Todennäköisyyslaskennan käsikirja. Venäjän federaation opetusministeriö Kazanin valtion teknillinen yliopisto, joka on nimetty V.I. A. N. Tupoleva Todennäköisyysteoria (opetusohjelma). Itseratkaisutehtävät Urheilijan todennäköisyys paranee
, Venäjän federaation rikosprosessilaki, päivätty 18.1.rtf , Venäjän federaation terveydensuojelulainsäädännön perusteet, Euroopan ihmisoikeustuomioistuin. Oikeudellinen mekanismi yksittäisen valituksen tekemiseksi ja oikeudellinen .
Oppitunti 4. Todennäköisyyksien yhteenlaskulause.
14.1. Lyhyt teoreettinen osa
Kahden tapahtuman summan todennäköisyys määritetään kaavallaP( A+AT) = P( A)+P( B) - R( AB),
joka yleistyy minkä tahansa määrän tapahtumien summaksi
Yhteensopimattomien tapahtumien tapauksessa tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa, eli .
24.2. Testata
Missä tapauksessa tapahtumia A ja B kutsutaan yhteensopimattomiksi tai yhteensopimattomiksi?
b) Kun vähintään yksi näistä tapahtumista tapahtuu testin aikana
c) Kun näiden tapahtumien yhteinen esiintyminen on mahdotonta
d) Kun molemmat tapahtumat tapahtuvat kokeen aikana
Määritä yhteensopivia tapahtumia.
b) Saman opiskelijan läsnäolo samaan aikaan luennolla luokkahuoneessa ja elokuvateatterissa
c) Kevään alkaminen kalenterin ja lumisateen mukaan
d) Kummankin kolmen pisteen nopan pudotetulla sivulla esiintyminen ja molempien nopan pudotettujen pintojen pisteiden summa parittoman luvun kanssa
e) Jalkapallo-ottelun näyttäminen yhdellä televisiokanavalla ja lehdistötiedote toisella
Yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summauslause muotoillaan seuraavasti:
b) Todennäköisyys kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa
c) Todennäköisyys kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien välinen erotus
Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien summauslause muotoillaan seuraavasti:
b) Vähintään toisen kahdesta yhteisestä tapahtumasta tapahtuvan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyyttä
c) Vähintään toisen kahdesta yhteisestä tapahtumasta tapahtuvan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien ja niiden yhteisen todennäköisyyden summa
Todennäköisyyslisäyslause yleistetään minkä tahansa määrän tapahtumien summaan, ja tapahtumien summan todennäköisyys yleensä lasketaan kaavalla:
Jos tapahtumat eivät ole yhteensopivia, näiden tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri:
b)
sisään)
34.3. Tyypillisten tehtävien ratkaisu
Esimerkki 4.1. Määritä todennäköisyys, että sadan tuotteen erä, mukaan lukien viisi viallista, hyväksytään testaamalla satunnaisesti valittu puolet koko erästä, jos hyväksymisehdot sallivat enintään yhden viidestäkymmenestä viallisesta tuotteesta.Ratkaisu.
FROM, joka koostuu siitä, että sadan tuotteen erä, joista viisi on viallisia, hyväksytään testattaessa satunnaisesti valittu puolet koko erästä.
Merkitse MUTTA tapahtuma, joka koostuu siitä, että viallisia tuotteita ei vastaanotettu testin aikana ja sen jälkeen AT- tapahtuma, jossa vastaanotetaan vain yksi viallinen tuote.
Koska С=А+В, niin haluttu todennäköisyys P(C) = Р( MUTTA+B).
Kehitys MUTTA ja AT yhteensopimaton. Siksi P(C) = P( MUTTA)+ P( B).
100 tuotteesta 50 on valittavissa eri tavoilla. 95 viattomasta tuotteesta 50 on valittavissa eri tavoilla.
Siksi R( A)=.
Samoin R( B)= .
P(C) = P( MUTTA)+ P( B)=+==0,181.
Esimerkki 4.2.
Sähköpiiri pisteiden välillä M ja N koottu kuvassa esitetyn kaavion mukaisesti. 5.
Epäonnistuminen ajan myötä T ketjun eri elementit - itsenäiset tapahtumat seuraavilla todennäköisyyksillä (taulukko 1).
pöytä 1
Elementti K 1
K 2
L 1
L 2
L 3
Todennäköisyys0,60,50,40,70,9 Määritä todennäköisyys, että piiri katkeaa tietyllä aikavälillä.
Ratkaisu.
Mietitäänpä tapahtumaa FROM, joka koostuu siitä, että ketju katkeaa tietyn ajan.
