Naida 

Graafiointi ja tutkimus. Funktion tutkiminen differentiaalilaskennan menetelmillä

Tänään kutsumme sinut tutkimaan ja piirtämään funktiokaaviota kanssamme. Tämän artikkelin huolellisen tutkimisen jälkeen sinun ei tarvitse hikoilla pitkään tämän tyyppisen tehtävän suorittamiseksi. Funktion kaavion tutkiminen ja rakentaminen ei ole helppoa, työ on laajaa, vaatii maksimaalista huomiota ja laskelmien tarkkuutta. Materiaalin ymmärtämisen helpottamiseksi tutkimme vähitellen samaa toimintoa, selitämme kaikki toimintamme ja laskelmamme. Tervetuloa matematiikan hämmästyttävään ja kiehtovaan maailmaan! Mennä!

Verkkotunnus

Jotta voit tutkia ja piirtää funktiota, sinun on tiedettävä muutama määritelmä. Funktio on yksi matematiikan peruskäsitteistä. Se heijastaa useiden muuttujien (kahden, kolmen tai useamman) välistä riippuvuutta muutoksineen. Funktio näyttää myös joukkojen riippuvuuden.

Kuvittele, että meillä on kaksi muuttujaa, joilla on tietty vaihteluväli. Joten y on x:n funktio edellyttäen, että jokainen toisen muuttujan arvo vastaa toisen muuttujan yhtä arvoa. Tässä tapauksessa muuttuja y on riippuvainen, ja sitä kutsutaan funktioksi. On tapana sanoa, että muuttujat x ja y ovat in. Tämän riippuvuuden selkeyttämiseksi funktiosta rakennetaan kuvaaja. Mikä on funktiokaavio? Tämä on joukko pisteitä koordinaattitasolla, jossa jokainen x:n arvo vastaa yhtä y:n arvoa. Kaaviot voivat olla erilaisia ​​- suora, hyperbola, paraabeli, sinimuoto ja niin edelleen.

Funktion kuvaajaa ei voida piirtää ilman tutkimusta. Tänään opimme tekemään tutkimusta ja piirtämään funktiokaavion. On erittäin tärkeää tehdä muistiinpanoja opiskelun aikana. Joten on paljon helpompi selviytyä tehtävästä. Kätevin opintosuunnitelma:

  1. Verkkotunnus.
  2. Jatkuvuus.
  3. Parillinen tai pariton.
  4. Jaksoisuus.
  5. Asymptootit.
  6. Nollat.
  7. Vakaus.
  8. Nouseva ja laskeva.
  9. Äärimmäisyydet.
  10. Kuperuus ja koveruus.

Aloitetaan ensimmäisestä kohdasta. Etsitään määritelmäalue, eli millä aikaväleillä funktiomme on olemassa: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Meidän tapauksessamme funktio on olemassa kaikille x:n arvoille, eli määritelmäalue on R. Tämä voidaan kirjoittaa muodossa xОR.

Jatkuvuus

Nyt aiomme tutkia epäjatkuvuusfunktiota. Matematiikassa termi "jatkuvuus" ilmestyi liikkeen lakien tutkimuksen tuloksena. Mikä on ääretön? Tila, aika, joitain riippuvuuksia (esimerkki on muuttujien S ja t riippuvuus liikeongelmissa), lämmitetyn kohteen lämpötila (vesi, paistinpannu, lämpömittari jne.), jatkuva viiva (eli yksi joka voidaan piirtää irroittamatta sitä kynästä).

Graafia pidetään jatkuvana, jos se ei katkea jossain vaiheessa. Yksi selkeimmistä esimerkeistä tällaisesta kaaviosta on siniaalto, jonka näet tämän osan kuvassa. Funktio on jatkuva jossain kohdassa x0, jos useat ehdot täyttyvät:

  • funktio on määritelty tietyssä pisteessä;
  • pisteen oikea ja vasen raja ovat yhtä suuret;
  • raja on yhtä suuri kuin funktion arvo pisteessä x0.

