Missä parametrin a arvossa yhtälö on. Neliöyhtälöt parametreilla. Eksponentiaaliyhtälöt parametrin kanssa
Muodon yhtälö f(x; a) = 0 kutsutaan yhtälö muuttujan kanssa X ja parametri A.
Ratkaise yhtälö parametrilla A– tämä tarkoittaa jokaiselle arvolle A löytää arvoja X, joka täyttää tämän yhtälön.
Esimerkki 1. Voi= 0
Esimerkki 2. Voi = A
Esimerkki 3.
x + 2 = ah
x – ah = -2
x(1 – a) = -2
Jos 1- A= 0, ts. A= 1 siis X 0 = -2 ei juuria
Jos 1- A 0 eli A 1 siis X =
Esimerkki 4.
(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)
Jos A= 1, sitten 0 X = 0
X- mikä tahansa todellinen luku
Jos A= -1, sitten 0 X = -2
ei juuria
Jos A 1, A-1 siis X= (ainoa ratkaisu).
Tämä tarkoittaa, että jokaiselle kelvolliselle arvolle A vastaa yhtä arvoa X.
Esimerkiksi:
Jos A= 5 siis X = = ;
Jos A= 0 siis X= 3 jne.
Didaktinen materiaali
1. Voi = X + 3
2. 4 + Voi = 3X – 1
3. A = +
klo A= 1 ei juuria.
klo A= 3 ei juuria.
klo A = 1 X– mikä tahansa reaaliluku paitsi X = 1
klo A = -1, A= 0 ei ratkaisuja.
klo A = 0, A= 2 ei ratkaisuja.
klo A = -3, A = 0, 5, A= -2 ei ratkaisuja
klo A = -Kanssa, Kanssa= 0 ei ratkaisuja.
Neliöyhtälöt parametrin kanssa
Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö
(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0
klo A = 1 6X + 7 = 0
Siinä tapauksessa A 1, korostamme ne parametriarvot, joilla D menee nollaan.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
Jos A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Jos A> -4/5 ja A 1 siis D > 0,
X =
Jos A= 4/5 siis D = 0,
Esimerkki 2. Millä parametrin a arvoilla yhtälö toimii
x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0:lla on 2 erilaista negatiivista juurta?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
t. Vietan kautta: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5
Ehdon mukaan X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0
Lopulta | 4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0 |
A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9 |
(Riisi. 1) < a < 1, либо a > 6 |
Esimerkki 3. Etsi arvot A, jolle tällä yhtälöllä on ratkaisu.
x 2 - 2( A – 1)X + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 tai A – 4 = 0
A = 4
(Riisi. 2)
Vastaus: A 0 ja A 4
Didaktinen materiaali
1. Millä arvolla A yhtälö Voi 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0:lla on yksi juuri?
2. Millä arvolla A yhtälö ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0:lla on yksi juuri?
3. Mille a:n arvoille yhtälö ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0:lla on enemmän kuin kaksi juuria?
4. Mille a:n arvoille yhtälö 2 X 2 + X – A= 0:lla on vähintään yksi yhteinen juuri yhtälön 2 kanssa X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Millä yhtälön arvoilla X 2 +Voi+ 1 = 0 ja X 2 + X + A= 0:lla on vähintään yksi yhteinen juuri?
1. Milloin A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Milloin A = 0
3. Milloin A = 2
4. Milloin A = 10
5. Milloin A = - 2
Eksponentiaaliyhtälöt parametrin kanssa
Esimerkki 1.Etsi kaikki arvot A, jolle yhtälö
9 x – ( A+ 2)*3 x-1/x +2 A*3 -2/x = 0 (1) on täsmälleen kaksi juuria.
Ratkaisu. Kerrotaan yhtälön (1) molemmat puolet luvulla 3 2/x, saadaan vastaava yhtälö
3 2 (x+1/x) – ( A+ 2)*3 x+1/x + 2 A = 0 (2)
Olkoon 3 x+1/x = klo, yhtälö (2) saa muodon klo 2 – (A + 2)klo + 2A= 0 tai
(klo – 2)(klo – A) = 0, mistä klo 1 =2, klo 2 = A.
Jos klo= 2, ts. 3 x+1/x = 2 sitten X + 1/X= log 3 2 tai X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Tällä yhtälöllä ei ole todellisia juuria, koska se D= log 2 3 2 – 4< 0.
Jos klo = A, eli 3 x+1/x = A Että X + 1/X= loki 3 A, tai X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Yhtälöllä (3) on täsmälleen kaksi juuria silloin ja vain jos
D = log 2 3 2 – 4 > 0 tai |log 3 a| > 2.
Jos log 3 a > 2, niin A> 9, ja jos log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Vastaus: 0< A < 1/9, A > 9.
Esimerkki 2. Millä a:n arvoilla yhtälö 2 2x – ( A - 3) 2 x - 3 A= 0:lla on ratkaisuja?
Jotta annetulla yhtälöllä olisi ratkaisuja, on välttämätöntä ja riittävää, että yhtälö t 2 – (a – 3) t – 3a= 0:lla oli ainakin yksi positiivinen juuri. Etsitään juuret Vietan lauseen avulla: X 1 = -3, X 2 = A = >
a on positiivinen luku.
Vastaus: milloin A > 0
Didaktinen materiaali
1. Etsi kaikki a:n arvot, joille yhtälö
25 x – (2 A+ 5)*5 x-1/x + 10 A* 5 -2/x = 0 sisältää täsmälleen 2 ratkaisua.
