Trouwen

Wat is het laterale oppervlak. Het gebied van de laterale en volledige oppervlakte van de kegel

is een figuur, aan de basis waarvan een willekeurige veelhoek ligt, en de zijvlakken worden weergegeven door driehoeken. Hun hoekpunten liggen op één punt en komen overeen met de top van de piramide.

De piramide kan worden gevarieerd - driehoekig, vierhoekig, zeshoekig, enz. De naam kan worden bepaald afhankelijk van het aantal hoeken naast de basis.
Juiste piramide een piramide genoemd, waarin de zijden van de basis, hoeken en randen gelijk zijn. Ook zal in zo'n piramide het gebied van de zijvlakken gelijk zijn.
De formule voor de oppervlakte van het zijoppervlak van een piramide is de som van de oppervlakten van al zijn vlakken:
Dat wil zeggen, om het oppervlak van het zijoppervlak van een willekeurige piramide te berekenen, is het noodzakelijk om het gebied van elke afzonderlijke driehoek te vinden en deze bij elkaar op te tellen. Als de piramide is afgeknot, worden de gezichten weergegeven door trapezoïden. Voor de juiste piramide is er een andere formule. Daarin wordt het laterale oppervlak berekend door de halve omtrek van de basis en de lengte van het apothema:

Overweeg een voorbeeld van het berekenen van het gebied van het zijoppervlak van een piramide.
Laat een regelmatige vierhoekige piramide worden gegeven. basiszijde: b= 6 cm, en apothema a\u003d 8 cm Vind het gebied van het zijoppervlak.

Aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide ligt een vierkant. Laten we eerst de omtrek ervan vinden:

Nu kunnen we het gebied van het zijoppervlak van onze piramide berekenen:

Om het totale gebied van een veelvlak te vinden, moet u het gebied van de basis vinden. De formule voor het gebied van de basis van een piramide kan verschillen, afhankelijk van welke veelhoek aan de basis ligt. Gebruik hiervoor de formule voor het gebied van een driehoek, parallellogramgebied enzovoort.

Overweeg een voorbeeld van het berekenen van het gebied van de basis van de piramide gegeven door onze voorwaarden. Omdat de piramide regelmatig is, heeft deze een vierkant aan de basis.
vierkante oppervlakte berekend met de formule: ,
waarbij a de zijde van het vierkant is. We hebben het gelijk aan 6 cm, dus het gebied van de basis van de piramide:

Nu blijft het alleen om het totale gebied van het veelvlak te vinden. De formule voor de oppervlakte van een piramide is de som van de oppervlakte van de basis en het zijoppervlak.

De oppervlakte van het zijoppervlak van een willekeurige piramide is gelijk aan de som van de oppervlakten van de zijvlakken. Het is logisch om een speciale formule te geven om dit gebied uit te drukken in het geval van een reguliere piramide. Laten we dus een regelmatige piramide geven, aan de basis waarvan een regelmatige n-hoek ligt met een zijde gelijk aan a. Laat h de hoogte zijn van het zijvlak, ook wel genoemd apothema piramides. De oppervlakte van één zijvlak is 1/2ah, en het gehele zijvlak van de piramide heeft een oppervlakte gelijk aan n/2ha Aangezien na de omtrek is van de basis van de piramide, kunnen we de gevonden formule als volgt schrijven :

Lateraal oppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het product van zijn apothema over de helft van de omtrek van de basis.

Betreft totale oppervlakte, voeg dan eenvoudig het gebied van de basis toe aan de zijkant.

Ingeschreven en omschreven bol en bal. Opgemerkt moet worden dat het middelpunt van de bol ingeschreven in de piramide ligt op het snijpunt van de bissectrice vlakken van de interne tweevlakshoeken van de piramide. Het middelpunt van de bij de piramide beschreven bol ligt op het snijpunt van vlakken die door de middelpunten van de randen van de piramide gaan en er loodrecht op staan.

