Kuinka löytää yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys. Linjojen keskinäinen järjestely avaruudessa. Ongelmia suorassa avaruudessa

Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, eli ne sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla (kuva 1).

Lause 1. Suunnikkaan sivujen ja kulmien ominaisuuksista. Suunnikkaassa vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja suunnikkaan yhden sivun viereisten kulmien summa on 180°.

Todiste. Piirrä tähän suunnikkaaseen ABCD diagonaali AC ja saa kaksi kolmiota ABC ja ADC (kuva 2).

Nämä kolmiot ovat yhtä suuret, koska ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (ristikkäiset kulmat yhdensuuntaisilla viivoilla) ja sivu AC on yhteinen. Yhtälöstä Δ ABC = Δ ADC seuraa, että AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. Yhden sivun viereisten kulmien summa, esimerkiksi kulmat A ja D, on 180 ° yksipuolisena yhdensuuntaisilla viivoilla. Lause on todistettu.

Kommentti. Suunnikkaan vastakkaisten sivujen yhtäläisyys tarkoittaa, että yhdensuuntaisten katkaisemat yhdensuuntaiset segmentit ovat yhtä suuret.

Seuraus 1. Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, niin yhden suoran kaikki pisteet ovat samalla etäisyydellä toisesta suorasta.

Todiste. Todellakin, olkoon || b (kuvio 3).

Piirretään kahdesta suoran b pisteestä B ja C kohtisuorat BA ja CD suoralle a. AB:n jälkeen || CD, niin kuvio ABCD on suunnikas, ja siksi AB = CD.

Kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys on etäisyys mielivaltaisesta pisteestä toisella suoralla toiseen suoraan.

Todistetulla se on yhtä suuri kuin yhden yhdensuuntaisen suoran jostakin pisteestä toiselle suoralle vedetyn kohtisuoran pituus.

Esimerkki 1 Suunnikkaan ympärysmitta on 122 cm. Yksi sen sivuista on 25 cm pidempi kuin toinen. Etsi suunnikkaan sivut.

Päätös. Lauseen 1 mukaan suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret. Merkitään suunnikkaan toinen puoli x:ksi, toinen y:ksi. Sitten ehdolla $$\left\(\begin(matriisi) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matriisi)\oikea.$$ Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x = 43, y = 18. Siten suunnikkaan sivut ovat 18, 43, 18 ja 43 cm.

Esimerkki 2

Päätös. Olkoon kuva 4 vastaamaan ongelman tilaa.

Merkitse AB x:llä ja BC y:llä. Ehdolla suunnikkaan ympärysmitta on 10 cm, eli 2(x + y) = 10 tai x + y = 5. Kolmion ABD ympärysmitta on 8 cm. Ja koska AB + AD = x + y = 5 , niin BD = 8 - 5 = 3 . Joten BD = 3 cm.

Esimerkki 3 Etsi suunnikkaan kulmat tietäen, että toinen niistä on 50° suurempi kuin toinen.

Päätös. Olkoon kuva 5 vastaamaan ongelman tilaa.

Merkitään kulman A astemitta x:ksi. Tällöin kulman D astemitta on x + 50°.

Kulmat BAD ja ADC ovat sisäisiä yksipuolisia yhdensuuntaisilla viivoilla AB ja DC sekä sekantti AD. Tällöin näiden nimettyjen kulmien summa on 180°, ts.
x + x + 50° = 180° tai x = 65°. Siten ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Esimerkki 4 Suunnikkaan sivut ovat 4,5 dm ja 1,2 dm. Terävän kulman kärjestä piirretään puolittaja. Mihin osiin se jakaa suunnikkaan pitkän sivun?

Päätös. Olkoon kuva 6 vastaavan ongelman tilaa.

AE on suunnikkaan terävän kulman puolittaja. Siksi ∠ 1 = ∠ 2.

Tässä artikkelissa huomio keskittyy vinojen viivojen välisen etäisyyden löytämiseen koordinaattimenetelmällä. Ensin annetaan vinoviivojen välisen etäisyyden määritelmä. Seuraavaksi saadaan algoritmi, jonka avulla voit löytää vinoviivojen välisen etäisyyden. Lopuksi esimerkin ratkaisua analysoidaan yksityiskohtaisesti.

Sivulla navigointi.

Vinoviivojen välinen etäisyys on määritelmä.

Ennen kuin annamme vinoviivojen välisen etäisyyden määritelmän, muistetaan vinoviivojen määritelmä ja todistetaan vinojuoviin liittyvä lause.

Määritelmä.

on etäisyys yhden leikkaavan suoran ja sen kanssa samansuuntaisen toisen suoran läpi kulkevan tason välillä.

Suoran ja sen suuntaisen tason välinen etäisyys puolestaan ​​​​on etäisyys jostakin suoran pisteestä tasoon. Sitten seuraava vinoviivojen välisen etäisyyden määritelmän muotoilu pätee.

Määritelmä.

Leikkaavien viivojen välinen etäisyys on etäisyys yhden vinoviivan jostakin pisteestä tasoon, joka kulkee toisen viivan kautta, joka on yhdensuuntainen ensimmäisen viivan kanssa.

Harkitse risteäviä viivoja a ja b. Merkitään suoralle a tietty piste M 1, suoran b kautta piirretään suoran a kanssa yhdensuuntainen taso ja pisteestä M 1 pudotetaan kohtisuora M 1 H 1 tasolle. Pystysuoran M 1 H 1 pituus on leikkaavien suorien a ja b välinen etäisyys.

Risteysviivojen välisen etäisyyden löytäminen - teoria, esimerkkejä, ratkaisuja.

