Wat is de halve omtrek van een cirkel. Een stelsel vergelijkingen opstellen

Als het probleem grootheden kent als de omtrek van een cirkel, de straal of het gebied van een cirkel die wordt begrensd door een bepaalde cirkel, dan is de berekening van de diameter eenvoudig. Er zijn verschillende manieren om de diameter van een cirkel te berekenen. Ze zijn vrij eenvoudig en veroorzaken helemaal geen problemen, zoals velen op het eerste gezicht lijken.

Hoe de diameter van een cirkel te vinden - op 1 manier

Wanneer de waarde van de straal van de cirkel wordt gegeven, kan het probleem als half opgelost worden beschouwd, aangezien de straal de afstand is van een punt dat ergens op de cirkel ligt tot het middelpunt van deze cirkel. Het enige dat u hoeft te doen om in dit geval de diameter te vinden, is de gegeven straalwaarde met 2 te vermenigvuldigen. Deze manier van berekenen is omdat de straal de helft van de diameter is. Daarom, als bekend is waar de straal gelijk aan is, dan is de waarde van de helft van de gewenste diameterwaarde daadwerkelijk gevonden.

Hoe de diameter van een cirkel te vinden - 2-weg

Als het probleem alleen de waarde van de omtrek van een cirkel wordt gegeven, hoeft u de waarde van de diameter alleen maar te delen door een getal dat bekend staat als π en waarvan de geschatte waarde 3,14 is. Dat wil zeggen, als de lengtewaarde 31,4 is, en deze vervolgens te delen door 3,14, krijgen we de diameterwaarde, die 10 is.

Hoe de diameter van een cirkel te vinden - 3-weg

Als de waarde van het gebied van de cirkel in de brongegevens wordt gegeven, dan is het ook gemakkelijk om de diameter te vinden. Het enige wat je hoeft te doen is de vierkantswortel van de gegeven waarde te nemen en het resultaat te delen door pi. Dit betekent dat als de oppervlaktewaarde 64 is, dan blijft het getal 8 over bij het extraheren van de wortel. Als we de resulterende 8 delen door 3,14, krijgen we de diameterwaarde, die ongeveer 2,5 is.

Hoe de diameter van een cirkel te vinden - 4-weg

Binnen de cirkel moet je een rechte horizontale lijn van het ene punt naar het andere trekken met een liniaal of vierkant. Markeer de snijpunten van deze lijn met de cirkellijn met letters, bijvoorbeeld A en B. Het maakt niet uit in welk deel van de cirkel deze lijn komt te liggen.

Daarna moet je nog twee cirkels tekenen. Maar op zo'n manier dat de punten A en B hun middelpunten worden. De nieuw gevormde vormen zullen elkaar op twee punten kruisen. Door hen moet je nog een rechte lijn trekken. Daarna meten we de lengte met een liniaal. De meetwaarde is gelijk aan de lengte van de diameter, omdat de laatst getrokken lijn de diameter zelf is.

Het is interessant dat zelfs heel ver in het verleden, voor het weven van manden van een bepaalde grootte, twijgen ongeveer 3 keer langer werden genomen. Wetenschappers hebben experimenteel uitgelegd en bewezen dat als de lengte van een cirkel wordt gedeeld door de diameter, het resultaat bijna hetzelfde getal is.

- Dit is een platte figuur, een reeks punten op gelijke afstand van het midden. Ze bevinden zich allemaal op dezelfde afstand en vormen een cirkel.

Een lijnstuk dat het middelpunt van een cirkel verbindt met punten op zijn omtrek heet straal. In elke cirkel zijn alle stralen gelijk aan elkaar. Een lijn die twee punten op een cirkel verbindt en door het middelpunt gaat heet diameter. De formule voor het gebied van een cirkel wordt berekend met behulp van een wiskundige constante - het getal π ..

Het is interessant : Het getal pi. is de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de lengte van zijn diameter en is een constante waarde. De waarde π = 3,1415926 werd gebruikt na het werk van L. Euler in 1737.

Het gebied van een cirkel kan worden berekend met behulp van de constante π. en de straal van de cirkel. De formule voor de oppervlakte van een cirkel in termen van straal ziet er als volgt uit:

Overweeg een voorbeeld van het berekenen van het gebied van een cirkel met behulp van de straal. Geef een cirkel met straal R = 4 cm, laten we de oppervlakte van de figuur bepalen.

