Miehistä 

Kahden ympyrän suoran tangentin rakentaminen. Tangentti ympyrää. Täydelliset oppitunnit - Knowledge Hypermarket. Korkein pätevyysluokka

Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö

Kunnan budjettikoulutuslaitos

Novosibirskin kaupunki "Gymnasium No. 4"

Osasto: matematiikka

TUTKIMUS

tässä aiheessa:

KAHDEN KOKETUSYMPYRÄN OMINAISUUDET

10. luokan oppilaat:

Khaziakhmetov Radik Ildarovitš

Zubarev Jevgeni Vladimirovich

Valvoja:

L.L. Barinova

Matematiikan opettaja

Korkein pätevyysluokka

§ 1. Johdanto………..……………………………………………………………………………………3

§ 1.1 Kahden ympyrän keskinäinen järjestely……………………………………………………3

§ 2 Ominaisuudet ja niiden todisteet…………………………………………………………………….…4

§ 2.1 Kiinteistö 1…………………………………………………………..………………………….…4

§ 2.2 Kiinteistö 2……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Kiinteistö 3…………………………………………………………..…………………………………6

§ 2.4 Kiinteistö 4……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Kiinteistö 5……………………………………………………………………………………………8

§ 2.6 Kiinteistö 6…………………………………………………………………………………………………9

§ 3 Tehtävät…………………………………………………………………………………………..…11

Viitteet…………………………………………………………………….………….13

§ yksi. Johdanto

Monet kaksi tangenttiympyrää koskevat ongelmat voidaan ratkaista tiiviimmin ja yksinkertaisesti tuntemalla joitain ominaisuuksia, jotka esitellään myöhemmin.

Kahden ympyrän keskinäinen järjestely

Aluksi keskustelemme kahden ympyrän mahdollisesta keskinäisestä järjestelystä. Tapauksia voi olla 4 erilaista.

1. Ympyrät eivät saa leikkiä.

2. Risti.


3. Kosketa yhtä pistettä ulkopuolella.

4. Kosketa yhtä kohtaa sisällä.


§ 2. Ominaisuudet ja niiden todisteet

Jatketaan suoraan ominaisuuksien todistamiseen.

§ 2.1 Omaisuus 1

Ympyröiden tangenttien leikkauspisteiden janat ovat keskenään yhtä suuret ja yhtä suuret kuin näiden ympyröiden kaksi geometrista keskisädettä.

Todiste 1. O 1 A 1 ja O 2 V 1 - kosketuspisteisiin vedetyt säteet.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (kappaleen 1 mukaisesti)



  1. ▲O 1 O 2 D - suorakaiteen muotoinen, koska O 2 D ┴ O 2 V 1
  2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

  1. Pythagoraan lauseen mukaan А 1 В 1 = 2√Rr

(O1D2 =(R+r)2-(R-r)2 =R2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (todistettu samalla tavalla)

1) Piirrä säteet ympyrän tangenttien leikkauspisteisiin.

2) Nämä säteet ovat kohtisuorassa tangenttien suhteen ja yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa.

3) Pudota kohtisuora pienemmän ympyrän keskustasta suuremman ympyrän säteeseen.

4) Tuloksena olevan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on yhtä suuri kuin ympyröiden säteiden summa. Jalka on yhtä suuri kuin niiden ero.

5) Pythagoraan lauseella saadaan haluttu relaatio.

§ 2.2 Omaisuus 2

Sen suoran leikkauspisteet, joka leikkaa ympyrän tangenttipisteen ja ei ole missään niistä, tangenttien kanssa jakavat ulkoisten tangenttien segmentit, joita rajaavat tangenttipisteet, osiin, joista jokainen on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden säteiden geometrinen keskiarvo.

Todiste 1.NEITI= MA 1 (tangenttien segmentteinä)

2.MS = MV 1 (tangenttien segmentteinä)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (kohtien 1 ja 2 mukaisesti )

Todistuksessa käytetyt lausunnot Yhdestä pisteestä johonkin ympyrään vedetyt tangenttien segmentit ovat yhtä suuret. Käytämme tätä ominaisuutta molemmille annetuille piireille.

§ 2.3 Omaisuus 3

Ulkoisten tangenttien välissä olevan sisäisen tangentin segmentin pituus on yhtä suuri kuin kosketuspisteiden välisen ulkoisen tangentin segmentin pituus ja on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden kaksi geometristä keskisädettä.