Merkitse A j (j= 1,2) tapahtuma, joka koostuu elementin epäonnistumisesta Vastaanottaja j, kautta MUTTA- vähintään yhden elementin vika Vastaanottaja j, ja läpi AT- kaikkien kolmen elementin epäonnistuminen MUTTA i (i=1, 2, 3).
Sitten haluttu todennäköisyys
R( FROM) = P( A + AT) = P( A) + P( AT) - R( A)R( B).
R( A) = P( A 1 ) + P( A 2 ) - R( A 1 )R( A 2 ) = 0,8,
R( AT) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,
sitten.
Esimerkki 4.3.
Urna sisältää n valkoinen, m mustat ja l punaiset pallot, jotka arvotaan satunnaisesti yksi kerrallaan:
a) ei paluuta
b) palautus jokaisen poiston jälkeen.
Määritä molemmissa tapauksissa todennäköisyys, että valkoinen pallo vedetään ennen mustaa.
Ratkaisu.
Päästää R 1 on todennäköisyys, että valkoinen pallo vedetään ennen mustaa, ja R 11 on todennäköisyys, että musta pallo vedetään ennen valkoista.
Todennäköisyys R 1 on todennäköisyyksien summa, että valkoinen pallo vedetään heti yhden punaisen, kahden punaisen jne. piirtämisen jälkeen. Näin ollen voidaan kirjoittaa siinä tapauksessa, että palloja ei palauteta,
ja kun pallot palaavat
Saadakseen todennäköisyyksiä R 11
aiemmissa kaavoissa sinun on korvattava n päällä m, a m päällä n. Tästä seuraa, että molemmissa tapauksissa R 1
:R 11
= n:m. Koska lisäksi R 1
+R 11
= 1, silloin haluttu todennäköisyys nostettaessa palloja ilman vaihtoa on myös yhtä suuri.
Esimerkki 4.4.
Joku kirjoitti n kirjeet, sinetöi ne kirjekuoriin ja kirjoitti sitten satunnaisesti eri osoitteen jokaiseen niistä. Määritä todennäköisyys, että ainakin yhdellä kirjekuorista on oikea osoite.
Ratkaisu.
Anna tapahtuman A k onko se päällä k- kirjekuori sisältää oikean osoitteen ( k=l, 2,..., n).
Haluttu todennäköisyys.
Kehitys A k yhteinen; mille tahansa erilaiselle k, j, i, ... yhtäläisyydet pätevät:
Käyttämällä summan todennäköisyyden kaavaa n tapahtumia, saamme
Vapaana n.
44.4. Tehtävät itsenäiseen työhön
4.1. Jokainen neljästä yhteensopimattomasta tapahtumasta voi tapahtua todennäköisyyksillä 0,012, 0,010, 0,006 ja 0,002. Määritä todennäköisyys, että ainakin yksi näistä tapahtumista tapahtuu kokeen seurauksena.(Vastaus:
p = 0,03)
4.2. Ampuja ampuu yhden laukauksen maaliin, joka koostuu keskiympyrästä ja kahdesta samankeskisesta renkaasta. Todennäköisyys osua ympyrään ja renkaaseen ovat 0,20, 0,15 ja 0,10. Määritä todennäköisyys osua kohteeseen.
(Vastaus:
p = 0,55)
4.3. Kaksi identtistä sädettä olevaa kolikkoa r sijaitsee sädeympyrän sisällä R, johon piste heitetään satunnaisesti. Määritä todennäköisyys, että tämä piste putoaa jollekin kolikoista, jos kolikot eivät mene päällekkäin.
(Vastaus:
p =)
4.4 Millä todennäköisyydellä 52 kortin pakasta (nappulaa kutsutaan jätkäksi, kuningattareksi tai kuninkaaksi) nostetaan minkä tahansa maan pala tai patakortti?
(Vastaus:
p =)
4.5 Laatikko sisältää 10 20 kopekan kolikkoa, 5 15 kopekan kolikkoa. ja 2 10 kopekan kolikkoa. Kuusi kolikkoa arvotaan sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä ne ovat yhteensä enintään yksi rupla?
(Vastaus:
p =)
4.6. Kahdessa uurnassa on palloja, jotka eroavat toisistaan vain väriltään, ja ensimmäisessä uurnassa on 5 valkoista palloa, 11 mustaa ja 8 punaista ja toisessa 10, 8 ja 6. Molemmista uurnasta nostetaan satunnaisesti yksi pallo. Millä todennäköisyydellä molemmat pallot ovat samanvärisiä?
(Vastaus:
p = 0,323)
4.7. peli välillä A ja B suoritetaan seuraavissa olosuhteissa: ensimmäisen liikkeen seurauksena, joka tekee aina MUTTA, hän voi voittaa todennäköisyydellä 0,3; jos ensimmäinen liike A ei voita, niin siirto on tehty AT ja voi voittaa todennäköisyydellä 0,5; jos tämän liikkeen seurauksena AT ei sitten voita A tekee toisen liikkeen, joka voi johtaa hänen voittoon todennäköisyydellä 0,4. Määritä voiton todennäköisyys MUTTA ja varten AT.
