Hoe de wortels van een kwadratische vergelijking te vinden. Online rekenmachine. Een kwadratische vergelijking oplossen

We blijven het onderwerp bestuderen oplossing van vergelijkingen". We hebben al kennis gemaakt met lineaire vergelijkingen en nu gaan we kennis maken met kwadratische vergelijkingen.

Eerst zullen we bespreken wat een kwadratische vergelijking is, hoe deze in algemene vorm wordt geschreven en gerelateerde definities geven. Daarna zullen we aan de hand van voorbeelden in detail analyseren hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost. Vervolgens gaan we verder met het oplossen van volledige vergelijkingen, krijgen we de formule voor de wortels, maken we kennis met de discriminant van een kwadratische vergelijking en bekijken we oplossingen voor typische voorbeelden. Ten slotte traceren we de verbanden tussen wortels en coëfficiënten.

Paginanavigatie.

Wat is een kwadratische vergelijking? hun typen

Eerst moet je duidelijk begrijpen wat een kwadratische vergelijking is. Daarom is het logisch om te beginnen praten over kwadratische vergelijkingen met de definitie van een kwadratische vergelijking, evenals definities die daarmee verband houden. Daarna kunt u de belangrijkste soorten kwadratische vergelijkingen overwegen: gereduceerde en niet-gereduceerde, evenals volledige en onvolledige vergelijkingen.

Definitie en voorbeelden van kwadratische vergelijkingen

Definitie.

Kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm a x 2 +b x+c=0, waarbij x een variabele is, a , b en c enkele getallen zijn en a verschilt van nul.

Laten we meteen zeggen dat kwadratische vergelijkingen vaak vergelijkingen van de tweede graad worden genoemd. Dit komt omdat de kwadratische vergelijking is algebraïsche vergelijking tweedegraads.

De klinkende definitie stelt ons in staat om voorbeelden van kwadratische vergelijkingen te geven. Dus 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, enz. zijn kwadratische vergelijkingen.

Definitie.

Cijfers a , b en c heten coëfficiënten van de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c \u003d 0, en de coëfficiënt a wordt de eerste, of senior, of coëfficiënt bij x 2 genoemd, b is de tweede coëfficiënt, of coëfficiënt bij x, en c is een gratis lid.

Laten we bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking nemen van de vorm 5 x 2 −2 x−3=0, hier is de leidende coëfficiënt 5, de tweede coëfficiënt is −2 en de vrije term is −3. Merk op dat wanneer de coëfficiënten b en/of c negatief zijn, zoals in het zojuist gegeven voorbeeld, de korte vorm van de kwadratische vergelijking van de vorm 5 x 2 −2 x−3=0 wordt gebruikt, niet 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Het is vermeldenswaard dat wanneer de coëfficiënten a en / of b gelijk zijn aan 1 of -1, ze meestal niet expliciet aanwezig zijn in de notatie van de kwadratische vergelijking, wat te wijten is aan de eigenaardigheden van de notatie van dergelijke . In de kwadratische vergelijking y 2 −y+3=0 is de leidende coëfficiënt bijvoorbeeld één en de coëfficiënt op y is -1.

Gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen

Afhankelijk van de waarde van de leidende coëfficiënt worden gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen onderscheiden. Laten we de bijbehorende definities geven.

Definitie.

Een kwadratische vergelijking waarin de leidende coëfficiënt 1 is, wordt genoemd gereduceerde kwadratische vergelijking. Anders is de kwadratische vergelijking ongereduceerd.

Volgens deze definitie zijn de kwadratische vergelijkingen x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, enz. - verminderd, in elk van hen is de eerste coëfficiënt gelijk aan één. En 5 x 2 −x−1=0 , enz. - niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen, hun leidende coëfficiënten verschillen van 1 .

Van elke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking, door beide delen te delen door de leidende coëfficiënt, kun je naar de gereduceerde gaan. Deze actie is een equivalente transformatie, dat wil zeggen dat de op deze manier verkregen gereduceerde kwadratische vergelijking dezelfde wortels heeft als de oorspronkelijke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking, of, zoals deze, geen wortels heeft.

Laten we een voorbeeld nemen van hoe de overgang van een niet-gereduceerde kwadratische vergelijking naar een gereduceerde wordt uitgevoerd.

Voorbeeld.

Ga vanuit de vergelijking 3 x 2 +12 x−7=0 naar de overeenkomstige gereduceerde kwadratische vergelijking.

Oplossing.

Het is voldoende voor ons om de deling van beide delen van de oorspronkelijke vergelijking uit te voeren door de leidende coëfficiënt 3, deze is niet nul, dus we kunnen deze actie uitvoeren. We hebben (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , wat hetzelfde is als (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , enzovoort (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , vanwaar . Dus we hebben de gereduceerde kwadratische vergelijking, die gelijk is aan de originele.

Antwoord:

Volledige en onvolledige kwadratische vergelijkingen

Er is een voorwaarde a≠0 in de definitie van een kwadratische vergelijking. Deze voorwaarde is nodig om de vergelijking a x 2 +b x+c=0 precies kwadraat te laten zijn, aangezien het met a=0 eigenlijk een lineaire vergelijking wordt van de vorm b x+c=0 .

De coëfficiënten b en c kunnen zowel afzonderlijk als samen gelijk zijn aan nul. In deze gevallen wordt de kwadratische vergelijking onvolledig genoemd.

Definitie.

De kwadratische vergelijking a x 2 +b x+c=0 heet incompleet, als ten minste één van de coëfficiënten b , c gelijk is aan nul.

Op zijn beurt

Definitie.

Volledige kwadratische vergelijking is een vergelijking waarin alle coëfficiënten verschillend zijn van nul.

Deze namen worden niet zomaar gegeven. Dit zal blijken uit de volgende bespreking.

Als de coëfficiënt b gelijk is aan nul, dan heeft de kwadratische vergelijking de vorm a x 2 +0 x+c=0 , en is gelijk aan de vergelijking a x 2 +c=0 . Als c=0 , dat wil zeggen, de kwadratische vergelijking heeft de vorm a x 2 +b x+0=0 , dan kan deze worden herschreven als a x 2 +b x=0 . En met b=0 en c=0 krijgen we de kwadratische vergelijking a·x 2 =0. De resulterende vergelijkingen verschillen van de volledige kwadratische vergelijking doordat hun linkerzijden geen term met de variabele x bevatten, of een vrije term, of beide. Vandaar hun naam - onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Dus de vergelijkingen x 2 +x+1=0 en −2 x 2 −5 x+0,2=0 zijn voorbeelden van volledige kwadratische vergelijkingen, en x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

Uit de informatie in de vorige paragraaf volgt dat er: drie soorten onvolledige kwadratische vergelijkingen:

a x 2 =0 , de coëfficiënten b=0 en c=0 corresponderen ermee;
a x 2 +c=0 wanneer b=0 ;
en a x 2 + b x=0 wanneer c=0 .

Laten we analyseren hoe de onvolledige kwadratische vergelijkingen van elk van deze typen worden opgelost.

a x 2 \u003d 0

Laten we beginnen met het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen waarin de coëfficiënten b en c gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen met vergelijkingen van de vorm a x 2 =0. De vergelijking a·x 2 =0 is gelijk aan de vergelijking x 2 =0, die wordt verkregen uit het origineel door de beide delen te delen door een niet-nul getal a. Het is duidelijk dat de wortel van de vergelijking x 2 \u003d 0 nul is, aangezien 0 2 \u003d 0. Deze vergelijking heeft geen andere wortels, wat inderdaad wordt verklaard voor elk niet-nul getal p, de ongelijkheid p 2 >0 vindt plaats, wat impliceert dat voor p≠0 de gelijkheid p 2 =0 nooit wordt bereikt.

