Menestys 

Kuinka löytää luvun pienin kerrannainen. Kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen, mutta kahdelle tai useammalle numerolle


Alla esitetty materiaali on loogista jatkoa teorialle artikkelista otsikon LCM - pienin yhteinen kerrannainen, määritelmä, esimerkit, LCM:n ja GCD:n välinen suhde. Täällä puhutaan pienimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen, ja kiinnitä erityistä huomiota esimerkkien ratkaisemiseen. Osoitetaan ensin, kuinka kahden luvun LCM lasketaan näiden numeroiden GCD:nä. Harkitse seuraavaksi pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämistä laskemalla luvut alkutekijöiksi. Sen jälkeen keskitymme kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseen ja kiinnitämme huomiota myös negatiivisten lukujen LCM:n laskemiseen.

Sivulla navigointi.

Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta

Yksi tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu LCM:n ja GCD:n väliseen suhteeseen. LCM:n ja GCD:n välinen suhde mahdollistaa kahden positiivisen kokonaisluvun pienimmän yhteisen kerrannaisen laskemisen tunnetun suurimman yhteisen jakajan kautta. Vastaavalla kaavalla on muoto LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Harkitse esimerkkejä LCM:n löytämisestä yllä olevan kaavan mukaan.

Esimerkki.

Etsi kahdesta luvusta 126 ja 70 pienin yhteinen kerrannainen.

Päätös.

Tässä esimerkissä a=126 , b=70 . Käytetään kaavalla ilmaistua LCM:n ja GCD:n välistä suhdetta LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Eli ensin on löydettävä lukujen 70 ja 126 suurin yhteinen jakaja, jonka jälkeen voidaan laskea näiden lukujen LCM kirjoitetun kaavan mukaan.

Etsi gcd(126, 70) käyttämällä Euklidin algoritmia: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , joten gcd(126, 70)=14 .

Nyt löydämme vaaditun pienimmän yhteisen kerrannaisen: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .

Vastaus:

LCM(126, 70) = 630 um.

Esimerkki.

Mikä on LCM(68, 34)?

Päätös.

Kuten 68 on tasan jaollinen luvulla 34, jolloin gcd(68, 34)=34 . Nyt lasketaan pienin yhteinen kerrannainen: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Vastaus:

LCM(68,34)=68.

Huomaa, että edellinen esimerkki sopii seuraavaan sääntöön LCM:n löytämiseksi positiivisille kokonaisluvuille a ja b: jos luku a on jaollinen b:llä, niin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on a .

LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi

Toinen tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu lukujen laskemiseen alkutekijöiksi. Jos teemme näiden lukujen kaikkien alkutekijöiden tulon, jonka jälkeen jätämme tästä tulosta pois kaikki yleiset alkutekijät, jotka esiintyvät näiden lukujen laajennuksissa, niin tuloksena oleva tulo on yhtä suuri kuin näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Ilmoitettu sääntö LCM:n löytämiseksi seuraa tasa-arvosta LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Todellakin, lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksiin osallistuvien tekijöiden tulo. Gcd(a, b) on puolestaan ​​yhtä kuin kaikkien lukujen a ja b laajennuksissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo (joka on kuvattu osiossa gcd:n löytäminen käyttämällä lukujen alkutekijöitä jakamista ).

Otetaan esimerkki. Kerro meille, että 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Laske näiden laajennusten kaikkien tekijöiden tulo: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyt jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat läsnä sekä luvun 75 laajennuksessa että luvun 210 laajennuksessa (sellaiset tekijät ovat 3 ja 5), ​​jolloin tuote saa muotoa 2 3 5 5 7 . Tämän tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen 75 ja 210 pienin yhteinen kerrannainen, eli LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Esimerkki.

Kun olet laskenut luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi, etsi näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Päätös.

Jaetaan luvut 441 ja 700 alkutekijöiksi:

Saamme 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Tehdään nyt tulo kaikista tekijöistä, jotka vaikuttavat näiden lukujen laajentumiseen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätetään tästä tuotteesta pois kaikki tekijät, jotka ovat samanaikaisesti läsnä molemmissa laajennuksissa (tällaista tekijää on vain yksi - tämä on luku 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Täten, LCM(441; 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastaus:

LCM(441; 700) = 44 100.

