Succes

Hoe het kleinste veelvoud van een getal te vinden. Hoe het kleinste gemene veelvoud te vinden, maar voor twee of meer getallen

Het onderstaande materiaal is een logisch vervolg op de theorie uit het artikel onder de kop LCM - kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden, relatie tussen LCM en GCD. Hier zullen we het over hebben het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM), en besteed speciale aandacht aan het oplossen van voorbeelden. Laten we eerst laten zien hoe de LCM van twee getallen wordt berekend in termen van de GCD van deze getallen. Overweeg vervolgens om het kleinste gemene veelvoud te vinden door getallen in priemfactoren te ontbinden. Daarna zullen we ons concentreren op het vinden van de LCM van drie of meer getallen, en ook aandacht besteden aan de berekening van de LCM van negatieve getallen.

Paginanavigatie.

Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via ggd

Een manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is gebaseerd op de relatie tussen LCM en GCD. De bestaande relatie tussen LCM en GCD stelt u in staat om het kleinste gemene veelvoud van twee positieve gehele getallen te berekenen via de bekende grootste gemene deler. De bijbehorende formule heeft de vorm LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Overweeg voorbeelden van het vinden van de LCM volgens de bovenstaande formule.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van de twee getallen 126 en 70 .

Beslissing.

In dit voorbeeld a=126 , b=70 . Laten we de relatie tussen LCM en GCD gebruiken, uitgedrukt door de formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Dat wil zeggen dat we eerst de grootste gemene deler van de getallen 70 en 126 moeten vinden, waarna we de LCM van deze getallen kunnen berekenen volgens de geschreven formule.

Vind ggd(126, 70) met behulp van het algoritme van Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , vandaar ggd(126, 70)=14 .

Nu vinden we het vereiste kleinste gemene veelvoud: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Antwoord:

LCM(126, 70)=630 .

Voorbeeld.

Wat is LCM(68, 34)?

Beslissing.

Omdat 68 is gelijkelijk deelbaar door 34 , dan ggd(68, 34)=34 . Nu berekenen we het kleinste gemene veelvoud: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Antwoord:

LCM(68, 34)=68 .

Merk op dat het vorige voorbeeld voldoet aan de volgende regel voor het vinden van de LCM voor positieve gehele getallen a en b: als het getal a deelbaar is door b, dan is het kleinste gemene veelvoud van deze getallen a.

De LCM vinden door getallen te factoriseren in priemfactoren

Een andere manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is door getallen in priemfactoren te ontbinden. Als we van alle priemfactoren van deze getallen een product maken, en van dit product alle gemeenschappelijke priemfactoren die in de uitbreidingen van deze getallen voorkomen uitsluiten, dan is het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

De aangekondigde regel voor het vinden van de LCM volgt uit de gelijkheid LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Inderdaad, het product van de getallen a en b is gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van de getallen a en b. Op zijn beurt is ggd(a, b) gelijk aan het product van alle priemfactoren die gelijktijdig aanwezig zijn in de uitbreidingen van de getallen a en b (die wordt beschreven in de paragraaf over het vinden van de ggd met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren ).

Laten we een voorbeeld nemen. Laten we weten dat 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Stel het product van alle factoren van deze uitbreidingen samen: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu we van dit product alle factoren uitsluiten die aanwezig zijn zowel in de uitbreiding van het getal 75 als in de uitbreiding van het getal 210 (dergelijke factoren zijn 3 en 5), dan zal het product de vorm aannemen 2 3 5 5 7 . De waarde van dit product is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 210, dat wil zeggen, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Voorbeeld.

Nadat je de getallen 441 en 700 in priemfactoren hebt ontbonden, zoek je het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

Beslissing.

Laten we de getallen 441 en 700 ontleden in priemfactoren:

We krijgen 441=3 3 7 7 en 700=2 2 5 5 7 .

Laten we nu een product maken van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van deze getallen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Laten we van dit product alle factoren uitsluiten die gelijktijdig aanwezig zijn in beide uitbreidingen (er is maar één zo'n factor - dit is het getal 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Op deze manier, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Antwoord:

LCM(441, 700)= 44 100 .

