Jakaus

Kaavat toisen asteen yhtälöiden pelkistämiseen. Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen. Neliöyhtälön ratkaiseminen

Kopjevskajan maaseutukoulu

10 tapaa ratkaista toisen asteen yhtälöitä

Pää: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matematiikan opettaja

kylä Kopevo, 2007

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Neliöyhtälöt muinaisessa Babylonissa

1.2 Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä

1.3 Toisen asteen yhtälöt Intiassa

1.4 Al-Khorezmin toisen asteen yhtälöt

1.5 Neliöyhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisatoja

1.6 Tietoja Vietan lauseesta

2. Neliöyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Neliöyhtälöt muinaisessa Babylonissa

Tarve ratkaista ei vain ensimmäisen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä jo muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista ongelmia, jotka liittyvät maa-alueiden löytämiseen ja sotilaallisiin kaivaustöihin. kuten itse tähtitieteen ja matematiikan kehitys. Neliöyhtälöt voitiin ratkaista noin 2000 eaa. e. babylonialaiset.

Nykyaikaista algebrallista merkintää käyttämällä voimme sanoa, että heidän nuolenkirjoitusteksteissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Näiden yhtälöiden ratkaisemisen sääntö, joka on esitetty babylonialaisissa teksteissä, on olennaisesti sama kuin nykyaikainen, mutta ei tiedetä, kuinka babylonialaiset päätyivät tähän sääntöön. Lähes kaikki tähän mennessä löydetyt nuolenkirjoitustekstit sisältävät vain ongelmia reseptien muodossa laadittujen ratkaisujen kanssa, ilman viitteitä siitä, miten ne on löydetty.

Huolimatta algebran korkeasta kehitystasosta Babylonissa, nuolenkielisistä teksteistä puuttuu käsite negatiivisesta luvusta ja yleisistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1.2 Kuinka Diophantus laati ja ratkaisi toisen asteen yhtälöitä.

Diophantuksen aritmetiikka ei sisällä algebran systemaattista esitystä, mutta se sisältää systemaattisen sarjan tehtäviä, joihin liittyy selityksiä ja jotka ratkaistaan rakentamalla eriasteisia yhtälöitä.

Yhtälöitä laatiessaan Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomia ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Ongelma 11."Etsi kaksi numeroa tietäen, että niiden summa on 20 ja tulo on 96"

Diophantus perustelee seuraavasti: tehtävän ehdoista seuraa, että vaaditut luvut eivät ole yhtä suuret, koska jos ne olisivat yhtä suuret, niiden tulo ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä on suurempi kuin puolet summastaan, eli . 10 + x, toinen on pienempi, ts. 10-luvulla. Niiden välinen ero 2x.

Siksi yhtälö:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Täältä x = 2. Yksi vaadituista luvuista on yhtä suuri kuin 12 , muu 8 . Ratkaisu x = -2 sillä Diofantosta ei ole olemassa, koska kreikkalainen matematiikka tunsi vain positiivisia lukuja.

Jos ratkaisemme tämän ongelman valitsemalla yhden vaadituista luvuista tuntemattomaksi, niin pääsemme ratkaisuun yhtälöön

y(20 - y) = 96,

v 2 - 20 v + 96 = 0. (2)

On selvää, että valitsemalla tarvittavien lukujen erotuksen puolikkaan tuntemattomaksi, Diophantus yksinkertaistaa ratkaisua; hän onnistuu pelkistämään ongelman ratkaisemaan epätäydellisen toisen asteen yhtälön (1).

1.3 Neliöyhtälöt Intiassa

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

Yhtälössä (1) kertoimet, paitsi A, voi olla myös negatiivinen. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän.

Muinaisessa Intiassa julkiset kilpailut vaikeiden ongelmien ratkaisemiseksi olivat yleisiä. Eräässä vanhoista intialaisista kirjoista sanotaan tällaisista kilpailuista seuraavaa: ”Kuten aurinko loistaa loistollaan tähdet, niin oppinut mies loistaa toisen kunnian julkisissa kokouksissa ehdottaen ja ratkaiseen algebrallisia ongelmia.” Ongelmat esitettiin usein runollisessa muodossa.

Tämä on yksi kuuluisan intialaisen 1100-luvun matemaatikon ongelmista. Bhaskarit.

Ongelma 13.

"Parvi röyhkeitä apinoita ja kaksitoista viiniköynnösten varrella...

Viranomaisilla oli syötyään hauskaa. He alkoivat hypätä, roikkua...

Ne ovat aukiolla, osa kahdeksan. Kuinka monta apinaa siellä oli?

Viihdyin aukiolla. Kerro tässä paketissa?

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että hän tiesi, että toisen asteen yhtälöiden juuret ovat kaksiarvoisia (kuva 3).

Tehtävää 13 vastaava yhtälö on:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjoittaa varjolla:

x 2 - 64x = -768

ja täydentääksesi tämän yhtälön vasemman puolen neliöön, lisää molemmille puolille 32 2 , niin saat:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Toisen asteen yhtälöt al - Khorezmi

Al-Khorezmin algebrallisessa tutkielmassa on annettu lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden luokitus. Kirjoittaja laskee 6 tyyppistä yhtälöä ja ilmaisee ne seuraavasti:

1) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin juuria", ts. ax 2 + c =bX.

2) "Neliöt ovat yhtä suuria kuin numerot", ts. ax 2 = c.

3) "Juurit ovat yhtä suuria kuin luku", ts. ah = s.

4) "Neliöt ja luvut ovat yhtä suuria kuin juuria", ts. ax 2 + c =bX.

5) "Neliöt ja juuret ovat yhtä suuria kuin numerot", ts. ah 2+bx= s.

