Rombin pinta-ala on sivujen kaava. Neljä kaavaa rombin alueen laskemiseen. Rombuksen ominaisuudet

Rombi (muinaisesta kreikasta ῥόμβος ja latinan sanasta rombus "tambourine") on suuntaviiva, jolle on ominaista samanpituisten sivujen läsnäolo. Siinä tapauksessa, että kulmat ovat 90 astetta (tai suorakulmainen), tällaista geometristä kuviota kutsutaan neliöksi. Rombi - geometrinen kuvio, eräänlainen nelikulmio. Se voi olla sekä neliö että suuntaviiva.

Termin alkuperä

Puhutaanpa hieman tämän hahmon historiasta, mikä auttaa paljastamaan hieman muinaisen maailman salaperäisiä salaisuuksia. Meille tuttu sana, joka löytyy usein koulukirjallisuudesta, "rombi", on peräisin antiikin kreikan sanasta "tamburiini". Muinaisessa Kreikassa nämä soittimet valmistettiin rombin tai neliön muodossa (toisin kuin nykyaikaiset kalusteet). Olet varmasti huomannut, että korttipuku - tamburiini - on rombisen muotoinen. Tämän puvun muodostuminen juontaa juurensa aikoihin, jolloin pyöreitä timantteja ei käytetty jokapäiväisessä elämässä. Siksi rombi on vanhin historiallinen hahmo, jonka ihmiskunta keksi kauan ennen pyörän tuloa.

Sellaiset kuuluisat henkilöt kuin Heron ja Aleksandrian paavi käyttivät ensimmäistä kertaa sanaa "rombi".

Rombuksen ominaisuudet

1. Koska rombin sivut ovat vastakkaisia ​​toisiaan vastaan ​​ja ovat pareittain yhdensuuntaisia, rombi on epäilemättä suuntaviiva (AB || CD, AD || BC).
2. Rombiset diagonaalit leikkaavat suorassa kulmassa (AC ⊥ BD) ja ovat siksi kohtisuorassa. Siksi leikkaus puolittaa diagonaalit.
3. Rombisten kulmien puolittajat ovat rombin lävistäjät (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD jne.).
4. Suunnikkaiden identiteetistä seuraa, että rombin lävistäjien neliöiden summa on sivun neliön numero, joka kerrotaan 4:llä.

Rombin merkkejä

Rombi on näissä tapauksissa suunnikas, kun se täyttää seuraavat ehdot:

1. Suunnikkaan kaikki sivut ovat yhtä suuret.
2. Rombin lävistäjät leikkaavat suoran kulman, eli ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden (AC⊥BD). Tämä todistaa kolmen sivun säännön (sivut ovat yhtä suuret ja ovat 90 asteen kulmassa).
3. Suunnikkaan diagonaalit jakavat kulmat tasaisesti, koska sivut ovat yhtä suuret.

Rombinen alue

1. Rombin pinta-ala on yhtä suuri kuin luku, joka on puolet sen kaikkien diagonaalien tulosta.
2. Koska rombi on eräänlainen suuntaviiva, rombin pinta-ala (S) on suunnikkaan sivun ja sen korkeuden (h) tulon numero.
3. Lisäksi rombin pinta-ala voidaan laskea kaavalla, joka on rombin neliön sivun ja kulman sinin tulo. Kulman sini on alfa - alkuperäisen rombin sivujen välinen kulma.
4. Kaavaa, joka on kaksinkertaisen kulman alfa ja piirretyn ympyrän säteen (r) tulo, pidetään varsin hyväksyttävänä oikealle ratkaisulle.

- tämä on suunnikas, jossa kaikki sivut ovat yhtä suuret, niin siihen pätevät kaikki samat kaavat kuin suunnikkaaseen, mukaan lukien kaava korkeuden ja sivun tulon läpi kulkevan alueen löytämiseksi.

Rombin pinta-ala voidaan löytää tietämällä myös sen diagonaalit. Diagonaalit jakavat rombin neljään täysin identtiseen suorakulmaiseen kolmioon. Jos lajittelemme ne niin, että saadaan suorakulmio, sen pituus ja leveys ovat yhtä kokonaista diagonaalia ja puolet toisesta lävistäjästä. Siksi rombin pinta-ala saadaan kertomalla rombin lävistäjät, vähennettynä kahdella (tuloksena olevan suorakulmion pinta-alana).