De regel voor het vinden van de LCM met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren kan iets anders worden geformuleerd. Als we de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het getal b optellen bij de factoren uit de uitbreiding van het getal a, dan is de waarde van het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b.

Laten we bijvoorbeeld allemaal dezelfde getallen 75 en 210 nemen, hun uitbreidingen naar priemfactoren zijn als volgt: 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Bij de factoren 3, 5 en 5 uit de ontleding van het getal 75, tellen we de ontbrekende factoren 2 en 7 op uit de ontleding van het getal 210, we krijgen het product 2 3 5 5 7 , waarvan de waarde LCM(75 is) , 210).

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.

Beslissing.

We verkrijgen eerst de ontleding van de getallen 84 en 648 in priemfactoren. Ze zien eruit als 84=2 2 3 7 en 648=2 2 2 3 3 3 3 . Bij de factoren 2 , 2 , 3 en 7 uit de ontleding van het getal 84 tellen we de ontbrekende factoren 2 , 3 , 3 en 3 op uit de ontleding van het getal 648 , we krijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7 , wat gelijk is aan 4 536 . Het gewenste kleinste gemene veelvoud van de getallen 84 en 648 is dus 4.536.

Antwoord:

LCM(84, 648)=4 536 .

De LCM van drie of meer getallen vinden

Het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen kan worden gevonden door achtereenvolgens de LCM van twee getallen te vinden. Roep de bijbehorende stelling op, die een manier geeft om de LCM van drie of meer getallen te vinden.

Stelling.

Laat positieve gehele getallen a 1 , a 2 , …, ak gegeven worden, het kleinste gemene veelvoud mk van deze getallen wordt gevonden in de sequentiële berekening m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .

Overweeg de toepassing van deze stelling op het voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud van vier getallen.

Voorbeeld.

Zoek de LCM van de vier getallen 140, 9, 54 en 250.

Beslissing.

In dit voorbeeld een 1 =140 , een 2 =9 , een 3 =54 , een 4 =250 .

Eerst vinden we m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Om dit te doen, met behulp van het Euclidische algoritme, bepalen we ggd(140, 9) , we hebben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dus ggd( 140, 9)=1 , vanwaar LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Dat wil zeggen, m 2 =1 260 .

Nu vinden we m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Laten we het berekenen via ggd(1 260, 54) , dat ook wordt bepaald door het Euclides-algoritme: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dan ggd(1 260, 54)=18 , vandaar LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Dat wil zeggen, m 3 \u003d 3 780.

Links te vinden m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Om dit te doen, vinden we GCD(3 780, 250) met behulp van het Euclid-algoritme: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daarom ggd(3 780, 250)=10 , vandaar ggd(3 780, 250)= 3 780 250:ggd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Dat wil zeggen, m 4 \u003d 94 500.

Dus het kleinste gemene veelvoud van de oorspronkelijke vier getallen is 94.500.

Antwoord:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In veel gevallen wordt het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen gemakkelijk gevonden met behulp van priemfactorisaties van gegeven getallen. In dit geval moet de volgende regel worden gevolgd. Het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen is gelijk aan het product, dat als volgt is samengesteld: de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal worden opgeteld bij alle factoren van de uitbreiding van het eerste getal, de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het derde getal wordt opgeteld bij de verkregen factoren, enzovoort.

Overweeg een voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143.

Beslissing.

Eerst verkrijgen we de uitbreidingen van deze getallen in priemfactoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 priemfactoren) en 143=11 13 .

Om de LCM van deze getallen te vinden, moet je bij de factoren van het eerste getal 84 (het zijn 2 , 2 , 3 en 7 ) de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal 6 optellen. De uitbreiding van het getal 6 bevat geen ontbrekende factoren, aangezien zowel 2 als 3 al aanwezig zijn in de uitbreiding van het eerste getal 84 . Naast de factoren 2 , 2 , 3 en 7 tellen we de ontbrekende factoren 2 en 2 op uit de uitbreiding van het derde getal 48 , we krijgen een reeks factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 . Het is niet nodig om in de volgende stap factoren aan deze set toe te voegen, aangezien 7 er al in zit. Tot slot tellen we bij de factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 de ontbrekende factoren 11 en 13 uit de uitbreiding van het getal 143 . We krijgen het product 2 2 2 2 3 7 11 13 , wat gelijk is aan 48 048 .

De grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud zijn belangrijke rekenkundige concepten waarmee u eenvoudig met gewone breuken kunt werken. LCM en worden meestal gebruikt om de gemeenschappelijke noemer van verschillende breuken te vinden.

Basisconcepten

De deler van een geheel getal X is een ander geheel getal Y waardoor X deelbaar is zonder rest. De deler van 4 is bijvoorbeeld 2 en 36 is 4, 6, 9. Een veelvoud van het gehele getal X is een getal Y dat deelbaar is door X zonder rest. 3 is bijvoorbeeld een veelvoud van 15 en 6 is een veelvoud van 12.

Voor elk paar getallen kunnen we hun gemeenschappelijke delers en veelvouden vinden. Voor 6 en 9, bijvoorbeeld, is het gemeenschappelijke veelvoud 18 en is de gemeenschappelijke deler 3. Het is duidelijk dat paren meerdere delers en veelvouden kunnen hebben, dus de grootste deler van de GCD en het kleinste veelvoud van de LCM worden in de berekeningen gebruikt .

De kleinste deler is niet logisch, want voor elk getal is het altijd één. Het grootste veelvoud is ook zinloos, omdat de reeks veelvouden naar oneindig neigt.

GCD vinden

Er zijn veel methoden om de grootste gemene deler te vinden, waarvan de bekendste zijn:

opeenvolgende telling van delers, selectie van gemeenschappelijke voor een paar en zoeken naar de grootste van hen;
ontleding van getallen in ondeelbare factoren;
het algoritme van Euclides;
binair algoritme.

Tegenwoordig zijn in onderwijsinstellingen de meest populaire methoden van ontbinding in priemfactoren en het Euclidische algoritme. De laatste wordt op zijn beurt gebruikt bij het oplossen van Diophantische vergelijkingen: het zoeken naar GCD is nodig om de vergelijking te controleren op de mogelijkheid om deze in gehele getallen op te lossen.

Het NOC vinden

Het kleinste gemene veelvoud wordt ook precies bepaald door iteratieve optelling of factorisatie in ondeelbare factoren. Bovendien is het gemakkelijk om de LCM te vinden als de grootste deler al is bepaald. Voor nummers X en Y zijn LCM en GCD gerelateerd door de volgende relatie:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Bijvoorbeeld, als ggd(15,18) = 3, dan is LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Het meest voor de hand liggende gebruik van LCM is om de gemene deler te vinden, wat het kleinste gemene veelvoud is van de gegeven breuken.

Coprime-nummers

Als een paar getallen geen gemeenschappelijke delers heeft, wordt zo'n paar coprime genoemd. De GCM voor dergelijke paren is altijd gelijk aan één, en op basis van de verbinding van delers en veelvouden is de GCM voor coprime gelijk aan hun product. De getallen 25 en 28 zijn bijvoorbeeld coprime, omdat ze geen gemeenschappelijke delers hebben, en LCM(25, 28) = 700, wat overeenkomt met hun product. Elke twee ondeelbare getallen zijn altijd coprime.

Gemeenschappelijke deler en meervoudige rekenmachine

Met onze rekenmachine kunt u GCD en LCM berekenen voor een willekeurig aantal getallen waaruit u kunt kiezen. Taken voor het berekenen van gemeenschappelijke delers en veelvouden zijn te vinden in de rekenkunde van de klassen 5 en 6, maar GCD en LCM zijn de sleutelbegrippen van de wiskunde en worden gebruikt in getaltheorie, planimetrie en communicatieve algebra.

