Kuutioiden lyhennetty kertolaskuero. Sulujen avaaminen: säännöt ja esimerkit (luokka 7)

Hakasulkeiden laajennus on eräänlainen lausekkeen muunnos. Tässä osiossa kuvataan sulujen laajentamisen sääntöjä sekä tarkastellaan yleisimpiä esimerkkejä tehtävistä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mikä on sulujen laajennus?

Sulkuja käytetään osoittamaan järjestys, jossa toiminnot suoritetaan numeerisissa ja aakkosellisissa lausekkeissa sekä lausekkeissa, joissa on muuttujia. Hakasulkeista lausekkeesta on kätevää siirtyä identtiseen yhtäläiseen lausekkeeseen ilman sulkuja. Korvaa esimerkiksi lauseke 2 (3 + 4) lausekkeella kuten 2 3 + 2 4 ilman sulkuja. Tätä tekniikkaa kutsutaan sulkujen avaamiseksi.

Määritelmä 1

Hakasulkeiden avauksen alla tarkoitamme menetelmiä suluista eroon pääsemiseksi, ja niitä tarkastellaan yleensä lausekkeiden yhteydessä, jotka voivat sisältää:

• merkit "+" tai "-" sulkeiden edessä, jotka sisältävät summia tai eroja;
• luvun, kirjaimen tai useiden kirjainten tulo ja summa tai erotus, joka merkitään suluissa.

Näin meillä oli tapana ajatella sulkeiden avaamista koulun opetussuunnitelman aikana. Kukaan ei kuitenkaan estä meitä tarkastelemasta tätä toimintaa laajemmin. Voimme kutsua sulkeiden laajennusta siirtymistä lausekkeesta, joka sisältää negatiivisia lukuja suluissa, lausekkeeseen, jossa ei ole sulkeita. Voimme esimerkiksi siirtyä arvosta 5 + (− 3) − (− 7) arvoon 5 − 3 + 7 . Itse asiassa tämä on myös sulkeiden laajennus.

Samalla tavalla voidaan korvata muotoa (a + b) · (c + d) olevien lausekkeiden tulo summalla a · c + a · d + b · c + b · d . Tämä tekniikka ei myöskään ole ristiriidassa sulkeiden laajennuksen merkityksen kanssa.

Tässä on toinen esimerkki. Voimme olettaa, että lausekkeissa voidaan käyttää numeroiden ja muuttujien sijasta mitä tahansa lausekkeita. Esimerkiksi lauseke x 2 1 a - x + sin (b) vastaa lauseketta ilman sulkeita muotoa x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Vielä yksi seikka ansaitsee erityistä huomiota, joka koskee kirjoitusratkaisujen erityispiirteitä sulkuja avattaessa. Alkulauseke voidaan kirjoittaa hakasulkeilla ja hakasulkujen avaamisen jälkeen saatu tulos tasa-arvoksi. Esimerkiksi sulkeiden avaamisen jälkeen lausekkeen sijaan 3 − (5 − 7) saamme ilmaisun 3 − 5 + 7 . Voimme kirjoittaa molemmat lausekkeet yhtälöksi 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Toimintojen suorittaminen hankalia ilmaisuja käyttäen saattaa edellyttää välitulosten kirjaamista. Silloin ratkaisu on yhtäläisyyden ketjun muotoinen. Esimerkiksi, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 tai 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Sulujen avaamisen säännöt, esimerkkejä

Aloitetaan sulkeiden avaamista koskevista säännöistä.

Yksittäiset numerot suluissa

Suluissa olevat negatiiviset luvut näkyvät usein lausekkeissa. Esimerkiksi (− 4) ja 3 + (− 4) . Myös positiiviset numerot suluissa tapahtuvat.

Muotoilkaamme sääntö yksittäisiä positiivisia lukuja sisältävien sulujen avaamiselle. Oletetaan, että a on mikä tahansa positiivinen luku. Sitten voidaan korvata (a) a:lla, + (a) + a:lla, - (a) -a:lla. Jos a:n sijaan otamme tietyn luvun, niin säännön mukaan: luku (5) kirjoitetaan muodossa 5 , lauseke 3 + (5) ilman sulkuja saa muodon 3 + 5 , koska + (5) korvataan merkillä + 5 , ja lauseke 3 + (− 5) vastaa lauseketta 3 − 5 , kuten + (− 5) korvataan merkillä − 5 .

