Homogeeniset trigonometriset yhtälöt: yleinen ratkaisukaavio. Homogeenisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisu

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin selitys. Työ tapahtuu ryhmissä. Jokaisessa ryhmässä on asiantuntija, joka ohjaa ja ohjaa opiskelijoiden työtä. Auttaa heikkoja oppilaita uskomaan vahvuuteensa näiden yhtälöiden ratkaisemisessa.

Ladata:

Esikatselu:

Aiheeseen liittyvä oppitunti

" Homogeeniset trigonometriset yhtälöt"

(10 luokka)

Kohde:

1. esitellä homogeenisten I ja II asteen trigonometristen yhtälöiden käsite;
2. muotoilla ja laatia algoritmi homogeenisten I ja II asteen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi;
3. opettaa ratkaisemaan homogeenisia I ja II asteen trigonometrisiä yhtälöitä;
4. kehittää kykyä tunnistaa malleja, yleistää;
5. herättää kiinnostusta aihetta kohtaan, kehittää solidaarisuuden tunnetta ja tervettä kilpailua.

Oppitunnin tyyppi : oppitunti uuden tiedon muodostamisessa.

Käyntilomake: työ ryhmissä.

Varustus: tietokone, multimedian asennus

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

Oppitunnilla tiedon arvioinnin luokitusjärjestelmä (opettaja selittää tiedon arviointijärjestelmän, täyttää arviointilomakkeen opettajan opiskelijoiden joukosta valitsema riippumaton asiantuntija). Oppituntiin liittyy esitys. Liite 1.

Arviointilomake nro.

n\n	Sukunimi Etunimi	Kotitehtävät	kognitiivinen toiminta	Yhtälöiden ratkaiseminen	Riippumaton Job	Arvosana

II. Perustietojen päivittäminen..

Jatkamme tutkimusta aiheesta "Trigonometriset yhtälöt". Tänään oppitunnilla tutustumme sinuun toisen tyyppisillä trigonometrisilla yhtälöillä ja menetelmillä niiden ratkaisemiseksi, ja siksi toistamme oppimamme. Kaiken tyyppiset trigonometriset yhtälöt, kun ne on ratkaistu, pelkistyvät yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Muistakaamme yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden päätyypit. Käytä nuolia löytääksesi lausekkeet.

III. Motivaatio oppimiseen.

Meidän on työstettävä ristisanatehtävän ratkaisemista. Kun se on ratkaistu, opimme nimen uudentyyppisille yhtälöille, joita opimme ratkaisemaan tänään oppitunnilla.

Kysymykset projisoidaan taululle. Opiskelijat arvaavat, riippumaton asiantuntija syöttää pisteet pisteytykseen vastanneille opiskelijoille.

Kun ristisanatehtävä on ratkaistu, kaverit lukevat sanan "homogeeninen".

Ristisanatehtävä.

Jos kirjoitat oikeat sanat, saat yhden trigonometrisen yhtälön tyypin nimen.

1. Sen muuttujan arvo, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi? (juuri)

2. Kulmien mittayksikkö? (radiaani)

3. Numeerinen kerroin tuotteessa? (Kerroin)

4. Matematiikan osa, joka tutkii trigonometrisiä funktioita? (Trigonometria)

5. Mitä matemaattista mallia tarvitaan trigonometristen funktioiden käyttöönottoon? (Ympyrä)

6. Mikä trigonometrisista funktioista on parillinen? (Kosini)

7. Mikä on todellisen tasa-arvon nimi? (Identiteetti)

8. Tasa-arvo muuttujan kanssa? (Yhtälö)

9. Yhtälöt, joilla on samat juuret? (vastaava)

10. Joukko yhtälön juuria? (Ratkaisu)

IV. Uuden materiaalin selitys.

Oppitunnin aiheena on "Homogeeniset trigonometriset yhtälöt". (Esitys)

Esimerkkejä:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin4x = cos4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 synti 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin2x + 2cos2x = 1

V. Itsenäinen työskentely

Tavoitteet: testata kokonaisvaltaisesti opiskelijoiden tietämystä kaikentyyppisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, kannustaa opiskelijoita itsetutkiskeluun, itsehillintään.
Opiskelijoita pyydetään tekemään 10 minuuttia kirjallista työtä.
Oppilaat tekevät töitä tyhjille paperiarkeille kopiointia varten. Ajan jälkeen itsenäisen työn huiput kerätään ja kopioinnin ratkaisut jäävät opiskelijoille.
Itsenäisen työn tarkastus (3 min) suoritetaan keskinäisellä tarkastuksella.
. Oppilaat tarkistavat naapurin kirjalliset työt värikynällä ja kirjoittavat muistiin todentajan nimen. Anna sitten lehdet.