Leikkaavien viivojen välistä etäisyyttä haettaessa suurin vaikeus on usein sellaisen segmentin näkeminen tai rakentaminen, jonka pituus on yhtä suuri kuin haluttu etäisyys. Jos tällainen segmentti rakennetaan, sen pituus voidaan ongelman ehdoista riippuen löytää käyttämällä Pythagoraan lausetta, kolmioiden yhtäläisyys- tai samankaltaisuusmerkkejä jne. Näin teemme, kun etsimme leikkaavien viivojen välistä etäisyyttä geometrian tunneilla luokilla 10-11.

Jos Oxyz otetaan käyttöön kolmiulotteisessa avaruudessa ja siinä annetaan vinoviivat a ja b, niin koordinaattimenetelmä mahdollistaa selviytymisen annettujen vinoviivojen välisen etäisyyden laskemisesta. Analysoidaan sitä yksityiskohtaisesti.

Olkoon linjan b kautta kulkeva taso, joka on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Tällöin haluttu etäisyys leikkaavien suorien a ja b välillä on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin etäisyys jostakin suoralla a olevasta pisteestä M 1 tasoon. Joten jos määritämme jonkin suoralla a olevan pisteen M 1 koordinaatit ja saamme tason normaaliyhtälön muodossa, voimme laskea etäisyyden pisteestä tasoon kaavalla (tämä kaava saatiin artikkelissa, jossa etsitään etäisyys pisteestä tasoon). Ja tämä etäisyys on yhtä suuri kuin haluttu etäisyys vinojen viivojen välillä.

Nyt yksityiskohtaisesti.

Tehtävä rajoittuu suoralla a olevan pisteen M 1 koordinaattien saamiseen ja tason normaaliyhtälön löytämiseen.

Pisteen M 1 koordinaattien määrittämisessä ei ole vaikeuksia, jos tunnet hyvin avaruuden suorayhtälöiden päätyypit. Mutta on syytä keskittyä tason yhtälön saamiseen yksityiskohtaisemmin.

Jos määritetään jonkin pisteen M 2 koordinaatit, jonka läpi taso kulkee, ja saadaan myös tason normaalivektori muodossa , niin voimme kirjoittaa tason yleisen yhtälön muodossa .

Pisteeksi M 2 voit ottaa minkä tahansa suoralla b olevan pisteen, koska taso kulkee suoran b kautta. Näin ollen pisteen M 2 koordinaatit voidaan katsoa löydetyksi.

On vielä hankittava tason normaalivektorin koordinaatit. Tehdään se.

Taso kulkee suoran b kautta ja on yhdensuuntainen linjan a kanssa. Siksi tason normaalivektori on kohtisuorassa sekä suoran a suuntavektoriin (merkitkäämme sitä ) että suoran b suuntavektoriin (merkittään se ). Sitten voimme ottaa ja vektorina, eli . Määritettyään suorien a ja b koordinaatit ja suuntavektorit ja laskettu , löydämme tason normaalivektorin koordinaatit.

Joten meillä on tason yleinen yhtälö: .

Jää vain saattaa tason yleinen yhtälö normaalimuotoon ja laskea haluttu etäisyys leikkaavien viivojen a ja b välillä kaavan avulla.

Täten, löytääksesi etäisyyden leikkaavien viivojen a ja b välillä tarvitset:

Katsotaanpa esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Kolmiulotteisessa avaruudessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz on annettu kaksi leikkaavaa suoraa a ja b. Suora a on määritelty

Etäisyys

pisteestä riville

Yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys

Geometria, 7. luokka

L.S. Atanasyanin oppikirjaan

korkeimman luokan matematiikan opettaja

MOU "Upshinskyn peruskoulu"

Orshan alue Mari Elin tasavallassa

Pituus kohtisuorassa piirretty pisteestä viivalle, nimeltään etäisyys tästä pisteestä suoraan.

AN ⏊ a

M є a, M on eri kuin H

kohtisuorassa piirretty pisteestä viivalle, pienempi minkä tahansa vino vedetty samasta pisteestä tälle viivalle.

OLEN – vino, piirretty pisteestä A suoralle a

AN OLEN

AN - vino

AN AN

AN AK

AK - vino

Etäisyys pisteestä linjaan

M

Etäisyys pisteestä M viivaan c on...

N

Etäisyys pisteestä N viivaan c on...

kanssa

Etäisyys pisteestä K viivaan c on...

K

Etäisyys pisteestä F viivaan c on...

F

Etäisyys pisteestä linjaan

AN ⏊ a

AN= 5,2 cm

VK ⏊ a

VK= 2,8 cm

Lause.

Kahden yhdensuuntaisen suoran kaikki pisteet ovat yhtä kaukana toisesta suorasta

Annettu: a ǁ b

A є a, B є a,

Todista: etäisyydet pisteistä A ja B suoraan a ovat yhtä suuret.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

Todista: AH = BK

Δ ANC = ΔVKA(miksi?)

Kolmioiden yhtälöstä seuraa AN = VK

Etäisyyttä yhden yhdensuuntaisen suoran mielivaltaisesta pisteestä toiseen suoraan kutsutaan näiden viivojen väliseksi etäisyydeksi.

Käänteinen lause.

Kaikki tason pisteet, jotka ovat tietyn suoran samalla puolella ja ovat yhtä kaukana siitä, ovat tietyn suoran suuntaisella suoralla.

AN ⏊ b, BK ⏊ b,

AH = BK

Todista: AB ǁ b

Δ ANC = ΔKVA(miksi?)

Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa … , mutta nämä ovat sisäisiä ristikkäisiä kulmia, jotka muodostavat … , siis AB ǁ NK

Mikä on viivojen b ja c välinen etäisyys, jos viivojen välinen etäisyys a ja b on 4 ja viivojen välissä a ja c on 5?

a ǁ b ǁ c

Mikä on viivojen b ja a välinen etäisyys, jos viivojen b ja c välinen etäisyys on 7 ja viivojen välinen etäisyys a ja c on 2?

Mikä on rivien välinen etäisyys a ja c, jos viivojen b ja c välinen etäisyys on 10, ja viivojen välinen etäisyys b ja a yhtä suuri kuin 6?

