Jakaus

D aritmeettisessa progressiossa. Aritmeettisen progression summa

Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, harkitse mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.

Numeerinen sarja on numeerinen joukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sekvenssin jäseniksi. Järjestyselementin järjestysnumero ilmaistaan indeksillä:

Sarjan ensimmäinen elementti;

Jakson viides elementti;

- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.

Sekvenssielementin arvon ja sen järjestysluvun välillä on riippuvuus. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen sen voi sanoa sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:

Sarja voidaan määrittää kolmella tavalla:

1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.

Esimerkiksi Joku päätti tehdä henkilökohtaisen ajanhallinnan ja aluksi laskea, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Kirjoittamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:

Taulukon ensimmäisellä rivillä on viikonpäivän numero, toisella - aika minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia ja eli perjantaina vain 15.

2 . Järjestys voidaan määrittää käyttämällä n:nnen jäsenen kaavaa.

Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan suoraan kaavana.

Esimerkiksi jos , niin

Tietyn numeron omaavan sekvenssielementin arvon löytämiseksi korvaamme elementin numeron n:nnen jäsenen kaavassa.

Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon sen sijaan funktion yhtälössä:

Jos esim. , sitten

Jälleen kerran huomautan, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, vain luonnollinen luku voi olla argumentti.

3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee jonon numerolla n olevan jäsenen arvon riippuvuuden edellisten jäsenten arvosta. Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron, jotta voimme löytää sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen.

Harkitse esimerkiksi järjestystä ,

Voimme löytää sekvenssin jäsenten arvot järjestyksessä, alkaen kolmannesta:

Toisin sanoen joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen jäsenen arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä sekvensointitapaa kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.

Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on numeerisen sekvenssin yksinkertainen erikoistapaus.

Aritmeettinen progressio kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisätty samalla numerolla.

Numeroon soitetaan aritmeettisen progression ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.

Esimerkiksi 2; 5; kahdeksan; yksitoista;...

Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on hiipumassa.

Esimerkiksi 2; -yksi; -4; -7;...

Jos , Kaikki etenemisen jäsenet ovat yhtä suuret, ja eteneminen on paikallaan.

Esimerkiksi 2;2;2;2;...

Aritmeettisen progression pääominaisuus:

Katsotaanpa kuvaa.

Näemme sen

, ja samaan aikaan

Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:

Jaa yhtälön molemmat puolet kahdella:

Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettinen keskiarvo:

Lisäksi koska

, ja samaan aikaan

, sitten

, ja siten

Jokainen aritmeettisen progression jäsen alkaa otsikko="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

jäsenkaava.

Näemme, että aritmeettisen progression jäsenille seuraavat suhteet pätevät:

ja lopuksi

Saimme n:nnen termin kaava.

TÄRKEÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista termeillä ja . Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen jäsenistä.

Aritmeettisen progression n jäsenen summa.

Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä tasavälein olevien termien summat ovat yhtä suuret:

Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n jäsentä. Olkoon tämän etenemisen n jäsenten summa yhtä suuri kuin .

Järjestä etenemisen ehdot ensin nousevaan numerojärjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:

Yhdistetään pariksi:

Suluissa oleva summa on , parien lukumäärä on n.

Saamme:

Niin, aritmeettisen progression n jäsenen summa voidaan löytää kaavoilla:

Harkitse aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.

1 . Järjestys saadaan n:nnen termin kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.

Osoittakaamme, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.

Olemme saaneet, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen ero ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.

2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...

a) Etsi etenemisen 31 termiä.

b) Päätä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.

a) Näemme sen;

Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.

Yleisesti

Meidän tapauksessamme , Siksi

Aritmeettinen ja geometrinen progressio

Teoreettista tietoa

Teoreettista tietoa

	Aritmeettinen progressio	Geometrinen eteneminen
Määritelmä	Aritmeettinen progressio a n kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, samalla numerolla lisätty jäsen d (d- etenemisero)	geometrinen eteneminen b n kutsutaan nollasta poikkeavien lukujen sarjaa, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla luvulla q (q- etenemisen nimittäjä)
Toistuva kaava	Kaikille luonnollisille n a n + 1 = a n + d	Kaikille luonnollisille n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n:nnen termin kaava	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
tyypillinen ominaisuus
Ensimmäisen n ehdon summa

Esimerkkejä tehtävistä kommentein

Harjoitus 1

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 1 = -6, a 2

N:nnen termin kaavan mukaan:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21p

Ehdon mukaan:

a 1= -6, niin a 22= -6 + 21p.

