Logaritmiset epäyhtälöt ovat yksinkertaisimpia. Manovin työ "logaritmiset epäyhtälöt kokeessa". Mitä tarvitaan logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseen
Oppitunnin tavoitteet:
Didaktinen:
- Taso 1 - opettaa ratkaisemaan yksinkertaisimmat logaritmiset epäyhtälöt logaritmin määritelmän avulla, logaritmien ominaisuudet;
- Taso 2 - ratkaise logaritmiset epäyhtälöt valitsemalla oma ratkaisumenetelmäsi;
- Taso 3 - osaa soveltaa tietoja ja taitoja epätyypillisissä tilanteissa.
Kehitetään: kehittää muistia, huomiokykyä, loogista ajattelua, vertailutaitoja, osaa yleistää ja tehdä johtopäätöksiä
Koulutuksellinen: kasvattaa tarkkuutta, vastuullisuutta suoritetusta tehtävästä, keskinäistä apua.
Opetusmenetelmät: sanallinen , visuaalinen , käytännöllinen , osittainen haku , itsehallinto , ohjata.
Opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan organisointimuodot: edestä , yksilöllinen , työskennellä pareittain.
Laitteet: joukko testitehtäviä, viitemuistiinpano, tyhjiä arkkeja ratkaisuille.
Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.
Tuntien aikana
1. Organisatorinen hetki. Ilmoitetaan oppitunnin teema ja tavoitteet, oppitunnin kaava: jokaiselle opiskelijalle jaetaan arviointilomake, jonka opiskelija täyttää oppitunnin aikana; kullekin opiskelijaparille - painetut materiaalit, joissa on tehtäviä, sinun on suoritettava tehtävät pareittain; tyhjät arkit päätöksiä varten; viitesivut: logaritmin määritelmä; logaritmisen funktion kuvaaja, sen ominaisuudet; logaritmien ominaisuudet; algoritmi logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi.
Kaikki itsearvioinnin jälkeen tehdyt päätökset toimitetaan opettajalle.
Opiskelijan tulostaulukko
2. Tiedon toteutuminen.
Opettajan ohjeet. Muista logaritmin määritelmä, logaritmisen funktion kuvaaja ja sen ominaisuudet. Tätä varten lue teksti sivuilta 88–90, 98–101 Sh.A Alimovin, Yu.M Kolyaginin ja muiden toimittamasta oppikirjasta "Algebra ja analyysin alku 10-11".
Opiskelijoille jaetaan arkit, joille kirjoitetaan: logaritmin määritelmä; näyttää logaritmisen funktion kaavion, sen ominaisuudet; logaritmien ominaisuudet; algoritmi logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi, esimerkki logaritmisen epäyhtälön ratkaisemisesta, joka pelkistyy neliöiksi.
3. Uuden materiaalin oppiminen.
Logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisu perustuu logaritmisen funktion monotonisuuteen.
Algoritmi logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi:
A) Etsi epäyhtälön määritelmäalue (sublogaritminen lauseke on suurempi kuin nolla).
B) Esitä (jos mahdollista) epäyhtälön vasen ja oikea osa logaritmeina samassa kannassa.
C) Määritä, onko logaritminen funktio kasvava vai laskeva: jos t>1, niin kasvaa; jos 0
D) Siirry yksinkertaisempaan epäyhtälöön (sublogaritmiset lausekkeet) ottaen huomioon, että epäyhtälömerkki säilyy, jos funktio kasvaa, ja muuttuu, jos se pienenee.
Oppimiselementti #1.
Tarkoitus: korjata yksinkertaisimpien logaritmisten epäyhtälöiden ratkaisu
Opiskelijoiden kognitiivisen toiminnan organisointimuoto: yksilötyö.
Tehtäviä itsenäiseen työskentelyyn 10 minuuttia. Jokaiselle epätasa-arvolle on useita vastauksia, sinun on valittava oikea ja tarkistettava avaimella.
AVAIN: 13321, maksimipisteet - 6 p.
Oppimiselementti #2.
Tarkoitus: korjata logaritmien epäyhtälöiden ratkaisu logaritmien ominaisuuksia soveltamalla.
Opettajan ohjeet. Muista logaritmien perusominaisuudet. Voit tehdä tämän lukemalla oppikirjan tekstin s. 92, 103–104.