Het gebied van onze cirkel is gelijk aan 50,24 vierkante meter. cm.

Er is een formule het gebied van een cirkel door de diameter. Het wordt ook veel gebruikt om de vereiste parameters te berekenen. Deze formules kunnen worden gebruikt om te vinden.

Overweeg een voorbeeld van het berekenen van het gebied van een cirkel door de diameter, waarbij u de straal kent. Laten we een cirkel geven met een straal R = 4 cm Laten we eerst de diameter vinden, die, zoals u weet, tweemaal de straal is.


Nu gebruiken we de gegevens voor het voorbeeld van het berekenen van het gebied van een cirkel met behulp van de bovenstaande formule:

Zoals je kunt zien, krijgen we daardoor hetzelfde antwoord als in de eerste berekeningen.

Kennis van de standaardformules voor het berekenen van het gebied van een cirkel zal in de toekomst helpen om gemakkelijk te bepalen sectorgebied en het is gemakkelijk om de ontbrekende hoeveelheden te vinden.

We weten al dat de formule voor de oppervlakte van een cirkel wordt berekend door het product van de constante waarde π en het kwadraat van de straal van de cirkel. De straal kan worden uitgedrukt in termen van de omtrek van een cirkel en de uitdrukking in de formule vervangen door de oppervlakte van een cirkel in termen van de omtrek:
Nu vervangen we deze gelijkheid in de formule voor het berekenen van het gebied van een cirkel en krijgen de formule voor het vinden van het gebied van de cirkel, door de omtrek

Overweeg een voorbeeld van het berekenen van de oppervlakte van een cirkel door de omtrek. Laat een cirkel worden gegeven met lengte l = 8 cm Laten we de waarde in de afgeleide formule vervangen:

De totale oppervlakte van de cirkel is 5 vierkante meter. cm.

Oppervlakte van een cirkel omcirkeld rond een vierkant

Het is heel gemakkelijk om de oppervlakte van een cirkel rond een vierkant te vinden.

Dit vereist alleen de zijde van het vierkant en kennis van eenvoudige formules. De diagonaal van het vierkant is gelijk aan de diagonaal van de omgeschreven cirkel. Als je de zijde a kent, kan deze worden gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras: vanaf hier.
Nadat we de diagonaal hebben gevonden, kunnen we de straal berekenen: .
En dan vervangen we alles in de basisformule voor het gebied van een cirkel die om een ​​vierkant wordt beschreven:

Laten we eerst het verschil tussen een cirkel en een cirkel begrijpen. Om dit verschil te zien, volstaat het om na te gaan wat beide cijfers zijn. Dit is een oneindig aantal punten in het vlak, gelegen op gelijke afstand van één centraal punt. Maar als de cirkel ook uit interne ruimte bestaat, dan hoort hij niet bij de cirkel. Het blijkt dat een cirkel zowel een cirkel is die hem begrenst (o-cirkel (g)ness), als een ontelbaar aantal punten binnen de cirkel.

Voor elk punt L dat op de cirkel ligt, geldt de gelijkheid OL=R. (De lengte van het segment OL is gelijk aan de straal van de cirkel).

Een lijnstuk dat twee punten op een cirkel verbindt, is akkoord.

Een akkoord dat direct door het middelpunt van een cirkel gaat is diameter deze cirkel (D) . De diameter kan worden berekend met de formule: D=2R

Omtrek berekend met de formule: C=2\pi R

Oppervlakte van een cirkel: S=\pi R^(2)

boog van een cirkel noemde dat deel ervan, dat zich tussen twee van zijn punten bevindt. Deze twee punten definiëren twee bogen van een cirkel. De akkoord-CD omvat twee bogen: CMD en CLD. Dezelfde akkoorden onderspannen dezelfde bogen.

Centrale hoek is de hoek tussen twee stralen.

boog lengte kan worden gevonden met behulp van de formule:

1. Graden gebruiken: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Met behulp van een radiaalmaat: CD = \alpha R

De diameter die loodrecht op het akkoord staat, halveert het akkoord en de bogen die het overspant.

Als de akkoorden AB en CD van de cirkel elkaar snijden in het punt N, dan zijn de producten van de segmenten van de akkoorden gescheiden door het punt N gelijk aan elkaar.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Raaklijn aan cirkel

Raaklijn aan een cirkel Het is gebruikelijk om een ​​rechte lijn die een gemeenschappelijk punt heeft met een cirkel te noemen.