On tarpeen löytää etenemisero:

d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Vastaus: a 22 = -48.

Tehtävä 2

Etsi geometrisen progression viides termi: -3; 6;...

1. tapa (käyttäen n-termin kaavaa)

Geometrisen progression n:nnen jäsenen kaavan mukaan:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Kuten b 1 = -3,

2. tapa (käyttämällä rekursiivista kaavaa)

Koska etenemisen nimittäjä on -2 (q = -2), niin:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Vastaus: b 5 = -48.

Tehtävä 3

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Etsi tämän etenemisen seitsemänkymmentäviides termi.

Aritmeettiselle progressiolle ominaisella ominaisuudella on muoto .

Siksi:

Korvaa tiedot kaavassa:

Vastaus: 95.

Tehtävä 4

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a n= 3n - 4. Laske ensimmäisen seitsemäntoista termin summa.

Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summan löytämiseksi käytetään kahta kaavaa:

Kumpaa niistä on kätevämpi soveltaa tässä tapauksessa?

Ehdolla tunnetaan alkuperäisen etenemisen n:nnen jäsenen kaava ( a n) a n= 3n - 4. Löytyy heti ja a 1, ja a 16 löytämättä d . Siksi käytämme ensimmäistä kaavaa.

Vastaus: 368.

Tehtävä 5

Aritmeettisessa progressiossa a n) a 1 = -6; a 2= -8. Etsi etenemisen 22. termi.

N:nnen termin kaavan mukaan:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21p.

Ehdolla, jos a 1= -6 siis a 22= -6 + 21p. On tarpeen löytää etenemisero:

d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Vastaus: a 22 = -48.

Tehtävä 6

Useita peräkkäisiä geometrisen progression termejä tallennetaan:

Etsi etenemisen termi, joka on merkitty kirjaimella x .

Ratkaisussa käytämme n:nnen termin kaavaa b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrisia progressioita varten. Progression ensimmäinen jäsen. Löytääksesi etenemisen q nimittäjä, sinun on otettava mikä tahansa näistä etenemisen ehdoista ja jaettava edellisellä. Esimerkissämme voit ottaa ja jakaa. Saadaan, että q \u003d 3. Korvataan n:n sijasta kaavassa 3, koska on tarpeen löytää tietyn geometrisen progression kolmas termi.

Korvaamalla löydetyt arvot kaavaan, saamme:

Vastaus:.

Tehtävä 7

Valitse n:nnen termin kaavan antamista aritmeettisista progressioista se, jonka ehto täyttyy a 27 > 9:

Koska määritellyn ehdon on täytyttävä etenemisen 27. termillä, korvaamme 27:n n:n sijaan kussakin neljässä etenemisessä. Neljännessä vaiheessa saamme:

Vastaus: 4.

Tehtävä 8

Aritmeettisessa progressiossa a 1= 3, d = -1,5. Määritä n:n suurin arvo, jolle epäyhtälö pätee a n > -6.

Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)

Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel- tai etenemisero.

Näin ollen asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

Aritmeettisen progression ominaisuudet

1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tällä väitteellä on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön mielenkiintoista on löytää k:nnestä luvusta alkavan aritmeettisen progression n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa

Tähän teoreettinen materiaali päättyy ja siirrytään käytännössä yleisten ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression 4;7;...

Päätös:

Tilanteen mukaan meillä on

Määritä etenemisvaihe

Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Esimerkki2. Aritmeettisen progression antaa sen kolmas ja seitsemäs jäsen. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Päätös:

Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan

Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi

Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa

Ilman monimutkaisia laskelmia löysimme kaikki vaaditut arvot.

Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Päätös:

Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Jakson summa on 250.

Esimerkki 4

Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Päätös:

Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme summan jäsenten lukumäärän

Yksinkertaistusten tekeminen

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

Esimerkki 5

ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron

Ensimmäinen taso

Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkeineen (2019)

Numerosarja

Joten istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme ne). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, mikä niistä on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen viimeiseen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä järjestysnumeroa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten -th luku) on aina sama.
Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin -:nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa joksikin kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokaista tämän sekvenssin jäsentä - sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tällaista numeerista sarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius otti käyttöön termin "eteneminen" jo 6. vuosisadalla, ja se ymmärrettiin laajemmassa merkityksessä loputtomana numerosarjana. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien mittasuhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset harjoittivat.

Tämä on numeerinen sarja, jonka jokainen jäsen on yhtä suuri kuin edellinen, lisätty samalla numerolla. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen etenemisen erotukseksi ja se merkitään.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettisia ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Sain sen? Vertaa vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen jäsenen arvo. Olla olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisluvun edelliseen arvoon, kunnes saavutamme etenemisluvun. On hyvä, että meillä ei ole paljon yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen progression -:s jäsen on yhtä suuri kuin.

