Etsi kärjet kolmiosta, jonka sivut on annettu yhtälöllä. Kuinka oppia ratkaisemaan analyyttisen geometrian ongelmia? Tyypillinen ongelma kolmion kanssa tasossa. Mitä sinun tulee tietää ja pystyä ratkaisemaan geometrian ongelmia

Kuinka oppia ratkaisemaan analyyttisen geometrian ongelmia?
Tyypillinen ongelma tasossa olevan kolmion kanssa

Tämä oppitunti luotiin lähestymisestä päiväntasaajaan tason geometrian ja avaruuden geometrian välillä. Tällä hetkellä on tarve systematisoida kertynyt tieto ja vastata erittäin tärkeään kysymykseen: kuinka oppia ratkaisemaan analyyttisen geometrian ongelmia? Vaikeus on siinä, että geometriassa on ääretön määrä tehtäviä, eikä mikään oppikirja voi sisältää kaikkia monia ja erilaisia ​​esimerkkejä. Ei ole funktion derivaatta viisi eriyttämissääntöä, taulukko ja muutama tekniikka….

Ratkaisu on olemassa! En sano ääneen sanoja, että olen kehittänyt jonkinlaisen suurenmoisen tekniikan, mutta mielestäni kyseessä olevaan ongelmaan on olemassa tehokas lähestymistapa, joka mahdollistaa jopa täydellä vedenkeittimellä hyviä ja erinomaisia ​​tuloksia. Ainakin yleinen geometristen tehtävien ratkaisualgoritmi muotoutui hyvin selkeästi päässäni.

MITÄ SINUN TARVITSE TIETÄÄ JA KYKYÄ
onnistuneesti ratkaisemaan geometrian ongelmia?

Tästä ei pääse pakoon - jotta et tönäisi nappeja satunnaisesti nenälläsi, sinun on hallittava analyyttisen geometrian perusteet. Siksi, jos olet juuri aloittanut geometrian opiskelun tai olet unohtanut sen kokonaan, aloita oppitunnilla Vektorit tutille. Vektorien ja niiden kanssa suoritettavien toimien lisäksi sinun on tiedettävä tasogeometrian peruskäsitteet, erityisesti tasossa olevan suoran yhtälö Ja . Avaruuden geometriaa edustavat artikkelit Tasoyhtälö, Suoran yhtälöt avaruudessa, Perustehtävät linjalla ja lentokoneella ja joitain muita oppitunteja. Kaarevat viivat ja toisen asteen tilapinnat erottuvat hieman toisistaan, eikä niissä ole niin paljon erityisiä ongelmia.

Oletetaan, että opiskelijalla on jo alkeelliset tiedot ja taidot ratkaista analyyttisen geometrian yksinkertaisimmat ongelmat. Mutta se tapahtuu näin: luet ongelman tilanteen ja ... haluat sulkea koko asian kokonaan, heittää sen kaukaiseen nurkkaan ja unohtaa sen, kuin kauhean unen. Lisäksi tämä ei ole pohjimmiltaan riippuvainen pätevyyden tasosta, itsekin kohtaan ajoittain tehtäviä, joihin ratkaisu ei ole ilmeinen. Kuinka toimia tällaisissa tapauksissa? Sinun ei tarvitse pelätä tehtävää, jota et ymmärrä!

Ensinnäkin, tulee asettaa arvoon onko se "taso" vai tilaongelma? Esimerkiksi, jos ehdossa esiintyy vektoreita, joilla on kaksi koordinaattia, niin tämä on tietysti tason geometria. Ja jos opettaja latasi kiitollisen kuuntelijan pyramidilla, niin siellä on selvästi tilan geometria. Ensimmäisen vaiheen tulokset ovat jo varsin hyviä, koska onnistuimme leikkaamaan valtavan määrän tarpeetonta tietoa tähän tehtävään!

Toinen. Ehto koskee pääsääntöisesti sinua jonkin geometrisen kuvion suhteen. Todellakin, kävele kotimaisen yliopistosi käytäviä ja näet paljon huolestuneita kasvoja.

