Muunnelma perustason 20. tehtävästä. Turistiryhmä ylitti vuorensolan. Joka sekunti bakteeri jakautuu kahdeksi uudeksi bakteeriksi.

Kokoelma kokeeseen valmistautumisesta (perustaso)

Työn prototyyppi #20

1. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

2 kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;

Saat 3 kultaa ja yksi kuparikolikko viidestä hopeakolikosta.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden valuutanvaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoa ilmestyi 50 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

2. Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos näit tikun punaisia viivoja pitkin, saat 5 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 7 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 11 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

3. Korissa on 40 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että kaikista 17 sienestä on vähintään yksi sieni ja kaikista 25 sienestä - vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

4. Korissa on 40 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 17 sienen joukossa on vähintään yksi kamelina ja 25 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

5. Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivaavat hänelle kaivon seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksaa heille 4200 ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - 1300 ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka paljon rahaa omistajan on maksettava työntekijöille, jos he kaivavat 11 metriä syvän kaivon?

6. Etana kiipeää 3 m puuta ylös päivässä ja laskeutuu 2 m yössä. Puun korkeus on 10 m. Kuinka monta päivää kestää etana kiipeämään puun latvaan?

7. Maapallon pinnalle piirrettiin huopakynällä 12 yhdensuuntaisuutta ja 22 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakoivat maapallon pinnan?

8. Korissa on 30 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 12 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja 20 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

1) kahdesta kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;

2) 5 hopeakolikosta saat 3 kultaa ja yksi kupari.

10. Kodinkoneliikkeessä jääkaappien myynti on kausiluonteista. Tammikuussa jääkaappeja myytiin 10 kappaletta ja seuraavan kolmen kuukauden aikana 10 jääkaappia. Toukokuusta myynti on kasvanut 15 yksikköä edelliseen kuukauteen verrattuna. Syyskuusta alkaen myynti alkoi laskea 15 jääkaapilta joka kuukausi edelliseen kuukauteen verrattuna. Kuinka monta jääkaappia kauppa myi vuodessa?

11. Korissa on 25 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 11 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 16 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

12. Tietokilpailun tehtävälista koostui 25 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai 7 pistettä, väärästä vastauksesta häneltä vähennettiin 10 pistettä ja jos vastausta ei tullut, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta antoi oppilas, joka sai 42 pistettä, jos tiedetään, että hän oli vähintään kerran väärässä?

13. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yhden segmentin per hyppy. Heinäsirkka alkaa hypätä alkuperästä. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka pääsee tasan 11 hypyn jälkeen?

14. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

· kahdesta kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;

· Saat 3 kultaa ja yksi kuparikolikko viidestä hopeakolikosta.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden vaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoja ilmestyi 100 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

15. Korissa on 45 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 23 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 24 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

16. Omistaja sopi työläisten kanssa, että he kaivaavat hänelle kaivon seuraavin ehdoin: hän maksaa heille 3700 ruplaa ensimmäisestä metristä ja 1700 ruplaa jokaisesta seuraavasta metristä enemmän kuin edellisestä. Kuinka paljon rahaa omistajan on maksettava työntekijöille, jos he kaivavat 8 metriä syvän kaivon?

17. Lääkäri määräsi potilaan ottamaan lääkkeen seuraavan järjestelmän mukaisesti: ensimmäisenä päivänä hänen tulee ottaa 20 tippaa ja jokaisena seuraavana päivänä - 3 tippaa enemmän kuin edellisellä. 15 päivän ottamisen jälkeen potilas pitää 3 päivän tauon ja jatkaa lääkkeen ottamista käänteisen kaavion mukaisesti: 19. päivänä hän ottaa saman määrän tippoja kuin 15. päivänä ja pienentää sitten annosta 3 tippaa. päivittäin, kunnes annos on alle 3 tippaa päivässä. Kuinka monta lääkepulloa potilaan tulee ostaa koko hoitojaksoa varten, jos jokainen sisältää 200 tippaa?

18. Korissa on 50 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 28 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 24 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

19. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu kymmenennessä sisäänkäynnissä huoneistossa nro 333, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli yhdeksän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

20. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

1) 5 kultakolikosta saat 6 hopeaa ja yksi kupari;

2) 8 hopeakolikosta saat 6 kultaa ja yksi kupari.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden valuutanvaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoa ilmestyi 55 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

21. Valmentaja neuvoi Andreya viettämään 22 minuuttia juoksumatolla ensimmäisenä harjoituspäivänä ja lisäämään jokaisella seuraavalla harjoituskerralla juoksumatolla vietettyä aikaa 4 minuutilla, kunnes se saavuttaa 60 minuutin, ja jatka sitten harjoittelua 60 minuuttia joka päivä. . Kuinka monella harjoituksella, ensimmäisestä alkaen, Andrey viettää 4 tuntia ja 48 minuuttia juoksumatolla?

22. Joka sekunti bakteeri jakautuu kahdeksi uudeksi bakteeriksi. Tiedetään, että yhden lasillisen bakteereja täytetään kokonaisuudessaan tunnissa. Kuinka monessa sekunnissa lasi on puoliksi täynnä bakteereja?

23. Ravintolan ruokalistalla on 6 erilaista salaattia, 3 erilaista ensiruokaa, 5 erilaista jälkiruokaa ja 4 erilaista jälkiruokaa. Kuinka monta salaatti-, ensimmäinen-, toinen- ja jälkiruokalounasvaihtoehtoa tämän ravintolan ruokailijat voivat valita?

24. Etana ryömii 4 m puuta ylös päivässä ja liukuu 3 m yössä. Puun korkeus on 10 m. Kuinka monta päivää kestää, että etana ryömii puun latvaan ensimmäistä kertaa ?

25. Kuinka monella tavalla voidaan asettaa riviin kaksi identtistä punaista noppaa, kolme identtistä vihreää noppaa ja yksi sininen noppaa?

26. Kymmenen peräkkäisen luvun tulo jaetaan 7:llä. Mikä voi olla jäännös?

27. Elokuvasalin ensimmäisellä rivillä on 24 paikkaa ja jokaisella seuraavalla rivillä on 2 enemmän kuin edellisessä. Kuinka monta paikkaa on kahdeksannessa rivissä?

28. Tietokilpailun tehtävälista koostui 33 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai 7 pistettä, väärästä vastauksesta häneltä vähennettiin 11 pistettä ja jos vastausta ei tullut, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta 84 pistettä saanut opiskelija antoi, jos tiedetään, että hän oli vähintään kerran väärässä?

29. Maapallon pinnalle piirrettiin huopakynällä 13 yhdensuuntaisuutta ja 25 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakoivat maapallon pinnan?

Meridiaani on ympyrän kaari, joka yhdistää pohjois- ja etelänavan. Yhdensuuntainen on ympyrä, joka sijaitsee yhdensuuntaisessa tasossa päiväntasaajan tason kanssa.

30. Kehätiellä on neljä huoltoasemaa: A, B, C ja D. Etäisyys A:n ja B:n välillä on 35 km, välillä A ja C on 20 km, välillä C ja D on 20 km, välillä D ja A on 30 km. km (kaikki etäisyydet mitattuna kehätietä pitkin lyhimpään suuntaan). Etsi B:n ja C:n välinen etäisyys. Anna vastauksesi kilometreinä.

31. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu asunnon nro 462 seitsemännessä sisäänkäynnissä, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli seitsemän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen lukumäärä on sama, talon asuntojen numerointi alkaa yhdestä.)

32. Korissa on 30 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 12 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja kaikista 20 sienestä - vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

33. Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivavat kaivoa seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksoi heille 3500 ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - 1600 ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka paljon rahaa omistajan on maksettava työntekijöille, jos he kaivavat 9 metriä syvän kaivon?

34. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu kymmenennessä sisäänkäynnissä huoneistossa nro 333, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli yhdeksän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Asuntojen määrä jokaisessa kerroksessa on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

35. Lääkäri määräsi potilaan ottamaan lääkkeen seuraavan järjestelmän mukaisesti: ensimmäisenä päivänä hänen tulee ottaa 3 tippaa ja jokaisena seuraavana päivänä - 3 tippaa enemmän kuin edellisellä. Otettuaan 30 tippaa hän juo 30 tippaa lääkettä vielä 3 päivän ajan ja vähentää sitten saantia 3 tippaa päivittäin. Kuinka monta lääkepulloa potilaan tulee ostaa koko hoitojaksoa varten, jos jokainen sisältää 20 ml lääkettä (joka on 250 tippaa)?

36. Suorakulmio on jaettu neljään pienempään suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen ympärysmitat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 24, 28 ja 16. Etsi neljännen suorakulmion kehä.

37. Kehätiellä on neljä huoltoasemaa: A, B, C ja D. Etäisyys A:n ja B:n välillä on 50 km, välillä A ja C on 30 km, välillä C ja D on 25 km, välillä D ja A on 45 km. km (kaikki etäisyydet mitattuna kehätietä pitkin lyhimmän kaaren varrella).

Etsi etäisyys (kilometreinä) B:n ja C:n välillä.

38. Öljy-yhtiö poraa öljyntuotantoa varten kaivoa, joka geologisen tutkimuksen mukaan sijaitsee 3 km:n syvyydessä. Työpäivän aikana kaivot menevät 300 metrin syvyyteen, mutta yöllä kaivo "liettyy" taas, eli se täyttyy maaperällä 30 metriä. Kuinka monta työpäivää öljytyöntekijät poraavat kaivon öljyn syvyyteen?

39. Turistiryhmä ylitti vuorensolan. He kulkivat nousun ensimmäisen kilometrin 50 minuutissa ja jokainen seuraava kilometri kulki 15 minuuttia pidempään kuin edellinen. Viimeinen kilometri ennen huippua ajettiin 95 minuutissa. Kymmenen minuutin tauon jälkeen huipulla turistit aloittivat laskeutumisen, joka oli lempeämpi. Ensimmäinen kilometri huipun jälkeen ajettiin tunnissa ja jokainen seuraava on 10 minuuttia nopeampi kuin edellinen. Kuinka monta tuntia ryhmä vietti koko reitillä, jos laskun viimeinen kilometri ajettiin 10 minuutissa.

40. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

Kolmesta kultakolikosta saat 4 hopeaa ja yksi kupari;

Saat 7 hopeakolikosta 4 kultaa ja yhden kuparin.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden valuutanvaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoa ilmestyi 42 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

41. Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos leikkaat tikun punaisia viivoja pitkin, saat 15 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 5 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 7 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

42. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

1) 4 kultakolikosta saat 5 hopeaa ja yksi kupari;

2) 8 hopeakolikosta saat 5 kultaa ja yksi kupari.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden valuutanvaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei kultakolikoita, mutta kuparikolikkoa ilmestyi 45 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

43. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentin verran hyppyä kohti. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi saavuttaa tehtyään tarkalleen 12 hyppyä, alkaen origosta?

44. Täysi ämpäri vettä, jonka tilavuus on 8 litraa, kaadetaan 38 litran säiliöön joka tunti alkaen kello 12. Mutta säiliön pohjassa on pieni rako ja siitä valuu tunnissa 3 litraa. Millä hetkellä (tunteina) säiliö täyttyy kokonaan.

45. Korissa on 40 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 17 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja 25 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

46. Mikä on pienin määrä peräkkäisiä lukuja, jotka on otettava, jotta niiden tulo on jaollinen 7:llä?

47. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentin verran hyppyä kohti. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi saavuttaa tehtyään tasan 11 hyppyä, alkaen origosta?

48. Etana ryömii 4 m puuta ylös päivässä ja liukuu 1 m yössä. Puun korkeus on 13 m. Kuinka monta päivää kestää, että etana ryömii puun latvaan ensimmäistä kertaa ?

49. Maapallolle piirrettiin huopakynällä 17 yhdensuuntaisuutta (mukaan lukien päiväntasaaja) ja 24 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakavat maapallon pinnan?

50. Maapallon pinnalle piirrettiin huopakynällä 12 yhdensuuntaisuutta ja 22 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakoivat maapallon pinnan?

Meridiaani on ympyrän kaari, joka yhdistää pohjois- ja etelänavan. Yhdensuuntainen on ympyrä, joka sijaitsee yhdensuuntaisessa tasossa päiväntasaajan tason kanssa.

Vastaukset prototyyppitehtävään numero 20

Vastaus: 117700
Vastaus: 77200
Vastaus: 3599
Vastaus: 89100

Harkitse tällaista tehtäväsuunnitelmaa. Meillä on seuraavat ehdot:

Kaikki yhteensä:N

A-kappaleesta vähintään 1 toista tyyppiä ja B-kappaleesta vähintään 1 ensimmäistä tyyppiä

Sitten: (A-1) on ensimmäisen tyypin vähimmäismäärä ja (B-1) on toinen.

Kun olemme tehneet tarkistuksen: (A-1) + (B-1) \u003dN.

ESIMERKKI

RATKAISU

Joten: meillä on yhteensä 35 kalaa (ahven ja särki)

Harkitse olosuhteita: 21 kalan joukossa on vähintään yksi särki, sitten vähintään 1 särki tässä kunnossa, joten (21-1) = 20 on ahventen vähimmäismäärä. Kaikista 16 kalasta - vähintään yksi ahven, joka väittää samalla tavalla, (16-1) = 15 - tämä on särkien vähimmäismäärä. Nyt tarkastetaan: 20 + 15 = 35, eli saatiin kalat yhteensä eli 20 ahventa ja 15 särkeä.

VASTAUS: 15 särkiä

Tietokilpailu ja oikeiden vastausten määrä

Tietokilpailun tehtävälista koostui A-kysymyksistä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai pisteet, väärästä vastauksesta ne vähennettiin häneltä.bpistettä, ja jos vastausta ei saatu, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta pisteitä tehnyt oppilas antoiNpisteitä, jos tiedetään, että hän on erehtynyt ainakin kerran?

Tiedämme kuinka monta pistettä hän ansaitsi, tiedämme oikean ja väärän vastauksen hinnan. Perustuen siihen, että ainakin yksi väärä vastaus on annettu, oikeista vastauksista saatava pistemäärä tulee ylittää rangaistuspisteiden määränNpisteitä. Olkoon x oikeaa vastausta ja y väärää vastausta, sitten:

a*x= N+ b* y

x=(N+ b* y)/a

tästä yhtälöstä on selvää, että suluissa olevan luvun on oltava a:n kerrannainen. Tätä silmällä pitäen voimme arvioida y:n (se on myös kokonaisluku). On huomattava, että oikeiden ja väärien vastausten määrä ei saa ylittää kysymysten kokonaismäärää.