Jos vähintään yksi ehto ei täyty, funktion sanotaan katkeavan. Ja pisteitä, joissa funktio katkeaa, kutsutaan taukopisteiksi. Esimerkki funktiosta, joka "katkoutuu" graafisesti esitettynä, on: y=(x+4)/(x-3). Lisäksi y:tä ei ole olemassa pisteessä x = 3 (koska nollalla jakaminen on mahdotonta).

Tutkimassamme funktiossa (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) kaikki osoittautui yksinkertaiseksi, koska kaavio on jatkuva.

Parillinen, outo

Tutki nyt pariteetin funktiota. Aloitetaan pienellä teorialla. Parillinen funktio on funktio, joka täyttää ehdon f (-x) = f (x) mille tahansa muuttujan x arvolle (arvoalueelta). Esimerkkejä ovat:

  • moduuli x (kaavio näyttää jackdawilta, kaavion ensimmäisen ja toisen neljänneksen puolittajalta);
  • x neliö (paraabeli);
  • kosini x (kosiniaalto).

Huomaa, että kaikki nämä kaaviot ovat symmetrisiä, kun niitä tarkastellaan y-akselin suhteen.

Mitä sitten kutsutaan parittomaksi funktioksi? Nämä ovat ne funktiot, jotka täyttävät ehdon: f (-x) \u003d - f (x) mille tahansa muuttujan x arvolle. Esimerkkejä:

  • hyperbeli;
  • kuutioinen paraabeli;
  • sinusoidi;
  • tangentti ja niin edelleen.

Huomaa, että nämä funktiot ovat symmetrisiä pisteen (0:0) eli origon suhteen. Tämän artikkelin osan perusteella parillisella ja paritolla funktiolla tulee olla ominaisuus: x kuuluu määritelmäjoukkoon ja myös -x.

Tarkastellaan pariteetin funktiota. Näemme, että hän ei sovi yhteenkään kuvauksesta. Siksi funktiomme ei ole parillinen eikä pariton.

Asymptootit

Aloitetaan määritelmästä. Asymptootti on käyrä, joka on mahdollisimman lähellä kuvaajaa, eli etäisyys jostain pisteestä pyrkii nollaan. Asymptootteja on kolmenlaisia:

  • pystysuora, eli yhdensuuntainen y-akselin kanssa;
  • vaakasuora, eli yhdensuuntainen x-akselin kanssa;
  • vino.

Mitä tulee ensimmäiseen tyyppiin, näitä rivejä tulisi etsiä joistakin kohdista:

  • aukko;
  • verkkotunnuksen päät.

Meidän tapauksessamme funktio on jatkuva ja määrittelyalue on R. Siksi vertikaalisia asymptootteja ei ole.

Funktion kuvaajalla on vaaka-asymptootti, joka täyttää seuraavan vaatimuksen: jos x pyrkii äärettömään tai miinus äärettömyyteen ja raja on yhtä suuri kuin tietty luku (esim. a). Tässä tapauksessa y=a on vaakasuuntainen asymptootti. Tutkimuksessamme ei ole horisontaalisia asymptootteja.

Vino asymptootti on olemassa vain, jos kaksi ehtoa täyttyy:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Sitten se voidaan löytää kaavalla: y=kx+b. Jälleen, meidän tapauksessamme ei ole vinoja asymptootteja.

Toimintojen nollia

Seuraava vaihe on tutkia funktion kuvaajaa nollia varten. On myös erittäin tärkeää huomata, että funktion nollien löytämiseen liittyvä tehtävä ei esiinny ainoastaan ​​funktiokaavion tutkimisessa ja piirtämisessä, vaan myös itsenäisenä tehtävänä ja epäyhtälöiden ratkaisemisena. Saatat joutua etsimään funktion nollat ​​kaaviosta tai käyttämään matemaattista merkintää.

Näiden arvojen löytäminen auttaa sinua piirtämään funktion tarkemmin. Yksinkertaisesti sanottuna funktion nolla on muuttujan x arvo, jossa y \u003d 0. Jos etsit funktion nollia kaaviosta, sinun tulee kiinnittää huomiota pisteisiin, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin.