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 \u003d 0 heeft een enkele wortel x \u003d 0.

Als voorbeeld geven we de oplossing van een onvolledige kwadratische vergelijking −4·x 2 =0. Het is gelijk aan de vergelijking x 2 \u003d 0, de enige wortel is x \u003d 0, daarom heeft de oorspronkelijke vergelijking een enkele wortel nul.

Een korte oplossing kan in dit geval als volgt worden gegeven:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Beschouw nu hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost, waarin de coëfficiënt b gelijk is aan nul, en c≠0, dat wil zeggen vergelijkingen van de vorm a x 2 +c=0. We weten dat de overdracht van een term van de ene kant van de vergelijking naar de andere met het tegenovergestelde teken, evenals de deling van beide kanten van de vergelijking door een getal dat niet nul is, een equivalente vergelijking oplevert. Daarom kunnen de volgende equivalente transformaties van de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 +c=0 worden uitgevoerd:

verplaats c naar de rechterkant, wat de vergelijking a x 2 =−c geeft,
en deel beide delen door a , we krijgen .

De resulterende vergelijking stelt ons in staat om conclusies te trekken over de wortels ervan. Afhankelijk van de waarden van a en c kan de waarde van de uitdrukking negatief zijn (bijvoorbeeld als a=1 en c=2 , dan ) of positief (bijvoorbeeld als a=−2 en c=6 , dan ), is het niet gelijk aan nul , omdat door voorwaarde c≠0 . We zullen de gevallen afzonderlijk analyseren en .

Als , dan heeft de vergelijking geen wortels. Deze verklaring volgt uit het feit dat het kwadraat van een willekeurig getal een niet-negatief getal is. Hieruit volgt dat wanneer , dan voor elk getal p de gelijkheid niet waar kan zijn.

Als , dan is de situatie met de wortels van de vergelijking anders. In dit geval, als we ons herinneren, wordt de wortel van de vergelijking meteen duidelijk, het is het getal, sinds. Het is gemakkelijk te raden dat het getal ook de wortel van de vergelijking is, inderdaad. Deze vergelijking heeft geen andere wortels, die bijvoorbeeld door tegenspraak kunnen worden aangetoond. Laten we het doen.

Laten we de juist stemhebbende wortels van de vergelijking aanduiden als x 1 en −x 1 . Stel dat de vergelijking een andere wortel x 2 heeft die verschilt van de aangegeven wortels x 1 en −x 1 . Het is bekend dat substitutie in de vergelijking in plaats van x van zijn wortels de vergelijking verandert in een echte numerieke gelijkheid. Voor x 1 en −x 1 hebben we , en voor x 2 hebben we . De eigenschappen van numerieke gelijkheden stellen ons in staat om term-voor-term af te trekken van echte numerieke gelijkheden, dus het aftrekken van de corresponderende delen van de gelijkheden geeft x 1 2 − x 2 2 =0. De eigenschappen van bewerkingen met getallen stellen ons in staat om de resulterende gelijkheid te herschrijven als (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . We weten dat het product van twee getallen gelijk is aan nul als en slechts dan als ten minste één van hen gelijk is aan nul. Uit de verkregen gelijkheid volgt dus dat x 1 −x 2 =0 en/of x 1 +x 2 =0 , wat hetzelfde is, x 2 =x 1 en/of x 2 = −x 1 . We zijn dus tot een tegenstrijdigheid gekomen, aangezien we in het begin zeiden dat de wortel van de vergelijking x 2 verschilt van x 1 en −x 1 . Dit bewijst dat de vergelijking geen andere wortels heeft dan en .

Laten we de informatie in deze paragraaf samenvatten. De onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 +c=0 is gelijk aan de vergelijking , die

heeft geen wortels als,
heeft twee wortels en als .

Beschouw voorbeelden van het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen van de vorm a·x 2 +c=0 .

Laten we beginnen met de kwadratische vergelijking 9 x 2 +7=0 . Na het overbrengen van de vrije term naar de rechterkant van de vergelijking, zal deze de vorm 9·x 2 =−7 aannemen. Door beide zijden van de resulterende vergelijking te delen door 9, komen we op . Aangezien een negatief getal aan de rechterkant wordt verkregen, heeft deze vergelijking geen wortels, daarom heeft de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking 9 x 2 +7=0 geen wortels.

Laten we nog een onvolledige kwadratische vergelijking −x 2 +9=0 oplossen. We brengen de negen over naar de rechterkant: -x 2 \u003d -9. Nu delen we beide delen door −1, we krijgen x 2 =9. De rechterkant bevat een positief getal, waaruit we concluderen dat of . Nadat we het definitieve antwoord hebben opgeschreven: de onvolledige kwadratische vergelijking −x 2 +9=0 heeft twee wortels x=3 of x=−3.

a x 2 + b x = 0

Rest ons om de oplossing van het laatste type onvolledige kwadratische vergelijkingen voor c=0 te behandelen. Met onvolledige kwadratische vergelijkingen van de vorm a x 2 +b x=0 kun je oplossen factorisatie methode:. Vanzelfsprekend kunnen we dat, aan de linkerkant van de vergelijking, waarvoor het voldoende is om de gemeenschappelijke factor x tussen haakjes te halen. Dit stelt ons in staat om van de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking naar een equivalente vergelijking van de vorm x·(a·x+b)=0 te gaan. En deze vergelijking is gelijk aan de verzameling van twee vergelijkingen x=0 en a x+b=0 , waarvan de laatste lineair is en een wortel heeft x=−b/a .

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 +b x=0 heeft twee wortels x=0 en x=−b/a.

Om het materiaal te consolideren, zullen we de oplossing van een specifiek voorbeeld analyseren.

Voorbeeld.

Los De vergelijking op.

Oplossing.

We halen x uit haakjes, dit geeft de vergelijking. Het is gelijk aan twee vergelijkingen x=0 en . We lossen de resulterende lineaire vergelijking op: , en na het gemengde getal te delen door een gewone breuk, vinden we . Daarom zijn de wortels van de oorspronkelijke vergelijking x=0 en .

Na de nodige oefening te hebben gekregen, kunnen de oplossingen van dergelijke vergelijkingen kort worden geschreven:

Antwoord:

x=0 , .

Discriminant, formule van de wortels van een kwadratische vergelijking

Om kwadratische vergelijkingen op te lossen, is er een wortelformule. Laten we opschrijven de formule van de wortels van de kwadratische vergelijking: , waar D=b 2 −4 een c- zogenaamde discriminant van een kwadratische vergelijking. De notatie betekent in wezen dat .

Het is handig om te weten hoe de wortelformule is verkregen en hoe deze wordt toegepast bij het vinden van de wortels van kwadratische vergelijkingen. Laten we dit afhandelen.

Afleiding van de formule van de wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we de kwadratische vergelijking a·x 2 +b·x+c=0 oplossen. Laten we een aantal equivalente transformaties uitvoeren:

We kunnen beide delen van deze vergelijking delen door een niet-nul getal a, als resultaat krijgen we de gereduceerde kwadratische vergelijking.
nutsvoorzieningen selecteer een volledig vierkant aan de linkerkant: . Daarna zal de vergelijking de vorm aannemen.
In dit stadium is het mogelijk om de overdracht van de laatste twee termen naar de rechterkant uit te voeren met het tegenovergestelde teken, we hebben .
En laten we ook de uitdrukking aan de rechterkant transformeren: .