ESIMERKKI

RATKAISU:

otamme käyttöön nimitykset (mukavuussyistä) x - oikein, y - väärin, sitten

5*x=75+11*v

X=(75+11*y)/5

Koska 75 on jaollinen viidellä, tulee myös 11*y olla jaollinen viidellä. Siksi y voi olla viiden kerrannaisia (5, 10, 15 jne.). ota ensimmäinen arvo y=5 ja sitten x=(75+11*5)/5=26 kysymystä yhteensä 26+5=31

Y=10 x=(75+11*10)=37 vastausta yhteensä 37+10= 47 (enemmän kuin kysymystä) ei sovi.

Eli yhteensä oli: 26 oikeaa ja 5 väärää vastausta.

VASTAUS: 26 oikeaa vastausta

Mikä kerros?

Sasha kutsui Petyan käymään ja sanoi, että hän asuu portaikkossa huoneistossa nro.N, ja unohdin sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi talony-kerroksinen. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

RATKAISU

Ongelman tilanteen mukaan tiedämme asunnon numeron, sisäänkäynnin ja talon kerrosten lukumäärän. Näiden tietojen perusteella on mahdollista tehdä arvio asuntojen määrästä kerrosta kohti. Olkoon x asuntojen lukumäärä kerrosta kohti, niin seuraavan ehdon tulee täyttyä:

A*y*x on oltava suurempi tai yhtä suuri kuinN

Tästä epäyhtälöstä arvioimme x

Aluksi otetaan pienin kokonaisluku x, olkoon se yhtä suuri kuin c ja tarkistetaan: (a-1) * y * c on pienempi kuinN, ja a*y*s on suurempi tai yhtä suuri kuinN.

Kun olet valinnut tarvitsemamme arvon x, voimme helposti laskea kerroksen (c): in = (N-( a-1)* c)/ c, ja in on kokonaisluku ja saamalla murto-arvon, otamme lähimmän kokonaisluvun (isossa mielessä)

ESIMERKKI

RATKAISU

Arvioidaan kerroksen asuntojen lukumäärä: 7*7*x on suurempi tai yhtä suuri kuin 462, joten x on suurempi tai yhtä suuri kuin 462/(7*7)=9,42, mikä tarkoittaa minimiä x=10. Tarkastamme: 6 * 7 * 10 = 420 ja 7 * 7 * 10 = 490 tuloksena, saimme, että asunto numeroittain kuuluu tälle alueelle. Etsitään nyt kerros: (462-6*7*10)/10=4,2 tarkoittaa, että poika asuu viidennessä kerroksessa.

VASTAUS: 5. kerros

Huoneistot, kerrokset, sisäänkäynnit

Kaikki talon sisäänkäynnit ovat yhtä monta kerrosta ja kaikissa kerroksissa on sama määrä asuntoja. Samaan aikaan talon kerrosten lukumäärä on suurempi kuin asuntojen määrä kerrosta kohti, asuntojen määrä kerrosta kohti on suurempi kuin sisäänkäyntien lukumäärä ja sisäänkäyntien lukumäärä on enemmän kuin yksi. Kuinka monta kerrosta rakennuksessa on, jos asuntoja on yhteensä X?

Tämäntyyppinen tehtävä perustuu seuraavaan ehtoon: jos talossa E - kerrokset, P - sisäänkäynnit ja K - huoneistot kerroksessa, talon huoneistojen kokonaismäärän tulee olla yhtä suuri kuin E * P * K \u003d X. joten meidän on esitettävä X kolmen luvun tulona, jotka eivät ole yhtä suuria kuin 1 (tehtävän ehdon mukaan). Tätä varten hajotamme luvun X alkutekijöiksi. Tehtyään hajotuksen ja ottaen huomioon ongelman ehdot, teemme valinnan numeroiden ja tehtävässä esitettyjen ehtojen vastaavuudesta.

ESIMERKKI

RATKAISU

Esitetään luku 105 alkutekijöiden tulona

105=5*7*3, palataan nyt ongelman tilaan: koska kerrosten lukumäärä on suurin, se on 7, asuntoja on kerroksessa 5 ja sisäänkäyntiä 3.

VASTAUS: sisäänkäyntiä - 7, asuntoja kerroksessa - 5, sisäänkäynnit - 3.

Vaihto

Saat kultakolikoita hopeasta ja kuparista;

Saat x hopeakolikoita kultaa ja 1 kuparia.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Vaihtokeskuksen jälkeen hänellä oli vähemmän hopeakolikoita, ei kultakolikoita, mutta C-kuparikolikoita ilmestyi. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

Vaihtopisteessä on kaksi vaihtojärjestelmää:

ESIMERKKI

AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:

RATKAISU

5 kultaa = 4 hopeaa + 1 kupari

10 hopeaa = 7 kultaa + 1 kupari

koska kultakolikoita ei ilmestynyt, tarvitsemme vaihtojärjestelmän ilman kultakolikoita. Siksi kultakolikoiden lukumäärän on oltava yhtä suuri molemmissa tapauksissa. Meidän on löydettävä lukujen 5 ja 7 pienin yhteinen kerrannainen ja tuotava kultamme molemmissa tapauksissa siihen:

35 kultaa = 28 hopeaa + 7 kuparia

50 hopeaa = 35 kultaa + 5 kuparia

seurauksena saamme

50 hopeaa = 28 hopeaa + 12 kuparia

Löysimme vaihtojärjestelmän, joka ohitti kultakolikot, nyt meidän on kuparikolikoiden lukumäärän perusteella selvitettävä, kuinka monta kertaa tällainen operaatio suoritettiin

N=60/12=5

Tuloksena saamme

250 hopeaa = 140 hopeaa + 60 kuparia

Korvaamalla ja saatuamme lopullisen vaihdon saamme selville, kuinka paljon hopeaa vaihdettiin. Joten - luku pieneni 250-140 = 110

VASTAUS 110 kolikolle

6. MAAPALLO

Maapallon pinnalle on piirretty merkillä x-parametrit ja y-meridiaani. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakoivat maapallon pinnan? (meridiaani on ympyrän kaari, joka yhdistää pohjois- ja etelänavan, ja yhdensuuntaisuus on maapallon osan rajaa päiväntasaajan tason kanssa yhdensuuntaisella tasolla).

RATKAISU:

Koska yhdensuuntaisuus on maapallon tason raja, niin maapallo jaetaan kahteen osaan, kaksi kolmeen osaan, x x + 1 osaan

Meridiaani on ympyrän kaari (tarkemmin puoliympyrä) ja meridiaani jakaa pinnan y osaan, joten kokonaismäärä on (x + 1) * y osaa.

ESIMERKKI

Samanlaisen päättelyn jälkeen saamme:

(30+1)*24=744 (osia)

VASTAUS: 744 osaa

7. PISTOKSET

Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos leikkaat tikun punaisia viivoja pitkin, saat A-kappaleita, jos keltaisia viivoja pitkin - B-kappaleita ja jos vihreitä viivoja pitkin - paloista. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

RATKAISU

Ratkaisua varten otamme huomioon, että kappaleiden lukumäärä on 1 enemmän kuin leikkausten lukumäärä. Nyt sinun on selvitettävä, kuinka monta riviä tikkuun on merkitty. Saamme punaisen (A-1), keltaisen - (B-1), vihreän - (C-1). Kun olet löytänyt kunkin värin rivien lukumäärän ja laskenut ne yhteen, saamme rivien kokonaismäärän: (A-1) + (B-1) + (C-1). Lisäämme tuloksena olevaan numeroon yhden (koska kappaleiden lukumäärä on yksi enemmän kuin leikkausten lukumäärä), saamme kappaleiden lukumäärän, jos leikkaamme kaikkia viivoja pitkin.

ESIMERKKI

Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos näit tikun punaisia viivoja pitkin, saat 7 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 13 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 5 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

RATKAISU

Rivien lukumäärän löytäminen

Punaiset: 7-1=6

Keltainen: 13-1=12

Vihreät: 5-1=4

Rivien kokonaismäärä: 6+12+4=22

Sitten kappalemäärä: 22+1=23

VASTAUS: 23 kpl

8. SARAKE JA RIVI

AT taulukon jokainen solu sijoitettiin luonnollisen luvun mukaan siten, että ensimmäisen sarakkeen kaikkien numeroiden summa on yhtä suuri kuin C1, toisessa - C2, kolmannessa - C3 ja kunkin rivin numeroiden summa. on suurempi kuin Y1, mutta pienempi kuin Y2. Kuinka monta riviä taulukossa on?

RATKAISU

Koska taulukon solujen luvut eivät muutu, taulukon kaikkien lukujen summa on: C=C1+C2+C3.

Kiinnitetään nyt huomiota siihen, että taulukko koostuu luonnollisista luvuista, mikä tarkoittaa, että rivien lukujen summan tulee olla kokonaislukuja ja olla välillä (Y1 + 1) - (Y2-1) (rivien summan takia on tiukasti rajoitettu). Nyt voimme arvioida rivien lukumäärän:

C / (Y1 + 1) - enimmäismäärä

C / (U2-1) - vähimmäismäärä

ESIMERKKI

AT Taulukossa on kolme saraketta ja useita rivejä. AT

RATKAISU

Etsi taulukon summa

С=85+77+71=233

Määritellään rivien summan rajat

12+1=13 – minimi

15-1 = 14 - maksimi

Arvioi taulukon rivien määrä

233/13 = 17,92 maksimi

233/14 = 16,64 vähintään

Näissä rajoissa on vain yksi kokonaisluku - 17

VASTAUS: 17

9. TANKKAUS KEHALLA

ja D. Etäisyys välillä A ja B - 35 km, välillä A ja B - 20 km, välillä B ja G - 20 km, välillä G ja A ja V.

RATKAISU

Kun olet lukenut tehtävän huolellisesti, huomaamme, että käytännössä ympyrä on jaettu kolmeen kaareen AB, VG ja AG. Tämän perusteella löydämme koko ympyrän (renkaan) pituuden. Tässä tehtävässä se on 20+20+30=70 (km).

Nyt, kun kaikki pisteet on asetettu ympyrään ja allekirjoitettu vastaavien kaarien pituudet, on helppo määrittää tarvittava etäisyys. Tässä tehtävässä BV=AB-AB, eli BV=35-20=15

VASTAUS: 15 km

10. Yhdistelmät

RATKAISU

Tämän tyyppisen ongelman ratkaisemiseksi muista, mikä faktoriaali on.

Luvun faktoriaaliN! jota kutsutaan peräkkäisten lukujen tuloksi 1:stäN, eli 4!=1*2*3*4.

Nyt takaisin tehtävään. Selvitä kuutioiden kokonaismäärä: 3+1+1=5. Koska meillä on kolme samanväristä kuutiota, kuutioiden kokonaismäärä saadaan selville kaavalla 5!/3! Saamme (5*4*3*2*1)/(1*2*3)=5*4=20

VASTAUS: 20 tapaa järjestää

11 . KAIVOT

Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivaavat hänelle kaivon seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksaa heille X ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - Y ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka monta ruplaa omistaja joutuu maksamaan työntekijöille, jos he kaivavat kaivon?Nmetriä?

RATKAISU:

Koska omistaja nostaa kunkin mittarin hintaa, hän maksaa toisesta (X + Y), kolmannesta - (X + 2Y), neljännestä (X + 3Y) jne. Ei ole vaikea nähdä, että tämä maksujärjestelmä muistuttaa aritmeettista progressiota, jossa a1 = X,d= Y, n= N. Sitten

Työstä maksettava palkka ei ole muuta kuin tämän etenemisen summa:

S= ( (2a₁ +d(n-1))/2) n

ESIMERKKI:

RATKAISU

Yllä olevan perusteella saammea1=4200

d = 1300

n = 11

Korvaamalla nämä tiedot kaavaamme, saamme

S=((2*4200+1300(11-1)/2)*11=((8400+13000)/2)*11=10700*11=117700

VASTAUS: 117700

12 . POSTIT JA JOHDOT

X-napa on kytketty johtoilla siten, että tarkalleen Y johtoa ulottuu jokaisesta. Kuinka monta johtoa on pujotettu napojen väliin?

RATKAISU

Selvitä, kuinka monta rakoa pilarien välillä. Kahden välillä on yksi rako, kolmen välillä - kaksi, neljän välillä - 3, välillä X - (X-1).

Jokaisessa raossa Y johtimia, sitten (X-1) * Y on napojen välisten johtimien kokonaismäärä.

ESIMERKKI

Kymmenen napaa on yhdistetty johtoilla siten, että jokaisesta tulee ulos tarkalleen 6 johtoa. Kuinka monta johtoa on pujotettu napojen väliin?

RATKAISU

Palataksemme edelliseen merkintään, saamme:

X = 9 Y = 6

Sitten saadaan (9-1)*6=8*6=48

VASTAUS: 48

13. SAHALAAUDAT JA TUKI

Tukkeja oli useita. He tekivät X leikkauksen ja se osoittautui kömpelöksi. Montako puuta leikattiin?

RATKAISU

Ratkaiseessa tehdään yksi huomautus: joihinkin ongelmiin ei aina ole matemaattista ratkaisua.

Nyt tehtävään. Päätettäessä tulee huomioida, että tukkeja on useampi kuin yksi ja jokaista tukkia sahattaessa saadaan = 1 kpl.

Tämäntyyppinen ongelma on helpompi ratkaista valintamenetelmällä:

Olkoon kaksi puuta, niin palat ovat 13 + 2 = 15

Otetaan kolme, niin saadaan 13+3=16

Ja tässä näkyy riippuvuus siitä, että leikkausten ja kappaleiden määrä kasvaa samalla tavalla, eli leikattavien hirsien määrä on yhtä suuri kuin Y-X

ESIMERKKI

Tukkeja oli useita. Teimme 13 leikkausta ja saimme 20 chubachkia. Montako puuta leikattiin?

RATKAISU

Palataksemme perusteluihimme, voimme poimia, tai voit vain 20-13 \u003d 7 tarkoittaa vain 7 lokia

Vastaus 7

14 . MENETETYT SIVUT

Kirjasta putosi useita sivuja. Ensimmäisellä pudonneista sivuista on numero X ja viimeisen numero kirjoitetaan samoilla numeroilla jossain muussa järjestyksessä. Kuinka monta sivua kirjasta putosi?

