ege yhtälöt. Irrationaaliset yhtälöt. Kattava opas. Lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Diojen kuvatekstit:

YHTÄLÄT KÄYTTÖÖN MATEMATIIKASSA ESIMERKKEJÄ JA RATKAISIA Kravchenko N.A. Matematiikan opettaja GBOU lukio nro 891 Moskova Opetusesitys kokeeseen valmistautumisesta

SISÄLLYS Tehtävän huomautus Esimerkki 1 (irrationaalinen yhtälö) Esimerkki 2 (eksponentiaaliyhtälö) Esimerkki 3 (irrationaalinen yhtälö) Esimerkki 4 (murto-rationaalinen yhtälö) Esimerkki 5 (logaritminen yhtälö) Esimerkki 6 (logaritminen yhtälö) Esimerkki 7 (trigonometrinen yhtälö) 8 ( eksponentiaalinen yhtälö) Esimerkki 9 (irrationaalinen yhtälö) Esimerkki 10 (logaritminen yhtälö)

TEHTÄVÄN TYYPPI: Yhtälö. TEHTÄVÄN OMINAISUUDET: Yksinkertainen eksponentiaalinen, logaritminen, trigonometrinen tai irrationaalinen yhtälö. KOMMENTTI: Yhtälö pelkistetään yhdessä vaiheessa lineaariseksi tai neliömäiseksi (tässä tapauksessa vastauksessa on ilmoitettava vain yksi juurista - suurempi tai pienempi). Väärät vastaukset liittyvät pääasiassa laskuvirheisiin.

Ratkaise yhtälö. ESIMERKKI 1 Ratkaisu. Nelitetään: Seuraavaksi päästään mistä Vastaus: -2

ESIMERKKI 2 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Jatketaan yhteen tutkinnon kantaan: Kantojen yhtäläisyydestä se menee asteen yhtäläisyyteen: Mistä Vastaus: 3

ESIMERKKI 3 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Nostetaan yhtälön molemmat puolet kolmanteen potenssiin: Alkeismuunnosten jälkeen saadaan: Vastaus: 23

ESIMERKKI 4 Ratkaise yhtälö. Jos yhtälöllä on useampi kuin yksi juuri, ilmoita vastauksessasi pienempi. Ratkaisu. Sallittu alue: x≠10. Tällä alueella kerromme nimittäjällä: Molemmat juuret ovat ODZ:ssä. Pienempi on −3. Vastaus: -3

ESIMERKKI 5 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Kaavan avulla saamme: Vastaus: 6

ESIMERKKI 6 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Kahden lausekkeen logaritmit ovat yhtä suuret, jos itse lausekkeet ovat yhtä suuria ja samalla positiivisia: Mistä saamme vastauksen: 6

ESIMERKKI 7 Ratkaise yhtälö. Anna vastauksellesi pienin positiivinen juuri. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö:

Arvot vastaavat suuria positiivisia juuria. Jos k = 1, niin x 1 = 6,5 ja x 2 = 8,5. Jos k = 0, niin x 3 = 0,5 ja x 4 = 2,5. Arvot vastaavat pienempiä juurien arvoja. Pienin positiivinen ratkaisu on 0,5. Vastaus: 0.5

ESIMERKKI 8 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Tuomalla yhtälön vasen ja oikea puoli potenssiin 6, saamme: Mitä se tarkoittaa, Vastaus: 2

ESIMERKKI 9 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Neliöimällä yhtälön molemmat puolet, saamme: Ilmeisesti mistä Vastaus: 5

ESIMERKKI 10 Ratkaise yhtälö. Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen niin, että molemmilla puolilla on 4 kantalogaritmi: Lisäksi on selvää, mistä vastaus tulee: -11

Käytetty materiaali on otettu sivustolta: http://reshuege.ru pd-1&p=3&text= equations%20images& noreask =1&pos=100&rpt= simage&lr =213&img_url=http%3A%2F%2Fwww.presentermedia.com%2Ffiles%Fclipart %2F00003000%2F3804%2Fdrawing_math_equation_pc_md_wm.jpg

Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot

Projektityö Metodologia opiskelijoiden valmistautumiseen matematiikan kokeeseen sisältyvien ongelmien ratkaisemiseen aiheista "Liikeongelmat" ja "Seosten ja seosten ongelmat".