"Litteissä" ongelmissa, puhumattakaan ilmeisistä kohdista ja viivoista, suosituin hahmo on kolmio. Analysoimme sen erittäin yksityiskohtaisesti. Seuraavaksi tulee suunnikas, ja suorakulmio, neliö, rombi, ympyrä ja muut hahmot ovat paljon harvinaisempia.

Tilatehtävissä voivat lentää samat litteät hahmot + itse tasot ja yhteiset kolmiopyramidit suuntaissärmiöillä.

Kysymys kaksi - Tiedätkö kaiken tästä hahmosta? Oletetaan, että ehto koskee tasakylkistä kolmiota, ja muistat hyvin epämääräisesti, millainen kolmio se on. Avaamme koulun oppikirjan ja luemme tasakylkistä kolmiota. Mitä tehdä ... lääkäri sanoi, että rombi, joten rombi. Analyyttinen geometria on analyyttistä geometriaa, mutta ongelma auttaa ratkaisemaan itse kuvioiden geometriset ominaisuudet tunnemme koulun opetussuunnitelmasta. Jos et tiedä, mikä on kolmion kulmien summa, voit kärsiä pitkään.

Kolmanneksi. Yritä AINA seurata suunnitelmaa(luonnos / puhdas / henkisesti), vaikka ehto ei sitä vaadi. "Litteissä" tehtävissä Euclid itse käski ottaa viivaimen kynällä kädessään - eikä vain tilan ymmärtämiseksi, vaan myös itsetestauksen vuoksi. Tässä tapauksessa kätevin asteikko on 1 yksikkö = 1 cm (2 tetradisolua). Älkäämme puhuko huolimattomista opiskelijoista ja matemaatikoista, jotka pyörivät haudoissaan - tällaisissa ongelmissa on melkein mahdotonta tehdä virhettä. Tilatehtäviä varten teemme kaaviokuvan, joka auttaa myös tilan analysoinnissa.

Piirustuksen tai kaavamaisen piirustuksen avulla näet usein heti tavan ratkaista ongelma. Tietenkin tätä varten sinun on tiedettävä geometrian perusta ja leikattava geometristen muotojen ominaisuudet (katso edellinen kappale).

neljäs. Ratkaisualgoritmin kehittäminen. Monet geometriatehtävät ovat monivaiheisia, joten ratkaisu ja sen suunnittelu on erittäin kätevää jakaa pisteiksi. Usein algoritmi tulee heti mieleen ehdon lukemisen tai piirustuksen suorittamisen jälkeen. Vaikeuksien sattuessa aloitamme ongelman KYSYMYKSESTÄ. Esimerkiksi ehdon mukaan "on vaadittava suora viiva ...". Tässä loogisin kysymys on: "Mitä riittää tietää tämän linjan rakentamiseen?". Oletetaan, että "me tiedämme pisteen, meidän on tiedettävä suuntavektori." Esitämme seuraavan kysymyksen: "Kuinka löytää tämä suuntavektori? Missä?" jne.

Joskus tulee "pistoke" - tehtävää ei ole ratkaistu ja se on siinä. Pysäytyksen syyt voivat olla seuraavat:

- Vakava puute perustiedoissa. Toisin sanoen, et tiedä tai (etkä) näe jotain hyvin yksinkertaista asiaa.

- Geometristen muotojen ominaisuuksien tietämättömyys.

– Tehtävä oli vaikea. Kyllä, se tapahtuu. Ei ole mitään järkeä höyryttää tuntikausia ja kerätä kyyneleitä nenäliinaan. Kysy neuvoa opettajaltasi, opiskelutovereiltasi tai kysy foorumilla. Lisäksi on parempi tehdä sen lausunto konkreettiseksi - siitä ratkaisun osasta, jota et ymmärrä. Huuto muodossa "Kuinka ratkaista ongelma?" ei näytä hyvältä... ja ennen kaikkea oman maineesi vuoksi.

Vaihe viisi. Ratkaisemme-tarkistamme, ratkaisemme-tarkistamme, ratkaisemme-tarkistamme-annamme vastauksen. On hyödyllistä tarkistaa tehtävän jokainen kohta heti sen tekemisen jälkeen. Tämä auttaa sinua löytämään virheen välittömästi. Kukaan ei luonnollisesti kiellä koko ongelman nopeaa ratkaisemista, mutta on olemassa vaara, että kaikki kirjoitetaan uudelleen (usein useita sivuja).