Positiiviset luvut kirjoitetaan yleensä ilman sulkuja, koska sulut ovat tässä tapauksessa tarpeettomia.

Harkitse nyt sääntöä yhden negatiivisen luvun sisältävien sulujen avaamisesta. + (-a) korvaamme kanssa − a, − (− a) korvataan + a . Jos lauseke alkaa negatiivisella luvulla (-a), joka on kirjoitettu suluissa, sitten sulut jätetään pois ja sen sijaan (-a) jäännökset − a.

Tässä on joitain esimerkkejä: (− 5) voidaan kirjoittaa muodossa −5, (−3) + 0, 5:stä tulee −3 + 0, 5, 4 + (−3) 4 − 3 , ja − (− 4) − (− 3) suluissa on avauksen jälkeen muoto 4 + 3 , koska − (− 4) ja − (− 3) korvataan +4:llä ja +3:lla.

On ymmärrettävä, että lauseketta 3 · (− 5) ei voida kirjoittaa muodossa 3 · − 5. Tätä käsitellään seuraavissa kappaleissa.

Katsotaanpa, mihin sulujen laajennussäännöt perustuvat.

Säännön mukaan ero a − b on yhtä suuri kuin a + (− b) . Numerotoimintojen ominaisuuksien perusteella voimme tehdä yhtäläisyyksiä ketjun (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a mikä tulee olemaan reilua. Tämä yhtäläisyyksien ketju osoittaa vähennyksen merkityksen perusteella, että lauseke a + (− b) on ero a-b.

Vastakkaisten lukujen ominaisuuksien ja negatiivisten lukujen vähennyssääntöjen perusteella voidaan väittää, että − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

On lausekkeita, jotka koostuvat numerosta, miinusmerkeistä ja useista hakasulkeista. Yllä olevien sääntöjen avulla voit päästä eroon suluista peräkkäin siirtymällä sisemmistä kiinnikkeistä ulompiin tai päinvastoin. Esimerkki tällaisesta lausekkeesta olisi − (− ((− (5)))) . Avataan kiinnikkeet siirtymällä sisäpuolelta ulos: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Tämä esimerkki voidaan jäsentää myös käänteisesti: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Alla a ja b voidaan ymmärtää ei vain numeroina, vaan myös mielivaltaisina numeerisina tai kirjaimellisina lausekkeina, joiden edessä on "+", jotka eivät ole summia tai eroja. Kaikissa näissä tapauksissa voit soveltaa sääntöjä samalla tavalla kuin teimme yksittäisten numeroiden ollessa suluissa.

Esimerkiksi sulkeiden avaamisen jälkeen lauseke − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) saa muotoa 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Miten teimme sen? Tiedämme, että − (− 2 x) on + 2 x , ja koska tämä lauseke tulee ensin, niin + 2 x voidaan kirjoittaa muodossa 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x ja − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Kahden luvun tuloissa

Aloitetaan säännöstä laajentaa sulkuja kahden luvun tulossa.

Kuvitellaanpa sitä a ja b ovat kaksi positiivista lukua. Tässä tapauksessa kahden negatiivisen luvun tulo − a ja − b muotoa (− a) (− b) voidaan korvata luvulla (a b) , ja muodon (− a) b ja a (− b) vastakkaisilla etumerkeillä varustetun luvun tulot voidaan korvata (− a b). Miinuksen kertominen miinuksella antaa plussan ja miinuksen kertominen plussalla, kuten plussan kertominen miinuksella, antaa miinuksen.

Kirjallisen säännön ensimmäisen osan oikeellisuuden vahvistaa negatiivisten lukujen kertomissääntö. Säännön toisen osan vahvistamiseksi voimme käyttää kertolaskusääntöjä lukuille, joilla on eri etumerkit.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 1

Tarkastellaan algoritmia sulkeiden avaamiseksi kahden negatiivisen luvun tulossa - 4 3 5 ja - 2 , muotoa (- 2) · - 4 3 5 . Tätä varten korvaamme alkuperäisen lausekkeen arvolla 2 · 4 3 5 . Laajennetaan sulkuja ja saadaan 2 · 4 3 5 .