2. tapa

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen olisi kestänyt yli tunnin, eikä ole tosiasia, että emme olisi tehneet virheitä numeroiden yhteenlaskemisessa.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso tarkasti piirrettyä kuvaa... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, mikä muodostaa tämän aritmeettisen progression -:nnen jäsenen arvon:

Toisin sanoen:

Yritä itsenäisesti löytää tällä tavalla tämän aritmeettisen progression jäsenen arvo.

Laskettu? Vertaa kirjoituksiasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen progression jäsenet edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava - tuomme sen yleiseen muotoon ja saamme:

Aritmeettinen etenemisyhtälö.

Aritmeettiset progressiot joko kasvavat tai laskevat.

Kasvava- progressiot, joissa jokainen seuraava termien arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Laskeva- progressiot, joissa jokainen seuraava ehtojen arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskennassa sekä aritmeettisen etenemisen kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastellaanpa käytännössä.
Saamme aritmeettisen progression, joka koostuu seuraavista luvuista:

Siitä lähtien:

Näin ollen olimme vakuuttuneita siitä, että kaava toimii sekä laskevassa että kasvattavassa aritmeettisessa etenemisessä.
Yritä löytää tämän aritmeettisen progression -:s ja -:s jäsen itse.

Verrataanpa tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan tehtävää - johdetaan aritmeettisen progression ominaisuus.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Se on helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Olkoon, a, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, lisäämme sen sitten ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta entä jos ehtoon annetaan numeroita? Hyväksy, että laskelmissa on mahdollista tehdä virheitä.
Ajattele nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdessä vaiheessa millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja yritämme tuoda sen esiin nyt.

Merkitään aritmeettisen progression haluttu termi nimellä, tiedämme sen löytämisen kaavan - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, sitten:

etenemisen edellinen jäsen on:
etenemisen seuraava termi on:

Lasketaan yhteen edistymisen edellinen ja seuraava jäsen:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien jäsenten summa on kaksi kertaa niiden välissä olevan etenemisen jäsenen arvo. Toisin sanoen, jotta voidaan löytää progressiojäsenen arvo, jolla on tunnetut aikaisemmat ja peräkkäiset arvot, on tarpeen lisätä ne ja jakaa sillä.

Aivan, meillä on sama numero. Laitetaan materiaali kuntoon. Laske etenemisen arvo itse, sillä se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Jäljelle jää vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss, pääteltiin helposti itselleen ...

Kun Carl Gauss oli 9-vuotias, opettaja, joka oli kiireinen muiden luokkien opiskelijoiden töiden tarkistamisessa, kysyi oppitunnilla seuraavan tehtävän: "Laske kaikkien luonnollisten lukujen summa alkaen (muiden lähteiden mukaan aina) mukaan lukien. " Mikä oli opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan (se oli Karl Gauss) antoi minuutin kuluttua oikean vastauksen tehtävään, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen ...

Nuori Carl Gauss huomasi kuvion, jonka voit helposti huomata.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -ti-jäsenistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen progression annettujen jäsenten summa. Tietysti voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos meidän on löydettävä tehtävästä sen termien summa, kuten Gauss etsi?

Kuvataan meille annettua kehitystä. Katso tarkasti korostettuja lukuja ja yritä suorittaa erilaisia matemaattisia operaatioita niillä.

Yritti? Mitä huomasit? oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Vastaa nyt, kuinka monta tällaista paria tulee olemaan meille annetussa etenemisessä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen etenemisen kahden ehdon summa on yhtä suuri ja samanlaisten yhtäläisten parien summa, saadaan, että kokonaissumma on yhtä suuri:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on:

Joissakin tehtävissä emme tunne th termiä, mutta tiedämme etenemiseron. Yritä korvata summakaavassa th jäsenen kaava.
Mitä sinä sait?

Hyvin tehty! Palataan nyt Carl Gaussille annettuun ongelmaan: laske itse, mikä on -th:stä alkavien lukujen summa ja -th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait?
Gauss osoitti, että termien summa on yhtä suuri ja termien summa. Näinkö päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus todisti aritmeettisen progression jäsenten summan kaavan jo 300-luvulla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät aritmeettisen progression ominaisuuksia voimalla.
Kuvittele esimerkiksi Muinainen Egypti ja tuon ajan suurin rakennustyömaa - pyramidin rakentaminen... Kuvassa näkyy sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanot? Katso tarkkaan ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä jokaisella pyramidiseinän rivillä.