RATKAISU

Pudonneiden sivujen numerointi alkaa parittomalla numerolla ja päättyy parilliseen numeroon. Siksi me, koska tiedämme, että viimeksi pudonneen numero on kirjoitettu samoilla numeroilla, tiedämme sen viimeisen numeron, että ensimmäinen pudonnut. Muutamalla loput numerot ja ottaen huomioon, että sivunumeron on oltava suurempi kuin ensimmäinen, saamme sen numeron. Tietäen sivunumerot, voit laskea kuinka monta niistä putosi, samalla kun otetaan huomioon, että myös sivu X putosi. Joten tuloksena olevasta luvusta meidän on vähennettävä luku (X-1)

ESIMERKKI

Kirjasta putosi useita sivuja. Pudonneista sivuista ensimmäisen numero on 387 ja viimeisen sivun numero kirjoitetaan samoilla numeroilla jossain muussa järjestyksessä. Kuinka monta sivua kirjasta putosi?

RATKAISU

Päättelymme perusteella saamme, että viimeksi pudonneen sivun numeron tulee päättyä numeroon 8. Meillä on siis vain kaksi vaihtoehtoa numeroille, nämä ovat 378 ja 738. 378 ei sovi meille, koska se on pienempi kuin ensimmäinen pudonnut sivu, mikä tarkoittaa, että viimeinen pudonnut sivu on 738.

738-(387-1)=352

VASTAUS: 352

Seuraavat on lisättävä: joskus he pyytävät sinua ilmoittamaan arkkien lukumäärän, sitten sivujen lukumäärä tulisi jakaa puoleen.

15. VIIMEINEN LUOKKA

Neljänneksen lopussa Pikku Johnny kirjoitti nykyiset arvosanansa laulussa peräkkäin ja laittoi kertomerkin joidenkin väliin. Saatujen lukujen tulot osoittautuivat yhtä suuriksi kuin X. Mikä merkki Vovochkalla on lauluneljänneksessä?

RATKAISU

Tämän tyyppistä ongelmaa ratkaistaessa on otettava huomioon, että sen estimaatit ovat 2, 3, 4 ja 5. Siksi meidän on jaettava luku X tekijöiksi 2, 3, 4 ja 5. Lisäksi loput laajennuksen tulisi koostua myös näistä luvuista.

ESIMERKKI1

Neljänneksen lopussa Pikku Johnny kirjoitti nykyiset arvosanansa laulussa peräkkäin ja laittoi kertomerkin joidenkin väliin. Tuloksena saatujen lukujen tulot osoittautuivat yhtä suuriksi kuin 2007. Mikä merkki Vovochkalla on lauluneljänneksellä?

RATKAISU

Lasketaan luku 2007

Saamme 2007=3*3*223

Joten hänen arvosanansa ovat: 3 3 2 2 3 Etsi nyt hänen arvosanojensa aritmeettinen keskiarvo tälle joukolle 2,6, joten hänen arvosanansa on kolme (suurempi kuin 2,5)

VASTAUS 3

ESIMERKKI 2

Neljänneksen lopussa Vovochka kirjoitti peräkkäin kaikki pisteensä yhdestä aineesta, niitä oli 5, ja laittoi kertolaskumerkit joidenkin väliin. Saatujen lukujen tuloksi muodostui 690. Minkä arvosanan Vovochka saa tässä aineessa neljänneksellä, jos opettaja laittaa vain arvosanat 2, 3, 4 ja 5 ja neljänneksen viimeinen arvosana on kaikkien aritmeettinen keskiarvo nykyiset merkit pyöristyssääntöjen mukaisesti pyöristettyinä? (Esimerkiksi: 2,4 kierrosta kahteen; 3,5 kierrosta neljään ja 4,8 kierrosta viiteen.)

RATKAISU

Kerromme 690 siten, että jaottelun loppuosa koostuu luvuista 2 3 4 5

690=3*5*2*23

Tästä syystä hänen pisteet: 3 5 2 2 3

Etsitään näiden lukujen aritmeettinen keskiarvo: (3+5+2+2+3)/5=3

Tämä on hänen arvionsa.

VASTAUS: 3

16 . VALIKKO

Ravintolamenussa on X-tyyppisiä salaatteja, Y-tyyppisiä ensiruokia, A-tyyppejä kakkosruokia ja B-tyyppisiä jälkiruokia. Kuinka monesta salaatti-, ensimmäinen-, toinen- ja jälkiruokalounasvaihtoehdosta ruokailijat voivat valita tässä ravintolassa?

RATKAISU

Ratkaiseessa leikkaamme valikkoa hieman: anna olla vain salaatti ja sitten ensimmäisistä vaihtoehdoista tulee (X * Y). Lisätään nyt toinen ruokalaji, vaihtoehtojen määrä kasvaa A kertaa ja tulee (X*Y*A). Lisätään nyt jälkiruoka. Vaihtoehtojen määrä kasvaa B-kertaisesti

Nyt saamme lopullisen vastauksen:

N=X*U*A*B

ESIMERKKI

RATKAISU
Yllä olevan perusteella saamme:

N = 6 * 3 * 5 * 4 = 360

VASTAUS: 360

17 . JAKAAMME ILMAN JÄÄNTÄ

Tässä osiossa tarkastelemme tehtäviä tietyssä esimerkissä selvyyden vuoksi.

Koska meillä on peräkkäisten lukujen tulo ja niitä on enemmän kuin 7, niin ainakin yhden on oltava jaollinen 7:llä. Meillä on siis tulo, jonka yksi tekijöistä on jaollinen 7:llä, joten koko tulo on myös jaollinen seitsemällä, mikä tarkoittaa, että jaon loppuosa on yhtä suuri kuin nolla, tai toisessa tehtävässä tekijöiden lukumäärän on oltava yhtä suuri kuin jakaja.

18. MATKAILIJAT

Käsittelemme myös tämäntyyppisiä tehtäviä erityisellä esimerkillä.

Ensin määritellään, mitä meidän on löydettävä: reitin aika = nousu + lepo + lasku

Loput tiedämme, nyt meidän on löydettävä nousu- ja laskeutumisaika

Tehtävää lukiessa näemme, että molemmissa tapauksissa (nousu ja lasku) aika riippuu aritmeettisena progressiona, mutta emme silti tiedä, mikä korkeus nousu oli, vaikka sitä ei ole vaikea löytää:

H=(95-50)15+1=4

Olemme löytäneet nousun korkeuden, nyt löydämme nousuajan aritmeettisen progression summana: Nousu = ((2*50+15*(4-1))*4)/2=290 minuuttia

Samoin huomaamme, että nyt etenemisero on -10. Saamme Tdesc=((2*60-10(4-1))*4)/2= 180 minuuttia.

Kun tiedät kaikki komponentit, voit laskea reitin kokonaisajan:

T-reitti = 290 + 180 + 10 = 480 minuuttia tai muuttamalla tunneiksi (jaettuna 60:llä) saadaan 8 tuntia.

VASTAUS: 8 tuntia

19. SUORAKULMIOT

Suorakulmioissa on kahdenlaisia ongelmia: kehälle ja alueille.

Tällaisen tehtäväsuunnitelman ratkaisemiseksi on helppo todistaa, että kun jaetaan mikä tahansa suorakulmio kahdella suoralla leikkauksella, saadaan neljä suorakulmiota, joille seuraavat suhteet ovat aina voimassa:

P1+P2=P3+P4

S1*S2=S3*S4,

missä R – ympärysmitta , S - neliö

Näiden suhteiden perusteella voimme helposti ratkaista seuraavat ongelmat

19.1. Kehät

RATKAISU

Yllä olevan perusteella saamme

24+16=28+X

X=(24+16)-28=12

VASTAUS: 12

19.2 ALUEET

Suorakulmio on jaettu neljään pieneen suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen pinta-alat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 18, 12 ja 20. Etsi neljännen suorakulmion pinta-ala.

RATKAISU

Tuloksena oleville suorakulmioille on suoritettava seuraava:

18*20=12*X

Sitten X=(18*20)/12=30

VASTAUS: 30

20. TÄÄLLÄ

Etana ryömii puuta ylös A m päivässä ja liukuu alas B m yössä. Puun korkeus on C m. Kuinka monessa päivässä etana ryömii puun latvaan ensimmäistä kertaa ?

RATKAISU

Yhdessä päivässä etana voi nousta (A-B) metrin korkeuteen. Koska hän voi kiivetä korkeudelle A yhdessä päivässä, hänen on voitettava korkeus (C-A) ennen viimeistä nousua. Tämän perusteella saadaan, että se nousee (C-A) \ (A-B) + 1 (lisäämme yhden, koska se nousee korkeuteen A yhdessä päivässä).

ESIMERKKI

RATKAISU

Palataksemme perusteluihimme, saamme

(10-4)/(4-3)+1=7

VASTAA 7 päivän kuluessa

On syytä huomata, että tällä tavalla on mahdollista ratkaista jotain täyttämisongelmia, kun jotain tulee sisään ja jotain virtaa ulos.

21. SUORAT HYPYT

Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentin verran hyppyä kohti. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi saavuttaa X hypyn jälkeen, alkaen origosta?

RATKAISU

Oletetaan, että heinäsirkka tekee kaikki hyppyt yhteen suuntaan, jolloin se osuu pisteeseen, jonka koordinaatti on X. Nyt se hyppää eteenpäin (X-1) hyppyjä varten ja yhden takaisin: se osuu pisteeseen, jonka koordinaatti on (X-2). Kun otetaan huomioon kaikki hänen hyppynsä tällä tavalla, voit nähdä, että hän on pisteissä, joilla on koordinaatit X, (X-2), (X-4) jne. Tämä riippuvuus ei ole muuta kuin aritmeettinen eteneminen erollad\u003d -2 ja a1 \u003d X jaan=- X. Sitten tämän etenemisen jäsenten lukumäärä on se pistemäärä, jossa se voi olla. Etsitään ne

an=a1+d(n-1)

X=X+d(n-1)

2X = -2 (n-1)

n = X+1

ESIMERKKI

RATKAISU

Yllä olevien havaintojen perusteella saamme

10+1=11

VASTAUS 11 pistettä

TEHTÄVÄT ITSENÄISTÄ RATKAISUA VARTEN:

1. Joka sekunti bakteeri jakautuu kahdeksi uudeksi bakteeriksi. Tiedetään, että yhden lasillisen bakteereja täytetään kokonaisuudessaan tunnissa. Kuinka monessa sekunnissa lasi on puoliksi täynnä bakteereja?

2. Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos näit tikun punaisia viivoja pitkin, saat 15 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 5 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 7 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

3. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yhden segmentin per hyppy. Heinäsirkka alkaa hypätä alkuperästä. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka pääsee tasan 11 hypyn jälkeen?

4. Korissa on 40 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 17 sienen joukossa on vähintään yksi kamelina ja 25 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

5. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu asunnon nro 462 seitsemännessä sisäänkäynnissä, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli seitsemän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

6. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu kahdeksannessa sisäänkäynnissä huoneistossa nro 468, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli kaksitoista kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

7. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu kahdestoista sisäänkäynnissä huoneistossa nro 465, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli viisi kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

8. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu kymmenennessä sisäänkäynnissä huoneistossa nro 333, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli yhdeksän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

9. Valmentaja neuvoi Andreya viettämään 15 minuuttia juoksumatolla ensimmäisenä luokkapäivänä ja jokaisella seuraavalla oppitunnilla lisäämään juoksumatolla vietettyä aikaa 7 minuutilla. Kuinka monta harjoitusta Andrey viettää juoksumatolla yhteensä 2 tuntia ja 25 minuuttia, jos hän noudattaa valmentajan neuvoja?

10. Lääkäri määräsi potilaan ottamaan lääkkeen seuraavan järjestelmän mukaisesti: ensimmäisenä päivänä hänen tulee ottaa 3 tippaa ja jokaisena seuraavana päivänä - 3 tippaa enemmän kuin edellisellä. Otettuaan 30 tippaa hän juo 30 tippaa lääkettä vielä 3 päivän ajan ja vähentää sitten saantia 3 tippaa päivittäin. Kuinka monta lääkepulloa potilaan tulee ostaa koko hoitojaksoa varten, jos jokainen sisältää 20 ml lääkettä (joka on 250 tippaa)?

11. Lääkäri määräsi potilaan ottamaan lääkkeen seuraavan järjestelmän mukaisesti: ensimmäisenä päivänä hänen tulee ottaa 20 tippaa ja jokaisena seuraavana päivänä - 3 tippaa enemmän kuin edellisellä. 15 päivän ottamisen jälkeen potilas pitää 3 päivän tauon ja jatkaa lääkkeen ottamista käänteisen kaavion mukaisesti: 19. päivänä hän ottaa saman määrän tippoja kuin 15. päivänä ja pienentää sitten annosta 3 tippaa. päivittäin, kunnes annos on alle 3 tippaa päivässä. Kuinka monta lääkepulloa potilaan tulee ostaa koko hoitojaksoa varten, jos jokainen sisältää 200 tippaa?

12. Kymmenen peräkkäisen luvun tulo jaetaan 7:llä. Mikä voi olla jäännös?

13. Kuinka monella tavalla voidaan asettaa riviin kaksi identtistä punaista noppaa, kolme identtistä vihreää noppaa ja yksi sininen noppaa?

14. Täysi ämpäri vettä, jonka tilavuus on 8 litraa, kaadetaan 38 litran säiliöön joka tunti alkaen kello 12. Mutta säiliön pohjassa on pieni rako ja siitä valuu tunnissa 3 litraa. Millä hetkellä (tunteina) säiliö täyttyy kokonaan.

15. Mikä on pienin määrä peräkkäisiä lukuja, jotka on otettava, jotta niiden tulo on jaollinen 7:llä?

16. Tulvan seurauksena kuoppa täyttyi vedellä 2 metrin korkeuteen asti. Rakennuspumppu pumppaa jatkuvasti vettä ja laskee sen tasoa 20 cm tunnissa. Pohjavesi päinvastoin nostaa vedenpintaa kaivossa 5 cm tunnissa. Kuinka monta tuntia pumppua käytettäessä kaivon vedenpinta laskee 80 cm:iin?

17. Ravintolan ruokalistalla on 6 erilaista salaattia, 3 erilaista ensiruokaa, 5 erilaista jälkiruokaa ja 4 erilaista jälkiruokaa. Kuinka monta salaatti-, ensimmäinen-, toinen- ja jälkiruokalounasvaihtoehtoa tämän ravintolan ruokailijat voivat valita?

18. Öljy-yhtiö poraa öljyntuotantoa varten kaivoa, joka geologisen tutkimuksen mukaan sijaitsee 3 km:n syvyydessä. Työpäivän aikana kaivot menevät 300 metrin syvyyteen, mutta yöllä kaivo "liettyy" taas, eli se täyttyy maaperällä 30 metriä. Kuinka monta työpäivää öljytyöntekijät poraavat kaivon öljyn syvyyteen?

19. Mikä on pienin määrä peräkkäisiä lukuja, jotka on otettava, jotta niiden tulo on jaollinen 9:llä?

20.