Tässä on ehkä kaikki tärkeimmät näkökohdat, joita on suositeltavaa noudattaa ongelmia ratkaistaessa.

Oppitunnin käytännön osaa edustaa geometria tasossa. Esimerkkejä on vain kaksi, mutta se ei näytä tarpeeksi =)

Käydään läpi algoritmin lanka, jonka juuri tarkastelin pienessä tieteellisessä työssäni:

Esimerkki 1

Suunnikkaalle on annettu kolme kärkeä. Etsi yläosa.

Aloitetaan selvittää asiaa:

Ensimmäinen askel: on selvää, että puhumme "litteästä" ongelmasta.

vaihe kaksi: Ongelma liittyy suunnikkaaseen. Kaikki muistavat tällaisen suunnikaskuvion? Ei tarvitse hymyillä, monet ihmiset ovat koulutettuja 30-40-50 tai sitä vanhempana, joten yksinkertaisetkin faktat voidaan pyyhkiä pois muistista. Suunnikkaan määritelmä löytyy oppitunnin esimerkistä 3 Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta.

Vaihe kolme: Tehdään piirustus, johon merkitään kolme tunnettua kärkeä. Hassua, että haluttu kohta on helppo rakentaa heti:

Rakentaminen on tietysti hyvä asia, mutta ratkaisu pitää formalisoida analyyttisesti.

Vaihe neljä: Ratkaisualgoritmin kehittäminen. Ensimmäinen asia, joka tulee mieleen, on, että piste voidaan löytää viivojen leikkauspisteenä. Niiden yhtälöt ovat meille tuntemattomia, joten meidän on käsiteltävä tämä ongelma:

1) Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden mukaan etsi näiden sivujen suuntavektori . Tämä on yksinkertaisin oppitunnilla käsitelty tehtävä. Vektorit tutille.

Huomautus: on oikeampaa sanoa "sivun sisältävän suoran yhtälö", mutta tästä eteenpäin käytän lyhyyden vuoksi lauseita "sivun yhtälö", "sivun suuntausvektori" jne.

3) Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Pisteiden perusteella löydämme näiden sivujen suuntavektorin.

4) Muodosta suoran yhtälö pisteen ja suuntavektorin avulla

Kohdissa 1-2 ja 3-4 itse asiassa ratkaisimme saman ongelman kahdesti, muuten sitä analysoidaan oppitunnin esimerkissä nro 3 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Oli mahdollista mennä pidempään - löytää ensin suorien yhtälöt ja vasta sitten "vetää" niistä ulos suuntavektorit.

5) Nyt suorien yhtälöt tunnetaan. On vielä laadittava ja ratkaistava vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä (katso saman oppitunnin esimerkit nro 4, 5 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla).

Piste löytyi.

Tehtävä on melko yksinkertainen ja sen ratkaisu on ilmeinen, mutta on olemassa lyhyempi tapa!

Toinen tapa ratkaista:

Suunnikkaan diagonaalit jaetaan niiden leikkauspisteen mukaan. Merkkasin pisteen, mutta jotta piirustus ei sotkeutuisi, en piirtänyt diagonaaleja itse.

Tehdään sivun yhtälö pisteillä:

Tarkistaaksesi, mielessään tai luonnoksessa, korvaa kunkin pisteen koordinaatit tuloksena olevassa yhtälössä. Etsitään nyt rinne. Tätä varten kirjoitamme yleisen yhtälön uudelleen yhtälön muodossa, jossa on kaltevuus:

Joten kaltevuustekijä on:

Samalla tavalla löydämme sivujen yhtälöt. En näe paljon järkeä maalata samaa, joten annan heti valmiin tuloksen:

2) Laske sivun pituus. Tämä on yksinkertaisin oppitunnilla käsitelty tehtävä. Vektorit tutille. Pisteitä varten käytämme kaavaa:

Saman kaavan avulla on helppo löytää muiden sivujen pituudet. Tarkastus suoritetaan erittäin nopeasti tavallisella viivaimella.

Käytämme kaavaa .