Sitten ne luovutetaan riippumattomalle asiantuntijalle.

Vaihtoehto 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx=0

Vaihtoehto 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Yhteenveto oppitunnista

VII. Kotitehtävät:

Kotitehtävät - 12 pistettä (läksylle annettiin 3 yhtälöä 4 x 3 = 12)

Opiskelijatoiminta - 1 vastaus - 1 piste (enintään 4 pistettä)

Yhtälöiden ratkaiseminen 1 piste

Itsenäinen työ - 4 pistettä

Epälineaariset yhtälöt kahdessa tuntemattomassa

Määritelmä 1. Olkoon A joku joukko numeropareja (x; y) . Sanotaan, että joukko A on annettu numeerinen toiminto z kahdesta muuttujasta x ja y , jos on määritelty sääntö, jonka avulla kullekin joukon A lukuparille annetaan tietty numero.

Kahden muuttujan x ja y numeerisen funktion z määrittäminen on usein nimetä Niin:

missä f (x , y) - mikä tahansa muu toiminto kuin toiminto

f (x , y) = ax+by+c ,

jossa a, b, c on annettu numeroita.

Määritelmä 3. Yhtälön (2) ratkaisu nimeä numeropari x; y), jolle kaava (2) on todellinen yhtälö.

Esimerkki 1. ratkaise yhtälö

Koska minkä tahansa luvun neliö ei ole negatiivinen, kaavasta (4) seuraa, että tuntemattomat x ja y täyttävät yhtälöjärjestelmän

jonka ratkaisu on lukupari (6 ; 3) .

Vastaus: (6; 3)

Esimerkki 2. ratkaise yhtälö

Siksi yhtälön (6) ratkaisu on ääretön määrä lukupareja ystävällinen

(1 + y ; y) ,

missä y on mikä tahansa luku.

lineaarinen

Määritelmä 4. Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen

nimeä numeropari x; y), korvaamalla ne tämän järjestelmän jokaisessa yhtälössä, saadaan oikea yhtälö.

Kahden yhtälön järjestelmillä, joista toinen on lineaarinen, on muoto

g(x , y)

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu . Ilmaistaan ​​tuntematon y järjestelmän (7) ensimmäisestä yhtälöstä tuntemattomalla x:llä ja korvataan tuloksena oleva lauseke järjestelmän toisella yhtälöllä:

Yhtälön ratkaiseminen

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Näin ollen

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Kahden yhtälön järjestelmät, joista toinen on homogeeninen

Kahden yhtälön järjestelmillä, joista toinen on homogeeninen, on muoto

jossa a , b , c on annettu numeroita ja g(x , y) on kahden muuttujan x ja y funktio.

Esimerkki 6. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu . Ratkaistaan ​​homogeeninen yhtälö

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

käsittelemällä sitä toisena yhtälönä tuntemattoman x:n suhteen:

.

Siinä tapauksessa kun x = - 5y, järjestelmän (11) toisesta yhtälöstä saadaan yhtälö

5y 2 = - 20 ,

jolla ei ole juuria.

Siinä tapauksessa kun

järjestelmän (11) toisesta yhtälöstä saadaan yhtälö

,

joiden juuret ovat numerot y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Löytämällä jokaiselle näistä arvoista y vastaava arvo x , saadaan järjestelmään kaksi ratkaisua: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Vastaus: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Esimerkkejä muun tyyppisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta

Esimerkki 8. Ratkaise yhtälöjärjestelmä (MIPT)

Ratkaisu . Esittelemme uusia tuntemattomia u ja v , jotka ilmaistaan ​​x:n ja y:n avulla kaavoilla:

Kirjoittaaksemme järjestelmän (12) uudelleen uusien tuntemattomien suhteen, ilmaisemme ensin tuntemattomat x ja y u:lla ja v:lla. Järjestelmästä (13) seuraa, että

Ratkaisemme lineaarisen järjestelmän (14) jättämällä muuttujan x pois tämän järjestelmän toisesta yhtälöstä. Tätä varten suoritamme seuraavat muunnokset järjestelmässä (14):

• jätämme järjestelmän ensimmäisen yhtälön ennalleen;
• vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta yhtälöstä ja korvaa järjestelmän toinen yhtälö saadulla erolla.