Valtion matematiikan koulutusstandardin liittovaltion komponentin hallitseva ajatus on loogisen ajattelun, tilallisen mielikuvituksen,...

AIHEPOHJAINEN TEHTÄVÄT KÄYTÖSSÄ matematiikassa.

Tietojen, taitojen ja kykyjen muodostamiseen tarvittavien tehtävien kehittäminen ja valinta on erittäin tärkeä tehtävä. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi käytetään kahdenlaisia ongelmia - puhtaasti matemaattisia ja käytännönläheisiä. Päiviä...

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 USE matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Tänään harjoittelemme USE:n tehtävän 5 ratkaisemisen taitoa - löydä yhtälön juuri. Etsitään yhtälön juuria. Harkitse esimerkkejä tällaisten tehtävien ratkaisemisesta. Mutta ensin muistetaan - mitä se tarkoittaa - löytää yhtälön juuri?

Tämä tarkoittaa, että etsitään x:n alle salattu luku, jonka korvaamme x:n ja yhtälöstämme tulee todellinen yhtälö.

Esimerkiksi 3x=9 on yhtälö ja 3 . 3=9 on jo todellinen tasa-arvo. Eli tässä tapauksessa korvasimme luvun 3 x:n sijaan - saimme oikean lausekkeen tai yhtälön, mikä tarkoittaa, että ratkaisimme yhtälön, eli löysimme annetun luvun x=3, joka muuttaa yhtälön todellista tasa-arvoa.

Näin teemme - löydämme yhtälön juuren.

Tehtävä 1 - etsi yhtälön 2 juuri 1-4x =32

Tämä on eksponentiaalinen yhtälö. Se ratkaistaan seuraavasti - on välttämätöntä, että sekä "yhtä"-merkin vasemmalla että oikealla puolella on aste, jolla on sama kanta.

Vasemmalla meillä on asteen 2 kanta, ja oikealla ei ole lainkaan astetta. Mutta tiedämme, että 32 on 2 viidenteen potenssiin. Eli 32=25

Siten yhtälömme näyttää tältä: 2 1-4x \u003d 2 5

Vasemmalla ja oikealla astekantamme ovat samat, mikä tarkoittaa, että jotta meillä olisi tasa-arvo, myös eksponentien on oltava yhtä suuret:

Saamme tavallisen yhtälön. Ratkaisemme tavalliseen tapaan - jätämme kaikki tuntemattomat vasemmalle ja siirrämme tunnetut oikealle, saamme:

Tarkastus: 2 1-4(-1) =32

Olemme löytäneet yhtälön juuren. Vastaus: x=-1.

Etsi itse yhtälön juuri seuraavista tehtävistä:

b) 2 1-3x \u003d 128

Tehtävä 2 - etsi yhtälön juuri

Ratkaisemme yhtälön samalla tavalla - tuomalla yhtälön vasen ja oikea puoli samaan asteen kantaan. Meidän tapauksessamme asteen 2 pohjalle.

Käytämme seuraavaa tutkinto-ominaisuutta:

Tällä ominaisuudella saadaan yhtälömme oikea puoli:

Jos eksponentin kantaluvut ovat yhtä suuret, niin eksponentit ovat yhtä suuret:

Vastaus: x=9.

Tehdään tarkistus - korvaa löydetty x:n arvo alkuperäiseen yhtälöön - jos saamme oikean yhtälön, niin ratkaisimme yhtälön oikein.

Olemme löytäneet yhtälön juuren oikein.