Etsitään vektorit:

Tällä tavoin:

Muuten, matkan varrella löysimme sivujen pituudet.

Tuloksena:

No, se näyttää olevan totta, vakuuttamisen vuoksi voit kiinnittää kulmaan astemittarin.

Huomio! Älä sekoita kolmion kulmaa suorien viivojen väliseen kulmaan. Kolmion kulma voi olla tylppä, mutta suorien välinen kulma ei (katso artikkelin viimeinen kappale Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla). Kolmion kulman löytämiseen voidaan kuitenkin käyttää myös yllä olevan oppitunnin kaavoja, mutta karheus on siinä, että ne kaavat antavat aina terävän kulman. Heidän avullaan ratkaisin tämän ongelman luonnoksella ja sain tuloksen. Ja puhtaaseen kopioon sinun on kirjoitettava siihen lisää tekosyitä.

4) Kirjoita yhtälö suorasta pisteestä, joka kulkee yhdensuuntaisen suoran kanssa.

Vakiotehtävä, jota käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnin esimerkissä nro 2 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Suoran suoran yleisestä yhtälöstä vedä ulos suuntavektori . Muodostetaan suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista:

Kuinka löytää kolmion korkeus?

5) Tehdään korkeusyhtälö ja selvitetään sen pituus.

Tiukkoja määritelmiä ei voi paeta, joten sinun täytyy varastaa koulukirjasta:

kolmion korkeus kutsutaan kohtisuoraksi, joka on vedetty kolmion kärjestä vastakkaisen sivun sisältävään viivaan.

Eli on tarpeen muodostaa kohtisuoran yhtälö, joka on vedetty kärjestä sivulle. Tätä tehtävää tarkastellaan oppitunnin esimerkeissä nro 6, 7 Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Yhtälöstä poista normaalivektori. Laadimme pisteen korkeusyhtälön ja suuntavektorin:

Huomaa, että emme tiedä pisteen koordinaatteja.

Joskus korkeusyhtälö saadaan kohtisuorien viivojen kaltevuuden suhteesta: . Tässä tapauksessa sitten: . Laadimme pisteen ja kaltevuuden korkeusyhtälön (katso oppitunnin alku Tason suoran yhtälö):

Korkeuden pituus löytyy kahdella tavalla.

On olemassa kiertotie:

a) etsi - korkeuden ja sivun leikkauspiste;
b) selvitä janan pituus kahdella tunnetulla pisteellä.

Mutta luokassa Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla harkittiin kätevää kaavaa pisteen ja suoran etäisyydelle. Kohta tiedetään: , suoran yhtälö tunnetaan myös: , Tällä tavoin:

6) Laske kolmion pinta-ala. Avaruudessa kolmion pinta-ala lasketaan perinteisesti käyttämällä vektorien ristitulo, mutta tässä tasossa on annettu kolmio. Käytämme koulukaavaa:
Kolmion pinta-ala on puolet sen kannan tulosta kertaa sen korkeus.

Tässä tapauksessa:

Kuinka löytää kolmion mediaani?

7) Laadi mediaaniyhtälö.

Kolmion mediaani Kutsutaan janaa, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen.

a) Etsi piste - sivun keskipiste. Käytämme keskipisteen koordinaattikaavat. Janan päiden koordinaatit tunnetaan: , sitten keskikohdan koordinaatit:

Tällä tavoin:

Muodostamme mediaaniyhtälön pisteillä :

Yhtälön tarkistamiseksi sinun on korvattava pisteiden koordinaatit siihen.

8) Etsi korkeuden ja mediaanin leikkauspiste. Luulen, että kaikki ovat jo oppineet suorittamaan tämän taitoluistelun elementin putoamatta:

LukuV. ANALyyTTINEN GEOMETRIA TASOLLA

JA AVARUUSSA

Osio sisältää tehtäviä, joita käsitellään aiheessa "Analyyttinen geometria tasossa ja avaruudessa": erilaisten suorien yhtälöiden laatiminen tasossa ja avaruudessa; suorien viivojen suhteellisen sijainnin määrittäminen tasossa, suorat viivat, suora ja taso, tasot avaruudessa; kuva toisen asteen käyristä. On huomioitava, että tässä osiossa esitetään taloudellisen sisällön ongelmia, joiden ratkaisussa käytetään analyyttisen geometrian informaatiota tasossa.