Tämän seurauksena järjestelmä (14) muunnetaan vastaavaksi järjestelmäksi

josta löydämme

Käyttämällä kaavoja (13) ja (15) kirjoitamme alkuperäisen järjestelmän (12) uudelleen muotoon

Järjestelmän (16) ensimmäinen yhtälö on lineaarinen, joten voimme ilmaista siitä tuntemattoman u tuntemattoman v:n avulla ja korvata tämän lausekkeen järjestelmän toisella yhtälöllä.

Tämän videotunnin avulla opiskelijat voivat tutkia homogeenisten trigonometristen yhtälöiden aihetta.

Annetaan määritelmät:

1) ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö näyttää sin x + b cos x = 0;

2) toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö näyttää sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Tarkastellaan yhtälöä a sin x + b cos x = 0. Jos a on nolla, yhtälö näyttää tältä b cos x = 0; jos b on nolla, yhtälö näyttää siniltä x = 0. Nämä ovat yhtälöt, joita kutsuimme yksinkertaisimmiksi ja jotka ratkaisimme aiemmin aiemmissa aiheissa.

Harkitse nyt vaihtoehtoa, kun a ja b eivät ole nolla. Jakamalla yhtälön osat kosinilla x ja suoritamme muunnos. Saamme tg x + b = 0, jolloin tg x on yhtä suuri kuin - b/a.

Yllä olevasta seuraa, että yhtälö a sin mx + b cos mx = 0 on ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö. Ratkaise yhtälö jakamalla sen osat cos mx:llä.

Analysoidaan esimerkkiä 1. Ratkaise 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Jaa ensin yhtälön osat kosinilla (x / 2). Kun tiedetään, että sini jaettuna kosinilla on tangentti, saadaan 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Muunnettaessa lauseke saadaan tangentin (x / 2) arvoksi 5/7. Tämän yhtälön ratkaisu on x = arctan a + πn, tässä tapauksessa x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Tarkastellaan yhtälöä a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) kun a on yhtä suuri kuin nolla, yhtälö näyttää tältä b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Muuntamalla saadaan lauseke cos x (b sin x + c cos x) = 0 ja edetään ratkaisuun kahdesta yhtälöstä. Kun yhtälön osat on jaettu kosinilla x, saadaan b tg x + c = 0, mikä tarkoittaa tg x = - c/b. Kun tiedetään, että x \u003d arctan a + πn, niin ratkaisu tässä tapauksessa on x \u003d arctg (- c / b) + πn.

2) jos a ei ole nolla, niin jakamalla yhtälön osat kosinin neliöllä saadaan yhtälö, joka sisältää tangentin, joka on neliö. Tämä yhtälö voidaan ratkaista ottamalla käyttöön uusi muuttuja.

3) kun c on nolla, yhtälö saa muotoa a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Tämä yhtälö voidaan ratkaista ottamalla x:n sini pois suluista.

1. katso, onko yhtälössä synti 2 x;

2. jos yhtälössä on termi a sin 2 x, niin yhtälö voidaan ratkaista jakamalla molemmat osat kosinin neliöllä ja lisäämällä sitten uusi muuttuja.

3. jos yhtälö a sin 2 x ei sisällä, niin yhtälö voidaan ratkaista ottamalla pois sulut cosx.

Tarkastellaan esimerkkiä 2. Otetaan kosini ja saadaan kaksi yhtälöä. Ensimmäisen yhtälön juuri on x = π/2 + πn. Toisen yhtälön ratkaisemiseksi jaamme tämän yhtälön osat kosinilla x, muunnoksilla saadaan x = π/3 + πn. Vastaus: x = π/2 + πn ja x = π/3 + πn.

Ratkaistaan ​​esimerkki 3, yhtälö muotoa 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ja etsitään sen juuret, jotka kuuluvat segmenttiin - π - π. Koska Koska tämä yhtälö on epähomogeeninen, on välttämätöntä pelkistää se homogeeniseen muotoon. Kaavalla sin 2 x + cos 2 x = 1 saadaan yhtälö sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Jakamalla kaikki yhtälön osat cos 2 x:llä saadaan tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Uuden muuttujan z = tg 2x käyttöönoton avulla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka juuri on z = 1. Sitten tg 2x = 1, mikä tarkoittaa, että x = π/8 + (πn)/2. Koska tehtävän ehdon mukaan sinun on löydettävä juuret, jotka kuuluvat segmenttiin - π - π, ratkaisu näyttää tältä - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

TEKSTIN TULKINTA:

Homogeeniset trigonometriset yhtälöt

Tänään analysoimme, kuinka "homogeeniset trigonometriset yhtälöt" ratkaistaan. Nämä ovat erityislaatuisia yhtälöitä.

