Etäisyys pisteestä suoraan koordinaatteina. Yksinkertaisimmat tehtävät suoralla tasolla. Linjojen keskinäinen järjestely. Viivojen välinen kulma

155*. Määritä suoran janan AB todellinen koko yleisasennossa (Kuva 153, a).

Ratkaisu. Kuten tiedät, suoran janan projektio missä tahansa tasossa on yhtä suuri kuin jana itse (ottaen huomioon piirustuksen mittakaava), jos se on yhdensuuntainen tämän tason kanssa

(Kuva 153, b). Tästä seuraa, että muuttamalla piirustus on tarpeen saavuttaa tämän janan pl. V tai pl. H tai täydennä järjestelmää V, H toisella tasolla, joka on kohtisuorassa neliötä vastaan. V tai pl. H ja samalla yhdensuuntainen annetun janan kanssa.

Kuvassa 153, c esittää lisätason S, joka on kohtisuorassa neliötä vastaan. H ja yhdensuuntainen annetun janan AB kanssa.

Projektio a s b s on yhtä suuri kuin janan AB luonnollinen arvo.

Kuvassa 153, d esittää toista menetelmää: janaa AB kierretään pisteen B kautta kulkevan suoran ympäri, joka on kohtisuorassa neliöön nähden. H, yhdensuuntaiseen asentoon

sq V. Tässä tapauksessa piste B pysyy paikallaan ja piste A on uudessa paikassa A 1 . Horisontti uudessa asennossa. projektio a 1 b || x akseli. Projektio a "1 b" on yhtä suuri kuin janan AB luonnollinen arvo.

156. Pyramidi SABCD on annettu (kuva 154). Määritä pyramidin reunojen AS ja CS luonnollinen koko projektiotasoja muuttamalla ja reunojen BS ja DS rotaatiomenetelmällä ja ota pyörimisakseli kohtisuoraan neliöön nähden. H.

157*. Määritä pisteen A ja suoran BC välinen etäisyys (kuva 155, a).

Ratkaisu. Etäisyys pisteestä suoraan mitataan kohtisuoran segmentillä, joka on vedetty pisteestä suoraan.

Jos suora on kohtisuorassa mihin tahansa tasoon nähden (kuva 155.6), pisteen etäisyys suoraan mitataan pisteen projektion ja suoran projektiopisteen välisellä etäisyydellä tällä tasolla. Jos suoralla on yleinen asema V, H -järjestelmässä, niin pisteen ja suoran etäisyyden määrittämiseksi projektiotasoja muuttamalla, V, H -järjestelmään on lisättävä kaksi lisätasoa.

Ensin (kuva 155, c) menemme neliöön. S, yhdensuuntainen janan BC kanssa (uusi akseli S/H on yhdensuuntainen projektion bс kanssa), ja rakennamme projektiot b s c s ja a s . Sitten (kuva 155, d) otamme käyttöön toisen neliön. T kohtisuorassa linjaa BC vastaan ​​(uusi T/S-akseli kohtisuorassa b s c s:n kanssa). Rakennamme projektiot suorasta viivasta ja pisteestä - t:llä (b t) ja a t:llä. Pisteiden a t ja c t (b t) välinen etäisyys on yhtä suuri kuin etäisyys l pisteestä A linjaan BC.

Kuvassa 155e, sama tehtävä suoritetaan rotaatiomenetelmällä muodossaan, jota kutsutaan rinnakkaisliikemenetelmäksi. Ensin viiva BC ja piste A, pitäen keskinäisen asemansa muuttumattomina, kiertävät jonkin (ei esitetty piirustuksessa) suoraa kohtisuorassa neliötä vastaan. H, niin että suora BC on yhdensuuntainen neliön kanssa. V. Tämä vastaa pisteiden A, B, C siirtämistä neliön suuntaisissa tasoissa. H. Samaan aikaan horisontti. tietyn järjestelmän projektio (BC + A) ei muutu suuruuden tai konfiguraation suhteen, vain sen sijainti suhteessa x-akseliin muuttuu. Aseta horisontti. x-akselin suuntaisen suoran BC projektio (sijainti b 1 c 1) ja määritä projektio a 1 jättäen sivuun c 1 1 1 \u003d c-1 ja a 1 1 1 \u003d a-1, ja a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Piirretään suoria viivoja b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 yhdensuuntaisesti x-akselin kanssa, löydämme niiltä etuosan. projektiot b "1, a" 1, c "1. Seuraavaksi siirretään pisteet B 1, C 1 ja A 1 tasoissa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​neliön V kanssa (myös muuttamatta niiden suhteellista sijaintia), jotta saadaan B 2 C 2 ⊥ neliö H. Tässä tapauksessa suoran projektio eteen on kohtisuorassa akseliin x nähden, b 2 c "2 = b" 1 c "1, ja projektion a" 2 muodostamiseksi sinun on ota b "2 2" 2 = b "1 2" 1, piirrä 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 ja lykkää a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Nyt kulutuksen jälkeen c 1 c 2 ja a 1 a 2 || x 1, saadaan projektiot b 2 s 2 ja a 2 sekä haluttu etäisyys l pisteestä A linjaan BC. Voit määrittää etäisyyden A:sta BC:hen kääntämällä määritettyä tasoa pisteellä A ja linjalla BC tämän tason vaakatasossa asentoon T || pl. H (kuva 155 , e).

Pisteen A ja suoran BC antamaan tasoon vedetään vaakaviiva A-1 (kuva 155, g) ja käännetään sen ympäri pistettä B. Piste B siirtyy neliöön. R (ilmoitettu seuraavassa piirroksessa R h), kohtisuorassa suhteessa A-1; pisteessä O on pisteen B pyörimiskeskus. Nyt määritetään VO:n kiertosäteen luonnollinen arvo (kuva 155, c). Vaaditussa asennossa, eli kun pl. Pisteen A ja suoran BC määrittelemä T muuttuu || sq H, piste B kääntyy tielle Rh etäisyydellä Ob 1 pisteestä O (samalla radalla R h voi olla toinen paikka, mutta O:n toisella puolella). Piste b 1 on horisontti. pisteen B projektio sen siirtämisen jälkeen paikkaan B 1 avaruudessa, kun pisteen A ja suoran BC määrittelemä taso on ottanut aseman T.

Piirrettyään (kuva 155 ja) suora b 1 1 saadaan horisontti. jo olemassa olevan suoran BC projektio || sq H on samassa tasossa kuin A. Tässä asennossa etäisyys a:sta b 1 1:een on yhtä suuri kuin haluttu etäisyys l. Taso P, jossa annetut alkiot sijaitsevat, voidaan yhdistää neliöön. H (kuva 155, j), kääntämällä neliötä. P hänen horisonttinsa ympärillä. jäljittää. Siirryttyään tason asettamisesta pisteen A ja suoran BC avulla suorien BC ja A-1 asettamiseen (kuva 155, l), etsitään näiden viivojen jäljet ​​ja piirretään niiden läpi jäljet ​​P ϑ ja P h. Rakennamme (kuva 155, m) yhdistettynä neliöön. H-asento edessä. jäljitys - P ϑ0 .

Piirrä horisontti pisteen a läpi. edestä projektio; yhdistetty frontaali kulkee pisteen 2 kautta viivalla Р h yhdensuuntaisesti Р ϑ0 :n kanssa. Piste A 0 - yhdistettynä pl. H on pisteen A sijainti. Samalla tavalla löydämme pisteen B 0 . Suora aurinko yhdistettynä pl. H-asema kulkee pisteiden B 0 ja m kautta (suoran vaakasuora viiva).

Etäisyys pisteestä A 0 suoraan B 0 C 0 on yhtä suuri kuin haluttu etäisyys l.

Ilmoitettu rakentaminen voidaan toteuttaa etsimällä vain yksi jälki P h (kuva 155, n ja o). Koko rakenne on samanlainen kuin vaakasuuntainen käännös (katso kuva 155, g, c ja): jälki R h on yksi neliön vaakasuorista viivoista. R.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi annetuista piirustuksen muuntamismenetelmistä vaakasuuntaisen tai frontaalin ympäri kiertäminen on parempi.

158. Pyramid SABC on annettu (kuva 156). Määritä etäisyydet:

a) alustan ylhäältä B sen sivulle AC yhdensuuntaisen liikkeen menetelmällä;

b) pyramidin ylhäältä S pohjan sivuille BC ja AB vaakatason ympäri kiertämällä;

c) ylhäältä S pohjan sivulle AC muuttamalla projektiotasoja.

159. Annettu prisma (kuva 157). Määritä etäisyydet:

a) reunojen AD ja CF välillä muuttamalla projektiotasoja;

b) ripojen BE ja CF välissä pyörittämällä etuosan ympäri;

c) reunojen AD ja BE välillä yhdensuuntaisen liikkeen menetelmällä.

160. Määritä nelikulmion ABCD todellinen koko (kuva 158) yhdistämällä neliöön. N. Käytä vain tason vaakasuuntaa.

161*. Määritä leikkaavien viivojen AB ja CD välinen etäisyys (kuva 159, a) ja rakenna projektiot yhteisestä kohtisuoraan niihin nähden.

Ratkaisu. Risteysviivojen välinen etäisyys mitataan molempiin suoriin nähden kohtisuoran segmentillä (MN) (kuva 159, b). Ilmeisesti jos yksi viivoista sijoitetaan kohtisuoraan minkä tahansa neliön suhteen. T sitten

molempien suorien kohtisuoran jana MN on yhdensuuntainen neliön kanssa. Sen projektio tälle tasolle näyttää halutun etäisyyden. Maenadin MN n AB suoran kulman projektio neliöön. T osoittautuu myös suoraksi kulmaksi m t n t ja a t b t välillä, koska yksi oikean kulman AMN sivuista, nimittäin MN. yhdensuuntainen neliön kanssa. T.

Kuvassa 159, c ja d, haluttu etäisyys l määritetään projektiotasojen muuttamismenetelmällä. Ensin esittelemme ylimääräisen neliön. projektiot S, kohtisuorassa neliöön nähden. H ja yhdensuuntainen suoran CD:n kanssa (kuva 159, c). Sitten esittelemme toisen ylimääräisen neliön. T, kohtisuorassa neliöön nähden. S ja kohtisuorassa samaan linjaan CD (kuva 159, d). Nyt voit rakentaa projektion yhteisestä kohtisuorasta vetämällä m t n t pisteestä c t (d t), joka on kohtisuorassa projektioon a t b t nähden. Pisteet m t ja n t ovat tämän kohtisuoran ja suorien AB ja CD leikkauspisteiden projektioita. Pisteestä m t (kuva 159, e) löydämme m s a s b s:ltä: projektion m s n s tulee olla yhdensuuntainen T / S -akselin kanssa. Lisäksi m s:stä ja n s:stä löydämme m ja n ab:sta ja cd:stä ja niistä m "ja n" a:sta "b" ja c "d".

Kuvassa 159, in esittää ratkaisun tähän ongelmaan yhdensuuntaisten liikkeiden menetelmällä. Ensin laitamme suoran CD-linjan neliön suuntaisesti. V: projektio c 1 d 1 || X. Seuraavaksi siirretään suorat CD ja AB kohdista C 1 D 1 ja A 1 B 1 paikkoihin C 2 B 2 ja A 2 B 2 siten, että C 2 D 2 on kohtisuorassa H:n suhteen: projektio c "2 d" 2 ⊥ x. Halutun kohtisuoran segmentti sijaitsee || sq H, ja siksi m 2 n 2 ilmaisee tarvittavan etäisyyden l AB:n ja CD:n välillä. Löydämme projektioiden m "2 ja n" 2 sijainnin kohdassa "2 b" 2 ja c "2 d" 2, sitten projektiot ja m 1 ja m "1, n 1 ja n" 1, lopuksi, projektiot m "ja n", m ja n.

162. Pyramid SABC on annettu (kuva 160). Määritä pyramidin kannan reunan SB ja sivun AC välinen etäisyys ja muodosta projektiotasoja muuttamalla menetelmällä yhteisen kohtisuoran projektiot SB:tä ja AC:tä vastaan.

163. Pyramid SABC on annettu (kuva 161). Määritä pyramidin kannan reunan SH ja sivun BC välinen etäisyys ja rakenna projektiot yhteisestä kohtisuorasta kohtiin SX ja BC rinnakkaissiirtomenetelmällä.

164*. Määritä etäisyys pisteestä A tasoon tapauksissa, joissa taso on annettu: a) kolmiolla BCD (kuva 162, a); b) jäljet ​​(kuva 162, b).

Ratkaisu. Kuten tiedät, etäisyys pisteestä tasoon mitataan pisteestä tasoon vedetyn kohtisuoran suuruudella. Tämä etäisyys projisoidaan mihin tahansa neliöön. luonnollisen kokoiset projektiot, jos annettu taso on kohtisuorassa neliöön nähden. ulokkeet (kuva 162, c). Tämä tilanne voidaan saavuttaa muuntamalla piirustus esimerkiksi vaihtamalla neliötä. ennusteita. Esittelemme aukion. S (kuva 16ts, d), kohtisuorassa neliöön nähden. kolmio BCD. Tätä varten vietämme aukiolla. kolmio vaakasuoraan B-1 ja aseta projektioiden akseli S kohtisuoraan projektioon b-1 vaakasuoraan. Rakennamme projektiot pisteestä ja tasosta - a s ja janasta c s d s . Etäisyys a s - c s d s on yhtä suuri kuin pisteen haluttu etäisyys l tasoon.

Riossa. 162, d käytetään rinnakkaisen liikkeen menetelmää. Siirretään koko järjestelmää, kunnes tason B-1 vaaka on kohtisuorassa V-tasoon nähden: projektion b 1 1 1 on oltava kohtisuorassa x-akselia vastaan. Tässä asennossa kolmion tasosta tulee edestä heijastuva, ja etäisyys l pisteestä A siihen tulee neliömäiseksi. V ilman vääristymiä.

Kuvassa 162b kone on annettu jälkinä. Esittelemme (kuva 162, e) lisäneliön. S, kohtisuorassa neliöön nähden. P: S/H-akseli on kohtisuorassa Ph:n suhteen. Loput selviää piirustuksesta. Kuvassa 162, no ongelma ratkeaa yhden siirtymän avulla: pl. P menee asentoon P 1, eli siitä tulee edestä projisoiva. Seurata. P 1h on kohtisuorassa x-akselia vastaan. Rakennamme rintaman tähän koneen asemaan. vaakatason jälki on piste n "1, n 1. Jälki P 1ϑ kulkee P 1x:n ja n 1:n kautta. Etäisyys a" 1:stä P 1ϑ:iin on yhtä suuri kuin haluttu etäisyys l.

165. Pyramid SABC on annettu (katso kuva 160). Määritä etäisyys pisteestä A pyramidin pintaan SBC käyttämällä rinnakkaissiirtomenetelmää.

166. Pyramid SABC on annettu (katso kuva 161). Määritä pyramidin korkeus rinnakkaissiirtomenetelmällä.

167*. Määritä leikkaavien suorien AB ja CD välinen etäisyys (katso kuva 159, a) näiden viivojen läpi piirrettyjen yhdensuuntaisten tasojen väliseksi etäisyydeksi.

Ratkaisu. Kuvassa 163, ja tasot P ja Q on esitetty yhdensuuntaisina toistensa kanssa, joista pl. Q piirretään CD:n läpi samansuuntaisesti AB:n kanssa, ja pl. P - AB:n kautta yhdensuuntainen neliön kanssa. K. Tällaisten tasojen välisenä etäisyyden katsotaan olevan vinoviivojen AB ja CD välinen etäisyys. Voit kuitenkin rajoittua rakentamaan vain yhden tason, esimerkiksi Q, yhdensuuntainen AB:n kanssa, ja sitten määrittää etäisyyden ainakin pisteestä A tähän tasoon.

Kuvassa 163c esittää AB:n suuntaisen tason Q - CD; "e":llä pidetyissä ennusteissa || a"b" ja se || ab. Neliön vaihtamismenetelmällä. ulokkeet (kuva 163, c), otamme käyttöön lisäneliön. S, kohtisuorassa neliöön nähden. V ja samaan aikaan

kohtisuorassa neliötä vastaan. K. Piirtääksesi S / V -akselin, otamme etuosan D-1 tässä tasossa. Nyt piirrämme S / V kohtisuoraan d "1" (kuva 163, c). Pl. Q näkyy ruudussa. S suorana viivana s d s :n kanssa. Loput selviää piirustuksesta.

168. Pyramid SABC on annettu (katso kuva 160). Määritä reunojen SC ja AB välinen etäisyys Käytä: 1) pinta-alan muuttamismenetelmää. projektiot, 2) rinnakkaisen liikkeen menetelmä.