(Vastaus:
= 0,44, = 0,35)
4.8 Tietyn urheilijan todennäköisyys parantaa aikaisempaa tulostaan yhdellä yrityksellä on R. Määritä todennäköisyys, että urheilija parantaa suorituskykyään kilpailussa, jos kaksi yritystä on sallittu.
(Vastaus:
p(A) =)
4.9. Uurnasta, joka sisältää n pallot numeroitu 1:stä n, kaksi palloa arvotaan peräkkäin, ja ensimmäinen pallo palautetaan, jos sen numero ei ole yksi. Määritä todennäköisyys, että pallo, jonka numero on 2, arvotaan toisessa arvonnassa.
(Vastaus:
p =)
4.10. Pelaaja MUTTA vuorotellen pelaajien kanssa AT ja FROM, jonka todennäköisyys voittaa jokaisessa pelissä on 0,25, ja lopettaa pelin ensimmäisen tappion jälkeen tai kahden kunkin pelaajan kanssa pelatun pelin jälkeen. Määritä voiton todennäköisyys AT ja FROM.
(Vastaus:
)
4.11 Kaksi ihmistä heittelevät vuorotellen kolikkoa. Se, jolla on ensin vaakuna, voittaa. Määritä kunkin pelaajan voiton todennäköisyys.
(Vastaus:
)
4.12 Todennäköisyys saada piste menettämättä syöttöä, kun pelataan kahta vastaavaa lentopallojoukkuetta, on puolet. Määritä todennäköisyys saada yksi piste palvelevalle joukkueelle.
(Vastaus:
p =)
4.13. Kaksi ampujaa ampuu vuorotellen maaliin ensimmäiseen osumaan asti. Ensimmäisen ampujan osumistodennäköisyys on 0,2 ja toisen ampujan 0,3. Laske todennäköisyys, että ensimmäinen ampuja ampuu enemmän laukauksia kuin toinen.
(Vastaus:
p = 0,455)
4.14. Kaksi pelaa voittaakseen, ja tätä varten on välttämätöntä, että ensimmäinen voittaa t osapuolet ja toinen P juhlia. Todennäköisyys, että ensimmäinen pelaaja voittaa jokaisen pelin, on yhtä suuri R, ja toinen q=1-R. Määritä ensimmäisen pelaajan todennäköisyys voittaa koko peli.
(Vastaus: p(A) =)
1. Ensimmäinen laatikko sisältää 2 valkoista ja 10 mustaa palloa; Toinen laatikko sisältää 8 valkoista ja 4 mustaa palloa. Jokaisesta laatikosta otettiin pallo. Mikä on todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia?
2. Ensimmäinen laatikko sisältää 2 valkoista ja 10 mustaa palloa; Toinen laatikko sisältää 8 valkoista ja 4 mustaa palloa. Jokaisesta laatikosta otettiin pallo. Millä todennäköisyydellä yksi pallo on valkoinen ja toinen musta?
3. Laatiossa on 6 valkoista ja 8 mustaa palloa. Kaksi palloa otetaan pois laatikosta (palauttamatta poistettua palloa laatikkoon). Laske todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia.
4. Kolme ampujaa ampuu itsenäisesti maaliin. Ensimmäisen ampujan maaliin osumisen todennäköisyys on 0,75, toisen - 0,8, kolmannen - 0,9. Määritä todennäköisyys, että kaikki kolme nuolta osuvat kohteeseen samanaikaisesti; vähintään yksi ampuja osuu maaliin.
5. Urnassa on 9 valkoista ja 1 musta palloa. Kolme palloa poistettiin kerralla. Millä todennäköisyydellä kaikki pallot ovat valkoisia?
6. Ammu kolme laukausta yhtä maalia kohti. Jokaisen laukauksen osumisen todennäköisyys on 0,5. Määritä todennäköisyys, että vain yksi osuma tapahtuu näiden laukausten seurauksena.
7. Kaksi ampujaa, joiden todennäköisyys osua maaliin on 0,7 ja 0,8, ampuu kumpikin yhden laukauksen. Määritä ainakin yhden osuman todennäköisyys kohteeseen.
8. Todennäköisyys, että ensimmäisellä koneella valmistettu osa on ensiluokkainen, on 0,7. Jos sama osa valmistetaan toisessa koneessa, tämä todennäköisyys on 0,8. Ensimmäisessä koneessa tehdään kaksi osaa, toisessa kolme. Laske todennäköisyys, että kaikki osat ovat ensiluokkaisia.