Tutustutaan määritelmään.

Tyyppiyhtälö ja sinx+bcosx = 0 (ja sini x plus on kosini x on nolla) kutsutaan ensimmäisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi;

muodon yhtälö a synti 2 x+bsynti xcosx+ccos 2 x= 0 (ja sinineliö x plus on sini x kosini x plus se kosinineliö x on yhtä suuri kuin nolla) kutsutaan toisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi.

Jos a = 0, yhtälö saa muodon bcosx = 0.

Jos b = 0 , sitten saamme ja sin x = 0.

Nämä yhtälöt ovat alkeellisia trigonometrisiä, ja pohdimme niiden ratkaisua aikaisemmissa aiheissamme

Harkitse tapaus, jossa molemmat kertoimet ovat nollasta poikkeavat. Jaa yhtälön molemmat puolet muttasyntix+ bcosx = 0 aikaväliltä cosx.

Voimme tehdä tämän, koska kosini x ei ole nolla. Loppujen lopuksi jos cosx = 0 , sitten yhtälö muttasyntix+ bcosx = 0 ottaa muodon muttasyntix = 0 , mutta≠ 0 siis syntix = 0 . Mikä on mahdotonta, koska trigonometrisen perusidentiteetin mukaan synti 2x+cos 2 x=1 .

Jakamalla yhtälön molemmat puolet muttasyntix+ bcosx = 0 aikaväliltä cosx, saamme: + =0

Tehdään muunnokset:

1. Koska = tg x siis =ja tg x

2 pienentää cosx, sitten

Siten saamme seuraavan lausekkeen ja tg x + b = 0.

Tehdään muunnos:

1. Siirrä b vastakkaisen merkin lausekkeen oikealle puolelle

ja tg x \u003d - b

2. Päästä eroon kertoimesta ja jakamalla yhtälön molemmat puolet a:lla

tg x= -.

Johtopäätös: Muodon yhtälö ja syntiämx+bcosmx = 0 (ja sini em x plus kosini em x on nolla) kutsutaan myös ensimmäisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi. Ratkaise se jakamalla molemmat puolet cosmx.

ESIMERKKI 1. Ratkaise yhtälö 7 sin - 5 cos \u003d 0 (seitsemän sini x kahdella miinus viisi kosini x kahdella on nolla)

Ratkaisu. Jaamme yhtälön molemmat osat termillä cos:lla, saamme

1. \u003d 7 tg (koska sinin ja kosinin suhde on tangentti, niin seitsemän sini x kahdella jaettuna kosinilla x kahdella on yhtä suuri kuin 7 tangentti x kahdella)

2. -5 = -5 (kun lyhennettynä cos)

Näin saimme yhtälön

7tg - 5 = 0, Muunnetaan lauseke, siirretään miinus viisi oikealle vaihtaen etumerkkiä.

Olemme pelkistäneet yhtälön muotoon tg t = a, missä t=, a =. Ja koska tällä yhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle mutta ja nämä ratkaisut näyttävät

x \u003d arctg a + πn, yhtälömme ratkaisu näyttää tältä:

Arctg + πn, etsi x

x \u003d 2 arctan + 2πn.

Vastaus: x \u003d 2 arctg + 2πn.

Siirrytään homogeeniseen toisen asteen trigonometriseen yhtälöön

muttasin 2 x+b sin x cos x +alkaencos2 x = 0.

Tarkastellaan useita tapauksia.

I. Jos a = 0, yhtälö saa muodon bsyntixcosx+ccos 2 x= 0.

Kun ratkaistaan ​​e sitten käytämme yhtälöiden faktorointimenetelmää. Otetaan pois cosx suluissa ja saamme: cosx(bsyntix+ccosx)= 0 . Missä cosx= 0 tai

b sin x +alkaencos x = 0. Ja me tiedämme jo kuinka ratkaista nämä yhtälöt.

Jaamme yhtälön molemmat osat termillä cosx:lla, saamme

1 (koska sinin ja kosinin suhde on tangentti).

Siten saamme yhtälön: b tg x+c=0

Olemme pelkistäneet yhtälön muotoon tg t = a, missä t= x, a =. Ja koska tällä yhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle mutta ja nämä ratkaisut näyttävät

x \u003d arctg a + πn, niin yhtälömme ratkaisu on:

x \u003d arctg + πn, .