2 kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;

5 hopeakolikosta saat 3 kultaa ja yksi kupari.

21. Maapallon pinnalle piirrettiin huopakynällä 12 yhdensuuntaisuutta ja 22 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakoivat maapallon pinnan?

Meridiaani on ympyrän kaari, joka yhdistää pohjois- ja etelänavan. Yhdensuuntainen on ympyrä, joka sijaitsee yhdensuuntaisessa tasossa päiväntasaajan tason kanssa.

22. Korissa on 50 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 28 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 24 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

23. Turistiryhmä ylitti vuorensolan. He kulkivat nousun ensimmäisen kilometrin 50 minuutissa ja jokainen seuraava kilometri oli 15 minuuttia pidempi kuin edellinen. Viimeinen kilometri ennen huippua ajettiin 95 minuutissa. Kymmenen minuutin tauon jälkeen huipulla turistit aloittivat laskeutumisen, joka oli lempeämpi. Ensimmäinen kilometri huipun jälkeen ajettiin tunnissa ja jokainen seuraava on 10 minuuttia nopeampi kuin edellinen. Kuinka monta tuntia ryhmä vietti koko reitillä, jos laskun viimeinen kilometri ajettiin 10 minuutissa.

24. Kehätiellä on neljä huoltoasemaa: A, B, C ja D. Etäisyys A:n ja B:n välillä on 35 km, välillä A ja C on 20 km, välillä C ja D on 20 km, välillä D ja A on 30 km. km (kaikki etäisyydet mitattuna kehätietä pitkin lyhimpään suuntaan). Etsi B:n ja C:n välinen etäisyys. Anna vastauksesi kilometreinä.

25. Kehätiellä on neljä huoltoasemaa: A, B, C ja D. Etäisyys A:n ja B:n välillä on 50 km, välillä A ja C on 40 km, välillä C ja D on 25 km, välillä D ja A on 35 km. km (kaikki etäisyydet mitattuna kehätietä pitkin lyhimpään suuntaan). Etsi etäisyys B:n ja C:n välillä.

26. Luokassa on 25 oppilasta. Useat heistä kävivät elokuvissa, 18 henkilöä teatterissa ja 12 henkilöä elokuvissa ja teatterissa. Tiedetään, että kolme ei käynyt elokuvissa tai teatterissa. Kuinka moni luokassa kävi elokuvissa?

27. Mooren empiirisen lain mukaan keskimääräinen transistorien määrä sirulla kaksinkertaistuu joka vuosi. Tiedetään, että vuonna 2005 keskimääräinen transistoreiden määrä sirulla oli 520 miljoonaa. Selvitä kuinka monta miljoonaa transistoria sirulla oli keskimäärin vuonna 2003.

28. Elokuvasalin ensimmäisellä rivillä on 24 paikkaa ja jokaisella seuraavalla rivillä on 2 enemmän kuin edellisessä. Kuinka monta paikkaa on kahdeksannessa rivissä?

29. Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos leikkaat tikun punaisia viivoja pitkin, saat 5 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 7 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 11 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

30. Kodinkoneliikkeessä jääkaappien myynti on kausiluonteista. Tammikuussa jääkaappeja myytiin 10 kappaletta ja seuraavan kolmen kuukauden aikana 10 jääkaappia. Toukokuusta myynti on kasvanut 15 yksikköä edelliseen kuukauteen verrattuna. Syyskuusta lähtien myynti alkoi laskea 15 jääkaappilla joka kuukausi edelliseen kuukauteen verrattuna. Kuinka monta jääkaappia kauppa myi vuodessa?

31. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

1) 3 kultakolikosta saat 4 hopeaa ja yksi kupari;

2) 6 hopeakolikosta saat 4 kultaa ja yksi kupari.

Nikolailla oli vain hopeakolikoita. Vierailun jälkeen valuutanvaihtopisteessä hänellä oli vähemmän hopeakolikoita, ei kultakolikoita, mutta 35 kuparikolikkoa ilmestyi. Kuinka paljon Nikolan hopearahojen määrä väheni?

32. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu asunnon nro 462 seitsemännessä sisäänkäynnissä, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli seitsemän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Asuntojen määrä jokaisessa kerroksessa on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

33. Talon kaikissa sisäänkäynneissä on sama kerrosluku ja jokaisessa kerroksessa on sama määrä asuntoja. Samaan aikaan rakennuksen kerrosten määrä on suurempi kuin asuntojen määrä kerrosta kohti, asuntojen määrä kerrosta kohti on suurempi kuin sisäänkäyntien määrä ja sisäänkäyntien lukumäärä on enemmän kuin yksi. Kuinka monta kerrosta rakennuksessa on, jos asuntoja on yhteensä 110?

34. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentin verran hyppyä kohti. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi saavuttaa tehtyään tarkalleen 6 hyppyä, alkaen origosta?

35. Korissa on 40 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 17 sienen joukossa on vähintään yksi kamelina ja 25 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

36. Korissa on 25 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 11 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 16 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

37. Korissa on 30 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 12 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja 20 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

38. Maapallolle piirrettiin huopakynällä 17 yhdensuuntaisuutta (mukaan lukien päiväntasaaja) ja 24 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakavat maapallon pinnan?

39. Etana ryömii 4 m puuta ylös päivässä ja liukuu 3 m yössä. Puun korkeus on 10 m. Kuinka monta päivää kestää, että etana ryömii puun latvaan ensimmäistä kertaa ?

40. Etana ryömii 4 m puuta ylös päivässä ja liukuu 1 m yössä. Puun korkeus on 13 m. Kuinka monessa päivässä etana ryömii puun latvaan ensimmäistä kertaa?

41. Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivaavat hänelle kaivon seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksaa heille 4200 ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - 1300 ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka paljon rahaa omistajan on maksettava työntekijöille, jos he kaivavat 11 metriä syvän kaivon?

42. Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivavat kaivoa seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksoi heille 3500 ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - 1600 ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka paljon rahaa omistajan on maksettava työntekijöille, jos he kaivavat 9 metriä syvän kaivon?

43. Korissa on 45 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 23 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 24 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

44. Korissa on 25 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että minkä tahansa 11 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja mistä tahansa 16 sienestä vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

45. Tietokilpailun tehtävälista koostui 25 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai 7 pistettä, väärästä vastauksesta häneltä vähennettiin 10 pistettä ja jos vastausta ei tullut, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta antoi oppilas, joka sai 42 pistettä, jos tiedetään, että hän oli vähintään kerran väärässä?

46. Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos näit tikun punaisia viivoja pitkin, saat 5 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 7 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 11 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

47. Etana ryömii puuta ylös 2 m päivässä ja liukuu alas 1 m yössä. Puun korkeus on 11 m. Kuinka monta päivää kestää etana ryömimään tyvestä puun latvaan ?

48. Etana ryömii 4 m puuta ylös päivässä ja liukuu 2 m yössä. Puun korkeus on 14 m. Kuinka monta päivää kestää etanan ryömiminen tyvestä puun latvaan?

49. Suorakulmio on jaettu neljään pienempään suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen ympärysmitat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 24, 28 ja 16. Etsi neljännen suorakulmion kehä.

50. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

1) kahdesta kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;

2) 5 hopeakolikosta saat 3 kultaa ja yksi kupari.

51. Suorakulmio on jaettu neljään pienempään suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen ympärysmitat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 24, 28 ja 16. Etsi neljännen suorakulmion kehä.

52. Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

1) 4 kultakolikosta saat 5 hopeaa ja yksi kupari;

2) 7 hopeakolikosta saat 5 kultaa ja yksi kupari.

Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden valuutanvaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoja ilmestyi 90 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

53. Talon kaikissa sisäänkäynneissä on sama kerrosluku ja jokaisessa kerroksessa on sama määrä asuntoja. Samaan aikaan talon sisäänkäyntien määrä on pienempi kuin asuntojen määrä kerrosta kohti, asuntojen määrä kerrosta kohden on pienempi kuin kerrosten lukumäärä, sisäänkäyntien lukumäärä on enemmän kuin yksi ja kerrosten lukumäärä on enintään 24. Kuinka monta kerrosta talossa on, jos siinä on vain 156 asuntoa?

54. AT Luokassa on 26 oppilasta. Useat heistä kuuntelevat rockia, 14 ihmistä kuuntelee räppiä ja vain kolme kuuntelee sekä rockia että rapia. Tiedetään, että neljä ei kuuntele rockia tai räppiä. Kuinka moni luokassa kuuntelee rockia?

55. AT Häkissä on 35 kalaa: ahvenia ja särkiä. Tiedetään, että 21 kalan joukossa on vähintään yksi särki ja 16 kalan joukossa vähintään yksi ahven. Kuinka monta särkiä puutarhassa on?

56. Maapallon pinnalle piirrettiin merkinnällä 30 yhdensuuntaisuutta ja 24 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakoivat maapallon pinnan? (meridiaani on ympyrän kaari, joka yhdistää pohjois- ja etelänavan, ja yhdensuuntaisuus on maapallon osan rajaa päiväntasaajan tason kanssa yhdensuuntaisella tasolla).

57. AT esihistoriallinen valuutanvaihtotoimisto voisi tehdä jommankumman kahdesta asiasta:
- 2 luolalijonan nahasta saat 5 tiikerin nahkaa ja 1 villisian nahkaa;
- Saat 7 tiikerinnahkaa 2 luolaleijonanahkaa ja 1 villisian nahkaa.
Unilla, Härän pojalla, oli vain tiikerin nahat. Useiden vaihtopisteiden käyntien jälkeen tiikerinnahat eivät lisääntyneet, luolaleijonanahot eivät ilmestyneet, mutta 80 villisian nahkaa ilmestyi. Kuinka paljon Un, Härän poika, vähensi tiikerinnahkojen määrää lopulta?

58. AT Armeijayksikössä 32103 on 3 erilaista salaattia, 2 tyyppiä ensimmäinen ruokalaji, 3 tyyppiä toinen ruokalaji ja valikoima kompottia tai teetä. Kuinka monta lounasvaihtoehtoa, jonka tulee koostua yhdestä salaatista, yhdestä ensimmäisestä ruokalajista, yhdestä toisesta ruokalajista ja yhdestä juomasta, tämän sotilasyksikön sotilaat voivat valita?

59. Etana ryömii päivällä 5 metriä puuta ylös ja yöllä 3 metriä alas. Puun korkeus on 17 metriä. Minä päivänä etana ryömii puun latvaan ensimmäistä kertaa?

60. Kuinka monella tavalla voidaan asettaa peräkkäin kolme samanlaista keltaista kuutiota, yksi sininen kuutio ja yksi vihreä kuutio?

61. Kuudentoista peräkkäisen luonnollisen luvun tulo jaetaan 11:llä. Mikä voi olla jaon jäännös?

62. Joka minuutti bakteeri jakautuu kahdeksi uudeksi bakteeriksi. Tiedetään, että bakteerit täyttävät kolmen litran purkin koko tilavuuden 4 tunnissa. Kuinka monta sekuntia bakteereista kestää täyttää neljännes purkista?

63. Tietokilpailun tehtävälista koostui 36 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai 5 pistettä, väärästä vastauksesta häneltä vähennettiin 11 pistettä ja jos vastausta ei tullut, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta 75 pistettä saanut opiskelija antoi, jos tiedetään, että hän oli vähintään kerran väärässä?

64. Heinäsirkka hyppää suoraa tietä, yhden hypyn pituus on 1 cm. Ensin hän hyppää 11 hyppyä eteenpäin, sitten 3 takaisin, sitten taas 11 hyppyä ja sitten 3 hyppyä taaksepäin ja niin edelleen, kuinka monta hyppyä hän tekee aika, jolloin hän löytää itsensä ensimmäisen kerran 100 cm:n etäisyydeltä lähdöstä.

65. Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos leikkaat tikun punaisia viivoja pitkin, saat 7 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 13 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 5 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

66. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
2 kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;
5 hopeakolikosta saat 3 kultaa ja yksi kupari.
Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Useiden valuutanvaihtopisteiden käyntien jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoa ilmestyi 50 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

67. Suorakulmio on jaettu neljään pienempään suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella.
Niistä kolmen ympärysmitat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 24, 28 ja 16. Etsi neljännen suorakulmion kehä.

68. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
1) 4 kultakolikosta saat 5 hopeaa ja yksi kupari;
2) 7 hopeakolikosta saat 5 kultaa ja yksi kupari.
Nikolailla oli vain hopeakolikoita. Vierailun jälkeen valuutanvaihtopisteessä hänellä oli vähemmän hopeakolikoita, ei kultakolikoita, mutta kuparikolikkoja ilmestyi 90 kappaletta. Kuinka paljon hopearahojen määrä väheni?

69. Etana ryömii 4 m puuta ylös päivässä ja liukuu 2 m yössä. Puun korkeus on 12 m. Kuinka monta päivää kestää etana ryömimään tyvestä puun latvaan?

70. Tietokilpailun tehtävälista koostui 32 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija saa 5 pistettä. Väärästä vastauksesta poistettiin 9 pistettä, jos vastausta ei tullut, 0 pistettä.
Kuinka monta oikeaa vastausta 75 pistettä saanut opiskelija antoi, jos hän oli väärässä vähintään 2 kertaa?

71. Tietokilpailun tehtävälista koostui 25 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai 7 pistettä, väärästä vastauksesta häneltä vähennettiin 10 pistettä ja jos vastausta ei tullut, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta antoi oppilas, joka sai 42 pistettä, jos tiedetään, että hän oli vähintään kerran väärässä?

72. Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivaavat hänelle kaivon seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksaa heille 4200 ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - 1300 ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka monta ruplaa omistaja joutuu maksamaan työntekijöille, jos he kaivavat 11 metriä syvän kaivon?

73. Suorakulmio on jaettu neljään pieneen suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen pinta-alat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 18, 12 ja 20. Etsi neljännen suorakulmion pinta-ala.

74. Suorakulmio on jaettu neljään pieneen suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen pinta-alat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 12, 18 ja 30. Etsi neljännen suorakulmion pinta-ala.

75. AT Taulukossa on kolme saraketta ja useita rivejä. AT taulukon jokainen solu sijoitettiin luonnollisen luvun mukaan siten, että ensimmäisen sarakkeen kaikkien numeroiden summa on 85, toisen - 77, kolmannen - 71 ja kunkin rivin numeroiden summa on suurempi kuin 12, mutta vähemmän kuin 15. Kuinka monta riviä taulukossa on?

76. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentin verran hyppyä kohti. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi päästä 10 hypyn jälkeen, alkaen origosta?

77. Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu asunnon nro 462 seitsemännessä sisäänkäynnissä, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli seitsemän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Kaikissa kerroksissa asuntojen määrä on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

78. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
2 kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;
7 hopeakolikosta saat 3 kultaa ja yksi kupari.
Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Vaihtotoimiston jälkeen hänellä ei ollut kultakolikoita, mutta 20 kuparikolikkoa ilmestyi. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

79. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentin verran hyppyä kohti. Kuinka monta eri pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi päästä 11 hypyn jälkeen, alkaen origosta?

80. Kehätiellä on neljä huoltoasemaa: A, B, C ja D. Etäisyys välillä A ja B - 35 km, välillä A ja B - 20 km, välillä B ja G - 20 km, välillä G ja A - 30 km (kaikki etäisyydet mitataan kehätietä pitkin lyhimmällä kaarella). Etsi etäisyys (kilometreinä) välillä B ja V.

81. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
4 kultakolikosta saat 5 hopeaa ja yksi kupari;
7 hopeakolikosta saa 5 kultaa ja yksi kupari.
Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Vaihtokeskuksen jälkeen hänellä oli vähemmän hopeakolikoita, kultakolikoita ei ollut, mutta kuparikolikkoja ilmestyi 90 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

82. Heinäsirkka hyppää koordinaattiviivaa pitkin mihin tahansa suuntaan yksikkösegmentillä per hyppy. Kuinka monta pistettä koordinaattiviivalla on, joihin heinäsirkka voi saavuttaa tehtyään tarkalleen 8 hyppyä, alkaen origosta?

83. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
5 kultakolikosta saat 4 hopeaa ja yksi kupari;
10 hopeakolikosta saat 7 kultaa ja yksi kupari.
Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Vaihtotoimiston jälkeen hänellä oli vähemmän hopeakolikoita, ei kultakolikoita, mutta kuparikolikkoja ilmestyi 60 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

84. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
viidestä kultakolikosta saat 6 hopeaa ja yksi kupari;
8 hopeakolikosta saa 6 kultaa ja yksi kupari.
Nikolauksella oli vain hopeakolikoita. Vaihtokeskuksen jälkeen hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei kultakolikoita, mutta kuparikolikkoja ilmestyi 55 kappaletta. Kuinka paljon Nikolauksen hopearahojen määrä väheni?

85. Kaikki talon sisäänkäynnit ovat yhtä monta kerrosta ja kaikissa kerroksissa on sama määrä asuntoja. Samaan aikaan talon kerrosten lukumäärä on suurempi kuin asuntojen määrä kerrosta kohti, asuntojen määrä kerrosta kohti on suurempi kuin sisäänkäyntien lukumäärä ja sisäänkäyntien lukumäärä on enemmän kuin yksi. Kuinka monta kerrosta rakennuksessa on, jos asuntoja on yhteensä 105?

86. AT Vaihtotoimisto voi suorittaa jommankumman kahdesta toiminnosta:
1) 3 kultakolikosta saat 4 hopeaa ja yksi kupari;
2) 7 hopeakolikosta saat 4 kultaa ja yksi kupari.
Nikolailla oli vain hopeakolikoita. Vierailun jälkeen valuutanvaihtopisteessä hänellä oli vähemmän hopearahoja, ei yhtään kultakolikoita, mutta kuparikolikkoa ilmestyi 42 kappaletta. Kuinka paljon Nikolan hopearahojen määrä väheni?

VASTAUKSIA

Yleinen keskiasteen koulutus

Line UMK G.K. Muravina. Algebra ja matemaattisen analyysin alku (10-11) (syvä)

Line UMK Merzlyak. Algebra ja analyysin alku (10-11) (U)

Matematiikka

Valmistautuminen matematiikan tenttiin (profiilitaso): tehtävät, ratkaisut ja selitykset

Analysoimme tehtäviä ja ratkaisemme esimerkkejä opettajan kanssa

Profiilitason koepaperi kestää 3 tuntia 55 minuuttia (235 minuuttia).

Minimikynnys- 27 pistettä.

Tenttipaperi koostuu kahdesta osasta, jotka eroavat sisällöltään, monimutkaisuuden ja tehtävien lukumäärän osalta.

Jokaisen työn osan määrittävä piirre on tehtävien muoto:

osa 1 sisältää 8 tehtävää (tehtävät 1-8), joissa on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa;
Osa 2 sisältää 4 tehtävää (tehtävät 9-12), joihin on lyhyt vastaus kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa, ja 7 tehtävää (tehtävät 13-19), joissa on yksityiskohtainen vastaus (täydellinen pöytäkirja päätöksenteon perusteluineen) suoritetut toimet).

Panova Svetlana Anatolievna, koulun korkeimman luokan matematiikan opettaja, työkokemus 20 vuotta:

”Opiskelutodistuksen saamiseksi valmistuneen on suoritettava kaksi pakollista yhtenäisen valtiontutkinnon koetta, joista yksi on matematiikka. Venäjän federaation matemaattisen koulutuksen kehittämiskonseptin mukaisesti matematiikan yhtenäinen valtiontutkinto on jaettu kahteen tasoon: perus- ja erikoistunut. Tänään tarkastelemme vaihtoehtoja profiilitasolle.

Tehtävä numero 1- tarkastaa USE-osallistujien kykyä soveltaa 5-9 luokalla hankittuja taitoja alkeismatematiikan käytännön toiminnassa. Osallistujalla tulee olla laskentataitoja, kyky työskennellä rationaalisten lukujen kanssa, pyöristää desimaalilukuja, osata muuntaa mittayksikkö toiseksi.

Esimerkki 1 Huoneistossa, jossa Petr asuu, asennettiin kylmävesimittari (mittari). Toukokuun ensimmäisenä päivänä mittari näytti 172 kuutiometrin kulutusta. m vettä ja ensimmäisenä kesäkuuta - 177 kuutiometriä. m. Kuinka paljon Pietarin pitäisi maksaa kylmästä vedestä toukokuussa, jos hinta on 1 cu. m kylmää vettä on 34 ruplaa 17 kopekkaa? Anna vastauksesi ruplissa.

Ratkaisu:

1) Laske kuukaudessa käytetty vesimäärä:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Selvitä, kuinka paljon käytetystä vedestä maksetaan:

34,17 5 = 170,85 (hankaa)

Vastaus: 170,85.

Tehtävä numero 2- on yksi kokeen yksinkertaisimmista tehtävistä. Suurin osa valmistuneista selviytyy siitä menestyksekkäästi, mikä osoittaa, että funktion käsitteen määritelmä on hallussa. Vaatimusten mukainen tehtävätyyppi nro 2 on tehtävä hankittujen tietojen ja taitojen hyödyntämiseksi käytännön toiminnassa ja arjessa. Tehtävä nro 2 koostuu erilaisten suureiden välisten todellisten suhteiden kuvaamisesta, funktioiden avulla ja niiden kuvaajien tulkitsemisesta. Tehtävä numero 2 testaa kykyä poimia taulukoissa, kaavioissa, kaavioissa esitettyä tietoa. Valmistuneiden tulee kyetä määrittämään funktion arvo argumentin arvon avulla erilaisilla funktion määrittelytavoilla ja kuvailla funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia sen kaavion mukaisesti. On myös osattava löytää suurin tai pienin arvo funktiokaaviosta ja rakentaa graafit tutkituista funktioista. Tehdyt virheet ovat luonteeltaan satunnaisia luettaessa ongelman ehtoja, luettaessa kaaviota.

#ADVERTISING_INSERT#

Esimerkki 2 Kuvassa näkyy kaivosyhtiön yhden osakkeen vaihto-arvon muutos huhtikuun 2017 ensimmäisellä puoliskolla. Liikemies osti 7. huhtikuuta 1 000 tämän yhtiön osaketta. Hän myi 10. huhtikuuta kolme neljäsosaa ostetuista osakkeista ja 13. huhtikuuta kaikki loput. Kuinka paljon liikemies menetti näiden toimien seurauksena?

Ratkaisu:

2) 1000 3/4 = 750 (osakkeet) - muodostavat 3/4 kaikista ostetuista osakkeista.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ruplaa) - liikemies sai 1000 osakkeen myynnin jälkeen.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (ruplaa) - liikemies menetti kaikkien toimintojen seurauksena.

Vastaus: 15000.

Tehtävä numero 3- on ensimmäisen osan perustason tehtävä, joka tarkistaa kyvyn suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla kurssin "Planimetria" sisällön mukaan. Tehtävä 3 testaa kykyä laskea kuvion pinta-ala ruudulliselle paperille, kykyä laskea kulmien astemittoja, laskea kehyksiä jne.

Esimerkki 3 Etsi ruudulliselle paperille piirretyn suorakulmion pinta-ala, jonka solukoko on 1 cm x 1 cm (katso kuva). Anna vastauksesi neliösenttimetrinä.

Ratkaisu: Voit laskea tämän kuvan pinta-alan käyttämällä Peak-kaavaa:

Tämän suorakulmion alueen laskemiseksi käytämme Peak-kaavaa:

S= B +	G
	2

missä V = 10, G = 6, siis

S = 18 +	6
	2

Vastaus: 20.

Katso myös: Unified State Examination in Physics: värähtelyongelmien ratkaiseminen

Tehtävä numero 4- kurssin "Todennäköisyyslaskenta ja tilastot" tehtävä. Testataan kykyä laskea tapahtuman todennäköisyys yksinkertaisimmassa tilanteessa.

Esimerkki 4 Ympyrässä on 5 punaista ja 1 sinistä pistettä. Selvitä, mitkä polygonit ovat suurempia: ne, joilla on kaikki punaiset kärjet, vai ne, joilla on yksi sinisistä pisteistä. Ilmoita vastauksessasi, kuinka monta enemmän yhtä kuin toista.

Ratkaisu: 1) Käytämme kaavaa yhdistelmien lukumäärälle alkaen n elementtejä k:

joiden kaikki kärjet ovat punaisia.

3) Yksi viisikulmio, jossa on kaikki punaiset kärjet.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonia, joissa on kaikki punaiset kärjet.

joiden kärjet ovat punaisia tai joilla on yksi sininen kärki.

8) Yksi kuusikulmio, jonka kärjet ovat punaisia, ja yksi sininen kärki.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonia, joissa on kaikki punaiset tai yksi sininen kärki.

10) 42 - 16 = 26 monikulmiota, jotka käyttävät sinistä pistettä.

11) 26 - 16 = 10 polygonia - kuinka monta polygonia, jonka yksi kärkipisteistä on sininen piste, on enemmän kuin polygoneja, joissa kaikki kärjet ovat vain punaisia.

Vastaus: 10.

Tehtävä numero 5- Ensimmäisen osan perustasolla testataan kykyä ratkaista yksinkertaisimmat yhtälöt (irrationaalinen, eksponentiaalinen, trigonometrinen, logaritminen).

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Ratkaisu. Jaa tämän yhtälön molemmat puolet luvulla 5 3 + X≠ 0, saamme

2 3 + x	= 0,4 tai		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

mistä seuraa, että 3+ x = 1, x = –2.

Vastaus: –2.

Tehtävä numero 6 planimetriassa geometristen suureiden (pituudet, kulmat, pinta-alat) etsimiseen, todellisten tilanteiden mallintamiseen geometrian kielellä. Rakennettujen mallien tutkiminen geometristen käsitteiden ja lauseiden avulla. Vaikeuksien lähde on yleensä tietämättömyys tai välttämättömien planimetrian lauseiden virheellinen soveltaminen.

Kolmion pinta-ala ABC vastaa 129. DE- sivun suuntainen keskiviiva AB. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala SÄNKY.

Ratkaisu. Kolmio CDE samanlainen kuin kolmio OHJAAMO kahdessa kulmassa, koska kulma kärjessä C yleinen, kulma CDE yhtä suuri kuin kulma OHJAAMO kuin vastaavat kulmat DE || AB sekantti AC. Koska DE on kolmion keskiviiva ehdolla, sitten keskiviivan ominaisuudella | DE = (1/2)AB. Eli samankaltaisuuskerroin on 0,5. Samankaltaisten lukujen alueet suhteutetaan samankaltaisuuskertoimen neliöön, joten

Näin ollen S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tehtävä numero 7- tarkistaa derivaatan soveltamisen funktion tutkimukseen. Onnistunut toteutus edellyttää johdannaisen käsitteen mielekästä, epämuodollista hallussapitoa.

Esimerkki 7 Funktion kaavioon y = f(x) kohdassa, jossa on abskissa x 0 piirretään tangentti, joka on kohtisuorassa tämän kuvaajan pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevaa suoraa vastaan. löytö f′( x 0).

Ratkaisu. 1) Käytetään kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöä ja löydetään pisteiden (4; 3) ja (3; -1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-yksi)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, missä k 1 = 4.

2) Etsi tangentin kaltevuus k 2, joka on kohtisuorassa viivaa vastaan y = 4x– 13, missä k 1 = 4 kaavan mukaan:

3) Tangentin jyrkkyys on funktion derivaatta kosketuspisteessä. tarkoittaa, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastaus: –0,25.

Tehtävä numero 8- tarkistaa tenttiin osallistuvien alkeisstereometrian tietämyksen, kyvyn soveltaa kaavoja kuvioiden pinta-alojen ja tilavuuksien, dihedraalisten kulmien löytämiseen, vertailla samankaltaisten kuvioiden tilavuuksia, osaa suorittaa toimintoja geometrisilla kuvioilla, koordinaatteilla ja vektoreilla , jne.

Pallon ympärille piirretyn kuution tilavuus on 216. Selvitä pallon säde.

Ratkaisu. 1) V kuutio = a 3 (missä a on kuution reunan pituus), joten

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Koska pallo on kirjoitettu kuutioon, se tarkoittaa, että pallon halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin kuution reunan pituus, joten d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tehtävä numero 9- vaatii valmistuneelta muuntamaan ja yksinkertaistamaan algebrallisia lausekkeita. Tehtävä nro 9 monimutkaisempi ja lyhyt vastaus. Tehtävät osasta "Laskut ja muunnokset" USE:ssa on jaettu useisiin tyyppeihin:

numeeristen rationaalisten lausekkeiden muunnokset;

algebrallisten lausekkeiden ja murtolukujen muunnokset;

numeeristen/kirjaimien irrationaalisten lausekkeiden muunnokset;

toiminnot tutkinnoilla;

logaritmisen lausekkeiden muunnos;

numeeristen/kirjaimien trigonometristen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki 9 Laske tgα, jos tiedetään, että cos2α = 0,6 ja

3π	< α < π.
4

Ratkaisu. 1) Käytetään kaksoisargumenttikaavaa: cos2α = 2 cos 2 α - 1 ja etsitään

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Näin ollen tan 2 α = ± 0,5.