Todiste Tämä johtopäätös seuraa edellisestä ominaisuudesta.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Omaisuus 4

Tangenttiympyröiden keskipisteiden ja tangenttisegmentin keskipisteen muodostama kolmio tangenttipisteisiin piirrettyjen säteiden välissä on suorakaiteen muotoinen. Sen jalkojen suhde on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden säteiden juurien osamäärä.

Todiste 1.MO 1 on kulman A 1 MC puolittaja, MO 2 on kulman B 1 MC puolittaja, koska Kulmaan piirretyn ympyrän keskipiste on kulman puolittajalla.

2. Kohdan 1 mukaan РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5 p = p/2

3.РО 1 MO 2 - suora. MS - kolmion O 1 MO 2 korkeus, koska tangentti MN on kohtisuorassa kosketuspisteisiin piirrettyihin säteisiin nähden → kolmiot О 1 МС ja MO 2 С ovat samanlaisia.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (samankaltaisuuden perusteella)

Todistuksessa käytetyt lausunnot 1) Kulmaan piirretyn ympyrän keskipiste on kulman puolittajalla. Kolmion jalat ovat kulmien puolittajia.

2) Käyttämällä sitä tosiasiaa, että tällä tavalla muodostetut kulmat ovat yhtä suuret, saadaan, että etsimämme kulma on suora kulma. Päättelemme, että tämä kolmio on todellakin suorakulmainen kolmio.

3) Todistetaan niiden kolmioiden samankaltaisuus, joihin korkeus (koska tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteisiin piirrettyihin säteisiin) jakaa suorakulmaisen kolmion, ja samanlaisella saadaan haluttu suhde.

§ 2.5 Omaisuus 5

Kolmio, jonka muodostavat ympyröiden kosketuspisteet toisiinsa ja ympyröiden leikkauspisteet tangentin kanssa, on suorakulmainen kolmio. Sen jalkojen suhde on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden säteiden juurien osamäärä.

Todiste

  1. ▲А 1 МС ja ▲СМВ 1 ovat tasakylkisiä → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

  1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

  1. Mutta RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - suora → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

  1. ▲A 1 MS ja ▲CO 2 B 1 ovat samanlaisia ​​→ A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Todistuksessa käytetyt lausunnot 1) Maalaamme kolmioiden kulmien summan käyttämällä sitä tosiasiaa, että ne ovat tasakylkisiä. Tasakylkiset kolmiot on todistettu käyttämällä ominaisuutta tangenttien yhtäläisyydestä.

2) Kun kulmien summa on maalattu tällä tavalla, saadaan, että tarkasteltavassa kolmiossa on suora kulma, joten se on suorakulmainen. Väitteen ensimmäinen osa on todistettu.

3) Kolmioiden samankaltaisuuden perusteella (kun perustellaan sitä, käytämme samankaltaisuuden merkkiä kahdessa kulmassa) saadaan suorakulmaisen kolmion jalkojen suhde.

§ 2.6 Omaisuus 6

Ympyröiden ja tangentin leikkauspisteiden muodostama nelikulmio on puolisuunnikkaan, johon ympyrä voidaan piirtää.

Todiste 1.▲A 1 RA 2 ja ▲B 1 RV 2 ovat tasakylkisiä, koska A 1 P \u003d RA 2 ja B 1 P \u003d PB 2 tangenttien segmentteinä → ▲A 1 RA 2 ja ▲B 1 PB 2 ovat samanlaisia.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, koska sekantin A 1 B 1 leikkauskohdassa muodostuneet vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.

  1. MN - keskiviiva ominaisuuden 2 mukaan → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

  1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → puolisuunnikkaan A 2 A 1 B 1 B 2 summa kanta on yhtä suuri kuin sivujen summa, ja tämä on välttämätön ja riittävä ehto piirretyn ympyrän olemassaololle.

Todistuksessa käytetyt lausunnot 1) Käytetään taas tangenttiosien ominaisuutta. Sen avulla todistamme tangenttien ja tangenttien leikkauspisteen muodostamat tasakylkiset kolmiot.