II. Jos a≠0, niin jaamme yhtälön molemmat osat termeiltä cos 2 x.

(Vastaan ​​samalla tavalla, kuten ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön tapauksessa, kosini x ei voi kadota).

III. Jos c = 0, yhtälö saa muodon muttasynti 2 x+ bsyntixcosx= 0. Tämä yhtälö ratkaistaan ​​faktorointimenetelmällä (poista syntix suluissa).

Joten yhtälön ratkaisemisessa muttasynti 2 x+ bsyntixcosx+ccos 2 x= 0 voit seurata algoritmia:

ESIMERKKI 2. Ratkaise yhtälö sinxcosx - cos 2 x= 0 (sini x kertaa kosini x miinus kolme kertaa kosinin neliö x on yhtä suuri kuin nolla).

Ratkaisu. Tehdään kertoimet (sulussa cosx). Saada

cos x(sin x - cos x)= 0, ts. cos x=0 tai sin x - cos x= 0.

Vastaus: x \u003d + πn, x \u003d + πn.

ESIMERKKI 3. Ratkaise yhtälö 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (kahden x kolmen sinineliö miinus kaksi x sinin ja kahden x kosinin plus kolmen x kahden x:n kosinin neliö) ja etsi sen väliin (- π; π) kuuluvat juuret.

Ratkaisu. Tämä yhtälö ei ole homogeeninen, joten suoritamme muunnoksia. Yhtälön oikealla puolella oleva luku 2 korvataan tulolla 2 1

Koska trigonometrisen perusidentiteetin mukaan sin 2 x + cos 2 x \u003d 1, niin

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = avaamalla sulut saadaan: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Joten yhtälö 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 saa muodon:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

Olemme saaneet toisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön. Sovelletaan termikohtaista jakoa cos 2 2x:llä:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja z= tg2х.

Meillä on z 2 - 2 z + 1 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö. Huomioimalla vasemmalla puolella olevan lyhennetyn kertolaskukaavan - erotuksen neliön (), saamme (z - 1) 2 = 0, ts. z = 1. Palataan käänteiseen substituutioon:

Olemme vähentäneet yhtälön muotoon tg t \u003d a, jossa t \u003d 2x, a \u003d 1. Ja koska tällä yhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle mutta ja nämä ratkaisut näyttävät

x \u003d arctg x a + πn, niin yhtälömme ratkaisu on:

2x \u003d arctg1 + πn,

x \u003d + , (x on yhtä kuin summa pi kertaa kahdeksan ja pi en kertaa kaksi).

Meidän on löydettävä sellaiset x:n arvot, jotka sisältyvät väliin

(- π; π), so. tyydyttää kaksois-epäyhtälö - π x π. Koska

x= +, sitten - π + π. Jaa kaikki tämän epäyhtälön osat π:llä ja kerrotaan 8:lla, saadaan

siirrä yksikköä oikealle ja vasemmalle muuttamalla merkin miinus ykköseksi

jakaa neljällä saamme

mukavuussyistä valitsemme kokonaislukuosat murtoluvuissa

-

Tämä epäyhtälö täyttyy seuraavalla kokonaisluvulla n: -2, -1, 0, 1

Viimeinen yksityiskohta tehtävien C1 ratkaisemisesta matematiikan tentistä - homogeenisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisu. Kerromme sinulle kuinka ratkaista ne tällä viimeisellä oppitunnilla.

Mitä nämä yhtälöt ovat? Kirjoitetaan ne ylös yleisellä tasolla.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

missä "a" ja "b" ovat joitain vakioita. Tätä yhtälöä kutsutaan ensimmäisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi.

Ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö

Sellaisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on jaettava se \cos x:llä. Sitten se ottaa muodon

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Vastaus tällaiseen yhtälöön on helppo kirjoittaa arkitangentin avulla.

Huomaa, että "\cos x ≠0". Varmistaaksemme tämän korvaamme yhtälössä nollan kosinin sijaan ja saamme, että sinin on myös oltava nolla. Ne eivät kuitenkaan voi olla yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti, mikä tarkoittaa, että kosini ei ole nolla.

Jotkut tämän vuoden todellisen tentin tehtävät pelkistettiin homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi. Seuraa linkkiä osoitteeseen. Otetaan hieman yksinkertaistettu versio ongelmasta.

Ensimmäinen esimerkki. Ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisu

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Jaa arvolla \cos x.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Toistan, samanlainen tehtävä oli kokeessa :) tietysti sinun on vielä valittava juuret, mutta tämänkään ei pitäisi aiheuttaa erityisiä vaikeuksia.