Afgeknotte piramide. Als de piramide wordt gesneden door een vlak evenwijdig aan de basis, dan wordt het deel dat is ingesloten tussen het snijvlak en de basis genoemd afgeknotte piramide. De figuur toont een piramide, waarbij het deel dat boven het snijvlak ligt weggooit, we een afgeknotte piramide krijgen. Het is duidelijk dat de kleine piramide die moet worden weggegooid homothetisch is aan de grote piramide met het middelpunt van de homothetie aan de top. De overeenkomstcoëfficiënt is gelijk aan de verhouding van hoogten: k=h 2 /h 1 , of zijribben, of andere overeenkomstige lineaire afmetingen van beide piramides. We weten dat de gebieden van vergelijkbare figuren gerelateerd zijn als vierkanten van lineaire afmetingen; dus de gebieden van de bases van beide piramides (d.w.z. spaar de bases van de afgeknotte piramide) zijn gerelateerd als

Hier is S 1 het gebied van de onderste basis en S 2 is het gebied van de bovenste basis van de afgeknotte piramide. De zijvlakken van de piramides zijn in dezelfde verhouding. Er is een vergelijkbare regel voor volumes.

Volumes van vergelijkbare lichamen zijn verwant als kubussen van hun lineaire afmetingen; de volumes van de piramides zijn bijvoorbeeld gerelateerd als de producten van hun hoogten door het gebied van de bases, waaruit onze regel onmiddellijk volgt. Het heeft een volkomen algemeen karakter en volgt direct uit het feit dat het volume altijd de afmeting heeft van de derde macht van lengte. Met behulp van deze regel leiden we een formule af die het volume van een afgeknotte piramide uitdrukt in termen van de hoogte en oppervlakten van de bases.

Laat een afgeknotte piramide met hoogte h en basisgebieden S 1 en S 2 worden gegeven. Als we ons voorstellen dat het wordt uitgebreid tot de volledige piramide, dan kan de overeenkomstcoëfficiënt van de volledige piramide en de kleine piramide gemakkelijk worden gevonden als de wortel van de verhouding S 2 / S 1. De hoogte van de afgeknotte piramide wordt uitgedrukt als h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nu hebben we voor het volume van de afgeknotte piramide (V 1 en V 2 geven de volumes aan van de volledige en kleine piramides)

formule voor afgeknot piramidevolume

We leiden de formule af voor de oppervlakte S van het zijoppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide door de omtrekken P 1 en P 2 van de bases en de lengte van het apothema a. We argumenteren op precies dezelfde manier als bij het afleiden van de formule voor volume. We vullen de piramide aan met het bovenste deel, we hebben P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, waarbij k de overeenkomstcoëfficiënt is, P 1 en P 2 de omtrekken van de bases zijn, en S 1 en S 2 zijn respectievelijk de paarden van de zijvlakken van de gehele resulterende piramide en zijn top. Voor het zijoppervlak vinden we (a 1 en a 2 - apothemas van de piramides, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

formule voor het zijoppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide

Bij de voorbereiding op het examen wiskunde moeten studenten hun kennis van algebra en meetkunde systematiseren. Ik wil graag alle bekende informatie combineren, bijvoorbeeld hoe de oppervlakte van een piramide te berekenen. Bovendien, vanaf de basis en zijvlakken tot het gehele oppervlak. Als de situatie duidelijk is met de zijvlakken, aangezien het driehoeken zijn, dan is de basis altijd anders.

Wat te doen bij het vinden van het gebied van de basis van de piramide?

Het kan absoluut elk cijfer zijn: van een willekeurige driehoek tot een n-hoek. En deze basis kan, naast het verschil in het aantal hoeken, een regelmatig of een onjuist cijfer zijn. In de USE-taken die van belang zijn voor schoolkinderen, zijn er alleen taken met de juiste cijfers aan de basis. Daarom zullen we er alleen over praten.

rechthoekige driehoek

Dat is gelijkzijdig. Een waarin alle zijden gelijk zijn en aangeduid met de letter "a". In dit geval wordt het gebied van de basis van de piramide berekend met de formule:

S = (a 2 * √3) / 4.

Plein

De formule voor het berekenen van de oppervlakte is de eenvoudigste, hier is "a" weer de zijde:

Willekeurige regelmatige n-gon

De zijde van een veelhoek heeft dezelfde aanduiding. Voor het aantal hoeken wordt de Latijnse letter n gebruikt.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Hoe te werk gaan bij het berekenen van de laterale en totale oppervlakte?

Omdat de basis een regelmatige figuur is, zijn alle vlakken van de piramide gelijk. Bovendien is elk van hen een gelijkbenige driehoek, omdat de zijranden gelijk zijn. Om vervolgens het zijoppervlak van de piramide te berekenen, hebt u een formule nodig die bestaat uit de som van identieke monomials. Het aantal termen wordt bepaald door het aantal zijden van de basis.