Tehtäviä itsenäiseen työskentelyyn 10 minuuttia.
AVAIN: 2113, maksimipistemäärä on 8 b.
Oppimiselementti #3.
Tarkoitus: tutkia logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisua neliön pelkistysmenetelmällä.
Opettajan ohje: Epäyhtälön pelkistämismenetelmä neliöön on niin, että epäyhtälö on muutettava sellaiseen muotoon, että tietty logaritminen funktio merkitään uudella muuttujalla, samalla kun saadaan neliö-epäyhtälö tämän muuttujan suhteen.
Käytetään intervallimenetelmää.
Olet läpäissyt materiaalin assimilaation ensimmäisen tason. Nyt sinun on valittava itsenäisesti menetelmä logaritmien yhtälöiden ratkaisemiseksi käyttämällä kaikkia tietojasi ja kykyjäsi.
Oppielementti numero 4.
Tarkoitus: vahvistaa logaritmien epäyhtälöiden ratkaisua valitsemalla itse järkevä ratkaisutapa.
Tehtäviä itsenäiseen työskentelyyn 10 minuuttia
Oppielementti numero 5.
Opettajan ohjeet. Hyvin tehty! Olet hallinnut toisen kompleksisuustason yhtälöiden ratkaisun. Jatkotyösi tarkoituksena on soveltaa tietojasi ja taitojasi monimutkaisemmissa ja epätyypillisissä tilanteissa.
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:
Opettajan ohjeet. On hienoa, jos olet tehnyt kaiken työn. Hyvin tehty!
Koko oppitunnin arvosana riippuu kaikkien koulutusosien pistemäärästä:
- jos N ≥ 20, saat arvosanan "5",
- 16 ≤ N ≤ 19 – pistemäärä "4",
- 8 ≤ N ≤ 15 – pistemäärä "3",
- osoitteessa N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).
Arvioitu kettuja luovutettava opettajalle.
5. Kotitehtävä: jos sait korkeintaan 15 b - työstä virheet (ratkaisut voi ottaa opettajalta), jos sait enemmän kuin 15 b - tee luova tehtävä aiheesta "Logaritmiset epäyhtälöt".
Logaritmista funktiota tutkiessamme huomioimme pääasiassa muodon epäyhtälöitä
kirjaa x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Ratkaise epäyhtälö lg (x + 1) ≤ 2 (1).
Ratkaisu.
1) Tarkasteltavana olevan epäyhtälön oikea puoli on järkevä kaikille x:n arvoille ja vasen puoli - x + 1 > 0, ts. x > -1.
2) Väliä x\u003e -1 kutsutaan epäyhtälön (1) määritelmäalueeksi. Logaritminen funktio kantaluvulla 10 kasvaa, joten ehdolla x + 1 > 0 epäyhtälö (1) täyttyy, jos x + 1 ≤ 100 (koska 2 = lg 100). Siten epätasa-arvo (1) ja eriarvoisuusjärjestelmä
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
ovat ekvivalentteja, toisin sanoen eriarvoisuuden (1) ratkaisujoukko ja eriarvoisuusjärjestelmä (2) ovat samat.
3) Ratkaisujärjestelmä (2), löydämme -1< х ≤ 99.
Vastaus. -yksi< х ≤ 99.
Ratkaise epäyhtälö log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).
Ratkaisu.
1) Tarkastelun logaritmisen funktion alue on argumentin positiivisten arvojen joukko, joten epäyhtälön vasen puoli on järkevä x - 3 > 0 ja x - 2 > 0.
Siksi tämän epäyhtälön alue on väli x > 3.
2) Logaritmin ominaisuuksien mukaan epäyhtälö (3) arvolle х > 3 vastaa epäyhtälöä log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) Kanta 2 logaritminen funktio kasvaa. Siksi, jos х > 3, epäyhtälö (4) täyttyy, jos (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Alkuperäinen epäyhtälö (3) on siis yhtä suuri kuin epäyhtälöjärjestelmä
((x - 3) (x - 2) ≤ 2,
(x > 3.
Ratkaisemalla tämän järjestelmän ensimmäinen epäyhtälö saadaan x 2 - 5x + 4 ≤ 0, josta 1 ≤ x ≤ 4. Yhdistämällä tämä segmentti väliin x > 3, saadaan 3< х ≤ 4.