Siirrytään nyt seuraavan tyyppisiin yhtälöihin.

Toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö

Yleisesti ottaen se näyttää tältä:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

missä `a, b, c` ovat joitain vakioita.

Tällaiset yhtälöt ratkaistaan ​​jakamalla luvulla "\cos^2 x" (joka taas ei ole nolla). Katsotaanpa esimerkkiä heti.

Toinen esimerkki. Toisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisu

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Jaa arvolla "\cos^2 x".

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Korvaa `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \t_2 = -1.$$

Käänteinen vaihto

$$\tg x = 3, \text( tai ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( or ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Vastaus saatu.

Kolmas esimerkki. Toisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisu

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Kaikki olisi hyvin, mutta tämä yhtälö ei ole homogeeninen - meitä estää oikealla puolella oleva "-2". Mitä tehdä? Käytetään trigonometristä perusidentiteettiä ja kirjoitetaan sen kanssa "-2".

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0, $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Jaa arvolla "\cos^2 x".

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Korvaa `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Suorittamalla käänteisen korvauksen saamme:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( tai ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Tämä on tämän opetusohjelman viimeinen esimerkki.

Kuten tavallista, haluan muistuttaa: koulutus on meille kaikkemme. Riippumatta siitä, kuinka loistava ihminen on, taidot eivät kehity ilman koulutusta. Kokeessa tämä on täynnä jännitystä, virheitä, hukattua aikaa (jatka tätä luetteloa itse). Muista olla kiireinen!

Koulutustehtävät

Ratkaise yhtälöt:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)'. Tämä on tehtävä todellisesta Unified State Examination 2013:sta. Kukaan ei kumonnut tietämystä tutkintojen ominaisuuksista, mutta jos unohdit, kurkista;
• "\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)". Hyödyllinen kaava seitsemänneltä oppitunnilta.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Siinä kaikki. Ja kuten tavallista, lopussa: kysy kommenteissa, laita tykkäyksiä, katso videoita, opi ratkaisemaan koe.

"Ihmisen suuruus on hänen kyvyssään ajatella."
Blaise Pascal.

Oppitunnin tavoitteet:

1) Koulutuksellinen- perehdyttää opiskelijat homogeenisiin yhtälöihin, pohtia niiden ratkaisumenetelmiä, edistää valmiuksien muodostumista aiemmin tutkittujen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

2) Koulutuksellinen- kehittää opiskelijoiden luovaa toimintaa, kognitiivista toimintaa, loogista ajattelua, muistia, kykyä työskennellä ongelmatilanteessa, saavuttaa kyky oikein, johdonmukaisesti, rationaalisesti ilmaista ajatuksiaan, laajentaa opiskelijoiden näköaloja, nostaa heidän matemaattisen kulttuurinsa taso.

3) Koulutuksellinen- viljellä halua itsensä kehittämiseen, kovaa työtä, muodostaa kykyä taitavasti ja tarkasti suorittaa matemaattisia tietueita, viljellä aktiivisuutta, edistää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan.

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Laitteet:

1. Rei'ityskortit kuudelle opiskelijalle.
2. Kortit opiskelijoiden itsenäiseen ja yksilölliseen työhön.
3. Seittää "Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu", "Numeerinen yksikköympyrä".
4. Sähköistetyt trigonometriataulukot.
5. Esitys oppitunnille (Liite 1).

Tuntien aikana

1. Organisaatiovaihe (2 minuuttia)

Keskinäinen tervehdys; opiskelijoiden valmiuden tarkistaminen oppitunnille (työpaikka, ulkonäkö); huomion järjestäminen.

Opettaja kertoo oppilaille oppitunnin aiheen (dia 2) ja selittää, että työpöydällä olevaa monistetta käytetään oppitunnin aikana.

2. Teoreettisen materiaalin toisto (15 minuuttia)

Tehtävät reikäkorteilla(6 henkilöä) . Työaika reikäkorteilla - 10 min (Liite 2)

Tehtäviä ratkaisemalla opiskelija oppii, missä trigonometrisiä laskelmia sovelletaan. Seuraavat vastaukset saadaan: kolmiomittaus (tekniikka, joka mahdollistaa etäisyyksien mittaamisen lähellä sijaitseviin tähtiin tähtitieteessä), akustiikka, ultraääni, tomografia, geodesia, kryptografia.

(dia 5)

etukysely.