9. Laitteen toiminta pysähtyi yhden lampun vioista viidestä . Tämän lampun haku suoritetaan vaihtamalla jokainen lamppu vuorotellen uuteen. Määritä todennäköisyys, että sinun on tarkistettava 2 lamppuja, jos kunkin lampun vian todennäköisyys on p = 0,2 .
10. Sivustolla AB Kilpamoottoripyöräilijälle on 12 estettä, joista jokaisen kohdalla pysähtymistodennäköisyys on 0,1. Todennäköisyys, että tuotteesta AT lopulliseen määränpäähän FROM moottoripyöräilijä ohittaa pysähtymättä, on 0,7. Määritä todennäköisyys, että alue AC pysähdystä ei tule.
11. Auton tiellä on 4 liikennevaloa. Todennäköisyys pysähtyä kahdelle ensimmäiselle on 0,3 ja seuraaville kahdelle 0,4. Mikä on todennäköisyys ohittaa liikennevalot pysähtymättä?
12. Auton tiellä on 3 liikennevaloa. Todennäköisyys pysähtyä kahdessa ensimmäisessä on 0,4 ja kolmannessa 0,5. Mikä on todennäköisyys ohittaa liikennevalot yhdellä pysähdyksellä?
13. Kaksi Internetin verkkopalvelinta on vaarassa saada virushyökkäys päivässä todennäköisyydellä 0,3. Millä todennäköisyydellä heihin ei kohdistunut yhtään hyökkäystä kahteen päivään?
14. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella tietyllä ampujalla on 2/3. Jos ensimmäisellä laukauksella kirjataan osuma, niin ampuja saa oikeuden toiseen laukaukseen. Jos hän osuu toisella kerralla, hän ampuu kolmannen kerran. Mikä on todennäköisyys osua kolmella laukauksella?
15. Peli välillä MUTTA ja AT pelataan seuraavissa olosuhteissa: ensimmäisen liikkeen seurauksena, joka tekee aina MUTTA, hän voi voittaa todennäköisyydellä 0,3; jos ensimmäinen liike MUTTA ei voita, niin siirto on tehty AT ja voi voittaa todennäköisyydellä 0,5; jos tämän liikkeen seurauksena AT ei sitten voita MUTTA tekee toisen liikkeen, joka voi johtaa hänen voittoon todennäköisyydellä 0,4. Määritä voiton todennäköisyys MUTTA ja varten AT.
16. Tietyn urheilijan todennäköisyys parantaa aikaisempaa tulostaan yhdellä yrityksellä on 0,2 . Määritä todennäköisyys, että urheilija parantaa suorituskykyään kilpailussa, jos kaksi yritystä on sallittu.
17. Pelaaja MUTTA pelaa vuorotellen kaksi peliä pelaajien kanssa AT ja FROM. Todennäköisyys voittaa ensimmäinen peli AT ja FROM ovat 0,1 ja 0,2, vastaavasti; todennäköisyys voittaa toisessa pelissä AT on 0,3, for FROM on yhtä suuri kuin 0,4. Määritä todennäköisyys, että: a) B voittaa ensin; b) voittaa ensin FROM.
18. Urnasta, joka sisältää P pallot numeroitu 1:stä n, arvotaan kaksi palloa peräkkäin, joista ensimmäinen palautetaan, jos sen numero ei ole yksi. Määritä todennäköisyys, että pallo, jonka numero on 2, arvotaan toisessa arvonnassa.
19. Pelaaja MUTTA pelaa vuorotellen pelaajien B ja C kanssa voiton todennäköisyydellä kussakin erässä 0,25 ja lopettaa pelin ensimmäisen voiton jälkeen tai kahden jommankumman pelaajan kanssa hävinneen pelin jälkeen. Määritä todennäköisyys voittaa B ja C.
20. Kaksi ihmistä heittelevät vuorotellen kolikkoa. Se joka voittaa. jonka vaakuna ilmestyy ensimmäisenä. Määritä kunkin pelaajan voiton todennäköisyys.
21. Urnassa on 8 valkoista ja 6 mustaa palloa. Kaksi pelaajaa nostaa yhden pallon peräkkäin ja palauttaa joka kerta vedetyn pallon. Peliä jatketaan, kunnes toinen heistä saa valkoisen pallon. Määritä todennäköisyys, että pelin aloittava pelaaja vetää ensimmäisenä valkoisen pallon.
22. Kuriiri lähetettiin asiakirjoille 4 arkistoon. Tarvittavien asiakirjojen esiintymisen todennäköisyys I:nnessä arkistossa on 0,9; II:ssa - 0,95; III-emissä - 0,8; IV - ohm - 0,6. Etsi todennäköisyys P asiakirjan puuttumiselle vain yhdestä arkistosta.