Het gebied van een gelijkbenige driehoek wordt berekend met de formule waarin de helft van het product van de basis wordt vermenigvuldigd met de hoogte. Deze hoogte in de piramide wordt apothema genoemd. De aanduiding is "A". De algemene formule voor het laterale oppervlak is:

S \u003d ½ P * A, waarbij P de omtrek van de basis van de piramide is.

Er zijn situaties waarin de zijden van de basis niet bekend zijn, maar de zijranden (c) en de vlakke hoek op het hoekpunt (α) worden gegeven. Dan zou het een dergelijke formule moeten gebruiken om het zijoppervlak van de piramide te berekenen:

S = n/2 * in 2 sin α .

Taak 1

Voorwaarde. Zoek de totale oppervlakte van de piramide als de basis met een zijde van 4 cm ligt en het apothema een waarde van √3 cm heeft.

Beslissing. U moet beginnen met het berekenen van de omtrek van de basis. Aangezien dit een regelmatige driehoek is, dan P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Aangezien het apothema bekend is, kunt u onmiddellijk de oppervlakte van het gehele zijoppervlak berekenen: ½ * 12 * √3 = 6 √3cm2.

Voor een driehoek aan de basis wordt de volgende oppervlaktewaarde verkregen: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Om het hele gebied te bepalen, moet u de twee resulterende waarden optellen: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Antwoord. 10√3 cm2.

Taak #2

Voorwaarde. Er is een regelmatige vierhoekige piramide. De lengte van de zijkant van de voet is 7 mm, de zijkant is 16 mm. Je moet de oppervlakte weten.

Beslissing. Omdat het veelvlak vierhoekig en regelmatig is, is de basis een vierkant. Nadat u de gebieden van de basis en zijvlakken hebt geleerd, is het mogelijk om het gebied van de piramide te berekenen. De formule voor het vierkant staat hierboven. En aan de zijvlakken zijn alle zijden van de driehoek bekend. Daarom kunt u de formule van Heron gebruiken om hun oppervlakten te berekenen.

De eerste berekeningen zijn eenvoudig en leiden tot dit getal: 49 mm 2. Voor de tweede waarde moet u de halve omtrek berekenen: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nu kun je de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek berekenen: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Er zijn slechts vier van dergelijke driehoeken, dus bij het berekenen van het uiteindelijke getal moet je het met 4 vermenigvuldigen.

Het blijkt: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Antwoord. De gewenste waarde is 267,576 mm 2.

Taak #3

Voorwaarde. Voor een regelmatige vierhoekige piramide moet u de oppervlakte berekenen. Daarin is de zijde van het vierkant 6 cm en de hoogte 4 cm.

Beslissing. De eenvoudigste manier is om de formule te gebruiken met het product van de omtrek en het apothema. De eerste waarde is gemakkelijk te vinden. De tweede is wat moeilijker.

We moeten de stelling van Pythagoras onthouden en bedenken dat deze wordt gevormd door de hoogte van de piramide en het apothema, de hypotenusa. Het tweede been is gelijk aan de helft van de zijde van het vierkant, omdat de hoogte van het veelvlak in het midden valt.

Het gewenste apothema (de hypotenusa van een rechthoekige driehoek) is √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nu kunt u de gewenste waarde berekenen: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Antwoord. 96cm2.

Taak #4

Voorwaarde. De juiste zijde van de basis is 22 mm, de zijribben zijn 61 mm. Wat is de oppervlakte van het zijoppervlak van dit veelvlak?

Beslissing. De redenering daarin is dezelfde als beschreven in probleem nr. 2. Alleen werd er een piramide gegeven met een vierkant aan de basis, en nu is het een zeshoek.

Allereerst wordt het gebied van de basis berekend met behulp van de bovenstaande formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.

Nu moet je de halve omtrek van een gelijkbenige driehoek weten, wat een zijvlak is. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Het blijft om het gebied van een dergelijke driehoek te berekenen met behulp van de Heron-formule, en deze vervolgens met zes te vermenigvuldigen en toe te voegen aan degene die bleek voor de baseren.

Berekeningen met de Heron-formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Berekeningen die het zijoppervlak geven: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Het blijft om ze op te tellen om het hele oppervlak te vinden: 5217,47≈5217 cm 2.