Als resultaat komen we tot de vergelijking , die equivalent is aan de oorspronkelijke kwadratische vergelijking a·x 2 +b·x+c=0 .

We hebben al vergelijkingen opgelost die vergelijkbaar zijn in vorm in de vorige paragrafen toen we analyseerden. Dit stelt ons in staat om de volgende conclusies te trekken met betrekking tot de wortels van de vergelijking:

als , dan heeft de vergelijking geen echte oplossingen;
als , dan heeft de vergelijking dus de vorm , waarvan de enige wortel zichtbaar is;
als , dan of , wat hetzelfde is als of , dat wil zeggen, de vergelijking heeft twee wortels.

Dus de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van de vergelijking, en dus de oorspronkelijke kwadratische vergelijking, hangt af van het teken van de uitdrukking aan de rechterkant. Het teken van deze uitdrukking wordt op zijn beurt bepaald door het teken van de teller, aangezien de noemer 4 a 2 altijd positief is, dat wil zeggen het teken van de uitdrukking b 2 −4 a c . Deze uitdrukking b 2 −4 a c heet discriminant van een kwadratische vergelijking en gemarkeerd met de letter D. Vanaf hier is de essentie van de discriminant duidelijk - door zijn waarde en teken wordt geconcludeerd of de kwadratische vergelijking echte wortels heeft, en zo ja, wat is hun nummer - één of twee.

We keren terug naar de vergelijking , herschrijven deze met de notatie van de discriminant: . En we concluderen:

als D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
als D=0, dan heeft deze vergelijking een enkele wortel;
tenslotte, als D>0, dan heeft de vergelijking twee wortels of , die herschreven kunnen worden in de vorm of , en na het uitbreiden en verkleinen van de breuken tot een gemeenschappelijke noemer, krijgen we .

We hebben dus de formules afgeleid voor de wortels van de kwadratische vergelijking, ze zien eruit als , waarbij de discriminant D wordt berekend met de formule D=b 2 −4 a c .

Met hun hulp, met een positieve discriminant, kun je beide reële wortels van een kwadratische vergelijking berekenen. Als de discriminant gelijk is aan nul, geven beide formules dezelfde wortelwaarde die overeenkomt met de enige oplossing van de kwadratische vergelijking. En met een negatieve discriminant worden we, wanneer we de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking proberen te gebruiken, geconfronteerd met het extraheren van de vierkantswortel uit een negatief getal, wat ons buiten het bereik van het schoolcurriculum brengt. Met een negatieve discriminant heeft de kwadratische vergelijking geen echte wortels, maar een paar complex geconjugeerd wortels, die kunnen worden gevonden met dezelfde wortelformules die we hebben verkregen.

Algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met wortelformules

In de praktijk kun je bij het oplossen van een kwadratische vergelijking meteen de wortelformule gebruiken om hun waarden te berekenen. Maar dit gaat meer over het vinden van complexe wortels.

In een cursus algebra op school hebben we het echter meestal niet over complexe, maar over reële wortels van een kwadratische vergelijking. In dit geval is het raadzaam om eerst de discriminant te vinden voordat je de formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking gebruikt, zorg ervoor dat deze niet-negatief is (anders kunnen we concluderen dat de vergelijking geen echte wortels heeft), en daarna bereken de waarden van de wortels.

De bovenstaande redenering stelt ons in staat om te schrijven: algoritme voor het oplossen van een kwadratische vergelijking. Om de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c \u003d 0 op te lossen, hebt u nodig:

gebruik de discriminantformule D=b 2 −4 a c bereken de waarde ervan;
concluderen dat de kwadratische vergelijking geen echte wortels heeft als de discriminant negatief is;
bereken de enige wortel van de vergelijking met behulp van de formule als D=0 ;
vind twee echte wortels van een kwadratische vergelijking met behulp van de wortelformule als de discriminant positief is.

Hier merken we alleen op dat als de discriminant gelijk is aan nul, de formule ook kan worden gebruikt, deze dezelfde waarde zal geven als .

U kunt doorgaan met voorbeelden van het toepassen van het algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Overweeg oplossingen van drie kwadratische vergelijkingen met positieve, negatieve en nuldiscriminant. Na hun oplossing te hebben behandeld, zal het naar analogie mogelijk zijn om elke andere kwadratische vergelijking op te lossen. Laten we beginnen.

Voorbeeld.

Zoek de wortels van de vergelijking x 2 +2 x−6=0 .

Oplossing.

In dit geval hebben we de volgende coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a=1 , b=2 en c=−6 . Volgens het algoritme moet je eerst de discriminant berekenen, hiervoor vervangen we de aangegeven a, b en c in de discriminantformule, we hebben D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Aangezien 28>0, dat wil zeggen dat de discriminant groter is dan nul, heeft de kwadratische vergelijking twee reële wortels. Laten we ze vinden met de formule van wortels , we krijgen , hier kunnen we de uitdrukkingen vereenvoudigen die worden verkregen door te doen het teken van de wortel buiten beschouwing laten gevolgd door breukreductie:

Antwoord:

Laten we verder gaan met het volgende typische voorbeeld.

Voorbeeld.

Los de kwadratische vergelijking −4 x 2 +28 x−49=0 op.

Oplossing.

We beginnen met het vinden van de discriminant: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Daarom heeft deze kwadratische vergelijking een enkele wortel, die we vinden als , dat wil zeggen,

Antwoord:

x=3.5 .

Het blijft om de oplossing van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant te overwegen.

Voorbeeld.

Los de vergelijking 5 y 2 +6 y+2=0 op.

Oplossing.

Dit zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a=5 , b=6 en c=2 . Als we deze waarden in de discriminantformule plaatsen, hebben we: D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. De discriminant is negatief, daarom heeft deze kwadratische vergelijking geen echte wortels.

Als u complexe wortels moet specificeren, gebruiken we de bekende formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking, en voeren uit bewerkingen met complexe getallen:

Antwoord:

er zijn geen echte wortels, de complexe wortels zijn: .

Nogmaals, we merken op dat als de discriminant van de kwadratische vergelijking negatief is, de school meestal meteen het antwoord opschrijft, waarin ze aangeven dat er geen echte wortels zijn en ze geen complexe wortels vinden.

Wortelformule voor even tweede coëfficiënten

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking, waarbij D=b 2 −4 ac je in staat stelt een compactere formule te krijgen waarmee je kwadratische vergelijkingen kunt oplossen met een even coëfficiënt bij x (of gewoon met een coëfficiënt die eruitziet als 2 n , bijvoorbeeld, of 14 ln5=2 7 ln5) ). Laten we haar eruit halen.

Laten we zeggen dat we een kwadratische vergelijking van de vorm a x 2 +2 n x + c=0 moeten oplossen. Laten we de wortels ervan vinden met behulp van de formule die ons bekend is. Om dit te doen, berekenen we de discriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), en dan gebruiken we de wortelformule:

Geef de uitdrukking n 2 − a c aan als D 1 (soms wordt het aangeduid met D "). Dan heeft de formule voor de wortels van de beschouwde kwadratische vergelijking met de tweede coëfficiënt 2 n de vorm , waarbij D 1 = n 2 −a c .