23. Laske todennäköisyys, että kaksi kolmesta laskentalaitteen itsenäisesti toimivasta elementistä epäonnistuu, jos ensimmäisen, toisen ja kolmannen elementin vian todennäköisyys on 0,3, 0,5, 0,4.
24. Häkissä on 8 valkoista ja 4 harmaata hiirtä. Kolme hiirtä valitaan satunnaisesti laboratoriokokeisiin, eikä niitä palauteta. Laske todennäköisyys, että kaikki kolme hiirtä ovat valkoisia.
25. Häkissä on 8 marsua. Kolme heistä kärsii mineraalisuolojen vaihdon rikkomisesta. Kolme eläintä otetaan peräkkäin ilman palautusta. Millä todennäköisyydellä he ovat terveitä?
26. Lammessa on 12 ristikkoa, 18 lahnaa ja 10 karppia. Sai kolme kalaa. Laske todennäköisyys, että kaksi karppia ja ristua pyydettiin peräkkäin.
27. Laumassa on 12 lehmää, joista 4 on Simmental-rotua, loput ovat Hallstein-Friest-rotua. Valintatyöhön valittiin kolme eläintä. Selvitä todennäköisyys, että kaikki kolme ovat simmentaalirotuja.
28. Hippodromilla on 10 lahtihevosta, 3 harmaata ja 7 valkoista. Kilpailuun valittiin satunnaisesti 2 hevosta. Millä todennäköisyydellä heidän joukossaan ei ole valkoista hevosta?
29. Kennelissä on 9 koiraa, joista 3 collieta, 2 nyrkkeilijää, loput koiria. Kolme koiraa valitaan satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä heidän joukossaan on ainakin yksi nyrkkeilijä?
30. Eläinten keskimääräinen jälkeläinen on 4. Naaras- ja urosyksilöiden ilmaantuminen on yhtä todennäköistä. Laske todennäköisyys, että jälkeläisissä on kaksi urosta.
31. Pakkaus sisältää siemeniä, joiden itävyys on 0,85. Todennäköisyys, että kasvi kukkii, on 0,9. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitusta siemenestä kasvatettu kasvi kukkii?
32. Pakkauksessa on pavunsiemeniä, joiden itävyys on 0,9. Todennäköisyys, että pavun kukat ovat punaisia, on 0,3. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitusta siemenestä saadulla kasvilla on punaiset kukat?
33. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu henkilö joutuu sairaalaan seuraavan kuukauden aikana, on 0,01. Millä todennäköisyydellä kolmesta kadulta satunnaisesti valitusta ihmisestä täsmälleen yksi joutuu sairaalaan seuraavan kuukauden aikana?
34. Lypsyneito palvelee 4 lehmää. Todennäköisyys saada utaretulehdus kuukauden aikana ensimmäisellä lehmällä on 0,1, toisella - 0,2, kolmannella - 0,2, neljännellä - 0,15. Laske todennäköisyys, että vähintään yksi lehmä sairastuu utaretulehdukseen kuukauden sisällä.
35. Neljä metsästäjää suostui ampumaan riistaa vuorotellen. Seuraava metsästäjä ampuu laukauksen vain, jos edellinen osuu ohi. Kunkin metsästäjän todennäköisyys osua kohteeseen on sama ja yhtä suuri kuin 0,8. Laske todennäköisyys, että ammutaan kolme laukausta.
36. Opiskelija opiskelee kemiaa, matematiikkaa ja biologiaa. Hän arvioi, että todennäköisyys saada "erinomainen" näillä kursseilla on 0,5, 0,3 ja 0,4. Olettaen, että näiden kurssien arvosanat ovat riippumattomia, laske todennäköisyys, että hän ei saa "erinomaisia" arvosanoja.
37. Opiskelija tietää 20 ohjelman 25 kysymyksestä. Millä todennäköisyydellä hän tietää kaikki kolme tutkijan hänelle antamaa ohjelman kysymystä?
38. Kaksi metsästäjää ampuu sutta, ja kumpikin ampuu yhden laukauksen. Ensimmäisen ja toisen metsästäjän todennäköisyys osua kohteeseen on 0,7 ja 0,8. Mikä on todennäköisyys lyödä susia ainakin yhdellä laukauksella?
39. Jollekin ampujalle todennäköisyys osua maaliin kolmella laukauksella vähintään kerran on 0,875. Etsi todennäköisyys osua yhdellä laukauksella.
40. Lajasta valitaan erittäin tuottavat lehmät. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu eläin on erittäin tuottava, on 0,2. Selvitä todennäköisyys, että vain kaksi kolmesta valitusta lehmästä on erittäin tuottava.
