teadmiste aardeid arendasid ja jätkasid Vana-Kreeka teadlased. Ajaloost on säilinud palju antiikmaailmas aritmeetika kallal töötanud teadlaste nimesid – Anaxagoras ja Zeno, Euclid (vt Eukleides ja tema elemendid), Archimedes, Eratosthenes ja Diophantus. Pythagorase nimi (VI sajand eKr) sädeleb siin särava tähena. Pythagorased (Pythagorase õpilased ja järgijad) kummardasid numbreid, uskudes, et need sisaldavad kogu maailma harmooniat. Üksikutele numbritele ja numbripaaridele määrati eriomadused. Väga au sees peeti numbreid 7 ja 36 ning siis pöörati tähelepanu nn täiuslikele numbritele, sõbralikele numbritele jne.

Keskajal seostati aritmeetika arengut ka idaga: India, araabia maailma riikide ja Kesk-Aasiaga. Indiaanlastelt jõudsid meieni meie kasutatavad numbrid, null ja positsiooniline numbrisüsteem; al-Kashist (XV sajand), kes töötas Ulugbeki Samarkandi observatooriumis, - kümnendmurrud.

Tänu kaubanduse arengule ja idamaise kultuuri mõjule alates 13. sajandist. Huvi aritmeetika vastu kasvab ka Euroopas. Tasub meeles pidada itaalia teadlase Leonardo Pisa (Fibonacci) nime, kelle teos “Abakuse raamat” tutvustas eurooplastele Ida matemaatika peamisi saavutusi ning oli paljude aritmeetika- ja algebraalaste uuringute algus.

Koos trükikunsti leiutamisega (15. sajandi keskpaik) ilmusid esimesed trükitud matemaatilised raamatud. Esimene trükitud aritmeetikaraamat ilmus Itaalias 1478. aastal. Saksa matemaatiku M. Stiefeli "Täielikus aritmeetikas" (16. sajandi algus) on juba negatiivsed arvud ja isegi logaritmiseerimise idee.

Umbes 16. sajandist. puhtaritmeetiliste küsimuste arendamine voolas algebra peavoolu - olulise verstapostina võib märkida prantsuse teadlase F. Vieta tööde ilmumist, kus numbrid on tähistatud tähtedega. Sellest ajast alates saadakse algebra seisukohast lõpuks aru aritmeetika põhireeglitest.

Aritmeetika põhiobjekt on arv. Naturaalarvud, s.o. arvud 1, 2, 3, 4, ... jne tekkisid konkreetsete objektide loendamisel. Möödus palju tuhandeid aastaid, enne kui inimene sai teada, et kaks faasanit, kaks kätt, kaks inimest jne. võib nimetada sama sõnaga "kaks". Aritmeetika oluline ülesanne on õppida üle saama loendatavate esemete nimede spetsiifilisest tähendusest, tõmbama tähelepanu kõrvale nende kujust, suurusest, värvist jne. Fibonaccil on juba ülesanne: „Seitse vana naist lähevad Rooma. Igas muulas on 7 muula, igal muul on 7 kotti, igas kotis on 7 pätsi, igas pätsis on 7 nuga, igal noal on 7 tuppi. Kui palju neid on?" Probleemi lahendamiseks peate kokku panema vanad naised, muulad, kotid ja leib.

Arvu mõiste areng - null- ja negatiivsete arvude, tava- ja kümnendmurdude ilmumine, numbrite kirjutamise viisid (numbrid, märge, numbrisüsteemid) - sellel kõigel on rikkalik ja huvitav ajalugu.

Aritmeetikas numbreid liidetakse, lahutatakse, korrutatakse ja jagatakse. Nende toimingute kiire ja täpse sooritamise kunsti mis tahes numbritega on pikka aega peetud aritmeetika kõige olulisemaks ülesandeks. Tänapäeval teeme peas või paberil vaid kõige lihtsamaid arvutusi, usaldades üha enam keerukamaid arvutustöid mikrokalkulaatoritele, mis järk-järgult asendavad selliseid seadmeid nagu aabits, liitmismasin (vt Arvutitehnoloogia) ja slaid. reegel. Kõigi arvutite – lihtsate ja keerukate – töö põhineb aga kõige lihtsamal operatsioonil – naturaalarvude liitmisel. Selgub, et kõige keerulisemad arvutused saab taandada liitmisele, kuid seda toimingut tuleb teha palju miljoneid kordi. Kuid siin tungime teise matemaatika valdkonda, mis pärineb aritmeetikast - arvutusmatemaatikast.