Voorbeelden uit het echte leven

Gemene deler van breuken

Het kleinste gemene veelvoud wordt gebruikt bij het vinden van de gemene deler van meerdere breuken. Stel dat het in een rekenkundig probleem vereist is om 5 breuken op te tellen:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Om breuken op te tellen, moet de uitdrukking worden teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer, wat leidt tot het probleem van het vinden van de LCM. Selecteer hiervoor 5 getallen in de rekenmachine en voer de noemerwaarden in de daarvoor bestemde cellen in. Het programma berekent LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu moet je voor elke breuk extra factoren berekenen, die worden gedefinieerd als de verhouding van LCM tot de noemer. Dus de extra vermenigvuldigers zien er als volgt uit:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Daarna vermenigvuldigen we alle breuken met de bijbehorende extra factor en krijgen:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

We kunnen dergelijke breuken gemakkelijk optellen en het resultaat krijgen in de vorm van 159/360. We verminderen de breuk met 3 en zien het uiteindelijke antwoord - 53/120.

Oplossing van lineaire Diophantische vergelijkingen

Lineaire diophantische vergelijkingen zijn uitdrukkingen van de vorm ax + by = d. Als de verhouding d / ggd(a, b) een geheel getal is, dan is de vergelijking oplosbaar in gehele getallen. Laten we een paar vergelijkingen controleren op de mogelijkheid van een geheeltallige oplossing. Controleer eerst de vergelijking 150x + 8y = 37. Met behulp van een rekenmachine vinden we ggd (150.8) = 2. Delen 37/2 = 18.5. Het getal is geen geheel getal, daarom heeft de vergelijking geen gehele wortel.

Laten we de vergelijking 1320x + 1760y = 10120 controleren. Gebruik de rekenmachine om ggd (1320, 1760) = 440 te vinden. Deel 10120/440 = 23. Als resultaat krijgen we een geheel getal, daarom is de Diophantische vergelijking oplosbaar in gehele coëfficiënten .

Conclusie

GCD en LCM spelen een belangrijke rol in de getaltheorie en de concepten zelf worden veel gebruikt in verschillende gebieden van de wiskunde. Gebruik onze rekenmachine om de grootste delers en kleinste veelvouden van een willekeurig aantal getallen te berekenen.

Laten we doorgaan met de discussie over het kleinste gemene veelvoud die we zijn begonnen in de sectie LCM - Kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden. In dit onderwerp zullen we manieren bekijken om de LCM voor drie of meer getallen te vinden, we zullen de vraag analyseren hoe we de LCM van een negatief getal kunnen vinden.

Yandex.RTB RA-339285-1

Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via ggd

We hebben al de relatie gelegd tussen het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler. Laten we nu leren hoe we de LCM kunnen definiëren via de GCD. Laten we eerst eens kijken hoe we dit voor positieve getallen kunnen doen.

Definitie 1

U kunt het kleinste gemene veelvoud vinden via de grootste gemene deler met behulp van de formule LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om de LCM van de nummers 126 en 70 te vinden.

Oplossing

Laten we nemen a = 126 , b = 70 . Vervang de waarden in de formule voor het berekenen van het kleinste gemene veelvoud door de grootste gemene deler LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Vindt de GCD van de getallen 70 en 126. Hiervoor hebben we het Euclid-algoritme nodig: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , vandaar ggd (126 , 70) = 14 .

Laten we de LCM berekenen: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Antwoord: LCM (126, 70) = 630.

Voorbeeld 2

Zoek de nok van de nummers 68 en 34.

Oplossing

GCD is in dit geval gemakkelijk te vinden, aangezien 68 deelbaar is door 34. Bereken het kleinste gemene veelvoud met de formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Antwoord: LCM(68, 34) = 68.

In dit voorbeeld hebben we de regel gebruikt om het kleinste gemene veelvoud van positieve gehele getallen a en b te vinden: als het eerste getal deelbaar is door het tweede, dan is de LCM van deze getallen gelijk aan het eerste getal.