Ja jos otamme negatiivisten lukujen osamäärän (− 4) : (− 2) , niin tietue sulujen avaamisen jälkeen näyttää tältä 4: 2

Negatiivisten lukujen sijaan − a ja − b voivat olla mitä tahansa lausekkeita, joissa on miinusmerkki ja jotka eivät ole summia tai eroja. Näitä voivat olla esimerkiksi tulot, osittaiset, murto-luvut, potenssit, juuret, logaritmit, trigonometriset funktiot jne.

Avataan sulut lausekkeeseen - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Säännön mukaan voidaan tehdä seuraavat muunnokset: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Ilmaisu (− 3) 2 voidaan muuntaa lausekkeeksi (− 3 2) . Tämän jälkeen voit avata sulut: – 32.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Numeroiden jakaminen eri merkillä voi myös edellyttää hakasulkeiden alustavaa laajentamista: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 ja 2 3 4: (- 3 , 5 ) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

Sääntöä voidaan käyttää kertomaan ja jakamaan lausekkeita eri etumerkeillä. Otetaan kaksi esimerkkiä.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

Kolmen tai useamman luvun tuloissa

Siirrytään tuloksiin ja osamääriin, jotka sisältävät suuremman määrän lukuja. Laajentaviin suluihin sovelletaan tässä seuraavaa sääntöä. Parillisella määrällä negatiivisia lukuja voit jättää pois sulkeet ja korvata luvut niiden vastakohtilla. Tämän jälkeen sinun on lisättävä tuloksena oleva lauseke uusiin hakasulkeisiin. Jos kyseessä on pariton määrä negatiivisia lukuja, korvaa luvut niiden vastakohdat jättäen pois sulut. Sen jälkeen tuloksena oleva lauseke on otettava uusiin hakasulkeisiin ja laitettava miinusmerkki sen eteen.

Esimerkki 2

Otetaan esimerkiksi lauseke 5 · (− 3) · (− 2) , joka on kolmen luvun tulo. Negatiivisia lukuja on kaksi, joten voimme kirjoittaa lausekkeen muodossa (5 3 2) ja avaa sitten lopuksi sulut, jolloin saadaan lauseke 5 3 2 .

Tulossa (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) viisi numeroa ovat negatiivisia. eli (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1, 25: 1) . Lopulta avaamme sulut, saamme −2,5 3:2 4:1,25:1.

Yllä oleva sääntö voidaan perustella seuraavasti. Ensinnäkin voimme kirjoittaa tällaiset lausekkeet uudelleen tuloksi korvaamalla jakamisen käänteisluvulla kertomisella. Esitämme jokaisen negatiivisen luvun kertoimen tulona ja korvaamme -1 tai -1 luvulla (− 1) a.

Kertomisen kommutatiivisen ominaisuuden avulla vaihdamme kertoimet ja siirrämme kaikki kertoimet yhtä suureksi − 1 , lausekkeen alkuun. Parillisen luvun tulo miinus ykköset on yhtä suuri kuin 1 ja pariton luku on yhtä suuri − 1 , jonka avulla voimme käyttää miinusmerkkiä.

Jos emme käyttäisi sääntöä, toimintoketju sulkeiden avaamiseksi lausekkeessa - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 näyttäisi tältä:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Yllä olevaa sääntöä voidaan käyttää laajennettaessa sulkeita lausekkeissa, jotka ovat tuloja ja osamäärää miinusmerkillä, jotka eivät ole summia tai eroja. Otetaan esimerkiksi lauseke

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Se voidaan pelkistää lausekkeeksi ilman sulkeita x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Aloitussulut, joita edeltää +-merkki

Harkitse sääntöä, jota voidaan soveltaa laajentamaan hakasulkeet, joita edeltää plusmerkki, ja näiden sulujen "sisältöä" ei kerrota tai jaeta millään luvulla tai lausekkeella.