169*. Määritä yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys, joista toinen on annettu suorilla AB ja AC ja toinen suorilla DE ja DF (kuva 164, a). Suorita myös rakentaminen tapaukseen, jossa tasot on annettu jäljellä (kuva 164, b).

Ratkaisu. Yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys (kuva 164, c) voidaan määrittää piirtämällä kohtisuora tason mistä tahansa pisteestä toiseen tasoon. Kuvassa 164, g lisäsi ylimääräisen neliön. S kohtisuorassa neliöön nähden. H ja molemmille annetuille tasoille. S.H-akseli on kohtisuorassa horisonttiin nähden. johonkin tasosta piirretyn vaakaviivan projektio. Rakennamme projektion tästä tasosta ja pisteistä toiseen tasoon neliölle. 5. Pisteen d s etäisyys suorasta l s a s on yhtä suuri kuin haluttu yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.

Kuvassa 164, d annetaan toinen konstruktio (rinnakkaisliikkeen menetelmän mukaan). Jotta leikkaavien linjojen AB ja AC ilmaisema taso olisi kohtisuorassa neliöön nähden. V, horisontti. asetamme tämän tason vaakaprojektion kohtisuoraan x-akselia vastaan: 1 1 2 1 ⊥ x. Etuetäisyys. pisteen D projektio d "1 ja suora a" 1 2 "1 (tason frontaaliprojektio) on yhtä suuri kuin haluttu tasojen välinen etäisyys.

Kuvassa 164, e näyttää lisäneliön käyttöönoton. S, kohtisuorassa pl.H:ta ja annettuja tasoja kohtaan P ja Q (S/H-akseli on kohtisuorassa päihin P h ja Q h nähden). Rakennamme jäljet ​​Р s ja Q s . Niiden välinen etäisyys (katso kuva 164, c) on yhtä suuri kuin haluttu tasojen P ja Q välinen etäisyys l.

Kuvassa 164, g esittää tasojen P 1 n Q 1 liikettä asentoon P 1 ja Q 1 horisontissa. jäljet ​​osoittautuvat kohtisuoraksi x-akseliin nähden. Etäisyys uuden etuosan välillä. jäljet ​​P 1ϑ ja Q 1ϑ on yhtä suuri kuin vaadittu etäisyys l.

170. Annettu suuntaissärmiö ABCDEFGH (kuva 165). Määritä etäisyydet: a) suuntaissärmiön kantajen välillä - l 1; b) pintojen ABFE ja DCGH-l2 välissä; c) ADHE- ja BCGF-13-pintojen väliin.

Tämä artikkeli käsittelee aihetta « etäisyys pisteestä viivaan », pisteen ja suoran välisen etäisyyden määritelmiä tarkastellaan kuvitetuilla esimerkeillä koordinaattimenetelmällä. Jokainen teorialohko lopussa on osoittanut esimerkkejä samanlaisten ongelmien ratkaisemisesta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Etäisyys pisteestä viivaan saadaan määrittämällä etäisyys pisteestä pisteeseen. Tarkastellaanpa tarkemmin.

Olkoon suora a ja piste M 1, jotka eivät kuulu annettuun suoraan. Piirrä sen läpi viiva, joka on kohtisuorassa viivaa a vastaan. Ota viivojen leikkauspisteeksi H 1. Saadaan, että M 1 H 1 on kohtisuora, joka laskettiin pisteestä M 1 suoralle a.

Määritelmä 1

Etäisyys pisteestä M 1 suoraan a kutsutaan pisteiden M 1 ja H 1 väliseksi etäisyydeksi.

Määritelmästä on tietueita kohtisuoran pituuden kuvalla.

Määritelmä 2

Etäisyys pisteestä linjaan on tietystä pisteestä tiettyyn suoraan vedetyn kohtisuoran pituus.

Määritelmät ovat vastaavat. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Tiedetään, että etäisyys pisteestä suoraan on pienin kaikista mahdollisista. Katsotaanpa tätä esimerkin avulla.

Jos otamme pisteen Q, joka sijaitsee suoralla a, joka ei ole sama kuin pisteen M 1, niin saadaan, että janaa M 1 Q kutsutaan vinoksi, laskettuna M 1:stä suoralle a. On tarpeen osoittaa, että kohtisuora pisteestä M 1 on pienempi kuin mikään muu vino, joka on vedetty pisteestä suoralle.

Tämän todistamiseksi harkitse kolmiota M 1 Q 1 H 1 , jossa M 1 Q 1 on hypotenuusa. Tiedetään, että sen pituus on aina suurempi kuin minkä tahansa jalan pituus. Tästä syystä meillä on M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Lähtötiedot pisteestä suoralle etsimiseen mahdollistavat useiden ratkaisumenetelmien käyttämisen: Pythagoraan lauseen kautta, sinin, kosinin, kulman tangentin ja muiden määritelmien avulla. Suurin osa tämän tyyppisistä tehtävistä ratkaistaan ​​koulussa geometrian tunneilla.

Kun pisteen ja suoran välistä etäisyyttä etsittäessä on mahdollista syöttää suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, käytetään koordinaattimenetelmää. Tässä kappaleessa tarkastelemme kahta päämenetelmää halutun etäisyyden löytämiseksi tietystä pisteestä.

Ensimmäinen menetelmä sisältää etäisyyden etsimisen kohtisuorana, joka on vedetty M 1:stä suoraan a. Toinen menetelmä käyttää suoran a normaaliyhtälöä tarvittavan etäisyyden löytämiseen.

Jos tasossa on piste, jonka koordinaatit M 1 (x 1, y 1) sijaitsee suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, suora a ja sinun on löydettävä etäisyys M 1 H 1, voit laskea kahdella tavalla. Harkitse niitä.

Ensimmäinen tapa

Jos pisteen H 1 koordinaatit ovat yhtä suuria kuin x 2, y 2, niin pisteen etäisyys suoraan lasketaan koordinaateista kaavasta M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Siirrytään nyt pisteen H 1 koordinaattien etsimiseen.

Tiedetään, että O x y:n suora vastaa tasossa olevan suoran yhtälöä. Otetaan tapa määritellä suora viiva kirjoittamalla suoran yleinen yhtälö tai yhtälö, jossa on kaltevuus. Muodostamme yhtälön suorasta, joka kulkee pisteen M 1 kautta kohtisuorassa annettua suoraa a vastaan. Merkitään viiva pyökki b . H 1 on viivojen a ja b leikkauspiste, joten koordinaattien määrittämiseen on käytettävä artikkelia, joka käsittelee kahden suoran leikkauspisteiden koordinaatteja.

Voidaan nähdä, että algoritmi etäisyyden määrittämiseksi tietystä pisteestä M 1 (x 1, y 1) suoralle a suoritetaan pisteiden mukaan:

Määritelmä 3

• etsitään suoran a yleinen yhtälö, jonka muoto on A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, tai yhtälö, jossa on kaltevuuskerroin, jonka muoto on y \u003d k 1 x + b 1;
• saamalla suoran b yleinen yhtälö, jonka muoto on A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 tai yhtälö, jonka kaltevuus on y \u003d k 2 x + b 2, jos suora b leikkaa pisteen M 1 ja on kohtisuorassa annettua suoraa a vastaan;
• pisteen a ja b leikkauspisteen H 1 koordinaattien x 2, y 2 määrittäminen, tätä varten ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tai y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• pisteen ja suoran tarvittavan etäisyyden laskeminen kaavalla M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Toinen tapa

Lause voi auttaa vastaamaan kysymykseen etäisyyden löytämisestä tietystä pisteestä tiettyyn tasoon.

Lause

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä O xy on piste M 1 (x 1, y 1), josta piirretään suora a tasoon, joka on annettu tason normaaliyhtälön avulla, jonka muoto on cos α x + cos β y - p \u003d 0, yhtä kuin modulo normaalin suoran yhtälön vasemmalla puolella saatu arvo, laskettuna x = x 1, y = y 1, tarkoittaa, että M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Todiste

Suora a vastaa tason normaaliyhtälöä, jonka muoto on cos α x + cos β y - p = 0, jolloin n → = (cos α , cos β) katsotaan suoran a normaalivektoriksi etäisyys origosta suoralle a p yksiköllä . On tarpeen kuvata kaikki kuvan tiedot, lisätä piste koordinaattein M 1 (x 1, y 1) , jossa pisteen sädevektori M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) . On välttämätöntä piirtää suora piste pisteestä suoralle viivalle, jota merkitsemme M 1 H 1 . On tarpeen näyttää pisteiden M 1 ja H 2 projektiot M 2 ja H 2 pisteen O läpi kulkevalle suoralle suuntausvektorilla, jonka muoto on n → = (cos α , cos β) ja numeerinen projektio vektorista merkitään OM 1 → = (x 1 , y 1) suuntaan n → = (cos α , cos β) npn → OM 1 → .

Vaihtelut riippuvat itse pisteen M 1 sijainnista. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Kiinnitetään tulokset kaavalla M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Sitten viedään yhtälö tähän muotoon M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, jotta saadaan n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Vektorien skalaaritulon tuloksena saadaan muunnettu kaava muotoa n → , OM → 1 = n → npn → OM 1 → = 1 npn → OM 1 → = npn → OM 1 → , joka on tulo koordinaattimuodossa muoto n → , OM 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Siten saadaan, että n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Tästä seuraa, että M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Lause on todistettu.

Saamme, että etäisyyden pisteestä M 1 (x 1, y 1) tasossa olevaan suoraan a selvittämiseksi on suoritettava useita toimia:

Määritelmä 4

• saadaan suoran a cos α · x + cos β · y - p = 0 normaaliyhtälö, mikäli se ei ole tehtävässä;
• lausekkeen cos α · x 1 + cos β · y 1 - p laskenta, jossa tulokseksi saatava arvo on M 1 H 1 .

Sovelletaan näitä menetelmiä ratkaistaessamme ongelmia pisteen ja tason välisen etäisyyden löytämisessä.

Esimerkki 1

Etsi etäisyys pisteestä, jonka koordinaatit M 1 (- 1 , 2) on suora 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Ratkaisu

Käytetään ensimmäistä tapaa ratkaista.

Tätä varten sinun on löydettävä suoran b yleinen yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 1 (- 1 , 2) kautta kohtisuorassa suoraa 4 x - 3 y + 35 = 0 vastaan. Ehdosta nähdään, että suora b on kohtisuorassa suoraa a vastaan, jolloin sen suuntavektorin koordinaatit ovat (4, - 3) . Näin ollen meillä on mahdollisuus kirjoittaa tasolle suoran b kanoninen yhtälö, koska pisteellä M 1 on koordinaatit, joka kuuluu suoralle b. Määritetään suoran b suuntavektorin koordinaatit. Saamme, että x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Tuloksena oleva kanoninen yhtälö on muutettava yleiseksi. Sitten saamme sen

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Etsitään viivojen leikkauspisteiden koordinaatit, joita otamme tunnuksella H 1. Muutokset näyttävät tältä:

4 x - 3 v + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 v - 35 4 3 x + 4 v - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 v - 35 4 3 3 4 v - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 v - 35 4 v = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 v = 5 ⇔ x = - 5 v = 5

Yllä olevasta saamme, että pisteen H 1 koordinaatit ovat (- 5; 5) .

On tarpeen laskea etäisyys pisteestä M 1 suoraan a. Meillä on, että pisteiden M 1 (- 1, 2) ja H 1 (- 5, 5) koordinaatit, sitten korvataan kaava etäisyyden löytämiseksi ja saadaan, että

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Toinen ratkaisu.

Toisella tavalla ratkaisemiseksi on tarpeen saada suoran normaaliyhtälö. Laskemme normalisointitekijän arvon ja kerromme yhtälön molemmat puolet 4 x - 3 y + 35 = 0 . Tästä saadaan, että normalisointitekijä on - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 ja normaaliyhtälö on muotoa - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Laskenta-algoritmin mukaan on tarpeen saada suoran normaaliyhtälö ja laskea se arvoilla x = - 1, y = 2 . Sitten saamme sen

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Tästä saadaan, että etäisyys pisteestä M 1 (- 1 , 2) annettuun suoraan 4 x - 3 y + 35 = 0 on arvoltaan - 5 = 5 .

Vastaus: 5 .

Voidaan nähdä, että tässä menetelmässä on tärkeää käyttää suoran normaaliyhtälöä, koska tämä menetelmä on lyhin. Mutta ensimmäinen menetelmä on kätevä, koska se on johdonmukainen ja looginen, vaikka siinä on enemmän laskentapisteitä.

Esimerkki 2

Tasossa on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y, jonka piste on M 1 (8, 0) ja suora y = 1 2 x + 1. Etsi etäisyys tietystä pisteestä suoraan.

Ratkaisu

Ratkaisu ensimmäisellä tavalla tarkoittaa tietyn yhtälön pelkistämistä jyrkkyyskertoimella yleiseksi yhtälöksi. Yksinkertaistamiseksi voit tehdä sen toisin.

Jos kohtisuorien viivojen kaltevuuden tulo on -1, niin annettuun y = 1 2 x + 1 nähden kohtisuoran suoran kaltevuus on 2. Nyt saadaan yhtälö suorasta pisteestä, jonka koordinaatit ovat M 1 (8, 0) . Meillä on, että y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Jatkamme pisteen H 1 koordinaattien löytämistä, toisin sanoen leikkauspisteiden y \u003d - 2 x + 16 ja y \u003d 1 2 x + 1. Laadimme yhtälöjärjestelmän ja saamme:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Tästä seuraa, että etäisyys pisteestä, jonka koordinaatit M 1 (8 , 0) on y = 1 2 x + 1, on yhtä suuri kuin etäisyys alkupisteestä ja loppupisteestä koordinaatteilla M 1 (8 , 0) ja H 1 (6, 4) . Lasketaan ja saadaan, että M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Ratkaisu toisella tavalla on siirtyä yhtälöstä kertoimella sen normaalimuotoon. Eli saamme y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, jolloin normalisointitekijän arvo on - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Tästä seuraa, että suoran normaaliyhtälö on muodossa -2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Lasketaan pisteestä M 1 8, 0 muotoa -1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 olevaan suoraan. Saamme:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Vastaus: 2 5 .

Esimerkki 3

On tarpeen laskea etäisyys pisteestä, jonka koordinaatit on M 1 (- 2 , 4), suoriin 2 x - 3 = 0 ja y + 1 = 0 .

Ratkaisu

Saamme suoran 2 x - 3 = 0 normaalimuodon yhtälön:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Sitten lasketaan etäisyys pisteestä M 1 - 2, 4 suoraan x - 3 2 = 0. Saamme:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Suorayhtälöllä y + 1 = 0 on normalisointitekijä, jonka arvo on -1. Tämä tarkoittaa, että yhtälö on muodossa -y-1 = 0. Lasketaan etäisyys pisteestä M 1 (- 2 , 4) suoraan - y - 1 = 0 . Saamme, että se on yhtä kuin -4 - 1 = 5.

Vastaus: 3 1 2 ja 5 .

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti etäisyyden määritystä tason tietystä pisteestä koordinaattiakseleihin O x ja O y.

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä akselilla O y on suoran yhtälö, joka on epätäydellinen ja jonka muoto on x \u003d 0 ja O x - y \u003d 0. Yhtälöt ovat normaaleja koordinaattiakseleille, jolloin on tarpeen löytää etäisyys pisteestä, jonka koordinaatit ovat M 1 x 1 , y 1, suoriin. Tämä tehdään kaavojen M 1 H 1 = x 1 ja M 1 H 1 = y 1 perusteella. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Esimerkki 4

Selvitä etäisyys pisteestä M 1 (6, - 7) O x y -tasossa sijaitseviin koordinaattiviivoihin.

Ratkaisu

Koska yhtälö y \u003d 0 viittaa linjaan O x, voit löytää etäisyyden M 1:stä annetuilla koordinaateilla tähän suoraan kaavan avulla. Saamme, että 6 = 6.

Koska yhtälö x \u003d 0 viittaa suoraan O y, voit löytää etäisyyden M 1:stä tähän suoraan käyttämällä kaavaa. Sitten saamme, että -7 = 7.

Vastaus: etäisyyden M 1:stä O x:ään on arvo 6 ja etäisyyden M 1:stä O y:n arvo on 7.

Kun kolmiulotteisessa avaruudessa on piste, jonka koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1, z 1), on tarpeen löytää etäisyys pisteestä A suoraan a.