3) Ehdon mukaan

3π	< α < π,
4

siten α on toisen neljänneksen ja tgα kulma< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastaus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tehtävä numero 10- tarkistaa opiskelijoiden kyvyn käyttää varhain hankittuja tietoja ja taitoja käytännön toiminnassa ja arjessa. Voimme sanoa, että nämä ovat fysiikan, ei matematiikan, ongelmia, mutta kaikki tarvittavat kaavat ja suuret on annettu ehdossa. Tehtävät rajoittuvat lineaarisen tai toisen asteen yhtälön tai lineaarisen tai neliöllisen epäyhtälön ratkaisemiseen. Siksi on välttämätöntä pystyä ratkaisemaan tällaiset yhtälöt ja epäyhtälöt ja määrittämään vastaus. Vastauksen tulee olla kokonaisluvun tai viimeisen desimaaliluvun muodossa.

Kaksi massakappaletta m= 2 kg kukin, liikkuvat samalla nopeudella v= 10 m/s kulmassa 2α toisiinsa nähden. Niiden ehdottoman joustamattoman törmäyksen aikana vapautuva energia (jouleina) määräytyy lausekkeen avulla K = mv 2 sin 2 α. Missä pienimmässä kulmassa 2α (asteina) kappaleiden tulee liikkua, jotta törmäyksen seurauksena vapautuu vähintään 50 joulea?
Ratkaisu. Ongelman ratkaisemiseksi meidän on ratkaistava epäyhtälö Q ≥ 50 välillä 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Koska α ∈ (0°; 90°), ratkaisemme vain

Esitämme epäyhtälön ratkaisun graafisesti:

Koska oletuksella α ∈ (0°; 90°), se tarkoittaa, että 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tehtävä numero 11- on tyypillistä, mutta se osoittautuu opiskelijoille vaikeaksi. Suurin vaikeuksien lähde on matemaattisen mallin rakentaminen (yhtälön laatiminen). Tehtävä numero 11 testaa kykyä ratkaista tekstitehtäviä.

Esimerkki 11. Kevättauon aikana 11-luokkalainen Vasya joutui ratkaisemaan 560 harjoitustehtävää valmistautuakseen tenttiin. Maaliskuun 18. päivänä, viimeisenä koulupäivänä, Vasya ratkaisi 5 ongelmaa. Sitten hän ratkaisi joka päivä saman määrän ongelmia enemmän kuin edellisenä päivänä. Selvitä, kuinka monta ongelmaa Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta viimeisenä lomapäivänä.

Ratkaisu: Merkitse a 1 = 5 - tehtävien lukumäärä, jotka Vasya ratkaisi 18. maaliskuuta, d- päivittäinen määrä Vasyan ratkaisemia tehtäviä, n= 16 - päivien lukumäärä 18. maaliskuuta 2. huhtikuuta mukaan lukien, S 16 = 560 - tehtävien kokonaismäärä, a 16 - tehtävien määrä, jotka Vasya ratkaisi 2. huhtikuuta. Kun tiedät, että Vasya ratkaisi joka päivä saman määrän tehtäviä enemmän kuin edellisenä päivänä, voit käyttää kaavoja aritmeettisen etenemisen summan löytämiseen:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastaus: 65.

Tehtävä numero 12- tarkistaa opiskelijoiden kykyä suorittaa toimintoja funktioilla, osata soveltaa derivaatta funktion tutkimiseen.

Etsi funktion maksimipiste y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Ratkaisu: 1) Etsi funktion toimialue: x + 9 > 0, x> –9, eli x ∈ (–9; ∞).

2) Etsi funktion derivaatta:

4) Löytöpiste kuuluu väliin (–9; ∞). Määrittelemme funktion derivaatan merkit ja kuvaamme funktion käyttäytymistä kuvassa:

Haluttu maksimipiste x = –8.

Lataa ilmaiseksi matematiikan työohjelma UMK G.K:n linjalle. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Lataa ilmaiset algebran käsikirjat

Tehtävä numero 13- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, joka testaa kykyä ratkaista yhtälöitä, menestyksekkäimmin ratkaistuja tehtäviä yksityiskohtaisella vastauksella, jonka monimutkaisuus on lisääntynyt.

a) Ratkaise yhtälö 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin.

Ratkaisu: a) Olkoon log 3 (2cos x) = t, sitten 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

log3(2cos x) =	2	⇔	2cos x = 9	⇔	cos x =	4,5	⇔ koska \|cos x\| ≤ 1,

log3(2cos x) =	1		2cos x = √3		cos x =	√3
	2					2

sitten cos x =	√3
	2

x =	π	+ 2π k
	6

x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
	6

b) Etsi segmentin juuret.

Kuvasta voidaan nähdä, että annetulla segmentillä on juuret

11π	ja	13π	.
6		6

Vastaus: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tehtävä numero 14- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

Sylinterin pohjan ympäryshalkaisija on 20, sylinterin generatrix on 28. Taso leikkaa kantansa pituudeltaan 12 ja 16 olevia jänteitä pitkin. Painteiden välinen etäisyys on 2√197.

a) Osoita, että sylinterin kantojen keskipisteet ovat samalla puolella tätä tasoa.

b) Laske tämän tason ja sylinterin kannan tason välinen kulma.

Ratkaisu: a) Pituus 12 jänne on etäisyydellä = 8 perusympyrän keskustasta ja jänne, jonka pituus on 16, on vastaavasti etäisyydellä 6. Siksi niiden projektioiden välinen etäisyys tasossa, joka on yhdensuuntainen sylinterien kanta on joko 8 + 6 = 14 tai 8 - 6 = 2.

Silloin sointujen välinen etäisyys on joko

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Ehdon mukaan toteutui toinen tapaus, jossa jänteiden projektiot ovat sylinterin akselin toisella puolella. Tämä tarkoittaa, että akseli ei leikkaa tätä tasoa sylinterin sisällä, eli kantat ovat sen toisella puolella. Mitä piti todistaa.

b) Merkitään kantojen keskipisteitä O 1 ja O 2. Piirretään kannan keskeltä jänteellä, jonka pituus on 12, kohtisuora puolittaja tähän jänteeseen (sen pituus on 8, kuten jo todettiin) ja toisen kannan keskustasta toiseen jänteeseen. Ne sijaitsevat samassa tasossa β kohtisuorassa näihin jänteisiin nähden. Kutsutaan pienemmän jänteen B keskipiste, joka on suurempi kuin A, ja A:n projektio toiseen kantaan H (H ∈ β). Tällöin AB,AH ∈ β ja siten AB,AH ovat kohtisuorassa jänteeseen, eli kannan leikkausviivaan annetun tason kanssa.

Tarvittava kulma on siis

∠ABH = arctaani	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tehtävä numero 15- lisääntynyt monimutkaisuus yksityiskohtaisella vastauksella, tarkistaa kyvyn ratkaista epätasa-arvot, menestyksekkäimmin ratkaistu tehtävien joukossa yksityiskohtaisella vastauksella, jonka monimutkaisuus on lisääntynyt.

Esimerkki 15 Ratkaise epäyhtälö | x 2 – 3x| loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Ratkaisu: Tämän epäyhtälön määritelmäalue on väli (–1; +∞). Harkitse kolmea tapausta erikseen:

1) Anna x 2 – 3x= 0, ts. X= 0 tai X= 3. Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö tulee todeksi, joten nämä arvot sisällytetään ratkaisuun.

2) Anna nyt x 2 – 3x> 0, ts. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Tässä tapauksessa tämä epäyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ( x 2 – 3x) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaa positiivisella lausekkeella x 2 – 3x. Saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 tai x≤ -0,5. Kun otetaan huomioon määritelmäalue, meillä on x ∈ (–1; –0,5].

3) Lopuksi harkitse x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Tässä tapauksessa alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon (3 x – x 2) loki 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Positiivisella lausekkeella jakamisen jälkeen 3 x – x 2, saamme lokin 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Pinta-ala huomioon ottaen meillä on x ∈ (0; 1].

Yhdistämällä saadut ratkaisut saadaan x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastaus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tehtävä numero 16- edistynyt taso viittaa toisen osan tehtäviin yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä testaa kykyä suorittaa toimintoja geometrisilla muodoilla, koordinaatteilla ja vektoreilla. Tehtävä sisältää kaksi kohdetta. Ensimmäisessä kappaleessa tehtävä on todistettava ja toisessa kappaleessa se on laskettava.

Tasakylkiseen kolmioon ABC, jonka kulma on 120° kärjessä A, piirretään puolittaja BD. Suorakaide DEFH on piirretty kolmioon ABC siten, että sivu FH on janalla BC ja kärki E on janalla AB. a) Todista, että FH = 2DH. b) Etsi suorakulmion DEFH pinta-ala, jos AB = 4.

Ratkaisu: a)

1) ΔBEF - suorakaiteen muotoinen, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°, sitten EF = BE 30° kulmaa vastapäätä olevan jalan ominaisuuden vuoksi.

2) Olkoon EF = DH = x, niin BE = 2 x, BF = x√3 Pythagoraan lauseen mukaan.

3) Koska ΔABC on tasakylkinen, niin ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B:n puolittaja, joten ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tarkastellaan ΔDBH - suorakulmaista, koska DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – x
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Vastaus: 24 – 12√3.

Tehtävä numero 17- Tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella, joka testaa tiedon ja taitojen soveltamista käytännön toiminnassa ja arjessa, kykyä rakentaa ja tutkia matemaattisia malleja. Tämä tehtävä on tekstitehtävä, jossa on taloudellista sisältöä.

Esimerkki 17. 20 miljoonan ruplan talletus on tarkoitus avata neljäksi vuodeksi. Pankki kasvattaa talletusta jokaisen vuoden lopussa 10 % vuoden alun kokoon verrattuna. Lisäksi kolmannen ja neljännen vuoden alussa tallettaja täydentää talletuksensa vuosittain mennessä X miljoonaa ruplaa, missä X - koko määrä. Etsi korkein arvo X, jossa pankki lisää alle 17 miljoonaa ruplaa talletukseen neljässä vuodessa.

Ratkaisu: Ensimmäisen vuoden lopussa maksu on 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoonaa ruplaa ja toisen vuoden lopussa - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoonaa ruplaa. Kolmannen vuoden alussa panos (miljoonaa ruplaa) on (24,2 + X), ja lopussa - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljännen vuoden alussa panos on (26,62 + 2,1 X), ja lopussa - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Ehdon mukaan sinun on löydettävä suurin kokonaisluku x, jolle epäyhtälö on

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Suurin kokonaislukuratkaisu tälle epäyhtälölle on luku 24.

Vastaus: 24.

Tehtävä numero 18- monimutkaisempi tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä on tarkoitettu kilpailulliseen valintaan yliopistoihin, joissa hakijoiden matemaattista valmistautumista koskevat vaatimukset ovat kohonneet. Monimutkainen tehtävä ei ole yhden ratkaisumenetelmän soveltamisen tehtävä, vaan eri menetelmien yhdistelmä. Tehtävän 18 onnistunut suorittaminen edellyttää vankan matemaattisen tiedon lisäksi myös korkeaa matemaattisen kulttuurin tasoa.

missä a epätasa-arvojärjestelmä

	x 2 + y 2 ≤ 2voi – a 2 + 1

	y + a ≤ \|x\| – a

onko täsmälleen kaksi ratkaisua?

Ratkaisu: Tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1

	y ≤ \|x\| – a

Jos piirretään tasolle ensimmäisen epäyhtälön ratkaisujoukko, saadaan ympyrän (jossa on raja) sisäpuoli, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on piste (0, a). Toisen epäyhtälön ratkaisujen joukko on se osa tasosta, joka sijaitsee funktion kuvaajan alla y = | x| – a, ja jälkimmäinen on funktion kuvaaja
y = | x| , siirretty alaspäin a. Tämän järjestelmän ratkaisu on kunkin epäyhtälön ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Tästä johtuen tällä järjestelmällä on kaksi ratkaisua vain kuviossa 1 esitetyssä tapauksessa. yksi.

Ympyrän ja viivojen kosketuspisteet ovat järjestelmän kaksi ratkaisua. Jokainen suora on kallistettu akseleihin nähden 45° kulmassa. Kolmio siis PQR- suorakaiteen muotoiset tasakylkiset. Piste K on koordinaatit (0, a), ja pointti R– koordinaatit (0, – a). Lisäksi leikkaukset PR ja PQ ovat yhtä kuin ympyrän säde yhtä suuri kuin 1.

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Vastaus: a =	√2	.
	2

Tehtävä numero 19- monimutkaisempi tehtävä yksityiskohtaisella vastauksella. Tehtävä on tarkoitettu kilpailulliseen valintaan yliopistoihin, joissa hakijoiden matemaattista valmistautumista koskevat vaatimukset ovat kohonneet. Monimutkainen tehtävä ei ole yhden ratkaisumenetelmän soveltamisen tehtävä, vaan eri menetelmien yhdistelmä. Tehtävän 19 onnistunut suorittaminen edellyttää, että osataan etsiä ratkaisua valitsemalla erilaisia lähestymistapoja tunnetuista ja modifioimalla tutkittuja menetelmiä.

Päästää sn summa P aritmeettisen progression jäsenet ( a p). On tiedossa, että S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Anna kaava P tämän etenemisen jäsen.

b) Etsi pienin moduulisumma S n.

c) Etsi pienin P, jossa S n on kokonaisluvun neliö.

Ratkaisu a) Ilmeisesti a n = S n – S n- yksi . Käyttämällä tätä kaavaa saamme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

tarkoittaa, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) koska S n = 2n 2 – 25n, harkitse sitten toimintoa S(x) = | 2x 2 – 25x|. Hänen kaavionsa näkyy kuvassa.

On selvää, että pienin arvo saavutetaan lähimpänä funktion nollia sijaitsevissa kokonaislukupisteissä. Ilmeisesti nämä ovat pointteja. X= 1, X= 12 ja X= 13. Koska, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, niin pienin arvo on 12.

c) Edellisestä kappaleesta seuraa, että sn positiivinen siitä lähtien n= 13. Alkaen S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), niin ilmeinen tapaus, jossa tämä lauseke on täydellinen neliö, toteutuu, kun n = 2n- 25, eli kanssa P= 25.

On vielä tarkistettava arvot 13-25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Osoittautuu, että pienemmille arvoille P täyttä neliötä ei saavuteta.