6) "Juuret ja luvut ovat yhtä suuria kuin neliöitä", ts.bx+ c = ax 2 .

Al-Khorezmille, joka vältti negatiivisten lukujen käyttöä, kunkin yhtälön ehdot ovat yhteenlaskuja eivätkä vähennyskelpoisia. Tässä tapauksessa yhtälöitä, joilla ei ole positiivisia ratkaisuja, ei tietenkään oteta huomioon. Kirjoittaja esittää menetelmiä näiden yhtälöiden ratkaisemiseksi al-jabrin ja al-muqabalan tekniikoilla. Hänen päätöksensä eivät tietenkään ole täysin samat kuin meidän. Puhumattakaan siitä, että se on puhtaasti retorinen, on huomioitava esimerkiksi, että kun ratkaistaan ensimmäisen tyypin epätäydellistä toisen tyyppistä yhtälöä

al-Khorezmi, kuten kaikki matemaatikot ennen 1600-lukua, ei ota huomioon nollaratkaisua, luultavasti koska sillä ei ole erityisissä käytännön ongelmissa merkitystä. Ratkaiseessaan täydellisiä toisen asteen yhtälöitä al-Khorezmi esittää säännöt niiden ratkaisemiseksi käyttämällä erityisiä numeerisia esimerkkejä ja sitten geometrisia todisteita.

Ongelma 14."Neliö ja luku 21 ovat 10 juuria. Etsi juuri" (mikä tarkoittaa yhtälön juurta x 2 + 21 = 10x).

Tekijän ratkaisu menee suunnilleen näin: jaa juurten määrä puoliksi, saat 5, kerro 5 itsellään, vähennä tulosta 21, jäljelle jää 4. Ota juuri 4:stä, saat 2. Vähennä 2 viidestä , saat 3, tämä on haluttu juuri. Tai lisää 2 viiteen, mikä antaa 7, tämä on myös juuri.

Al-Khorezmin tutkielma on ensimmäinen meille saapunut kirja, jossa esitetään systemaattisesti toisen asteen yhtälöiden luokittelu ja annetaan kaavoja niiden ratkaisemiseksi.

1.5 Toisen asteen yhtälöt EuroopassaXIII - XVIIbb

Kaavat al-Khwarizmin kaltaisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Euroopassa esitettiin ensimmäisen kerran Abacus-kirjassa, jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Tämä laaja teos, joka heijastaa matematiikan vaikutusta sekä islamin maista että antiikin Kreikasta, erottuu sen täydellisyydestä ja esityksen selkeydestä. Kirjoittaja kehitti itsenäisesti uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja lähestyi ensimmäisenä Euroopassa negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tiedon leviämistä ei vain Italiassa, vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monia Abacus-kirjan ongelmia käytettiin lähes kaikissa 1500-1600-luvun eurooppalaisissa oppikirjoissa. ja osittain XVIII.

Yleinen sääntö toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseksi muotoksi:

x 2+bx= c,

kaikille mahdollisille kerroinmerkkien yhdistelmille b, Kanssa M. Stiefel muotoili Euroopassa vasta vuonna 1544.

Kaavan johdanto toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi yleisessä muodossa on saatavilla Vièteltä, mutta Viète tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisten joukossa 1500-luvulla. Positiivisten lisäksi huomioidaan myös negatiiviset juuret. Vasta 1700-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työn ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä saa nykyaikaisen muodon.

1.6 Tietoja Vietan lauseesta

Lauseen, joka ilmaisee toisen asteen yhtälön kertoimien ja sen juurien välistä suhdetta Vietan mukaan, hän muotoili ensimmäisen kerran vuonna 1591 seuraavasti: "Jos B + D, kerrottuna A - A 2 , on yhtä suuri BD, Tuo A on yhtä suuri SISÄÄN ja tasa-arvoinen D».

Ymmärtääksemme Vietaa meidän tulee muistaa se A, kuten mikä tahansa vokaalikirjain, tarkoitti tuntematonta (meidän X), vokaalit SISÄÄN,D- tuntemattoman kertoimet. Modernin algebran kielellä yllä oleva Vieta-formulaatio tarkoittaa: jos on

(+b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Ilmaisemalla yhtälöiden juurien ja kertoimien välisen suhteen symboleilla kirjoitetuilla yleisillä kaavoilla Viète totesi yhtälöiden ratkaisumenetelmien yhdenmukaisuuden. Vietin symboliikka on kuitenkin vielä kaukana modernista muodostaan. Hän ei tunnistanut negatiivisia lukuja ja siksi hän otti yhtälöitä ratkaiseessaan huomioon vain tapaukset, joissa kaikki juuret olivat positiivisia.

2. Toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Neliöyhtälöt ovat perusta, jolla algebran majesteettinen rakennus lepää. Neliöyhtälöitä käytetään laajalti trigonometristen, eksponentiaalisten, logaritmien, irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Me kaikki tiedämme kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä koulusta (8. luokka) valmistumiseen asti.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Kunnan budjettioppilaitoksen lukio nro 11

Teoksen teksti on julkaistu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

Toisen asteen yhtälöiden historia

Babylon

Tarve ratkaista ei vain ensimmäisen asteen, vaan myös toisen asteen yhtälöitä muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista tonttien alueiden löytämiseen liittyviä ongelmia itse tähtitieteen ja matematiikan kehityksen kanssa. Neliöyhtälöt voitiin ratkaista noin 2000 eaa. e. babylonialaiset. Babylonilaisissa teksteissä esitetyt näiden yhtälöiden ratkaisusäännöt ovat olennaisesti samat kuin nykyaikaisissa, mutta näistä teksteistä puuttuu negatiivisen luvun käsite ja yleiset menetelmät toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Muinainen Kreikka