Miksei aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos alustaan laitetaan tiiliä. Toivottavasti et laske liikuttamalla sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta progressiosta?

Tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä:
Aritmeettinen etenemisero.
Aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laskemme lohkojen lukumäärän kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit myös laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen määrään. Oliko se samaa mieltä? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen progression th termien summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan tämän ehdon mukaisen seinän rakentamiseen.
onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Treenata

Tehtävät:

Masha kuntoutuu kesää varten. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha kyykky viikkojen aikana, jos hän teki kyykkyn ensimmäisessä harjoituksessa.
Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
Tukkeja varastoitaessa metsuri pinoaa ne siten, että jokaisessa pintakerroksessa on yksi tukki vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos muurauksen pohja on hirsiä.

Vastaukset:

Määritellään aritmeettisen etenemisen parametrit. Tässä tapauksessa
(viikot = päivät).
Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi kyykkyä kerran päivässä.
Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
Aritmeettinen etenemisero.
Parittomien lukujen määrä puolikkaassa, mutta tarkista tämä tosiasia käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression -:nnen jäsenen löytämiseksi:
Numerot sisältävät parittomat numerot.
Korvaamme saatavilla olevat tiedot kaavaan:
Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.
Muista pyramideihin liittyvä ongelma. Meidän tapauksessamme a , koska jokaista päällimmäistä kerrosta pienennetään yhdellä tukilla, kerroksia on vain joukko, toisin sanoen.
Korvaa tiedot kaavassa:
Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Yhteenvetona

- numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se lisääntyy ja vähenee.
Kaavan löytäminen Aritmeettisen jakson jäsen kirjoitetaan kaavalla - , jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä - etenemisen numeroiden lukumäärä.
Aritmeettisen progression jäsenten summa löytyy kahdella tavalla:

, missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYS. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voit aina kertoa, mikä niistä on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja vain yhteen. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin -:nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa joksikin kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokaista tämän sekvenssin jäsentä - sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

On erittäin kätevää, jos sekvenssin -:s jäsen voidaan antaa jollain kaavalla. Esimerkiksi kaava

asettaa järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja erotus). Tai (, ero).

n:nnen termin kaava

Kutsumme toistuvaksi kaavaa, jossa -:nnen termin selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aikaisempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen :nnen termin tällaisella kaavalla, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Esimerkiksi anna. Sitten:

No, nyt on selvää, mikä kaava on?

Jokaisella rivillä lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Minkä vuoksi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon mukavampaa nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Päätös:

Ensimmäinen jäsen on tasa-arvoinen. Ja mitä eroa on? Ja tässä mitä:

(se on loppujen lopuksi nimeltään ero, koska se on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten jäsenten ero).

Joten kaava on:

Sitten sadas termi on:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan suuri matemaatikko Carl Gauss 9-vuotiaana poikana laski tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja toiseksi viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria on? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle on:

Esimerkki:
Etsi kaikkien kaksinumeroisten kerrannaisten summa.

Päätös:

Ensimmäinen tällainen numero on tämä. Jokainen seuraava saadaan lisäämällä numero edelliseen. Siten meitä kiinnostavat luvut muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja erotuksen kanssa.

Tämän etenemisen :nnen termin kaava on:

Kuinka monta termiä on etenemässä, jos niiden kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Etenemisen viimeinen termi on yhtä suuri. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

Urheilija juoksee joka päivä 1 metrin enemmän kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän maileja kuin edellinen. Ensimmäisenä päivänä hän matkusti km. Kuinka monta päivää hänen täytyy ajaa kilometriä varten? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkan viimeisenä päivänä?
Jääkaapin hintaa myymälässä alennetaan joka vuosi saman verran. Määritä, kuinka paljon jääkaapin hinta laski joka vuosi, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten ehtojen summa:
.
Vastaus:
Tässä se annetaan:, se on löydettävä.
Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
.
Korvaa arvot:
Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus.
Lasketaan viimeisen päivän aikana kuljettu matka -:nnen jäsenen kaavalla:
(km).
Vastaus:
Annettu: . Löytää: .
Se ei helpota:
(hieroa).
Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Tämä on numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen progressio kasvaa () ja laskee ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen jäsenen löytämiseksi

kirjoitetaan kaavana, jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla on helppo löytää etenemisen jäsen, jos sen naapurijäsenet tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Tai aritmetiikka - tämä on eräänlainen järjestetty numeerinen sekvenssi, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulun algebran kurssilla. Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti kysymystä aritmeettisen progression summan löytämisestä.