Löytääksesi funktion nollat, sinun on ratkaistava seuraava yhtälö: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Tehtyään tarvittavat laskelmat, saamme seuraavan vastauksen:

merkki pysyvyys

Seuraava vaihe funktion (grafiikan) tutkimisessa ja rakentamisessa on etumerkkien pysyvyyden intervallien löytäminen. Tämä tarkoittaa, että meidän on määritettävä, millä aikaväleillä funktio saa positiivisen arvon ja millä aikavälillä se saa negatiivisen arvon. Edellisessä osiossa löytyneiden funktioiden nollat ​​auttavat meitä tässä. Joten meidän on rakennettava suora (erillään kaaviosta) ja jaettava funktion nollat ​​sitä pitkin oikeassa järjestyksessä pienimmästä suurimpaan. Nyt sinun on määritettävä, millä tuloksena olevista intervalleista on "+"-merkki ja missä "-".

Meidän tapauksessamme funktio saa positiivisen arvon intervalleilla:

  • 1 - 4;
  • 9:stä äärettömään.

Negatiivinen merkitys:

  • miinus äärettömästä 1;
  • 4-9.

Tämä on melko helppo määrittää. Korvaa mikä tahansa luku väliltä funktioon ja katso, mikä merkki vastaus on (miinus tai plus).

Toiminto nouseva ja laskeva

Funktion tutkimiseksi ja rakentamiseksi on selvitettävä, missä käyrä kasvaa (nousee Oy:ssä) ja minne se putoaa (ryömi alas y-akselia pitkin).

Funktio kasvaa vain, jos muuttujan x suurempi arvo vastaa suurempaa y:n arvoa. Eli x2 on suurempi kuin x1 ja f(x2) on suurempi kuin f(x1). Ja havaitsemme täysin päinvastaisen ilmiön pienenevässä funktiossa (mitä enemmän x, sitä vähemmän y). Kasvu- ja laskuvälin määrittämiseksi sinun on löydettävä seuraavat tiedot:

  • soveltamisala (meillä on jo se);
  • johdannainen (tässä tapauksessa: 1/3(3x^2-28x+49);
  • ratkaise yhtälö 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Laskelmien jälkeen saamme tuloksen:

Saamme: funktio kasvaa aikaväleillä miinus äärettömästä 7/3:aan ja 7:stä äärettömään ja pienenee välillä 7/3 arvoon 7.

Äärimmäisyydet

Tutkittu funktio y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) on jatkuva ja se on olemassa kaikille muuttujan x arvoille. Ääripiste näyttää tämän funktion maksimin ja minimin. Meidän tapauksessamme niitä ei ole, mikä yksinkertaistaa huomattavasti rakennustehtävää. Muuten ne löytyvät myös derivaattafunktiolla. Kun olet löytänyt, älä unohda merkitä niitä kaavioon.

Kupera ja koveruus

Jatkamme funktion y(x) tutkimista. Nyt meidän on tarkistettava se kuperuuden ja koveruuden varalta. Näiden käsitteiden määritelmät ovat melko vaikeita havaita, on parempi analysoida kaikkea esimerkein. Testiä varten: funktio on kupera, jos se on ei-laskeva funktio. Samaa mieltä, tämä on käsittämätöntä!

Meidän on löydettävä toisen asteen funktion derivaatta. Saamme: y=1/3(6x-28). Nyt samastamme oikean puolen nollaan ja ratkaisemme yhtälön. Vastaus: x=14/3. Olemme löytäneet käännepisteen, eli paikan, jossa graafi muuttuu kuperasta koveraksi tai päinvastoin. Välillä miinus äärettömyydestä 14/3:een funktio on kupera ja 14/3:sta plus äärettömään se on kovera. On myös erittäin tärkeää huomata, että kaavion käännepisteen tulee olla sileä ja pehmeä, eikä siinä saa olla teräviä kulmia.

Lisäpisteiden määrittely

Tehtävämme on tutkia ja piirtää funktiokaavio. Olemme saaneet tutkimuksen valmiiksi, funktion piirtäminen ei ole nyt vaikeaa. Käyrän tai suoran koordinaattitasolla tarkempaa ja yksityiskohtaisempaa toistoa varten löydät useita apupisteitä. Niiden laskeminen on melko helppoa. Esimerkiksi otamme x=3, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja löydämme y=4. Tai x=5 ja y=-5 ja niin edelleen. Voit ottaa niin monta lisäpistettä kuin tarvitset rakentamiseen. Niitä löytyy ainakin 3-5.