Het is gemakkelijk in te zien dat D=4·D 1 , of D 1 =D/4 . Met andere woorden, D 1 is het vierde deel van de discriminant. Het is duidelijk dat het teken van D 1 hetzelfde is als het teken van D . Dat wil zeggen, het teken D 1 is ook een indicator van de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van de kwadratische vergelijking.

Dus, om een kwadratische vergelijking op te lossen met de tweede coëfficiënt 2 n, heb je nodig

Bereken D 1 = n 2 −a·c ;
Als D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Als D 1 =0, bereken dan de enige wortel van de vergelijking met behulp van de formule;
Als D 1 >0, zoek dan twee echte wortels met behulp van de formule.

Overweeg de oplossing van het voorbeeld met behulp van de basisformule die in deze paragraaf is verkregen.

Voorbeeld.

Los de kwadratische vergelijking 5 x 2 −6 x−32=0 op.

Oplossing.

De tweede coëfficiënt van deze vergelijking kan worden weergegeven als 2·(−3) . Dat wil zeggen, je kunt de oorspronkelijke kwadratische vergelijking herschrijven in de vorm 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , hier a=5 , n=−3 en c=−32 , en het vierde deel van de discriminerend: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Omdat de waarde positief is, heeft de vergelijking twee reële wortels. We vinden ze met behulp van de bijbehorende wortelformule:

Merk op dat het mogelijk was om de gebruikelijke formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking te gebruiken, maar in dit geval zou meer rekenwerk moeten worden gedaan.

Antwoord:

Vereenvoudiging van de vorm van kwadratische vergelijkingen

Soms kan het geen kwaad om, voordat u begint met het berekenen van de wortels van een kwadratische vergelijking met formules, de vraag te stellen: "Is het mogelijk om de vorm van deze vergelijking te vereenvoudigen"? Mee eens dat het qua berekeningen gemakkelijker zal zijn om de kwadratische vergelijking 11 x 2 −4 x −6=0 op te lossen dan 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Gewoonlijk wordt een vereenvoudiging van de vorm van een kwadratische vergelijking bereikt door beide zijden ervan te vermenigvuldigen of te delen door een getal. In de vorige paragraaf zijn we er bijvoorbeeld in geslaagd om de vergelijking 1100 x 2 −400 x −600=0 te vereenvoudigen door beide zijden te delen door 100 .

Een soortgelijke transformatie wordt uitgevoerd met kwadratische vergelijkingen, waarvan de coëfficiënten niet . In dit geval worden beide delen van de vergelijking meestal gedeeld door de absolute waarden van de coëfficiënten. Laten we bijvoorbeeld de kwadratische vergelijking 12 x 2 −42 x+48=0 nemen. absolute waarden van zijn coëfficiënten: ggd(12, 42, 48)= ggd(ggd(12, 42), 48)= ggd(6, 48)=6 . Door beide delen van de oorspronkelijke kwadratische vergelijking te delen door 6 , komen we tot de equivalente kwadratische vergelijking 2 x 2 −7 x+8=0 .

En de vermenigvuldiging van beide delen van de kwadratische vergelijking wordt meestal gedaan om fractionele coëfficiënten kwijt te raken. In dit geval wordt de vermenigvuldiging uitgevoerd op de noemers van zijn coëfficiënten. Als bijvoorbeeld beide delen van een kwadratische vergelijking worden vermenigvuldigd met LCM(6, 3, 1)=6 , dan zal het een eenvoudigere vorm aannemen x 2 +4 x−18=0 .

Ter afsluiting van deze paragraaf merken we op dat bijna altijd de min verwijderd wordt bij de hoogste coëfficiënt van de kwadratische vergelijking door de tekens van alle termen te veranderen, wat overeenkomt met het vermenigvuldigen (of delen) van beide delen door −1. Bijvoorbeeld, ga vanuit de kwadratische vergelijking −2·x 2 −3·x+7=0 naar de oplossing 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relatie tussen wortels en coëfficiënten van een kwadratische vergelijking

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking drukt de wortels van een vergelijking uit in termen van zijn coëfficiënten. Op basis van de formule van de wortels kun je andere relaties tussen de wortels en coëfficiënten krijgen.

De meest bekende en toepasselijke formules van de Vieta-stelling van de vorm en . In het bijzonder is voor de gegeven kwadratische vergelijking de som van de wortels gelijk aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, en is het product van de wortels de vrije term. Bijvoorbeeld, door de vorm van de kwadratische vergelijking 3 x 2 −7 x+22=0, kunnen we onmiddellijk zeggen dat de som van de wortels 7/3 is en het product van de wortels 22/3.

Met behulp van de reeds geschreven formules kun je een aantal andere relaties krijgen tussen de wortels en coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. U kunt bijvoorbeeld de som van de kwadraten van de wortels van een kwadratische vergelijking uitdrukken in termen van zijn coëfficiënten: .

Bibliografie.

Algebra: leerboek voor 8 cellen. algemene educatie instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M. : Onderwijs, 2008. - 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovitsj A.G. Algebra. 8e leerjaar. Om 14.00 uur Deel 1. Een leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen / A. G. Mordkovich. - 11e druk, gewist. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: afb. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kwadratische vergelijkingen worden bestudeerd in groep 8, dus er is hier niets ingewikkelds. Het vermogen om ze op te lossen is essentieel.

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij de coëfficiënten a , b en c willekeurige getallen zijn, en a ≠ 0.

Voordat we specifieke oplossingsmethoden bestuderen, merken we op dat alle kwadratische vergelijkingen in drie klassen kunnen worden verdeeld:

Heb geen wortels;
Ze hebben precies één wortel;
Ze hebben twee verschillende wortels.

Dit is een belangrijk verschil tussen kwadratische en lineaire vergelijkingen, waarbij de wortel altijd bestaat en uniek is. Hoe bepaal je hoeveel wortels een vergelijking heeft? Hier is iets geweldigs voor - discriminerend.

discriminerend

Stel dat de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0. Dan is de discriminant gewoon het getal D = b 2 − 4ac .

Deze formule moet je uit je hoofd kennen. Waar het vandaan komt is nu niet belangrijk. Een ander ding is belangrijk: aan het teken van de discriminant kun je bepalen hoeveel wortels een kwadratische vergelijking heeft. Namelijk:

Als D< 0, корней нет;
Als D = 0, is er precies één wortel;
Als D > 0, zijn er twee wortels.

Let op: de discriminant geeft het aantal wortels aan, en helemaal niet hun tekens, zoals veel mensen om de een of andere reden denken. Bekijk de voorbeelden en u begrijpt alles zelf:

Een taak. Hoeveel wortels hebben kwadratische vergelijkingen:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

We schrijven de coëfficiënten voor de eerste vergelijking en vinden de discriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dus de discriminant is positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende wortels. We analyseren de tweede vergelijking op dezelfde manier:
een = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

De discriminant is negatief, er zijn geen wortels. De laatste vergelijking blijft:
een = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

De discriminant is gelijk aan nul - de wortel zal één zijn.

Merk op dat voor elke vergelijking coëfficiënten zijn uitgeschreven. Ja, het is lang, ja, het is vervelend - maar je haalt de kansen niet door elkaar en maakt geen domme fouten. Kies zelf: snelheid of kwaliteit.

Trouwens, als je "je hand vult", hoef je na een tijdje niet meer alle coëfficiënten op te schrijven. Dergelijke operaties voer je in je hoofd uit. De meeste mensen beginnen dit ergens na 50-70 opgeloste vergelijkingen te doen - in het algemeen niet zo veel.

De wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu verder gaan met de oplossing. Als de discriminant D > 0, kunnen de wortels worden gevonden met behulp van de formules:

De basisformule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Wanneer D = 0, kunt u elk van deze formules gebruiken - u krijgt hetzelfde getal, wat het antwoord zal zijn. Tot slot, als D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Eerste vergelijking:
x 2 - 2x - 3 = 0 a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ de vergelijking heeft twee wortels. Laten we ze zoeken:

Tweede vergelijking:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ de vergelijking heeft weer twee wortels. Laten we ze zoeken

\[\begin(uitlijnen) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(uitlijnen)\]

Ten slotte de derde vergelijking:
x 2 + 12x + 36 = 0 a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ de vergelijking heeft één wortel. Elke formule kan worden gebruikt. Bijvoorbeeld de eerste:

Zoals je aan de voorbeelden kunt zien, is alles heel eenvoudig. Als je de formules kent en kunt tellen, zijn er geen problemen. Meestal treden fouten op wanneer negatieve coëfficiënten in de formule worden vervangen. Ook hier zal de hierboven beschreven techniek helpen: kijk letterlijk naar de formule, schilder elke stap - en maak snel fouten.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Het komt voor dat de kwadratische vergelijking enigszins afwijkt van wat in de definitie wordt gegeven. Bijvoorbeeld:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Het is gemakkelijk in te zien dat een van de termen in deze vergelijkingen ontbreekt. Dergelijke kwadratische vergelijkingen zijn zelfs gemakkelijker op te lossen dan standaardvergelijkingen: ze hoeven niet eens de discriminant te berekenen. Laten we daarom een nieuw concept introduceren:

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 wordt een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd als b = 0 of c = 0, d.w.z. de coëfficiënt van de variabele x of het vrije element is gelijk aan nul.

Natuurlijk is een heel moeilijk geval mogelijk wanneer beide coëfficiënten gelijk zijn aan nul: b \u003d c \u003d 0. In dit geval heeft de vergelijking de vorm ax 2 \u003d 0. Het is duidelijk dat zo'n vergelijking een enkele heeft wortel: x \u003d 0.

Laten we eens kijken naar andere gevallen. Laat b \u003d 0, dan krijgen we een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c \u003d 0. Laten we het een beetje transformeren:

Aangezien de rekenkundige vierkantswortel alleen bestaat uit een niet-negatief getal, heeft de laatste gelijkheid alleen zin als (−c / a ) ≥ 0. Conclusie:

Als een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 voldoet aan de ongelijkheid (−c / a ) ≥ 0, dan zijn er twee wortels. De formule is hierboven gegeven;
Als (−c / a )< 0, корней нет.

Zoals u kunt zien, was de discriminant niet vereist - er zijn helemaal geen complexe berekeningen in onvolledige kwadratische vergelijkingen. In feite is het niet eens nodig om de ongelijkheid (−c / a ) ≥ 0 te onthouden. Het is voldoende om de waarde van x 2 uit te drukken en te kijken wat er aan de andere kant van het gelijkteken staat. Als er een positief getal is, zijn er twee wortels. Als het negatief is, zullen er helemaal geen wortels zijn.

Laten we nu kijken naar vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0, waarin het vrije element gelijk is aan nul. Alles is hier eenvoudig: er zullen altijd twee wortels zijn. Het is voldoende om de veelterm te ontbinden:

De gemeenschappelijke factor uit de beugel halen

Het product is gelijk aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul. Hier komen de wortels vandaan. Tot slot zullen we verschillende van deze vergelijkingen analyseren:

Een taak. Los kwadratische vergelijkingen op:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 7x = 0 x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Er zijn geen wortels, omdat het vierkant kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.

Formules voor de wortels van een kwadratische vergelijking. De gevallen van echte, meervoudige en complexe wortels worden beschouwd. Factorisatie van een vierkante trinominaal. Geometrische interpretatie. Voorbeelden van het bepalen van wortels en factorisatie.

Basisformules

Beschouw de kwadratische vergelijking:
(1) .
De wortels van een kwadratische vergelijking(1) worden bepaald door de formules:
; .
Deze formules kunnen als volgt worden gecombineerd:
.
Als de wortels van de kwadratische vergelijking bekend zijn, kan de polynoom van de tweede graad worden weergegeven als een product van factoren (in factoren ontbonden):
.

Verder nemen we aan dat dit reële getallen zijn.
Beschouwen discriminant van een kwadratische vergelijking:
.
Als de discriminant positief is, heeft de kwadratische vergelijking (1) twee verschillende reële wortels:
; .
Dan heeft de factorisatie van de vierkante trinominaal de vorm:
.
Als de discriminant gelijk is aan nul, dan heeft de kwadratische vergelijking (1) twee meervoudige (gelijke) reële wortels:
.
Factorisatie:
.
Als de discriminant negatief is, heeft de kwadratische vergelijking (1) twee complexe geconjugeerde wortels:
;
.
Hier is de denkbeeldige eenheid, ;
en zijn de echte en denkbeeldige delen van de wortels:
; .
Dan

.

Grafische interpretatie

Als we de functie in een grafiek zetten
,
wat een parabool is, dan zijn de snijpunten van de grafiek met de as de wortels van de vergelijking
.
Wanneer , snijdt de grafiek de abscis (as) op twee punten.
Wanneer , de grafiek raakt de x-as op één punt.
Wanneer , de grafiek kruist de x-as niet.

Hieronder staan voorbeelden van dergelijke grafieken.

Handige formules met betrekking tot kwadratische vergelijkingen

(v.1) ;
(v.2) ;
(v.3) .

Afleiding van de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

We voeren transformaties uit en passen formules (f.1) en (f.3) toe:

,
waar
; .

Dus we hebben de formule voor de polynoom van de tweede graad in de vorm:
.
Hieruit kan worden afgeleid dat de vergelijking

uitgevoerd op
En .
Dat wil zeggen, en zijn de wortels van de kwadratische vergelijking
.

Voorbeelden van het bepalen van de wortels van een kwadratische vergelijking

voorbeeld 1

(1.1) .

Oplossing

.
In vergelijking met onze vergelijking (1.1), vinden we de waarden van de coëfficiënten:
.
De discriminant vinden:
.
Aangezien de discriminant positief is, heeft de vergelijking twee reële wortels:
;
;
.

Hieruit verkrijgen we de ontleding van de vierkante trinominaal in factoren:

.

Grafiek van de functie y = 2x 2 + 7x + 3 kruist de x-as op twee punten.

Laten we de functie plotten
.
De grafiek van deze functie is een parabool. Het kruist de x-as (as) op twee punten:
En .
Deze punten zijn de wortels van de oorspronkelijke vergelijking (1.1).

Antwoord

;
;
.

Voorbeeld 2

Zoek de wortels van een kwadratische vergelijking:
(2.1) .

Oplossing

We schrijven de kwadratische vergelijking in algemene vorm:
.
In vergelijking met de oorspronkelijke vergelijking (2.1), vinden we de waarden van de coëfficiënten:
.
De discriminant vinden:
.
Aangezien de discriminant nul is, heeft de vergelijking twee meervoudige (gelijke) wortels:
;
.

Dan heeft de factorisatie van de trinominaal de vorm:
.

Grafiek van de functie y = x 2 - 4x + 4 raakt de x-as op een punt.

Laten we de functie plotten
.
De grafiek van deze functie is een parabool. Het raakt de x-as (as) op een punt:
.
Dit punt is de wortel van de oorspronkelijke vergelijking (2.1). Aangezien deze wortel tweemaal wordt ontbonden:
,
dan heet zo'n wortel een veelvoud. Dat wil zeggen, ze zijn van mening dat er twee gelijke wortels zijn:
.