Kun ratkaistaan ​​analyyttisen geometrian ongelmia, on suositeltavaa käyttää seuraavien kirjoittajien oppikirjoja: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremera, D.T. Kirjoitettu V.I. Malykhin, koska tämä kirjallisuus kattaa laajemman joukon tehtäviä, joita voidaan käyttää tämän aiheen itseopiskeluun. Analyyttisen geometrian soveltamista taloudellisten ongelmien ratkaisemiseen kuvataan M.S.:n koulutusjulkaisuissa. Crass ja V.I. Ermakov.

Ongelma 5.1. Annettu kolmion kärkien koordinaatitABC . Välttämätön

a) kirjoita kolmion sivujen yhtälöt;

b) kirjoita kärjestä piirretyn kolmion korkeusyhtälöFROM sivulleAB ja löydä sen pituus;

c) kirjoita kärjestä vedetyn kolmion mediaanin yhtälöSISÄÄN sivulleAC ;

d) selvittää kolmion kulmat ja sen tyyppi (suorakulmainen, teräväkulmainen, tylppäkulmainen);

e) selvittää kolmion sivujen pituudet ja määrittää sen tyyppi (skaala, tasakylkinen, tasakylkinen);

f) etsi kolmion painopisteen (mediaanien leikkauspisteen) koordinaatitABC ;

g) etsi kolmion ortokeskiön (korkeuksien leikkauspisteen) koordinaatitABC .

Tee jokaisesta päätöksen kohdasta a) - c) piirustukset koordinaattijärjestelmään. Merkitse kuviin tehtävän kohtia vastaavat viivat ja pisteet.

Esimerkki 5.1

Annettu kolmion kärkien koordinaatitABC : . On tarpeen a) kirjoittaa kolmion sivujen yhtälöt; b) kirjoita kärjestä piirretyn kolmion korkeusyhtälö FROM sivulleAB ja löydä sen pituus; c) kirjoita kärjestä vedetyn kolmion mediaanin yhtälöSISÄÄN sivulleAC ; d) selvittää kolmion sivujen pituudet ja sen tyyppi (skaala, tasakylkinen, tasakylkinen); e) selvittää kolmion kulmat ja sen tyyppi (suorakulmainen, teräväkulmainen, tylppäkulmainen); f) etsi kolmion painopisteen (mediaanien leikkauspisteen) koordinaatit ABC ; g) etsi kolmion ortokeskiön (korkeuksien leikkauspisteen) koordinaatitABC .

Ratkaisu

mutta) Kolmion kummallekin sivulle tiedetään kahden halutuilla suorilla olevan pisteen koordinaatit, mikä tarkoittaa, että kolmion sivujen yhtälöt ovat kahden tietyn pisteen läpi kulkevien viivojen yhtälöitä.

,

missä
Ja
vastaavat pisteen koordinaatit.

Siten korvaamalla kaavaan (5.1) vastaavien suorien pisteiden koordinaatit saadaan

,
,
,

josta muunnosten jälkeen kirjoitamme muistiin sivujen yhtälöt

Kuvassa 7 kuvaa kolmion vastaavat sivut
suoraan.

Vastaus:

b) Anna olla
- korkeus vedettynä ylhäältä sivulle
. Sikäli kuin
kulkee pisteen läpi kohtisuorassa vektoriin nähden
, sitten muodostamme suoran yhtälön seuraavan kaavan mukaan

missä
ovat vektorin koordinaatit, jotka ovat kohtisuorassa haluttua suoraa vastaan,
ovat tälle suoralle kuuluvan pisteen koordinaatit. Etsi suoraa viivaa vastaan ​​kohtisuorassa olevan vektorin koordinaatit
, ja korvaa kaava (5.2)

,
,

.

Etsi korkeuden pituus CH etäisyydenä pisteestä suoraan

,

missä
- suoran yhtälö
,
- pisteen koordinaatit .

Edellisessä kappaleessa se löytyi

Korvaamalla tiedot kaavaan (5.3) saadaan

,

Kuvassa 8 piirrä kolmio ja löydetty korkeus CH.