Sääntö LCM:n löytämiseksi käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi voidaan muotoilla hieman eri tavalla. Jos lisäämme puuttuvat tekijät luvun b laajennuksesta luvun a hajotuksen tekijöihin, niin tuloksena olevan tuotteen arvo on yhtä suuri kuin lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen.

Otetaan esimerkiksi kaikki samat luvut 75 ja 210, niiden laajennukset alkutekijöiksi ovat seuraavat: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Tekijöihin 3, 5 ja 5 luvun 75 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 ja 7 luvun 210 laajennuksesta, saadaan tulo 2 3 5 5 7 , jonka arvo on LCM(75 , 210) .

Esimerkki.

Etsi lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.

Päätös.

Ensin saadaan lukujen 84 ja 648 hajotus alkutekijöiksi. Ne näyttävät tältä 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Tekijöihin 2 , 2 , 3 ja 7 luvun 84 laajennuksesta lisätään puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja 3 luvun 648 laajennuksesta , saadaan tulo 2 2 2 3 3 3 3 7 , joka on yhtä suuri kuin 4 536 . Siten lukujen 84 ja 648 haluttu pienin yhteinen kerrannainen on 4536.

Vastaus:

LCM(84, 648) = 4536.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen

Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen voidaan löytää etsimällä peräkkäin kahden luvun LCM. Muista vastaava lause, joka antaa tavan löytää kolmen tai useamman luvun LCM.

Lause.

Olkoon positiiviset kokonaisluvut a 1 , a 2 , …, a k, näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen m k löytyy peräkkäisestä laskelmasta m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) .

Harkitse tämän lauseen soveltamista esimerkissä, jossa löydetään neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Esimerkki.

Etsi neljän luvun 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Päätös.

Tässä esimerkissä a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Ensin löydämme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Tätä varten määritämme euklidisen algoritmin avulla gcd(140, 9) , meillä on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , joten gcd( 140, 9) = 1 , mistä LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Eli m 2 = 1 260 .

Nyt löydämme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Lasketaan se gcd(1 260, 54) :n avulla, joka myös määräytyy Euklidisen algoritmin avulla: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Sitten gcd(1 260, 54) = 18, josta LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. Eli m 3 \u003d 3 780.

Jäi etsimään m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Tätä varten löydämme GCD(3 780, 250) käyttämällä Euklidin algoritmia: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Siksi gcd(3 780, 250)=10 , josta gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Eli m 4 \u003d 94 500.

Joten alkuperäisen neljän luvun pienin yhteinen kerrannainen on 94 500.

Vastaus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Monissa tapauksissa kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen löydetään kätevästi käyttämällä annettujen lukujen alkutekijöitä. Tässä tapauksessa on noudatettava seuraavaa sääntöä. Usean luvun pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin tulo, joka muodostuu seuraavasti: toisen luvun laajennuksesta puuttuvat tekijät lisätään kaikkiin ensimmäisen luvun laajennuksesta peräisin oleviin tekijöihin, puuttuvat tekijät ensimmäisen luvun laajennuksesta. kolmas luku lisätään saatuihin tekijöihin ja niin edelleen.

Harkitse esimerkkiä pienimmän yhteiskerran löytämisestä käyttämällä lukujen hajottamista alkutekijöiksi.

Esimerkki.

Etsi viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 pienin yhteinen kerrannainen.

Päätös.

Ensin saadaan näiden lukujen laajennukset alkutekijöihin: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 alkutekijät) ja 143=11 13 .

Löytääksesi näiden lukujen LCM, ensimmäisen luvun 84 tekijöihin (ne ovat 2 , 2 , 3 ja 7 ) sinun on lisättävä puuttuvat tekijät toisen luvun 6 laajennuksesta. Luvun 6 laajennus ei sisällä puuttuvia tekijöitä, koska ensimmäisen luvun 84 laajennuksessa ovat jo mukana sekä 2 että 3 . Lisätään tekijöihin 2, 2, 3 ja 7 puuttuvat tekijät 2 ja 2 kolmannen luvun 48 laajennuksesta, saadaan joukko kertoimia 2, 2, 2, 2, 3 ja 7. Tähän joukkoon ei tarvitse lisätä tekijöitä seuraavassa vaiheessa, koska se sisältää jo 7. Lopuksi tekijöihin 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 lisätään puuttuvat tekijät 11 ja 13 luvun 143 laajennuksesta. Saamme tuotteen 2 2 2 2 3 7 11 13, joka on yhtä suuri kuin 48 048.