Tehtävä 3 - etsi yhtälön juuri

Huomaa, että meillä on 1/8 oikealla ja 1/8 on

Sitten yhtälömme kirjoitetaan seuraavasti:

Jos asteen kantakannat ovat yhtä suuret, niin eksponentit ovat yhtä suuret, saadaan yksinkertainen yhtälö:

Vastaus: x=5. Tee tarkistus itse.

Tehtävä 4 - etsi yhtälön juuri log 3 (15:tä) = log 3 2

Tämä yhtälö ratkaistaan samalla tavalla kuin eksponentiaalinen yhtälö. Haluamme, että yhtäläisyysmerkin vasemmalla ja oikealla puolella olevien logaritmien kanta ovat samat. Nyt ne ovat samat, joten rinnastamme ne lausekkeet, jotka ovat logaritmien merkin alla:

Vastaus: x=13

Tehtävä 5 - etsi yhtälön juuri log 3 (3-x)=3

Luku 3 on log 3 27. Selvittääksemme alla, logaritmimerkin alla oleva alaindeksi on luku, joka on korotettu potenssiin, tapauksessamme 3, logaritmimerkki on luku, joka osoittautui nostettaessa potenssiin 27, ja itse logaritmi on eksponentti, johon sinun on nostettava 3 saadaksesi 27.

Katso kuvaa:

Siten mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa logaritmina. Tässä tapauksessa on erittäin kätevää kirjoittaa luku 3 logaritmina kantaluvulla 3. Saamme:

log 3 (3-x) = log 3 27

Logaritmien kantakannat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin etumerkin alla olevat luvut ovat yhtä suuret:

Tarkistetaan:

log 3 (3-(-24)) = log 3 27

log 3 (3+24) = log 3 27

log 3 27 = log 3 27

Vastaus: x=-24.

Etsi yhtälön juuri. Tehtävä 6.

log 2 (x+3) = log 2 (3x-15)

Tarkista: loki 2 (9+3) = log 2 (27-15)

log 2 12 = log 2 12

Vastaus: x=9.

Etsi yhtälön juuri. Tehtävä 7.

log 2 (14-2x) = 2 log 2 3

log 2 (14-2x) = log 2 3 2

Tarkista: log 2 (14-5)=2log 2 3

log29=2log23

log 2 3 2 = 2 log 2 3

2log 2 3 = 2 log 2 3

Vastaus: x = 2,5

Valmistaudu kokeeseen ja OGE:hen - katso edelliset aiheet ja.

Yhtälöt, osa $C$

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman luvun, joka on merkitty kirjaimella, kutsutaan yhtälöksi. Yhtälömerkin vasemmalla puolella olevaa lauseketta kutsutaan yhtälön vasemmaksi puolelle ja oikealla olevaa lauseketta kutsutaan yhtälön oikeaksi puolelle.

Kaavio monimutkaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Ennen yhtälön ratkaisemista on tarpeen kirjoittaa muistiin sen sallittujen arvojen alue (ODV).
Ratkaise yhtälö.
Valitse saaduista yhtälön juurista ne, jotka täyttävät ODZ:n.

Eri lausekkeiden ODZ (lausekkeen alla ymmärrämme aakkosnumeerisen tietueen):

1. Nimittäjässä oleva lauseke ei saa olla nolla.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Juurilauseke ei saa olla negatiivinen.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Nimittäjässä olevan radikaalilausekkeen on oltava positiivinen.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Logaritmille: sublogaritmisen lausekkeen on oltava positiivinen; pohjan on oltava positiivinen; kanta ei voi olla yhtä suuri kuin yksi.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmiset yhtälöt

Logaritmiset yhtälöt ovat yhtälöitä, joiden muoto on $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, jossa $a$ on positiivinen luku, joka eroaa $1$:sta, ja yhtälöitä, jotka pelkistyvät tähän muotoon.

Logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä logaritmien ominaisuudet: tarkastellaan kaikkia logaritmien ominaisuuksia, kun $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - mikä tahansa reaaliluku.