1. Mitä yhtälöitä kutsutaan trigonometrisiksi?
2. Millaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä tiedät?
3. Mitä yhtälöitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi?
4. Mitä yhtälöitä kutsutaan neliöllisiksi trigonometrisiksi?
5. Muotoile a:n arsinin määritelmä.
6. Muotoile a:n kaarikosinin määritelmä.
7. Muotoile a:n arctangentin määritelmä.
8. Muotoile a:n käänteisen tangentin määritelmä.

Peli "Arvaa salaussana"

Blaise Pascal sanoi kerran, että matematiikka on niin vakava tiede, ettei sitä pidä hukata mahdollisuutta tehdä siitä hieman viihdyttävämpi. Joten suosittelen pelaamaan. Kun olet ratkaissut esimerkit, määritä numerosarja, josta salattu sana koostuu. Latinaksi tämä sana tarkoittaa "sini". (dia 3)

2) arctan (-√3)

4) tg(kaari cos(1/2))

5) tg (kaari ctg √3)

Vastaus: "Taivuta"

Peli "Hajallaan oleva matemaatikko»

Suullisen työn tehtävät projisoidaan näytölle:

Tarkista yhtälöiden ratkaisun oikeellisuus.(oikea vastaus näkyy diassa opiskelijan vastauksen jälkeen). (dia 4)

	Vastaukset virheellisesti	Oikeat vastaukset
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Kotitehtävien tarkistaminen.

Opettaja varmistaa kaikkien opiskelijoiden kotitehtävien oikeellisuuden ja tietoisuuden; tunnistaa tiedon puutteita; parantaa opiskelijoiden tietoja, taitoja ja kykyjä yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

1 yhtälö. Opiskelija kommentoi yhtälön ratkaisua, jonka rivit näkyvät dialla kommentin järjestyksessä). (dia 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.

2x \u003d π / 6 + πn, n ∈Z.

x \u003d π / 12+ π/2 n, n ∈Z.

2 yhtälö. Ratkaisu h kirjoitettu taululle opiskelijoille.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Uuden tiedon realisointi (3 minuuttia)

Opiskelijat muistelevat opettajan pyynnöstä tapoja ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä. He valitsevat ne yhtälöt, jotka he jo osaavat ratkaista, nimeävät yhtälön ratkaisutavan ja tuloksen . Vastaukset näkyvät diassa. (dia 7) .

Uuden muuttujan esittely:

Nro 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

Olkoon sinx = t, sitten:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Faktorisointi:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 tai 3 sinx - 1 = 0; …

Nro 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

Nro 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Opettaja: Et vielä tiedä kuinka ratkaista kahta viimeistä yhtälötyyppiä. Molemmat ovat samaa tyyppiä. Niitä ei voida pelkistää sinx- tai cosx-funktioiden yhtälöksi. Kutsutaan homogeeniset trigonometriset yhtälöt. Mutta vain ensimmäinen on ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö ja toinen on toisen asteen homogeeninen yhtälö. Tänään oppitunnilla tutustut tällaisiin yhtälöihin ja opit ratkaisemaan ne.

4. Uuden materiaalin selittäminen (25 minuuttia)

Opettaja antaa opiskelijoille homogeenisten trigonometristen yhtälöiden määritelmät, esittelee tapoja ratkaista niitä.

Määritelmä. Kutsutaan yhtälöä muotoa a sinx + b cosx =0, jossa a ≠ 0, b ≠ 0 ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö.(dia 8)

Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on yhtälö #3. Kirjoitetaan yhtälön yleinen muoto ja analysoidaan se.

ja sinx + b cosx = 0.

Jos cosx = 0, niin sinx = 0.

– Voiko tällainen tilanne tapahtua?

- Ei. Olemme saaneet ristiriidan trigonometrisen perusidentiteetin kanssa.

Tästä syystä cosx ≠ 0. Suoritetaan termi termi jako cosx:lla:

a tgx + b = 0

tgx = -b/a on yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Lähtö: Ensimmäisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​jakamalla yhtälön molemmat puolet cosx:lla (sinx).

Esimerkiksi: 2 sinx - 3 cosx = 0,

Koska cosx ≠ 0, sitten

tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z.

Määritelmä. Kutsutaan yhtälöä muotoa a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , jossa a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 toisen asteen trigonometrinen yhtälö. (dia 8)

Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on yhtälö #4. Kirjoitetaan yhtälön yleinen muoto ja analysoidaan se.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Jos cosx = 0, niin sinx = 0.

Saimme jälleen ristiriidan trigonometrisen perusidentiteetin kanssa.

Siten cosx ≠ 0. Suoritetaan termi termi jako cos 2 x:llä:

ja tg 2 x + b tgx + c = 0 on toisen asteen yhtälö.