41. Ensimmäisessä häkissä on 3 valkoista ja 4 harmaata kania, toisessa häkissä 7 valkoista ja 5 mustaa kania. Jokaisesta häkistä otettiin satunnaisesti yksi kani. Millä todennäköisyydellä molemmat kanit ovat valkoisia?
42. Kahden rokotteen tehoa tutkittiin eläinryhmässä. Molemmat rokotteet voivat aiheuttaa allergiaa eläimille yhtä suurella todennäköisyydellä 0,2. Selvitä todennäköisyys, että rokotteet eivät aiheuta allergiaa.
43. Perheessä on kolme lasta. Olettaen, että pojan ja tytön syntymät ovat yhtä todennäköisiä, laske todennäköisyys, että kaikki perheen lapset ovat samaa sukupuolta.
44. Vakaan lumipeitteen muodostumisen todennäköisyys tietylle alueelle lokakuusta lähtien on 0,1. Määritä todennäköisyys, että seuraavan kolmen vuoden aikana tälle alueelle muodostuu vakaa lumipeite vähintään kerran lokakuusta lähtien.
45. Määritä todennäköisyys, että satunnaisesti valittu tuote on ensiluokkainen, jos tiedetään, että 4 % kaikista tuotteista on viallisia ja 75 % viattomista tuotteista täyttää ensimmäisen luokan vaatimukset.
46. Kaksi ampujaa, joiden todennäköisyys osua maaliin on 0,7 ja 0,8, ampuu kumpikin yhden laukauksen. Määritä ainakin yhden osuman todennäköisyys kohteeseen.
47. Tapahtuman todennäköisyys jokaisessa kokeessa on sama ja on 0,2. Kokeet suoritetaan peräkkäin, kunnes tapahtuma tapahtuu. Määritä todennäköisyys, että neljäs koe on suoritettava.
48. Todennäköisyys, että ensimmäisellä koneella valmistettu osa on ensiluokkaista, on 0,7. Valmistettaessa samaa osaa toisella koneella tämä todennäköisyys on 0,8. Ensimmäisessä koneessa tehdään kaksi osaa, toisessa kolme. Laske todennäköisyys, että kaikki osat ovat ensiluokkaisia.
49. Katkos sähköpiirissä voi tapahtua, kun yksi tai kaksi elementtiä vioittuvat toisistaan riippumatta, todennäköisyydellä 0,3; 0,2 ja 0,2. Määritä sähköpiirin katkeamisen todennäköisyys.
50. Laitteen toiminta pysähtyi yhden lampun/10 vian takia. Tämän lampun haku suoritetaan vaihtamalla jokainen lamppu vuorotellen uuteen. Määritä todennäköisyys, että 7 lamppua on tarkastettava, jos kunkin lampun vian todennäköisyys on 0,1.
51. Todennäköisyys, että sähköpiirin jännite ylittää nimellisarvon, on 0,3. Suurennetulla jännitteellä laitteen onnettomuuden todennäköisyys - sähkövirran kuluttaja on 0,8. Määritä jännitteen nousun aiheuttaman laitevian todennäköisyys.
52. Ensimmäisen maalin osumisen todennäköisyys tietylle ampujalle on 2/3. Jos osuma kirjataan ensimmäisen laukauksen aikana, ampujalla on oikeus ampua toiseen maaliin. Todennäköisyys osua molempiin maaliin kahdella laukauksella on 0,5. Määritä todennäköisyys osua toiseen kohteeseen.
53. Kuuden kortin avulla, joihin on kirjoitettu yksi kirjain, muodostetaan sana "vaunu". Kortit sekoitetaan ja sitten arvotaan satunnaisesti yksi kerrallaan. Millä todennäköisyydellä sana "raketti" muodostuu kirjainten järjestyksessä?
54. Tilaaja unohti puhelinnumeron viimeisen numeron ja valitsee sen siksi satunnaisesti. Määritä todennäköisyys, että hän joutuu soittamaan enintään kolmeen paikkaan.
55. Jokainen neljästä yhteensopimattomasta tapahtumasta voi tapahtua vastaavasti todennäköisyydellä 0,012; 0,010; 0,006 ja 0,002. Määritä todennäköisyys, että ainakin yksi näistä tapahtumista tapahtuu kokeen seurauksena.
56. Millä todennäköisyydellä 52 kortin pakasta saadaan minkä tahansa maan pala tai patakortti (nappulaa kutsutaan jätkäksi, kuningattareksi tai kuninkaaksi)?
57. Laatikossa on 10 20 kopekan kolikkoa, 5 kpl 15 kopekan kolikkoa. ja 2 10 kopekan kolikkoa. 6 kolikkoa otetaan satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ne ovat yhteensä enintään yksi rupla?