Aritmeetilistel tehtetel arvudega on mitmesuguseid omadusi. Neid omadusi saab kirjeldada sõnadega, näiteks: “Summa ei muutu terminite kohti muutes,” võib kirjutada tähtedega: a + b = b + a, võib väljendada eriterminitega.

Näiteks seda liitmise omadust nimetatakse kommutatiivseks või kommutatiivseks seaduseks. Me rakendame aritmeetika seadusi sageli harjumusest, ise seda teadvustamata. Sageli küsivad õpilased koolis: "Miks õppida kõiki neid kommutatiivseid ja kombineeritud seadusi, kuna on juba selge, kuidas numbreid liita ja korrutada?" 19. sajandil matemaatika astus olulise sammu – hakkas süstemaatiliselt liitma ja korrutama mitte ainult numbreid, vaid ka vektoreid, funktsioone, nihkeid, arvutabeleid, maatrikseid ja palju muud ning isegi ainult tähti, sümboleid, hoolimata nende konkreetsest tähendusest. Ja siin selgus, et kõige tähtsam on see, millistele seadustele need toimingud alluvad. Suvaliste objektidega (mitte tingimata arvudega) määratud tehte uurimine on juba algebra valdkond, kuigi see ülesanne põhineb aritmeetikal ja selle seadustel.

Aritmeetika sisaldab palju reegleid ülesannete lahendamiseks. Vanadest raamatutest võib leida probleeme “kolmikreegli”, “proportsionaalse jagamise”, “skaala meetodi”, “valereegli” jne kohta. Enamik neist reeglitest on nüüdseks aegunud, kuigi probleemid, mis olid nende abiga lahendatud ei saa kuidagi aegunuks pidada. Kuulus probleem mitme toruga täidetud ujula kohta on vähemalt kaks tuhat aastat vana ja see pole koolilastel endiselt lihtne. Kuid kui varem oli selle ülesande lahendamiseks vaja teada erireeglit, siis tänapäeval õpetatakse nooremaid koolilapsi sellist ülesannet lahendama, sisestades soovitud suuruse tähe x. Seega tingisid aritmeetilised ülesanded võrrandite lahendamise vajaduse ja see on jällegi algebra ülesanne.

Aritmeetika kasutusele võetud oluliste mõistete hulgas on proportsioonid ja protsendid. Enamik aritmeetika mõisteid ja meetodeid põhinevad arvude erinevate sõltuvuste võrdlemisel. Matemaatika ajaloos toimus aritmeetika ja geomeetria liitmise protsess paljude sajandite jooksul.

Aritmeetika “geometriseerumist” võib selgelt jälgida: keerulised reeglid ja valemitega väljendatud mustrid muutuvad selgemaks, kui neid saab geomeetriliselt kujutada. Matemaatikas endas ja selle rakendustes mängib olulist rolli pöördprotsess - visuaalse, geomeetrilise teabe tõlkimine arvude keelde (vt Graafilised arvutused). See tõlge põhineb prantsuse filosoofi ja matemaatiku R. Descartes'i ideel punktide määratlemisest tasapinnal koordinaatide abil. Muidugi oli seda mõtet kasutatud juba enne teda, näiteks merenduses, kui oli vaja kindlaks määrata laeva asukoht, samuti astronoomias ja geodeesias. Kuid just Descartes’ilt ja tema õpilastelt pärineb koordinaatide keele järjekindel kasutamine matemaatikas. Ja meie ajal eelistavad nad keerukate protsesside (näiteks kosmoselaeva lendu) juhtimisel, et kogu teave oleks arvude kujul, mida arvuti töötleb. Vajadusel aitab masin inimesel kogunenud numbrilise info joonistamise keelde tõlkida.

Näete, et aritmeetikast rääkides ületame alati selle piirid - algebrasse, geomeetriasse ja muudesse matemaatika harudesse.