Suurin yhteinen jakaja ja pienin yhteinen kerrannainen ovat keskeisiä aritmeettisia käsitteitä, joiden avulla voit helposti käyttää tavallisia murtolukuja. LCM ja niitä käytetään useimmiten useiden murtolukujen yhteisen nimittäjän löytämiseen.

Peruskonseptit

Kokonaisluvun X jakaja on toinen kokonaisluku Y, jolla X on jaollinen ilman jäännöstä. Esimerkiksi luvun 4 jakaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Kokonaisluvun X kerrannainen on luku Y, joka on jaollinen X:llä ilman jäännöstä. Esimerkiksi 3 on 15:n kerrannainen ja 6 on 12:n kerrannainen.

Jokaiselle lukuparille voimme löytää niiden yhteiset jakajat ja kerrannaiset. Esimerkiksi 6:lle ja 9:lle yhteinen kerrannainen on 18 ja yhteinen jakaja on 3. On selvää, että pareilla voi olla useita jakajia ja kerrannaisia, joten laskelmissa käytetään GCD:n suurinta jakajaa ja LCM:n pienintä kerrannaista. .

Pienimmällä jakajalla ei ole järkeä, koska mille tahansa numerolle se on aina yksi. Suurin kerrannainen on myös merkityksetön, koska kerrannaisjonoilla on taipumus äärettömään.

GCD:n löytäminen

Suurimman yhteisen jakajan löytämiseen on monia menetelmiä, joista tunnetuimmat ovat:

  • jakajien peräkkäinen luettelointi, yhteisten valitseminen parille ja suurimman etsiminen;
  • lukujen hajottaminen jakamattomiksi tekijöiksi;
  • Eukleideen algoritmi;
  • binäärialgoritmi.

Nykyään oppilaitoksissa suosituimmat menetelmät hajottaa alkutekijöiksi ja euklidinen algoritmi. Jälkimmäistä puolestaan ​​käytetään ratkaisemaan diofantiiniyhtälöitä: GCD-haku vaaditaan, jotta voidaan tarkistaa yhtälön mahdollisuus ratkaista se kokonaislukuina.

NOC:n löytäminen

Pienin yhteinen kerrannainen määräytyy myös täsmällisesti iteratiivisella numeraatiolla tai jakamattomiksi tekijöiksi jakamalla. Lisäksi LCM on helppo löytää, jos suurin jakaja on jo määritetty. Numeroille X ja Y LCM ja GCD liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Esimerkiksi jos gcd(15,18) = 3, niin LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM:n ilmeisin käyttötapa on löytää yhteinen nimittäjä, joka on annettuja murtolukuja.

Koprime-luvut

Jos lukuparilla ei ole yhteisiä jakajia, niin tällaista paria kutsutaan koprimeksi. Tällaisten parien GCM on aina yhtä suuri kuin yksi, ja jakajien ja kerrannaisten yhdistämisen perusteella koprime:n GCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Esimerkiksi luvut 25 ja 28 ovat koprime, koska niillä ei ole yhteisiä jakajia, ja LCM(25, 28) = 700, mikä vastaa niiden tuloa. Mikä tahansa kaksi jakamatonta lukua on aina väliluku.

Yhteinen jakaja ja monilaskin

Laskimellamme voit laskea GCD:n ja LCM:n mille tahansa numeromäärälle. Tehtäviä yhteisten jakajien ja kerrannaisten laskentaan löytyy luokkien 5 ja 6 aritmetiikasta, mutta GCD ja LCM ovat matematiikan avainkäsitteitä ja niitä käytetään lukuteoriassa, planimetriassa ja kommunikatiivisessa algebrassa.