Vastaus: .

R On. 8

sisään) mediaani
kolmio
jakaa puolen
kahteen yhtä suureen osaan, ts. piste on janan keskipiste
. Tämän perusteella löydät koordinaatit
pisteitä

, ,

missä
Ja
Ja , korvaamalla ne kaavoiksi (5.4), saamme

;
.

Mediaaniyhtälö
kolmio
muodostaa yhtälö pisteiden läpi kulkevasta suorasta
Ja
kaavan (5.1) mukaan

,

.

Vastaus:(Kuva 9).

R On. yhdeksän

G) Löydämme kolmion sivujen pituudet vastaavien vektoreiden pituuksiksi, ts.

,
,
.

Juhlat
Ja
kolmio
yhtä suuri, joten kolmio on tasakylkinen kanta kanssa
.

Vastaus: kolmio
tasakylkinen pohjan kanssa
;

,
.

e) Kolmion kulmat
löydämme kulmina annetun kolmion vastaavista pisteistä lähtevien vektorien välisinä kulmina, ts.

,
,
.

Koska kolmio on tasakylkinen kannan kanssa
, sitten

,

Laskemme vektorien väliset kulmat kaavalla (4.4), joka vaatii vektorien skalaaritulot
,
.

Etsi kulmien laskemiseen tarvittavien vektorien koordinaatit ja moduulit

,
;

,
,
.

Korvaamalla löydetyt tiedot kaavaan (4.4) saadaan

,

Koska kaikkien löydettyjen kulmien kosinien arvot ovat positiivisia, niin kolmio
on akuutti.

Vastaus: kolmio
teräväkulmainen;

,
,
.

e) Anna olla

, sitten koordinaatit
pisteitä
löytyy kaavoilla (5.5)

, ,

missä
,
Ja
ovat pisteiden koordinaatit vastaavasti , Ja , Näin ollen

,
.

Vastaus:
- kolmion painopiste
.

g) Anna olla on kolmion ortosentti
. Etsi pisteen koordinaatit kolmion korkeuksien leikkauspisteen koordinaatteina. Korkeusyhtälö
löytyi kohdasta b). Etsitään korkeusyhtälö
:

,
,

.

Sikäli kuin
, sitten järjestelmän ratkaisu

on pisteen koordinaatit mistä löydämme
.

Vastaus:
on kolmion ortosentti
.

Ongelma 5.2. Yrityksen kiinteät kustannukset joidenkin tuotteiden julkaisusta ovatF V 0 hieroa. tuotantoyksikköä kohti, kun taas tulot ovatR 0 hieroa. valmistettua tuotetta kohti. Luo voittofunktioP (q ) (q

Vaihtoehtoja vastaavan tehtäväehdon tiedot:

Esimerkki 5.2

Yrityksen kiinteät kustannukset joidenkin tuotteiden julkaisusta ovat
hieroa. kuukaudessa, muuttuvat kulut -
hieroa. tuotantoyksikköä kohti, kun taas tulot ovat
hieroa. valmistettua tuotetta kohti. Luo voittofunktioP (q ) (q - valmistettujen tuotteiden määrä); rakentaa sen kaavio ja määrittää kannattavuuspiste.

Ratkaisu

Lasketaan julkaisun kokonaistuotantokustannukset q jonkin tuotteen yksikköä

Jos myydään q tuotosyksikköä, niin kokonaistulo on

Saatujen kokonaistulojen ja kokonaiskustannusten funktioiden perusteella löydämme voittofunktion

,

.

Tasoituspiste - Piste, jossa voitto on nolla tai piste, jossa kokonaiskustannukset ovat yhtä suuria kuin kokonaistulot

,

,

mistä löydämme

- nollatulos.

Voit muodostaa kaavion (kuva 10) voittofunktiosta, löydämme vielä yhden pisteen

Vastaus: voittofunktio
, nollatulos
.