Kuidas me saame piiritleda aritmeetika enda piire?

Mis tähenduses seda sõna kasutatakse?

Sõna "aritmeetika" võib mõista järgmiselt:

õppeaine, mis käsitleb eelkõige ratsionaalseid arve (täisarve ja murde), tehteid nendega ning nende abil lahendatavaid probleeme;

osa ajaloolisest matemaatikahoonest, kuhu on kogunenud mitmesugust infot arvutuste kohta;

“teoreetiline aritmeetika” on kaasaegse matemaatika osa, mis tegeleb erinevate arvsüsteemide (looduslikud, täisarvud, ratsionaal-, reaal-, kompleksarvud ja nende üldistused) konstrueerimisega;

“formaalne aritmeetika” on osa matemaatilisest loogikast (vt Matemaatiline loogika), mis tegeleb aritmeetika aksiomaatilise teooria analüüsiga;

“kõrgem aritmeetika” ehk arvuteooria, matemaatika iseseisvalt arenev osa.

Kõik kõige kohta. 5. köide Likum Arkadi

Kes leiutas aritmeetika?

Aritmeetika on arvude teadus. See käsitleb numbrite tähendusi, nende sümboleid ja nendega töötamist. Keegi ei "leiutanud" aritmeetikat. See tekkis inimeste vajadustest. Algul opereeriti ainult kvantiteedi mõistega, kuid ei osanud veel lugeda. Näiteks ürgne mees võis öelda, et on marju kogunud piisavalt. Jahimees võis esmapilgul aru saada, et ta oli ühe oda kaotanud.

Kuid aeg läks ja inimesel tekkis vajadus kvantiteedi, see tähendab numbrite, kindlaksmääramiseks. Karjased pidid loomade arvu kokku lugema. Põllumehed pidid hooajatööde aega kokku lugema. Seetõttu, kaua aega tagasi, ei tea keegi millal, nii numbrid kui ka nende nimed leiutati. Nimetame neid numbreid täis- või naturaalarvudeks. Hiljem vajas inimene numbreid, mis on väiksemad kui üks, ja arve täisarvude vahel. Nii tekkisid murded.

Palju hiljem tulid kasutusele teised numbrid. Mõned neist olid negatiivsed, näiteks miinus kaks või miinus seitse. Nummerdamisest sai aritmeetika alus ja seejärel õppis inimene sooritama nelja põhilist aritmeetikatehet – liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist.

Raamatust 100 suurt astronautika saladust autor Slavin Stanislav Nikolajevitš

Kes leiutas kuukulguri? Kaotanud Kuu võidujooksu, teeskles Nõukogude valitsus, et ta pole sellest väga ärritunud. Räägitakse, et algusest peale liikusime kuulipildujatega Selenaga tutvumise poole. Ja see oli osaliselt tõsi. Kasvõi sellepärast, et esimene teave kuukulgurite kohta oli

Raamatust Kes on kes kunstimaailmas autor Sitnikov Vitali Pavlovitš

Kes leiutas serenaadi? Juba ammusest ajast on maa peal ringi rännanud luuletajad ja lauljad. Vana-Kreekas kutsuti rändluuletajaid, kes oma luuletusi skandeerisid, rapsoodideks. Euroopa põhjapoolsed rahvad pidasid barde kõrgelt lugu. Hilisemal ajal käidi linnades ja külades ringi

Raamatust Maailm meie ümber autor Sitnikov Vitali Pavlovitš

Kes muinasjutu välja mõtles? Faabula on üks vanemaid kirjandusžanre; Arvatakse, et sarnaselt müüdiga sai sellest üks esimesi kirjanduslikke vorme, mis peegeldasid inimeste ideid maailmast. Selle esimene autor on väidetavalt ori Aisop, kes on kuulus oma vaimukuse poolest. Arvatakse, et

autor Sitnikov Vitali Pavlovitš

Kes leiutas süsti? 1628. aastal teatas esmakordselt võimalusest viia kehasse läbi naha raviaineid inglise teadlane W. Harvey, kes avaldas fundamentaalse teose, milles rääkis inimese vereringesüsteemi toimimisest. väljendas Harvey