Jos vain kulma ja sivu ovat käytettävissä, voit aseistaa itsesi diagonaalilla avustajana ja piirtää sen tunnettua kulmaa vastapäätä. Sitten hän jakaa rombin kahteen yhtenäiseen kolmioon, joiden pinta-alat yhteensä antavat meille rombin alueen. Kunkin kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sivun neliön ja tunnetun kulman sinin tulosta tasakylkisen kolmion pinta-alana. Koska tällaisia ​​kolmioita on kaksi, kertoimet kumoutuvat jättäen vain toisen asteen sivun ja sinin:

Jos ympyrä on kirjoitettu rombin sisään, sen säde viittaa sivuun 90 ° kulmassa, mikä tarkoittaa, että kaksinkertainen säde on yhtä suuri kuin rombin korkeus. Korvaamalla edellisen kaavan korkeuden h=2r sijasta saadaan alue S=ha=2ra

Jos piirretyn ympyrän säteen kanssa ei anneta sivua, vaan kulmaa, sinun on ensin löydettävä sivu piirtämällä korkeus siten, että saadaan suorakulmainen kolmio tietyllä kulmalla. Sitten sivu a voidaan löytää trigonometrisista suhteista kaavan avulla . Korvaa tämä lauseke samaan rombin alueen vakiokaavaan, käy ilmi

Rombi on suuntaviivan erikoistapaus. Se on litteä nelikulmainen hahmo, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Tämä ominaisuus määrittää, että rombeilla on yhdensuuntaiset vastakkaiset sivut ja samat vastakkaiset kulmat. Rombin lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa, niiden leikkauspiste on kunkin lävistäjän keskellä ja kulmat, joista ne lähtevät, on jaettu puoliksi. Eli ne ovat rombin diagonaalit ovat kulmien puolittajia. Yllä olevien määritelmien ja lueteltujen rommien ominaisuuksien perusteella niiden pinta-ala voidaan määrittää eri tavoin.

1. Jos rombin AC ja BD molemmat lävistäjät tunnetaan, niin rombin pinta-ala voidaan määrittää puoleksi lävistäjien tulosta.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

missä AC, BD ovat rombin diagonaalien pituus.

Ymmärtääksesi miksi näin on, voit kirjoittaa mielessäsi suorakulmion rombukseen siten, että jälkimmäisen sivut ovat kohtisuorassa rombin diagonaaleihin nähden. Käy ilmi, että rombin pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet rombissa tällä tavalla piirretyn suorakulmion pinta-alasta, jonka pituus ja leveys vastaavat rombin lävistäjien kokoa.

2. Analogisesti suuntaissärmiön kanssa, rombin pinta-ala voidaan löytää sen sivun tulona, ​​kulman korkeudella vastakkaiselta puolelta laskettuna annetulle sivulle.

S = a ∙ h

missä a on rombin sivu;
h on annetulle sivulle pudonneen kohtisuoran korkeus.

3. Rombin pinta-ala on myös yhtä suuri kuin sen sivun neliö kerrottuna kulman α sinillä.

S = a2 ∙ synti α

missä a on rombin sivu;
α on sivujen välinen kulma.

4. Myös rombin pinta-ala löytyy sen sivun ja siihen piirretyn ympyrän säteen kautta.

S = 2 ∙ a ∙ r

missä a on rombin sivu;
r on rombiin piirretyn ympyrän säde.

Mielenkiintoisia seikkoja
Sana rombi tulee antiikin kreikan sanasta rombus, joka tarkoittaa "tamburiinia". Tuohon aikaan tamburiinit olivat todella vinoneliön muotoisia, eivät pyöreitä, kuten olemme tottuneet näkemään ne nykyään. Siitä lähtien korttipuvun nimi "tamburiini" on myös esiintynyt. Heraldiikassa käytetään hyvin laajasti erilaisia ​​​​rombeja.

on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Suorakulmaista rombista kutsutaan neliöksi ja sitä pidetään rombin erikoistapauksena. Voit löytää rombin alueen monin eri tavoin käyttämällä kaikkia sen elementtejä - sivuja, lävistäjiä, korkeutta. Klassinen kaava rombin pinta-alalle on arvon laskenta korkeuden kautta.

Esimerkki rombin alueen laskemisesta tällä kaavalla on hyvin yksinkertainen. Sinun tarvitsee vain liittää tiedot ja laskea pinta-ala.

Rombin pinta-ala diagonaaleina

Rombin lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa ja puolittavat leikkauspisteessä.

Rombin pinta-alan kaava lävistäjänä on sen diagonaalien tulo jaettuna kahdella.

Harkitse esimerkkiä rombin alueen laskemisesta diagonaalien kautta. Olkoon rombi annettu diagonaaleilla
d1 = 5 cm ja d2 = 4. Etsitään aluetta.

Sivujen läpi kulkevan rombin alueen kaava edellyttää myös muiden elementtien käyttöä. Jos ympyrä on kirjoitettu rombukseen, niin kuvan pinta-ala voidaan laskea sivuilta ja sen säteestä:

Esimerkki rombin pinta-alan laskemisesta sivujen läpi on myös melko yksinkertainen. On vain laskettava piirretyn ympyrän säde. Se voidaan johtaa Pythagoraan lauseesta ja kaavasta.

Rombin alueet sivun ja kulman poikki

Sivun ja kulman läpi kulkevan rombin pinta-alan kaavaa käytetään hyvin usein.

Harkitse esimerkkiä rombin alueen laskemisesta sivun ja kulman läpi.