2. Mille a:n arvoille yhtälö on
2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 on yksi juuri?
3. Millä parametrin a arvoilla yhtälö toteutuu
4 x - (5 A-3)2 x +4 A 2 – 3A= 0:lla on ainutlaatuinen ratkaisu?
Logaritmiset yhtälöt parametrien kanssa
Esimerkki 1. Etsi kaikki arvot A, jolle yhtälö
loki 4x (1 + Voi) = 1/2 (1)
on ainutlaatuinen ratkaisu.
Ratkaisu. Yhtälö (1) vastaa yhtälöä
1 + Voi = 2X klo X > 0, X 1/4 (3)
X = klo
y 2 - klo + 1 = 0 (4)
Ehto (2) alkaen (3) ei täyty.
Anna A 0 siis AU 2 – 2klo+ 1 = 0:lla on todelliset juuret silloin ja vain jos D = 4 – 4A 0 eli klo A 1. Epäyhtälön (3) ratkaisemiseksi piirretään funktiot Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin kurssin syvällinen opiskelu. – M.: Koulutus, 1990
ja muut yhtenäinen valtiontutkinto. Opinto-opas. – M.: Tentti, 2001–2008.
1. Tehtävä. a Millä parametriarvoilla a - 1)x 2 + 2x + a yhtälö (
- Onko arvolla 1 = 0 täsmälleen yksi juuri?
1. Ratkaisu. a klo x= 1 yhtälö on 2 x= 0 ja sillä on ilmeisesti yksi juuri a= 0. Jos a
4a 2 - 8a 1, tämä yhtälö on neliöllinen ja sillä on yksi juuri niille parametriarvoille, joilla toisen asteen trinomin diskriminantti on nolla. Yhdistämällä diskriminantti nollaan, saadaan parametrille yhtälö a= 0, mistä a = 2.
= 0 tai 1. Vastaus: a yhtälöllä on yksi juur
0 (0; 1; 2).
2. Tehtävä. a Etsi kaikki parametriarvot x 2 +4, jolle yhtälöllä on kaksi eri juuria+8a+3 = 0.
kirves
2. Ratkaisu. x 2 +4, jolle yhtälöllä on kaksi eri juuria+8a Yhtälö +3 = 0:lla on kaksi erillistä juuria silloin ja vain jos =
16a 2 -4(8a D a 2 -8a+3) > 0. Saamme (yhteisellä kertoimella 4 pienentämisen jälkeen) 4
-3 > 0, mistä
a 2. Vastaus: | O (-Ґ ; 1 – |
Ts 7 2 | O (-Ґ ; 1 – |
; Ґ ). |
) JA (1 +
Se tiedetään
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Piirrä funktio f 1 (x) klo a = 1.
b) Millä arvolla a funktiokaavioita f 1 (x) Ja f 2 (x) onko sinulla yksi yhteinen asia?
3. Ratkaisu.
3.a. Muutetaan f 1 (x) seuraavasti
Tämän funktion kaavio osoitteessa a= 1 näkyy oikealla olevassa kuvassa.
3.b. Huomattakoon heti, että funktioiden kuvaajat y =
kx+b Ja y = , jolle yhtälöllä on kaksi eri juuria 2 +bx+c
(a Nro 0) leikkaa yhdessä pisteessä, jos ja vain jos toisen asteen yhtälö kx+b =
, jolle yhtälöllä on kaksi eri juuria 2 +bx+c on yksi juuri. View'n käyttäminen f 1 / 3.a, rinnastetaan yhtälön diskriminantti a = 6x-x 2-6 nollaan. Yhtälöstä 36-24-4 a= 0 saamme a= 3. Tee sama yhtälöllä 2 x-a = 6x-x 2-6 löydämme a= 2. On helppo varmistaa, että nämä parametriarvot täyttävät ongelman ehdot. Vastaus: a= 2 tai a = 3.
4. Tehtävä.
Etsi kaikki arvot a, jolle joukko ratkaisuja epätasa-arvoon x 2 -2, jolle yhtälöllä on kaksi eri juuria-3a i 0 sisältää segmentin .
4. Ratkaisu.
Paraabelipisteen ensimmäinen koordinaatti f(x) =
x 2 -2, jolle yhtälöllä on kaksi eri juuria-3a yhtä suuri kuin x 0 =
a. Neliöfunktion ominaisuuksista ehto f(x) i 0 segmentillä vastaa kolmen järjestelmän joukkoa
onko täsmälleen kaksi ratkaisua?
5. Ratkaisu.
Kirjoitetaan tämä yhtälö uudelleen muotoon x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, jolla on täsmälleen kaksi ratkaisua, jos sen diskriminantti on tiukasti suurempi kuin nolla. Laskemalla diskriminantin huomaamme, että täsmälleen kahden juuren olemassaolon ehto on epätasa-arvon täyttyminen a 2 +a-6 > 0. Ratkaisemme epäyhtälön, löydämme a < -3 или a> 2. Ensimmäisellä epäyhtälöillä ei ilmeisesti ole ratkaisuja luonnollisissa luvuissa ja pienin luonnollinen ratkaisu toiselle on luku 3.
5. Vastaus: 3.
6. Ongelma (10 näppäintä)
Etsi kaikki arvot a, jolle funktion kuvaaja tai ilmeisten muunnosten jälkeen a-2 = |
2-a| . Viimeinen yhtälö vastaa epäyhtälöä a minä 2.
6. Vastaus: a TIETOJA )