Säännön mukaan sulut ja niiden edessä oleva merkki jätetään pois, kun taas suluissa olevien termien merkit säilytetään. Jos ensimmäisen termin edessä ei ole merkkiä suluissa, sinun on laitettava plusmerkki.

Esimerkki 3

Esimerkiksi annamme lausekkeen (12 − 3 , 5) − 7 . Jättämällä sulut pois, pidämme termien merkit suluissa ja laitamme plusmerkin ensimmäisen termin eteen. Merkintä näyttää tältä (12 − ​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . Yllä olevassa esimerkissä ei tarvitse laittaa merkkiä ensimmäisen termin eteen, koska + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Esimerkki 4

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Ota lauseke x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ja tee sillä toimintoja x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Tässä on toinen esimerkki sulkeiden laajentamisesta:

Esimerkki 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Kuinka laajentaa sulkuja, joita edeltää miinusmerkki

Harkitse tapauksia, joissa suluissa on miinusmerkki ja joita ei kerrota (tai jaeta) millään luvulla tai lausekkeella. "-"-merkin edeltävien hakasulkujen laajentamista koskevan säännön mukaan "-"-merkillä varustetut sulut jätetään pois, kun taas kaikkien suluissa olevien termien merkit käännetään.

Esimerkki 6

Esimerkiksi:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Muuttujalausekkeet voidaan muuntaa käyttämällä samaa sääntöä:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

saamme x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Sulkujen avaaminen, kun luku kerrotaan suluilla, lausekkeet suluilla

Tässä tarkastellaan tapauksia, joissa on tarpeen avata sulut, jotka kerrotaan tai jaetaan millä tahansa luvulla tai lausekkeella. Tässä kaavat muotoa (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) tai b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), missä a 1 , a 2 , … , a n ja b ovat joitain lukuja tai lausekkeita.

Esimerkki 7

Laajennetaan esimerkiksi lausekkeen sulkeita (3–7) 2. Säännön mukaan voidaan tehdä seuraavat muunnokset: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Saamme 3 · 2 − 7 · 2 .

Laajentamalla sulut lausekkeessa 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, saadaan 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Kerro sulku suluilla

Tarkastellaan kahden muodon (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) hakasulkeen tuloa. Tämä auttaa meitä saamaan säännön sulkeiden laajentamiseksi, kun sulut kerrotaan suluilla.

Yllä olevan esimerkin ratkaisemiseksi merkitsemme lauseketta (b 1 + b 2) kuten b. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää sulkulausekkeen kertolaskua. Saamme (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Tekemällä käänteisen vaihdon b Kohdassa (b 1 + b 2), käytä jälleen sääntöä lausekkeen kertomisesta hakasulkeella: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Useiden yksinkertaisten temppujen ansiosta voimme päästä kunkin ensimmäisen hakasulkeen termin ja toisen hakasulkeen kunkin termin tulojen summaan. Sääntöä voidaan laajentaa mihin tahansa määrään sulkujen sisällä olevia termejä.

Muotoilkaamme säännöt hakasulkeiden kertomiselle: kahden summan kertomiseksi keskenään on tarpeen kertoa kukin ensimmäisen summan termistä kullakin toisen summan ehdolla ja laskea tulokset yhteen.

Kaava näyttää tältä:

(a 1 + a 2 + . . . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Laajennamme sulkuja lausekkeessa (1 + x) · (x 2 + x + 6) Se on kahden summan tulo. Kirjoitetaan ratkaisu: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Erikseen kannattaa keskittyä niihin tapauksiin, joissa plusmerkkien ohella on miinusmerkki suluissa. Otetaan esimerkiksi lauseke (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Ensin esitämme suluissa olevat lausekkeet summina: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Nyt voidaan soveltaa sääntöä: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Laajenna sulkuja: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Sulkeen laajennus useiden hakasulkeiden ja lausekkeiden tuotteissa

Jos lausekkeessa on kolme tai useampia lausekkeita suluissa, on tarpeen laajentaa sulkuja peräkkäin. Muutos on aloitettava sillä tosiasialla, että kaksi ensimmäistä tekijää otetaan suluissa. Näiden hakasulkeiden sisällä voimme suorittaa muunnoksia edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Esimerkiksi sulut lausekkeessa (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