Antwoord

;
.

Voorbeeld 3

Zoek de wortels van een kwadratische vergelijking:
(3.1) .

Oplossing

We schrijven de kwadratische vergelijking in algemene vorm:
(1) .
Laten we de oorspronkelijke vergelijking (3.1) herschrijven:
.
In vergelijking met (1) vinden we de waarden van de coëfficiënten:
.
De discriminant vinden:
.
De discriminant is negatief, . Er zijn dus geen echte wortels.

Je kunt complexe wortels vinden:
;
;
.

Dan

.

De grafiek van de functie kruist de x-as niet. Er zijn geen echte wortels.

Laten we de functie plotten
.
De grafiek van deze functie is een parabool. Het kruist de abscis (as) niet. Er zijn dus geen echte wortels.

Antwoord

Er zijn geen echte wortels. Complexe wortels:
;
;
.

Met dit wiskundeprogramma kun je kwadratische vergelijking oplossen.

Het programma geeft niet alleen het antwoord op het probleem, maar geeft ook het oplossingsproces op twee manieren weer:
- gebruik van de discriminant
- gebruik maken van de stelling van Vieta (indien mogelijk).

Bovendien wordt het antwoord exact weergegeven, niet bij benadering.
Voor de vergelijking $81x^2-16x-1=0$ wordt het antwoord bijvoorbeeld in deze vorm weergegeven:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ in plaats van dit: $x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0,05 $

Dit programma kan nuttig zijn voor middelbare scholieren ter voorbereiding op toetsen en examens, bij het testen van kennis voor het Unified State Exam, voor ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon zo snel mogelijk je huiswerk voor wiskunde of algebra af hebben? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Op deze manier kunt u uw eigen training en/of de training van uw jongere broers of zussen geven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van op te lossen taken wordt verhoogd.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van een vierkante polynoom, raden we u aan er vertrouwd mee te raken.

Regels voor het invoeren van een vierkante veelterm

Elke Latijnse letter kan als variabele fungeren.
Bijvoorbeeld: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ enz.

Getallen kunnen worden ingevoerd als gehele getallen of breuken.
Bovendien kunnen fractionele getallen niet alleen in de vorm van een decimaal worden ingevoerd, maar ook in de vorm van een gewone breuk.

Regels voor het invoeren van decimale breuken.
In decimale breuken kan het breukdeel van het gehele getal worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimalen als volgt invoeren: 2,5x - 3,5x^2

Regels voor het invoeren van gewone breuken.
Alleen een geheel getal kan fungeren als teller, noemer en geheel getal van een breuk.

De noemer kan niet negatief zijn.

Bij het invoeren van een numerieke breuk wordt de teller gescheiden van de noemer door een deelteken: /
Het gehele deel wordt van de breuk gescheiden door een ampersand: &
Invoer: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultaat: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 $

Bij het invoeren van een uitdrukking je kunt haakjes gebruiken. In dit geval wordt bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de geïntroduceerde uitdrukking vereenvoudigd.
Bijvoorbeeld: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Oplossen

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om deze taak op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Mogelijk hebt u AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

Je hebt JavaScript uitgeschakeld in je browser.
JavaScript moet zijn ingeschakeld om de oplossing te laten verschijnen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht alsjeblieft zie...

als jij merkte een fout op in de oplossing, dan kun je erover schrijven in het Feedback Form .
Niet vergeten aangeven welke taak jij bepaalt wat vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Kwadratische vergelijking en zijn wortels. Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Elk van de vergelijkingen
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
heeft de vorm
$ax^2+bx+c=0, $
waarbij x een variabele is, a, b en c getallen zijn.
In de eerste vergelijking a = -1, b = 6 en c = 1,4, in de tweede a = 8, b = -7 en c = 0, in de derde a = 1, b = 0 en c = 4/9. Dergelijke vergelijkingen worden genoemd kwadratische vergelijkingen.

Definitie.
kwadratische vergelijking een vergelijking van de vorm ax 2 +bx+c=0 wordt aangeroepen, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen, en $a \neq 0 $.

De getallen a, b en c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. Het getal a wordt de eerste coëfficiënt genoemd, het getal b is de tweede coëfficiënt en het getal c is het snijpunt.

In elk van de vergelijkingen van de vorm ax 2 +bx+c=0, waarbij $a \neq 0 $, is de grootste macht van de variabele x een vierkant. Vandaar de naam: kwadratische vergelijking.

Merk op dat een kwadratische vergelijking ook een vergelijking van de tweede graad wordt genoemd, omdat de linkerkant ervan een polynoom van de tweede graad is.

Een kwadratische vergelijking waarin de coëfficiënt bij x 2 gelijk is aan 1 heet gereduceerde kwadratische vergelijking. De gegeven kwadratische vergelijkingen zijn bijvoorbeeld de vergelijkingen
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Als in de kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 tenminste één van de coëfficiënten b of c gelijk is aan nul, dan heet zo'n vergelijking onvolledige kwadratische vergelijking. Dus de vergelijkingen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen. In de eerste b=0, in de tweede c=0, in de derde b=0 en c=0.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn van drie soorten:
1) ax 2 +c=0, waarbij $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, waarbij $b \neq 0 $;
3) ax2=0.

Overweeg de oplossing van vergelijkingen van elk van deze typen.

Om een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +c=0 voor $c \neq 0 $ op te lossen, wordt de vrije term verplaatst naar de rechterkant en worden beide delen van de vergelijking gedeeld door a:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rechts x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Aangezien $c \neq 0 $, dan is $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Als $-\frac(c)(a)>0 $, dan heeft de vergelijking twee wortels.

Als $-\frac(c)(a) Om een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +bx=0 op te lossen voor \(b \neq 0 $ ontbind je de linkerkant ervan en verkrijg je de vergelijking
$x(ax+b)=0 \Rechterpijl \links\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \rechts. \Rechtspijl \links\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +bx=0 voor $b \neq 0 $ heeft dus altijd twee wortels.

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 \u003d 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 \u003d 0 en heeft daarom een enkele wortel 0.

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu eens kijken hoe kwadratische vergelijkingen worden opgelost waarin zowel de coëfficiënten van de onbekenden als de vrije term niet nul zijn.

We lossen de kwadratische vergelijking op in algemene vorm en als resultaat krijgen we de formule van de wortels. Dan kan deze formule worden toegepast om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Los de kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 . op

Door beide delen te delen door a, verkrijgen we de equivalente gereduceerde kwadratische vergelijking
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

We transformeren deze vergelijking door het kwadraat van de binomiaal te markeren:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Pijl naar rechts $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rechts x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rechterpijl $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

De worteluitdrukking heet discriminant van een kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” in het Latijn - onderscheiding). Het wordt aangegeven met de letter D, d.w.z.
$D = b^2-4ac$

Nu, met behulp van de notatie van de discriminant, herschrijven we de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, waarbij $D= b^2-4ac $

Het is duidelijk dat:
1) Als D>0, dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels.
2) Als D=0, dan heeft de kwadratische vergelijking één wortel $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Als D Dus, afhankelijk van de waarde van de discriminant, kan de kwadratische vergelijking twee wortels hebben (voor D > 0), één wortel (voor D = 0) of geen wortels (voor D Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met behulp van deze formule , is het raadzaam om op de volgende manier te handelen:
1) bereken de discriminant en vergelijk deze met nul;
2) als de discriminant positief of gelijk aan nul is, gebruik dan de wortelformule, als de discriminant negatief is, noteer dan dat er geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

De gegeven kwadratische vergelijking ax 2 -7x+10=0 heeft wortels 2 en 5. De som van de wortels is 7 en het product is 10. We zien dat de som van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt, genomen met de tegengesteld teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term. Elke gereduceerde kwadratische vergelijking met wortels heeft deze eigenschap.