Als een lijn twee punten gemeen heeft, wordt deze genoemd secans.

Als u een straal tekent op het contactpunt, staat deze loodrecht op de raaklijn aan de cirkel.

Laten we twee raaklijnen van dit punt naar onze cirkel trekken. Het blijkt dat de segmenten van de raaklijnen aan elkaar gelijk zullen zijn, en het middelpunt van de cirkel zal op dit punt op de bissectrice van de hoek met het hoekpunt liggen.

AC=CB

Nu tekenen we een raaklijn en een secans aan de cirkel vanuit ons punt. We krijgen dat het kwadraat van de lengte van het raaksegment gelijk zal zijn aan het product van het gehele secanssegment door zijn buitenste deel.

AC^(2) = CD \cdot BC

We kunnen concluderen: het product van een geheel getal van de eerste secans door zijn buitenste deel is gelijk aan het product van een geheel getal van de tweede secans door zijn buitenste deel.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Hoeken in een cirkel

De graadmaten van de centrale hoek en de boog waarop deze rust zijn gelijk.

\hoek COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Ingeschreven hoek is een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt en waarvan de zijden akkoorden bevatten.

U kunt het berekenen door de grootte van de boog te kennen, aangezien deze gelijk is aan de helft van deze boog.

\hoek AOB = 2 \hoek ADB

Gebaseerd op diameter, ingeschreven hoek, recht.

\hoek CBD = \hoek CED = \hoek CAD = 90^ (\circ)

Ingeschreven hoeken die op dezelfde boog leunen, zijn identiek.

De ingeschreven hoeken op basis van hetzelfde akkoord zijn identiek of hun som is gelijk aan 180^ (\circ) .

\hoek ADB + \hoek AKB = 180^ (\circ)

\hoek ADB = \hoek AEB = \hoek AFB

Op dezelfde cirkel bevinden zich de hoekpunten van driehoeken met identieke hoeken en een gegeven basis.

Een hoek met een hoekpunt binnen de cirkel en gelegen tussen twee akkoorden is identiek aan de helft van de som van de hoekgrootten van de cirkelbogen die binnen de gegeven en verticale hoeken liggen.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \links (\cup DmC + \cup AlB \right)

Een hoek met een hoekpunt buiten de cirkel en gelegen tussen twee snijvlakken is gelijk aan de helft van het verschil in de hoekgrootheden van de bogen van een cirkel die binnen de hoek liggen.

\hoek M = \hoek CBD - \hoek ACB = \frac(1)(2) \links (\cup DmC - \cup AlB \rechts)

ingeschreven cirkel

ingeschreven cirkel is een cirkel die de zijden van de veelhoek raakt.

Op het punt waar de bissectrices van de hoeken van de veelhoek elkaar snijden, bevindt het middelpunt zich.

Een cirkel mag niet in elke veelhoek worden ingeschreven.

Het gebied van een veelhoek met een ingeschreven cirkel wordt gevonden door de formule:

S=pr,

p is de halve omtrek van de veelhoek,

r is de straal van de ingeschreven cirkel.

Hieruit volgt dat de straal van de ingeschreven cirkel is:

r = \frac(S)(p)

De som van de lengtes van overstaande zijden zal identiek zijn als de cirkel is ingeschreven in een convexe vierhoek. En omgekeerd: een cirkel is ingeschreven in een convexe vierhoek als de sommen van de lengten van tegenoverliggende zijden daarin gelijk zijn.

AB+DC=AD+BC

Het is mogelijk om een ​​cirkel in een van de driehoeken te schrijven. Slechts één enkele. Op het punt waar de bissectrices van de binnenhoeken van de figuur elkaar snijden, zal het middelpunt van deze ingeschreven cirkel liggen.

De straal van de ingeschreven cirkel wordt berekend met de formule:

r = \frac(S)(p) ,

waarbij p = \frac(a + b + c)(2)

Omgeschreven cirkel

Als een cirkel door elk hoekpunt van een veelhoek gaat, dan heet zo'n cirkel omgeschreven over een veelhoek.

Op het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van deze figuur zal het middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn.

De straal kan worden gevonden door deze te berekenen als de straal van een cirkel die is omgeschreven rond een driehoek die wordt gedefinieerd door drie willekeurige hoekpunten van de veelhoek.