2) Tästä seuraa näiden kolmioiden samankaltaisuus ja niiden kantojen yhdensuuntaisuus. Tämän perusteella päättelemme, että tämä nelikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen.

3) Aiemmin todistamamme ominaisuuden (2) mukaan löydämme puolisuunnikkaan mediaaniviivan. Se on yhtä suuri kuin kaksi ympyrän geometrista keskisädettä. Tuloksena olevassa puolisuunnikkaan kantaosien summa on yhtä suuri kuin sivujen summa, ja tämä on välttämätön ja riittävä ehto piirretyn ympyrän olemassaololle.

§ 3. Tehtävät

Harkitse käytännön esimerkin avulla, kuinka ongelman ratkaisua voidaan yksinkertaistaa käyttämällä yllä olevia ominaisuuksia.

Tehtävä 1

Kolmion ABC sivu AC = 15 cm. Kolmioon on piirretty ympyrä. Toinen ympyrä koskettaa ensimmäistä ja sivuja AB ja BC. Piste F valitaan puolelle AB ja piste M puolelle BC niin, että jana FM on ympyröiden yhteinen tangentti. Laske kolmion BFM ja nelikulmion AFMC pinta-alojen suhde, jos FM on 4 cm ja piste M on kaksi kertaa kauempana yhden ympyrän keskustasta kuin toisen ympyrän keskustasta.

Annettu: FM yhteinen tangentti AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Etsi S BFM /S AFMC

Päätös:

1) FM = 2√Rr, ​​O 1 M/O 2 M = √r/R

2) 2√Rr = 4, √r/R = 0,5 → r = 1, R = 4; PQ=FM=4

3) ▲BO 1 P ja ▲BO 2 Q ovat samanlaisia ​​→ BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25; BP = 4/3

4) FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Tehtävä 2

Kaksi tangenttiympyrää, joilla on yhteinen piste D ja yhteinen tangentti FK, jotka kulkevat tämän pisteen kautta, on merkitty tasakylkiseen kolmioon ABC. Laske näiden ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys, jos kolmion kanta AC = 9 cm ja ympyröiden kosketuspisteiden välissä oleva kolmion sivusivun segmentti on 4 cm.

Annettu: ABC on tasakylkinen kolmio; FK on piirrettyjen ympyröiden yhteinen tangentti. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Päätös:

Leikkaavat suorat AB ja CD pisteessä O. Silloin OA = OD, OB = OC, joten CD = AB = 2√Rr

Pisteet O 1 ja O 2 sijaitsevat kulman AOD puolittajalla. Tasakylkisen kolmion AOD puolittaja on sen korkeus, joten AD ┴ O 1 O 2 ja BC ┴ O 1 O 2, joten

AD ║ BC ja ABCD on tasakylkinen puolisuunnikas.

Jana MN on sen keskiviiva, joten AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Siksi tähän puolisuunnikkaan voidaan piirtää ympyrä.

Olkoon AP puolisuunnikkaan korkeus, suorakulmaiset kolmiot АРВ ja О 1 FO 2 ovat samanlaisia, joten АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Täältä löydämme sen

Bibliografia

  • Täydennys sanomalehden "First of September" "Mathematics" nro 43, 2003
  • KÄYTTÖ 2010. Matematiikka. Tehtävä C4. Gordin R.K.

Geometriset rakenteet

Piirien tangenttien rakentaminen

Harkitse ympyröiden tangenttien piirtämiseen liittyvien muiden ongelmien ratkaisun taustalla olevaa ongelmaa.

Anna pisteestäMUTTA(Kuva 1) on tarpeen piirtää tangentit ympyrään, jonka keskipiste on pisteO.

Tangenttien rakentamiseksi tarkasti on tarpeen määrittää ympyrän linjojen kosketuspisteet. Tätä kohtaa vartenMUTTAtulee yhdistää pisteelläOja jaa segmenttiOApuoliksi. Tämän segmentin keskeltä - pistettäKanssa, kuinka kuvataan ympyrä keskeltä, jonka halkaisijan tulee olla yhtä suuri kuin segmentinOA. pisteitäVastaanottaja1 jaVastaanottaja2 pisteen keskellä olevien ympyröiden leikkauspisteetKanssaja keskitetty johonkin pisteeseenOovat linjojen kosketuspisteitäAK1 jaAK2 tiettyyn ympyrään.