Lauseke sisältää kolme tekijää kerralla (2 + 4) , 3 ja (5 + 7 8). Laajennamme sulkuja peräkkäin. Laitamme kaksi ensimmäistä tekijää vielä yhteen hakasulkeeseen, jotka kirjoitamme selvyyden vuoksi punaisiksi: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Hakasulkeen luvulla kertomista koskevan säännön mukaisesti voimme suorittaa seuraavat toiminnot: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Kerro hakasulkeittain: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Sulkeet luontoissuorituksina

Asteita, joiden perustana ovat eräät hakasulkeisiin kirjoitetut lausekkeet, joissa on luonnollinen eksponentti, voidaan pitää useiden hakasulkeiden tulona. Lisäksi kahden edellisen kappaleen sääntöjen mukaan ne voidaan kirjoittaa ilman näitä sulkeita.

Harkitse lausekkeen muuntamisprosessia (a + b + c) 2 . Se voidaan kirjoittaa kahden hakasulkeen tulona (a + b + c) (a + b + c). Kerrotaan hakasulkeittain ja saadaan a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Otetaan toinen esimerkki:

Esimerkki 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Sulujen jakaminen luvulla ja sulujen jakaminen suluilla

Sulujen jakaminen numerolla tarkoittaa, että sinun on jaettava luvulla kaikki suluissa olevat termit. Esimerkiksi (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Jakolasku voidaan alustavasti korvata kertolaskulla, jonka jälkeen voit käyttää asianmukaista sääntöä sulkien avaamiseen tuotteessa. Sama sääntö pätee jaettaessa sulut suluilla.

Meidän on esimerkiksi avattava sulut lausekkeessa (x + 2) : 2 3 . Tee tämä korvaamalla ensin jako kertomalla (x + 2) käänteisluvulla: 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Kerro hakasulku luvulla (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Tässä on toinen esimerkki sulujen jaosta:

Esimerkki 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Korvataan jako kertolaskulla: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Tehdään kertolasku: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Kiinnikkeen laajennustilaus

Tarkastellaan nyt edellä käsiteltyjen sääntöjen soveltamisjärjestystä yleisissä ilmaisuissa, ts. lausekkeissa, jotka sisältävät summia, joissa on eroja, tuloja osamääräineen, hakasulkeissa luontoissuorituksina.

Toimien järjestys:

• ensimmäinen askel on nostaa sulkeet luonnolliseksi voimaksi;
• toisessa vaiheessa sulut avataan teoksissa ja yksityisissä;
• viimeinen vaihe on avata summien ja erojen sulut.

Tarkastellaan toimintojen järjestystä lausekkeen (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) esimerkin avulla. Muunnetaan lausekkeista 3 (− 2) : (− 4) ja 6 (− 7) , joiden tulee olla muotoa (3 2:4) ja (− 6 7) . Korvaamalla saadut tulokset alkuperäiseen lausekkeeseen, saadaan: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Laajenna sulut: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Käsiteltäessä lausekkeita, jotka sisältävät sulkumerkit suluissa, on kätevää tehdä muunnoksia sisältä ulospäin.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämä yhtälön osa on suluissa oleva lauseke. Avaa sulkeet katsomalla sulkujen edessä olevaa merkkiä. Jos plusmerkki on, mikään ei muutu, kun laajennat lausekkeiden tietueen sulkuja: poista vain sulut. Jos on miinusmerkki, sulkuja avattaessa on tarpeen vaihtaa kaikki alun perin suluissa olevat merkit vastakkaisiin. Esimerkiksi -(2x-3)=-2x+3.

Kahden hakasulkeen kertominen.
Jos yhtälö sisältää kahden sulkumerkin tulon, laajenna sulkuja vakiosäännön mukaisesti. Jokainen ensimmäisen sulkumerkin termi kerrotaan kunkin toisen sulkumerkin termillä. Tuloksena saadut luvut lasketaan yhteen. Tässä tapauksessa kahden "plussin" tai kahden "miinuksen" tulo antaa termille "plus"-merkin, ja jos tekijöillä on eri merkit, se saa "miinus"-merkin.
Harkitse.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Laajentamalla sulkeita, joskus korottamalla lauseke muotoon . Neliöinnin ja kuutioimisen kaavat on tiedettävä ulkoa ja muistettava.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Kaavat kolmea suuremman lausekkeen nostamiseksi voidaan tehdä käyttämällä Pascalin kolmiota.