Mikä on kahdesta annetusta yhdensuuntaisesta suorasta yhtä kaukana olevan tason kaikkien pisteiden joukko?

a ǁ b

Vastaus: Viiva, joka on yhdensuuntainen annettujen viivojen kanssa ja yhtä kaukana niistä.

Mikä on kaikkien tason pisteiden joukko tietyllä etäisyydellä tietystä suorasta?

Vastaus: Kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​tietyn suoran kanssa ja sijaitsevat tietyllä etäisyydellä sen vastakkaisilla puolilla.

Voi-o-oi-oi-oi... no, se on tinaa, ikään kuin lukisi lauseen itsekseen =) Sitten rentoutuminen auttaa, varsinkin kun tänään ostin sopivat tarvikkeet. Jatketaan siksi ensimmäiseen osaan, toivon, että artikkelin loppuun mennessä säilytän iloisen tunnelman.

Kahden suoran keskinäinen järjestely

Tapaus, kun sali laulaa mukana kuorossa. Kaksi riviä voi:

1) ottelu;

2) olla yhdensuuntainen: ;

3) tai leikkaa yhdessä pisteessä: .

Apua nukkeille : muista risteyksen matemaattinen merkki, se esiintyy hyvin usein. Syöte tarkoittaa, että suora leikkaa pisteen suoran.

Kuinka määrittää kahden viivan suhteellinen sijainti?

Aloitetaan ensimmäisestä tapauksesta:

Kaksi suoraa osuvat yhteen silloin ja vain, jos niiden kertoimet ovat verrannollisia, eli on olemassa sellainen numero "lambda", että yhtäläisyydet

Tarkastellaan suoria viivoja ja laaditaan kolme yhtälöä vastaavista kertoimista: . Jokaisesta yhtälöstä seuraa, että nämä suorat ovat siis samat.

Todellakin, jos kaikki yhtälön kertoimet kerrotaan -1:llä (muutosmerkit) ja kaikki yhtälön kertoimet Vähennä 2:lla, saat saman yhtälön: .

Toinen tapaus, kun suorat ovat yhdensuuntaiset:

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​silloin ja vain, jos niiden kertoimet muuttujissa ovat verrannollisia: , mutta.

Tarkastellaan esimerkiksi kahta suoraa. Tarkistamme muuttujien vastaavien kertoimien suhteellisuuden:

On kuitenkin selvää, että.

Ja kolmas tapaus, kun viivat leikkaavat:

Kaksi suoraa leikkaavat silloin ja vain, jos niiden muuttujien kertoimet EIVÄT ole verrannollisia, eli "lambdalla" EI ole sellaista arvoa, että yhtäläisyydet täyttyvät

Joten suorille viivoille muodostamme järjestelmän:

Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että , ja toisesta yhtälöstä: , siis järjestelmä on epäjohdonmukainen(ei ratkaisuja). Näin ollen muuttujien kertoimet eivät ole verrannollisia.

Johtopäätös: viivat leikkaavat

Käytännön ongelmissa voidaan käyttää juuri tarkasteltua ratkaisumallia. Muuten, se on hyvin samanlainen kuin vektorien kollineaarisuuden tarkistamisalgoritmi, jota tarkastelimme oppitunnilla. Vektorien lineaarisen (ei-)riippuvuuden käsite. Vektoripohjalta. Mutta on olemassa sivistyneempi paketti:

Esimerkki 1

Selvitä viivojen suhteellinen sijainti:

Päätös perustuen suorien viivojen suuntavektorien tutkimukseen:

a) Yhtälöistä saadaan suorien suuntavektorit: .

, joten vektorit eivät ole kollineaarisia ja suorat leikkaavat.

Varmuuden vuoksi laitan risteykseen kiven osoittimilla:

Loput hyppäävät kiven yli ja seuraavat suoraan Kashchei the Deathlessiin =)

b) Etsi viivojen suuntavektorit:

Viivoilla on sama suuntavektori, mikä tarkoittaa, että ne ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai samoja. Tässä determinanttia ei tarvita.

On selvää, että tuntemattomien kertoimet ovat verrannollisia, kun taas .

Selvitetään, onko tasa-arvo totta:

Täten,

c) Etsi viivojen suuntavektorit:

Lasketaan determinantti, joka koostuu näiden vektorien koordinaateista:
, siksi suuntavektorit ovat kollineaarisia. Viivat ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai yhteneviä.

Suhteellisuustekijä "lambda" on helppo nähdä suoraan kollineaaristen suuntavektorien suhteesta. Se voidaan kuitenkin löytää myös itse yhtälöiden kertoimien kautta: .

Otetaan nyt selvää, onko tasa-arvo totta. Molemmat ilmaiset ehdot ovat nolla, joten:

Tuloksena oleva arvo täyttää tämän yhtälön (mikä tahansa luku yleensä täyttää sen).

Siten linjat osuvat yhteen.

Vastaus:

Hyvin pian opit (tai olet jo oppinut) ratkaisemaan harkitun ongelman sanallisesti kirjaimellisesti muutamassa sekunnissa. Tältä osin en näe mitään syytä tarjota jotain itsenäiselle ratkaisulle, on parempi laittaa yksi tärkeä tiili geometriseen perustaan:

Kuinka piirtää viiva yhdensuuntainen tietyn kanssa?

Tämän yksinkertaisin tehtävän tietämättömyydestä Satakieli Ryöstäjä rankaisee ankarasti.

Esimerkki 2

Suora saadaan yhtälöstä . Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle yhdensuuntaiselle suoralle.

Päätös: Merkitse tuntematon rivi kirjaimella . Mitä ehto sanoo siitä? Viiva kulkee pisteen läpi. Ja jos suorat ovat yhdensuuntaisia, on selvää, että suoran "ce" suuntausvektori sopii myös suoran "te" rakentamiseen.