Tehtävän ratkaisun oikeellisuuden vahvistaa se, että kosketuspisteeseen vedetyn ympyrän säde on kohtisuorassa ympyrän tangenttia vastaan. kulmatOK1 MUTTAjaOK2 MUTTAovat suoria, koska ne riippuvat halkaisijastaJSCympyrä, jonka keskipiste on pisteKanssa.

Riisi. yksi.

Kun rakennetaan tangentteja kahdelle ympyrälle, tangentit erotetaan toisistaansisäinenjaulkoinen. Jos annettujen ympyröiden keskipisteet sijaitsevat tangentin toisella puolella, sitä pidetään ulkoisena, ja jos ympyröiden keskipisteet ovat tangentin vastakkaisilla puolilla, sitä pidetään sisäisenä.

O1 jaO2 R1 jaR2 . Annetuille ympyröille on piirrettävä ulkoiset tangentit.

Tarkkaa rakentamista varten on tarpeen määrittää viivojen ja annettujen ympyröiden väliset kosketuspisteet. Jos ympyröiden säteet keskusten kanssaO1 jaO2 Aloita pienentäminen peräkkäin samalla arvolla, niin saat sarjan halkaisijaltaan pienempiä samankeskisiä ympyröitä. Lisäksi jokaisessa säteen pienentyessä pienempien ympyröiden tangentit ovat samansuuntaisia ​​haluttujen kanssa. Kun molempia säteitä on pienennetty pienemmän säteen koollaR2 ympyrä keskipisteelläO2 muuttuu pisteeksi ja ympyräksi, jossa on keskipisteO1 muunnetaan samankeskiseksi ympyräksi, jolla on sädeR3 , yhtä suuri kuin säteiden eroR1 jaR2 .

Käyttämällä edellä kuvattua menetelmää, pisteestäO2 piirrä säteisen ympyrän ulkoiset tangentitR3 , Yhdistä pisteetO1 jaO2 pisteellä jaettunaKanssaJanaO1 O2 puoliksi ja piirrä sädeNIIN1 kaari, jonka leikkaus tietyn ympyrän kanssa määrittää viivojen kosketuspisteetO2 Vastaanottaja1 jaO2 Vastaanottaja2 .

PisteMUTTA1 jaMUTTA2 haluttujen viivojen kosketus suuremman ympyrän kanssa sijaitsee viivojen jatkossaO1 Vastaanottaja1 jaO1 Vastaanottaja2 . pisteitäAT1 jaAT2 pienemmän ympyrän omaavien viivojen tangentit ovat kohtisuorassa kantaan nähdenO2 vastaavasti aputangenteilleO2 Vastaanottaja1 jaO2 Vastaanottaja2 . Kun sinulla on kosketuspisteitä, voit piirtää haluamasi viivatMUTTA1 AT1 jaMUTTA2 AT2 .

Riisi. 2.

Olkoon kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat pisteissäO1 jaO2 (Kuva 2), joilla on vastaavasti säteetR1 jaR2 . Annetuille ympyröille on piirrettävä sisäiset tangentit.

Viivojen ja ympyröiden kosketuspisteiden määrittämiseksi käytämme samanlaisia ​​argumentteja kuin edellisen tehtävän ratkaisussa. Jos pienennämme sädettäR2 nollaan, sitten ympyrä, jossa on keskustaO2 käänny asiaan. Kuitenkin tässä tapauksessa, jotta aputangenttien samansuuntaisuus vaadittujen tangenttien kanssa säilyisi, sädeR1 pitäisi suurentaaR2 ja piirrä ympyrä, jolla on sädeR3 , yhtä suuri kuin säteiden summaR1 jaR2 .

kohdastaO2 piirrä tangentit ympyrään, jolla on sädeR3 , jota varten yhdistämme pisteetO1 jaO2 pisteellä jaettunaKanssaJanaO1 O2 puoliksi ja piirrä ympyrän kaari, jonka keskipiste on pisteKanssaja sädeNIIN1 . Kaaren ja säteen ympyrän leikkauspisteR3 määrittää pisteiden sijainninVastaanottaja1 jaVastaanottaja2 apulinjojen tangenttiO2 Vastaanottaja1 jaO2 Vastaanottaja2 .