Muinaisessa Kreikassa tutkijat, kuten Diophantus, Euclid ja Heron, työskentelivät myös toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Diophantus Diophantus Aleksandrialainen on muinainen kreikkalainen matemaatikko, joka oletettavasti eli 3. vuosisadalla jKr. Diophantuksen pääteos on "Aritmetiikka" 13 kirjassa. Euclid. Euclid on antiikin kreikkalainen matemaatikko, ensimmäisen meille tulleen matematiikan teoreettisen tutkielman kirjoittaja, Heron. Heron - kreikkalainen matemaatikko ja insinööri ensimmäinen Kreikassa 1. vuosisadalla jKr. antaa puhtaasti algebrallisen tavan ratkaista toisen asteen yhtälö

Intia

Neliöyhtälöitä koskevia ongelmia löytyy jo intialaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Aryabhattan vuonna 499 laatimasta tähtitieteellisestä tutkielmasta "Aryabhattiam". Toinen intialainen tiedemies, Brahmagupta (VII vuosisata), hahmotteli yleisen säännön yhdelle kanoniselle muotoon pelkistettyjen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Yhtälössä (1) kertoimet voivat olla negatiivisia. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meidän. Julkiset kilpailut vaikeiden ongelmien ratkaisemiseksi olivat yleisiä Intiassa. Eräässä vanhoista intialaisista kirjoista sanotaan tällaisista kilpailuista seuraavaa: "Kuten aurinko loistaa loistollaan tähdet, niin oppinut mies ylittää kunniansa julkisissa kokouksissa ehdottamalla ja ratkaisemalla algebrallisia ongelmia." Ongelmat esitettiin usein runollisessa muodossa.

Tämä on yksi kuuluisan intialaisen 1100-luvun matemaatikon ongelmista. Bhaskarit.

"Lauma piristäviä apinoita

Ja kaksitoista viiniköynnösten varrella, syötyäni sydämeni kyllyydestä, piti hauskaa

He alkoivat hypätä roikkuen

Osa kahdeksan niistä on neliöity

Kuinka monta apinaa siellä oli?

Viihdyin aukiolla

Kerro tässä paketissa?

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että kirjoittaja tiesi, että toisen asteen yhtälöiden juuret ovat kaksiarvoisia. Bhaskar kirjoittaa ongelmaa vastaavan yhtälön muodossa x2 - 64x = - 768 ja täydentääkseen tämän yhtälön vasemman puolen neliöön, lisää molemmille puolille 322, jolloin saadaan: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Neliöyhtälöt 1600-luvun Euroopassa

Al-Khorezmin mukaan Euroopassa mallinnetut toisen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat esitettiin ensimmäisen kerran Abacus-kirjassa, jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Tämä laaja teos, joka heijastaa matematiikan vaikutusta sekä islamin maista että antiikin Kreikasta, erottuu sen täydellisyydestä ja esityksen selkeydestä. Kirjoittaja kehitti itsenäisesti uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja lähestyi ensimmäisenä Euroopassa negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa edisti algebrallisen tiedon leviämistä ei vain Italiassa, vaan myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monia Abacus-kirjan ongelmia käytettiin lähes kaikissa 1500-1600-luvun eurooppalaisissa oppikirjoissa. ja osittain XVIII. Kaavan johdanto toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi yleisessä muodossa on saatavilla Vièteltä, mutta Viète tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisten joukossa 1500-luvulla. Positiivisten lisäksi huomioidaan myös negatiiviset juuret. Vasta 1700-luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työn ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä saa nykyaikaisen muodon.

Neliöyhtälön määritelmä

Yhtälöä, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, jossa a, b, c ovat lukuja, kutsutaan toisen asteen yhtälöksi.

Neliöyhtälön kertoimet

Numerot a, b, c ovat neliöyhtälön kertoimet (ennen x²), a ≠ 0 on toinen kerroin (ennen x).

Mitkä näistä yhtälöistä eivät ole toisen asteen yhtälöitä??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x² = 0;13. 5x³ +6x -8 = 0.

Toisen asteen yhtälöiden tyypit

Nimi	Yhtälön yleinen muoto	Ominaisuus (mitkä ovat kertoimet)	Esimerkkejä yhtälöistä
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - muut numerot kuin 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Epätäydellinen

			x 2 - 1/5x = 0
Annettu	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Pelkistetty on toisen asteen yhtälö, jonka johtava kerroin on yhtä suuri kuin yksi. Tällainen yhtälö voidaan saada jakamalla koko lauseke johtavalla kertoimella a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Neliöyhtälöä kutsutaan täydelliseksi, jos kaikki sen kertoimet eivät ole nollia.

Neliöyhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi, jossa ainakin yksi kertoimista, paitsi johtava (joko toinen kerroin tai vapaa termi), on yhtä suuri kuin nolla.

Menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Menetelmä I Yleinen kaava juurien laskemiseen

Etsiä toisen asteen yhtälön juuret kirves 2 + b + c = 0 Yleensä sinun tulee käyttää alla olevaa algoritmia:

Laske toisen asteen yhtälön diskriminantin arvo: tämä on sen lauseke D= b 2 - 4ac

Kaavan johtaminen:

Huomautus: On selvää, että monikertaisuuden 2 juuren kaava on yleisen kaavan erikoistapaus, joka saadaan korvaamalla siihen yhtälö D=0 ja päätelmä todellisten juurien puuttumisesta kohdassa D0, ja (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Esitetty menetelmä on universaali, mutta se ei ole kaukana ainoasta. Yhden yhtälön ratkaisemista voidaan lähestyä useilla tavoilla, mieltymykset riippuvat yleensä ratkaisijasta. Lisäksi usein tähän tarkoitukseen jotkut menetelmät osoittautuvat paljon tyylikkäämmiksi, yksinkertaisemmiksi ja vähemmän työvoimavaltaisiksi kuin tavallinen.