Antwoord. Basis - 726√3 cm 2, zijoppervlak - 3960 cm 2, gehele oppervlakte - 5217 cm 2.

We weten wat een kegel is, laten we proberen zijn oppervlakte te vinden. Waarom is het nodig om zo'n probleem op te lossen? U moet bijvoorbeeld weten hoeveel deeg er nodig is om een wafelkegel te maken? Of hoeveel stenen zijn er nodig om het stenen dak van een kasteel neer te leggen?

Het is niet eenvoudig om het laterale oppervlak van een kegel te meten. Maar stel je dezelfde hoorn voor, gewikkeld in een doek. Om het gebied van een stuk stof te vinden, moet u het op de tafel knippen en uitspreiden. We krijgen een plat cijfer, we kunnen het gebied vinden.

Rijst. 1. Doorsnede van de kegel langs de beschrijvende lijn

Laten we hetzelfde doen met de kegel. Laten we het zijoppervlak bijvoorbeeld langs een willekeurige beschrijvende "snijden" (zie Fig. 1).

Nu "winden" we het zijoppervlak af op een vlak. We krijgen een sector. Het midden van deze sector is de bovenkant van de kegel, de straal van de sector is gelijk aan de beschrijvende lijn van de kegel en de lengte van zijn boog valt samen met de omtrek van de basis van de kegel. Zo'n sector wordt een ontwikkeling van het mantelvlak van de kegel genoemd (zie figuur 2).

Rijst. 2. Ontwikkeling van het zijoppervlak

Rijst. 3. Hoekmeting in radialen

Laten we proberen het gebied van de sector te vinden op basis van de beschikbare gegevens. Laten we eerst een notatie invoeren: laat de hoek aan de bovenkant van de sector in radialen zijn (zie Fig. 3).

De hoek bovenaan de sweep zullen we vaak tegenkomen bij taken. Laten we in de tussentijd proberen de vraag te beantwoorden: kan deze hoek niet meer dan 360 graden worden? Dat wil zeggen, zal het niet blijken dat de sweep zichzelf zal overlappen? Natuurlijk niet. Laten we het wiskundig bewijzen. Laat de sweep zichzelf "overlappen". Dit betekent dat de lengte van de zwaaiboog groter is dan de omtrek van de straal. Maar zoals eerder vermeld, is de lengte van de zwaaiboog de omtrek van de straal. En de straal van de basis van de kegel is natuurlijk kleiner dan de beschrijvende lijn, bijvoorbeeld omdat het been van een rechthoekige driehoek kleiner is dan de hypotenusa

Laten we dan twee formules uit het verloop van de planimetrie onthouden: booglengte. Sectorgebied: .

In ons geval wordt de rol gespeeld door de generatrix , en de lengte van de boog is gelijk aan de omtrek van de basis van de kegel, dat wil zeggen. We hebben:

Uiteindelijk krijgen we:

Naast het zijoppervlak is ook het totale oppervlak te vinden. Om dit te doen, voegt u het basisgebied toe aan het zijoppervlak. Maar de basis is een cirkel met straal , waarvan de oppervlakte, volgens de formule, is .

Eindelijk hebben we: , waar is de straal van de basis van de cilinder, is de beschrijvende.

Laten we een paar problemen oplossen met de gegeven formules.

Rijst. 4. Gewenste hoek

voorbeeld 1. De ontwikkeling van het mantelvlak van de kegel is een sector met een hoek aan de top. Bereken deze hoek als de hoogte van de kegel 4 cm is en de straal van de basis 3 cm (zie Fig. 4).

Rijst. 5. Rechthoekige driehoek die een kegel vormt

Door de eerste actie, volgens de stelling van Pythagoras, vinden we de beschrijvende: 5 cm (zie Fig. 5). Verder weten we dat .

Voorbeeld 2. Het gebied van het axiale gedeelte van de kegel is , de hoogte is . Bepaal de totale oppervlakte (zie Fig. 6).

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee in contact te komen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, acties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om u belangrijke mededelingen en mededelingen te sturen.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u meedoet aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke incentive, kunnen we de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

In het geval dat het nodig is - in overeenstemming met de wet, een gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures en / of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is om veiligheidsredenen, wetshandhaving of andere redenen van algemeen belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de relevante derde partij opvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Behoud van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingspraktijken met onze medewerkers en handhaven we strikt de privacypraktijken.