PisteMUTTA1 jaMUTTA2 R1 on tämän ympyrän ja janan leikkauspisteessäO1 Vastaanottaja1 jaO1 Vastaanottaja2 . Pisteiden määrittelemiseenKOHDASSA 1jaIN 2haluttujen viivojen tangenttia sädeympyrän kanssaR2 seuraa pisteestäO2asettaa kohtisuorat apulinjoja vastaanO2K1jaO2K2kunnes se leikkaa tietyn ympyrän. Kun haluttujen viivojen ja annettujen ympyröiden tangenttipisteet ovat, piirrämme viivatA1B1jaA2B2.

Riisi. 3.

Transektit, tangentit - kaikki tämä kuultiin satoja kertoja geometrian tunneilla. Mutta valmistuminen koulusta on ohi, vuodet kuluvat ja kaikki tämä tieto unohtuu. Mitä pitäisi muistaa?

Essence

Termi "ympyrän tangentti" on luultavasti tuttu kaikille. Mutta on epätodennäköistä, että kaikki pystyvät muotoilemaan määritelmänsä nopeasti. Samaan aikaan tangentti on sellainen suora viiva, joka sijaitsee samassa tasossa ympyrän kanssa, joka leikkaa sen vain yhdessä pisteessä. Niitä voi olla valtava valikoima, mutta niillä kaikilla on samat ominaisuudet, joita käsitellään alla. Kuten arvata saattaa, kosketuspiste on paikka, jossa ympyrä ja viiva leikkaavat. Kussakin tapauksessa se on yksi, mutta jos niitä on enemmän, se on sekantti.

Löytö- ja tutkimushistoria

Tangentin käsite ilmestyi antiikissa. Näiden suorien rakentaminen ensin ympyräksi ja sitten ellipseiksi, paraabeleiksi ja hyperboleiksi viivaimen ja kompassin avulla tehtiin jo geometrian kehityksen alkuvaiheessa. Historia ei tietenkään ole säilyttänyt löytäjän nimeä, mutta on selvää, että jo tuolloin ihmiset olivat varsin tietoisia ympyrän tangentin ominaisuuksista.

Nykyaikana kiinnostus tätä ilmiötä kohtaan heräsi jälleen - tämän käsitteen uusi tutkimuskierros alkoi yhdistettynä uusien käyrien löytämiseen. Joten Galileo esitteli sykloidin käsitteen, ja Fermat ja Descartes rakensivat sille tangentin. Mitä tulee ympyröihin, näyttää siltä, ​​että tällä alueella ei ole muinaisille jäänyt mitään salaisuuksia.

Ominaisuudet

Leikkauspisteeseen piirretty säde on

tärkein, mutta ei ainoa ominaisuus, joka ympyrän tangentilla on. Toinen tärkeä ominaisuus sisältää jo kaksi suoraa. Joten yhden ympyrän ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia, kun taas niiden segmentit ovat yhtä suuret. Tästä aiheesta on toinenkin lause, mutta sitä käsitellään harvoin tavallisen koulukurssin puitteissa, vaikka se on erittäin kätevä joidenkin ongelmien ratkaisemiseen. Se kuulostaa tältä. Ympyrän ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä piirretään tangentti ja sekantti siihen. Muodostetaan segmentit AB, AC ja AD. A on viivojen leikkauspiste, B on kosketuspiste, C ja D ovat leikkauspisteet. Tässä tapauksessa seuraava yhtälö on voimassa: ympyrän tangentin pituus neliöitynä on yhtä suuri kuin segmenttien AC ja AD tulo.

Edellä mainitulla on tärkeä seuraus. Jokaiselle ympyrän pisteelle voit rakentaa tangentin, mutta vain yhden. Todiste tästä on melko yksinkertainen: pudottamalla sille teoriassa kohtisuora säteestä, huomaamme, että muodostunutta kolmiota ei voi olla olemassa. Ja tämä tarkoittaa, että tangentti on ainutlaatuinen.

Rakennus

Muiden geometrian tehtävien joukossa on erityinen luokka, yleensä ei

oppilaiden ja opiskelijoiden suosiossa. Tämän kategorian tehtävien ratkaisemiseen tarvitset vain kompassin ja viivaimen. Nämä ovat rakennustehtäviä. On myös menetelmiä tangentin muodostamiseksi.