Otamme suuntavektorin pois yhtälöstä:

Vastaus:

Esimerkin geometria näyttää yksinkertaiselta:

Analyyttinen todentaminen koostuu seuraavista vaiheista:

1) Tarkistamme, että viivoilla on sama suuntavektori (jos suoran yhtälöä ei ole yksinkertaistettu kunnolla, vektorit ovat kollineaarisia).

2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön.

Analyyttinen todentaminen on useimmissa tapauksissa helppo suorittaa suullisesti. Katsokaa kahta yhtälöä ja monet teistä ymmärtävät nopeasti, kuinka suorat ovat yhdensuuntaisia ​​ilman piirustuksia.

Esimerkit itseratkaisuun tänään ovat luovia. Koska sinun on silti kilpailtava Baba Yagan kanssa, ja hän on kaikenlaisten arvoitusten rakastaja.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle, joka kulkee suoran if kanssa yhdensuuntaisen pisteen kautta

On rationaalinen ja ei kovin järkevä tapa ratkaista. Lyhin reitti on oppitunnin lopussa.

Teimme vähän työtä rinnakkaisten linjojen kanssa ja palaamme niihin myöhemmin. Yhtäkkäisten linjojen tapaus ei kiinnosta juurikaan, joten tarkastellaan ongelmaa, joka tunnet hyvin koulun opetussuunnitelmasta:

Kuinka löytää kahden suoran leikkauspiste?

Jos suoraan leikkaa pisteessä , niin sen koordinaatit ovat ratkaisu lineaariset yhtälöt

Kuinka löytää viivojen leikkauspiste? Ratkaise järjestelmä.

Tässä sinulle kahden tuntemattoman lineaarisen yhtälön järjestelmän geometrinen merkitys ovat kaksi leikkaavaa (useimmiten) suoraa tasossa.

Esimerkki 4

Etsi viivojen leikkauspiste

Päätös: On kaksi tapaa ratkaista - graafinen ja analyyttinen.

Graafinen tapa on yksinkertaisesti piirtää annetut viivat ja selvittää leikkauspiste suoraan piirroksesta:

Tässä on pointtimme: . Tarkistaaksesi, sinun tulee korvata sen koordinaatit jokaisessa suoran yhtälössä, niiden tulisi sopia sekä sinne että sinne. Toisin sanoen pisteen koordinaatit ovat järjestelmän ratkaisu. Itse asiassa harkitsimme graafista tapaa ratkaista lineaariset yhtälöt kahdella yhtälöllä, kahdella tuntemattomalla.

Graafinen menetelmä ei tietenkään ole huono, mutta siinä on havaittavia haittoja. Ei, pointti ei ole siinä, että seitsemäsluokkalaiset päättävät näin, vaan se, että oikean ja TARKAN piirustuksen tekeminen vie aikaa. Lisäksi jotkin viivat eivät ole niin helppoja rakentaa, ja itse leikkauspiste voi olla jossain 30. valtakunnassa muistivihkon ulkopuolella.

Siksi on tarkoituksenmukaisempaa etsiä leikkauspiste analyyttisellä menetelmällä. Ratkaistaan ​​systeemi:

Järjestelmän ratkaisemiseen käytettiin yhtälöiden termittäistä yhteenlaskumenetelmää. Vieraile oppitunnilla kehittääksesi tarvittavia taitoja Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmä?

Vastaus:

Varmistus on triviaali - leikkauspisteen koordinaattien on täytettävä järjestelmän jokainen yhtälö.

Esimerkki 5

Etsi viivojen leikkauspiste, jos ne leikkaavat.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. On kätevää jakaa ongelma useisiin vaiheisiin. Tilan analyysi viittaa siihen, että se on välttämätöntä:
1) Kirjoita suoran yhtälö.
2) Kirjoita suoran yhtälö.
3) Selvitä viivojen suhteellinen sijainti.
4) Jos suorat leikkaavat, etsi leikkauspiste.

Toimialgoritmin kehittäminen on tyypillistä monille geometrisille ongelmille, ja aion keskittyä tähän toistuvasti.

Koko ratkaisu ja vastaus opetusohjelman lopussa:

Yksi kenkäpari ei ole vielä kulunut, kun pääsimme oppitunnin toiseen osaan:

Kohtisuorat viivat. Etäisyys pisteestä viivaan.
Viivojen välinen kulma

Aloitetaan tyypillisestä ja erittäin tärkeästä tehtävästä. Ensimmäisessä osassa opimme rakentamaan suoran yhdensuuntaisen linjan kanssa, ja nyt kananjalkojen kota kääntyy 90 astetta:

Kuinka piirtää viiva kohtisuoraan tiettyyn kohtaan?

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä . Kirjoita yhtälö pisteen kautta kulkevalle kohtisuoralle suoralle.

Päätös: Tiedetään olettaen, että . Olisi kiva löytää suoran suuntavektori. Koska viivat ovat kohtisuorassa, temppu on yksinkertainen:

Yhtälöstä "poistetaan" normaalivektori: , josta tulee suoran suuntausvektori.

Muodostamme suoran yhtälön pisteestä ja suuntausvektorista:

Vastaus:

Avataan geometrinen luonnos:

Hmmm... Oranssi taivas, oranssi meri, oranssi kameli.

Liuoksen analyyttinen tarkastus:

1) Poimi suuntavektorit yhtälöistä ja avustuksella vektorien pistetulo päättelemme, että suorat ovat todellakin kohtisuorassa: .

Muuten, voit käyttää normaaleja vektoreita, se on vielä helpompaa.

2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön .

Vahvistus on jälleen helppo suorittaa suullisesti.

Esimerkki 7

Etsi kohtisuorien viivojen leikkauspiste, jos yhtälö tunnetaan ja piste.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tehtävässä on useita toimintoja, joten ratkaisu on kätevä järjestää piste kerrallaan.