Harkitse kahta tapaa, joiden avulla voit laskea etäisyyden pisteestä avaruudessa sijaitsevaan suoraan a. Ensimmäinen tapaus ottaa huomioon etäisyyden pisteestä M 1 suoraan, jossa suoran pistettä kutsutaan H 1:ksi ja se on pisteestä M 1 suoralle a vedetyn kohtisuoran kanta. Toinen tapaus viittaa siihen, että tämän tason pisteitä on etsittävä suunnikkaan korkeudeksi.

Ensimmäinen tapa

Määritelmästä saamme, että etäisyys suoralla a olevasta pisteestä M 1 on kohtisuoran M 1 H 1 pituus, niin saadaan se pisteen H 1 löydetyillä koordinaateilla, niin saadaan etäisyys. välillä M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ja H 1 (x 1, y 1, z 1) kaavan M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z perusteella 2 - z 1 2 .

Saadaan, että koko ratkaisu menee M 1:stä suoralle a vedetyn kohtisuoran kannan koordinaattien etsimiseen. Tämä tehdään seuraavasti: H 1 on piste, jossa suora a leikkaa sen tason, joka kulkee annetun pisteen kautta.

Tämä tarkoittaa, että algoritmi, jolla määritetään etäisyys pisteestä M 1 (x 1, y 1, z 1) avaruuden suoraan a, sisältää useita pisteitä:

Määritelmä 5

• laaditaan tason χ yhtälö tason yhtälöksi, joka kulkee tietyn pisteen kautta kohtisuorassa suoraa vastaan;
• määritetään koordinaatit (x 2 , y 2 , z 2 ), jotka kuuluvat pisteeseen H 1, joka on suoran a ja tason χ leikkauspiste;
• pisteen ja suoran välisen etäisyyden laskeminen kaavalla M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Toinen tapa

Ehdosta meillä on suora a, jolloin voimme määrittää suuntavektorin a → = a x, a y, a z koordinaatteilla x 3, y 3, z 3 ja tietyllä suoralle a kuuluvalla pisteellä M 3. Pisteiden M 1 (x 1 , y 1) ja M 3 x 3 koordinaatit y 3 , z 3 , M 3 M 1 → voidaan laskea:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

On tarpeen lykätä vektoreita a → \u003d ax, ay, az ja M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 pisteestä M 3, yhdistää ja saada suunnikaskuvio. M 1 H 1 on suunnikkaan korkeus.

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Meillä on, että korkeus M 1 H 1 on haluttu etäisyys, niin sinun on löydettävä se kaavan avulla. Eli etsimme M 1 H 1 .

Merkitse suunnikkaan pinta-ala kirjaimella S, se löytyy kaavasta käyttämällä vektoria a → = (a x , a y , a z) ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Aluekaavan muoto on S = a → × M 3 M 1 → . Myös kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivujen pituuksien tulo korkeudella, saadaan, että S \u003d a → M 1 H 1 jossa a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, joka on vektorin a → \u003d (ax, ay, az) pituus, joka on yhtä suuri kuin suunnikkaan sivu. Näin ollen M 1 H 1 on etäisyys pisteestä suoraan. Se löytyy kaavasta M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Jotta voit löytää etäisyyden pisteestä, jonka koordinaatit on M 1 (x 1, y 1, z 1) avaruudessa olevaan suoraan avaruuteen, sinun on suoritettava useita algoritmin pisteitä:

Määritelmä 6

• suoran a - a → = (a x , a y , a z) suuntavektorin määrittäminen;
• suuntavektorin a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 pituuden laskeminen;
• saadaan koordinaatit x 3 , y 3 , z 3, jotka kuuluvat pisteeseen M 3, joka sijaitsee suoralla a;
• vektorin M 3 M 1 → koordinaattien laskenta;
• etsitään vektorien a → (ax, ay, az) ja M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ristituloa a → × M 3 M 1 → = i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pituuden saamiseksi kaavan a mukaan → × M 3 M 1 → ;
• pisteen ja suoran välisen etäisyyden laskeminen M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Tehtävän ratkaiseminen etäisyyden löytämisestä tietystä pisteestä tiettyyn avaruuden suoraan

Esimerkki 5

Etsi etäisyys pisteestä, jonka koordinaatit on M 1 2, - 4, - 1, suoraan x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Ratkaisu

Ensimmäinen menetelmä alkaa kirjoittamalla M 1:n läpi kulkevan tason χ yhtälö, joka on kohtisuorassa annettuun pisteeseen nähden. Saamme seuraavanlaisen ilmaisun:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

On tarpeen löytää koordinaatit pisteelle H 1, joka on tason χ ja ehdon antaman suoran leikkauspiste. Kanonisesta muodosta on siirryttävä leikkaavaan muotoon. Sitten saamme yhtälöjärjestelmän muotoa:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 v + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 v + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

On tarpeen laskea järjestelmä x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerin menetelmällä, niin saadaan seuraava:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = 0 - ∆ 60 = 0

Tästä syystä meillä on, että H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Toinen menetelmä on aloitettava etsimällä koordinaatteja kanonisesta yhtälöstä. Tätä varten kiinnitä huomiota murto-osan nimittäjiin. Tällöin a → = 2, - 1, 5 on suoran x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 suuntavektori. Pituus on laskettava kaavalla a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

On selvää, että suora x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 leikkaa pisteen M 3 (- 1 , 0 , - 5), joten meillä on, että vektori, jonka origo on M 3 (- 1 , 0 , - 5) ja sen pää pisteessä M 1 2 , - 4 , - 1 on M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Etsi vektoritulo a → = (2, - 1, 5) ja M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Saadaan lauseke muotoa a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

saadaan, että ristitulon pituus on a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Meillä on kaikki tiedot kaavan käyttämiseksi suoran pisteen etäisyyden laskemiseen, joten käytämme sitä ja saamme:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Vastaus: 11 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Etäisyyden laskemiseksi tietystä pisteestä M suoraan L voidaan käyttää erilaisia ​​menetelmiä. Esimerkiksi jos otamme mielivaltaisen pisteen M 0 suoralta L, niin voimme määritellä vektorin M 0 M ortogonaalinen projektio suoran normaalivektorin suuntaan. Tämä projektio merkkiin asti on vaadittu etäisyys.

Toinen tapa laskea pisteen ja suoran välinen etäisyys on käyttää suoran suoran normaaliyhtälö. Olkoon suora L annettu normaaliyhtälöllä (4.23). Jos piste M(x; y) ei ole suoralla L, niin ortogonaalinen projektio pr n OM säde-vektori piste M suoran L yksikkönormaalivektorin n suuntaan on yhtä suuri kuin vektorien OM ja n skalaaritulo, ts. x cosφ + y sinφ. Sama projektio on yhtä suuri kuin etäisyyden p origosta suoralle ja jonkin arvon δ summa (kuva 4.10). δ:n arvo absoluuttisena arvona on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä M suoralle. Tässä tapauksessa δ > 0, jos pisteet M ja O ovat suoran vastakkaisilla puolilla, ja δ on pisteen M poikkeama suorasta.

Poikkeama δ pisteelle M(x; y) suorasta L lasketaan projektion pr n OM ja etäisyyden p välillä origosta suoralle (ks. kuva 4.10), ts. δ \u003d x cosφ + y sinφ - p.

Tällä kaavalla saadaan myös etäisyys p(M, L) pisteestä M(x; y) normaaliyhtälön antamaan suoraan L: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Kaksi vierekkäistä kulmaa muodostavat 180°

Ottaen huomioon yllä oleva muunnosmenettely suoran suoran yleinen yhtälö sen normaaliyhtälöön, saamme kaavan etäisyydelle pisteestä M(x; y) suoralle L, jonka sen yleinen yhtälö antaa:

Esimerkki 4.8. Etsitään kärjestä A tulevan kolmion ABC korkeuden AH, mediaani AM ja puolittaja AD yleiset yhtälöt. Kolmion A(-1;-3), B(7; 3) kärkien koordinaatit ), C(1;7) tunnetaan.

Ensinnäkin selvennetään esimerkin ehtoa: esitetyt yhtälöt tarkoittavat suorien L AH, L AM ja L AD yhtälöitä, joilla määritetyn kolmion korkeus AH, mediaani AM ja puolittaja AD sijaitsevat, vastaavasti (kuva 4.11).

Suoran L AM yhtälön löytämiseksi käytämme sitä tosiasiaa, että mediaani jakaa kolmion vastakkaisen puolen puoliksi. Kun sivun BC keskipisteen koordinaatit (x 1; y 1) on löydetty x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, kirjoitetaan yhtälö L:lle. AM muodossa kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Muutosten jälkeen saadaan yleinen yhtälö mediaanista 8x - 5y - 7 \u003d 0./p>

Korkeuden L AH yhtälön löytämiseksi käytämme sitä tosiasiaa, että korkeus on kohtisuorassa kolmion vastakkaiseen sivuun. Siksi vektori BC on kohtisuorassa korkeutta AH vastaan ​​ja voidaan valita suoran L AH normaalivektoriksi. Tämän suoran yhtälö saadaan kohdasta (4.15) korvaamalla pisteen A koordinaatit ja suoran L AH normaalivektori:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Muutosten jälkeen saadaan yleinen yhtälö korkeudelle 3x - 2y - 3 = 0.

Löytääksemme puolittajan L AD yhtälön, käytämme sitä tosiasiaa, että puolittaja AD kuuluu niiden pisteiden N(x; y) joukkoon, jotka ovat yhtä kaukana suorista L AB ja L AC . Tämän joukon yhtälöllä on muoto

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4,28)

ja se määrittää kaksi suoraa, jotka kulkevat pisteen A läpi ja jakavat suorien L AB ja L AC väliset kulmat kahtia. Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön avulla löydämme suorien L AB ja L AC yleiset yhtälöt:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7) + 3)

Muunnoksen jälkeen saadaan L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Yhtälö (4.28) laskee etäisyyden pisteestä suoraan käyttämällä kaavaa (4.27), kirjoitamme lomakkeeseen

Muunnetaan se laajentamalla moduuleja:

Tuloksena saadaan kahden suoran yleiset yhtälöt

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Valitaksemme puolittajayhtälön niistä otamme huomioon, että kolmion kärjet B ja C sijaitsevat halutun suoran eri puolilla ja siksi niiden koordinaattien korvaaminen suoran L AD yleisen yhtälön vasemmalla puolella pitäisi antaa arvot eri merkeillä. Valitsemme ylempää merkkiä vastaavan yhtälön, ts.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Korvaamalla pisteen B koordinaatit tämän yhtälön vasemmalle puolelle saadaan negatiivinen arvo, koska

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

ja sama merkki saadaan pisteen C koordinaateille, koska

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Siksi kärjet B ja C sijaitsevat samalla puolella suoraa valitun yhtälön kanssa, ja siksi puolittajan yhtälö on

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Ensimmäinen taso

Koordinaatit ja vektorit. Kattava opas (2019)

Tässä artikkelissa sinä ja minä aloitamme keskustelun yhdestä "taikasauvasta", jonka avulla voit vähentää monet geometrian ongelmat yksinkertaiseen aritmetiikkaan. Tämä "sauva" voi tehdä elämästäsi paljon helpompaa, varsinkin kun tunnet olosi epävarmaksi rakennettaessa tilahahmoja, leikkeitä jne. Kaikki tämä vaatii tiettyä mielikuvitusta ja käytännön taitoja. Menetelmä, jota alamme pohtia täällä, antaa sinun ottaa lähes täydellisen abstraktin kaikenlaisista geometrisista rakenteista ja päättelyistä. Menetelmä on ns "koordinaattimenetelmä". Tässä artikkelissa tarkastelemme seuraavia kysymyksiä:

1. Koordinaattitaso
2. Pisteet ja vektorit tasossa
3. Vektorin rakentaminen kahdesta pisteestä
4. Vektorin pituus (kahden pisteen välinen etäisyys).
5. Keskipisteen koordinaatit
6. Vektorien pistetulo
7. Kahden vektorin välinen kulma

Luulen, että arvasit jo, miksi koordinaattimenetelmää kutsutaan sellaiseksi? On totta, että se sai sellaisen nimen, koska se ei toimi geometristen kohteiden kanssa, vaan niiden numeeristen ominaisuuksien (koordinaattien) kanssa. Ja itse muunnos, joka mahdollistaa siirtymisen geometriasta algebraan, koostuu koordinaattijärjestelmän käyttöönotosta. Jos alkuperäinen kuva oli tasainen, niin koordinaatit ovat kaksiulotteisia, ja jos kuvio on kolmiulotteinen, niin koordinaatit ovat kolmiulotteisia. Tässä artikkelissa tarkastelemme vain kaksiulotteista tapausta. Ja artikkelin päätarkoitus on opettaa sinulle, kuinka käyttää joitain koordinaattimenetelmän perustekniikoita (ne osoittautuvat joskus hyödyllisiksi ratkaistaessa planimetrian ongelmia yhtenäisen valtiontutkinnon osassa B). Seuraavat kaksi tätä aihetta käsittelevää osaa on omistettu ongelmien C2 (stereometrian ongelma) ratkaisumenetelmien käsittelyyn.

Mistä olisi loogista aloittaa keskustelu koordinaattimenetelmästä? Luultavasti koordinaattijärjestelmän käsitteellä. Muista, kun tapasit hänet ensimmäisen kerran. Minusta näyttää siltä, ​​että 7. luokalla, kun opit esimerkiksi lineaarifunktion olemassaolosta. Muistutan teitä siitä, että rakensit sen kohta kohdalta. Muistatko? Valitsit mielivaltaisen luvun, vaihdoit sen kaavaan ja laskit tällä tavalla. Esimerkiksi jos, sitten, jos, sitten jne. Mitä sait tuloksena? Ja sait pisteitä koordinaatteineen: ja. Sitten piirsit "ristin" (koordinaattijärjestelmä), valitsit sille asteikon (kuinka monta solua sinulla on yhtenä segmenttinä) ja merkitsit siihen saamasi pisteet, jotka sitten yhdistit suoralla, tuloksena olevalla viivalla on funktion kuvaaja.

On muutamia asioita, jotka on selitettävä sinulle hieman yksityiskohtaisemmin:

1. Valitset yhden segmentin mukavuussyistä, jotta kaikki mahtuu kauniisti ja tiiviisti kuvaan

2. Oletetaan, että akseli kulkee vasemmalta oikealle ja akseli alhaalta ylös

3. Ne leikkaavat suorassa kulmassa, ja niiden leikkauspistettä kutsutaan origoksi. Se on merkitty kirjaimella.

4. Esimerkiksi pisteen koordinaatin tietueessa vasemmalla suluissa on pisteen koordinaatti akselin suuntaisesti ja oikealla akselin suuntaisesti. Erityisesti tarkoittaa yksinkertaisesti, että kohta

5. Jotta voit asettaa minkä tahansa pisteen koordinaattiakselilla, sinun on määritettävä sen koordinaatit (2 numeroa)

6. Jokaiselle akselilla olevalle pisteelle,

7. Jokaiselle akselilla olevalle pisteelle,

8. Akselia kutsutaan x-akseliksi

9. Akselia kutsutaan y-akseliksi

Otetaan nyt seuraava askel kanssasi: merkitse kaksi pistettä. Yhdistä nämä kaksi pistettä viivalla. Ja laitetaan nuoli ikään kuin piirrettäisiin segmenttiä pisteestä pisteeseen: eli teemme segmentistämme suunnatun!

Muistatko mikä on ohjatun segmentin toinen nimi? Aivan oikein, sitä kutsutaan vektoriksi!

Jos siis yhdistämme pisteen pisteeseen, ja alku on piste A ja loppu on piste B, sitten saamme vektorin. Teit myös tämän rakentamisen 8. luokalla, muistatko?

Osoittautuu, että vektorit, kuten pisteet, voidaan merkitä kahdella numerolla: näitä numeroita kutsutaan vektorin koordinaateiksi. Kysymys: Riittääkö, että tiedämme vektorin alun ja lopun koordinaatit löytääksemme sen koordinaatit? Osoittautuu, että kyllä! Ja se on erittäin helppo tehdä:

Siten, koska vektorissa piste on alku ja loppu, vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Esimerkiksi jos, niin vektorin koordinaatit

Tehdään nyt päinvastoin, etsitään vektorin koordinaatit. Mitä meidän on muutettava tätä varten? Kyllä, sinun on vaihdettava alku ja loppu: nyt vektorin alku on pisteessä ja loppu pisteessä. Sitten:

Katso tarkkaan, mikä ero on vektorien ja? Niiden ainoa ero on koordinaattien merkit. Ne ovat vastakkaisia. Tämä tosiasia on kirjoitettu näin:

Joskus, jos ei ole erikseen ilmoitettu, mikä piste on vektorin alku ja mikä on loppu, vektoreita ei merkitä kahdella isolla kirjaimella, vaan yhdellä pienellä kirjaimella, esimerkiksi:, jne.