Esimerkkejä tosielämästä

Murtolukujen yhteinen nimittäjä

Pienintä yhteiskertaa käytetään etsittäessä useiden murtolukujen yhteinen nimittäjä. Oletetaan, että aritmeettisessa tehtävässä on summattava 5 murtolukua:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Murtolukujen lisäämiseksi lauseke on vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi, mikä vähentää LCM:n löytämisen ongelmaa. Voit tehdä tämän valitsemalla 5 numeroa laskimessa ja syöttämällä nimittäjän arvot asianmukaisiin soluihin. Ohjelma laskee LCM:n (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nyt sinun on laskettava lisäkertoimet jokaiselle murto-osalle, jotka määritellään LCM:n suhteeksi nimittäjään. Joten ylimääräiset kertoimet näyttäisivät tältä:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Sen jälkeen kerromme kaikki murtoluvut vastaavalla lisäkertoimella ja saamme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Voimme helposti lisätä tällaiset murtoluvut ja saada tuloksen muodossa 159/360. Vähennämme murtolukua kolmella ja näemme lopullisen vastauksen - 53/120.

Lineaaristen diofantiiniyhtälöiden ratkaisu

Lineaariset diofantiiniyhtälöt ovat muotoa ax + by = d olevia lausekkeita. Jos suhde d / gcd(a, b) on kokonaisluku, yhtälö on ratkaistavissa kokonaislukuina. Tarkastetaan pari yhtälöä kokonaislukuratkaisun mahdollisuudesta. Tarkista ensin yhtälö 150x + 8y = 37. Laskimen avulla löydämme gcd (150.8) = 2. Jako 37/2 = 18.5. Luku ei ole kokonaisluku, joten yhtälöllä ei ole kokonaislukujuuria.

Tarkastellaan yhtälöä 1320x + 1760y = 10120. Etsi laskimella gcd(1320, 1760) = 440. Jako 10120/440 = 23. Tuloksena saadaan kokonaisluku, joten Diofantiinikertoimen ratkaiseva kerroin .

Johtopäätös

GCD:llä ja LCM:llä on suuri rooli lukuteoriassa, ja itse käsitteitä käytetään laajasti matematiikan eri alueilla. Laskemme avulla minkä tahansa lukumäärän suurimmat jakajat ja pienimmät kerrannaiset.

Jatketaan keskustelua pienimmästä yhteisestä kerrannaisesta, jonka aloitimme LCM - Pienin yhteinen monikerta, Määritelmä, Esimerkit -osiossa. Tässä aiheessa tarkastelemme tapoja löytää LCM kolmelle tai useammalle numerolle, analysoimme kysymystä negatiivisen luvun LCM:n löytämisestä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pienimmän yhteiskerran (LCM) laskenta gcd:n kautta

Olemme jo määrittäneet suhteen pienimmän yhteiskerran ja suurimman yhteisen jakajan välille. Nyt opitaan määrittelemään LCM GCD:n kautta. Ensin selvitetään, kuinka tämä tehdään positiivisille luvuille.

Määritelmä 1

Voit löytää pienimmän yhteisen kerrannaisen suurimman yhteisen jakajan kautta käyttämällä kaavaa LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Esimerkki 1

On tarpeen löytää numeroiden 126 ja 70 LCM.

Päätös

Otetaan a = 126 , b = 70 . Korvaa arvot kaavassa, jolla lasketaan pienin yhteinen kerrannainen suurimman yhteisen jakajan kautta LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Löytää lukujen 70 ja 126 GCD:n. Tätä varten tarvitsemme Euclid-algoritmin: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , joten gcd (126 , 70) = 14 .

Lasketaan LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Vastaus: LCM (126, 70) = 630.

Esimerkki 2

Etsi numeroiden 68 ja 34 nok.

Päätös

GCD on tässä tapauksessa helppo löytää, koska 68 on jaollinen luvulla 34. Laske pienin yhteinen kerrannainen käyttämällä kaavaa: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Vastaus: LCM(68; 34) = 68.

Tässä esimerkissä käytimme sääntöä positiivisten kokonaislukujen a ja b pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi: jos ensimmäinen luku on jaollinen toisella, niin näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin ensimmäinen luku.

LCM:n löytäminen laskemalla luvut alkutekijöiksi

Tarkastellaan nyt tapaa löytää LCM, joka perustuu lukujen hajottamiseen alkutekijöiksi.