Lähteet:

• sulkujen avauskaava

Hakasulkeissa olevat matemaattiset operaatiot voivat sisältää muuttujia ja lausekkeita, joiden monimutkaisuusaste vaihtelee. Tällaisten lausekkeiden moninkertaistamiseksi sinun on etsittävä ratkaisua yleisessä muodossa avaamalla sulut ja yksinkertaistamalla tulosta. Jos suluissa on operaatioita ilman muuttujia, vain numeroarvoilla, sulkuja ei tarvitse avata, koska jos tietokone on käyttäjän käytettävissä, käytettävissä on erittäin merkittäviä laskentaresursseja - niitä on helpompi käyttää kuin yksinkertaistaa ilmaisu.

Ohje

Kerro peräkkäin jokainen yhdessä sulussa oleva (tai vähennä niistä) kaikkien muiden sulkeiden sisällöllä, jos haluat saada yleisen tuloksen. Esimerkiksi kirjoitetaan alkuperäinen lauseke näin: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Sitten peräkkäinen kertolasku (eli hakasulkeiden laajentaminen) antaa seuraavan tuloksen: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Yksinkertaista tuloksen jälkeen lyhentämällä lausekkeita. Esimerkiksi edellisessä vaiheessa saatua lauseketta voidaan yksinkertaistaa seuraavasti: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Käytä laskinta, jos sinun täytyy kertoa x on yhtä kuin 4,75, eli (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Laske tämä arvo siirtymällä Googlen tai Nigman hakukoneen verkkosivuille ja kirjoittamalla lauseke kyselykenttään alkuperäisessä muodossaan (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google näyttää numeron 82.265625 välittömästi ilman napin painallusta, kun taas Nigman on lähetettävä tiedot palvelimelle napin painalluksella.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Edellisellä oppitunnilla käsittelimme faktorointia. Hallitsimme kaksi tapaa: yhteisen tekijän poistamisen suluista ja ryhmittelyn. Tässä opetusohjelmassa seuraava tehokas menetelmä: lyhennetyt kertolaskut. Lyhyesti sanottuna - FSU.

Lyhennetyt kertolaskut (summan ja erotuksen neliö, summan ja erotuksen kuutio, neliöiden erotus, kuutioiden summa ja erotus) ovat välttämättömiä kaikilla matematiikan aloilla. Niitä käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen, yhtälöiden ratkaisemiseen, polynomien kertomiseen, murtolukujen vähentämiseen, integraalien ratkaisemiseen jne. jne. Lyhyesti sanottuna on kaikki syyt käsitellä niitä. Ymmärrä, mistä ne tulevat, miksi niitä tarvitaan, kuinka muistaa ne ja miten niitä sovelletaan.

Ymmärrämmekö?)

Mistä lyhennetyt kertolaskukaavat ovat peräisin?

Yhtälöitä 6 ja 7 ei kirjoiteta kovin tavallisella tavalla. Kuten päinvastoin. Tämä on tarkoituksellista.) Mikä tahansa tasa-arvo toimii sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle. Tällaisessa tietueessa on selvempää, mistä FSO tulee.

Ne on otettu kertolaskusta.) Esimerkiksi:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Siinä se, ei tieteellisiä temppuja. Kerromme vain hakasulkeet ja annamme samanlaiset. Näin se käy kaikki lyhennetyt kertolaskukaavat. lyhennettynä kertominen johtuu siitä, että itse kaavoissa ei ole hakasulkujen kertolaskua ja samankaltaisten pelkistämistä. Pienennetty.) Tulos ilmoitetaan välittömästi.

FSU:n on tiedettävä ulkoa. Ilman kolmea ensimmäistä et voi haaveilla kolmosta, ilman muita - noin neljästä viidellä.)

Miksi tarvitsemme lyhennettyjä kertolaskukaavoja?