II menetelmä. Parillisen kertoimen omaavan toisen asteen yhtälön juuret b III menetelmä. Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

IV menetelmä. Käyttäen kertoimien osittaissuhteita

On olemassa erityistapauksia toisen asteen yhtälöistä, joissa kertoimet ovat suhteessa toisiinsa, mikä tekee niiden ratkaisemisesta paljon helpompaa.

Neliöyhtälön juuret, jossa johtavan kertoimen ja vapaan termin summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin

Jos toisen asteen yhtälössä kirves 2 + bx + c = 0 ensimmäisen kertoimen ja vapaan termin summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin: a+b=c, niin sen juuret ovat -1 ja luku, joka on vastakkainen vapaan termin ja johtavan kertoimen väliselle suhteelle ( -c/a).

Siksi, ennen kuin ratkaiset toisen asteen yhtälön, sinun tulee tarkistaa mahdollisuus soveltaa tätä lausetta siihen: verrata johtavan kertoimen ja vapaan termin summaa toiseen kertoimeen.

Neliöyhtälön juuret, jonka kaikkien kertoimien summa on nolla

Jos toisen asteen yhtälössä sen kaikkien kertoimien summa on nolla, niin tällaisen yhtälön juuret ovat 1 ja vapaan termin suhde johtavaan kertoimeen ( c/a).

Siksi, ennen kuin ratkaiset yhtälön standardimenetelmillä, sinun tulee tarkistaa tämän lauseen soveltuvuus siihen: laskea yhteen kaikki tämän yhtälön kertoimet ja katso, eikö tämä summa ole nolla.

V-menetelmä. Neliöllisen trinomin kertominen lineaarisiksi tekijöiksi

Jos trinomi on muotoa (näyttötyyli ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) voidaan jotenkin esittää lineaaristen tekijöiden tulona (näyttötyyli (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), niin voimme löytää yhtälön juuret kirves 2 + bx + c = 0- ne ovat -m/k ja n/l, todellakin, loppujen lopuksi (näyttötyyli (kx+m)(lx+n)=0pitkä vasen oikea nuoli kx+m=0 kuppi lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, ja kun ilmoitetut lineaariset yhtälöt on ratkaistu, saadaan yllä oleva. Huomaa, että neliöllinen trinomi ei aina hajoa lineaarisiksi tekijöiksi, joilla on reaalikertoimet: tämä on mahdollista, jos vastaavalla yhtälöllä on reaalijuuret.

Tarkastellaanpa joitain erikoistapauksia

Neliösumman (erotus) kaavan käyttäminen

Jos toisen asteen trinomin muoto on (näyttötyyli (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , niin soveltamalla siihen yllä olevaa kaavaa, voimme laskea sen lineaarisiksi tekijöiksi ja Etsi siis juuret:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Summan (eron) täyden neliön eristäminen

Yllä olevaa kaavaa käytetään myös menetelmällä "valitsee summan (eron) täysi neliö". Suhteessa yllä olevaan toisen asteen yhtälöön, jossa on aiemmin esitelty merkintä, tämä tarkoittaa seuraavaa:

Huomautus: Jos huomaat, tämä kaava on yhteneväinen osiossa "Pennetyn toisen asteen yhtälön juuret" ehdotetun kaavan kanssa, joka puolestaan saadaan yleisestä kaavasta (1) korvaamalla yhtälö a=1. Tämä tosiasia ei ole vain sattuma: kuvattua menetelmää käyttämällä, vaikkakin lisäperusteluin, voidaan johtaa yleinen kaava ja myös todistaa erottimen ominaisuudet.

VI menetelmä. Käyttämällä suoraa ja käänteistä Vieta-lausetta

Vietan suora lause (katso jäljempänä samanniminen kappale) ja sen käänteislause mahdollistavat yllä olevien toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisen suullisesti ilman, että tarvitset melko hankalia laskelmia kaavan (1) avulla.

Käänteisen lauseen mukaan jokainen lukupari (luku) (näyttötyyli x_(1),x_(2))x 1, x 2, joka on ratkaisu alla olevaan yhtälöjärjestelmään, ovat yhtälön juuria

Yleisessä tapauksessa eli pelkistämättömälle toisen asteen yhtälölle ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Suora lause auttaa sinua löytämään numeroita, jotka täyttävät nämä yhtälöt suullisesti. Sen avulla voit määrittää juurien merkit tuntematta itse juuria. Tätä varten sinun tulee noudattaa sääntöä:

1) jos vapaa termi on negatiivinen, niin juurilla on eri etumerkit, ja juurien absoluuttisesti suurimmalla on merkki, joka on vastakkainen yhtälön toisen kertoimen etumerkin kanssa;

2) jos vapaa termi on positiivinen, niin molemmilla juurilla on sama merkki, ja tämä on toisen kertoimen etumerkkiä vastapäätä.