Mikä tämä eteneminen on?

Ennen kuin siirryt kysymyksen (miten löytää aritmeettisen progression summa) tarkastelemiseen, on syytä ymmärtää, mistä keskustellaan.

Mitä tahansa reaalilukujen sarjaa, joka saadaan lisäämällä (vähentämällä) jokin arvo jokaisesta edellisestä luvusta, kutsutaan algebralliseksi (aritmeettiseksi) progressioksi. Tämä matematiikan kielelle käännetty määritelmä saa muotonsa:

Tässä i on sarjan a i alkion järjestysnumero. Näin ollen, kun tiedät vain yhden alkunumeron, voit helposti palauttaa koko sarjan. Kaavan parametria d kutsutaan etenemiseroksi.

Voidaan helposti osoittaa, että tarkasteltavalle lukusarjalle pätee seuraava yhtäläisyys:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Eli saadaksesi n:nnen elementin arvon järjestyksessä, lisää ero d ensimmäiseen elementtiin a 1 n-1 kertaa.

Mikä on aritmeettisen progression summa: kaava

Ennen kuin annat ilmoitetun määrän kaavan, on syytä harkita yksinkertaista erikoistapausta. Kun otetaan huomioon luonnollisten lukujen eteneminen 1:stä 10:een, sinun on löydettävä niiden summa. Koska etenemisessä (10) on vähän termejä, on mahdollista ratkaista ongelma suoraan, eli summata kaikki elementit järjestyksessä.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

On syytä harkita yhtä mielenkiintoista asiaa: koska jokainen termi eroaa seuraavasta samalla arvolla d \u003d 1, niin ensimmäisen parillinen summaus kymmenennellä, toinen yhdeksännellä ja niin edelleen antaa saman tuloksen . Todella:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kuten näette, näitä summia on vain 5, eli tasan kaksi kertaa vähemmän kuin sarjan elementtien lukumäärä. Sitten kertomalla summien lukumäärä (5) kunkin summan (11) tuloksella, pääset ensimmäisessä esimerkissä saatuun tulokseen.

Jos yleistämme nämä argumentit, voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Tämä lauseke osoittaa, että rivin kaikkia elementtejä ei tarvitse laskea yhteen, riittää kun tietää ensimmäisen a 1:n ja viimeisen a n:n arvo sekä termien kokonaismäärä n.

Uskotaan, että Gauss ajatteli ensimmäisen kerran tätä yhtäläisyyttä etsiessään ratkaisua koulun opettajansa asettamaan ongelmaan: laskea yhteen ensimmäiset 100 kokonaislukua.

Alkioiden summa m:stä n:ään: kaava

Edellisessä kappaleessa annettu kaava vastaa kysymykseen, kuinka aritmeettisen progression (ensimmäisten alkioiden) summa saadaan selville, mutta usein tehtävissä joudutaan summaamaan numerosarja etenemisen keskellä. Kuinka tehdä se?

Helpoin tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastella seuraavaa esimerkkiä: olkoon tarpeen löytää termien summa m:nnestä n:nneen. Ongelman ratkaisemiseksi jokin etenemisen segmentti m:stä n:ään tulee esittää uutena lukusarjana. Tässä esityksessä m:s termi a m on ensimmäinen, ja a n on numeroitu n-(m-1). Tässä tapauksessa summan vakiokaavaa käyttämällä saadaan seuraava lauseke:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esimerkki kaavojen käytöstä

Tietäen kuinka löytää aritmeettisen progression summa, kannattaa harkita yksinkertaista esimerkkiä yllä olevien kaavojen käytöstä.

Alla on numeerinen sekvenssi, jonka jäsenten summa alkaa 5:stä ja päättyy 12:een:

Annetut numerot osoittavat, että ero d on yhtä suuri kuin 3. Käyttämällä n:nnen elementin lauseketta voit löytää etenemisen 5. ja 12. jäsenen arvot. Siitä käy ilmi:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Kun tiedät tarkasteltavan algebrallisen etenemisen päissä olevien lukujen arvot ja tiedät myös, mitä numeroita sarjassa ne vievät, voit käyttää edellisessä kappaleessa saadun summan kaavaa. Saada:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

On syytä huomata, että tämä arvo voidaan saada eri tavalla: etsi ensin 12 ensimmäisen elementin summa vakiokaavalla, laske sitten neljän ensimmäisen elementin summa samalla kaavalla ja vähennä sitten toinen ensimmäisestä summasta .