1. Kaikille reaaliluvuille $m$ ja $n$ yhtälöt ovat tosi:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Tuloksen logaritmi on sama kuin kunkin tekijän logaritmien summa samassa kannassa.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän logaritmien välinen ero samassa kannassa

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Kun kerrot kaksi logaritmia, voit vaihtaa niiden kantaa

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, jos $a, b, c$ ja $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, missä $a, b, c > 0, a≠1$

6. Uuteen pohjaan siirtymisen kaava

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Erityisesti, jos on tarpeen vaihtaa kantaa ja sulogaritminen lauseke

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

On olemassa useita päätyyppejä logaritmisille yhtälöille:

Yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt: $log_(a)x=b$. Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisu seuraa logaritmin määritelmästä, ts. $x=a^b$ ja $x > 0$

Esitetään yhtälön molemmat puolet logaritmin muodossa kannassa $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Jos logaritmit ovat yhtä suuret samassa kannassa, niin myös sublogaritmiset lausekkeet ovat yhtä suuret.

Vastaus: $x = 8 dollaria

Yhtälöt muotoa: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Koska emäkset ovat samat, niin yhdistämme sulogaritmiset lausekkeet ja otamme huomioon ODZ: n:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Koska kantaluvut ovat samat, silloin rinnastetaan sublogaritmiset lausekkeet

Siirrämme kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle ja annamme samanlaiset termit

Tarkastetaan löydetyt juuret ehtojen mukaisesti $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Toiseen epäyhtälöön korvattaessa juuri $x=4$ ei täytä ehtoa, joten se on ulkopuolinen juuri

Vastaus: $x = -3 $

Muuttuva vaihtomenetelmä.

Tässä menetelmässä tarvitset:

Kirjoita ODZ-yhtälö.
Varmista logaritmien ominaisuuksien mukaan, että yhtälössä saadaan samat logaritmit.
Korvaa $log_(a)f(x)$ millä tahansa muuttujalla.
Ratkaise uuden muuttujan yhtälö.
Palaa vaiheeseen 3, korvaa arvo muuttujan sijaan ja hanki yksinkertaisin yhtälö muodossa: $log_(a)x=b$
Ratkaise yksinkertaisin yhtälö.
Kun logaritmisen yhtälön juuret on löydetty, ne on asetettava kohtaan 1 ja tarkistettava ODZ-ehto.

Ratkaise yhtälö $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Kirjoitetaan ODZ-yhtälöt:

$\table\(\ x>0,\text"koska se on juuren ja logaritmin merkin alla";\ √x≠1→x≠1;$

2. Tehdään logaritmit kantaan $2$, tähän käytetään uuteen kantaan siirtymissääntöä toisella termillä:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Saamme murto-rationaalisen yhtälön muuttujan t suhteen

Pelkistetään kaikki termit yhteiseksi nimittäjäksi $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Murto-osa on nolla, kun osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Ratkaisemme tuloksena olevan toisen asteen yhtälön käyttämällä Vieta-lausetta:

6. Palataan vaiheeseen 3, tehdään käänteinen substituutio ja saadaan kaksi yksinkertaista logaritmista yhtälöä:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Otetaan yhtälöiden oikeiden osien logaritmi

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Yhdistä sulogaritmiset lausekkeet

$√x=2$, $√x=4$

Päästäksemme eroon juuresta neliöimme yhtälön molemmat puolet

$х_1 = 4 $, $х_2 = 16 $

7. Korvataan logaritmisen yhtälön juuret kohdassa 1 ja tarkistetaan ODZ:n kunto.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Ensimmäinen juuri täyttää ODZ:n.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Toinen juuri täyttää myös DDE:n.

Vastaus: 4 dollaria; 16 dollaria

Yhtälöt muotoa $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Tällaiset yhtälöt ratkaistaan ottamalla käyttöön uusi muuttuja ja siirtymällä tavalliseen toisen asteen yhtälöön. Kun yhtälön juuret on löydetty, on tarpeen valita ne ottaen huomioon ODZ.