Nyt vähän harjoitella ja etsi seuraavien vektorien koordinaatit:

Tutkimus:

Ratkaise ongelma nyt hieman vaikeampi:

Vektoritoruksella, jossa on on-cha-romu pisteessä, on co-or-di-on-you. Etsi-di-te abs-cis-su -pisteet.

Kaikki sama on melko proosaa: Antaa olla pisteen koordinaatit. Sitten

Käänsin järjestelmän määrittämällä mitkä ovat vektorin koordinaatit. Sitten pisteellä on koordinaatit. Olemme kiinnostuneita abskissasta. Sitten

Vastaus:

Mitä muuta voit tehdä vektoreilla? Kyllä, melkein kaikki on sama kuin tavallisilla luvuilla (paitsi, että et voi jakaa, mutta voit kertoa kahdella tavalla, joista toista käsittelemme täällä hieman myöhemmin)

1. Vektorit voidaan pinota toisiinsa
2. Vektorit voidaan vähentää toisistaan
3. Vektorit voidaan kertoa (tai jakaa) mielivaltaisella nollasta poikkeavalla luvulla
4. Vektorit voidaan kertoa keskenään

Kaikilla näillä operaatioilla on melko visuaalinen geometrinen esitys. Esimerkiksi kolmion (tai suunnikkaan) sääntö yhteen- ja vähennyslaskulle:

Vektori venyy tai kutistuu tai muuttaa suuntaa, kun se kerrotaan tai jaetaan luvulla:

Tässä meitä kiinnostaa kuitenkin kysymys siitä, mitä koordinaateille tapahtuu.

1. Kun lisäämme (vähennämme) kahta vektoria, lisäämme (vähennämme) niiden koordinaatit elementti kerrallaan. Eli:

2. Kun kerrotaan (jaetaan) vektori luvulla, kaikki sen koordinaatit kerrotaan (jaetaan) tällä luvulla:

Esimerkiksi:

· Etsi-di-summa ko-or-di-nat vuosisadasta-ra.

Etsitään ensin kunkin vektorin koordinaatit. Molemmilla on sama alkuperä - lähtöpiste. Niiden päät ovat erilaisia. Sitten,. Nyt lasketaan vektorin koordinaatit Sitten tuloksena olevan vektorin koordinaattien summa on yhtä suuri.

Vastaus:

Ratkaise nyt itse seuraava ongelma:

· Etsi vektorin koordinaattien summa

Tarkistamme:

Tarkastellaan nyt seuraavaa ongelmaa: meillä on kaksi pistettä koordinaattitasolla. Kuinka löytää niiden välinen etäisyys? Olkoon ensimmäinen piste ja toinen. Merkitään niiden välinen etäisyys muodossa . Tehdään seuraava piirustus selvyyden vuoksi:

Mitä olen tehnyt? Ensin yhdistin pisteet ja piirsin pisteestä akselin suuntaisen suoran ja pisteestä akselin suuntaisen suoran. Leikkautuivatko ne jossain pisteessä muodostaen upean hahmon? Miksi hän on ihana? Kyllä, sinä ja minä tiedämme melkein kaiken suorakulmaisesta kolmiosta. No, Pythagoraan lause, ehdottomasti. Haluttu segmentti on tämän kolmion hypotenuusa ja segmentit ovat jalkoja. Mitkä ovat pisteen koordinaatit? Kyllä, ne on helppo löytää kuvasta: Koska segmentit ovat yhdensuuntaiset akselien kanssa ja vastaavasti, niiden pituudet on helppo löytää: jos merkitsemme segmenttien pituuksia vastaavasti läpi, niin

Käytetään nyt Pythagoraan lausetta. Tiedämme jalkojen pituudet, löydämme hypotenuusan:

Kahden pisteen välinen etäisyys on siis koordinaattien neliöerojen juurisumma. Tai - kahden pisteen välinen etäisyys on niitä yhdistävän janan pituus. On helppo nähdä, että pisteiden välinen etäisyys ei riipu suunnasta. Sitten:

Tästä teemme kolme johtopäätöstä:

Harjoitellaan hieman kahden pisteen välisen etäisyyden laskemista:

Esimerkiksi jos, niin etäisyys välillä ja on

Tai mennään toisin: etsi vektorin koordinaatit

Ja etsi vektorin pituus:

Kuten näet, se on sama!

Harjoittele nyt vähän itse:

Tehtävä: Etsi annettujen pisteiden välinen etäisyys:

Tarkistamme:

Tässä on pari muuta ongelmaa samalle kaavalle, vaikka ne kuulostavat hieman erilaisilta:

1. Etsi-di-te silmäluomen ja ra:n pituuden neliö.

2. Nai-di-te neliö silmäluomen pituus-ra

Luulen, että voit käsitellä niitä helposti? Tarkistamme:

1. Ja tämä on tarkkaavaisuus) Olemme jo löytäneet vektorien koordinaatit aiemmin: . Sitten vektorilla on koordinaatit. Sen pituuden neliö on:

2. Etsi vektorin koordinaatit

Sitten sen pituuden neliö on

Ei mitään monimutkaista, eikö? Yksinkertaista aritmetiikkaa, ei mitään muuta.

Seuraavia arvoituksia ei voida yksiselitteisesti luokitella, ne ovat pikemminkin yleistä oppimista ja kykyä piirtää yksinkertaisia ​​kuvia.

1. Etsi ne kulman sinit klo-on-leikkauksesta, yhdistä yksi n:nnes piste abskissa-akseliin.

Ja

Kuinka aiomme tehdä sen täällä? Sinun on löydettävä kulman ja akselin välisen sini. Ja mistä voimme etsiä siniä? Aivan oikein, suorakulmaisessa kolmiossa. Mitä meidän pitää tehdä? Rakenna tämä kolmio!

Koska pisteen koordinaatit ja, niin jana on yhtä suuri, ja jana. Meidän on löydettävä kulman sini. Muistutan, että sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan

Mitä meillä on jäljellä? Etsi hypotenuusa. Voit tehdä sen kahdella tavalla: käyttämällä Pythagoraan lausetta (jalat tunnetaan!) tai käyttämällä kahden pisteen välisen etäisyyden kaavaa (itse asiassa sama kuin ensimmäinen menetelmä!). Menen toisella tavalla:

Vastaus:

Seuraava tehtävä näyttää sinulle vielä helpommalta. Hän - pisteen koordinaateissa.

Tehtävä 2. Tästä pisteestä per-pen-di-ku-lar lasketaan abs-ciss-akselille. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Tehdään piirustus:

Pystysuoran kanta on piste, jossa se leikkaa x-akselin (akselin) minulle tämä on piste. Kuvasta näkyy, että sillä on koordinaatit: . Olemme kiinnostuneita abskissasta - eli "X"-komponentista. Hän on tasa-arvoinen.

Vastaus: .

Tehtävä 3. Etsi edellisen tehtävän olosuhteissa etäisyyksien summa pisteestä koordinaattiakseleihin.

Tehtävä on yleensä alkeellinen, jos tiedät, mikä on pisteen etäisyys akseleihin. Sinä tiedät? Toivon, mutta silti muistutan:

Joten piirustuksessani, joka sijaitsee hieman korkeammalla, olen jo kuvannut yhden sellaisen kohtisuoran? Mikä akseli se on? akselille. Ja mikä sen pituus sitten on? Hän on tasa-arvoinen. Piirrä nyt itse kohtisuora akseliin nähden ja löydä sen pituus. Se tulee olemaan tasapuolinen, eikö? Silloin niiden summa on yhtä suuri.

Vastaus: .

Tehtävä 4. Etsi tehtävän 2 ehdoista pisteen ordinaatit, joka on symmetrinen x-akselin ympärillä olevaan pisteeseen.

Luulen, että ymmärrät intuitiivisesti mitä symmetria on? Hyvin monilla esineillä on se: monet rakennukset, pöydät, tasot, monet geometriset muodot: pallo, sylinteri, neliö, rombi jne. Karkeasti ottaen symmetria voidaan ymmärtää seuraavasti: hahmo koostuu kahdesta (tai useammasta) identtiset puolikkaat. Tätä symmetriaa kutsutaan aksiaaliseksi. Mikä sitten on akseli? Juuri tätä linjaa pitkin kuvio voidaan suhteellisesti "leikata" identtisiksi puoliksi (tässä kuvassa symmetria-akseli on suora):

Palataan nyt tehtäväämme. Tiedämme, että etsimme pistettä, joka on symmetrinen akselin suhteen. Silloin tämä akseli on symmetria-akseli. Joten meidän on merkittävä piste niin, että akseli leikkaa segmentin kahteen yhtä suureen osaan. Yritä merkitä tällainen kohta itse. Vertaa nyt ratkaisuani:

Teitkö samoin? Hyvä! Löydetyssä pisteessä olemme kiinnostuneita ordinaatista. Hän on tasa-arvoinen

Vastaus:

Kerro nyt hetken miettimisen jälkeen, mikä on pisteen A kanssa symmetrisen pisteen abskissa y-akselilla? Mikä on vastauksesi? Oikea vastaus: .

Yleisesti ottaen sääntö voidaan kirjoittaa näin:

Pisteellä, joka on symmetrinen x-akselin ympärillä olevaan pisteeseen, on koordinaatit:

Pisteellä, joka on symmetrinen y-akselin ympärillä olevaan pisteeseen, on koordinaatit:

No nyt on todella pelottavaa. tehtävä: Etsi pisteen suhteen symmetrisen pisteen koordinaatit suhteessa origoon. Ajattele ensin itse ja katso sitten piirustustani!

Vastaus:

Nyt suunnikasongelma:

Tehtävä 5: Pisteet ovat ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Etsi-dee-te tai-dee-on-tu -pisteet.

Voit ratkaista tämän ongelman kahdella tavalla: logiikalla ja koordinaattimenetelmällä. Käytän ensin koordinaattimenetelmää ja sitten kerron, kuinka voit päättää toisin.

On aivan selvää, että pisteen abskissa on yhtä suuri. (se sijaitsee kohtisuorassa, joka on piirretty pisteestä x-akselille). Meidän on löydettävä ordinaatta. Hyödynnetään sitä tosiasiaa, että kuviomme on suunnikas, mikä tarkoittaa sitä. Etsi janan pituus kahden pisteen välisen etäisyyden kaavalla:

Laskemme kohtisuoran, joka yhdistää pisteen akseliin. Leikkauskohta on merkitty kirjaimella.

Jakson pituus on yhtä suuri. (etsi itse ongelma, jossa keskustelimme tästä hetkestä), niin löydämme segmentin pituuden Pythagoraan lauseen avulla:

Janan pituus on täsmälleen sama kuin sen ordinaatta.

Vastaus: .

Toinen ratkaisu (anna vain kuvan, joka havainnollistaa sitä)

Ratkaisun edistyminen:

1. Kuluta

2. Etsi pisteen koordinaatit ja pituus

3. Todista se.

Yksi vielä leikkauspituuden ongelma:

Pisteet ovat-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Etsi hänen keskiviivan pituus, par-ral-lel-noy.

Muistatko mikä on kolmion keskiviiva? Sitten tämä tehtävä on sinulle alkeellinen. Jos et muista, muistutan sinua: kolmion keskiviiva on viiva, joka yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet. Se on yhdensuuntainen pohjan kanssa ja yhtä suuri kuin puolet siitä.

Pohja on segmentti. Meidän piti etsiä sen pituus aiemmin, se on yhtä suuri. Silloin keskiviivan pituus on puolet yhtä pitkä ja yhtä suuri.

Vastaus: .

Kommentti: Tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla, jota käsittelemme hieman myöhemmin.

Sillä välin tässä sinulle muutamia tehtäviä, harjoittele niitä, ne ovat melko yksinkertaisia, mutta auttavat "saamaan käteen" koordinaattimenetelmällä!

1. Pisteet näkyvät-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Etsi sen keskiviivan pituus.

2. Pisteet ja yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Etsi-dee-te tai-dee-on-tu -pisteet.

3. Etsi pituus leikkauksesta, yhdistä toinen piste ja

4. Etsi-di-te alue-the-red-shen-noy fi-gu-ry ko-or-di-nat-noy tasossa.

5. Ympyrä, jonka keskipiste on na-cha-le ko-or-di-nat, kulkee pisteen läpi. Etsi-de-te hänen ra-di-viikset.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, kuvaile-san-noy lähellä suorakulmaa-no-ka, jotain-ro-go:n tops-shi-ny on yhdessä tai - di-na-you co-from-reply-but

Ratkaisut:

1. Tiedetään, että puolisuunnikkaan keskiviiva on yhtä suuri kuin puolet sen kantojen summasta. Pohja on sama, mutta pohja. Sitten

Vastaus:

2. Helpoin tapa ratkaista tämä ongelma on huomata se (rinnakkaissääntö). Laske vektorien koordinaatit ja se ei ole vaikeaa: . Kun lisäät vektoreita, koordinaatit lisätään. Sitten on koordinaatit. Pisteellä on samat koordinaatit, koska vektorin alku on piste, jolla on koordinaatit. Olemme kiinnostuneita ordinaatista. Hän on tasa-arvoinen.

Vastaus:

3. Toimimme välittömästi kahden pisteen välisen etäisyyden kaavan mukaan:

Vastaus:

4. Katso kuvaa ja sano, minkä kahden hahmon väliin varjostettu alue on "puristettu"? Se on kahden neliön välissä. Sitten halutun hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala miinus pienen neliön pinta-ala. Pienen neliön sivu on pisteitä yhdistävä jana ja sen pituus on

Sitten pienen neliön pinta-ala on

Teemme samoin suuren neliön kanssa: sen sivu on pisteitä yhdistävä jana ja sen pituus on yhtä suuri

Sitten suuren neliön pinta-ala on

Halutun kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Vastaus:

5. Jos ympyrän keskipiste on origo ja se kulkee pisteen läpi, niin sen säde on täsmälleen yhtä suuri kuin janan pituus (piirrä, niin ymmärrät miksi tämä on ilmeistä). Etsi tämän jakson pituus:

Vastaus:

6. Tiedetään, että suorakulmion ympärille piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet sen lävistäjästä. Etsitään minkä tahansa kahden lävistäjän pituus (ne ovat loppujen lopuksi suorakulmiossa yhtä suuret!)

Vastaus:

No, onnistuitko sinä kaiken? Ei se ollut niin vaikeaa selvittää se, eihän? Tässä on vain yksi sääntö - pystyä tekemään visuaalinen kuva ja yksinkertaisesti "lukea" kaikki tiedot siitä.

Meillä on hyvin vähän jäljellä. Haluaisin keskustella kirjaimellisesti vielä kahdesta asiasta.

Yritetään ratkaista tämä yksinkertainen ongelma. Anna kaksi pistettä ja annetaan. Etsi janan keskikohdan koordinaatit. Ratkaisu tähän ongelmaan on seuraava: olkoon piste haluttu keskipiste, niin sillä on koordinaatit:

Eli: janan keskikohdan koordinaatit = janan päiden vastaavien koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

Tämä sääntö on hyvin yksinkertainen eikä yleensä aiheuta vaikeuksia opiskelijoille. Katsotaan, missä ongelmissa ja miten sitä käytetään:

1. Etsi-di-te tai-di-na-tu se-re-di-us from-cut, yhdistä-nya-yu-th-piste ja

2. Pisteet ovat yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Etsi-di-te tai-di-na-tu pisteet re-re-se-che-niya hänen dia-go-on-lei.

3. Etsi-di-te abs-cis-su ympyrän keskipisteestä, kuvaile-san-noy lähellä suorakulmiota-no-ka, tops-shi-meillä on jotain-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Ratkaisut:

1. Ensimmäinen tehtävä on vain klassikko. Toimimme välittömästi määrittämällä janan keskipisteen. Hänellä on koordinaatit. Ordinaatta on yhtä suuri.

Vastaus:

2. On helppo nähdä, että annettu nelikulmio on suunnikas (jopa rombi!). Voit todistaa sen itse laskemalla sivujen pituudet ja vertaamalla niitä toisiinsa. Mitä tiedän suunnikkaasta? Sen diagonaalit jaetaan leikkauspisteen avulla! Ahaa! Mikä on diagonaalien leikkauspiste? Tämä on minkä tahansa diagonaalin keskikohta! Valitsen erityisesti diagonaalin. Silloin pisteellä on koordinaatit, pisteen ordinaatit ovat yhtä suuria kuin.