De LCM vinden door getallen te factoriseren in priemfactoren

Laten we nu kijken naar een manier om de LCM te vinden, die is gebaseerd op de ontleding van getallen in priemfactoren.

definitie 2

Om het kleinste gemene veelvoud te vinden, moeten we een aantal eenvoudige stappen uitvoeren:

we vormen het product van alle priemfactoren van getallen waarvoor we de LCM moeten vinden;
we sluiten hun verkregen producten alle priemfactoren uit;
het product dat wordt verkregen na het elimineren van de gemeenschappelijke priemfactoren zal gelijk zijn aan de LCM van de gegeven getallen.

Deze manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden is gebaseerd op de gelijkheid LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Als je naar de formule kijkt, wordt het duidelijk: het product van de getallen a en b is gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreiding van deze twee getallen. In dit geval is de GCD van twee getallen gelijk aan het product van alle priemfactoren die gelijktijdig aanwezig zijn in de ontbinding van deze twee getallen.

Voorbeeld 3

We hebben twee nummers 75 en 210 . We kunnen ze als volgt uitsluiten: 75 = 3 5 5 en 210 = 2 3 5 7. Als je het product maakt van alle factoren van de twee originele getallen, krijg je: 2 3 3 5 5 5 7.

Als we de gemeenschappelijke factoren van zowel de nummers 3 als 5 uitsluiten, krijgen we een product van de volgende vorm: 2 3 5 5 7 = 1050. Dit product wordt onze LCM voor de nummers 75 en 210.

Voorbeeld 4

Vind de LCM van getallen 441 en 700 , ontbinden beide getallen in priemfactoren.

Oplossing

Laten we alle priemfactoren van de getallen in de voorwaarde vinden:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

We krijgen twee getallenreeksen: 441 = 3 3 7 7 en 700 = 2 2 5 5 7 .

Het product van alle factoren die hebben bijgedragen aan de uitbreiding van deze aantallen ziet er als volgt uit: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Laten we de gemeenschappelijke factoren zoeken. Dit aantal is 7. We sluiten het uit van het algemene product: 2 2 3 3 5 5 7 7. Het blijkt dat NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Antwoord: LCM (441, 700) = 44 100.

Laten we nog een formulering geven van de methode voor het vinden van de LCM door getallen in priemfactoren te ontbinden.

Definitie 3

Eerder hebben we uitgesloten van het totale aantal factoren dat beide getallen gemeen hebben. Nu gaan we het anders doen:

Laten we beide getallen ontbinden in priemfactoren:
tel bij het product van de priemfactoren van het eerste getal de ontbrekende factoren van het tweede getal op;
we krijgen het product, dat de gewenste LCM van twee getallen zal zijn.

Voorbeeld 5

Laten we teruggaan naar de nummers 75 en 210, waarvoor we in een van de vorige voorbeelden al naar de LCM hebben gezocht. Laten we ze opsplitsen in eenvoudige factoren: 75 = 3 5 5 en 210 = 2 3 5 7. Naar het product van de factoren 3 , 5 en 5 nummer 75 voeg de ontbrekende factoren toe 2 en 7 nummers 210. We krijgen: 2 3 5 5 7 . Dit is de LCM van de nummers 75 en 210.

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om de LCM van de getallen 84 en 648 te berekenen.

Oplossing

Laten we de getallen van de voorwaarde ontleden in priemfactoren: 84 = 2 2 3 7 en 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Optellen bij het product van de factoren 2 , 2 , 3 en 7 nummers 84 ontbrekende factoren 2 , 3 , 3 en
3 nummers 648. We krijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dit is het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.

Antwoord: LCM (84, 648) = 4536.

De LCM van drie of meer getallen vinden

Ongeacht met hoeveel getallen we te maken hebben, het algoritme van onze acties zal altijd hetzelfde zijn: we zullen achtereenvolgens de LCM van twee getallen vinden. Er is een stelling voor dit geval.

Stelling 1

Stel dat we gehele getallen hebben een 1 , een 2 , … , een k. NOC m k van deze getallen wordt gevonden in de sequentiële berekening m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k 1 , a k) .

Laten we nu eens kijken hoe de stelling kan worden toegepast op specifieke problemen.

Voorbeeld 7

U moet het kleinste gemene veelvoud van de vier getallen 140 , 9, 54 en berekenen 250 .