VII menetelmä. Siirtotapa

Niin kutsutun "siirto"-menetelmän avulla voit pelkistämättömien ja redusoitumattomien yhtälöiden ratkaisun pelkistettyjen yhtälöiden muotoon kokonaislukukertoimilla jakamalla ne johtavalla kertoimella kokonaislukukertoimien pelkistettyjen yhtälöiden ratkaisuun. Se on seuraava:

Seuraavaksi yhtälö ratkaistaan suullisesti edellä kuvatulla tavalla, sitten palataan alkuperäiseen muuttujaan ja löydetään yhtälöiden juuret (näyttötyyli y_(1)=ax_(1)) y 1 =kirves 1 Ja y 2 =kirves 2 .(näyttötyyli y_(2)=ax_(2))

Geometrinen merkitys

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli. Neliöyhtälön ratkaisut (juuret) ovat paraabelin ja abskissa-akselin leikkauspisteiden abskissoja. Jos neliöfunktion kuvaama paraabeli ei leikkaa x-akselia, yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Jos paraabeli leikkaa x-akselin yhdessä pisteessä (paraabelin kärjessä), yhtälöllä on yksi reaalijuuri (yhtälöllä sanotaan myös olevan kaksi yhteneväistä juuria). Jos paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä, yhtälöllä on kaksi todellista juuria (katso kuva oikealla).

Jos kerroin (näyttötyyli a) a positiivinen, paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin ja päinvastoin. Jos kerroin (näyttötyyli b) bpositiivinen (jos positiivinen (näyttötyyli a) a, jos negatiivinen, päinvastoin), niin paraabelin kärki on vasemmassa puolitasossa ja päinvastoin.

Toisen asteen yhtälöiden soveltaminen elämässä

Toisen asteen yhtälöä käytetään laajalti. Sitä käytetään monissa laskelmissa, rakenteissa, urheilussa ja myös ympärillämme.

Tarkastellaan ja annetaan joitain esimerkkejä toisen asteen yhtälön soveltamisesta.

Urheilu. Korkeushypyt: hyppääjän nousun aikana käytetään paraabeliin liittyviä laskelmia, jotta saavutetaan mahdollisimman selkeä vaikutus lentoonlähtötankoon ja korkealle lentoon.

Samanlaisia laskelmia tarvitaan myös heitossa. Objektin lentoetäisyys riippuu toisen asteen yhtälöstä.

Tähtitiede. Planeettojen liikerata voidaan selvittää neliöyhtälön avulla.

Lentokoneen lento. Lentokoneen nousu on lennon tärkein osa. Tässä otamme laskelman alhaiselle vastukselle ja lentoonlähdön kiihtyvyydelle.

Neliöyhtälöitä käytetään myös useilla talouden aloilla, audio-, video-, vektori- ja rasterigrafiikkaa käsittelevissä ohjelmissa.

Johtopäätös

Tehdyn työn tuloksena kävi ilmi, että toisen asteen yhtälöt houkuttelivat tiedemiehiä jo muinaisina aikoina. Tarkastellessani erilaisia tapoja ratkaista toisen asteen yhtälöitä, tulin siihen tulokseen, että kaikki eivät ole yksinkertaisia. Mielestäni paras tapa ratkaista toisen asteen yhtälöitä on ratkaista ne kaavoilla. Kaavat on helppo muistaa, tämä menetelmä on universaali. Hypoteesi, että yhtälöitä käytetään laajasti elämässä ja matematiikassa, vahvistettiin. Tutkittuani aihetta sain monia mielenkiintoisia faktoja toisen asteen yhtälöistä, niiden käytöstä, sovelluksista, tyypeistä, ratkaisuista. Ja jatkan mielelläni niiden opiskelua. Toivon, että tämä auttaa minua menestymään kokeissani.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta

Sivuston materiaalit:

Wikipedia

Avoin oppitunti.rf

Perusmatematiikan käsikirja Vygodsky M. Ya.

Toisen asteen toisen asteen algebrallinen yhtälö ja yksi tuntematon, yleisessä muodossa, kirjoitetaan seuraavasti:

Ax 2 + bx + c = 0,

a, b, c ovat tunnettuja kertoimia ja a ≠ 0.
x on tuntematon.

3x 2 + 8x - 5 = 0.

2. Toisen asteen yhtälöiden tyypit

Jakamalla yhtälön molemmat puolet arvolla a, saamme pelkistetty toisen asteen yhtälö:

x 2 + px + q = 0,

p = b/a
q = c/a

Jos jokin kertoimista b, c tai molemmat ovat yhtä aikaa 0, niin toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi.

x 2 +8x-5=0 on täydellinen pelkistetty toisen asteen yhtälö.
3x 2 -5=0 ei ole täydellinen pelkistämätön toisen asteen yhtälö.
x 2 -8x=0 ei ole täydellinen pelkistetty toisen asteen yhtälö.

Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö

X 2 = m

yksinkertaisin ja tärkein, koska minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisu pelkistetään siihen.

Kolme tapausta on mahdollista:

m = 0, x = 0
m > 0, x = ±√‾m
m< 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.

3. Neliöyhtälön ratkaiseminen

Pelkistymättömän täydellisen toisen asteen yhtälön juuret löytyvät kaavasta

x = (-b ± √‾(b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± √‾(1)) / 6

4. Toisen yhtälön juurien ominaisuudet. Syrjivä.

Toisen yhtälön juurten kaavan mukaan tapauksia voi olla kolme, jotka määritellään radikaalilausekkeella (b 2 - 4ac). Sitä kutsutaan syrjivä(syrjittävä).

Merkitsemällä diskriminanttia kirjaimella D, voimme kirjoittaa:

D > 0, yhtälöllä on kaksi erilaista reaalijuurta.
D = 0, yhtälöllä on kaksi yhtä suurta reaalijuurta.
D< 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.

x = (-b ± √‾(b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± √‾(7 2 - 4 × 3 × 4)) / (2 × 3)

x = (7 ± √‾(1)) / 6

5. Elämässä hyödylliset kaavat

Usein on ongelmia tilavuuden muuntamisessa pinta-alaksi tai pituudeksi ja käänteinen ongelma - pinta-alan muuntaminen tilavuudeksi. Esimerkiksi laudat myydään kuutioina (kuutiometreinä), ja meidän on laskettava kuinka paljon seinäpinta-alaa voidaan peittää tietyssä tilavuudessa olevilla laudoilla, katso.