Tehtävä: Annettu rombi, jonka lävistäjät ovat d1 =4 cm, d2 =6 cm. Terävä kulma on α = 30°. Etsi kuvion pinta-ala sivun ja kulman mukaan.
Etsitään ensin rombin sivu. Käytämme tähän Pythagoraan lausetta. Tiedämme, että leikkauspisteessä diagonaalit puolittuvat ja muodostavat suoran kulman. Siten:
Korvaa arvot:
Nyt tiedämme sivun ja kulman. Etsitään aluetta:

Huolimatta siitä, että matematiikka on tieteiden kuningatar ja aritmetiikka on matematiikan kuningatar, geometria on koululaisten vaikein oppia. Planimetria on geometrian haara, joka tutkii tasokuvioita. Yksi näistä hahmoista on rombi. Useimmat ongelmat nelikulmioiden ratkaisemisessa liittyvät niiden alueiden löytämiseen. Järjestämme tunnetut kaavat ja erilaiset menetelmät rombin pinta-alan laskentaan.

Rombi on suunnikas, jonka kaikki neljä sivua ovat yhtä suuret. Muista, että suunnikkaalla on neljä kulmaa ja neljä pareittain samansuuntaista sivua. Kuten kaikilla nelikulmioilla, rombilla on useita ominaisuuksia, jotka kiteytyvät seuraavaan: lävistäjät ylittäessään ne muodostavat 90 asteen kulman (AC ⊥ BD), leikkauspiste jakaa kunkin kahdeksi yhtä suureksi segmentiksi. Rombin diagonaalit ovat myös sen kulmien puolittajia (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD jne.). Tästä seuraa, että ne jakavat rombin neljään yhtä suureen suorakulmaiseen kolmioon. Toiseen potenssiin nostettujen diagonaalien pituuksien summa on yhtä suuri kuin toisen potenssin sivun pituus kerrottuna 4:llä, ts. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Planimetriassa rombin pinta-alan laskemiseen käytetään monia menetelmiä, joiden käyttö riippuu lähdetiedoista. Jos tiedät sivun pituuden ja minkä tahansa kulman, voit käyttää seuraavaa kaavaa: rombin pinta-ala on yhtä suuri kuin sivun neliö kertaa kulman sini. Trigonometrian kurssista tiedetään, että sin (π - α) = sin α, mikä tarkoittaa, että minkä tahansa kulman siniä, sekä terävän että tylpän, voidaan käyttää laskelmissa. Erikoistapaus on rombi, jossa kaikki kulmat ovat oikeassa. Tämä on neliö. Tiedetään, että suoran kulman sini on yhtä suuri kuin yksi, joten neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen toiseen potenssiin nostetun sivun pituus.

Jos sivujen pituutta ei tunneta, käytämme diagonaalien pituutta. Tässä tapauksessa rombin pinta-ala on puolet pää- ja sivudiagonaalien tulosta.

Kun diagonaalien pituus ja minkä tahansa kulman arvo on tunnettu, rombin pinta-ala määritetään kahdella tavalla. Ensinnäkin: pinta-ala on puolet suuremman diagonaalin neliöstä kerrottuna terävän kulman puolen astemitan tangentilla, ts. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), missä D on iso diagonaali, α on terävä kulma. Jos tiedät pienemmän lävistäjän koon, käytä kaavaa 1/2*d 2 *tg(β/2), jossa d on pienempi lävistäjä ja β on tylppä kulma. Muista, että terävän kulman mitta on pienempi kuin 90 astetta (suoran kulman mitta) ja tylpän kulman mitta on vastaavasti suurempi kuin 90 0 .

Rombin pinta-ala voidaan löytää käyttämällä sivun pituutta (muista, rombin kaikki sivut ovat yhtä suuret) ja korkeutta. Korkeus on kulman vastakkaiselle puolelle tai sen jatkeelle pudotettu kohtisuora. Jotta korkeuden pohja sijoittuisi rombin sisälle, sitä tulee laskea tylpästä kulmasta.

Joskus ongelmassa on löydettävä rombin pinta-ala piirrettyyn ympyrään liittyvien tietojen perusteella. Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä sen säde. Laskemiseen voidaan käyttää kahta kaavaa. Joten vastataksemme esitettyyn kysymykseen voimme kaksinkertaistaa rombin sivun ja piirretyn ympyrän säteen tulon. Toisin sanoen, sinun on kerrottava piirretyn ympyrän halkaisija rombin sivulla. Jos tehtävän ehto esittää kulman arvon, niin pinta-ala on säteen neliön, kerrottuna neljällä, ja kulman sinin osamäärän kautta.

Kuten näet, on monia tapoja löytää rombin alue. Tietenkin tarvitset kärsivällisyyttä, tarkkaavaisuutta ja tietysti aikaa muistaaksesi jokaisen niistä. Mutta myöhemmin voit helposti valita tehtävällesi sopivan menetelmän ja varmistaa, että geometria on helppoa.