Oplossing

Laten we de notatie introduceren: een 1 \u003d 140, een 2 \u003d 9, een 3 \u003d 54, een 4 \u003d 250.

Laten we beginnen met het berekenen van m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9 ). Laten we het Euclidische algoritme gebruiken om de GCD van de getallen 140 en 9 te berekenen: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . We krijgen: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Daarom is m2 = 1 260 .

Laten we nu volgens hetzelfde algoritme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) berekenen. Tijdens de berekeningen krijgen we m 3 = 3 780.

Het blijft voor ons om m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) te berekenen. We handelen volgens hetzelfde algoritme. We krijgen m 4 \u003d 94 500.

De LCM van de vier getallen uit de voorbeeldconditie is 94500 .

Antwoord: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Zoals u kunt zien, zijn de berekeningen eenvoudig, maar behoorlijk arbeidsintensief. Om tijd te besparen, kunt u de andere kant op gaan.

Definitie 4

We bieden u het volgende algoritme van acties:

ontbind alle getallen in priemfactoren;
tel bij het product van de factoren van het eerste getal de ontbrekende factoren van het product van het tweede getal op;
aan het product verkregen in de vorige fase, voegen we de ontbrekende factoren van het derde getal toe, enz.;
het resulterende product is het kleinste gemene veelvoud van alle getallen van de voorwaarde.

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om de LCM van vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143 te vinden.

Oplossing

Laten we alle vijf getallen ontbinden in priemfactoren: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Priemgetallen, het getal 7, kunnen niet in priemfactoren worden verwerkt. Dergelijke getallen vallen samen met hun ontleding in priemfactoren.

Laten we nu het product van de priemfactoren 2, 2, 3 en 7 van het getal 84 nemen en daar de ontbrekende factoren van het tweede getal bij optellen. We hebben het getal 6 ontleed in 2 en 3. Deze factoren zitten al in het product van het eerste getal. Daarom laten we ze achterwege.

We blijven de ontbrekende vermenigvuldigers toevoegen. We gaan naar het getal 48, uit het product van priemfactoren waarvan we 2 en 2 nemen. Dan tellen we een simpele factor 7 op van het vierde getal en factoren van 11 en 13 van de vijfde. We krijgen: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dit is het kleinste gemene veelvoud van de vijf originele getallen.

Antwoord: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Het kleinste gemene veelvoud van negatieve getallen vinden

Om het kleinste gemene veelvoud van negatieve getallen te vinden, moeten deze getallen eerst worden vervangen door getallen met het tegengestelde teken en vervolgens moeten de berekeningen worden uitgevoerd volgens de bovenstaande algoritmen.

Voorbeeld 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) en LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Dergelijke acties zijn toegestaan vanwege het feit dat als wordt geaccepteerd dat: a en een- tegenovergestelde nummers
dan de reeks veelvouden a samenvalt met de verzameling veelvouden van een getal een.

Voorbeeld 10

Het is noodzakelijk om de LCM van negatieve getallen te berekenen − 145 en − 45 .

Oplossing

Laten we de cijfers veranderen − 145 en − 45 naar hun tegengestelde nummers 145 en 45 . Nu berekenen we met behulp van het algoritme de LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , nadat we eerder de GCD hebben bepaald met behulp van het Euclid-algoritme.

We krijgen dat de LCM van getallen − 145 en − 45 gelijk aan 1 305 .

Antwoord: LCM (− 145 , 45) = 1 305 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Maar veel natuurlijke getallen zijn deelbaar door andere natuurlijke getallen.

Bijvoorbeeld:

Het getal 12 is deelbaar door 1, door 2, door 3, door 4, door 6, door 12;

Het getal 36 is deelbaar door 1, door 2, door 3, door 4, door 6, door 12, door 18, door 36.

De getallen waarmee het getal deelbaar is (voor 12 is het 1, 2, 3, 4, 6 en 12) worden genoemd getaldelers. Deler van een natuurlijk getal a is het natuurlijke getal dat het gegeven getal deelt a zonder een spoor. Een natuurlijk getal dat meer dan twee factoren heeft, heet composiet .