Toisen asteen yhtälöt. Syrjivä. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Toisen asteen yhtälöiden tyypit

Mikä on toisen asteen yhtälö? Miltä se näyttää? Termillä toisen asteen yhtälö avainsana on "neliö". Tämä tarkoittaa yhtälössä Välttämättä siellä täytyy olla x:n neliö. Sen lisäksi yhtälö voi (tai ei!) sisältää vain X:n (ensimmäiseen potenssiin) ja vain luvun (vapaa jäsen). Ja kahta suuremmalla potenssilla ei saa olla X:ää.

Matemaattisesti neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on:

Tässä a, b ja c- joitain numeroita. b ja c- ehdottomasti mikä tahansa, mutta A- mitä tahansa muuta kuin nolla. Esimerkiksi:

Tässä A =1; b = 3; c = -4

Tässä A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tässä A =-3; b = 6; c = -18

No ymmärrät...

Näissä vasemmalla olevissa toisen asteen yhtälöissä on täysi setti jäsenet. X neliöity kertoimella A, x ensimmäiseen potenssiin kertoimella b Ja vapaa jäsen s.

Tällaisia toisen asteen yhtälöitä kutsutaan koko.

Ja jos b= 0, mitä saamme? Meillä on X häviää ensimmäiselle potenssille. Tämä tapahtuu, kun se kerrotaan nollalla.) Osoittautuu esimerkiksi:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x = 0

Ja niin edelleen. Ja jos molemmat kertoimet b Ja c ovat yhtä kuin nolla, niin se on vielä yksinkertaisempaa:

2 x 2 = 0,

-0,3x2 =0

Sellaisia yhtälöitä, joista jotain puuttuu, kutsutaan epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Mikä on varsin loogista.) Huomaa, että x neliö on läsnä kaikissa yhtälöissä.

Muuten, miksi A ei voi olla yhtä kuin nolla? Ja korvaat sen sijaan A nolla.) X-neliömme katoaa! Yhtälöstä tulee lineaarinen. Ja ratkaisu on täysin erilainen...

Siinä ovat kaikki neliöyhtälöiden päätyypit. Täydellinen ja epätäydellinen.

Neliöyhtälöiden ratkaiseminen.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen.

Neliöyhtälöt on helppo ratkaista. Kaavojen ja selkeiden, yksinkertaisten sääntöjen mukaan. Ensimmäisessä vaiheessa on tarpeen saattaa annettu yhtälö vakiomuotoon, ts. lomakkeeseen:

Jos yhtälö on jo annettu sinulle tässä muodossa, sinun ei tarvitse tehdä ensimmäistä vaihetta.) Tärkeintä on määrittää kaikki kertoimet oikein, A, b Ja c.

Kaava toisen asteen yhtälön juurten löytämiseksi näyttää tältä:

Juurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan syrjivä. Mutta lisää hänestä alla. Kuten näet, käytämme X:n löytämiseen vain a, b ja c. Nuo. kertoimet toisen asteen yhtälöstä. Vaihda arvot huolellisesti a, b ja c Laskemme tämän kaavan mukaan. Korvataan omilla merkeilläsi! Esimerkiksi yhtälössä:

A =1; b = 3; c= -4. Kirjoitamme sen tähän:

Esimerkki on melkein ratkaistu:

Tämä on vastaus.

Kaikki on hyvin yksinkertaista. Ja mitä, luuletko, että on mahdotonta tehdä virhettä? Niin, miten...

Yleisimmät virheet ovat sekaannus merkkiarvoihin a, b ja c. Tai pikemminkin ei niiden merkeillä (missä hämmentyä?), vaan negatiivisten arvojen korvaamisella juurien laskentakaavassa. Tässä auttaa kaavan yksityiskohtainen tallentaminen tietyillä numeroilla. Jos laskennassa on ongelmia, tehdä!

Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava esimerkki:

Tässä a = -6; b = -5; c = -1

Oletetaan, että tiedät, että saat harvoin vastauksia ensimmäisellä kerralla.

No älä ole laiska. Ylimääräisen rivin kirjoittaminen kestää noin 30 sekuntia ja virheiden määrä vähenee jyrkästi. Joten kirjoitamme yksityiskohtaisesti, kaikilla suluilla ja merkeillä:

Tuntuu uskomattoman vaikealta kirjoittaa niin huolellisesti. Mutta siltä se vain näyttää. Kokeile sitä. No, tai valitse. Mikä on parempi, nopea vai oikea? Sitä paitsi minä teen sinut onnelliseksi. Hetken kuluttua kaikkea ei tarvitse kirjoittaa niin huolellisesti. Se selviää itsestään. Varsinkin jos käytät alla kuvattuja käytännön tekniikoita. Tämä paha esimerkki, jossa on joukko miinuksia, voidaan ratkaista helposti ja ilman virheitä!

Mutta usein toisen asteen yhtälöt näyttävät hieman erilaisilta. Esimerkiksi näin:

Tunnistatko sen?) Kyllä! Tämä epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen.

Ne voidaan myös ratkaista yleisellä kaavalla. Sinun on vain ymmärrettävä oikein, mitä ne ovat tässä. a, b ja c.

Oletko keksinyt sen? Ensimmäisessä esimerkissä a = 1; b = -4; A c? Se ei ole siellä ollenkaan! No kyllä, niin on. Matematiikassa tämä tarkoittaa sitä c = 0 ! Siinä kaikki. Korvaa sen sijaan nolla kaavaan c, ja me onnistumme. Sama toisen esimerkin kanssa. Vain meillä ei ole nollaa täällä Kanssa, A b !