De som van de wortels van de gegeven kwadratische vergelijking is gelijk aan de tweede coëfficiënt, genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term.

Die. De stelling van Vieta stelt dat de wortels x 1 en x 2 van de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 +px+q=0 de eigenschap hebben:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

In de moderne samenleving kan het vermogen om te werken met vergelijkingen die een gekwadrateerde variabele bevatten, nuttig zijn op veel activiteitsgebieden en wordt het in de praktijk veel gebruikt bij wetenschappelijke en technische ontwikkelingen. Dit blijkt onder meer uit het ontwerp van zee- en rivierschepen, vliegtuigen en raketten. Met behulp van dergelijke berekeningen worden de trajecten van de beweging van verschillende lichamen, inclusief ruimtevoorwerpen, bepaald. Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden niet alleen gebruikt in economische prognoses, bij het ontwerp en de constructie van gebouwen, maar ook in de meest gewone alledaagse omstandigheden. Ze kunnen nodig zijn op kampeertrips, bij sportevenementen, in winkels tijdens het winkelen en in andere veel voorkomende situaties.

Laten we de uitdrukking opsplitsen in componentfactoren

De graad van een vergelijking wordt bepaald door de maximale waarde van de graad van de variabele die de gegeven uitdrukking bevat. Als het gelijk is aan 2, dan wordt zo'n vergelijking een kwadratische vergelijking genoemd.

Als we spreken in de taal van formules, dan kunnen deze uitdrukkingen, hoe ze er ook uitzien, altijd in de vorm worden gebracht als de linkerkant van de uitdrukking uit drie termen bestaat. Onder hen: ax 2 (dat wil zeggen een variabele in het kwadraat met zijn coëfficiënt), bx (een onbekende zonder kwadraat met zijn coëfficiënt) en c (vrije component, dat wil zeggen een gewoon getal). Dit alles aan de rechterkant is gelijk aan 0. In het geval dat zo'n polynoom geen van zijn samenstellende termen heeft, met uitzondering van ax 2, wordt het een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd. Voorbeelden met de oplossing van dergelijke problemen, waarbij de waarde van variabelen niet moeilijk te vinden is, moeten eerst worden overwogen.

Als de uitdrukking er zo uitziet dat er twee termen aan de rechterkant van de uitdrukking staan, meer bepaald ax 2 en bx, is het het gemakkelijkst om x te vinden door de variabele tussen haakjes te plaatsen. Nu ziet onze vergelijking er als volgt uit: x(ax+b). Verder wordt het duidelijk dat ofwel x=0, ofwel de taak wordt gereduceerd tot het vinden van een variabele uit de volgende uitdrukking: ax+b=0. Dit wordt bepaald door een van de eigenschappen van vermenigvuldiging. De regel zegt dat het product van twee factoren alleen in 0 resulteert als een van hen nul is.

Voorbeeld

x=0 of 8x - 3 = 0

Als resultaat krijgen we twee wortels van de vergelijking: 0 en 0,375.

Dergelijke vergelijkingen kunnen de beweging beschrijven van lichamen onder invloed van de zwaartekracht, die vanaf een bepaald punt begonnen te bewegen, als oorsprong genomen. Hier heeft de wiskundige notatie de volgende vorm: y = v 0 t + gt 2 /2. Door de benodigde waarden te vervangen, de rechterkant gelijk te stellen aan 0 en mogelijke onbekenden te vinden, kunt u de tijd achterhalen die is verstreken vanaf het moment dat het lichaam opkomt tot het moment dat het valt, evenals vele andere grootheden. Maar we zullen hier later over praten.

Factoring van een uitdrukking

De hierboven beschreven regel maakt het mogelijk om deze problemen in meer complexe gevallen op te lossen. Overweeg voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen van dit type.

X2 - 33x + 200 = 0

Deze vierkante trinominaal is voltooid. Eerst transformeren we de uitdrukking en ontleden deze in factoren. Er zijn er twee: (x-8) en (x-25) = 0. Als resultaat hebben we twee wortels 8 en 25.

Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen in rang 9 stellen deze methode in staat om een variabele te vinden in uitdrukkingen, niet alleen van de tweede, maar zelfs van de derde en vierde orde.

Bijvoorbeeld: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Als je de rechterkant ontbindt in factoren met een variabele, zijn er drie, namelijk (x + 1), (x-3) en (x + 3).

Als resultaat wordt het duidelijk dat deze vergelijking drie wortels heeft: -3; -een; 3.

De vierkantswortel extraheren

Een ander geval van een onvolledige tweede-ordevergelijking is een uitdrukking die in de lettertaal zo is geschreven dat de rechterkant is opgebouwd uit de componenten ax 2 en c. Hier, om de waarde van de variabele te verkrijgen, wordt de vrije term naar de rechterkant verplaatst en daarna wordt de vierkantswortel aan beide zijden van de gelijkheid geëxtraheerd. Opgemerkt moet worden dat er in dit geval meestal twee wortels van de vergelijking zijn. De enige uitzonderingen zijn gelijkheden die de term c helemaal niet bevatten, waarbij de variabele gelijk is aan nul, evenals varianten van uitdrukkingen wanneer de rechterkant negatief blijkt te zijn. In het laatste geval zijn er helemaal geen oplossingen, omdat bovenstaande acties niet met wortels kunnen worden uitgevoerd. Voorbeelden van oplossingen voor kwadratische vergelijkingen van dit type moeten worden overwogen.

In dit geval zijn de wortels van de vergelijking de getallen -4 en 4.

Berekening van de oppervlakte van het land

De behoefte aan dit soort berekeningen ontstond in de oudheid, omdat de ontwikkeling van de wiskunde in die verre tijden grotendeels te danken was aan de noodzaak om de oppervlakten en omtrekken van percelen met de grootste nauwkeurigheid te bepalen.

We moeten ook voorbeelden bekijken met de oplossing van kwadratische vergelijkingen die zijn samengesteld op basis van dit soort problemen.

Dus laten we zeggen dat er een rechthoekig stuk land is, waarvan de lengte 16 meter meer is dan de breedte. U moet de lengte, breedte en omtrek van de site vinden als bekend is dat de oppervlakte 612 m 2 is.

Om aan de slag te gaan, zullen we eerst de nodige vergelijking maken. Laten we de breedte van de sectie als x aangeven, dan is de lengte (x + 16). Uit wat is geschreven volgt dat het gebied wordt bepaald door de uitdrukking x (x + 16), die, volgens de conditie van ons probleem, 612 is. Dit betekent dat x (x + 16) \u003d 612.

De oplossing van complete kwadratische vergelijkingen, en deze uitdrukking is precies dat, kan niet op dezelfde manier worden gedaan. Waarom? Hoewel de linkerkant ervan nog steeds twee factoren bevat, is het product ervan helemaal geen 0, dus worden hier andere methoden gebruikt.

discriminerend

Allereerst zullen we de nodige transformaties maken, waarna het uiterlijk van deze uitdrukking er als volgt uitziet: x 2 + 16x - 612 = 0. Dit betekent dat we een uitdrukking hebben ontvangen in de vorm die overeenkomt met de eerder gespecificeerde standaard, waarbij a=1, b=16, c= -612.