Piirustus

Meidän piti tutkia funktiota (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinaattitasolle tehtiin kaikki laskelmissa tarvittavat merkit. Ainoa mitä on tehtävä, on rakentaa kaavio, eli yhdistää kaikki pisteet toisiinsa. Pisteiden yhdistäminen on sujuvaa ja tarkkaa, tämä on taitokysymys - pieni harjoittelu ja aikataulusi on täydellinen.

Funktion täydelliseen tutkimiseen ja sen kaavion piirtämiseen suositellaan seuraavaa kaaviota:
A) etsi määritelmäalue, katkaisupisteet; tutkia funktion käyttäytymistä epäjatkuvuuspisteiden lähellä (etsi funktion rajat vasemmalta ja oikealta näistä kohdista). Määritä pystysuorat asymptootit.
B) määritä funktion tasaisuus tai parittomuus ja tee johtopäätös symmetrian olemassaolosta. Jos , niin funktio on parillinen, symmetrinen OY-akselin suhteen; varten , funktio on pariton, symmetrinen suhteessa alkuperään; ja jos on yleisen muodon funktio.
C) etsi funktion leikkauspisteet koordinaattiakseleiden OY ja OX kanssa (jos mahdollista), määritä funktion etumerkin välit. Funktion etumerkkivakiovälien rajat määräytyvät pisteistä, joissa funktio on yhtä suuri kuin nolla (funktion nollat) tai sitä ei ole olemassa, sekä tämän funktion määritysalueen rajojen perusteella. Välillä, jossa funktion kuvaaja sijaitsee OX-akselin yläpuolella ja missä - tämän akselin alapuolella.
D) etsi funktion ensimmäinen derivaatta, määritä sen nollat ​​ja vakiovälit. Aikavälein, joissa funktio kasvaa ja missä se pienenee. Tee johtopäätös äärimmäisyyksien (pisteet, joissa funktio ja derivaatta ovat olemassa ja joiden läpi se muuttaa etumerkkiä. Jos se vaihtaa etumerkkiä plussasta miinukseen, niin tässä vaiheessa funktiolla on maksimi, ja jos miinuksesta miinusmerkkiin plus, sitten minimi). Etsi funktioarvot ääripisteistä.
E) Etsi toinen derivaatta, sen nollat ​​ja vakiovälit. Väliajoissa missä< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) etsi vinoja (vaakasuuntaisia) asymptooteja, joiden yhtälöillä on muoto ; missä
.
klo funktion kaaviossa on kaksi vinoa asymptoottia, ja jokainen x:n arvo at ja voi vastata kahta b:n arvoa.
G) etsi lisäpisteitä kaavion tarkentamiseksi (tarvittaessa) ja luo kaavio.

Esimerkki 1 Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio. Ratkaisu: A) määritelmäalue ; funktio on jatkuva määrittelyalueella; – murtumispiste, koska ; . Sitten on pystysuora asymptootti.
B)
nuo. y(x) on yleinen funktio.
C) Etsitään kuvaajan ja OY-akselin leikkauspisteet: asetetaan x=0; sitten y(0)=–1, ts. funktion kuvaaja ylittää akselin pisteessä (0;-1). Funktion nollapisteet (kuvaajan leikkauspisteet OX-akselin kanssa): oletetaan y=0; sitten
.
Toisen yhtälön diskriminantti on pienempi kuin nolla, joten nollia ei ole. Tällöin vakiovälien raja on piste x=1, jossa funktiota ei ole olemassa.
Funktion etumerkki kussakin välissä määritetään osaarvojen menetelmällä:

Kaaviosta voidaan nähdä, että intervallissa funktion kuvaaja sijaitsee OX-akselin alla ja välissä OX-akselin yläpuolella.
D) Selvitämme kriittisten pisteiden olemassaolon.
.
Kriittiset pisteet (missä tai ei ole) löytyvät yhtälöistä ja .

