Имена 

Критические точки функции. Как искать точки максимума и минимума функции Как найти точку максимума производной функции

Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?

Функция: определение

Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x 2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 9 2 = 81.

Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.

Производная и ее роль

Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.

Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с

Как вычислять производную?

Определение и функции подразумевает под собой несколько понятий из Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.

Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.

  1. Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х 0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
  2. Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.

Способы исследования функции

В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).

  1. Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
  2. В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
  3. После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x 3 +38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f"(x) = 3x 2 +1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x 2 +1 = 0.
  4. После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.

Правила дифференцирования

Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.

  1. Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x 5 + х - 160 примет такой вид: f" (х) = 5x 4 +1.
  2. Производная суммы двух слагаемых: (f+w)" = f"w + fw".
  3. Производная логарифмической функции: (log a d)" = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
  4. Производная степени: (x n)"= n*x n-1 . Например,(9x 2)" = 9*2x = 18x.
  5. Производная синусоидальной функции: (sin a)" = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.

Точки экстремума

Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и точек максимума функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.

Находить можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.

В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.

Рассмотрим следующий рисунок.

На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0.

Максимум и минимум функции

В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности.

Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).

В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.

Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.

Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.

Стационарные и критические точки

Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.

Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:

1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.

2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.

Простой алгоритм нахождения экстремумов..

  • Находим производную функции
  • Приравниваем эту производную к нулю
  • Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
  • Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
  • Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно . Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом , а если с минуса на плюс, то минимумом .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2 , тогда производная будет равна -0,24 , для второго возьмём 0 , тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2 , тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f (x ) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие :

f? (x ) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f (x ) имеет максимум при условии, что функция f (x ) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f? (x ) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f (x ) имеет минимум при условии, что функция f (x ) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f? (x ) обращается в нуль; если при этом вторая производная f?? (а) отрицательна, то функция f (x ) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

О случае f?? (а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f? (x ) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f? (x ) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y (x ) = 3 x 2 + 2 x - 50.

Производная функции: y? (x ) = 6 x + 2

Решаем уравнение: y? (x ) = 0

6х + 2 = 0,6х = -2,х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х 0 =-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х 0 меняется с «плюса» на «минус», то х 0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х 0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у ? (-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х 0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y (x ) = 3 sin (x ) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [ -6; -3 ]

Итак, производная функции —

y? (x ) = 3 cos (x ) — 0,5

Решаем уравнение 3 cos (x ) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos (0,16667) — 2 π *2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = - arccos (0,16667) — 2 π *1 = -7,687

х = arccos (0,16667) — 2 π *1 = -4,88

х = - arccos (0,16667) + 2 π *0 = -1,403

х = arccos (0,16667) + 2 π *0 = 1,403

х = - arccos (0,16667) + 2 π *1 = 4,88

х = arccos (0,16667) + 2 π *1 = 7,687

х = - arccos (0,16667) + 2 π *2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88 ) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687 ) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88,у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88,у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y (-6) = 3 cos (-6) — 0,5 = 3,838

y (-3) = 3 cos (-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f (x ), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x ) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f (x ) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f (x , y ), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

f х ? (x , y ) = 0, f у ? (x , y ) = 0

2) для каждой критической точки Р 0 (a ; b ) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f (x , y ) - f (a , b )

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р 0 . Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р 0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р 0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

  • Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
  • Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.