Mutta epätäydelliset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista paljon yksinkertaisemmin. Ilman mitään kaavoja. Tarkastellaan ensimmäistä epätäydellistä yhtälöä. Mitä voit tehdä vasemmalla puolella? Voit ottaa X:n pois suluista! Otetaan se pois.

Ja mitä tästä? Ja se, että tulo on nolla, jos ja vain jos jokin tekijöistä on nolla! Etkö usko minua? Okei, keksi sitten kaksi nollasta poikkeavaa lukua, jotka kerrottuna antavat nollan!
Ei toimi? Se siitä...
Siksi voimme luottavaisesti kirjoittaa: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kaikki. Nämä ovat yhtälömme juuret. Molemmat sopivat. Kun jokin niistä korvataan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan oikea identiteetti 0 = 0. Kuten näette, ratkaisu on paljon yksinkertaisempi kuin yleisen kaavan käyttäminen. Haluan muuten huomauttaa, mikä X on ensimmäinen ja mikä toinen - täysin välinpitämätön. On kätevää kirjoittaa järjestyksessä, x 1- mikä on pienempi ja x 2- mikä on suurempi.

Toinen yhtälö voidaan ratkaista myös yksinkertaisesti. Siirrä 9 oikealle puolelle. Saamme:

Jäljelle jää vain poimia juuri 9:stä, ja siinä se. Siitä tulee ilmi:

Myös kaksi juuria . x 1 = -3, x 2 = 3.

Näin kaikki epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ratkaistaan. Joko asettamalla X hakasulkeista tai yksinkertaisesti siirtämällä numeroa oikealle ja irrottamalla sitten juuri.
Näitä tekniikoita on erittäin vaikea sekoittaa. Yksinkertaisesti siksi, että ensimmäisessä tapauksessa sinun on purettava X:n juuri, joka on jotenkin käsittämätön, ja toisessa tapauksessa suluista ei ole mitään poistettavaa...

Syrjivä. Diskriminoiva kaava.

Maaginen sana syrjivä ! Harvoin lukiolainen ei ole kuullut tätä sanaa! Ilmaus "ratkaisemme syrjinnän kautta" herättää luottamusta ja varmuutta. Koska syrjinnältä ei tarvitse odottaa temppuja! Se on yksinkertainen ja vaivaton käyttää.) Muistutan yleisimmästä ratkaisukaavasta minkä tahansa toisen asteen yhtälöt:

Juurimerkin alla olevaa ilmaisua kutsutaan diskriminantiksi. Tyypillisesti erottaja merkitään kirjaimella D. Diskriminoiva kaava:

D = b2 - 4ac

Ja mitä ihmeellistä tässä ilmaisussa on? Miksi se ansaitsi erityisen nimen? Mitä syrjinnän merkitys? Kuitenkin -b, tai 2a tässä kaavassa he eivät nimenomaisesti kutsu sitä millään... Kirjaimet ja kirjaimet.

Tässä on asia. Kun ratkaiset toisen asteen yhtälön tällä kaavalla, se on mahdollista vain kolme tapausta.

1. Diskriminantti on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että juuri voidaan erottaa siitä. Se, onko juuri uutettu hyvin vai huonosti, on toinen kysymys. Tärkeintä on se, mitä periaatteessa saadaan. Sitten toisen asteen yhtälölläsi on kaksi juuria. Kaksi erilaista ratkaisua.

2. Diskriminantti on nolla. Sitten sinulla on yksi ratkaisu. Koska nollan lisääminen tai vähentäminen osoittajassa ei muuta mitään. Tarkkaan ottaen tämä ei ole yksi juuri, vaan kaksi identtistä. Mutta yksinkertaistetussa versiossa on tapana puhua yksi ratkaisu.

3. Diskriminantti on negatiivinen. Negatiivisen luvun neliöjuurta ei voida ottaa. No okei. Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Rehellisesti sanottuna, kun yksinkertaisesti ratkaistaan toisen asteen yhtälöitä, diskriminantin käsitettä ei todellakaan tarvita. Korvaamme kertoimien arvot kaavaan ja laskemme. Kaikki tapahtuu siellä itsestään, kaksi juuria, yksi ja ei yhtään. Kuitenkin, kun ratkaistaan monimutkaisempia tehtäviä, ilman tietoa erottajan merkitys ja kaava ei tarpeeksi. Varsinkin parametrien yhtälöissä. Tällaiset yhtälöt ovat taitolentoa valtiokokeen ja yhtenäisen valtiontutkinnon osalta!)

Niin, kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöt muistamasi diskriminantin kautta. Tai opit, mikä ei myöskään ole huono.) Tiedät kuinka määrittää oikein a, b ja c. Tiedätkö kuinka? tarkkaavaisesti korvaa ne juurikaavassa ja tarkkaavaisesti laske tulos. Ymmärrät, että avainsana tässä on tarkkaavaisesti?

Ota nyt huomioon käytännön tekniikat, jotka vähentävät dramaattisesti virheiden määrää. Samat, jotka johtuvat huolimattomuudesta... Joille siitä tulee myöhemmin tuskallista ja loukkaavaa...