58. Kahdessa uurnassa on palloja: ensimmäisessä 5 valkoista, 11 mustaa ja 8 punaista ja toisessa 10, 8 ja 6. Molemmista uurnasta vedetään satunnaisesti yksi pallo. Millä todennäköisyydellä molemmat pallot ovat samanvärisiä?
59. Tietyn urheilijan todennäköisyys parantaa aikaisempaa tulostaan yhdellä yrityksellä on 0,4. Määritä todennäköisyys, että urheilija parantaa suorituskykyään kilpailussa, jos kaksi yritystä on sallittu.
4.1. Jokainen neljästä yhteensopimattomasta tapahtumasta voi tapahtua todennäköisyyksillä 0,012, 0,010, 0,006 ja 0,002. Määritä todennäköisyys, että ainakin yksi näistä tapahtumista tapahtuu kokeen seurauksena.
(Vastaus: p = 0,03)
4.2. Ampuja ampuu yhden laukauksen maaliin, joka koostuu keskiympyrästä ja kahdesta samankeskisesta renkaasta. Todennäköisyys osua ympyrään ja renkaaseen ovat 0,20, 0,15 ja 0,10. Määritä todennäköisyys osua kohteeseen.
(Vastaus: p = 0,55)
4.3. Kaksi identtistä kolikkoa, joiden säde on R, sijoitetaan säteisen R ympyrän sisään, johon heitetään satunnaisesti piste. Määritä todennäköisyys, että tämä piste putoaa jollekin kolikoista, jos kolikot eivät mene päällekkäin.
(Vastaus: p = )
4.4 Millä todennäköisyydellä 52 kortin pakasta (nappulaa kutsutaan jätkäksi, kuningattareksi tai kuninkaaksi) nostetaan minkä tahansa maan pala tai patakortti?
(Vastaus: p = 
)
4.5 Laatikko sisältää 10 20 kopekan kolikkoa, 5 15 kopekan kolikkoa. ja 2 10 kopekan kolikkoa. Kuusi kolikkoa arvotaan sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä ne ovat yhteensä enintään yksi rupla?
(Vastaus: p = 
)
4.6. Kahdessa uurnassa on palloja, jotka eroavat toisistaan vain väriltään, ja ensimmäisessä uurnassa on 5 valkoista palloa, 11 mustaa ja 8 punaista ja toisessa 10, 8 ja 6. Molemmista uurnasta nostetaan satunnaisesti yksi pallo. Millä todennäköisyydellä molemmat pallot ovat samanvärisiä?
(Vastaus: p = 0,323)
4.7. Peliä A:n ja B:n välillä pelataan seuraavilla ehdoilla: A:n aina tekemän ensimmäisen siirron seurauksena hän voi voittaa todennäköisyydellä 0,3; jos A ei voita ensimmäisellä siirrolla, niin B tekee siirron ja voi voittaa todennäköisyydellä 0,5; jos B ei tämän liikkeen seurauksena voita, niin A tekee toisen liikkeen, joka voi johtaa hänen voittoon todennäköisyydellä 0,4. Määritä A:n ja B:n voittotodennäköisyydet.
(Vastaus: 
= 0,44, = 0,35)
4.8 Tietyn urheilijan todennäköisyys parantaa aikaisempaa tulostaan yhdellä yrityksellä on yhtä suuri kuin p. Määritä todennäköisyys, että urheilija parantaa suorituskykyään kilpailussa, jos kaksi yritystä on sallittu.
(Vastaus: p(A) = )
4.9. Uurnasta, jossa on n palloa, jotka on numeroitu 1:stä n:ään, vedetään kaksi palloa peräkkäin, ja ensimmäinen pallo palautetaan, jos sen numero ei ole yksi. Määritä todennäköisyys, että pallo, jonka numero on 2, arvotaan toisessa arvonnassa.
(Vastaus: p = )
4.10. Pelaaja A vuorottelee pelaajien B ja C kanssa todennäköisyydellä voittaa kunkin erän 0,25 ja lopettaa pelin ensimmäisen tappion jälkeen tai kahden kunkin pelaajan kanssa pelatun pelin jälkeen. Määritä todennäköisyys voittaa B ja C.
4.11 Kaksi ihmistä heittelevät vuorotellen kolikkoa. Se, jolla on ensin vaakuna, voittaa. Määritä kunkin pelaajan voiton todennäköisyys.
(Vastaus: 
)
4.12 Todennäköisyys saada piste menettämättä syöttöä, kun pelataan kahta vastaavaa lentopallojoukkuetta, on puolet. Määritä todennäköisyys saada yksi piste palvelevalle joukkueelle.