Määritelmä 2

Löytääksemme pienimmän yhteisen kerrannaisen meidän on suoritettava useita yksinkertaisia ​​vaiheita:

  • muodostamme kaikkien lukujen alkutekijöiden tulon, joille meidän on löydettävä LCM;
  • jätämme pois kaikki päätekijät heidän hankituista tuotteistaan;
  • yhteisten alkutekijöiden eliminoinnin jälkeen saatu tulo on yhtä suuri kuin annettujen lukujen LCM.

Tämä tapa löytää pienin yhteinen kerrannainen perustuu yhtälöön LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jos katsot kaavaa, käy selväksi: lukujen a ja b tulo on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun laajenemiseen osallistuvien tekijöiden tulo. Tässä tapauksessa kahden luvun GCD on yhtä suuri kuin kaikkien näiden kahden luvun kertoimissa samanaikaisesti esiintyvien alkutekijöiden tulo.

Esimerkki 3

Meillä on kaksi numeroa 75 ja 210. Voimme erottaa ne seuraavasti: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Jos teet kahden alkuperäisen luvun kaikkien tekijöiden tulon, saat: 2 3 3 5 5 5 7.

Jos jätetään pois sekä luvuille 3 että 5 yhteiset tekijät, saadaan seuraavan muotoinen tulo: 2 3 5 5 7 = 1050. Tämä tuote on LCM numeroille 75 ja 210.

Esimerkki 4

Etsi numeroiden LCM 441 ja 700 , jakaa molemmat luvut alkutekijöiksi.

Päätös

Etsitään kaikki ehdossa annettujen lukujen alkutekijät:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Saamme kaksi lukuketjua: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7 .

Kaikkien näiden lukujen laajentamiseen osallistuneiden tekijöiden tulo näyttää tältä: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Etsitään yhteiset tekijät. Tämä luku on 7. Jätämme sen pois yleistuotteesta: 2 2 3 3 5 5 7 7. Osoittautuu, että NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastaus: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Esitetään vielä yksi muotoilu menetelmästä LCM:n löytämiseksi hajottamalla luvut alkutekijöiksi.

Määritelmä 3

Aiemmin poistimme molemmille luvuille yhteisten tekijöiden kokonaismäärästä. Nyt teemme sen toisin:

  • Jaetaan molemmat luvut alkutekijöiksi:
  • lisää ensimmäisen luvun alkutekijöiden tuloon toisen luvun puuttuvat tekijät;
  • saamme tuotteen, joka on haluttu kahden luvun LCM.

Esimerkki 5

Palataanpa numeroihin 75 ja 210 , joille etsimme jo LCM:ää yhdessä edellisistä esimerkeistä. Jaetaan ne yksinkertaisiin tekijöihin: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Kertoimien 3, 5 ja tuloon 5 numero 75 lisää puuttuvat tekijät 2 ja 7 numerot 210. Saamme: 2 3 5 5 7 . Tämä on numeroiden 75 ja 210 LCM.

Esimerkki 6

On tarpeen laskea numeroiden 84 ja 648 LCM.

Päätös

Jaetaan ehdon luvut alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisää kertoimien tuloon 2 , 2 , 3 ja 7 numerot 84 puuttuvat tekijät 2 , 3 , 3 ja
3 numerot 648. Saamme tuotteen 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Tämä on lukujen 84 ja 648 pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaus: LCM (84 648) = 4536.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytäminen

Riippumatta siitä, kuinka monen luvun kanssa olemme tekemisissä, toimiemme algoritmi on aina sama: löydämme peräkkäin kahden luvun LCM:n. Tälle tapaukselle on olemassa teoreema.

Lause 1

Oletetaan, että meillä on kokonaislukuja a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k näistä luvuista löytyy peräkkäislaskennassa m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k = LCM (m k − 1, a k) .

Katsotaan nyt, kuinka lausetta voidaan soveltaa tiettyihin ongelmiin.

Esimerkki 7

Sinun on laskettava pienin yhteinen kerrannainen neljästä luvusta 140 , 9 , 54 ja 250 .