Saamme: x1=1, x2=0, x3=2. Luodaan aputaulukko

pöytä 1

(Ensimmäisellä rivillä on kriittiset pisteet ja välit, joihin nämä pisteet on jaettu OX-akselilla; toisella rivillä on derivaatan arvot kriittisissä pisteissä ja merkit intervalleilla. Merkit määritetään menetelmällä Kolmas rivi osoittaa funktion y(x) arvot kriittisissä pisteissä ja näyttää funktion käyttäytymisen - kasvaen tai pienentyen numeerisen akselin vastaavilla aikaväleillä. Lisäksi minimin olemassaolo tai maksimi on merkitty.
E) Etsi funktion kuperuuden ja koveruuden välit.
; rakennamme taulukon kappaleen D mukaisesti); vain toisella rivillä kirjoitamme merkit muistiin ja kolmannella osoitamme pullistuman tyypin. Koska ; silloin kriittinen piste on yksi x=1.
taulukko 2

Piste x=1 on käännepiste.
E) Etsi vinot ja vaaka-asymptootit

Silloin y=x on vino asymptootti.
G) Rakennamme saatujen tietojen mukaan funktiosta graafin

Esimerkki2 Suorita täydellinen tutkimus funktiosta ja piirrä sen kaavio. Ratkaisu.

1). Toiminnan laajuus.
Ilmeisesti tämä funktio on määritelty koko numeroviivalle lukuun ottamatta pisteitä "" ja "", koska näissä pisteissä nimittäjä on nolla ja siksi funktiota ei ole olemassa, ja viivat ja ovat pystysuuntaisia ​​asymptootteja.

2). Funktion käyttäytyminen, kun argumentti pyrkii äärettömyyteen, epäjatkuvuuspisteiden olemassaolo ja vinojen asymptootien tarkistaminen.
Tarkastellaan ensin kuinka funktio käyttäytyy lähestyessään ääretöntä vasemmalle ja oikealle.

Siten kohdassa , funktio pyrkii arvoon 1, ts. on horisontaalinen asymptootti.
Epäjatkuvuuspisteiden läheisyydessä funktion käyttäytyminen määritellään seuraavasti:


Nuo. kun lähestytään vasemmalla olevia epäjatkuvuuspisteitä, funktio pienenee äärettömästi, kun taas oikealla se kasvaa äärettömästi.
Määritämme vinon asymptootin olemassaolon ottamalla huomioon yhtäläisyyden:

Ei ole vinoja asymptootteja.

3). Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla.
Tässä on tarkasteltava kahta tilannetta: löytää leikkauspiste Ox-akselin ja Oy-akselin kanssa. Leikkausmerkki x-akselin kanssa on funktion nolla-arvo, ts. sinun täytyy ratkaista yhtälö:

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, joten tämän funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä Ox-akselin kanssa.
Leikkausmerkki Oy-akselin kanssa on arvo x \u003d 0. Tässä tapauksessa
,
nuo. - funktiokuvaajan leikkauspiste Oy-akselin kanssa.

4).Ääripisteiden ja kasvun ja laskun välien määrittäminen.
Tämän ongelman tutkimiseksi määrittelemme ensimmäisen johdannaisen:
.
Yhdistämme ensimmäisen derivaatan arvon nollaan.
.
Murtoluku on nolla, kun sen osoittaja on nolla, ts. .
Määritetään funktion kasvu- ja laskuvälit.


Siten funktiolla on yksi ääripiste, eikä sitä ole kahdessa pisteessä.
Siten funktio kasvaa aikaväleillä ja ja pienenee intervalleilla ja .

5). Käännepisteet sekä kuperuuden ja koveruuden alueet.
Tämä funktion käyttäytymisen ominaisuus määritetään käyttämällä toista derivaatta. Määritetään ensin käännepisteiden olemassaolo. Toinen funktion derivaatta on


For ja funktio on kovera;

for ja funktio on kupera.

6). Funktiograafin piirtäminen.
Pisteistä löytyneiden arvojen avulla rakennamme funktion kaavion:

Esimerkki3 Tutustu toimintoon ja piirtää sen.