Vastaus:

3. Mikä on suorakulmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste? Se osuu yhteen sen diagonaalien leikkauspisteen kanssa. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista? Ne ovat yhtä suuret ja leikkauspiste jaetaan puoliksi. Tehtävä on supistettu edelliseen. Otetaan esimerkiksi diagonaali. Sitten jos on rajatun ympyrän keskipiste, niin se on keskikohta. Etsin koordinaatteja: Abskissa on yhtä suuri.

Vastaus:

Harjoittele nyt vähän itse, annan vain vastaukset jokaiseen ongelmaan, jotta voit tarkistaa itsesi.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, kuvaile-san-noy lähellä kolmio-no-ka, joku-ro-go:n yläosissa on ko-or-di -no -herrat

2. Etsi-di-te or-di-na-tu ympyrän keskipiste, kuvaile san-noy lähellä kolmiota-no-ka, tops-shi-meillä on jotain-ro-go koordinaatit

3. Millainen ra-di-y-sa pitäisi olla ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä niin, että se koskettaa abs-ciss-akselia?

4. Etsi-di-te tai-di-on-piste, jossa akselin uudelleense-che-ing ja from-cut, connect-nya-yu-th-piste ja

Vastaukset:

Menikö kaikki? Toivon todella sitä! Nyt - viimeinen työntö. Ole nyt erityisen varovainen. Aineisto, jota aion nyt selittää, ei liity pelkästään yksinkertaisiin koordinaattimenetelmäongelmiin osassa B, vaan se on myös kaikkialla tehtävässä C2.

Mitä lupauksistani en ole vielä pitänyt? Muistatko mitä vektoreita koskevia operaatioita lupasin ottaa käyttöön ja mitkä lopulta otin käyttöön? Olenko varma, etten ole unohtanut mitään? Unohdin! Unohdin selittää mitä vektorien kertominen tarkoittaa.

On kaksi tapaa kertoa vektori vektorilla. Valitusta menetelmästä riippuen saamme erilaisia ​​esineitä:

Vektorituote on melko hankala. Miten se tehdään ja miksi sitä tarvitaan, keskustelemme kanssasi seuraavassa artikkelissa. Ja tässä keskitymme skalaaritulokseen.

On jo kaksi tapaa, joiden avulla voimme laskea sen:

Kuten arvasit, tuloksen pitäisi olla sama! Katsotaanpa siis ensin ensimmäistä tapaa:

Pistele tuote koordinaattien kautta

Etsi: - yhteinen merkintä pistetuotteelle

Laskentakaava on seuraava:

Eli pistetulo = vektorien koordinaattien tulojen summa!

Esimerkki:

Etsi-dee-te

Ratkaisu:

Etsi kunkin vektorin koordinaatit:

Laskemme skalaaritulon kaavalla:

Vastaus:

Katsos, ei mitään monimutkaista!

No, kokeile nyt itse:

Find-di-te skalaari-noe pro-ve-de-nie vuosisadasta ojaan ja

onnistuitko? Ehkä hän huomasi pienen tempun? Tarkistetaan:

Vektorikoordinaatit, kuten edellisessä tehtävässä! Vastaus:.

Koordinaatin lisäksi on toinen tapa laskea skalaaritulo, nimittäin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin kautta:

Tarkoittaa kulmaa vektorien ja välillä.

Toisin sanoen skalaaritulo on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo.

Miksi tarvitsemme tätä toista kaavaa, jos meillä on ensimmäinen, joka on paljon yksinkertaisempi, siinä ei ainakaan ole kosineja. Ja tarvitsemme sitä, jotta voimme päätellä ensimmäisestä ja toisesta kaavasta kuinka löytää vektorien välinen kulma!

Muistakaa sitten vektorin pituuden kaava!

Sitten jos liitän nämä tiedot pistetuotekaavaan, saan:

Mutta toisella tavalla:

Mitä meillä on? Meillä on nyt kaava kahden vektorin välisen kulman laskemiseksi! Joskus lyhyyden vuoksi se kirjoitetaan myös näin:

Eli vektorien välisen kulman laskemisen algoritmi on seuraava:

1. Laskemme skalaaritulon koordinaattien avulla
2. Etsi vektorien pituudet ja kerro ne
3. Jaa pisteen 1 tulos pisteen 2 tuloksella

Harjoitellaan esimerkkien avulla:

1. Etsi kulma silmäluomien ja ra-mi:n välillä. Kerro vastauksesi asteina.

2. Etsi edellisen tehtävän ehdoilla vektorien välinen kosini

Tehdään näin: Autan sinua ratkaisemaan ensimmäisen ongelman ja yritän tehdä toisen itse! Olla samaa mieltä? Sitten aloitetaan!

1. Nämä vektorit ovat vanhoja ystäviämme. Olemme jo harkinneet heidän skalaarituloaan ja se oli yhtä suuri. Niiden koordinaatit ovat: , . Sitten löydämme niiden pituudet:

Sitten etsimme kosinia vektorien välillä:

Mikä on kulman kosini? Tämä on kulma.

Vastaus:

No, ratkaise nyt toinen ongelma itse ja vertaa sitten! Annan vain hyvin lyhyen ratkaisun:

2. on koordinaatit, on koordinaatit.

Antaa olla välinen kulma vektorit ja sitten

Vastaus:

On huomioitava, että koepaperin B-osan vektoreille suoraan tehtävät tehtävät ja koordinaattimenetelmä ovat melko harvinaisia. Suurin osa C2-ongelmista voidaan kuitenkin ratkaista helposti käyttämällä koordinaattijärjestelmän käyttöönottoa. Joten voit pitää tätä artikkelia perustana, jonka perusteella teemme melko hankalia rakenteita, joita tarvitsemme monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

KOORDINAATIT JA VEKTORIT. KESKITASO

Sinä ja minä jatkamme koordinaattimenetelmän tutkimista. Viimeisessä osassa johdimme joukon tärkeitä kaavoja, jotka mahdollistavat:

1. Etsi vektorin koordinaatit
2. Etsi vektorin pituus (vaihtoehtoisesti: kahden pisteen välinen etäisyys)
3. Lisää, vähennä vektoreita. Kerro ne reaaliluvulla
4. Etsi janan keskipiste
5. Laske vektorien pistetulo
6. Etsi vektoreiden välinen kulma

Tietenkään koko koordinaattimenetelmä ei mahdu näihin kuuteen pisteeseen. Sen taustalla on sellainen tiede kuin analyyttinen geometria, johon tutustut yliopistossa. Haluan vain rakentaa perustan, jonka avulla voit ratkaista ongelmia yhdessä tilassa. koe. Selvitimme B-osan tehtävät vuonna Nyt on aika siirtyä laadullisesti uudelle tasolle! Tämä artikkeli on omistettu menetelmälle niiden C2-ongelmien ratkaisemiseksi, joissa olisi järkevää vaihtaa koordinaattimenetelmään. Tämä kohtuullisuus määräytyy sen mukaan, mitä ongelmasta on löydettävä ja mikä luku annetaan. Joten käyttäisin koordinaattimenetelmää, jos kysymykset ovat:

1. Etsi kahden tason välinen kulma
2. Etsi suoran ja tason välinen kulma
3. Etsi kahden viivan välinen kulma
4. Etsi etäisyys pisteestä tasoon
5. Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys
6. Etsi etäisyys suorasta tasosta
7. Etsi kahden viivan välinen etäisyys

Jos ongelman tilassa annettu luku on kierroskappale (pallo, sylinteri, kartio...)

Sopivia lukuja koordinaattimenetelmälle ovat:

1. kuutiomainen
2. Pyramidi (kolmio, nelikulmainen, kuusikulmainen)

Myös minun kokemukseni mukaan ei ole tarkoituksenmukaista käyttää koordinaattimenetelmää:

1. Osion alueiden etsiminen
2. Kappaleiden tilavuuksien laskelmat

On kuitenkin heti huomattava, että kolme koordinaattimenetelmän "epäsuotuisaa" tilannetta ovat käytännössä melko harvinaisia. Useimmissa tehtävissä siitä voi tulla pelastajasi, varsinkin jos et ole kovin vahva kolmiulotteisissa rakenteissa (jotka ovat joskus melko monimutkaisia).

Mitkä ovat kaikki edellä luettelemani luvut? Ne eivät ole enää litteitä, kuten neliö, kolmio, ympyrä, vaan tilavia! Näin ollen meidän ei tarvitse harkita kaksiulotteista, vaan kolmiulotteista koordinaattijärjestelmää. Se rakennetaan melko helposti: abskissan ja ordinaattien lisäksi esittelemme toisen akselin, aplikaatioakselin. Kuvassa on kaavamaisesti esitetty niiden suhteellinen sijainti:

Kaikki ne ovat keskenään kohtisuorassa, leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsumme origoksi. Abskissa-akselia, kuten aiemmin, merkitään, ordinaatta-akselia - ja lisättyä aplikaatioakselia -.

Jos aiemmin jokaiselle tason pisteelle oli tunnusomaista kaksi numeroa - abskissa ja ordinaatta, niin jokainen avaruuden piste on jo kuvattu kolmella numerolla - abskissa, ordinaatta, aplikaatti. Esimerkiksi:

Vastaavasti pisteen abskissa on yhtä suuri, ordinaatto on , ja soveltaa on .

Joskus pisteen abskissaa kutsutaan myös pisteen projektioksi abskissa-akselilla, ordinaatta on pisteen projektio ordinaatta-akselilla ja aplikaatti on pisteen projektio aplikaatio-akselilla. Vastaavasti, jos piste on annettu, piste koordinaatteineen:

kutsutaan pisteen projektioksi tasolle

kutsutaan pisteen projektioksi tasolle

Herää luonnollinen kysymys: ovatko kaikki kaksiulotteiselle tapaukselle johdetut kaavat päteviä avaruudessa? Vastaus on kyllä, ne ovat oikeudenmukaisia ​​ja niillä on sama ulkonäkö. Pienen yksityiskohdan vuoksi. Luulen, että arvasit jo kumpi. Kaikkiin kaavoihin meidän on lisättävä vielä yksi termi, joka vastaa sovellusakselista. Nimittäin.

1. Jos kaksi pistettä annetaan: , niin:

• Vektorikoordinaatit:
• Kahden pisteen välinen etäisyys (tai vektorin pituus)
• Jakson keskellä on koordinaatit

2. Jos annetaan kaksi vektoria: ja, niin:

• Heidän pistetuotteensa on:
• Vektorien välisen kulman kosini on:

Avaruus ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. Kuten ymmärrät, yhden koordinaatin lisääminen tuo merkittävän vaihtelun tässä tilassa "elävien" hahmojen spektriin. Ja lisäkerrontaa varten minun on esitettävä karkeasti sanottuna suoran linjan "yleistys". Tämä "yleistys" on kone. Mitä tiedät lentokoneesta? Yritä vastata kysymykseen, mikä on lentokone? Sitä on erittäin vaikea sanoa. Kuitenkin me kaikki kuvittelemme intuitiivisesti, miltä se näyttää:

Karkeasti sanottuna tämä on eräänlainen loputon "lehti", joka työnnetään avaruuteen. "Ääretön" tulee ymmärtää, että taso ulottuu kaikkiin suuntiin, eli sen pinta-ala on yhtä suuri kuin ääretön. Tämä "sormilla" oleva selitys ei kuitenkaan anna pienintäkään käsitystä koneen rakenteesta. Ja olemme kiinnostuneita siitä.

Muistetaan yksi geometrian perusaksioomeista:

• Suora kulkee kahden eri pisteen läpi tasossa, lisäksi vain yhden:

Tai sen analogia avaruudessa:

Tietenkin muistat kuinka johtaa suoran yhtälö kahdesta annetusta pisteestä, tämä ei ole ollenkaan vaikeaa: jos ensimmäisellä pisteellä on koordinaatit: ja toisella, niin suoran yhtälö on seuraava:

Kävit tämän läpi 7. luokalla. Avaruudessa suoran yhtälö näyttää tältä: olkoon kaksi pistettä, joiden koordinaatit: , niin niiden läpi kulkevan suoran yhtälö on muotoa:

Esimerkiksi viiva kulkee pisteiden läpi:

Miten tämä pitäisi ymmärtää? Tämä tulee ymmärtää seuraavasti: piste sijaitsee suoralla, jos sen koordinaatit täyttävät seuraavan järjestelmän:

Emme ole kovin kiinnostuneita suoran yhtälöstä, mutta meidän on kiinnitettävä huomiota erittäin tärkeään suoran suuntausvektorin käsitteeseen. - mikä tahansa nollasta poikkeava vektori, joka sijaitsee tietyllä suoralla tai yhdensuuntainen sen kanssa.

Esimerkiksi molemmat vektorit ovat suoran suuntavektoreita. Antaa olla piste, joka sijaitsee suoralla ja olla sen suuntaava vektori. Sitten suoran yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

Jälleen kerran, en ole kovin kiinnostunut suoran yhtälöstä, mutta sinun on todella muistettava mikä suuntavektori on! Uudelleen: se on MIKKI nollasta poikkeava vektori, joka sijaitsee suoralla tai on sen suuntainen.

Peruuttaa tason kolmen pisteen yhtälö ei ole enää niin triviaali, eikä sitä yleensä käsitellä lukion kurssilla. Mutta turhaan! Tämä tekniikka on elintärkeä, kun turvaudumme koordinaattimenetelmään monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Oletan kuitenkin, että olet täynnä halua oppia jotain uutta? Lisäksi voit tehdä vaikutuksen opettajaasi yliopistossa, kun käy ilmi, että osaat jo käyttää tekniikkaa, jota yleensä opiskellaan analyyttisen geometrian kurssilla. Joten aloitetaan.

Tason yhtälö ei eroa liikaa tason suoran yhtälöstä, nimittäin sillä on muoto:

joitain lukuja (eivät kaikki ole nollia), mutta muuttujia, esimerkiksi: jne. Kuten näet, tason yhtälö ei ole kovin erilainen kuin suoran yhtälö (lineaarinen funktio). Muistatko kuitenkin, mitä väittelimme kanssasi? Sanoimme, että jos meillä on kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, tason yhtälö palautetaan niistä yksiselitteisesti. Mutta miten? Yritän selittää sinulle.

Koska tasoyhtälö on:

Ja pisteet kuuluvat tähän tasoon, niin kun korvaamme kunkin pisteen koordinaatit tason yhtälöön, meidän pitäisi saada oikea identiteetti:

Siten on tarpeen ratkaista kolme yhtälöä jo tuntemattomilla! Dilemma! Voimme kuitenkin aina olettaa, että (tätä varten meidän on jaettava:). Siten saamme kolme yhtälöä kolmella tuntemattomalla:

Emme kuitenkaan ratkaise tällaista järjestelmää, vaan kirjoitamme siitä johtuvan salaperäisen lausekkeen:

Kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälö

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Lopettaa! Mitä muuta tämä on? Todella epätavallinen moduuli! Edessäsi näkyvällä esineellä ei kuitenkaan ole mitään tekemistä moduulin kanssa. Tätä objektia kutsutaan kolmannen asteen determinantiksi. Tästä lähtien, kun käsittelet koordinaattien menetelmää lentokoneessa, törmäät usein juuri näihin määrittäjiin. Mikä on kolmannen asteen determinantti? Kummallista kyllä, se on vain numero. On vielä ymmärrettävä, mitä tiettyä numeroa vertaamme determinanttiin.

Kirjoitetaan ensin kolmannen asteen determinantti lisää yleisnäkymä:

Missä on joitain numeroita. Lisäksi ensimmäisellä indeksillä tarkoitamme rivin numeroa ja indeksillä - sarakkeen numeroa. Se tarkoittaa esimerkiksi, että annettu numero on toisen rivin ja kolmannen sarakkeen leikkauskohdassa. Esitetään seuraava kysymys: kuinka tarkalleen aiomme laskea tällaisen determinantin? Eli mihin tiettyyn numeroon vertaamme sitä? Täsmälleen kolmannen kertaluvun determinantille on olemassa heuristinen (visuaalinen) kolmisääntö, joka näyttää tältä:

1. Päälävistäjän elementtien tulo (ylhäältä vasemmalta oikealle alas) niiden alkioiden tulo, jotka muodostavat ensimmäisen kolmion "kohtisuorassa" päälävistäjään nähden niiden elementtien tulo, jotka muodostavat toisen kolmion "kohtaan" päädiagonaaliin nähden diagonaalinen
2. Toissijaisen lävistäjän elementtien tulo (oikeasta ylävasemmalle) ensimmäisen kolmion muodostavien elementtien tulo "suoraan" toissijaiseen lävistäjään nähden niiden alkioiden tulo, jotka muodostavat toisen kolmion "suoraan" suhteessa toissijainen diagonaali
3. Sitten determinantti on yhtä suuri kuin vaiheessa ja saatujen arvojen erotus

Jos kirjoitamme tämän kaiken numeroina, saamme seuraavan lausekkeen:

Sinun ei kuitenkaan tarvitse opetella ulkoa laskentamenetelmää tässä muodossa, riittää, että pidät kolmiot päässäsi ja itse ajatuksen siitä, mitä lisätään mihin ja mikä sitten vähennetään mistä).