(Vastaus: p = )
4.13. Kaksi ampujaa ampuu vuorotellen maaliin ensimmäiseen osumaan asti. Ensimmäisen ampujan osumistodennäköisyys on 0,2 ja toisen ampujan 0,3. Laske todennäköisyys, että ensimmäinen ampuja ampuu enemmän laukauksia kuin toinen.
(Vastaus: p = 0,455)
4.14. Kaksi pelaa voittoon, ja tätä varten on välttämätöntä, että ensimmäinen voittaa m peliä ja toinen n peliä. Ensimmäisen pelaajan todennäköisyys voittaa jokaisen pelin on p ja toisen on q=1-p. Määritä ensimmäisen pelaajan todennäköisyys voittaa koko peli.
Vaihtoehto 9
1. Yksi seuraavista kirjaimista on painettu kuhunkin 6 identtiseen korttiin: o, g, o, p, o, d. Kortit sekoitetaan perusteellisesti. Laske todennäköisyys, että asettamalla ne peräkkäin on mahdollista lukea sana "puutarha".
2. Tietyn urheilijan todennäköisyys parantaa edellistä tulostaan yhdestä yrityksestä on 0,6. Määritä todennäköisyys, että urheilija parantaa kilpailussa tulostaan, jos 2 yritystä sallitaan.
3. Ensimmäinen laatikko sisältää 20 osaa, joista 15 on vakio-osaa; toisessa - 30 osaa, joista 24 on vakio; kolmannessa - 10 osaa, joista 6 on vakio. Selvitä todennäköisyys, että satunnaisesti valitusta laatikosta satunnaisesti valittu kohde on vakio.
4. Ratkaise tehtäviä Bernoullin kaavalla ja Moivre-Laplacen lauseella: a) Viestiä lähetettäessä 1-merkin vääristymän todennäköisyys on 0,24. Määritä todennäköisyys, että 10 merkin viesti sisältää enintään 3 vääristymää;
b) 400 puuta istutettiin. Yksittäisen puun selviytymisen todennäköisyys on 0,8. Laske todennäköisyys, että eloonjääneiden puiden lukumäärä: 1) on 300; 2) enemmän kuin 310 mutta vähemmän kuin 330.
5. Laske taulukkotietojen avulla satunnaismuuttujan X matemaattinen odotusarvo, varianssi ja keskihajonta sekä määritä myös todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa odotettua suuremman arvon.
|
Х i |
||||||
|
P i |
6. Jakaumafunktio antaa jatkuvan satunnaismuuttujan X
Etsi: a) parametri k ; b) matemaattinen odotus; c) dispersio.
7. Sosiologinen organisaatio tekee yrityksen työntekijöille kyselyn selvittääkseen heidän suhtautumistaan yrityksen johdon toteuttamaan rakenteelliseen uudelleenjärjestelyyn. Olettaen, että rakenteellisiin muutoksiin tyytyväisten osuutta kuvaa normaalijakauman laki parametreilla a = 53,1% ja σ = 3,9%, laske todennäköisyys, että muunnoksiin tyytyväisten osuus on alle 50%.
8. Yleisjoukosta poimittiin näyte, joka esitetään intervallivaihtelusarjana (katso taulukko): a) olettaen, että yleisellä populaatiolla on normaalijakauma, konstruoi matemaattisen odotuksen luottamusväli luottamuksella todennäköisyys γ = 0,95; b) laskea vinous- ja kurtoosikertoimet yksinkertaistetulla menetelmällä ja tehdä asianmukaiset oletukset populaatiojakaumafunktion muodosta; c) Testaa Pearsonin testiä käyttäen hypoteesi yleisen populaation jakauman normaaliudesta merkitsevyystasolla α = 0,05.
|
29-32 |
|
|
32-35 |
|
|
35-38 |
|
|
38-41 |
|
|
41-44 |
|
|
44-47 |
|
|
47-50 |
9. Annetaan X- ja Y-arvojen korrelaatiotaulukko: a) lasketaan korrelaatiokerroin r xy , tehdään johtopäätökset X:n ja Y:n välisestä suhteesta; b) Etsi lineaarisen regression X yhtälöt Y:llä ja Y X:llä ja piirrä niiden kaaviot.
|
5.24-5.35 |
5.35-5.46 |
5.46-5.47 |
5.47-5.68 |
5.68-5.79 |
5.79-5.90 |
5.90-6.01 |
6.01-6.12 |
6.12-6.23 |
||
|
21.3-22.0 |
||||||||||
|
22.0-22.7 |
||||||||||
|
22.7-23.4 |
||||||||||
|
23.4-24.1 |
||||||||||
|
24.1-24.8 |
||||||||||
|
24.8-25.5 |
||||||||||
|
25.5-26.2 |
||||||||||
|
26.2-26.9 |
||||||||||