Jännittävä matkamme jatkuu:

Etäisyys pisteestä linjaan

Edessämme on joen suora kaistale ja tehtävämme on saavuttaa se lyhintä tietä. Esteitä ei ole, ja optimaalinen reitti on liikkuminen kohtisuoraa pitkin. Eli etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran segmentin pituus.

Geometrian etäisyys on perinteisesti merkitty kreikkalaisella kirjaimella "ro", esimerkiksi: - etäisyys pisteestä "em" suoraan "de".

Etäisyys pisteestä linjaan ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkki 8

Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys

Päätös: sinun tarvitsee vain korvata luvut huolellisesti kaavaan ja tehdä laskelmat:

Vastaus:

Suoritetaan piirustus:

Pisteestä viivaan löydetty etäisyys on täsmälleen punaisen segmentin pituus. Jos teet piirroksen ruudulliselle paperille 1 yksikön mittakaavassa. \u003d 1 cm (2 solua), niin etäisyys voidaan mitata tavallisella viivaimella.

Harkitse toista tehtävää saman piirustuksen mukaan:

Tehtävänä on löytää pisteen koordinaatit, joka on symmetrinen pisteen suhteen suoran suhteen . Ehdotan toimintojen suorittamista itse, mutta hahmotan ratkaisualgoritmin välituloksilla:

1) Etsi suora, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan.

2) Etsi viivojen leikkauspiste: .

Molempia toimintoja käsitellään yksityiskohtaisesti tässä oppitunnissa.

3) Piste on janan keskipiste. Tiedämme keskikohdan ja yhden pään koordinaatit. Tekijä: kaavat janan keskikohdan koordinaateille löytö .

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, että etäisyys on myös 2,2 yksikköä.

Laskelmissa voi syntyä vaikeuksia, mutta tornissa mikrolaskin auttaa paljon, jolloin voit laskea tavallisia murtolukuja. Olen neuvonut monta kertaa ja suosittelen uudelleen.

Kuinka löytää kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys?

Esimerkki 9

Etsi kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys

Tämä on toinen esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Pieni vihje: ratkaisutapoja on äärettömän monia. Selvitys oppitunnin lopussa, mutta parempi yrittää arvata itse, mielestäni onnistuit hajottamaan kekseliäisyytesi hyvin.

Kahden viivan välinen kulma

Mikä kulma tahansa, sitten karmi:


Geometriassa kahden suoran välinen kulma otetaan PIENEMMÄN kulmana, josta seuraa automaattisesti, että se ei voi olla tylppä. Kuvassa punaisen kaaren osoittamaa kulmaa ei pidetä leikkausviivojen välisenä kulmana. Ja sen "vihreä" naapuri tai vastakkaiseen suuntaan karmiininpunainen kulma.

Jos suorat ovat kohtisuorassa, mikä tahansa neljästä kulmasta voidaan ottaa niiden väliseksi kulmaksi.

Miten kulmat eroavat toisistaan? Suuntautuminen. Ensinnäkin kulman "vierityksen" suunta on olennaisen tärkeä. Toiseksi negatiivisesti suunnattu kulma kirjoitetaan miinusmerkillä, esimerkiksi jos .

Miksi sanoin tämän? Vaikuttaa siltä, ​​että pärjäät tavallisella kulman käsitteellä. Tosiasia on, että kaavoissa, joilla löydämme kulmat, voidaan helposti saada negatiivinen tulos, eikä tämän pitäisi yllättää sinua. Miinusmerkillä varustettu kulma ei ole huonompi, ja sillä on hyvin erityinen geometrinen merkitys. Negatiivisen kulman piirustuksessa on välttämätöntä osoittaa sen suunta (myötäpäivään) nuolella.

Kuinka löytää kahden viivan välinen kulma? Työkaavoja on kaksi:

Esimerkki 10

Etsi viivojen välinen kulma

Päätös ja Menetelmä yksi

Tarkastellaan kahta suoraa, jotka on annettu yhtälöillä yleisessä muodossa:

Jos suoraan ei kohtisuorassa, sitten suuntautunut niiden välinen kulma voidaan laskea kaavalla:

Kiinnitämme huomiota nimittäjään - tämä on täsmälleen skalaarituote suorien viivojen suuntavektorit:

Jos , niin kaavan nimittäjä katoaa, ja vektorit ovat ortogonaalisia ja linjat ovat kohtisuorassa. Tästä syystä muotoilussa olevien viivojen epäsuoraan kohdistamiseen tehtiin varaus.

Edellä olevan perusteella ratkaisu muotoillaan kätevästi kahdessa vaiheessa:

1) Laske suorien suuntausvektorien skalaaritulo:
joten viivat eivät ole kohtisuorassa.

2) Löydämme viivojen välisen kulman kaavalla:

Käänteisfunktiolla on helppo löytää itse kulma. Tässä tapauksessa käytämme arctangentin parittomuutta (katso kuva. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet):

Vastaus:

Vastauksessa ilmoitamme tarkan arvon sekä likimääräisen arvon (mieluiten sekä asteina että radiaaneina), joka on laskettu laskimella.

No, miinus, niin miinus, ei hätää. Tässä on geometrinen kuva:

Ei ole yllättävää, että kulma osoittautui negatiiviseksi orientoituneeksi, koska tehtävän tilanteessa ensimmäinen numero on suora ja kulman "kiertyminen" alkoi juuri siitä.

Jos todella haluat saada positiivisen kulman, sinun on vaihdettava suorat viivat, eli otettava kertoimet toisesta yhtälöstä , ja ota kertoimet ensimmäisestä yhtälöstä . Lyhyesti sanottuna sinun on aloitettava suorasta .