Havainnollistetaan kolmiomenetelmää esimerkillä:

1. Laske determinantti:

Selvitetään, mitä lisäämme ja mitä vähennämme:

Termit, joissa on "pluss":

Tämä on päädiagonaali: elementtien tulo on

Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden: elementtien tulo on

Toinen kolmio, " kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden: elementtien tulo on

Lisäämme kolme numeroa:

Termit, joissa on "miinus"

Tämä on sivudiagonaali: elementtien tulo on

Ensimmäinen kolmio, "suoraan toissijaiseen lävistäjään nähden: elementtien tulo on

Toinen kolmio, "suoraan toissijaiseen lävistäjään nähden: elementtien tulo on

Lisäämme kolme numeroa:

Ainoa mitä on tehtävä, on vähentää plusehtojen summasta miinusehtojen summa:

Tällä tavoin,

Kuten näet, kolmannen asteen determinanttien laskennassa ei ole mitään monimutkaista ja yliluonnollista. On yksinkertaisesti tärkeää muistaa kolmiot ja olla tekemättä aritmeettisia virheitä. Yritä nyt laskea itse:

Tarkistamme:

1. Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden:
2. Toinen kolmio, joka on kohtisuorassa päädiagonaaliin nähden:
3. Plussaehtojen summa:
4. Ensimmäinen kolmio, joka on kohtisuorassa sivudiagonaaliin nähden:
5. Toinen kolmio, joka on kohtisuorassa sivudiagonaaliin nähden:
6. Ehtojen summa miinuksella:
7. Plussaehtojen summa miinus miinusehtojen summa:

Tässä on sinulle pari muuta määräävää tekijää, laske niiden arvot itse ja vertaa vastauksia:

Vastaukset:

No, sopiiko kaikki yhteen? Hienoa, sitten voit jatkaa! Jos on vaikeuksia, neuvoni on tämä: Internetissä on joukko ohjelmia determinantin laskemiseksi verkossa. Sinun tarvitsee vain keksiä oma determinantti, laskea se itse ja verrata sitä sitten ohjelman laskemiin. Ja niin edelleen, kunnes tulokset alkavat täsmää. Olen varma, että tämä hetki ei kestä kauan!

Palataan nyt determinanttiin, jonka kirjoitin, kun puhuin kolmen annetun pisteen läpi kulkevan tason yhtälöstä:

Sinun tarvitsee vain laskea sen arvo suoraan (käyttäen kolmiomenetelmää) ja asettaa tulokseksi nolla. Luonnollisesti, koska ne ovat muuttujia, saat jonkin niistä riippuvan lausekkeen. Juuri tämä lauseke on yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla!

Havainnollistetaan tätä yksinkertaisella esimerkillä:

1. Muodosta pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

Laadimme determinantin näille kolmelle pisteelle:

Yksinkertaistaminen:

Nyt laskemme sen suoraan kolmioiden säännön mukaan:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ oikea| = \vasen((x + 3) \oikea) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Siten pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö on:

Yritä nyt ratkaista yksi ongelma itse, ja sitten keskustelemme siitä:

2. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

No, keskustellaan nyt ratkaisusta:

Teemme määräävän tekijän:

Ja laske sen arvo:

Sitten tason yhtälöllä on muoto:

Tai vähentämällä saamme:

Nyt kaksi itsehillintätehtävää:

1. Muodosta kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Vastaukset:

Sopisiko kaikki? Jälleen, jos on tiettyjä vaikeuksia, neuvoni on tämä: otat kolme pistettä päästäsi (suurella todennäköisyydellä ne eivät makaa yhdellä suoralla), rakenna niille taso. Ja sitten tarkista itsesi verkossa. Esimerkiksi sivustolla:

Determinanttien avulla emme kuitenkaan rakenna vain tason yhtälöä. Muista, että sanoin, että vektoreille ei ole määritelty vain pistetuloa. On myös vektori sekä sekatuote. Ja jos kahden vektorin skalaaritulo on luku, niin kahden vektorin vektoritulo on vektori, ja tämä vektori on kohtisuorassa annettuihin nähden:

Lisäksi sen moduuli on yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala ja. Tarvitsemme tätä vektoria laskeaksemme etäisyyden pisteestä suoraan. Kuinka voimme laskea vektorien ristitulon ja jos niiden koordinaatit on annettu? Kolmannen järjestyksen määrääjä tulee jälleen avuksemme. Ennen kuin siirryn ristitulon laskenta-algoritmiin, minun on kuitenkin tehtävä pieni lyyrinen poikkeama.

Tämä poikkeama koskee kantavektoreita.

Kaavamaisesti ne on esitetty kuvassa:

Miksi luulet, että niitä kutsutaan perusmuodoiksi? Tosiasia on, että :

Tai kuvassa:

Tämän kaavan pätevyys on ilmeinen, koska:

vektorituote

Nyt voin aloittaa cross-tuotteen esittelyn:

Kahden vektorin vektoritulo on vektori, joka lasketaan seuraavan säännön mukaan:

Annetaan nyt esimerkkejä ristitulon laskemisesta:

Esimerkki 1: Etsi vektorien ristitulo:

Ratkaisu: Teen determinantin:

Ja lasken sen:

Nyt, kirjoittaessani kantavektoreiden kautta, palaan tavalliseen vektorimerkintään:

Tällä tavoin:

Yritä nyt.

Valmis? Tarkistamme:

Ja perinteisesti kaksi valvottavat tehtävät:

1. Etsi seuraavien vektorien ristitulo:
2. Etsi seuraavien vektorien ristitulo:

Vastaukset:

Kolmen vektorin sekatulo

Viimeinen konstruktio, jonka tarvitsen, on kolmen vektorin sekatulo. Se, kuten skalaari, on luku. On kaksi tapaa laskea se. - determinantin kautta - sekatuotteen kautta.

Oletetaan nimittäin, että meillä on kolme vektoria:

Sitten kolmen vektorin sekatulo, jota merkitään, voidaan laskea seuraavasti:

1. - eli sekatulo on vektorin skalaaritulo ja kahden muun vektorin vektoritulo

Esimerkiksi kolmen vektorin sekatulo on:

Yritä laskea se itse käyttämällä vektorituloa ja varmista, että tulokset täsmäävät!

Ja taas - kaksi esimerkkiä itsenäisestä päätöksestä:

Vastaukset:

Koordinaattijärjestelmän valinta

No, nyt meillä on kaikki tarvittava tiedon perusta monimutkaisten geometrian stereometristen ongelmien ratkaisemiseen. Ennen kuin siirryn suoraan esimerkkeihin ja niiden ratkaisemiseen tarkoitettuihin algoritmeihin, uskon kuitenkin, että on hyödyllistä pohtia seuraavaa kysymystä: kuinka tarkalleen valitse koordinaattijärjestelmä tietylle kuviolle. Loppujen lopuksi koordinaattijärjestelmän ja avaruuden hahmon suhteellisen sijainnin valinta ratkaisee sen, kuinka hankalat laskelmat tulevat olemaan.

Muistutan, että tässä osiossa tarkastelemme seuraavia lukuja:

1. kuutiomainen
2. Suora prisma (kolmio, kuusikulmainen…)
3. Pyramidi (kolmio, nelikulmainen)
4. Tetraedri (sama kuin kolmiopyramidi)

Kuutiolle tai kuutiolle suosittelen seuraavaa rakennetta:

Eli asetan hahmon "nurkkaan". Kuutio ja laatikko ovat erittäin hyviä hahmoja. Heille voit aina helposti löytää sen kärkien koordinaatit. Esimerkiksi jos (kuten kuvassa)

sitten kärkikoordinaatit ovat:

Sinun ei tietenkään tarvitse muistaa tätä, mutta on toivottavaa muistaa, kuinka kuutio tai suorakaiteen muotoinen laatikko on parasta sijoittaa.

suora prisma

Prisma on haitallisempi hahmo. Voit järjestää sen tilaan eri tavoin. Mielestäni seuraava on kuitenkin paras vaihtoehto:

Kolmisivuinen prisma:

Eli asetamme yhden kolmion sivuista kokonaan akselille ja yksi kärjeistä osuu origon kanssa.

Kuusikulmainen prisma:

Toisin sanoen yksi pisteistä osuu origoon ja yksi sivuista on akselilla.

Nelikulmainen ja kuusikulmainen pyramidi:

Kuution kaltainen tilanne: yhdistämme pohjan kaksi sivua koordinaattiakseleiden kanssa, yhdistämme yhden kärkeistä origon kanssa. Ainoa pieni vaikeus on pisteen koordinaattien laskeminen.

Kuusikulmaiselle pyramidille - sama kuin kuusikulmainen prisma. Päätehtävänä on jälleen löytää kärjen koordinaatit.

Tetraedri (kolmiopyramidi)

Tilanne on hyvin samanlainen kuin sen, jonka annoin kolmioprisalle: yksi kärki osuu origoon, toinen sivu on koordinaattiakselilla.

No, nyt sinä ja minä olemme vihdoin lähellä ongelmien ratkaisemista. Siitä, mitä sanoin artikkelin alussa, voit tehdä seuraavan johtopäätöksen: useimmat C2-ongelmat jakautuvat kahteen luokkaan: kulman ongelmat ja etäisyyden ongelmat. Ensin tarkastellaan kulman löytämiseen liittyviä ongelmia. Ne puolestaan ​​​​jaetaan seuraaviin luokkiin (monimutkaisuuden kasvaessa):

Ongelmia kulmien löytämisessä

1. Kahden suoran välisen kulman löytäminen
2. Kahden tason välisen kulman löytäminen

Tarkastellaan näitä ongelmia peräkkäin: aloitetaan etsimällä kahden suoran välinen kulma. Muistatko, olemmeko sinä ja minä ratkaisseet samanlaisia ​​esimerkkejä aiemmin? Muistatko, koska meillä oli jo jotain samanlaista... Etsimme kulmaa kahden vektorin välillä. Muistutan teitä, jos annetaan kaksi vektoria: ja, niin niiden välinen kulma saadaan suhteesta:

Nyt meillä on tavoite - löytää kulma kahden suoran välillä. Siirrytään "litteään kuvaan":

Kuinka monta kulmaa saamme, kun kaksi suoraa leikkaavat? Jo asioita. Totta, vain kaksi niistä ei ole samanarvoisia, kun taas toiset ovat pystysuorassa suhteessa niihin (ja siksi yhtenevät niiden kanssa). Joten mikä kulma meidän tulisi harkita kahden suoran välistä kulmaa: vai? Tässä sääntö on: kahden suoran välinen kulma on aina enintään astetta. Toisin sanoen kahdesta kulmasta valitaan aina kulman, jolla on pienin astemitta. Eli tässä kuvassa kahden viivan välinen kulma on yhtä suuri. Jotta ei tarvitsisi etsiä joka kerta pienintä kahdesta kulmasta, ovelat matemaatikot ehdottivat moduulin käyttöä. Siten kahden suoran välinen kulma määritetään kaavalla:

Sinulla, tarkkaavaisena lukijana, olisi pitänyt kysyä: mistä saamme itse asiassa juuri nämä luvut, joita tarvitsemme kulman kosinin laskemiseen? Vastaus: otamme ne viivojen suuntavektoreista! Siten algoritmi kahden viivan välisen kulman löytämiseksi on seuraava:

1. Käytämme kaavaa 1.

Tai tarkemmin:

1. Etsimme ensimmäisen suoran suuntavektorin koordinaatteja
2. Etsimme toisen rivin suuntavektorin koordinaatteja
3. Laske heidän skalaaritulonsa moduuli
4. Etsimme ensimmäisen vektorin pituutta
5. Etsimme toisen vektorin pituutta
6. Kerro pisteen 4 tulokset pisteen 5 tuloksilla
7. Jaamme pisteen 3 tuloksen pisteen 6 tuloksella. Saamme viivojen välisen kulman kosinin
8. Jos tämä tulos antaa meille mahdollisuuden laskea kulman tarkasti, etsimme sitä
9. Muussa tapauksessa kirjoitamme arkosiinin kautta

No, nyt on aika siirtyä tehtäviin: esitän kahden ensimmäisen ratkaisun yksityiskohtaisesti, esitän lyhyesti toisen ratkaisun ja annan vastaukset vain kahteen viimeiseen tehtävään, sinun tulee tee kaikki laskelmat heille itse.

Tehtävät:

1. Etsi oikeasta tet-ra-ed-re-kohdasta kulma you-so-that tet-ra-ed-ra ja me-di-a-noy bo-ko-how -puolen välinen kulma.

2. Oikeanpuoleisessa six-coal-pi-ra-mi-dessa sata-ro-na-os-no-va-niya ovat jotenkin yhtä suuret ja sivurivat ovat yhtä suuret, etsi suoran välinen kulma linjat ja.

3. Oikeakätisen four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy:n kaikkien reunojen pituudet ovat yhtä suuret. Etsi suorien viivojen välinen kulma ja jos from-re-zok - you-so-et annettu pi-ra-mi-dy, piste on se-re-di-on hänen bo-ko- th rib

4. Kuution reunalla-me-che-pisteeseen niin, että Find-di-te suorien viivojen ja

5. Piste - se-re-di-kuution reunoilla Nai-di-te suorien viivojen välinen kulma ja.

Ei ole sattumaa, että laitoin tehtävät tähän järjestykseen. Vaikka et ole vielä ehtinyt alkaa navigoida koordinaattimenetelmässä, analysoin itse "ongelmallisimmat" luvut ja jätän sinut käsittelemään yksinkertaisinta kuutiota! Vähitellen sinun on opittava työskentelemään kaikkien hahmojen kanssa, lisään tehtävien monimutkaisuutta aiheesta toiseen.

Aloitetaan ongelmien ratkaiseminen:

1. Piirrä tetraedri, aseta se koordinaattijärjestelmään kuten aiemmin ehdotin. Koska tetraedri on säännöllinen, kaikki sen pinnat (mukaan lukien kanta) ovat säännöllisiä kolmioita. Koska meille ei ole annettu sivun pituutta, voin pitää sen yhtä suurena. Luulen, että ymmärrät, että kulma ei todellakaan riipu siitä, kuinka paljon tetraedrimme "venytetään"?. Piirrän myös korkeuden ja mediaanin tetraedriin. Matkan varrella piirrän sen pohjan (se on myös hyödyllinen meille).

Minun on löydettävä kulma ja välillä. Mitä me tiedämme? Tiedämme vain pisteen koordinaatit. Joten meidän on löydettävä enemmän pisteiden koordinaatteja. Nyt ajattelemme: piste on kolmion korkeuksien (tai puolittajien tai mediaanien) leikkauspiste. Piste on korotettu piste. Piste on janan keskipiste. Lopuksi meidän on löydettävä: pisteiden koordinaatit: .

Aloitetaan yksinkertaisimmasta: pisteen koordinaateista. Katso kuvaa: On selvää, että pisteen aplikaatio on yhtä suuri kuin nolla (piste sijaitsee tasossa). Sen ordinaatti on yhtä suuri (koska se on mediaani). Sen abskissa on vaikeampi löytää. Tämä on kuitenkin helppo tehdä Pythagoraan lauseen perusteella: Tarkastellaan kolmiota. Sen hypotenuusa on yhtä suuri ja yksi jaloista on yhtä suuri. Sitten:

Lopulta meillä on:

Etsitään nyt pisteen koordinaatit. On selvää, että sen aplikaatti on jälleen yhtä suuri kuin nolla ja sen ordinaatta on sama kuin pisteen, toisin sanoen. Etsitään sen abskissa. Tämä tehdään melko triviaalisti, jos sen muistaa tasasivuisen kolmion korkeudet jaetaan suhteessa leikkauspisteeseen ylhäältä laskettuna. Koska:, niin pisteen haluttu abskissa, joka on yhtä suuri kuin janan pituus, on yhtä suuri:. Siten pisteen koordinaatit ovat:

Etsitään pisteen koordinaatit. On selvää, että sen abskissa ja ordinaatit ovat samat kuin pisteen abskissa ja ordinaatta. Ja applikaatio on yhtä suuri kuin segmentin pituus. - tämä on yksi kolmion jaloista. Kolmion hypotenuusa on segmentti - jalka. Sitä etsitään syistä, jotka korostin lihavoidulla:

Piste on janan keskipiste. Sitten meidän on muistettava segmentin keskikohdan koordinaattien kaava:

Siinä kaikki, nyt voimme etsiä suuntavektorien koordinaatit:

No, kaikki on valmis: korvaamme kaikki tiedot kaavaan:

Tällä tavoin,

Vastaus:

Sinun ei pitäisi pelätä tällaisia ​​"kauheita" vastauksia: ongelmille C2 tämä on yleinen käytäntö. Olisin mieluummin yllättynyt "kauniista" vastauksesta tässä osassa. Lisäksi, kuten totesit, en käytännössä turvautunut mihinkään muuhun kuin Pythagoraan lauseeseen ja tasasivuisen kolmion korkeuksien ominaisuuteen. Toisin sanoen stereometrisen ongelman ratkaisemiseksi käytin mahdollisimman vähän stereometriaa. Hyöty tässä on osittain "sammutettu" melko hankalia laskelmia. Mutta ne ovat melko algoritmisia!