Murto-rationaaliset yhtälöt

Jos murto-osa on nolla, osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.
Jos vähintään yksi osa rationaalista yhtälöä sisältää murto-osan, yhtälöä kutsutaan murto-rationaaliseksi.

Murto-rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi tarvitset:

Etsi muuttujan arvot, jolle yhtälössä ei ole järkeä (ODV)
Etsi yhtälöön sisältyvien murtolukujen yhteinen nimittäjä;
Kerro yhtälön molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä;
Ratkaise tuloksena oleva koko yhtälö;
Sulje sen juurista pois ne, jotka eivät täytä ODZ-ehtoa.

Jos yhtälössä on mukana kaksi murto-osaa ja osoittajat ovat niiden yhtäläisiä lausekkeita, niin nimittäjät voidaan rinnastaa toisiinsa ja tuloksena oleva yhtälö voidaan ratkaista huomioimatta osoittajia. MUTTA ottaen huomioon koko alkuperäisen yhtälön ODZ.

eksponentiaaliyhtälöt

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jonka eksponenttiin sisältyy tuntematon.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa käytetään potenssien ominaisuuksia, muistetaanpa joitain niistä:

1. Kun potenssit kerrotaan samoilla kantaluvuilla, kanta pysyy samana ja eksponentit lisätään.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Kun asteet jaetaan samoilla kantaluvuilla, kanta pysyy samana ja indikaattorit vähennetään

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Kun aste nostetaan potenssiin, kanta pysyy samana ja eksponentit kerrotaan

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Kun tuotetta nostetaan potenssiin, jokainen kerroin nostetaan tähän potenssiin

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Kun murtolukua nostetaan potenssiin, osoittaja ja nimittäjä korotetaan tähän potenssiin

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Nostettaessa mitä tahansa kantaa nollaeksponenttiin, tulos on yhtä suuri kuin yksi

7. Minkä tahansa negatiivisen eksponentin kanta voidaan esittää saman positiivisen eksponentin kantana muuttamalla kantaosan sijaintia suhteessa murto-osaan.

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikaali (juuri) voidaan esittää asteena murto-eksponentilla

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Eksponentiaaliyhtälöiden tyypit:

1. Yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt:

a) Muoto $a^(f(x))=a^(g(x))$, jossa $a >0, a≠1, x$ on tuntematon. Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi käytämme potenssien ominaisuutta: potenssit, joilla on sama kanta ($а >0, a≠1$) ovat yhtä suuria vain, kun niiden eksponentit ovat yhtä suuret.

b) Yhtälö muotoa $a^(f(x))=b, b>0$

Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on tarpeen ottaa molemmat logaritmin osat kannassa $a$, käy ilmi

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Perussäätömenetelmä.

3. Muuttujan tekijöiden jakamisen ja muutoksen menetelmä.

Tätä menetelmää varten koko yhtälössä asteiden ominaisuuden mukaan asteet on muutettava yhteen muotoon $a^(f(x))$.
Muuta muuttujaa $a^(f(x))=t, t > 0$.
Saamme rationaalisen yhtälön, joka on ratkaistava ottamalla lauseke huomioon.
Teemme käänteisiä korvauksia ottaen huomioon, että $t >

Ratkaise yhtälö $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Asteiden ominaisuudella muunnetaan lauseke siten, että saadaan aste 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Muutetaan muuttuja $2^x=t; t>0$

Saamme muodon kuutiometrisen yhtälön

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Kerro koko yhtälö 2 dollarilla päästäksesi eroon nimittäjistä

2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Laajennataan yhtälön vasenta puolta ryhmittelymenetelmällä

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Poistetaan yhteiskerroin $2$ ensimmäisestä hakasulkeesta, $7t$ toisesta hakasulkeesta

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Lisäksi ensimmäisessä sulussa näemme kuutioiden eron kaavan

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Ratkaistaan ensimmäinen yhtälö