Oppitunnin hahmotelma

Kolmion kulmien summan lause

1. Koko nimi: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Työpaikka: Kunnan budjettikoulutuslaitos "Knyazevskaya lukio" Tukaevskin alue Tatarstanin tasavallassa

3. asema: matematiikan opettaja

4. Asia: geometria

5. Luokka: 7. luokka

6. Oppitunnin aihe: Etäisyys pisteestä viivaan. Yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys.

7. Perusopetusohjelma: Geometria 7-9 luokka: oppikirja oppilaitoksille / toim. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov,

S.B. Kadomtsev ym., 2010

8. Tarkoitukset:

Aktiviteetin tavoite: luoda edellytykset itsenäiselle muotoilulle ja todisteeksi vinon ja kohtisuoran ominaisuuksista, jotka on jätetty pois pisteestä suoralle, lause yhdensuuntaisten viivojen pisteiden yhtäläisyydestä; organisoida opiskelijoiden toimintaa uuden tiedon ja toimintatapojen havaitsemisessa, ymmärtämisessä ja ensisijaisessa lujittamisessa.

Koulutustarkoitus:

Aihe:

soveltaa pisteen etäisyyden ja suorien välisen etäisyyden käsitteitä tehtävien ratkaisussa

Metasubject:

Virallinen UUD:

Kognitiivinen UUD:

Kommunikaatio UUD:

Henkilökohtainen UUD:

10. Opetusmenetelmät: ongelma, tutkimus.
11. Koulutustoiminnan järjestämismuodot: frontaali-, ryhmä-, pari-, yksilö-, oppimisrakenteet.

12. Laitteet, tekniset tiedot:

Tietokone, projektori, näyttö, internet, ohjelmisto: Microsoft Power Point, istuimet luokkahuoneessa - 4 henkilöä pöydässä.

13. Oppitunnin kesto: 45 min

14. Tuntisuunnitelma

minä . Ajan järjestäminen.

II . Tiedon päivitys.

III . Oppitunnin tavoitteen asettaminen . Uuden materiaalin esittely.

VI. Yhteenveto. Heijastus.

minä . Ajan järjestäminen.

Kohde: opiskelijoiden valmistaminen työhön, huomion aktivoiminen nopeaa toimintaan osallistumista varten.

Opettaja : Hei kaverit? Miten voit? Ja otetaan se käteen ja aloitetaan oppitunti hymyillen! Hymyillään kumppanillemme! Hymyillään olkapääkumppanillemme!

II . Tiedon päivitys.

Opettaja : Olet opiskellut uutta geometriaa jo puoli vuotta ja tiedät varmaan mitä lause on. Mitä todistusmenetelmiä tiedät?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Ristiriitamenetelmä, konstruktiivinen menetelmä, aksioomiin ja aiemmin todistettuihin lauseisiin perustuva todistusmenetelmä (dia nro 2).

Opettaja: Kaverit, mitä assosiaatioita sinulla on sanaan - etäisyys?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Etäisyys kaupunkien välillä, etäisyys napojen välillä, etäisyys jostain johonkin (dia numero 3).

Opettaja: Mitä kutsutaan kahden pisteen väliseksi etäisyydeksi?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Leikkauspituus (dia numero 4).

Opettaja: Tee merkintä teknologiakartalle vaiheessa 1

Opettaja: Huomaa, että geometriassa etäisyys viittaa lyhimpään etäisyyteen. Tee merkintä teknologiakartalle vaiheessa 2

Opettaja: Mitä voidaan sanoa suoran AH ja suoran a suhteellisesta sijainnista?

Opettaja: Millä nimellä näitä linjoja kutsutaan?

Opettaja: MUTTA Mikä on segmentin AN nimi?

Opettaja: Muista: Perpendicular on jana. Tee merkintä teknologiakartalle vaiheessa 3.

III. Oppitunnin tavoitteen asettaminen.Uuden materiaalin esittely.

Opettaja: Käytännön tehtävä:

Olemme pellolla, tie kulkee pellon läpi. Piirrä matemaattinen malli tilanteesta. Meidän on päästävä tielle. Piirrä lentorata (dia numero 6).

Opettaja: Ja miten tämä liikerata voidaan määritellä matemaattisella kielellä? Oppilaiden mahdolliset vastaukset: kohtisuorassa

Opettaja: Miksi ei? -

Yritä antaa sille nimi (dia numero 7).

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Kalteva.

Opettaja: Kuinka monta rinnettä tästä pisteestä voidaan vetää?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Joukko.

(dia numero 7).

Opettaja: Joten luulet, että lyhin polku on kohtisuora? Todista se.

Opettaja: Todista nyt, että mikä tahansa vino on suurempi kuin kohtisuora.

Mitä näemme kuvassa?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: suorakulmainen kolmio (dia numero 8).

Opettaja: Mikä on tämän kolmion kohtisuoran ja vinon nimi? Oppilaiden mahdolliset vastaukset: jalka ja hypotenuusa.

Opettaja: Miksi hypotenuusa on jalkaa pidempi?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Suurempaa kulmaa vastapäätä on suurempi sivu. Suorakulmaisen kolmion suurin kulma on suora kulma. Sitä vastapäätä on hypotenuusa.

Opettaja. Mikä on segmentin AC toinen nimi? Ja jos palataan tehtävän sisältöön?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Etäisyys pisteestä linjaan .

Opettaja: Muotoile määritelmä: "Etäisyys pisteestä suoraan on ... (tästä pisteestä suoralle pudonneen kohtisuoran pituus)" (dia nro 9). Tee merkintä teknologiakartalle vaiheessa 4.

Opettaja: Käytännön tehtävä.

Etsi etäisyys pisteestä B suoriin A D jaDC käyttämällä piirustuskolmiota ja viivainta (dia nro 10) teknologinen kartta s. 6

Opettaja: Käytännön tehtävä. Muodosta kaksi yhdensuuntaista suoraa a ja b . Merkitse suoralle a piste A. Pudota kohtisuora pisteestä A suoralle b. Aseta piste B kohtisuoran pohjalle.

Mitä voit sanoa segmentistä AB? (dia numero 11).

Se on kohtisuorassa sekä suoraa a että suoraa b vastaan.

Opettaja: Siksi sitä kutsutaan yhteiseksi kohtisuoraksi (dia nro 13). Tee merkintä teknologiselle kartalle kohdassa 5

Opettaja: Tee merkintä tekniseen karttaan kohtaan 6

Opettaja: Tehtävä. Linoleumi on asetettava pitkässä käytävässä lattialle. Tiedetään, että kaksi vastakkaista seinää ovat yhdensuuntaisia. Käytävän toiseen päähän piirrettiin yhteinen kohtisuora, jonka pituudeksi tuli 4 m. Kannattaako yhteisten kohtisuorien pituudet vielä tarkistaa muissa käytävän paikoissa? (dia numero 14).

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Ei tarvetta, niiden pituudet ovat myös 4.

Opettaja: Todista se. Mutta ensin piirrä matemaattinen malli tästä tilanteesta. Osoittaaksesi kohokohdan, mikä tiedetään, mikä on todistettava.

Miten segmenttien ja kulmien yhtäläisyys yleensä todistetaan geometriassa?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Nämä segmentit ja kulmat sisältävien kolmioiden tasa-arvon kautta. Keksi konstruktio, jonka avulla voimme todistaa näiden kolmioiden yhtäläisyyden.

Rakenne YksittäinenPyöristääRobin:

2. Ryhmässä neljä opiskelijaa vastaa kerran.

Opettaja: Todista tasa-arvo janat AB ja CD kolmioiden tasa-arvon kautta . Kirjoita merkkitaululle kolme kolmioiden tasa-arvon ehtoa.

1. Opettaja esittää kysymyksen ja antaa aikaa ajatella

Opiskelijat suorittavat lisäkonstruktioita, todistavat kolmioiden yhtäläisyyden, tekevät johtopäätöksen segmenttien AB ja CD yhtäläisyydestä (dia nro 15-17).

Opettaja: Segmentit AB ja CD ovat yhtä suuret. Mitä voidaan sanoa pisteistä A ja C suhteessa linjaan BD?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Ne ovat yhtä kaukana. Ne ovat yhtä kaukana toisistaan (dia numero 18).

Opettaja: Kelpaako tämä ominaisuus pisteille?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Joo

Opettaja: Yritetään muotoilla tämä ominaisuus. Mikä on omaisuusvakuutus?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Tilanteesta ja johtopäätöksestä (dia nro 19,20).

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Jos pisteet sijaitsevat yhdellä yhdensuuntaisista viivoista, ne ovat yhtä kaukana toisesta suorasta.

Opettaja: Muokkaa tätä ominaisuutta ilman konjunktioita: if, then (dia numero 21).

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Yhdellä yhdensuuntaisella viivalla sijaitsevat pisteet ovat yhtä kaukana toisesta suorasta.

Think-Write-Round Robin -rakenne:

1. Opettaja esittää kysymyksen ja antaa aikaa ajatella

2. Oppilaat ajattelevat ja kirjoittavat vastauksen paperille

3. Oppilaat lukevat vuorotellen vastauksensa paperilta.

Opettaja: Mikä on käänteinen väite?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Jos ehto ja johtopäätös vaihdetaan.

Opettaja: Muotoile käänteinen lause (dia numero 22).

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Jos toisella kahdesta suorasta sijaitsevat pisteet ovat yhtä kaukana toisesta suorasta, suorat ovat yhdensuuntaisia.

Opettaja: Tee merkintä teknologiseen karttaan kohtaan 7.8.

Opettaja: Onko mahdollista määritellä sellainen käsite rinnakkaisten viivojen väliseksi etäisyydeksi?

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Joo

Opettaja: Mikä on yhdensuuntaisten viivojen etäisyys

Oppilaiden mahdolliset vastaukset: Yhteisen kohtisuoran pituus. Tee merkintä teknologiselle kartalle kohdassa 5.

IV. Lauseen soveltaminen, n:n toteutuminenkäytännön työ.

Opettaja: Käytännön työ. Etsi nauhan leveys.

Mikä on matemaattinen käsite - nauhan leveys?

Opettaja: Missä muualla näitä lauseita sovelletaan käytännön elämässä?

VI. Yhteenveto. Heijastus.

Opettaja: Mitä uusia konsepteja sait?

Mitä opit tunnilla?

Missä elämässä käytämme sitä?

(dia №№26-28)

Opettaja: Tee merkintä teknologiseen karttaan kohtaan 9

Kotitehtävä nro 276 279 - käänteisen lauseen todiste.

Oppitunnin itsetutkiskelu

Tavoitteet:

Aktiviteetin tavoite: luoda edellytykset itsenäiselle muotoilulle ja pisteestä suoralle pudonneen vinon ja kohtisuoran ominaisuuksien todistamiselle, luoda olosuhteet yhdensuuntaisten viivojen pisteiden yhtäläisyyden lauseen todistamiselle; organisoida opiskelijoiden toimintaa uuden tiedon ja toimintatapojen havaitsemisessa, ymmärtämisessä ja ensisijaisessa lujittamisessa.

Koulutustarkoitus: kehittää tieto siitä, että kohtisuora on pienempi kuin mikä tahansa yhdestä pisteestä suoraksi vedetty vino, kummankin kahden yhdensuuntaisen suoran kaikki pisteet ovat yhtä kaukana toisesta suorasta.

Aihe: Opiskelijalla on mahdollisuus oppia:

soveltaa lausetta käytännön ongelmien ratkaisussa

analysoida, vertailla, yleistää, tehdä johtopäätöksiä käytännön ongelmien ratkaisemiseksi.

Metasubject:

Virallinen UUD:

kyky asettaa itsenäisesti tavoitteita, valita ja luoda algoritmeja kasvatusmatemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi;

kyky suunnitella ja toteuttaa tutkimusongelmien ratkaisemiseen tähtäävää toimintaa.

Kognitiivinen UUD:

• • kyky luoda syy-seuraus-suhteita, rakentaa loogista päättelyä, päätelmiä, johtopäätöksiä;

  • kyky esittää hypoteeseja kasvatusongelmia ratkaistaessa ja ymmärtää tarve testata niitä; kyky soveltaa induktiivisia ja deduktiivisia päättelymenetelmiä, nähdä erilaisia ​​strategioita ongelmien ratkaisemiseksi;

  • kehittää alustavia ajatuksia matematiikan ideoista ja menetelmistä yleismaailmallisena tieteen kielenä, ilmiöiden ja prosessien mallinnusvälineenä;

  • kyky ymmärtää ja käyttää piirustuksia ja piirustuksia havainnollistamaan, tulkitsemaan, väittelemään.

Kommunikaatio UUD:

• kyky järjestää koulutusyhteistyötä ja yhteistoimintaa opettajan ja opiskelijoiden kanssa, määritellä tavoitteita, jakaa osallistujien tehtävät ja roolit, yleiset työtavat;

• kykyä työskennellä ryhmässä: löytää yhteinen ratkaisu ja ratkaista ristiriitoja kantoja sovittaen ja intressit huomioiden, kuunnella kumppania, muotoilla, väitellä ja puolustaa mielipiteitään.

Henkilökohtainen UUD:

• kommunikatiivisen osaamisen muodostaminen viestinnässä ja yhteistyö yhteisessä koulutus- ja tutkimustoiminnassa;

  kehittää kykyä selkeästi, tarkasti, taitavasti ilmaista ajatuksiaan suullisessa ja kirjallisessa puheessa, ymmärtää tehtävän tarkoitus, rakentaa argumentteja, antaa esimerkkejä ja vastaesimerkkejä;

  kriittisen ajattelun kehittyminen, kyky tunnistaa loogisesti virheellisiä väitteitä, erottaa hypoteesi tosiasiasta;

  kehittää luovaa ajattelua, aloitteellisuutta, kekseliäisyyttä, aktiivisuutta geometristen ongelmien ratkaisemisessa.

Oppitunnin fragmentin rakenne vastasi tyyppiä - uuden tiedon löytämisen oppituntia. Materiaalin tavoitteiden ja sisällön mukaisesti oppitunti rakennettiin seuraavien vaiheiden mukaan:

minä . Ajan järjestäminen.

II . Tiedon päivitys.

III . Oppitunnin tavoitteen asettaminen . Uuden materiaalin esittely.

IV. Lauseen soveltaminen, käytännön työn toteutus.

VI. Yhteenveto.

Kaikki oppitunnin rakenteelliset elementit säilyivät. Koulutusprosessin organisointi rakentuu aktiivisuusmenetelmällä.

Ensimmäisen vaiheen tavoiteoli nopea saada opiskelijat bisnesrytmiin.

Toisessa vaiheessa uuden materiaalin työstämiseen tarvittavat tiedot päivitettiin.

Kolmannessa vaiheessaPisteen ja suoran etäisyyden käsitteiden määrittelemiseksi vinon käsite houkutteli lapset käytännön toimiin hakuelementeillä. Ensin intuitiivisella tasolla opiskelijat esittivät hypoteesin, sitten itsenäisesti osoittivat yhdestä pisteestä suoraksi vedetyn kohtisuoran ja vinon ominaisuuden.

Yleisesti ottaen käytin käytännön tehtäviä koko oppitunnin ajan, myös alkuvakautuksen aikana. Ne auttavat houkuttelemaan opiskelijoita itsenäiseen kognitiiviseen toimintaan ja ratkaisemaan osaamisperusteisen oppimisen ongelmia.

Rinnakkaisten pisteiden yhtäläisyyttä koskevan lauseen muotoilemiseen ja todistamiseen käytin ongelmallista tehtävää, joka auttoi esittämään hypoteesin tarkasteltavana olevien kohteiden ominaisuuksista ja etsimään sen jälkeen todisteita ehdotetun kohteen pätevyydestä. oletus.

Järjestämällä työn lauseen ja sitten käänteisen lauseen muotoiluun saavutin tavoitteenalkuajatusten kehittäminen matematiikan ideoista ja menetelmistä yleismaailmallisena tieteen kielenä, ilmiöiden ja prosessien mallinnusvälineenä.

Kasvatus- ja kognitiivinen toiminta organisoitiin frontaalityöllä, yksilö- ja ryhmätyöllä. Tällainen organisaatio antoi jokaiselle opiskelijalle mahdollisuuden olla aktiivisesti mukana tavoitteen saavuttamisessa. Oppilaat tekivät yhteistyötä toistensa kanssa auttaakseen toisiaan.

Aika on mielestäni jaettu järkevästi. Lyhyen ajan oli mahdollista ottaa käyttöön käsitteet pisteen etäisyys suorasta, vino suora, yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys, muotoilla kaksi lausetta ja todistaa, harkita lauseen soveltamista käytännössä.

Selvyyden vuoksi oppitunnilla käytettiin esitystä. Käytettiin erityisellä demo-ohjelmalla vinon ja kohtisuoran pituuden vertailuun, jossa geometriset muodot heräävät henkiin. Oppitunnin aikana käytin opiskelijoiden työtä opastetaululla, joka ratkaisee opiskelijoiden tasavertaisen osallistumisen oppitunnille, materiaalin omaksumisen hallinnan ongelmat ja tietysti aktivoi opiskelijan oppitunnilla.

Oppilaat olivat aktiivisia tunnilla, onnistuin saamaan heidät mukaan tutkimustoimintaan, luovaan toimintaan, rakentavalla menetelmällä lauseen todistamiseen, lauseen muotoiluun

Oppitunnin lopussa opiskelijat muotoilivat itse aiheen.

Heijastus