2. Piirrä säännöllinen kuusikulmainen pyramidi koordinaattijärjestelmän kanssa sekä sen kanta:

Meidän on löydettävä kulma viivojen ja välillä. Siten tehtävämme rajoittuu pisteiden koordinaattien löytämiseen: . Löydämme kolmen viimeisen koordinaatit pienestä piirustuksesta ja löydämme kärjen koordinaatin pisteen koordinaatin kautta. Paljon työtä, mutta täytyy aloittaa!

a) Koordinaatti: on selvää, että sen aplikaatti ja ordinaatit ovat nolla. Etsitään abskissa. Harkitse tätä varten suorakulmaista kolmiota. Valitettavasti siinä tunnemme vain hypotenuusan, joka on yhtä suuri. Yritämme löytää jalan (koska on selvää, että kaksinkertainen jalan pituus antaa meille pisteen abskissan). Kuinka voimme etsiä sitä? Muistakaamme, millainen hahmo meillä on pyramidin juurella? Tämä on tavallinen kuusikulmio. Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että kaikki sivut ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Meidän on löydettävä yksi tällainen kulma. Mitään ideoita? Ideoita on paljon, mutta kaava on olemassa:

Säännöllisen n-kulmion kulmien summa on .

Näin ollen säännöllisen kuusikulmion kulmien summa on astetta. Sitten jokainen kulmista on yhtä suuri:

Katsotaanpa kuvaa uudestaan. On selvää, että jana on kulman puolittaja. Silloin kulma on astetta. Sitten:

Sitten missä.

Joten sillä on koordinaatit

b) Nyt voimme helposti löytää pisteen koordinaatin: .

c) Etsi pisteen koordinaatit. Koska sen abskissa on sama kuin segmentin pituus, se on yhtä suuri. Ordinaatin löytäminen ei myöskään ole kovin vaikeaa: jos yhdistämme pisteet ja ja merkitsemme suoran leikkauspisteen, sano vaikka for. (tee se itse yksinkertainen rakenne). Tällöin pisteen B ordinaatta on yhtä suuri kuin janojen pituuksien summa. Katsotaanpa kolmiota uudelleen. Sitten

Sitten alkaen Siitä pisteellä on koordinaatit

d) Etsi nyt pisteen koordinaatit. Tarkastellaan suorakulmiota ja todistetaan, että Siten pisteen koordinaatit ovat:

e) Vielä on löydettävä kärjen koordinaatit. On selvää, että sen abskissa ja ordinaatit ovat samat kuin pisteen abskissa ja ordinaatta. Etsitään sovellus. Siitä lähtien. Harkitse suorakulmaista kolmiota. Ongelman ehdon mukaan sivureuna. Tämä on kolmioni hypotenuusa. Sitten pyramidin korkeus on jalka.

Sitten pisteellä on koordinaatit:

Siinä kaikki, minulla on koordinaatit kaikista kiinnostavista paikoista. Etsin suorien viivojen suuntavektorien koordinaatteja:

Etsimme näiden vektorien välistä kulmaa:

Vastaus:

Jälleen, kun ratkaisin tämän ongelman, en käyttänyt mitään hienostuneita temppuja, paitsi kaavaa säännöllisen n-gonin kulmien summalle sekä suorakulmaisen kolmion kosinin ja sinin määritelmää.

3. Koska meille ei taaskaan ole annettu pyramidin reunojen pituuksia, pidän niitä yhtä suurena kuin yksi. Siten, koska KAIKKI reunat, eivät vain sivut, ovat yhtä suuret toistensa kanssa, niin pyramidin ja minä pohjalla on neliö, ja sivupinnat ovat säännöllisiä kolmioita. Kuvataan tällainen pyramidi sekä sen pohja tasossa merkitsemällä kaikki tehtävän tekstissä annetut tiedot:

Etsimme kulmaa ja välillä. Teen hyvin lyhyitä laskelmia, kun etsin pisteiden koordinaatteja. Sinun on "purettava" ne:

b) - segmentin keskikohta. Hänen koordinaatit:

c) Löydän kolmion janan pituuden Pythagoraan lauseen avulla. Pythagoraan lauseen avulla löydän kolmion.

Koordinaatit:

d) - segmentin keskikohta. Sen koordinaatit ovat

e) Vektorikoordinaatit

f) Vektorikoordinaatit

g) Kulman etsiminen:

Kuutio on yksinkertaisin hahmo. Olen varma, että voit selvittää sen itse. Vastaukset tehtäviin 4 ja 5 ovat seuraavat:

Suoran ja tason välisen kulman löytäminen

No, yksinkertaisten pulmien aika on ohi! Nyt esimerkit ovat vielä vaikeampia. Viivan ja tason välisen kulman löytämiseksi toimimme seuraavasti:

1. Rakennamme tason yhtälön käyttämällä kolmea pistettä
   ,
   käyttämällä kolmannen asteen determinanttia.
2. Kahdesta pisteestä etsitään suoran suuntavektorin koordinaatteja:
3. Käytämme kaavaa suoran ja tason välisen kulman laskemiseen:

Kuten näet, tämä kaava on hyvin samanlainen kuin se, jota käytimme kahden viivan välisten kulmien löytämiseen. Oikean puolen rakenne on aivan sama, ja vasemmalla etsimme nyt siniä, emme kosinia, kuten ennen. No, yksi ilkeä toiminta lisättiin - koneen yhtälön etsiminen.

Älkäämme jääkö hyllylle ratkaisuesimerkkejä:

1. Os-no-va-ni-em suoraan-palkintoni-olemme-la-et-xia tasa-mutta-köyhä-ren-ny-kolmio-leikkaa sinulle-sillä palkinnolla-olemme tasa-arvoisia. Etsi suoran ja tason välinen kulma

2. Suorakaiteen muotoisessa pa-ral-le-le-pi-pe-dessa lännestä Nai-di-te suoran ja tason välinen kulma

3. Oikeakätisessä kuuden hiilen prismassa kaikki reunat ovat yhtä suuret. Etsi suoran ja tason välinen kulma.

4. Oikeassa kolmiomaisessa pi-ra-mi-de:ssä os-but-va-ni-em kylkiluun Nai-di-te-kulman lännestä, os:n ob-ra-zo-van -ny-taso -no-va-niya ja straight-my, joka kulkee kylkiluiden se-re-di-nan läpi ja

5. Oikean nelikulmaisen pi-ra-mi-dy:n kaikkien reunojen pituudet yläosan kanssa ovat keskenään yhtä suuret. Etsi suoran ja tason välinen kulma, jos piste on se-re-di-pi-ra-mi-dy:n bo-ko-in-th reunassa.

Jälleen ratkaisen kaksi ensimmäistä ongelmaa yksityiskohtaisesti, kolmannen - lyhyesti, ja jätän kaksi viimeistä sinun ratkaistavaksesi. Lisäksi jouduit käsittelemään kolmio- ja nelikulmaisia ​​pyramideja, mutta ei vielä prismoja.

Ratkaisut:

1. Piirrä prisma ja sen pohja. Yhdistetään se koordinaattijärjestelmään ja merkitään kaikki tiedot, jotka on annettu tehtävässä:

Pyydän anteeksi mittasuhteiden noudattamatta jättämistä, mutta ongelman ratkaisemiseksi tämä ei itse asiassa ole niin tärkeää. Kone on vain prismani "takaseinä". Riittää, kun yksinkertaisesti arvaat, että tällaisen tason yhtälöllä on muoto:

Tämä voidaan kuitenkin näyttää myös suoraan:

Valitsemme mielivaltaiset kolme pistettä tällä tasolla: esimerkiksi .

Tehdään tason yhtälö:

Harjoitusta sinulle: laske tämä determinantti itse. onnistuitko? Sitten tason yhtälöllä on muoto:

Tai yksinkertaisesti

Tällä tavoin,

Esimerkin ratkaisemiseksi minun on löydettävä suoran suuntausvektorin koordinaatit. Koska piste osui origon kanssa, vektorin koordinaatit ovat yksinkertaisesti samat pisteen koordinaattien kanssa. Tätä varten etsimme ensin pisteen koordinaatit.

Voit tehdä tämän harkitsemalla kolmiota. Piirretään korkeus (se on myös mediaani ja puolittaja) ylhäältä. Koska silloin pisteen ordinaatit ovat yhtä suuret. Tämän pisteen abskissan löytämiseksi meidän on laskettava segmentin pituus. Pythagoraan lauseen mukaan meillä on:

Sitten pisteellä on koordinaatit:

Piste on "kohotettu" pisteen päällä:

Sitten vektorin koordinaatit:

Vastaus:

Kuten näette, tällaisten ongelmien ratkaisemisessa ei ole mitään pohjimmiltaan vaikeaa. Itse asiassa prisman kaltaisen hahmon "suoraus" yksinkertaistaa prosessia hieman enemmän. Siirrytään nyt seuraavaan esimerkkiin:

2. Piirrämme suuntaissärmiön, piirrämme siihen tason ja suoran ja piirrämme myös sen alapohjan erikseen:

Ensin löydämme tason yhtälön: Siinä olevan kolmen pisteen koordinaatit:

(kaksi ensimmäistä koordinaattia saadaan ilmeisellä tavalla, ja viimeinen koordinaatti löytyy helposti kuvasta pisteestä). Sitten muodostamme tason yhtälön:

Laskemme:

Etsimme suuntavektorin koordinaatteja: On selvää, että sen koordinaatit ovat samat kuin pisteen koordinaatit, eikö niin? Kuinka löytää koordinaatit? Nämä ovat pisteen koordinaatit, nostettuna sovellusakselia pitkin yhdellä! . Sitten etsimme haluttua kulmaa:

Vastaus:

3. Piirrä säännöllinen kuusikulmainen pyramidi ja sitten taso ja suora viiva siihen.

Tässä on jopa ongelmallista piirtää taso, puhumattakaan tämän ongelman ratkaisusta, mutta koordinaattimenetelmällä ei ole väliä! Sen tärkein etu on sen monipuolisuudessa!

Kone kulkee kolmen pisteen läpi: . Etsimme heidän koordinaattejaan:

yksi) . Näytä itse kahden viimeisen pisteen koordinaatit. Sinun on ratkaistava ongelma kuusikulmaisella pyramidilla tätä varten!

2) Rakennamme tason yhtälön:

Etsimme vektorin koordinaatteja: . (Katso kolmiopyramidiongelma uudelleen!)

3) Etsimme kulmaa:

Vastaus:

Kuten näette, näissä tehtävissä ei ole mitään yliluonnollisen vaikeaa. Sinun täytyy vain olla erittäin varovainen juurien kanssa. Kahteen viimeiseen ongelmaan annan vain vastaukset:

Kuten näette, ongelmanratkaisutekniikka on kaikkialla sama: päätehtävänä on löytää kärkien koordinaatit ja korvata ne joihinkin kaavoihin. Meidän on vielä pohdittava vielä yhtä ongelmaluokkaa kulmien laskemiseksi, nimittäin:

Kahden tason välisten kulmien laskeminen

Ratkaisualgoritmi on seuraava:

1. Kolmelle pisteelle etsimme ensimmäisen tason yhtälöä:
2. Muille kolmelle pisteelle etsimme toisen tason yhtälöä:
3. Käytämme kaavaa:

Kuten näet, kaava on hyvin samanlainen kuin kaksi edellistä, joiden avulla etsimme kulmia suorien viivojen ja suoran ja tason välillä. Joten tämän muistaminen ei ole sinulle vaikeaa. Hyppäätään suoraan ongelmaan:

1. Oikean kolmion prisman perusteella sata-ro on yhtä suuri ja sivupinnan halkaisija on yhtä suuri. Etsi kulma tason ja palkinnon pohjan tason välillä.

2. Oikealle eteenpäin suuntautuvassa four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de:ssä jonkun kaikki reunat ovat yhtä suuret, etsi kulman sini tason ja tason Ko-Stu välillä, joka kulkee läpi. kohta per-pen-di-ku-lyar-mutta suoraan-my.

3. Tavallisessa neljän kivihiilen prismassa os-no-va-nian sivut ovat yhtä suuret ja sivureunat yhtä suuret. Reunalla-me-che-pisteeseen niin, että. Etsi tasojen välinen kulma ja

4. Oikeassa nelikulmaisessa prismassa kantojen sivut ovat yhtä suuret ja sivureunat yhtä suuret. Reunalla-me-che-pisteeseen niin, että Etsi tasojen välinen kulma ja.

5. Etsi kuutiosta tasojen ja välisen kulman kosinus

Ongelmaratkaisut:

1. Piirrän säännöllisen (kantalle - tasasivuinen kolmio) kolmiomaisen prisman ja merkitsen siihen tasot, jotka esiintyvät tehtävän tilassa:

Meidän on löydettävä kahden tason yhtälöt: Perusyhtälö saadaan triviaalisti: voit tehdä vastaavan determinantin kolmelle pisteelle, mutta teen yhtälön heti:

Etsitään nyt yhtälö Pisteellä on koordinaatit Piste - Koska - kolmion mediaani ja korkeus, se on helppo löytää Pythagoraan lauseella kolmiosta. Sitten pisteellä on koordinaatit: Etsi pisteen aplikaatti. Tarkastellaan tätä varten suorakulmaista kolmiota

Sitten saadaan seuraavat koordinaatit: Muodostamme tason yhtälön.

Laskemme tasojen välisen kulman:

Vastaus:

2. Piirustuksen tekeminen:

Vaikein asia on ymmärtää, millainen salaperäinen taso se on, joka kulkee kohtisuorassa pisteen läpi. No, pääasia on, mikä se on? Pääasia on tarkkaavaisuus! Itse asiassa viiva on kohtisuorassa. Viiva on myös kohtisuorassa. Sitten näiden kahden suoran läpi kulkeva taso on kohtisuorassa suoraa vastaan ​​ja muuten kulkee pisteen läpi. Tämä taso kulkee myös pyramidin huipulta. Sitten haluttu kone - Ja kone on jo annettu meille. Etsimme pisteiden koordinaatteja.

Löydämme pisteen koordinaatin pisteen kautta. Pienestä piirustuksesta on helppo päätellä, että pisteen koordinaatit ovat seuraavat: Mitä on nyt jäljellä löytääksesi pyramidin huipun koordinaatit? Pitää vielä laskea sen korkeus. Tämä tehdään käyttämällä samaa Pythagoraan lausetta: todista ensin se (triviaalisti pienistä kolmioista, jotka muodostavat neliön tyvestä). Ehdoista lähtien meillä on:

Nyt kaikki on valmis: kärkikoordinaatit:

Muodostamme tason yhtälön:

Olet jo determinanttien laskennan asiantuntija. Saat helposti:

Tai muuten (jos kerromme molemmat osat kahden juurella)

Etsitään nyt tason yhtälö:

(Et unohtanut, kuinka saamme tason yhtälön, eikö? Jos et ymmärrä mistä tämä miinus yksi tuli, niin palaa tason yhtälön määritelmään! Se vain kävi aina ennen sitä että koneeni kuului alkuperäiselle!)

Laskemme determinantin:

(Saatat huomata, että tason yhtälö osui yhteen pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälön kanssa ja! Mieti miksi!)

Nyt laskemme kulman:

Meidän on löydettävä sini:

Vastaus:

3. Hankala kysymys: mikä on suorakaiteen muotoinen prisma, mitä mieltä olet? Se on vain sinulle tuttu suuntaissärmiö! Piirustus heti! Pohjaa ei voi edes kuvata erikseen, siitä on vähän hyötyä täällä:

Taso, kuten aiemmin totesimme, kirjoitetaan yhtälönä:

Nyt tehdään lentokone

Laadimme välittömästi tason yhtälön:

Etsitkö kulmaa

Nyt vastaukset kahteen viimeiseen ongelmaan:

No, nyt on aika pitää tauko, koska sinä ja minä olemme mahtavia ja olemme tehneet hienoa työtä!