Joten, annettu ympyrä ja piste, joka sijaitsee sen rajojen ulkopuolella. Ja niiden läpi on vedettävä tangentti. Kuinka tehdä se? Ensinnäkin sinun on piirrettävä segmentti ympyrän O keskustan ja tietyn pisteen väliin. Jaa se sitten kompassin avulla kahtia. Tätä varten sinun on asetettava säde - hieman yli puolet alkuperäisen ympyrän keskipisteen ja annetun pisteen välisestä etäisyydestä. Sen jälkeen sinun on rakennettava kaksi risteävää kaarta. Lisäksi kompassin sädettä ei tarvitse muuttaa, ja kunkin ympyrän osan keskipiste on alkupiste ja vastaavasti O. Kaarien leikkauspisteet on yhdistettävä, mikä jakaa segmentin puoliksi. Aseta kompassin säde, joka on yhtä suuri kuin tämä etäisyys. Piirrä seuraavaksi toinen ympyrä keskipisteen ollessa leikkauspisteessä. Sen päällä ovat sekä alkupiste että O. Tässä tapauksessa tehtävässä annetulla ympyrällä on vielä kaksi leikkauspistettä. Ne ovat alun perin annetun pisteen kosketuspisteitä.

Syntymiseen johti ympyrän tangenttien rakentaminen

differentiaalilaskenta. Ensimmäisen teoksen tästä aiheesta julkaisi kuuluisa saksalainen matemaatikko Leibniz. Hän tarjosi mahdollisuuden löytää maksimit, minimit ja tangentit murto- ja irrationaalisista arvoista riippumatta. No, nyt sitä käytetään myös moniin muihin laskelmiin.

Lisäksi ympyrän tangentti liittyy tangentin geometriseen merkitykseen. Siitä sen nimi tulee. Latinasta käännettynä tangens tarkoittaa "tangenttia". Siten tämä käsite ei liity ainoastaan ​​geometriaan ja differentiaalilaskemiseen, vaan myös trigonometriaan.

Kaksi ympyrää

Tangentti ei aina vaikuta vain yhteen lukuun. Jos yhteen ympyrään voidaan vetää valtava määrä suoria viivoja, niin miksi ei päinvastoin? Voi. Mutta tehtävä tässä tapauksessa on vakavasti monimutkainen, koska kahden ympyrän tangentti ei voi kulkea minkään pisteen läpi, ja kaikkien näiden lukujen suhteellinen sijainti voi olla erittäin

eri.

Tyypit ja lajikkeet

Kun kyse on kahdesta ympyrästä ja yhdestä tai useammasta suorasta, vaikka tiedettäisiin, että nämä ovat tangentteja, ei heti käy selväksi, kuinka kaikki nämä luvut sijaitsevat suhteessa toisiinsa. Tämän perusteella on olemassa useita lajikkeita. Joten ympyröillä voi olla yksi tai kaksi yhteistä pistettä tai ei niitä ollenkaan. Ensimmäisessä tapauksessa ne leikkaavat, ja toisessa ne koskettavat. Ja tässä on kaksi lajiketta. Jos yksi ympyrä on ikään kuin upotettu toiseen, kosketusta kutsutaan sisäiseksi, jos ei, niin ulkoiseksi. Voit ymmärtää kuvioiden suhteellista sijaintia paitsi piirustuksen perusteella myös tietosi niiden säteiden summasta ja niiden keskipisteiden välisestä etäisyydestä. Jos nämä kaksi määrää ovat yhtä suuret, ympyrät koskettavat. Jos ensimmäinen on suurempi, ne leikkaavat, ja jos pienempi, niillä ei ole yhteisiä pisteitä.

Sama suorien linjojen kanssa. Kaikille kahdelle ympyrälle, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, yksi voi

rakentaa neljä tangenttia. Kaksi niistä leikkaa lukujen välillä, niitä kutsutaan sisäisiksi. Pari muuta on ulkopuolista.

Jos puhumme piireistä, joilla on yksi yhteinen piste, tehtävä yksinkertaistuu huomattavasti. Tosiasia on, että kaikissa keskinäisissä järjestelyissä tässä tapauksessa niillä on vain yksi tangentti. Ja se kulkee heidän leikkauspisteensä läpi. Joten rakentaminen vaikeus ei aiheuta.