Ratkaisu
Annettu funktio on yleismuotoinen ei-jaksollinen funktio. Sen kaavio kulkee origon kautta, koska .
Annetun funktion toimialue on kaikki muuttujan arvot paitsi ja , joissa murto-osan nimittäjä häviää.
Siksi pisteet ja ovat funktion murtopisteitä.
Koska ,

Koska ,
, silloin piste on toisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste.
Suorat ja ovat funktion kaavion pystysuorat asymptootit.
Viistot asymptoottiyhtälöt , missä , .
klo ,
.
Siten for ja funktion kuvaajalla on yksi asymptootti .
Etsitään funktion kasvu- ja laskuvälit ja ääripisteet.
.
Ensimmäinen derivaatta funktiosta at ja , siis at ja funktio kasvaa.
Sillä , siis varten , funktio pienenee.
ei ole olemassa , .
, siis klo funktion kuvaaja on kovera.
klo , siis klo funktion kuvaaja on konveksi.

Kulkiessaan pisteiden läpi , vaihtaa merkkiä. Kun , funktiota ei ole määritelty, siksi funktion kaaviossa on yksi käännepiste .
Rakennetaan funktiosta kaavio.

Toiminnon täydelliseen tutkimiseen ja sen kaavion piirtämiseen on suositeltavaa käyttää seuraavaa kaaviota:

1) selvitä toiminnon laajuus;

2) löytää funktion epäjatkuvuuspisteet ja pystyasymptootit (jos sellaisia ​​on);

3) tutkia funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, löytää vaaka- ja vinoasymptootit;

4) tutkia funktiota tasaisuus (ouditeetti) ja jaksollisuus (trigonometriset funktiot);

5) löytää funktion monotonisuuden ääripäät ja intervallit;

6) määrittää kuperuus- ja käännepisteiden välit;

7) etsi leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, jos mahdollista, ja joitain lisäpisteitä, jotka tarkentavat kuvaajaa.

Funktion tutkimus suoritetaan samanaikaisesti sen graafin rakentamisen kanssa.

Esimerkki 9 Tutustu funktioon ja rakenna kaavio.

1. Määritelmäalue: ;

2. Funktio katkeaa pisteissä
,
;

Tutkimme funktiota vertikaalisten asymptoottien esiintymiselle.

;
,
─ pystyasymptootti.

;
,
─ pystyasymptootti.

3. Tutkimme vinojen ja vaakasuuntaisten asymptoottien funktiota.

Suoraan
─ vino asymptootti, jos
,
.

,
.

Suoraan
─ vaaka-asymptootti.

4. Toiminto on parillinen, koska
. Funktion pariteetti ilmaisee graafin symmetrian suhteessa y-akseliin.

5. Etsi funktion monotonisuuden ja äärimmäisyyden välit.

Etsitään kriittiset kohdat, ts. pisteet, joissa derivaatta on 0 tai sitä ei ole olemassa:
;
. Meillä on kolme pistettä
;

. Nämä pisteet jakavat koko reaaliakselin neljään väliin. Määritellään merkit jokaisessa niistä.

Aikaväleillä (-∞; -1) ja (-1; 0) funktio kasvaa, aikaväleillä (0; 1) ja (1; +∞) se pienenee. Kun kuljetaan pisteen läpi
derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, joten tässä vaiheessa funktiolla on maksimi
.

6. Etsitään kuperavälit, käännepisteet.

Etsitään kohdat missä on 0 tai sitä ei ole olemassa.

ei ole oikeita juuria.
,
,

pisteitä
ja
jaa reaaliakseli kolmeen väliin. Määritellään merkki joka välissä.

Siten intervallien käyrä
ja
kupera alaspäin, välillä (-1;1) kupera ylöspäin; ei ole käännepisteitä, koska funktio pisteissä
ja
ei määritetty.

7. Etsi akselien leikkauspisteet.

akselilla
funktion kuvaaja leikkaa pisteessä (0; -1) ja akselin kanssa
kaavio ei leikkaa, koska tämän funktion osoittajalla ei ole todellisia juuria.

Annetun funktion kaavio on esitetty kuvassa 1.