Vastaus. 3< х ≤ 4.
Ratkaise epäyhtälö log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)
Ratkaisu.
1) Epäyhtälön määritelmäalue löytyy ehdosta x 2 + 2x - 8 > 0.
2) Epäyhtälö (5) voidaan kirjoittaa seuraavasti: 
log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.
3) Koska logaritminen funktio, jonka kanta on ½, on pienenevä, niin kaikelle x:lle koko epäyhtälön alueelta saadaan:
x 2 + 2x - 8 ≤ 16.
Siten alkuperäinen yhtäläisyys (5) vastaa epäyhtälöjärjestelmää
(x 2 + 2x - 8 > 0 tai (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.
Ratkaisemalla ensimmäinen neliöllinen epäyhtälö saadaan x< -4, х >2. Ratkaisemalla toinen toisen asteen epäyhtälö saadaan -6 ≤ x ≤ 4. Siksi järjestelmän molemmat epäyhtälöt täyttyvät samanaikaisesti -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Vastaus. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Logaritmiset epäyhtälöt
Edellisillä tunneilla tutustuimme logaritmiin yhtälöihin ja nyt tiedämme mitä ne ovat ja miten ne ratkaistaan. Ja tämän päivän oppitunti on omistettu logaritmisen epäyhtälöiden tutkimukselle. Mitä nämä epäyhtälöt ovat ja mitä eroa on logaritmisen yhtälön ja epäyhtälöiden ratkaisemisen välillä?
Logaritmiset epäyhtälöt ovat epäyhtälöitä, joilla on muuttuja logaritmin merkin alla tai sen pohjassa.
Tai voidaan myös sanoa, että logaritminen epäyhtälö on epäyhtälö, jossa sen tuntematon arvo, kuten logaritmisessa yhtälössä, on logaritmin merkin alla.
Yksinkertaisimmat logaritmiset epäyhtälöt näyttävät tältä:
missä f(x) ja g(x) ovat joitain lausekkeita, jotka riippuvat x:stä.
Tarkastellaan tätä seuraavan esimerkin avulla: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Logaritmisen epäyhtälöiden ratkaiseminen
Ennen logaritmien epäyhtälöiden ratkaisemista on syytä huomata, että kun ne on ratkaistu, ne ovat samanlaisia kuin eksponentiaaliset epäyhtälöt, nimittäin:
Ensinnäkin, siirryttäessä logaritmeista logaritmin merkin alla oleviin lausekkeisiin, meidän on myös verrattava logaritmin kantaa yhteen;
Toiseksi, kun ratkaistaan logaritminen epäyhtälö muuttujien muutoksella, meidän on ratkaistava epäyhtälöt muutoksen suhteen, kunnes saadaan yksinkertaisin epäyhtälö.
Mutta me tarkastelimme samanlaisia logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemisen hetkiä. Katsotaanpa nyt melko merkittävää eroa. Sinä ja minä tiedämme, että logaritmisella funktiolla on rajoitettu määritelmäalue, joten siirryttäessä logaritmeista logaritmin merkin alla oleviin lausekkeisiin sinun on otettava huomioon hyväksyttävien arvojen (ODV) alue.
Eli on pidettävä mielessä, että logaritmisen yhtälön ratkaisemisen yhteydessä voimme ensin löytää yhtälön juuret ja sitten tarkistaa tämän ratkaisun. Mutta logaritmisen epäyhtälön ratkaiseminen ei toimi tällä tavalla, koska siirryttäessä logaritmista logaritmin merkin alla oleviin lausekkeisiin, on tarpeen kirjoittaa epäyhtälön ODZ.
Lisäksi on syytä muistaa, että epäyhtälöiden teoria koostuu reaaliluvuista, jotka ovat positiivisia ja negatiivisia lukuja, sekä luvusta 0.
Esimerkiksi kun luku "a" on positiivinen, on käytettävä seuraavaa merkintää: a > 0. Tässä tapauksessa sekä näiden lukujen summa että tulo ovat myös positiivisia.
Epäyhtälön ratkaisemisen perusperiaate on korvata se yksinkertaisemmalla epäyhtälöllä, mutta pääasia on, että se vastaa annettua epäyhtälöä. Lisäksi saimme myös epäyhtälön ja korvasimme sen jälleen yksinkertaisemmalla muodolla ja niin edelleen.