Er is de volgende voorwaarde: een cirkel kan alleen om een ​​vierhoek worden beschreven als de som van de overstaande hoeken gelijk is aan 180^( \circ) .

\hoek A + \hoek C = \hoek B + \hoek D = 180^ (\circ)

In de buurt van elke driehoek is het mogelijk om een ​​cirkel te beschrijven, en één en slechts één. Het middelpunt van zo'n cirkel bevindt zich op het punt waar de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek elkaar snijden.

De straal van de omgeschreven cirkel kan worden berekend met de formules:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c zijn de lengtes van de zijden van de driehoek,

S is de oppervlakte van de driehoek.

Stelling van Ptolemaeus

Beschouw tot slot de stelling van Ptolemaeus.

De stelling van Ptolemaeus stelt dat het product van de diagonalen gelijk is aan de som van de producten van de tegenoverliggende zijden van een ingeschreven vierhoek.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Laten we een cirkel maken. Zet de poot van het kompas met de naald op het punt "O", en we zullen de poot van het kompas met het potlood rond dit punt draaien. Zo krijgen we een gesloten lijn. Deze gesloten lijn heet cirkel.

Laten we de cirkel eens nader bekijken. Laten we uitzoeken wat het middelpunt, de straal en de diameter van een cirkel wordt genoemd.

• ( )O wordt het middelpunt van de cirkel genoemd.
• Een lijnstuk dat het middelpunt en een willekeurig punt op de cirkel verbindt, heet cirkel straal. De straal van de cirkel wordt aangegeven met de letter "R". In de bovenstaande afbeelding is dit het segment "OA".
• Een lijnstuk dat twee punten op een cirkel verbindt en door het middelpunt gaat, heet cirkel diameter.

  De diameter van een cirkel wordt aangegeven met de letter "D". In de bovenstaande afbeelding is dit het segment "BC".

  De figuur laat ook zien dat de diameter gelijk is aan twee stralen. Daarom is de uitdrukking "D \u003d 2R" waar.

Het getal π en de omtrek

Voordat je erachter komt hoe de omtrek wordt berekend, moet je weten wat het getal π (lees als "Pi") is, dat zo vaak in de lessen wordt genoemd.

In de oudheid bestudeerden de wiskundigen van het oude Griekenland de cirkel zorgvuldig en kwamen tot de conclusie dat de omtrek en de diameter met elkaar verbonden zijn.

Herinneren!

De verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter is hetzelfde voor alle cirkels en wordt aangegeven met de Griekse letter π ("Pi").
≈ 3.14…

Het getal "Pi" verwijst naar getallen waarvan de exacte waarde niet kan worden geschreven met gewone breuken of met decimale breuken. Voor onze berekeningen is het voldoende voor ons om de waarde van π te gebruiken,
afgerond op de honderdste plaats π ≈ 3.14…

Nu we weten wat het getal is, kunnen we de formule voor de omtrek van een cirkel schrijven.

Herinneren!

Omtrek is het product van het getal π en de diameter van de cirkel. De omtrek wordt aangegeven met de letter "C" (lees als "Tse").
C= D
C = 2π R, aangezien D = 2R

Hoe de omtrek van een cirkel te vinden

Om de opgedane kennis te consolideren, lossen we het probleem op in een cirkel.

Vilenkin 6e leerjaar. Kamer 831

De taak:

Bepaal de lengte van een cirkel met een straal van 24 cm Rond het getal π af op honderdsten.

We gebruiken de formule voor de omtrek van een cirkel:

C = 2π R ≈ 2 3,14 24 ≈ 150,72 cm

Laten we het inverse probleem analyseren als we de omtrek van een cirkel kennen, en we worden gevraagd om de diameter ervan te vinden.

Vilenkin 6e leerjaar. Kamer 835

De taak:

Bepaal de diameter van de cirkel als de lengte 56,52 dm is. (π ≈ 3.14).

De diameter drukken we uit uit de formule voor de omtrek van een cirkel.

C= D
D \u003d C /
D = 56,52 / 3,14 = 18 dm

Akkoord en cirkelboog

In onderstaande figuur markeren we twee punten op de cirkel "A" en "B". Deze punten verdelen de cirkel in twee delen, die elk . worden genoemd boog. Dit is de blauwe boog "AB" en de zwarte boog "AB". Punten "A" en "B" worden genoemd boog eindigt.