Johtopäätös: Oh toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla cos 2 x (sin 2 x).

Esimerkiksi: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Koska cos 2 x ≠ 0, sitten

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Pyydä oppilasta menemään taululle ja täydentämään yhtälö itse).

Korvaus: tgx = y. 3v 2 - 4v + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 tai y 2 = 1/3

tgx=1 tai tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Opiskelijoiden uuden materiaalin ymmärryksen tarkistusvaihe (1 min.)

Valitse ylimääräinen yhtälö:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(dia 9)

6. Uuden materiaalin yhdistäminen (24 min).

Opiskelijat yhdessä taululle vastaajien kanssa ratkaisevat yhtälöitä uudelle materiaalille. Tehtävät kirjoitetaan dialle taulukon muodossa. Yhtälöä ratkaistaessa diassa oleva kuvan vastaava osa avautuu. 4 yhtälön suorittamisen seurauksena opiskelijoiden eteen avautuu muotokuva matemaatikosta, jolla oli merkittävä vaikutus trigonometrian kehitykseen. (Oppilaat tunnistavat Francois Vietan muotokuvan - suuren matemaatikon, joka antoi suuren panoksen trigonometriaan, löysi pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurten ominaisuuden ja harjoitti kryptografiaa) . (dia 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Koska cosx ≠ 0, sitten

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21 cos 2 x \u003d 0.

Koska cos 2 x ≠ 0, sitten tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Korvaus: tgx = y.

v 2 - 10 v + 21 = 0

y 1 = 7 tai y 2 = 3

tgx=7 tai tgx=3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Koska cos 2 2x ≠ 0, sitten 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Korvaus: tg2x = y.

3v 2 - 6v + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 tai y 2 = 1

tg2x=5 tai tg2x=1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2x = arctg1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

Koska cos 2 x ≠ 0, sitten 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Korvaus: tg x = y.

5v 2 + 4v - 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 tai y 2 = -1

tgx = 1/5 tai tgx = -1

x = arctg1/5 + πn, n ∈Z

x = arctg(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Ekstrat (kortissa):

Ratkaise yhtälö ja valitse yksi neljästä ehdotetusta vaihtoehdosta, arvaa pelkistyskaavat johtaneen matemaatikon nimi:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Vastausvaihtoehdot:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctaani 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklid

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonard Euler

Oikea vastaus: Leonhard Euler.

7. Eriytetty itsenäinen työskentely (8 min.)

Suuri matemaatikko ja filosofi ehdotti yli 2500 vuotta sitten tapaa kehittää henkisiä kykyjä. "Ajatteleminen alkaa ihmettelystä", hän sanoi. Olemme toistuvasti vakuuttuneita näiden sanojen oikeellisuudesta tänään. Kun olet suorittanut itsenäisen työn kahdella vaihtoehdolla, voit näyttää kuinka opit materiaalin ja selvittää tämän matemaatikon nimen. Käytä itsenäiseen työskentelyyn työpöydälläsi olevaa monistetta. Voit valita itse yhden kolmesta ehdotetusta yhtälöstä. Mutta muista, että ratkaisemalla keltaista vastaavan yhtälön saat vain "3", ratkaisemalla vihreää vastaavan yhtälön - "4", punaisen - "5". (Liite 3)

Riippumatta vaikeustasosta opiskelijat valitsevat, yhtälön oikean ratkaisun jälkeen ensimmäinen vaihtoehto saa sanan "ARIST", toinen - "HOTELLI". Dialta löytyy sana: "ARIST-HOTEL". (dia 11)

Itsenäistä työtä sisältävät esitteet luovutetaan tarkistettavaksi. (Liite 4)

8. Kotitehtävien tallentaminen (1 min)

D/z: §7.17. Laadi ja ratkaise 2 ensimmäisen asteen homogeenista yhtälöä ja 1 toisen asteen homogeeninen yhtälö (käyttämällä kokoamiseen Vietan lausetta). (dia 12)

9. Oppitunnin yhteenveto, arvosana (2 minuuttia)

Opettaja kiinnittää jälleen huomion sellaisiin yhtälötyyppeihin ja teoreettisiin faktoihin, jotka muistettiin oppitunnilla, puhuu niiden oppimisen tarpeesta.

Oppilaat vastaavat kysymyksiin:

1. Millaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä tunnemme?
2. Miten nämä yhtälöt ratkaistaan?

Opettaja panee merkille yksittäisten oppilaiden oppitunnin menestyneimmän työn, antaa arvosanat.