Päätös

Esitellään merkintä: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Aloitetaan laskemalla m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Lasketaan euklidisen algoritmin avulla lukujen 140 ja 9 GCD: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Saamme: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Siksi m 2 = 1 260 .

Lasketaan nyt saman algoritmin mukaan m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Laskelmien aikana saadaan m 3 = 3 780.

Meidän on laskettava m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Toimimme saman algoritmin mukaan. Saamme m 4 \u003d 94 500.

Esimerkkiehdon neljän luvun LCM on 94500 .

Vastaus: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Kuten näette, laskelmat ovat yksinkertaisia, mutta melko työläitä. Ajan säästämiseksi voit siirtyä toiseen suuntaan.

Määritelmä 4

Tarjoamme sinulle seuraavan toiminta-algoritmin:

  • hajottaa kaikki luvut alkutekijöiksi;
  • ensimmäisen luvun tekijöiden tuloon lisätään puuttuvat tekijät toisen luvun tulosta;
  • lisää kolmannen luvun puuttuvat tekijät edellisessä vaiheessa saatuun tuloon jne.;
  • tuloksena oleva tulo on ehdon kaikkien lukujen pienin yhteinen kerrannainen.

Esimerkki 8

On tarpeen löytää viiden luvun 84, 6, 48, 7, 143 LCM.

Päätös

Jaetaan kaikki viisi lukua alkutekijöiksi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Alkulukuja, joka on luku 7, ei voida ottaa huomioon alkutekijöissä. Tällaiset luvut osuvat yhteen niiden hajoamisen kanssa alkutekijöiksi.

Otetaan nyt luvun 84 alkutekijöiden 2, 2, 3 ja 7 tulo ja lisätään niihin toisen luvun puuttuvat tekijät. Olemme jakaneet luvun 6 2:ksi ja 3:ksi. Nämä tekijät ovat jo ensimmäisen luvun tulossa. Siksi jätämme ne pois.

Jatkamme puuttuvien kertoimien lisäämistä. Siirrymme numeroon 48, jonka alkutekijöiden tulosta otamme 2 ja 2. Sitten lisätään yksinkertainen kerroin 7 neljännestä numerosta ja kertoimet 11 ja 13 viidennestä. Saamme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tämä on viiden alkuperäisen luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Vähiten yhteisen negatiivisten lukujen löytäminen

Negatiivisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi nämä luvut on ensin korvattava luvuilla, joilla on vastakkainen etumerkki, ja sitten laskelmat tulee suorittaa yllä olevien algoritmien mukaisesti.

Esimerkki 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ja LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Tällaiset toimet ovat sallittuja, koska jos se hyväksytään a ja − a- vastakkaiset numerot
sitten monikertojen joukko a osuu yhteen luvun kerrannaisten joukon kanssa − a.

Esimerkki 10

On tarpeen laskea negatiivisten lukujen LCM − 145 ja − 45 .

Päätös

Vaihdetaan numeroita − 145 ja − 45 vastakkaisiin numeroihinsa 145 ja 45 . Laskemme nyt algoritmia käyttämällä LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, kun olemme aiemmin määrittäneet GCD:n Euclid-algoritmilla.

Saamme, että lukujen LCM − 145 ja − 45 on yhtä suuri 1 305 .

Vastaus: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

esimerkiksi:

Luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;

Luku 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.

Luvut, joilla luku on jaollinen (12:lla se on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan numeron jakajat. Luonnollisen luvun jakaja a on luonnollinen luku, joka jakaa annetun luvun a jälkeä jättämättä. Luonnollista lukua, jolla on enemmän kuin kaksi tekijää kutsutaan komposiitti .

Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset jakajat. Nämä ovat luvut: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12. Näiden kahden luvun yhteinen jakaja a ja b on luku, jolla molemmat annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä a ja b.

yhteinen moninkertainen useita lukuja kutsutaan luvuksi, joka on jaollinen kullakin näistä luvuista. esimerkiksi, luvuilla 9, 18 ja 45 on 180:n yhteinen kerrannainen. Mutta 90 ja 360 ovat myös niiden yhteiset kerrannaiset. Kaikista jcommon monikerroista löytyy aina pienin, tässä tapauksessa se on 90. Tämä luku on ns. vähitenyhteinen moninkertainen (LCM).