Ratkaistaessa epäyhtälöitä muuttujan avulla, sinun on löydettävä kaikki sen ratkaisut. Jos kahdella epäyhtälöllä on sama muuttuja x, niin tällaiset epäyhtälöt ovat ekvivalentteja, jos niiden ratkaisut ovat samat.
Kun suoritetaan tehtäviä logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi, on muistettava, että kun a > 1, niin logaritminen funktio kasvaa ja kun 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Tapoja logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi
Katsotaanpa nyt joitain menetelmiä, joita käytetään logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Paremman ymmärtämisen ja omaksumisen vuoksi yritämme ymmärtää niitä käyttämällä erityisiä esimerkkejä.
Tiedämme, että yksinkertaisin logaritminen epäyhtälö on seuraavanlainen:
Tässä epäyhtälössä V - on yksi sellaisista epätasa-arvomerkeistä kuin:<,>, ≤ tai ≥.
Kun tämän logaritmin kanta on suurempi kuin yksi (a>1), jolloin siirrytään logaritmista logaritmin merkin alla oleviin lausekkeisiin, tässä versiossa epäyhtälömerkki säilyy ja epäyhtälö näyttää tältä:
joka vastaa seuraavaa järjestelmää:
Siinä tapauksessa, että logaritmin kanta on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi (0 Tämä vastaa tätä järjestelmää: Katsotaanpa lisää esimerkkejä alla olevan kuvan yksinkertaisimpien logaritmisten epäyhtälöiden ratkaisemisesta: Harjoittele. Yritetään ratkaista tämä epätasa-arvo: Sallittujen arvojen alueen päätös. Yritetään nyt kertoa sen oikea puoli: Katsotaan mitä voimme tehdä: Siirrytään nyt sublogaritmisen lausekkeiden muuntamiseen. Koska logaritmin kanta on 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Ja tästä seuraa, että saamamme intervalli kuuluu kokonaan ODZ:hen ja on ratkaisu tällaiseen epäyhtälöön. Tässä on vastaus, jonka saimme: Yritetään nyt analysoida, mitä tarvitsemme logaritmisen epäyhtälöiden menestyksekkääseen ratkaisemiseen? Ensinnäkin keskitä kaikki huomiosi ja yritä olla tekemättä virheitä suorittaessasi muutoksia, jotka annetaan tässä epätasa-arvossa. Lisäksi on muistettava, että tällaisten epätasa-arvojen ratkaisemisessa on vältettävä ODZ-epätasa-arvon laajenemista ja kaventumista, mikä voi johtaa vieraiden ratkaisujen menettämiseen tai hankkimiseen. Toiseksi, kun ratkaiset logaritmisia epäyhtälöitä, sinun on opittava ajattelemaan loogisesti ja ymmärtämään ero tällaisten käsitteiden, kuten epätasa-arvojärjestelmän ja epätasa-arvojoukon, välillä, jotta voit helposti valita ratkaisuja epätasa-arvoon sen DHS:n ohjaamana. Kolmanneksi tällaisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi onnistuneesti jokaisen teistä on tiedettävä täydellisesti kaikki perusfunktioiden ominaisuudet ja ymmärrettävä selvästi niiden merkitys. Tällaisia toimintoja ovat paitsi logaritmiset, myös rationaaliset, teho-, trigonometriset jne., sanalla sanoen kaikki ne, joita opiskelit koulualgebran aikana. Kuten näet, logaritmisen eriarvoisuuden aihetta tutkittuasi näiden epätasa-arvojen ratkaisemisessa ei ole mitään vaikeaa, jos olet tarkkaavainen ja sinnikäs tavoitteidesi saavuttamisessa. Jotta eriarvoisuuksien ratkaisemisessa ei ole ongelmia, sinun on harjoitettava mahdollisimman paljon ratkaisemalla erilaisia tehtäviä ja samalla muistettava tärkeimmät tavat ratkaista epätasa-arvo ja niiden järjestelmät. Epäonnistuneiden logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisuissa sinun tulee analysoida virheet huolellisesti, jotta et palaa niihin uudelleen tulevaisuudessa. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt aiheen paremman omaksumisen ja käsitellyn materiaalin yhdistämiseksi: Logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemisessa käytämme logaritmisen funktion monotonisuusominaisuutta. Käytämme myös logaritmin määritelmää ja logaritmisen peruskaavoja. Kerrataan, mitä logaritmit ovat: Logaritmi positiivinen luku pohjassa on osoitus tehosta, johon sinun on korotettava saadaksesi . Jossa Logaritmisen perusidentiteetti: Logaritmien peruskaavat: (Tulostuksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa) (Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus) (Tutkinnon logaritmin kaava) Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaava on: Algoritmi logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi Voidaan sanoa, että logaritmiset epäyhtälöt ratkaistaan tietyn algoritmin mukaan. Meidän on kirjoitettava eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen alue (ODV). Tuo epäyhtälö muotoon. Etumerkki voi olla mikä tahansa: On tärkeää, että epäyhtälön vasen ja oikea olivat logaritmeja samassa kannassa. Ja sen jälkeen "hylkäämme" logaritmit! Lisäksi, jos asteen kanta on , epäyhtälömerkki pysyy samana. Jos kanta on sellainen, että epäyhtälön etumerkki on käänteinen. Tietenkään emme vain "poista" logaritmeja. Käytämme logaritmisen funktion monotonisuusominaisuutta. Jos logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, logaritminen funktio kasvaa monotonisesti, ja sitten suurempi x:n arvo vastaa suurempaa lausekkeen arvoa. Jos kanta on suurempi kuin nolla ja pienempi kuin yksi, logaritminen funktio pienenee monotonisesti. Argumentin x suurempi arvo vastaa pienempää arvoa Tärkeä huomautus: ratkaisu on parasta kirjoittaa vastaavien siirtymien ketjuna. Jatketaan harjoittelua. Kuten aina, aloitamme yksinkertaisimmista epätasa-arvoista. 1. Tarkastellaan epäyhtälöä log 3 x > log 3 5. No, tämä sanamuoto kuulostaa kuuluisalta ja on helppo muistaa. Mutta miksi voimme silti tehdä sen? Olemme ihmisiä, olemme älykkäitä. Mielemme on järjestetty niin, että kaikki mikä on loogista, ymmärrettävää, jolla on sisäinen rakenne, muistetaan ja sovelletaan paljon paremmin kuin satunnaiset ja toisiinsa liittymättömät tosiasiat. Siksi on tärkeää, ettei sääntöjä opeteta mekaanisesti ulkoa, kuten koulutetun matemaatikkokoiran, vaan toimitaan tietoisesti. Miksi siis edelleen "hylkäämme logaritmit"? Vastaus on yksinkertainen: jos kanta on suurempi kuin yksi (kuten meidän tapauksessamme), logaritminen funktio kasvaa monotonisesti, mikä tarkoittaa, että suurempi x:n arvo vastaa suurempaa y:n arvoa ja epäyhtälöstä log 3 x 1 > log 3 x 2, tästä seuraa, että x 1 > x 2. Joten x > 5. Myös seuraava logaritminen epäyhtälö on yksinkertainen. 2. tukki 5 (15 + 3x) > log 5 2x Aloitetaan hyväksyttävien arvojen alueelta. Logaritmit määritellään vain positiivisille luvuille, joten Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme: x > 0. Siirrytään nyt logaritmisesta algebralliseen epäyhtälöön - "hylkäämme" logaritmit. Koska logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, epäyhtälömerkki säilyy. 