Vastaus: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Toukokuusta 2017 lähtien DROFA-VENTANA-yhteiskustannusryhmä on ollut osa Russian Textbook Corporationia. Yhtiöön kuuluivat myös kustantamo Astrel ja digitaalinen koulutusalusta LECTA. Alexander Brychkin, valmistunut Venäjän federaation hallituksen alaiselta Finanssiakatemiasta, taloustieteiden kandidaatti, DROFA-kustantamon innovatiivisten projektien johtaja digitaalisen koulutuksen alalla (oppikirjojen elektroniset muodot, venäläinen elektroninen koulu, LECTA digitaalinen koulutus foorumi) on nimitetty pääjohtajaksi. Ennen tuloaan DROFA-kustantamoon hän toimi EKSMO-AST-kustannusholdingin strategisesta kehityksestä ja investoinneista vastaavana johtajana. Nykyään Russian Textbook Publishing Corporationilla on suurin liittovaltion luetteloon sisältyvien oppikirjojen salkku - 485 nimikettä (noin 40%, poislukien vankeuskoulujen oppikirjat). Yhtiön kustantamot omistavat venäläisten koulujen eniten kysytyt fysiikan, piirtämisen, biologian, kemian, tekniikan, maantieteen, tähtitieteen oppikirjasarjat - osaamisalueita, joita tarvitaan maan tuotantopotentiaalin kehittämiseen. Yhtiön salkku sisältää kasvatusalan presidentin palkinnon saaneita oppikirjoja ja opetusvälineitä alakouluille. Nämä ovat oppikirjoja ja käsikirjoja aihealueista, jotka ovat välttämättömiä Venäjän tieteellisen, teknisen ja teollisen potentiaalin kehittämiseksi.

Ongelma #5922.

Omistaja sopi työntekijöiden kanssa, että he kaivavat kaivoa seuraavin ehdoin: ensimmäisestä metristä hän maksoi heille 3500 ruplaa ja jokaisesta seuraavasta metristä - 1600 ruplaa enemmän kuin edellisestä. Kuinka paljon rahaa omistajan on maksettava työntekijöille, jos he kaivavat 9 metriä syvän kaivon?

Koska jokaisen seuraavan mittarin maksu eroaa samalla numerolla edellisen mittarin maksusta, meillä on edessämme.

Tässä prosessissa - ensimmäisen mittarin maksu, - kunkin seuraavan mittarin maksuerot, - työpäivien lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten summa saadaan kaavasta:

Korvaa tehtävän tiedot tässä kaavassa.

Vastaus: 89100.

Ongelma #5943.

Vaihtotoimistossa voit suorittaa toisen kahdesta toiminnosta:

· kahdesta kultakolikosta saat 3 hopeaa ja yksi kupari;

· Saat 3 kultaa ja yksi kuparikolikko viidestä hopeakolikosta.

Ongelma #5960.

Jos heinäsirkka tekee viisi hyppyä yhteen suuntaan (oikealle tai vasemmalle), se päätyy pisteisiin, joiden koordinaatit ovat 5 tai -5:

Huomaa, että heinäsirkka voi hypätä sekä oikealle että vasemmalle. Jos hän tekee yhden hypyn oikealle ja 4 hyppyä vasemmalle (yhteensä 5 hyppyä), hän päätyy pisteeseen, jonka koordinaatti on -3. Vastaavasti, jos heinäsirkka tekee 1 hypyn vasemmalle ja 4 hyppyä oikealle (yhteensä 5 hyppyä), se päätyy pisteeseen, jolla on koordinaatti 3:

Jos heinäsirkka tekee 2 hyppyä oikealle ja 3 hyppyä vasemmalle (yhteensä 5 hyppyä), se päätyy pisteeseen, jonka koordinaatti on -1. Vastaavasti, jos heinäsirkka tekee 2 hyppyä vasemmalle ja 3 hyppyä oikealle (yhteensä 5 hyppyä), se päätyy pisteeseen, jolla on koordinaatti 1:

Huomaa, että jos hyppyjen kokonaismäärä on pariton, heinäsirkka ei palaa alkupisteeseen, eli se voi osua vain pisteisiin, joissa on parittomat koordinaatit:

Näitä pisteitä on vain 6.

Jos hyppyjen määrä olisi parillinen, heinäsirkka voisi palata alkupisteeseen ja kaikilla koordinaattiviivan pisteillä, joihin se voisi osua, olisi parilliset koordinaatit.

Vastaus: 6

Ongelma #5990

Etana kiipeää vuorokaudessa 2 m puuhun ja yössä liukuu alas 1 m. Puun korkeus on 9 m. Kuinka monta päivää kestää etana ryömimään puun latvaan?

Huomaa, että tässä tehtävässä tulisi erottaa käsitteet "päivä" ja käsite "päivä".

Kysymys kysyy, kuinka paljon päivää etana ryömii puun latvaan.

Yhdessä päivässä etana kiipeää 2 m, ja yhdessä päivässä etana nousee 1 m (nousee 2 m päivällä ja laskee sitten 1 m yöllä).

7 päivän ajan etana nousee 7 metriin. Eli 8. päivän aamuna hänen on ryömittävä 2 metrin huipulle. Ja kahdeksantena päivänä hän ylittää tämän matkan.

Vastaus: 8 päivää.

Tehtävä numero 6010.

Talon kaikissa sisäänkäynneissä on sama kerrosluku ja jokaisessa kerroksessa on sama määrä asuntoja. Samaan aikaan talon kerrosten lukumäärä on suurempi kuin asuntojen määrä kerrosta kohti, asuntojen määrä kerrosta kohti on suurempi kuin sisäänkäyntien lukumäärä ja sisäänkäyntien lukumäärä on enemmän kuin yksi. Kuinka monta kerrosta rakennuksessa on, jos asuntoja on yhteensä 105?

Talossa olevien asuntojen lukumäärän selvittämiseksi sinun on kerrottava huoneistojen lukumäärä kerrosta kohti ( ) kerrosten lukumäärällä ( ) ja kerrottava sisäänkäyntien lukumäärällä ( ).

Eli meidän on löydettävä ( ) seuraavien ehtojen perusteella:

(1)

Viimeinen epätasa-arvo kuvastaa tilannetta "rakennuksen kerrosten määrä on suurempi kuin asuntojen määrä kerrosta kohti, asuntoja per kerros on suurempi kuin sisäänkäyntien määrä ja sisäänkäyntien lukumäärä on enemmän kuin yksi."

Eli ( ) on suurin luku.

Otetaan 105 alkutekijöihin:

Kun otetaan huomioon ehto (1), .

Vastaus: 7.

Ongelma #6036.

Korissa on 30 sientä: sieniä ja maitosieniä. Tiedetään, että 12 sienen joukossa on vähintään yksi camelina ja 20 sienen joukossa vähintään yksi sieni. Kuinka monta sientä korissa on?

Koska Jokaisen 12 sienen joukossa on ainakin yksi camelina(tai enemmän) sienten lukumäärän on oltava pienempi tai yhtä suuri kuin .

Tästä seuraa, että sahramimaitokappien määrä on suurempi tai yhtä suuri kuin .

Koska 20 sienen joukosta vähintään yksi sieni(tai enemmän), sahramimaitokorkkien lukumäärän on oltava pienempi tai yhtä suuri kuin

Sitten saimme, että toisaalta sienten määrä on suurempi tai yhtä suuri kuin 19 , ja toisaalta pienempi tai yhtä suuri kuin 19 .

Siksi sienten määrä on yhtä suuri 19.

Vastaus: 19.

Ongelma numero 6047.

Sasha kutsui Petyan käymään sanoen, että hän asuu seitsemännessä sisäänkäynnissä huoneistossa nro 333, mutta hän unohti sanoa puheenvuoron. Lähestyessään taloa Petya huomasi, että talossa oli yhdeksän kerrosta. Missä kerroksessa Sasha asuu? (Asuntojen määrä jokaisessa kerroksessa on sama, talon asuntojen määrä alkaa yhdestä.)

Vuokraa jokaisessa asunnon kerroksessa.

Sitten kuuden ensimmäisen sisäänkäynnin asuntojen lukumäärä on

Etsi suurin luonnonarvo, joka tyydyttää epätasa-arvon ( - kuudennen sisäänkäynnin viimeisen asunnon numero, ja se on pienempi kuin 333.)

Täältä

Kuudennen sisäänkäynnin viimeisen asunnon numero -

Seitsemäs sisäänkäynti alkaa 325. asunnosta.

Siksi asunto 333 on toisessa kerroksessa.

Vastaus: 2

Ongelma numero 6060.

Maapallon pinnalle piirrettiin huopakynällä 17 yhdensuuntaisuutta ja 24 meridiaania. Kuinka moneen osaan piirretyt viivat jakavat maapallon pinnan? Meridiaani on ympyrän kaari, joka yhdistää pohjois- ja etelänavan. Yhdensuuntainen on ympyrä, joka sijaitsee päiväntasaajan tason suuntaisessa tasossa..

Kuvittele vesimeloni, jonka leikkaamme paloiksi.

Kun olemme tehneet kaksi leikkausta yläpisteestä alaspäin (piirtämällä kaksi meridiaania), leikkaamme vesimelonin kahdeksi viipaleeksi. Siksi 24 leikkauksen (24 meridiaanin) jälkeen leikkaamme vesimelonin 24 viipaleen.

Nyt leikataan jokainen viipale.

Jos teemme 1 poikittaisleikkauksen (rinnakkaiset), leikkaamme yhden viipaleen 2 osaan.

Jos teemme 2 poikittaisleikkausta (rinnakkaissuuntaa), leikkaamme yhden viipaleen 3 osaan.

Joten, kun olemme tehneet 17 leikkausta, leikkaamme yhden viipaleen 18 osaan.

Joten, leikkasimme 24 viipaletta 18 osaan ja saimme palan.

Siksi 17 yhdensuuntaisuutta ja 24 meridiaania jakavat maapallon pinnan 432 osaan.

Vastaus: 432.

Ongelma #6069

Tikkuun on merkitty poikittaiset punaiset, keltaiset ja vihreät viivat. Jos näit tikun punaisia viivoja pitkin, saat 5 kappaletta, jos keltaisia viivoja pitkin - 7 kappaletta ja jos vihreitä viivoja pitkin - 11 kappaletta. Kuinka monta kappaletta saat, jos leikkaat tikun kaikkien kolmen värin viivoja pitkin?

Jos teet 1 leikkauksen, saat 2 kappaletta.

Jos teet 2 leikkausta, saat 3 kappaletta.

Yleisessä tapauksessa: jos teet leikkauksia, saat palan.

Takaisin: saadaksesi palasia, sinun on tehtävä leikkaus.

Etsi niiden viivojen kokonaismäärä, joita pitkin tikku leikattiin.

Jos leikkaat tikun punaisia viivoja pitkin, saat 5 kappaletta - siksi siellä oli 4 punaista viivaa;

jos keltaisella - 7 kpl - siksi siellä oli 6 keltaista viivaa;

ja jos vihreällä - 11 kpl - siksi vihreitä viivoja oli 10.

Siksi rivien kokonaismäärä on . Jos leikkaat tikun kaikkia viivoja pitkin, saat 21 kappaletta.

Vastaus: 21.

Ongelma #9626.

Kehätiellä on neljä huoltoasemaa: A, B, B ja D. Etäisyys A:n ja B:n välillä on 50 km, välillä A ja C on 40 km, välillä C ja D on 25 km, välillä D ja A on 35 km (kaikki etäisyydet mitataan kehätietä pitkin lyhimpään suuntaan). Etsi etäisyys B:n ja C:n välillä.

Katsotaan kuinka huoltoasemat voidaan sijoittaa. Yritetään järjestää ne näin:

Tällaisessa järjestelyssä G:n ja A:n välinen etäisyys ei voi olla 35 km.

Kokeillaanpa tätä:

Tällä järjestelyllä A:n ja B:n välinen etäisyys ei voi olla 40 km.

Harkitse tätä vaihtoehtoa:

Tämä vaihtoehto tyydyttää ongelman tilanteen.

Vastaus: 10.

Ongelma #10041.

Tietokilpailun tehtävälista koostui 25 kysymyksestä. Jokaisesta oikeasta vastauksesta opiskelija sai 7 pistettä, väärästä vastauksesta vähennettiin 9 pistettä ja jos vastausta ei tullut, 0 pistettä. Kuinka monta oikeaa vastausta antoi oppilas, joka sai 56 pistettä, jos tiedetään, että hän oli vähintään kerran väärässä?

Anna oppilaan antaa oikeat ja väärät vastaukset ( ). Koska hänellä on saattanut olla enemmän kysymyksiä, joihin hän vastasi, saamme epätasa-arvon:

Lisäksi kunnon mukaan

Koska oikea vastaus lisää 7 pistettä ja väärä vastaus vähentää 9 ja opiskelija saa lopulta 56 pistettä, saamme yhtälön:

Tämä yhtälö on ratkaistava kokonaislukuina.

Koska 9 ei ole jaollinen 7:llä, sen on oltava jaollinen 7:llä.

Anna sitten.

Tässä tapauksessa kaikki ehdot täyttyvät.

Ongelma #10056.

Suorakulmio on jaettu neljään pieneen suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen pinta-alat alkaen vasemmasta yläkulmasta myötäpäivään ovat 15, 18, 24. Etsi neljännen suorakulmion pinta-ala.

Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivujen tulo.

Keltaisilla ja sinisillä suorakulmioilla on yhteinen sivu, joten näiden suorakulmioiden pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin muiden sivujen pituuksien suhde (ei yhtä suuri keskenään).

Valkoisilla ja vihreillä suorakulmioilla on myös yhteinen puoli, joten niiden pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin muiden sivujen suhde (ei yhtä suuri keskenään), eli sama suhde:

Suhteen ominaisuudella saamme

Täältä.

Ongelma #10071.

Suorakulmio on jaettu neljään pieneen suorakulmioon kahdella suoralla leikkauksella. Niistä kolmen ympärysmitat, alkaen vasemmasta yläkulmasta ja myötäpäivään, ovat 17, 12, 13. Etsi neljännen suorakulmion kehä.

Suorakulmion ympärysmitta on yhtä suuri kuin sen kaikkien sivujen pituuksien summa.

Merkitään suorakulmioiden sivut kuvan osoittamalla tavalla ja ilmaistaan suorakulmioiden ympärysmitat ilmoitettujen muuttujien avulla. Saamme:

Nyt meidän on selvitettävä, mikä lausekkeen arvo on.

Vähennä toinen yhtälö kolmannesta yhtälöstä ja lisää kolmas. Saamme:

Yksinkertaistamalla oikeaa ja vasenta puolta saamme:

Joten,.

Vastaus: 18.

Ongelma #10086.

Taulukossa on kolme saraketta ja useita rivejä. Taulukon jokaiseen soluun sijoitettiin luonnollinen luku siten, että kaikkien ensimmäisen sarakkeen numeroiden summa on 72, toisen - 81, kolmannen - 91 ja kunkin rivin numeroiden summa on suurempi. kuin 13, mutta vähemmän kuin 16. Kuinka monta riviä taulukossa on?