LCM on aina luonnollinen luku, jonka on oltava suurempi kuin suurin niistä luvuista, joille se on määritelty.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). Ominaisuudet.

Kommutatiivisuus:

Assosiaatio:

Erityisesti jos ja ovat koparriumilukuja , niin:

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen m ja n on kaikkien muiden yhteisten kerrannaisten jakaja m ja n. Lisäksi yhteisten kerrannaisten joukko m,n on sama kuin LCM( m,n).

Asymptotiikka voidaan ilmaista joidenkin lukuteoreettisten funktioiden avulla.

Niin, Chebyshev-toiminto. Yhtä hyvin kuin:

Tämä seuraa Landau-funktion määritelmästä ja ominaisuuksista g(n).

Mitä seuraa alkulukujen jakautumislaista.

Vähimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen.

NOC( a, b) voidaan laskea useilla tavoilla:

1. Jos suurin yhteinen jakaja tunnetaan, voit käyttää sen suhdetta LCM:ään:

2. Olkoon molempien lukujen kanoninen jakautuminen alkutekijöiksi tiedossa:

missä p 1 ,..., p k ovat erilaisia ​​alkulukuja ja d 1,...,dk ja e 1,...,ek ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku ei ole hajotuksessa).

Sitten LCM ( a,b) lasketaan kaavalla:

Toisin sanoen LCM-laajennus sisältää kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät ainakin yhteen numerolaajennuksista a, b, ja otetaan suurin tämän tekijän kahdesta eksponentista.

Esimerkki:

Useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen laskeminen voidaan vähentää useisiin peräkkäisiin kahden luvun LCM:n laskelmiin:

Sääntö. Jotta voit löytää lukusarjan LCM:n, tarvitset:

- hajottaa luvut alkutekijöiksi;

- siirrä suurin laajennus halutun tuotteen tekijöihin (annettujen suurimman joukon tekijöiden tulo) ja lisää sitten kertoimet muiden lukujen laajennuksesta, jotka eivät esiinny ensimmäisessä numerossa tai ovat siinä pienempi määrä kertoja;

- alkutekijöiden tuloksena saatu tulo on annettujen lukujen LCM.

Kaikilla kahdella tai useammalla luonnollisella luvulla on oma LCM. Jos luvut eivät ole toistensa kerrannaisia ​​tai niillä ei ole samoja kertoimia laajennuksessa, niin niiden LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo.

Luvun 28 alkutekijöitä (2, 2, 7) täydennettiin kertoimella 3 (luku 21), jolloin tulokseksi saadaan pienin luku, joka on jaollinen 21:llä ja 28:lla.

Suurimman luvun 30 alkutekijöitä täydennettiin kertoimella 5 luvusta 25, tuloksena saatu tulo 150 on suurempi kuin suurin luku 30 ja on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä. Tämä on pienin mahdollinen tuote (150, 250, 300...), jonka kaikki annetut luvut ovat kerrannaisia.

Luvut 2,3,11,37 ovat alkulukuja, joten niiden LCM on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo.

sääntö. Alkulukujen LCM:n laskemiseksi sinun on kerrottava kaikki nämä luvut yhdessä.

Toinen vaihtoehto:

Tarvitset useiden lukujen pienimmän yhteiskerran (LCM) löytämiseen:

1) edustaa jokaista lukua sen alkutekijöiden tulona, ​​esimerkiksi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) kirjoita ylös kaikkien alkutekijöiden potenssit:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) kirjoita muistiin jokaisen näiden luvun alkujakajat (kertoimet);

4) valitse kustakin niistä suurin aste, joka löytyy näiden lukujen kaikista laajennuksista;

5) kerro nämä tehot.

Esimerkki. Etsi lukujen LCM: 168, 180 ja 3024.

Päätös. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kirjoitamme kaikkien alkujakajien suurimmat potenssit ja kerromme ne:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Määritelmä. Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen jakaja (gcd) nämä numerot.

Etsitään lukujen 24 ja 35 suurin yhteinen jakaja.
24:n jakajat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ja luvun 35 jakajat ovat luvut 1, 5, 7, 35.
Näemme, että luvuilla 24 ja 35 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia ​​lukuja kutsutaan koprime.