On kaksi syytä oppia nämä kaavat, jopa oppia ulkoa. Ensimmäinen - koneessa oleva valmis vastaus vähentää dramaattisesti virheiden määrää. Mutta tämä ei ole tärkein syy. Ja tässä toinen...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Matemaattiset lausekkeet (kaavat) lyhennetty kertolasku(summan ja erotuksen neliö, summan ja erotuksen kuutio, neliöiden erotus, kuutioiden summa ja ero) ovat erittäin korvaamattomia monilla eksaktien tieteiden alueilla. Nämä 7 merkkiä ovat korvaamattomia lausekkeiden yksinkertaistamisessa, yhtälöiden ratkaisemisessa, polynomien kertomisessa, murtolukujen pienentämisessä, integraalien ratkaisemisessa ja paljon muuta. Joten on erittäin hyödyllistä selvittää, miten ne on saatu, mihin ne on tarkoitettu, ja mikä tärkeintä, kuinka muistaa ne ja sitten soveltaa niitä. Sitten hakeminen lyhennetyt kertolaskut käytännössä vaikeinta on nähdä, mikä on X ja mitä on. Ilmeisesti ei ole rajoituksia a ja b ei, mikä tarkoittaa, että se voi olla mikä tahansa numeerinen tai kirjaimellinen lauseke.

Ja tässä ne ovat:

Ensimmäinen x 2 - klo 2 = (x - y) (x + y).Laskea neliöiden ero kaksi lauseketta, on tarpeen kertoa näiden lausekkeiden erot niiden summilla.

Toinen (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Löytää neliösumma kaksi lauseketta, sinun on lisättävä ensimmäisen lausekkeen neliöön kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo toisella plus toisen lausekkeen neliö.

Kolmanneksi (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Laskea ero neliöity kaksi lauseketta, sinun on vähennettävä ensimmäisen lausekkeen neliöstä kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo toisella plus toisen lausekkeen neliö.

Neljäs (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 v + 3x 2 + klo 3. Laskea summa kuutio kaksi lauseketta, sinun on lisättävä ensimmäisen lausekkeen kuutioon kolme kertaa ensimmäisen ja toisen lausekkeen neliön tulo plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliön tulo sekä lausekkeen kuutio. toinen ilmaus.

Viides (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 v + 3x 2 - klo 3. Laskea ero kuutio kaksi lauseketta, on tarpeen vähentää ensimmäisen lausekkeen kuutiosta kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen neliön tulo toisella plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toisen neliö miinus toisen lausekkeen kuutio ilmaisu.

kuudes x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Laskea kuutioiden summa kaksi lauseketta, sinun on kerrottava ensimmäisen ja toisen lausekkeen summat näiden lausekkeiden erotuksen epätäydellisellä neliöllä.

seitsemäs x 3 - klo 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Laskelman tekemiseen kuution eroja kaksi lauseketta, on välttämätöntä kertoa ensimmäisen ja toisen lausekkeen ero näiden lausekkeiden summan epätäydellisellä neliöllä.

Ei ole vaikea muistaa, että kaikkia kaavoja käytetään laskelmien tekemiseen vastakkaiseen suuntaan (oikealta vasemmalle).

Näiden säännönmukaisuuksien olemassaolo tiedettiin noin 4 tuhatta vuotta sitten. Muinaisen Babylonin ja Egyptin asukkaat käyttivät niitä laajasti. Mutta niinä aikakausina ne ilmaistiin sanallisesti tai geometrisesti, eivätkä ne käyttäneet kirjaimia laskelmissa.

Analysoidaan summa neliötodistus(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2.

Tämä matemaattinen säännöllisyys todisti antiikin kreikkalainen tiedemies Euklid, joka työskenteli Aleksandriassa 3. vuosisadalla eKr., hän käytti geometrista menetelmää todistaakseen tämän kaavan, koska antiikin Hellaksen tiedemiehet eivät myöskään käyttäneet kirjaimia osoittamaan numeroita. He eivät kaikkialla käyttäneet "a 2", vaan "neliötä segmentillä a", ei "ab", vaan "suorakulmio, joka on suljettu segmenttien a ja b väliin".