Etsitään taulukon kaikkien lukujen summa: .

Olkoon taulukon rivien lukumäärä .

Tehtävän ehdon mukaan kunkin rivin lukujen summa yli 13 mutta alle 16.

Koska lukujen summa on luonnollinen luku, vain kaksi luonnollista lukua täyttää tämän kaksinkertaisen epätasa-arvon: 14 ja 15.

Jos oletetaan, että kunkin rivin numeroiden summa on 14, niin taulukon kaikkien numeroiden summa on , ja tämä summa täyttää epäyhtälön .

Jos oletetaan, että kunkin rivin numeroiden summa on 15, niin taulukon kaikkien numeroiden summa on , ja tämä luku täyttää epäyhtälön .

Luonnollisen luvun on siis täytettävä epäyhtälöjärjestelmä:

Ainoa luonnollinen, joka tyydyttää tätä järjestelmää

Vastaus: 17.

Luonnollisista luvuista A, B ja C tiedetään, että jokainen niistä on suurempi kuin 4, mutta pienempi kuin 8. He arvasivat luonnollisen luvun, kertoivat sen sitten A:lla, lisäsivät sen tuloksena olevaan tuloon B ja vähensivät C. osoittautui 165. Mikä luku arvattiin?

Kokonaisluvut A, B ja C voi olla yhtä suuri kuin numerot 5, 6 tai 7.

Olkoon tuntematon luonnollinen luku .

Saamme: ;

Harkitse erilaisia vaihtoehtoja.

Olkoon A = 5. Sitten B=6 ja C=7 tai B=7 ja C=6, tai B=7 ja C=7 tai B=6 ja C=6.

Tarkastetaan: ; (yksi)

165 on jaollinen 5:llä.

Lukujen B ja C välinen ero on joko yhtä suuri tai yhtä suuri kuin 0, jos nämä luvut ovat yhtä suuret. Jos ero on , yhtäläisyys (1) on mahdoton. Siksi ero on 0 ja

Olkoon A = 6. Sitten B=5 ja C=7 tai B=7 ja C=5, tai B=7 ja C=7 tai B=5 ja C=5.

Tarkastetaan: ; (2)

Lukujen B ja C välinen ero on joko yhtä suuri tai yhtä suuri kuin 0, jos nämä luvut ovat yhtä suuret. Jos ero on yhtä suuri tai 0, yhtälö (2) on mahdoton, koska se on parillinen luku, eikä summa (165 + parillinen luku) voi olla parillinen luku.

Olkoon A = 7. Sitten B=5 ja C=6, tai B=6 ja C=5, tai B=6 ja C=6, tai B=5 ja C=5.

Tarkastetaan: ; (3)

Lukujen B ja C välinen ero on joko yhtä suuri tai yhtä suuri kuin 0, jos nämä luvut ovat yhtä suuret. Luku 165 jaettuna 7:llä antaa jäännöksen 4. Siksi se ei myöskään ole jaollinen 7:llä ja yhtäläisyys (3) on mahdoton.

Vastaus: 33

Kirjasta putosi useita peräkkäisiä sivuja. Viimeisen sivun numero ennen pudonneita arkkeja on 352, ensimmäisen sivun numero pudonneiden arkkien jälkeen on kirjoitettu samoilla numeroilla, mutta eri järjestyksessä. Kuinka monta arkkia putosi?

Ilmeisesti ensimmäisen sivun numero pudonneiden arkkien jälkeen on suurempi kuin 352, joten se voi olla joko 532 tai 523.

Jokainen pudonnut arkki sisältää 2 sivua. Siksi parillinen määrä sivuja putosi. 352 on parillinen luku. Jos lisäämme parillisen luvun parilliseen lukuun, saamme parillisen luvun. Siksi viimeisen pudonneen sivun numero on parillinen ja ensimmäisen pudonneiden arkkien jälkeisen sivun numeron on oltava pariton, eli 523. Siksi viimeksi pudonneen sivun numero on 522. Sitten se putosi lakanat.

Vastaus: 85

Masha ja karhu söivät 160 keksiä ja purkin hilloa, aloittaen ja lopettaen samaan aikaan. Aluksi Masha söi hilloa ja karhu keksejä, mutta jossain vaiheessa ne muuttuivat. Karhu syö molemmat kolme kertaa nopeammin kuin Masha. Kuinka monta keksiä karhu söi, jos he söivät saman määrän hilloa?

Jos Masha ja karhu söivät hilloa yhtä paljon ja karhu söi kolme kertaa enemmän hilloa aikayksikköä kohden, niin hän söi hilloa kolme kertaa vähemmän kuin Masha. Toisin sanoen Masha söi hilloa kolme kertaa pidempään kuin karhu. Mutta kun Masha söi hilloa, karhu söi keksejä. Siksi karhu söi keksejä kolme kertaa pidempään kuin Masha. Mutta karhu söi lisäksi kolme kertaa enemmän keksejä aikayksikköä kohti kuin Masha, joten lopulta hän söi 9 kertaa enemmän keksejä kuin Masha.

Nyt yhtälön kirjoittaminen on helppoa. Anna Mashan syödä keksejä, sitten karhu söi keksejä. Yhdessä he söivät keksejä. saamme yhtälön:

Vastaus: 144

Kukkakaupan tiskillä on 3 ruusumaljakkoa: oranssi, valkoinen ja sininen. Oranssin maljakon vasemmalla puolella on 15 ruusua, sinisen maljakon oikealla 12 ruusua. Maljakoissa on yhteensä 22 ruusua. kuinka monta ruusua on oranssissa maljakossa?

Koska 15+12=27 ja 27>22, niin yhden maljakon kukkien määrä laskettiin kahdesti. Ja se on valkoinen maljakko, koska sen oletetaan olevan sinisen oikealla puolella ja oranssin vasemmalla puolella oleva maljakko. Joten maljakot ovat tässä järjestyksessä:

Täältä saamme järjestelmän:

Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään kolmannesta yhtälöstä, saadaan O = 7.

Vastaus: 7

Kymmenen napaa on kytketty toisiinsa johtimilla siten, että jokaisesta navasta lähtee tarkalleen 8 johtoa. kuinka monta lankaa on pujotettu näiden kymmenen pilarin väliin?

Ratkaisu

Simuloillaan tilannetta. Oletetaan, että meillä on kaksi napaa, ja ne on kytketty toisiinsa johtimilla niin, että jokaisesta napasta lähtee tasan 1 lanka. Sitten käy ilmi, että 2 johtoa lähtee navoista. Mutta meillä on tällainen tilanne:

Eli huolimatta siitä, että 2 johtoa lähtee navoista, vain yksi lanka on venytetty napojen väliin. Tämä tarkoittaa, että pidennettyjä johtoja on kaksi kertaa vähemmän kuin lähteviä.

Saamme: - lähtevien johtojen lukumäärän.

Venytettyjen johtojen lukumäärä.

Vastaus: 40

Kymmenestä maasta seitsemän on allekirjoittanut ystävyyssopimuksen tasan kolmen muun maan kanssa ja loput kolme tasan seitsemän maan kanssa. Kuinka monta sopimusta allekirjoitettiin yhteensä?

Tämä tehtävä on samanlainen kuin edellinen: kaksi maata allekirjoittaa yhden yhteisen sopimuksen. Jokaisessa sopimuksessa on kaksi allekirjoitusta. Eli allekirjoitettujen sopimusten määrä on puolet allekirjoitusten määrästä.

Selvitä allekirjoitusten määrä:

Katso allekirjoitettujen sopimusten määrä:

Vastaus: 21

Kolme samasta pisteestä lähtevää sädettä jakaa tason kolmeen eri kulmaan, mitattuna kokonaislukuasteina. Suurin kulma on 3 kertaa pienin. Kuinka monta arvoa keskimääräinen kulma voi ottaa?

Olkoon pienin kulma , niin suurin kulma on . Koska kaikkien kulmien summa on , keskimääräinen kulma on .

Keskimääräisen kulman on oltava suurempi kuin pienin ja pienempi kuin suurin kulma.

Saamme epätasa-arvojärjestelmän:

Siksi se ottaa arvot välillä 52 - 71 astetta, eli kaikki mahdolliset arvot.

Vastaus: 20

Misha, Kolya ja Lesha pelaavat pöytätennistä: pelin hävinnyt pelaaja väistyy pelaajalle, joka ei osallistunut siihen. Tuloksena kävi ilmi, että Misha pelasi 12 peliä ja Kolya - 25. Kuinka monta peliä Lesha pelasi?

Ratkaisu

Turnauksen järjestäminen on syytä selittää: turnaus koostuu kiinteästä määrästä pelejä; tässä pelissä hävinnyt pelaaja väistyy pelaajalle, joka ei osallistunut tähän peliin. Seuraavan pelin tulosten perusteella pelaaja, joka ei osallistunut siihen, ottaa häviäjän paikan. Siksi jokainen pelaaja osallistuu vähintään yhteen kahdesta peräkkäisestä pelistä.

Katsotaan kuinka monta peliä oli.

Koska Kolya pelasi 25 peliä, turnauksessa pelattiin siis vähintään 25 peliä.

Misha pelasi 12 peliä. Koska hän osallistui ehdottomasti joka toiseen peliin, ei pelattu enempää kuin pelejä. Eli turnaus koostui 25 ottelusta.

Jos Misha pelasi 12 peliä, Lesha pelasi loput 13.

Vastaus: 13

Neljänneksen lopussa Petya kirjoitti peräkkäin kaikki pisteensä yhdestä aineesta, niitä oli 5, ja laittoi kertolaskumerkit joidenkin väliin. Saatujen lukujen tuloksi tuli 3495 . Minkä arvosanan Petya saa tässä aineessa neljänneksellä, jos opettaja laittaa vain arvosanat 2, 3, 4 tai 5 ja neljänneksen viimeinen arvosana on kaikkien nykyisten arvosanojen aritmeettinen keskiarvo pyöristettynä pyöristyssääntöjen mukaan? (Esimerkiksi 3,2 kierrosta 3:een; 4,5 kierrosta 5:een; 2,8 kierrosta kolmeen asti)

Jaetaan 3495 alkutekijöiksi. Numeron viimeinen numero on 5, joten luku on jaollinen 5:llä; Numeroiden summa on jaollinen kolmella, joten luku on jaollinen kolmella.

Selvä

Siksi Petyan arviot ovat 3, 5, 2, 3, 3. Etsitään aritmeettinen keskiarvo:

Vastaus: 3

Kuuden eri luonnollisen luvun aritmeettinen keskiarvo on yhtä kuin 8. Kuinka paljon suurinta näistä luvuista pitäisi kasvattaa, jotta niiden aritmeettinen keskiarvo olisi 1 enemmän?

Aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin kaikkien lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Olkoon kaikkien lukujen summa . Ongelman ehdon mukaan siis .

Aritmeettinen keskiarvo on kasvanut 1:llä, eli siitä on tullut yhtä suuri kuin 9. Jos yhtä luvuista on kasvatettu , summa on kasvanut ja siitä on tullut yhtä suuri kuin .

Numeroiden määrä ei ole muuttunut ja on 6.

Saamme tasa-arvon:

Perustason matematiikan yhtenäinen valtiokoe koostuu 20 tehtävästä. Tehtävä 20 testaa loogisten ongelmien ratkaisutaitoja. Opiskelija osaa soveltaa tietojaan ongelmien ratkaisemiseen käytännössä, mukaan lukien aritmeettinen ja geometrinen progressio. Täällä voit oppia ratkaisemaan matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävän 20 perustasolla sekä tutkia esimerkkejä ja ratkaisuja yksityiskohtaisiin tehtäviin.

Kaikki tehtävät USE-tietokanta kaikki tehtävät (263) USE-tietokantatehtävä 1 (5) USE-tietokantatehtävä 2 (6) USE-tietokantatehtävä 3 (45) USE-tietokantatehtävä 4 (33) USE-tietokantatehtävä 5 (2) USE-tietokantatehtävä 6 (44) ) ) USE-perusmääräys 7 (1) USE-perusmääritys 8 (12) USE-perusmääritys 10 (22) USE-perusmääräys 12 (5) USE-perusmääritys 13 (20) USE-perusmääritys 15 (13) USE-perusmääritys 19 (23) ) KÄYTÄ perustehtävää 20 (32)

Nauhaan on merkitty kaksi poikittaista raitaa eri puolille keskeltä

Nauhaan, eri puolille keskeltä, on merkitty kaksi poikittaista raitaa: sininen ja punainen. Jos leikkaat teipin sinistä nauhaa pitkin, niin yksi osa on A cm pidempi kuin toinen. Jos leikkaat punaista pitkin, niin toinen osa on B cm pidempi kuin toinen. Etsi etäisyys punaisesta siniselle nauhalle.

Nauhatehtävä on osa perustason matematiikan KÄYTTÖÄ luokan 11 numerolla 20.

Biologit ovat löytäneet erilaisia ameeboja

Biologit ovat löytäneet erilaisia amebeja, joista jokainen jakautuu kahteen tasan minuutissa. Biologi laittaa ameevan koeputkeen, ja tarkalleen N tunnin kuluttua koeputki täyttyy kokonaan ameballa. Kuinka monta minuuttia kestää, että koko koeputki täyttyy amebeilla, jos siihen ei laita yksi, vaan K ameebaa?

Kesävaatteita esitellessä jokaisen mallin asut

Kesävaatteita esiteltäessä kunkin mallin asut eroavat ainakin yhdellä kolmesta elementistä: pusero, hame ja kengät. Yhteensä muotisuunnittelija valmistautui esittelyyn A-tyyppiset puserot, B-tyypin hameet ja C-tyypin kengät. Kuinka monta erilaista asua näytetään tässä esittelyssä?

Vaatteita koskeva tehtävä on osa matematiikan perustason KÄYTTÖÄ luokassa 11 numerolla 20.

Turistiryhmä ylitti vuorensolan

Turistiryhmä ylitti vuorensolan. He kulkivat nousun ensimmäisen kilometrin K minuutissa ja jokainen seuraava kilometri L minuuttia pidempään kuin edellinen. Viimeinen kilometri ennen huippua ajettiin M minuutissa. Levättyään N minuuttia huipulla turistit aloittivat laskeutumisen, joka oli lempeämpi. Ensimmäinen kilometri huipun jälkeen ajettiin P minuutissa ja jokainen seuraava on R minuuttia nopeampi kuin edellinen. Kuinka monta tuntia ryhmä vietti koko reitillä, jos laskeutumisen viimeinen kilometri ajettiin S minuutissa.