Koordinaatit ja vektorit. Edistynyt taso

Tässä artikkelissa keskustelemme kanssasi toisesta luokan tehtävistä, jotka voidaan ratkaista koordinaattimenetelmällä: etäisyysongelmat. Tarkastelemme nimittäin seuraavia tapauksia:

1. Vinoviivojen välisen etäisyyden laskeminen.

Olen tilannut annetut tehtävät niiden monimutkaisuuden kasvaessa. Helpoin on löytää pisteen välinen etäisyys ja vaikein osa on löytää risteävien viivojen välinen etäisyys. Vaikka mikään ei tietenkään ole mahdotonta! Älä viivyttele vaan siirrytään heti ensimmäisen luokan ongelmien pohtimiseen:

Etäisyyden laskeminen pisteestä tasoon

Mitä tarvitsemme tämän ongelman ratkaisemiseksi?

1. Pistekoordinaatit

Joten heti kun saamme kaikki tarvittavat tiedot, käytämme kaavaa:

Sinun pitäisi jo tietää, kuinka rakennamme tason yhtälön edellisistä ongelmista, joita analysoin viimeisessä osassa. Mennään heti hommiin. Kaava on seuraava: 1, 2 - autan sinua päättämään, ja yksityiskohtaisesti, 3, 4 - vain vastaus, teet päätöksen itse ja vertaat. Aloitettu!

Tehtävät:

1. Annettu kuutio. Kuution reunan pituus on Etsi-di-te etäisyys se-re-di-nysta leikkauksesta tasaiseen

2. Koska oikea-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe reuna sata-ro-on os-no-va-nia on yhtä suuri. Etsi-di-ne etäisyydet pisteestä tasoon, jossa - se-re-di-reunoilla.

3. Oikeassa kolmiossa pi-ra-mi-de, jossa on os-but-va-ni-em, toinen reuna on yhtä suuri ja sata-ro-on os-no-vaniya on yhtä suuri. Etsi ne etäisyydet ylhäältä tasoon.

4. Oikeakätisessä kuuden hiilen prismassa kaikki reunat ovat yhtä suuret. Etsi etäisyydet pisteestä tasoon.

Ratkaisut:

1. Piirrä yksireunainen kuutio, rakenna segmentti ja taso, merkitse segmentin keskikohta kirjaimella

.

Aloitetaan ensin helpolla: etsi pisteen koordinaatit. Siitä lähtien (muista segmentin keskikohdan koordinaatit!)

Nyt laadimme tason yhtälön kolmeen pisteeseen

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nyt voin alkaa etsiä etäisyyttä:

2. Aloitamme jälleen piirustuksella, johon merkitsemme kaikki tiedot!

Pyramidille olisi hyödyllistä piirtää sen pohja erikseen.

Jopa se, että piirrän kuin kanan tassu, ei estä meitä ratkaisemasta tätä ongelmaa helposti!

Nyt on helppo löytää pisteen koordinaatit

Koska pisteen koordinaatit

2. Koska pisteen a koordinaatit ovat janan keskikohta, niin

Löydämme helposti kahden tason pisteen koordinaatit. Muodostamme tason yhtälön ja yksinkertaistamme sitä:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Koska pisteellä on koordinaatit: , laskemme etäisyyden:

Vastaus (erittäin harvinainen!):

No, ymmärsitkö? Minusta näyttää siltä, ​​​​että kaikki täällä on yhtä teknistä kuin esimerkeissä, joita tarkastelimme kanssasi edellisessä osassa. Joten olen varma, että jos olet oppinut tämän materiaalin, sinun ei ole vaikea ratkaista jäljellä olevat kaksi ongelmaa. Annan vain vastaukset:

Etäisyyden laskeminen suorasta tasoon

Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta. Miten viiva ja taso voivat sijaita suhteessa toisiinsa? Heillä on kaikki mahdollisuudet: leikata tai suora on yhdensuuntainen tason kanssa. Mikä on mielestäsi etäisyys suorasta tasoon, jonka kanssa annettu suora leikkaa? Minusta näyttää siltä, ​​että on selvää, että tällainen etäisyys on nolla. Mielenkiintoinen tapaus.

Toinen tapaus on hankalampi: tässä etäisyys on jo nollasta poikkeava. Koska suora on kuitenkin yhdensuuntainen tason kanssa, jokainen suoran piste on yhtä kaukana tästä tasosta:

Tällä tavoin:

Ja tämä tarkoittaa, että tehtäväni on pelkistetty edelliseen: etsimme minkä tahansa suoran pisteen koordinaatteja, etsimme tason yhtälöä, laskemme etäisyyden pisteestä tasoon. Itse asiassa tällaiset tehtävät kokeessa ovat erittäin harvinaisia. Onnistuin löytämään vain yhden ongelman, ja siinä olevat tiedot olivat sellaisia, että koordinaattimenetelmä ei ollut kovin käyttökelpoinen siihen!

Siirrytään nyt toiseen, paljon tärkeämpään ongelmaluokkaan:

Pisteen etäisyyden laskeminen suoraan

Mitä me tarvitsemme?

1. Sen pisteen koordinaatit, josta etsimme etäisyyttä:

2. Minkä tahansa suoralla pisteen koordinaatit

3. Suoran suuntavektorikoordinaatit

Mitä kaavaa käytämme?

Mitä tämän murtoluvun nimittäjä sinulle merkitsee ja siksi pitäisi olla selvää: tämä on suoran suuntausvektorin pituus. Tässä on erittäin hankala osoittaja! Ilmaisu tarkoittaa vektorien vektoritulon moduulia (pituutta) ja kuinka vektoritulo lasketaan, tutkimme työn edellisessä osassa. Päivitä tietosi, se on meille erittäin hyödyllinen nyt!

Siten ongelmien ratkaisun algoritmi on seuraava:

1. Etsimme sen pisteen koordinaatteja, josta etsimme etäisyyttä:

2. Etsimme minkä tahansa pisteen koordinaatteja viivalla, johon etsimme etäisyyttä:

3. Vektorin rakentaminen

4. Rakennamme suoran suuntavektorin

5. Laske ristitulo

6. Etsimme tuloksena olevan vektorin pituutta:

7. Laske etäisyys:

Meillä on paljon työtä, ja esimerkit ovat melko monimutkaisia! Keskitä nyt siis kaikki huomiosi!

1. Dana on oikeakätinen kolmion muotoinen pi-ra-mi-da, jossa on kärki. Sata-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy on yhtä suuri, you-so-ta on yhtä suuri. Etsi ne etäisyydet bo-ko:nnen reunan se-re-di-nysta suoralle viivalle, jossa pisteet ja ovat kylkiluiden se-re-di-ny ja co-vet. -stven-mutta.

2. Ripojen pituudet ja suorakulma-no-para-ral-le-le-pi-pe-da ovat vastaavasti yhtä suuret, ja Find-di-te etäisyys top-shi-ny:sta suora-myyn

3. Oikeassa kuuden hiilen prismassa kaikki parven reunat ovat yhtä suuret - etsi-di-niiden etäisyyksien pisteestä suoraan viivaan

Ratkaisut:

1. Teemme siistin piirustuksen, johon merkitsemme kaikki tiedot:

Meillä on paljon työtä sinulle! Haluaisin ensin kuvailla sanoin, mitä etsimme ja missä järjestyksessä:

1. Pisteiden koordinaatit ja

2. Pistekoordinaatit

3. Pisteiden koordinaatit ja

4. Vektorien koordinaatit ja

5. Heidän ristiintulonsa

6. Vektorin pituus

7. Vektoritulon pituus

8. Etäisyys kohteesta kohteeseen

No, meillä on paljon tehtävää! Kääritään hihat!

1. Pyramidin korkeuden koordinaattien löytämiseksi meidän on tiedettävä pisteen koordinaatit, jonka aplikaatti on nolla ja ordinaatta on yhtä suuri kuin sen abskissa. Lopulta saimme koordinaatit:

Pistekoordinaatit

2. - segmentin keskikohta

3. - segmentin keskikohta

keskipiste

4. Koordinaatit

Vektorikoordinaatit

5. Laske vektoritulo:

6. Vektorin pituus: Helpoin tapa on korvata se, että jana on kolmion keskiviiva, mikä tarkoittaa, että se on yhtä suuri kuin puolet kantasta. Niin.

7. Otetaan huomioon vektoritulon pituus:

8. Etsi lopuksi etäisyys:

Huh, siinä kaikki! Rehellisesti sanoen: tämän ongelman ratkaiseminen perinteisillä menetelmillä (rakenteiden avulla) olisi paljon nopeampaa. Mutta tässä pelkistän kaiken valmiiksi algoritmiksi! Luulen, että ratkaisualgoritmi on sinulle selvä? Siksi pyydän sinua ratkaisemaan kaksi jäljellä olevaa ongelmaa itse. Vertaile vastauksia?

Toistan vielä kerran: nämä ongelmat on helpompi (nopeampi) ratkaista rakenteiden avulla kuin turvautua koordinaattimenetelmään. Esitin tämän ratkaisutavan vain näyttääkseni sinulle universaalin menetelmän, jonka avulla voit "älä tee mitään loppuun".

Harkitse lopuksi viimeistä ongelmaluokkaa:

Vinoviivojen välisen etäisyyden laskeminen

Tässä algoritmi ongelmien ratkaisemiseksi on samanlainen kuin edellinen. Mitä meillä on:

3. Mikä tahansa vektori, joka yhdistää ensimmäisen ja toisen rivin pisteet:

Kuinka löydämme rivien välisen etäisyyden?

Kaava on:

Osoittaja on sekatulon moduuli (esittelimme sen edellisessä osassa) ja nimittäjä - kuten edellisessä kaavassa (viivojen suuntaavien vektorien vektoritulon moduuli, jonka välistä etäisyyttä etsimme varten).

Muistutan teitä siitä

sitten etäisyyskaava voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon:

Jaa tämä determinantti determinantilla! Vaikka rehellisesti sanottuna en ole täällä vitsillä! Tämä kaava on itse asiassa erittäin hankala ja johtaa melko monimutkaisiin laskelmiin. Sinuna käyttäisin sitä vain viimeisenä keinona!

Yritetään ratkaista muutama ongelma yllä olevalla menetelmällä:

1. Oikeassa kolmiomaisessa prismassa kaikki reunat ovat jotenkin yhtä suuret, laske suorien viivojen välinen etäisyys ja.

2. Kun otetaan huomioon oikea keulan muotoinen kolmioprisma, kaikki jonkun os-no-va-niyan reunat ovat yhtä suuria kuin Se-che-tion, joka kulkee toisen rivan läpi ja se-re-di-nu -rivat ovat yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie välillä suora-we-mi ja

Minä päätän ensimmäisen, ja sen perusteella sinä päätät toisen!

1. Piirrän prisman ja merkitsen viivat ja

Pisteen C koordinaatit: sitten

Pistekoordinaatit

Vektorikoordinaatit

Pistekoordinaatit

Vektorikoordinaatit

Vektorikoordinaatit

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Tarkastellaan ristituloa vektorien ja välillä

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(arrow)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(arrow) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nyt tarkastelemme sen pituutta:

Vastaus:

Yritä nyt suorittaa toinen tehtävä huolellisesti. Vastaus siihen on:.

Koordinaatit ja vektorit. Lyhyt kuvaus ja peruskaavat

Vektori on suunnattu segmentti. - vektorin alku, - vektorin loppu.
Vektoria merkitään tai.

Absoluuttinen arvo vektori - vektoria edustavan segmentin pituus. Nimetty nimellä.

Vektorikoordinaatit:

,
missä ovat vektorin \displaystyle a päät.

Vektorien summa: .

Vektorien tulo:

Vektorien pistetulo:

Kaava pisteen ja tason suoran etäisyyden laskemiseen

Jos on annettu yhtälö suoralle Ax + By + C = 0, niin pisteen M(M x , M y) ja suoran välinen etäisyys saadaan selville seuraavalla kaavalla

Esimerkkejä tehtävistä pisteen ja tason suoran etäisyyden laskemiseksi

Esimerkki 1

Laske suoran 3x + 4y - 6 = 0 ja pisteen M(-1, 3) välinen etäisyys.

Ratkaisu. Korvaa kaavassa suoran kertoimet ja pisteen koordinaatit

Vastaus: pisteen ja suoran välinen etäisyys on 0,6.

vektoriin nähden kohtisuorassa olevien pisteiden läpi kulkevan tason yhtälöTason yleinen yhtälö

Kutsutaan nollasta poikkeavaa vektoria, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden normaali vektori (tai lyhyesti sanottuna normaali ) tälle koneelle.

Olkoon koordinaattiavaruus (suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä):

a) piste ;

b) nollasta poikkeava vektori (kuva 4.8, a).

Pisteen läpi kulkevalle tasolle on kirjoitettava yhtälö kohtisuorassa vektoriin nähden Todistuksen loppu.

Tarkastellaan nyt erityyppisiä tasaisen suoran yhtälöitä.

1) Tason yleinen yhtälöP .

Yhtälön johtamisesta seuraa, että samalla A, B Ja C ei ole yhtä suuri kuin 0 (selitä miksi).

Piste kuuluu koneeseen P vain jos sen koordinaatit täyttävät tason yhtälön. Kertoimista riippuen A, B, C Ja D kone P ottaa yhden tai toisen aseman.

- taso kulkee koordinaattijärjestelmän origon kautta, - taso ei kulje koordinaattijärjestelmän origon kautta,

- taso on yhdensuuntainen akselin kanssa X,

X,

- taso on yhdensuuntainen akselin kanssa Y,

- taso ei ole yhdensuuntainen akselin kanssa Y,

- taso on yhdensuuntainen akselin kanssa Z,

- taso ei ole yhdensuuntainen akselin kanssa Z.

Todista nämä väitteet itse.

Yhtälö (6) johdetaan helposti yhtälöstä (5). Todellakin, anna asian olla koneessa P. Sitten sen koordinaatit täyttävät yhtälön. Kun yhtälöstä (5) vähennetään yhtälö (7) ja ryhmitellään termit, saadaan yhtälö (6). Tarkastellaan nyt kahta vektoria koordinaatteineen. Kaavasta (6) seuraa, että niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla. Siksi vektori on kohtisuorassa vektoriin nähden Viimeisen vektorin alku ja loppu ovat vastaavasti pisteissä, jotka kuuluvat tasoon P. Siksi vektori on kohtisuorassa tasoon nähden P. Etäisyys pisteestä tasoon P, jonka yleinen yhtälö on määräytyy kaavan mukaan Tämän kaavan todistus on täysin samanlainen kuin pisteen ja suoran välisen etäisyyden kaavan todistus (katso kuva 2).
Riisi. 2. Tason ja suoran välisen etäisyyden kaavan johtamiseen.

Todellakin, etäisyys d linjan ja tason välillä on

missä on piste, joka makaa lentokoneessa. Tästä, kuten luennossa nro 11, saadaan yllä oleva kaava. Kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset. Tästä saamme kahden tason yhdensuuntaisuuden ehdon - tasojen yleisten yhtälöiden kertoimet. Kaksi tasoa ovat kohtisuorassa, jos niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa, joten saamme kahden tason kohtisuoran ehdon, jos niiden yleiset yhtälöt tunnetaan

Injektio f kahden tason välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden normaalivektorien välinen kulma (katso kuva 3), joten se voidaan laskea kaavasta
Tasojen välisen kulman määrittäminen.

(11)

Etäisyys pisteestä lentokoneeseen ja sen löytäminen

Etäisyys pisteestä kone on pisteestä tähän tasoon pudonneen kohtisuoran pituus. On ainakin kaksi tapaa löytää etäisyys pisteestä tasoon: geometrinen Ja algebrallinen.

Geometrisellä menetelmällä sinun on ensin ymmärrettävä, kuinka kohtisuora sijaitsee pisteestä tasoon: ehkä se sijaitsee jossain sopivassa tasossa, se on korkeus jossain kätevässä (tai ei niin) kolmiossa tai ehkä tämä kohtisuora on yleensä korkeus jossain pyramidissa .

Tämän ensimmäisen ja vaikeimman vaiheen jälkeen ongelma jakautuu useisiin erityisiin planimetrisiin ongelmiin (ehkä eri tasoilla).

Algebrallisella tavalla löytääksesi etäisyyden pisteestä tasoon, sinun on syötettävä koordinaattijärjestelmä, löydettävä pisteen koordinaatit ja tason yhtälö ja sovellettava sitten kaavaa pisteen ja tason välisen etäisyyden kaavalle.