15 + 3x > 2x. Saamme: x > −15. Vastaus: x > 0. Mutta mitä tapahtuu, jos logaritmin kanta on pienempi kuin yksi? On helppo arvata, että tässä tapauksessa, kun siirrytään algebralliseen epäyhtälöön, epäyhtälömerkki muuttuu. Otetaan esimerkki. Kirjoitetaan ODZ. Lausekkeiden, joista logaritmit otetaan, on oltava positiivisia, eli Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme: x > 4.5. Koska , peruslogaritminen funktio pienenee monotonisesti. Ja tämä tarkoittaa, että suurempi funktion arvo vastaa pienempää argumentin arvoa: Saamme, että x ≤ 9. Koska x > 4,5, kirjoitamme vastauksen: Seuraavassa tehtävässä eksponentiaalinen epäyhtälö pelkistetään neliöllisiksi. Suosittelemme siis toistamaan aiheen "neliö epätasa-arvo". Nyt monimutkaisempia eriarvoisuuksia: 4. Ratkaise epäyhtälö 5. Ratkaise epäyhtälö Jos sitten . Olimme onnekkaita! Tiedämme, että logaritmin kanta on suurempi kuin yksi kaikille x-arvoille DPV:ssä. Tehdään vaihto Huomaa, että ratkaisemme ensin täysin epäyhtälön uuden muuttujan t suhteen. Ja vasta sen jälkeen palaamme muuttujaan x. Muista tämä ja älä tee virheitä kokeessa! Muistetaan sääntö: jos yhtälössä tai epäyhtälössä on juuria, murtolukuja tai logaritmeja, ratkaisun tulee alkaa hyväksyttävien arvojen alueelta. Koska logaritmin kantapään on oltava positiivinen eikä yhtä suuri kuin yksi, saamme ehtojärjestelmän: Yksinkertaistetaan tätä järjestelmää: Tämä on eriarvoisuuden hyväksyttävien arvojen alue. Näemme, että muuttuja sisältyy logaritmin kantaan. Jatketaan pysyvään tukikohtaan. Muista tuo Tässä tapauksessa on kätevää mennä tukikohtaan 4. Yksinkertaista epäyhtälö ja ratkaise se intervallimenetelmällä: Takaisin muuttujaan x: 7. Myös seuraava ongelma ratkaistaan intervallimenetelmällä Kuten aina, aloitamme logaritmisen epäyhtälön ratkaisun hyväksyttävien arvojen alueelta. Tässä tapauksessa Tämä ehto on välttämättä täytettävä, ja palaamme siihen. Katsotaanpa itse epätasa-arvoa. Kirjoita vasemmalle puolelle 3 kantalogaritmi: Oikea puoli voidaan myös kirjoittaa logaritmina kantaan 3 ja sitten siirtyä algebralliseen epäyhtälöön: Näemme, että ehto (eli ODZ) täyttyy nyt automaattisesti. No, tämä yksinkertaistaa epätasa-arvon ratkaisua. Ratkaisemme epäyhtälön intervallimenetelmällä: Tapahtui? No, nostetaan vaikeustasoa: 8. Ratkaise epäyhtälö: Epätasa-arvo vastaa järjestelmää: 9. Ratkaise epäyhtälö: Lauseke 5 - x 2 toistetaan pakkomielteisesti ongelman tilanteessa. Ja tämä tarkoittaa, että voit tehdä korvaavan: Koska eksponentiaalinen funktio saa vain positiivisia arvoja, t> 0. Sitten Epätasa-arvo saa muotonsa: Jo paremmin. Etsitään eriarvoisuuden sallittujen arvojen alue. Olemme jo sanoneet sen t> 0. Lisäksi ( t− 3) (5 9 t − 1) > 0 Jos tämä ehto täyttyy, osamäärä on myös positiivinen. Ja epäyhtälön oikealla puolella olevan logaritmin alla olevan lausekkeen on oltava positiivinen, eli (625 t − 2) 2 . Tämä tarkoittaa, että 625 t− 2 ≠ 0, ts. Kirjoita ODZ huolellisesti muistiin ja ratkaise tuloksena oleva järjestelmä intervallimenetelmällä. No, puoli taistelusta on tehty - selvitimme ODZ:n. Ratkaistaan eriarvoisuus. Vasemmalla puolella olevien logaritmien summa esitetään tulon logaritmina. Logaritmien epäyhtälöiden koko joukosta tutkitaan erikseen epäyhtälöitä, joilla on muuttuva kanta. Ne ratkaistaan erityisen kaavan mukaan, jota jostain syystä harvoin opetetaan koulussa: log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0 Jackdaw "∨" sijasta voit laittaa minkä tahansa epätasa-arvon merkin: enemmän tai vähemmän. Pääasia on, että molemmissa epäyhtälöissä merkit ovat samat. Joten pääsemme eroon logaritmeista ja pelkistämme ongelman rationaaliseksi epätasa-arvoksi. Jälkimmäinen on paljon helpompi ratkaista, mutta kun logaritmit hylätään, ylimääräisiä juuria voi ilmestyä. Niiden katkaisemiseksi riittää, että löydetään sallittujen arvojen alue. Jos unohdit logaritmin ODZ:n, suosittelen sen toistamista - katso "Mikä on logaritmi". Kaikki hyväksyttävien arvojen alueeseen liittyvä on kirjoitettava ja ratkaistava erikseen: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Nämä neljä eriarvoisuutta muodostavat järjestelmän, ja ne on täytettävä samanaikaisesti. Kun hyväksyttävien arvojen alue löytyy, jää ylittää se rationaalisen epäyhtälön ratkaisulla - ja vastaus on valmis. Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö: Ensin kirjoitetaan logaritmin ODZ: Kaksi ensimmäistä epäyhtälöä suoritetaan automaattisesti, ja viimeinen on kirjoitettava. Koska luvun neliö on nolla silloin ja vain jos itse luku on nolla, meillä on: x 2 + 1 ≠ 1; Osoittautuu, että logaritmin ODZ on kaikki luvut paitsi nolla: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nyt ratkaisemme pääepätasa-arvon: Suoritamme siirtymisen logaritmisesta epäyhtälöstä rationaaliseen. Alkuperäisessä epäyhtälössä on ”vähemmän”-merkki, joten tuloksena olevan epäyhtälön tulee olla myös ”vähemmän”-merkillä. Meillä on: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0; Tämän lausekkeen nollat: x = 3; x = -3; x = 0. Lisäksi x = 0 on toisen kerrannaisarvon juuri, mikä tarkoittaa, että sen läpi kulkiessaan funktion etumerkki ei muutu. Meillä on: Saamme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Tämä joukko sisältyy kokonaan logaritmin ODZ:hen, mikä tarkoittaa, että tämä on vastaus. Usein alkuperäinen epäyhtälö poikkeaa yllä olevasta. Tämä on helppo korjata logaritmien kanssa työskentelyn standardisääntöjen mukaisesti - katso "Logaritmien perusominaisuudet". Nimittäin: Haluan erikseen muistuttaa hyväksyttävien arvojen vaihteluvälistä. Koska alkuperäisessä epäyhtälössä voi olla useita logaritmeja, on löydettävä kunkin niistä DPV. Siten yleinen kaavio logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi on seuraava: Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö: Etsi ensimmäisen logaritmin määritelmäalue (ODZ): Ratkaisemme intervallimenetelmällä. Osoittajan nollien löytäminen: 3x − 2 = 0; Sitten - nimittäjän nollat: x - 1 = 0; Merkitsemme nollia ja merkkejä koordinaattinuoleen: Saamme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ:n toinen logaritmi on sama. Jos et usko minua, voit tarkistaa. Nyt muunnamme toisen logaritmin siten, että kanta on kaksi: Kuten näet, kolmiot tyvessä ja ennen logaritmia ovat kutistuneet. Hanki kaksi logaritmia samalla kantaluvulla. Laitetaan ne yhteen: log 2 (x − 1) 2< 2; Olemme saaneet standardin logaritmisen epäyhtälön. Logaritmeista päästään eroon kaavan avulla. Koska alkuperäisessä epäyhtälössä on pienempi kuin -merkki, tuloksena olevan rationaalisen lausekkeen on myös oltava pienempi kuin nolla. Meillä on: (f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0; Meillä on kaksi settiä: On vielä ylitettävä nämä joukot - saamme todellisen vastauksen: Olemme kiinnostuneita joukkojen leikkauspisteestä, joten valitsemme molemmilla nuolilla varjostetut intervallit. Saamme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - kaikki pisteet on pisteytetty.
Esimerkkien ratkaisu
3x > 24;
x > 8. 
Mitä tarvitaan logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseen?
Kotitehtävät
Koska logaritmit määritetään vain positiivisille luvuille, x:n on oltava positiivinen. Ehtoa x > 0 kutsutaan annetun epäyhtälön hyväksyttävien arvojen alueeksi (ODV). Vain sellaiselle x:lle epäyhtälö on järkevä.
Huomaa, että olemme siirtyneet algebralliseen epäyhtälöön ja epäyhtälömerkki säilyy samalla.
Ja jos, niin sitten
2x − 9 ≤ x.
Tehdään vaihto
Olemme lisänneet ehdon x> 0 (ODZ:sta).
Vastaus:
Niin,
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.
Logaritmisen epäyhtälöiden muunnos
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).