Jos kuvioilla on kaksi leikkauspistettä, niille voidaan rakentaa suora, joka tangentti ympyrää, sekä yksi että toinen, mutta vain ulompi. Ratkaisu tähän ongelmaan on samanlainen kuin alla käsitellään.

Ongelmanratkaisu

Kahden ympyrän sisäiset ja ulkoiset tangentit eivät ole rakenteeltaan niin yksinkertaisia, vaikka tämä ongelma voidaan ratkaista. Tosiasia on, että tähän käytetään apuhahmoa, joten mieti tätä menetelmää itse

aika ongelmallista. Eli annetaan kaksi ympyrää, joilla on eri säteet ja keskipisteet O1 ja O2. Niitä varten sinun on rakennettava kaksi paria tangentteja.

Ensinnäkin, lähellä suuremman ympyrän keskustaa, sinun on rakennettava apu. Tässä tapauksessa kahden alkuluvun säteiden välinen ero on määritettävä kompassilla. Apuympyrän tangentit rakennetaan pienemmän ympyrän keskustasta. Sen jälkeen O1:stä ja O2:sta piirretään kohtisuorat näille viivoille, kunnes ne leikkaavat alkuperäisten kuvioiden kanssa. Kuten tangentin pääominaisuudesta seuraa, molemmista ympyröistä löydetään halutut pisteet. Ongelma on ratkaistu ainakin sen ensimmäisessä osassa.

Sisäisten tangenttien rakentamiseksi on ratkaistava käytännössä

samanlainen tehtävä. Jälleen tarvitaan apuluku, mutta tällä kertaa sen säde on yhtä suuri kuin alkuperäisten summa. Tangentit rakennetaan sille yhden annetun ympyrän keskustasta. Ratkaisun jatkokulku voidaan ymmärtää edellisestä esimerkistä.

Ympyrän tai jopa kahden tai useamman tangentti ei ole niin vaikea tehtävä. Tietenkin matemaatikot ovat pitkään lakanneet ratkaisemasta tällaisia ​​​​ongelmia manuaalisesti ja luottavat laskelmiin erikoisohjelmiin. Mutta älä ajattele, että nyt ei tarvitse pystyä tekemään sitä itse, koska sinun on tehtävä ja ymmärrettävä paljon, jotta voit muotoilla tehtävän oikein tietokoneelle. Valitettavasti pelätään, että lopullisen tiedonhallinnan koemuotoon siirtymisen jälkeen rakennustehtävät aiheuttavat opiskelijoille yhä enemmän vaikeuksia.

Mitä tulee yhteisten tangenttien löytämiseen useammalle ympyrälle, tämä ei ole aina mahdollista, vaikka ne olisivat samassa tasossa. Mutta joissakin tapauksissa on mahdollista löytää tällainen linja.

Esimerkkejä tosielämästä

Käytännössä kohdataan usein kahden ympyrän yhteinen tangentti, vaikka se ei aina ole havaittavissa. Kuljettimet, lohkojärjestelmät, hihnapyörän voimansiirtohihnat, langankireys ompelukoneessa ja jopa vain polkupyörän ketju - kaikki nämä ovat esimerkkejä elämästä. Älä siis ajattele, että geometriset ongelmat jäävät vain teoriaksi: tekniikassa, fysiikassa, rakentamisessa ja monilla muilla aloilla ne löytävät käytännön sovellutuksia.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

  • Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

  • Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
  • Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
  • Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
  • Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

  • Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietojasi, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun kannalta.
  • Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Valtion budjettikoulutuslaitos

Kuntosali nro 000

Geometrian suunnittelutyöt.

Kahdeksan tapaa muodostaa ympyrän tangentti.

9 biologinen ja kemiallinen luokka

valvoja: ,

Opetusasioiden apulaisjohtaja,

matematiikan opettaja.

Moskova 2012

Johdanto

Luku 1. ………………………………………………………………………4

Johtopäätös (päätelmä)

Johdanto

Hengen korkein ilmentymä on mieli.

Mielen korkein ilmentymä on geometria.

Geometrian solu on kolmio. Hän on sama

ehtymätön, kuten maailmankaikkeus. Ympyrä on geometrian sielu.

Tiedä ympärysmitta, etkä tunne vain sielua

geometriaa, mutta myös korota sielusi.