Ongelma 5.3. Tietyn hyödykkeen kysynnän ja tarjonnan lait määräytyvät vastaavasti yhtälöilläp = p D (q ), p = p S (q ), missäp - tavaroiden hinta,q - tavaroiden määrä. Oletetaan, että kysynnän määrää vain tavaroiden hinta markkinoilla.p FROM , ja tarjous - vain hintaanp S toimittajien saamat. Välttämätön

a) määrittää markkinoiden tasapainopisteen;

b) tasapainopiste veron käyttöönoton jälkeen on yhtä suuri kuint . Määritä hinnan nousu ja myynnin tasapainovolyymin lasku;

c) löytää tukeas , mikä johtaa myynnin kasvuunq 0 yksiköitä alkuperäiseen verrattuna (määritelty kohdassa a);

d) löytää uusi tasapainopiste ja valtion tulot, kun otetaan käyttöön hintaan verrannollinen jaN %;

e) määrittää, kuinka paljon rahaa hallitus käyttää ylijäämän ostoon, samalla kun asetetaan vähimmäishinta, joka on yhtä suuri p 0 .

Piirrä jokaisesta päätöspisteestä piirustus koordinaattijärjestelmään. Merkitse kuvioon tehtävän kohtaa vastaavat viivat ja pisteet.

Vaihtoehtoja vastaavan tehtäväehdon tiedot:

Geometriassa ajatellaan usein sellaista käsitettä kuin "kolmion kärki". Tämä on tämän kuvan kahden sivun leikkauspiste. Tämä käsite kohdataan melkein jokaisessa tehtävässä, joten on järkevää tarkastella sitä yksityiskohtaisemmin.

Kolmion kärjen määrittäminen

Kolmiossa on kolme sivujen leikkauspistettä, jotka muodostavat kolme kulmaa. Niitä kutsutaan kärkipisteiksi, ja sivuja, joilla ne lepäävät, kutsutaan kolmion sivuiksi.

Riisi. 1. Kolmion kärkipiste.

Kolmioiden kärjet on merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla. Siksi useimmiten matematiikassa sivut merkitään kahdella isolla latinalaiskirjaimella sivuille sisältyvien kärkien nimen mukaan. Esimerkiksi sivu AB on kolmion sivu, joka yhdistää kärjet A ja B.

Riisi. 2. Kolmion kärkien nimeäminen.

Käsitteen ominaisuudet

Jos otamme kolmion mielivaltaisesti suunnatun tasoon, niin käytännössä on erittäin kätevää ilmaista sen geometriset ominaisuudet tämän kuvan kärkien koordinaatteina. Siten kolmion kärki A voidaan ilmaista pisteenä tietyillä numeerisilla parametreilla A(x; y).

Kun tiedät kolmion kärkien koordinaatit, voit löytää mediaanien leikkauspisteet, kuvan yhdelle sivulle lasketun korkeuden pituuden ja kolmion alueen.

Tätä varten käytetään karteesisessa koordinaatistossa kuvattujen vektorien ominaisuuksia, koska kolmion sivun pituus määräytyy vektorin pituuden kautta pisteillä, joissa tämän kuvan vastaavat kärjet sijaitsevat.

Kolmion kärjen käyttäminen

Missä tahansa kolmion kärjessä voit löytää kulman, joka on kyseisen kuvion sisäkulman vieressä. Tätä varten sinun on pidennettävä yksi kolmion sivuista. Koska jokaisessa kärjessä on kaksi sivua, kussakin kärjessä on kaksi ulkokulmaa. Ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmion kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.

Riisi. 3. Kolmion ulkokulman ominaisuus.

Jos rakennat kaksi ulkoista kulmaa yhteen kärkeen, ne ovat yhtä suuret, kuten pystysuorat.

Mitä olemme oppineet?

Yksi tärkeimmistä geometrian käsitteistä, kun tarkastellaan erityyppisiä kolmioita, on kärki. Tämä on piste, jossa tietyn geometrisen kuvion kulman kaksi sivua leikkaavat. Se on merkitty yhdellä latinalaisten aakkosten isoista kirjaimista. Kolmion kärki voidaan ilmaista x- ja y-koordinaateilla, mikä auttaa määrittelemään kolmion sivun pituuden vektorin pituudeksi.

Aihekilpailu

Artikkelin luokitus

Keskiarvoluokitus: 4.2. Saatujen arvioiden kokonaismäärä: 153.