Kuva 1 ─ funktion kuvaaja

Johdannaisen käsitteen soveltaminen taloustieteessä. Toiminnan elastisuus

Taloudellisten prosessien tutkimiseen ja muiden sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen käytetään usein funktion elastisuuden käsitettä.

Määritelmä. Toiminnan elastisuus
kutsutaan funktion suhteellisen inkrementin suhteen rajaksi muuttujan suhteelliseen lisäykseen klo
, . (VII)

Funktion elastisuus osoittaa, kuinka monta prosenttia funktio muuttuu suunnilleen
kun vaihdat riippumatonta muuttujaa 1 %:lla.

Funktion joustavuutta käytetään kysynnän ja kulutuksen analysoinnissa. Jos kysynnän joustavuus (absoluuttisena arvona)
, niin kysyntää pidetään elastisena, jos
─ neutraali jos
─ joustamaton hinnan (tai tulon) suhteen.

Esimerkki 10 Laske funktion elastisuus
ja etsi kimmoindeksin arvo kohteelle = 3.

Ratkaisu: kaavan (VII) mukaan funktion elastisuus:

Olkoon sitten x=3
Tämä tarkoittaa, että jos riippumaton muuttuja kasvaa 1 %, niin riippuvan muuttujan arvo kasvaa 1,42 %.

Esimerkki 11 Anna kysynnän toimia hinnan suhteen on muotoa
, missä ─ vakiokerroin. Etsi kysyntäfunktion kimmoindeksin arvo hinnalla x = 3 den. yksiköitä

Ratkaisu: laske kysyntäfunktion elastisuus kaavalla (VII)

Olettaen
rahayksiköitä, saamme
. Tämä tarkoittaa, että hintaan
rahayksikkö 1 %:n hinnankorotus aiheuttaa kysynnän laskun 6 %, ts. kysyntä on joustavaa.

Vertailupisteet funktioiden tutkimuksessa ja niiden kuvaajien rakentamisessa ovat tunnusomaisia ​​pisteitä - epäjatkuvuuspisteitä, ääripäät, käänne, leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Differentiaalilaskennan avulla voidaan määrittää funktioiden muutoksen tunnusmerkit: kasvu ja lasku, maksimi ja minimi, graafin kuperuuden ja koveruuden suunta, asymptoottien esiintyminen.

Funktiograafin luonnos voidaan (ja pitää) hahmotella asymptoottien ja ääripisteiden löytämisen jälkeen, ja funktion tutkimuksen yhteenvetotaulukko on kätevä täyttää tutkimuksen aikana.

Yleensä käytetään seuraavaa funktiotutkimuksen kaaviota.

1.Etsi funktion toimialue, jatkuvuusvälit ja keskeytyskohdat.

2.Tutki funktiota parillisen vai parittoman (kuvaajan aksiaalinen tai keskisymmetria).

3.Etsi asymptootteja (pysty, vaaka tai vino).

4.Etsi ja tutki funktion kasvu- ja laskuvälit, sen ääripisteet.

5.Etsi käyrän kuperuuden ja koveruuden välit, sen käännepisteet.

6.Etsi käyrän leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, jos sellaisia ​​on.

7.Tee tutkimuksesta yhteenvetotaulukko.

8.Rakenna kaavio, jossa otetaan huomioon funktion tutkimus, joka on suoritettu yllä olevien kohtien mukaisesti.

Esimerkki. Tutustu toimintoon

ja piirtää sen.

7. Tehdään funktion tutkimuksesta yhteenvetotaulukko, johon syötetään kaikki ominaispisteet ja niiden väliset välit. Kun otetaan huomioon funktion pariteetti, saamme seuraavan taulukon:

Kaavion ominaisuudet

[-1, 0[

Kasvava

Kupera

(0; 1) – maksimipiste

]0, 1[

Vähenee

Kupera

Käännepiste, muodostaa akselin kanssa Härkä tylppä kulma

Ohje

Etsi toiminnon laajuus. Esimerkiksi funktio sin(x) määritellään koko välille -∞ - +∞ ja funktio 1/x on määritelty -∞ - +∞, paitsi pisteen x = 0 kohdalla.