Claudius Ptolemaios
Tehtävä.

Muodosta tangentti ympyrään, jonka keskipiste O ja säde R kulkee ympyrän ulkopuolella olevan pisteen A kautta

Luku 1.

Ympyrän tangentin rakenteet, jotka eivät vaadi perusteluja yhdensuuntaisten suorien teorian perusteella.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Ympyrälle (O; r) OB - säde. OB AB on siis tangentti tangentin perusteella.

Vastaavasti AC on ympyrän tangentti.

Rakenne nro 1 perustuu siihen, että ympyrän tangentti on kohtisuorassa tangenttipisteen säteeseen nähden.

Suoralla on vain yksi kosketuspiste ympyrän kanssa.

Tietyn pisteen kautta suoralla voidaan vetää vain yksi kohtisuora viiva.

Rakennus numero 2.

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB - säde, ABO = 90°, siis AB - tangentti perusteella.

6. Samoin tasakylkisessä kolmiossa AON AC on tangentti (ACO \u003d 90 °, OS on säde)

7. Eli AB ja AC ovat tangentteja

Rakennus #3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (vastaavina kulmina yhtäläisissä kolmioissa), siksi AB - tangentti tangentin perusteella.

4. Samoin AC on tangentti

Rakennus №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

Rakennus numero 6.

Rakennus:

2. Piirrä pisteen A kautta mielivaltainen suora, joka leikkaa ympyrän (O, r) pisteissä M ja N.

6. AB ja BC ovat halutut tangentit.

Todiste:

1. Koska kolmiot PQN ja PQM on piirretty ympyrään ja sivu PQ on ympyrän halkaisija, nämä kolmiot ovat suorakulmaisia ​​kolmioita.

2. Kolmiossa PQL janat PM ja QN ovat korkeuksia, jotka leikkaavat pisteessä K, joten KL on kolmas korkeus..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16" src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, sitten |AQ| = |AS|ctg β Siksi |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).

5. Vertaamalla (1) ja (2) saadaan |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, tai

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).

Sulujen avaamisen ja yksinkertaistamisen jälkeen huomaan, että |OD|·|OA|=R².

5. Relaatiosta |OD|·|OA|=R² seuraa, että |OD|:R=R: |OA| eli kolmiot ODB ja OBA ovat samanlaisia..gif" width="17" height="16" > OBA=90°, joten suora AB on vaadittu tangentti, joka oli todistettava.

Rakennus numero 6.

Rakennus:

1. Piirrä ympyrä (A; |OA|).

2. Löydän kompassin aukon, joka on yhtä suuri kuin 2R, jolle valitsen pisteen S ympyrästä (O; R) ja asetan sivuun kolme kaarta, joista kukin on 60º: SP=PQ=QT=60°. Pisteet S ja T ovat täysin vastakkaisia.

3. Rakennan ympyrän (O; ST), joka leikkaa w 1 Mikä tämä ympyrä on? pisteissä M ja N.

4. Nyt rakennan keskimmäisen MO. Tätä varten rakennan ympyröitä (O; OM) ja (M; MO), ja sitten pisteille M ja O löydämme niistä diametraalisesti vastakkaiset pisteet U ja V.

6. Lopuksi teen ympyrän (K; KM) ja (L; LM), jotka leikkaavat halutussa pisteessä B - MO:n keskellä.

Todiste:

Kolmiot KMV ja UMK ovat tasakylkisiä ja vastaavia. Siksi siitä tosiasiasta, että KM \u003d 0,5MU, seuraa, että MB \u003d 0,5MK \u003d 0,5R. Joten piste B on haluttu kosketuspiste. Vastaavasti löydät yhteyspisteen C.

Luku 3

Ympyrän tangentin rakentaminen sekanttien, puolittajien ominaisuuksien perusteella.

Rakennus #7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Rakennus #8

Rakennus:

1. Muodosta ympyrä (A; AP), joka leikkaa suoran AP pisteessä D.

2. Muodosta ympyrä w halkaisijalle QD

3. Leikkaan sen pisteessä A kohtisuoraan suoraa AR vastaan ​​ja saan pisteet M ja N.

Todiste:

Ilmeisesti AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Tällöin ympyrä (A; AM) leikkaa (O; R) kosketuspisteissä B ja C. AB ja AC ovat halutut tangentit.