Dit kan een voorbeeld zijn van het oplossen van kwadratische vergelijkingen via de discriminant. Hier worden de nodige berekeningen gemaakt volgens het schema: D = b 2 - 4ac. Deze hulpwaarde maakt het niet alleen mogelijk om de gewenste waarden in de tweede-orde vergelijking te vinden, het bepaalt het aantal mogelijke opties. In geval D>0 zijn er twee; voor D=0 is er één wortel. In het geval D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Over wortels en hun formule

In ons geval is de discriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Dit geeft aan dat ons probleem een antwoord heeft. Als je dat weet, moet het oplossen van kwadratische vergelijkingen worden voortgezet met behulp van de onderstaande formule. Hiermee kunt u de wortels berekenen.

Dit betekent dat in het gepresenteerde geval: x 1 =18, x 2 =-34. De tweede optie in dit dilemma kan geen oplossing zijn, omdat de grootte van het perceel niet in negatieve waarden kan worden gemeten, wat betekent dat x (dat wil zeggen de breedte van het perceel) 18 m is. Vanaf hier berekenen we de lengte: 18+16=34, en de omtrek 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Voorbeelden en taken

We gaan verder met de studie van kwadratische vergelijkingen. Voorbeelden en een gedetailleerde oplossing van een aantal daarvan zullen hieronder worden gegeven.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Laten we alles naar de linkerkant van de gelijkheid verplaatsen, een transformatie maken, dat wil zeggen, we krijgen de vorm van de vergelijking, die gewoonlijk de standaardvergelijking wordt genoemd, en stellen deze gelijk aan nul.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nadat we soortgelijke hebben toegevoegd, bepalen we de discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Onze vergelijking heeft dus twee wortels. We berekenen ze volgens de bovenstaande formule, wat betekent dat de eerste gelijk is aan 4/3 en de tweede aan 1.

2) Nu zullen we raadsels van een ander soort onthullen.

Laten we eens kijken of er hier wortels x 2 - 4x + 5 = 1 zijn? Om een uitputtend antwoord te krijgen, brengen we de polynoom naar de overeenkomstige bekende vorm en berekenen we de discriminant. In dit voorbeeld is het niet nodig om de kwadratische vergelijking op te lossen, omdat de essentie van het probleem hier helemaal niet in zit. In dit geval D \u003d 16 - 20 \u003d -4, wat betekent dat er echt geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

Het is handig om kwadratische vergelijkingen op te lossen met behulp van de bovenstaande formules en de discriminant, wanneer de vierkantswortel wordt geëxtraheerd uit de waarde van de laatste. Maar dit gebeurt niet altijd. Er zijn echter veel manieren om in dit geval de waarden van variabelen te krijgen. Voorbeeld: kwadratische vergelijkingen oplossen met de stelling van Vieta. Het is vernoemd naar een man die in het 16e-eeuwse Frankrijk woonde en een schitterende carrière had dankzij zijn wiskundig talent en connecties aan het hof. Zijn portret is te zien in het artikel.

Het patroon dat de beroemde Fransman opmerkte was als volgt. Hij bewees dat de som van de wortels van de vergelijking gelijk is aan -p=b/a, en dat hun product overeenkomt met q=c/a.

Laten we nu eens kijken naar specifieke taken.

3x2 + 21x - 54 = 0

Laten we voor de eenvoud de uitdrukking transformeren:

x 2 + 7x - 18 = 0

Als we de Vieta-stelling gebruiken, krijgen we het volgende: de som van de wortels is -7 en hun product is -18. Hieruit halen we dat de wortels van de vergelijking de getallen -9 en 2 zijn. Na een controle te hebben uitgevoerd, zullen we ervoor zorgen dat deze waarden van de variabelen echt in de uitdrukking passen.

Grafiek en vergelijking van een parabool

De concepten van een kwadratische functie en kwadratische vergelijkingen zijn nauw verwant. Voorbeelden hiervan zijn al eerder gegeven. Laten we nu wat meer in detail kijken naar enkele wiskundige puzzels. Elke vergelijking van het beschreven type kan visueel worden weergegeven. Zo'n afhankelijkheid, getekend in de vorm van een grafiek, wordt een parabool genoemd. De verschillende typen zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Elke parabool heeft een hoekpunt, dat wil zeggen een punt van waaruit de takken naar buiten komen. Als a>0, gaan ze hoog naar oneindig, en wanneer a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuele representaties van functies helpen bij het oplossen van alle vergelijkingen, ook kwadratische. Deze methode wordt grafisch genoemd. En de waarde van de variabele x is de abscis-coördinaat op de punten waar de grafieklijn 0x snijdt. De coördinaten van het hoekpunt kunnen worden gevonden met de zojuist gegeven formule x 0 = -b / 2a. En als je de resulterende waarde in de oorspronkelijke vergelijking van de functie vervangt, kun je y 0 vinden, dat wil zeggen, de tweede coördinaat van de parabooltop die bij de y-as hoort.

Het snijpunt van de takken van de parabool met de as van de abscis

Er zijn veel voorbeelden met het oplossen van kwadratische vergelijkingen, maar er zijn ook algemene patronen. Laten we ze eens bekijken. Het is duidelijk dat het snijpunt van de grafiek met de 0x-as voor a>0 alleen mogelijk is als y 0 negatieve waarden heeft. en voor een<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Anders D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Uit de grafiek van een parabool kun je ook de wortels bepalen. Het omgekeerde is ook waar. Dat wil zeggen, als het niet gemakkelijk is om een visuele weergave van een kwadratische functie te krijgen, kun je de rechterkant van de uitdrukking gelijkstellen aan 0 en de resulterende vergelijking oplossen. En als u de snijpunten met de 0x-as kent, is het gemakkelijker om te plotten.

uit de geschiedenis

Met behulp van vergelijkingen die een kwadratische variabele bevatten, werden vroeger niet alleen wiskundige berekeningen uitgevoerd en het gebied van geometrische vormen bepaald. De Ouden hadden zulke berekeningen nodig voor grootse ontdekkingen op het gebied van natuurkunde en astronomie, maar ook voor het maken van astrologische voorspellingen.

Zoals moderne wetenschappers suggereren, behoorden de inwoners van Babylon tot de eersten die kwadratische vergelijkingen oplosten. Het gebeurde vier eeuwen voor de komst van onze jaartelling. Natuurlijk waren hun berekeningen fundamenteel anders dan die welke momenteel worden geaccepteerd en bleken ze veel primitiever te zijn. Mesopotamische wiskundigen hadden bijvoorbeeld geen idee van het bestaan van negatieve getallen. Ze waren ook niet bekend met andere subtiliteiten die bekend waren bij elke student van onze tijd.

Misschien zelfs eerder dan de wetenschappers van Babylon, nam de wijze uit India, Baudhayama, de oplossing van kwadratische vergelijkingen ter hand. Dit gebeurde ongeveer acht eeuwen voor de komst van het tijdperk van Christus. Toegegeven, de vergelijkingen van de tweede orde, de methoden voor het oplossen die hij gaf, waren de eenvoudigste. Naast hem waren vroeger ook Chinese wiskundigen geïnteresseerd in soortgelijke vragen. In Europa begonnen kwadratische vergelijkingen pas aan het begin van de 13e eeuw op te lossen, maar later werden ze in hun werk gebruikt door grote wetenschappers als Newton, Descartes en vele anderen.