Määrittele jatkuvuuden alueet ja katkaisukohdat. Yleensä funktio on jatkuva samalla alueella, jossa se on määritelty. Epäjatkuvuuksien havaitsemiseksi sinun on laskettava, milloin argumentti lähestyy eristettyjä pisteitä määritelmäalueen sisällä. Esimerkiksi funktio 1/x pyrkii äärettömään, kun x→0+ ja miinus äärettömyyteen, kun x→0-. Tämä tarkoittaa, että pisteessä x = 0 sillä on toisen tyyppinen epäjatkuvuus.
Jos rajat epäjatkuvuuspisteessä ovat äärelliset, mutta eivät yhtä suuret, tämä on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuus. Jos ne ovat yhtä suuret, funktiota pidetään jatkuvana, vaikka sitä ei ole määritelty yksittäisessä pisteessä.

Etsi pystyasymptootit, jos sellaisia ​​on. Edellisen vaiheen laskelmat auttavat tässä, koska pystyasymptootti on lähes aina toisen tyypin epäjatkuvuuspisteessä. Joskus määritelmäalueen ulkopuolelle ei kuitenkaan jätetä yksittäisiä pisteitä, vaan kokonaisia ​​pistevälejä, jolloin pystysuorat asymptootit voivat sijaita näiden intervallien reunoilla.

Tarkista, onko funktiolla erityisominaisuuksia: parillinen, pariton ja jaksollinen.
Funktio on vaikka minkä tahansa x:n kohdalla f(x) = f(-x). Esimerkiksi cos(x) ja x^2 ovat parillisia funktioita.

Jaksollisuus on ominaisuus, joka sanoo, että on olemassa tietty luku T, jota kutsutaan jaksoksi ja joka mille tahansa x:lle f(x) = f(x + T). Esimerkiksi kaikki trigonometriset perusfunktiot (sini, kosini, tangentti) ovat jaksollisia.

Etsi pisteitä. Voit tehdä tämän laskemalla annetun funktion derivaatan ja etsimällä ne x-arvot, joista se katoaa. Esimerkiksi funktiolla f(x) = x^3 + 9x^2 -15 on derivaatta g(x) = 3x^2 + 18x, joka häviää, kun x = 0 ja x = -6.

Määrittääksesi mitkä ääripisteet ovat maksimipisteitä ja mitkä minimijä, seuraa derivaatan etumerkkien muutos löydetyissä noloissa. g(x) muuttaa etumerkin plussasta kohdassa x = -6 ja takaisin miinuksesta plussaan kohdassa x = 0. Siksi funktiolla f(x) on minimi ensimmäisessä pisteessä ja minimi toisessa.

Siten olet löytänyt myös monotonisuusalueita: f(x) kasvaa monotonisesti välillä -∞;-6, pienenee monotonisesti -6;0:lla ja taas kasvaa 0;+∞:lla.

Etsi toinen derivaatta. Sen juuret osoittavat, missä tietyn funktion kuvaaja on kupera ja missä se on kovera. Esimerkiksi funktion f(x) toinen derivaatta on h(x) = 6x + 18. Se katoaa kohdassa x = -3 ja muuttaa etumerkkinsä miinuksesta plussaksi. Siksi kuvaaja f (x) ennen tätä pistettä on kupera, sen jälkeen - kovera, ja tämä piste itse on käännepiste.

Funktiolla voi olla muita asymptootteja, paitsi vertikaalisia, mutta vain jos sen määritelmäalue sisältää . Löytääksesi ne laskemalla f(x):n raja, kun x→∞ tai x→-∞. Jos se on äärellinen, olet löytänyt horisontaalisen asymptootin.

Vino asymptootti on suora muotoa kx + b. Löytääksesi k, laske f(x)/x:n raja muodossa x→∞. Löytää b - raja (f(x) – kx) samalla x→∞.

Piirrä funktio lasketun datan päälle. Merkitse asymptootit, jos sellaisia ​​on. Merkitse ääripisteet ja funktioarvot niihin. Kuvaajan tarkkuuden lisäämiseksi laske funktioarvot useissa välipisteissä. Tutkimus valmistui.