Ratkaisemme toisen yhtälön diskriminantin kautta

$D = 25-4 2 2 = 9 = 3^2 $

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Vastaus: $-1; 0; 1 $

4. Menetelmä muuntamiseen toisen asteen yhtälöksi

Meillä on yhtälö muotoa $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, jossa $A, B$ ja $C$ ovat kertoimia.
Teemme muutoksen $a^(f(x))=t, t > 0$.
Osoittautuu toisen asteen yhtälö, jonka muoto on $A·t^2+B·t+С=0$. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön.
Teemme käänteisen korvauksen ottaen huomioon, että $t > 0$. Saadaan yksinkertaisin eksponentiaaliyhtälö $a^(f(x))=t$, ratkaistaan se ja kirjoitetaan tulos vastaukseksi.

Faktorointimenetelmät:

Yhteisen tekijän poistaminen suluista.

Jos haluat kertoa polynomin ottamalla yhteisen kertoimen pois suluista, tarvitset:

Määritä yhteinen tekijä.
Jaa annettu polynomi sillä.
Kirjoita muistiin yhteisen kertoimen ja tuloksena olevan osamäärän tulo (merkitse tämä osamäärä suluissa).

Kerroin polynomi: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Tämän polynomin yhteinen tekijä on $2a$, koska kaikki termit ovat jaollisia arvoilla $2$ ja "a". Seuraavaksi löydämme alkuperäisen polynomin jakamisen "2a":lla, saamme:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Tämä on tekijöiden jakamisen lopputulos.

Lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen

1. Summan neliö jaetaan ensimmäisen luvun neliöön plus kaksi kertaa ensimmäisen luvun tulo toisella luvulla ja plus toisen luvun neliö.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Eron neliö jaetaan ensimmäisen luvun neliöön, josta on vähennetty kaksi kertaa ensimmäisen luvun tulo toisella ja plus toisen luvun neliö.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Neliöiden erotus jaetaan lukujen eron ja niiden summan tuloksi.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Summan kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio plus kolme kertaa ensimmäisen ja toisen luvun neliö plus kolme kertaa ensimmäisen ja toisen luvun neliö plus toisen luvun kuutio .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Eron kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen ja toisen luvun neliön tulo plus kolme kertaa ensimmäisen luvun ja toisen luvun neliön tulo ja miinus toisen luvun kuutio.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Kuutioiden summa on yhtä suuri kuin lukujen summan ja erotuksen epätäydellisen neliön tulo.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin lukujen eron tulo summan epätäydellisellä neliöllä.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ryhmittelymenetelmä

Ryhmittelymenetelmää on kätevä käyttää, kun polynomin tekijöihin on tehtävä parillinen määrä termejä. Tässä menetelmässä on tarpeen kerätä termit ryhmiin ja ottaa yhteinen tekijä pois suluista jokaisesta ryhmästä. Useiden ryhmien pitäisi suluihin sijoituksen jälkeen saada samat lausekkeet, sitten otetaan tämä hakasulku eteenpäin yhteisenä tekijänä ja kerrotaan se tuloksena olevan osamäärän hakasulkeella.

Kerroin polynomi $2a^3-a^2+4a-2$

Tämän polynomin laajentamiseksi käytämme summad-ryhmittelymenetelmää, tätä varten ryhmittelemme kaksi ensimmäistä ja kaksi viimeistä termiä, kun taas on tärkeää laittaa merkki toisen ryhmittelyn eteen oikein, laitamme +-merkin ja kirjoitamme siksi termejä suluissa olevilla merkeillä.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Yhteisten tekijöiden poistamisen jälkeen saimme pari identtistä sulkua. Nyt otamme tämän kiinnikkeen yhteisenä tekijänä.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Näiden hakasulkeiden tulos on tekijöiden jakamisen lopputulos.

Neliön trinomin kaavaa käyttämällä.

Jos neliötrinomi on muotoa $ax^2+bx+c$, niin sitä voidaan laajentaa kaavalla

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, missä $x_1$ ja $x_2$ ovat neliötrinomin juuria