Ensimmäinen tapaaminen . Älä ole laiska ennen kuin ratkaiset toisen asteen yhtälön ja saat sen vakiomuotoon. Mitä tämä tarkoittaa?
Oletetaan, että kaikkien muunnosten jälkeen saat seuraavan yhtälön:

Älä kiirehdi kirjoittamaan juurikaavaa! Todennäköisyydet sekoittuvat melkein varmasti a, b ja c. Rakenna esimerkki oikein. Ensin X neliö, sitten ilman neliötä, sitten vapaa termi. Kuten tämä:

Ja vielä kerran, älä kiirehdi! Miinus X-ruudun edessä voi todella järkyttää sinua. Se on helppo unohtaa... Päästä eroon miinuksesta. Miten? Kyllä, kuten edellisessä aiheessa opetettiin! Meidän on kerrottava koko yhtälö -1:llä. Saamme:

Mutta nyt voit turvallisesti kirjoittaa ylös kaavan juurille, laskea diskriminantin ja lopettaa esimerkin ratkaisun. Päätä itse. Sinulla pitäisi nyt olla juuret 2 ja -1.

Vastaanotto toinen. Tarkista juuret! Vietan lauseen mukaan. Älä pelkää, minä selitän kaiken! Tarkistetaan viimeinen asia yhtälö. Nuo. jota käytimme juurikaavan kirjoittamiseen. Jos (kuten tässä esimerkissä) kerroin a = 1, juurien tarkistaminen on helppoa. Niiden moninkertaistaminen riittää. Tuloksena pitäisi olla ilmainen jäsen, ts. meidän tapauksessamme -2. Huomaa, ei 2, vaan -2! Vapaa jäsen merkkisi kanssa . Jos se ei toimi, se tarkoittaa, että he ovat jo sotkeneet jonnekin. Etsi virhe.

Jos se toimii, sinun on lisättävä juuret. Viimeinen ja viimeinen tarkistus. Kertoimen pitäisi olla b Kanssa vastapäätä tuttua. Meidän tapauksessamme -1+2 = +1. Kerroin b, joka on ennen X:ää, on yhtä suuri kuin -1. Eli kaikki on oikein!
Harmi, että tämä on niin yksinkertaista vain esimerkeissä, joissa x neliö on puhdas, kertoimella a = 1. Mutta tarkista ainakin sellaiset yhtälöt! Virheitä tulee yhä vähemmän.

Vastaanotto kolmas . Jos yhtälössäsi on murtokertoimia, päästä eroon murtoluvuista! Kerro yhtälö yhteisellä nimittäjällä oppitunnissa "Kuinka ratkaistaan yhtälöitä? Identiteettimuunnokset" kuvatulla tavalla. Murtolukujen kanssa työskennellessä virheitä tulee jostain syystä...

Muuten, lupasin yksinkertaistaa pahan esimerkin joukolla miinuksia. Ole kiltti! Täällä hän on.

Jotta miinukset eivät hämmentyisi, kerromme yhtälön -1:llä. Saamme:

Siinä kaikki! Ratkaisu on ilo!

Tehdään siis yhteenveto aiheesta.

Käytännön vinkkejä:

1. Ennen ratkaisemista tuomme toisen asteen yhtälön vakiomuotoon ja rakennamme sen Oikein.

2. Jos X-neliön edessä on negatiivinen kerroin, eliminoidaan se kertomalla koko yhtälö -1:llä.

3. Jos kertoimet ovat murto-osia, eliminoidaan murtoluvut kertomalla koko yhtälö vastaavalla kertoimella.

4. Jos x neliö on puhdas, sen kerroin on yksi, ratkaisu voidaan helposti varmistaa Vietan lauseella. Tee se!

Nyt voimme päättää.)

Ratkaise yhtälöt:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastaukset (sekaisin):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - mikä tahansa numero

x 1 = -3
x 2 = 3

ei ratkaisuja

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sopiiko kaikki? Loistava! Neliöyhtälöt eivät ole päänsärkyäsi. Kolme ensimmäistä toimi, mutta loput eivät? Sitten ongelma ei ole toisen asteen yhtälöissä. Ongelma on identtisissä yhtälöiden muunnoksissa. Katso linkki, se on hyödyllinen.

Ei ihan onnistu? Vai eikö se onnistu ollenkaan? Sitten § 555 auttaa sinua. Kaikki nämä esimerkit on eritelty siellä. Näytetään pää virheitä ratkaisussa. Tietenkin puhumme myös identtisten muunnosten käytöstä erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Auttaa paljon!

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli. Neliöyhtälön ratkaisut (juuret) ovat paraabelin ja x-akselin leikkauspisteitä. Jos neliöfunktion kuvaama paraabeli ei leikkaa x-akselia, yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Jos paraabeli leikkaa x-akselin yhdessä pisteessä (paraabelin kärjessä), yhtälöllä on yksi reaalijuuri (yhtälöllä sanotaan myös olevan kaksi yhteneväistä juuria). Jos paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta.

Jos kerroin A positiivinen, paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin, jos ne ovat negatiivisia, paraabelin oksat on suunnattu alaspäin. Jos kerroin b on positiivinen, niin paraabelin huippu sijaitsee vasemmassa puolitasossa, jos negatiivinen - oikeassa puolitasossa.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi

Kaava toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi voidaan saada seuraavasti:

a x 2+ b x+ c = 0
a x 2+ b x = - c

Kerro yhtälö 4:llä a

4a 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4a 2 x 2 + 4 ab x+ b 2 = -4ac + b 2
(2a x+ b) 2 = b 2 -4ac
2a x+ b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Toisen yhtälön juurten löytäminen

Toissijaisella yhtälöllä, jolla on todelliset kertoimet, voi olla 0-2 reaalijuurta riippuen erottimen D = arvosta b 2 − 4ac:

kun D > 0 on kaksi juuria, ja ne lasketaan kaavalla
kun D = 0, on yksi juuri (kaksi yhtä suurta tai yhteneväistä juuria), kerroin 2: