Kompleksiluvun juuri algebrallisessa muodossa. Kompleksiluvut ja niiden algebralliset toiminnot
Tarkastellaan toisen asteen yhtälöä.
Määritellään sen juuret.
Ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on -1. Mutta jos kaava määrittelee operaattorin i imaginaariyksikkönä, niin tämän yhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon . Jossa ja - kompleksiluvut, joissa -1 on reaaliosa, 2 tai toisessa tapauksessa -2 on imaginaariosa. Kuvitteellinen osa on myös todellinen (reaali)luku. Kuvitteellinen osa kerrottuna imaginaariyksiköllä tarkoittaa jo kuvitteellinen luku.
Yleensä kompleksiluvulla on muoto
z = x + iy ,
missä x, y ovat reaalilukuja, on kuvitteellinen yksikkö. Useissa soveltavissa tieteissä, esimerkiksi sähkötekniikassa, elektroniikassa, signaaliteoriassa, imaginaariyksikköä merkitään j. Oikeita lukuja x = Re(z) ja y=Olen(z) nimeltään todellisia ja kuvitteellisia osia numeroita z. Ilmaisua kutsutaan algebrallinen muoto kompleksiluvun merkintä.
Mikä tahansa reaaliluku on muodossa olevan kompleksiluvun erikoistapaus . Imaginaariluku on myös kompleksiluvun erikoistapaus. .
Kompleksilukujoukon C määritelmä
Tämä lauseke kuuluu seuraavasti: set FROM, joka koostuu sellaisista elementeistä x ja y kuuluvat reaalilukujen joukkoon R ja on kuvitteellinen yksikkö. Huomaa, että jne.
Kaksi kompleksilukua ja ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret, ts. ja .
Monimutkaisia lukuja ja funktioita käytetään laajasti tieteessä ja tekniikassa, erityisesti mekaniikassa, vaihtovirtapiirien analysoinnissa ja laskennassa, analogisessa elektroniikassa, signaaliteoriassa ja -käsittelyssä, automaattiohjausteoriassa ja muissa soveltavissa tieteissä.
- Kompleksilukujen aritmetiikka
Kahden kompleksiluvun yhteenlasku koostuu niiden reaali- ja imaginaariosien yhteenlaskemisesta, ts.
Vastaavasti kahden kompleksiluvun ero
Monimutkainen luku nimeltään monimutkainen konjugaatti määrä z=x +i.y.
Kompleksikonjugaattiluvut z ja z * eroavat imaginaariosan etumerkeissä. Se on selvää
.
Mikä tahansa monimutkaisten lausekkeiden välinen tasa-arvo pysyy voimassa, jos tässä yhtäläisyydessä on kaikkialla i korvattu - i, eli siirry konjugaattilukujen yhtälöön. Numerot i ja – i ovat algebrallisesti erottamattomia, koska .
Kahden kompleksiluvun tulo (kerto) voidaan laskea seuraavasti:
Kahden kompleksiluvun jako:
Esimerkki:
- Monimutkainen taso
Kompleksiluku voidaan esittää graafisesti suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Asetetaan tasoon suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä (x, y).
akselilla Härkä järjestämme oikeat osat x, sitä kutsutaan todellinen (todellinen) akseli, akselilla Oy– kuvitteelliset osat y kompleksiluvut. Hän kantaa nimeä kuvitteellinen akseli. Lisäksi jokainen kompleksiluku vastaa tiettyä tason pistettä, ja tällaista tasoa kutsutaan monimutkainen taso. kohta MUTTA kompleksitaso vastaa vektoria OA.
Määrä x nimeltään abskissa kompleksiluku, luku y – ordinaattinen.
Kompleksikonjugaattilukupari näytetään pisteinä, jotka sijaitsevat symmetrisesti todellisen akselin ympärillä.
Jos lentokoneessa asetettu napakoordinaattijärjestelmä, sitten jokainen kompleksiluku z määritetään napakoordinaateilla. Jossa moduuli numeroita on pisteen napainen säde ja kulma - sen napakulma tai kompleksilukuargumentti z.
Kompleksiluvun moduuli aina ei negatiivinen. Kompleksiluvun argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti. Argumentin pääarvon on täytettävä ehto . Jokainen kompleksitason piste vastaa myös argumentin kokonaisarvoa. Argumentit, jotka eroavat 2π:n kerrannaiselta, katsotaan yhtäläisiksi. Numeroargumenttia nolla ei ole määritetty.
Argumentin pääarvon määrittävät lausekkeet:
Se on selvää
Jossa
, .
Kompleksilukuesitys z kuten
nimeltään trigonometrinen muoto kompleksiluku.
Esimerkki.
- Kompleksilukujen eksponentiaalinen muoto
Hajoaminen sisään Maclaurin-sarja todellisille argumenttifunktioille näyttää:
Monimutkaisen argumentin eksponentiaaliselle funktiolle z hajoaminen on samanlaista
.
Maclaurin-sarjan laajennus imaginaarisen argumentin eksponentiaaliselle funktiolle voidaan esittää muodossa
Tuloksena olevaa identiteettiä kutsutaan Eulerin kaava.
Negatiivinen argumentti näyttää siltä
Yhdistämällä näitä lausekkeita voimme määritellä seuraavat lausekkeet sinille ja kosinille
.
Käyttämällä Eulerin kaavaa kompleksilukujen esityksen trigonometrisesta muodosta
saatavilla demonstratiivista kompleksiluvun (eksponentiaalinen, polaarinen) muoto, ts. sen edustus muodossa
,
missä - pisteen napakoordinaatit, joissa on suorakulmaiset koordinaatit ( x,y).
Kompleksiluvun konjugaatti kirjoitetaan eksponentiaalisessa muodossa seuraavasti.
Eksponentiaaliselle muodolle on helppo määritellä seuraavat kaavat kompleksilukujen kerto- ja jakolaskua varten
Eli eksponentiaalisessa muodossa kompleksilukujen tulo ja jako on helpompaa kuin algebrallisessa muodossa. Kerrottaessa tekijöiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään. Tämä sääntö koskee monia tekijöitä. Erityisesti kompleksilukua kerrottaessa z päällä i vektori z pyörii vastapäivään 90 astetta
Jakamisessa osoittajamoduuli jaetaan nimittäjämoduulilla ja nimittäjäargumentti vähennetään osoittajaargumentista.
Kompleksilukujen eksponentiaalista muotoa käyttämällä voidaan saada lausekkeita hyvin tunnetuille trigonometrisille identiteeteille. Esimerkiksi identiteetistä
Eulerin kaavan avulla voimme kirjoittaa
Kun reaali- ja imaginaariosa rinnastetaan tässä lausekkeessa, saadaan lausekkeet kulmien summan kosinille ja sinille
- Kompleksilukujen potenssit, juuret ja logaritmit
Kompleksiluvun nostaminen luonnolliseksi potenssiksi n valmistettu kaavan mukaan
Esimerkki. Laskea .
Kuvittele numero trigonometrisessa muodossa
’
Käyttämällä eksponentiointikaavaa saamme
Arvon asettaminen lausekkeeseen r= 1, saamme ns De Moivren kaava, jolla voit määrittää useiden kulmien sinien ja kosinien lausekkeet.
juuri n kompleksiluvun potenssi z Sillä on n lausekkeen määräämät erilaiset arvot
Esimerkki. Etsitään .
Tätä varten ilmaisemme kompleksiluvun () trigonometriseen muotoon
.
Kompleksiluvun juuren laskentakaavan mukaan saamme
Kompleksiluvun logaritmi z on numero w, mille . Kompleksiluvun luonnollisella logaritmilla on ääretön määrä arvoja ja se lasketaan kaavalla
Koostuu todellisista (kosinin) ja imaginaariosista (sini). Tällainen jännitys voidaan esittää pituusvektorina Hmm, alkuvaihe (kulma), pyörivä kulmanopeudella ω .
Lisäksi jos monimutkaisia funktioita lisätään, niiden todelliset ja kuvitteelliset osat lisätään. Jos kompleksifunktio kerrotaan vakiolla tai reaalifunktiolla, niin sen reaali- ja imaginaariosa kerrotaan samalla kertoimella. Tällaisen monimutkaisen funktion eriyttäminen/integrointi pelkistyy todellisten ja kuvitteellisten osien eriyttämiseen/integrointiin.
Esimerkiksi monimutkaisen stressiilmaisun erilaistuminen
on kertoa se iω on funktion f(z), ja reaaliosa on funktion kuvitteellinen osa. Esimerkkejä: .
Merkitys z on esitetty kompleksisen z-tason pisteellä ja vastaavalla arvolla w- piste kompleksitasossa w. Kun näytetään w = f(z) tasolinjat z kulkea koneen linjoihin w, yhden tason kuviot toisen tason kuvioiksi, mutta viivojen tai kuvioiden muodot voivat muuttua merkittävästi.