Määritelmä. Luonnollisia lukuja kutsutaan koprime jos niiden suurin yhteinen jakaja (gcd) on 1.

Suurin yhteinen jakaja (GCD) löytyy kirjoittamatta kaikkia annettujen lukujen jakajia.

Laskemalla luvut 48 ja 36 saamme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen (eli kaksi kakkosta).
Jäljelle jää kertoimet 2 * 2 * 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Myös kolmen tai useamman luvun suurin yhteinen jakaja löytyy.

Löytää suurin yhteinen jakaja

2) yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen;
3) etsi muiden tekijöiden tulo.

Jos kaikki annetut luvut ovat jaollisia yhdellä niistä, tämä luku on suurin yhteinen jakaja annettuja numeroita.
Esimerkiksi lukujen 15, 45, 75 ja 180 suurin yhteinen jakaja on 15, koska se jakaa kaikki muut luvut: 45, 75 ja 180.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM)

Määritelmä. Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM) luonnolliset luvut a ja b ovat pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen. Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen (LCM) löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia ​​peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 yksinkertaisiksi tekijöiksi: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjoitamme näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvät tekijät ja lisäämme niihin puuttuvat tekijät 2 ja 2 toisen luvun laajennuksesta (eli yhdistämme tekijät).
Saadaan viisi tekijää 2 * 2 * 3 * 5 * 5, joiden tulo on 300. Tämä luku on lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen.

Etsi myös kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen.

Vastaanottaja löytää pienin yhteinen kerrannainen useita luonnollisia lukuja, tarvitset:
1) hajottaa ne alkutekijöiksi;
2) kirjoita yhden luvun laajennukseen sisältyvät tekijät;
3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;
4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.

Huomaa, että jos jokin näistä luvuista on jaollinen kaikilla muilla luvuilla, tämä luku on näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkiksi lukujen 12, 15, 20 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen olisi 60, koska se on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.

Pythagoras (VI vuosisata eaa.) opiskelijoineen tutki lukujen jaollisuutta. Lukua, joka on yhtä suuri kuin kaikkien sen jakajien summa (ilman itse numeroa), he kutsuivat täydelliseksi luvuksi. Esimerkiksi luvut 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ovat täydellisiä. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, 33 550 336. Pythagoralaiset tiesivät vain kolme ensimmäistä täydellistä lukua. Neljäs - 8128 - tuli tunnetuksi 1. vuosisadalla. n. e. Viides - 33 550 336 - löydettiin 1400-luvulla. Vuoteen 1983 mennessä tiedettiin jo 27 täydellistä numeroa. Mutta toistaiseksi tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, onko olemassa suurinta täydellistä lukua.
Muinaisten matemaatikoiden kiinnostus alkulukuja kohtaan johtuu siitä, että mikä tahansa luku on joko alkuluku tai se voidaan esittää alkulukujen tulona, ​​eli alkuluvut ovat kuin tiiliä, joista loput luonnolliset luvut rakennetaan.
Olet luultavasti huomannut, että luonnollisten lukujen sarjassa alkuluvut esiintyvät epätasaisesti - joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mutta mitä pidemmälle siirrymme numerosarjassa, sitä harvinaisempia alkuluvut ovat. Herää kysymys: onko viimeinen (suurin) alkuluku olemassa? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid (3. vuosisata eKr.) osoitti kirjassaan "Alku", joka oli matematiikan pääoppikirja kaksituhatta vuotta, että alkulukuja on äärettömän monta, eli jokaisen alkuluvun takana on parillinen. suurempi alkuluku.
Alkulukujen löytämiseksi toinen saman ajan kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes keksi tällaisen menetelmän. Hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja ylitti sitten yksikön, joka ei ole alkuluku eikä yhdistelmäluku, ja sitten ylitti yhden kautta kaikki luvun 2 jälkeen (luvut, jotka ovat 2:n kerrannaisia, eli 4, 6, 8 jne.). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kahden jälkeen kaikki numerot 3:n jälkeen yliviivattiin (luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.). lopulta vain alkuluvut jäivät yliviivaamatta.