Merk op dat de getallen 12 en 36 gemeenschappelijke delers hebben. Dit zijn de getallen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. De grootste deler van deze getallen is 12. De gemeenschappelijke deler van deze twee getallen a en B is het getal waardoor beide gegeven getallen deelbaar zijn zonder rest a en B.

gemeenschappelijk veelvoud meerdere getallen heet het getal dat deelbaar is door elk van deze getallen. Bijvoorbeeld, hebben de getallen 9, 18 en 45 een gemeenschappelijk veelvoud van 180. Maar 90 en 360 zijn ook hun gemeenschappelijke veelvouden. Van alle jgemeenschappelijke veelvouden is er altijd de kleinste, in dit geval 90. Dit getal heet minstgemeenschappelijk veelvoud (LCM).

LCM is altijd een natuurlijk getal, dat groter moet zijn dan het grootste van de getallen waarvoor het is gedefinieerd.

Kleinste gemene veelvoud (LCM). Eigenschappen.

commutativiteit:

Associativiteit:

In het bijzonder, als en zijn priemgetallen , dan:

Kleinste gemene veelvoud van twee gehele getallen m en N is een deler van alle andere gemene veelvouden m en N. Bovendien is de verzameling gemeenschappelijke veelvouden m,n valt samen met de reeks veelvouden voor LCM( m,n).

De asymptotiek voor kan worden uitgedrukt in termen van enkele getaltheoretische functies.

Dus, Chebyshev-functie. Net zoals:

Dit volgt uit de definitie en eigenschappen van de Landau-functie g(n).

Wat volgt uit de wet van verdeling van priemgetallen.

Het kleinste gemene veelvoud (LCM) vinden.

NOC( een, b) kan op verschillende manieren worden berekend:

1. Als de grootste gemene deler bekend is, kun je de relatie met de LCM gebruiken:

2. Laat de canonieke ontleding van beide getallen in priemfactoren bekend zijn:

waar p 1 ,...,p k zijn verschillende priemgetallen, en d 1 ,...,d k en e 1 ,...,ek zijn niet-negatieve gehele getallen (ze kunnen nul zijn als het corresponderende priemgetal niet in de ontleding is).

Dan LCM ( a,B) wordt berekend met de formule:

Met andere woorden, de LCM-uitbreiding bevat alle priemfactoren die zijn opgenomen in ten minste één van de getaluitbreidingen een, b, en de grootste van de twee exponenten van deze factor wordt genomen.

Voorbeeld:

De berekening van het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen kan worden teruggebracht tot meerdere opeenvolgende berekeningen van de LCM van twee getallen:

Regel. Om de LCM van een reeks getallen te vinden, hebt u nodig:

- ontbind getallen in priemfactoren;

- verplaats de grootste uitbreiding naar de factoren van het gewenste product (het product van de factoren van het grootste aantal van de gegeven) en voeg vervolgens factoren toe van de uitbreiding van andere getallen die niet voorkomen in het eerste nummer of erin voorkomen een kleiner aantal keren;

- het resulterende product van priemfactoren is de LCM van de gegeven getallen.

Elke twee of meer natuurlijke getallen hebben hun eigen LCM. Als de getallen geen veelvouden van elkaar zijn of niet dezelfde factoren hebben in de uitbreiding, dan is hun LCM gelijk aan het product van deze getallen.

De priemfactoren van het getal 28 (2, 2, 7) werden aangevuld met een factor 3 (het getal 21), het resulterende product (84) zal het kleinste getal zijn dat deelbaar is door 21 en 28.

De priemfactoren van het grootste getal 30 werden aangevuld met een factor 5 van het getal 25, het resulterende product 150 is groter dan het grootste getal 30 en is deelbaar door alle gegeven getallen zonder rest. Dit is het kleinst mogelijke product (150, 250, 300...) waarvan alle gegeven getallen veelvouden zijn.

De getallen 2,3,11,37 zijn priemgetallen, dus hun LCM is gelijk aan het product van de gegeven getallen.

regel. Om de LCM van priemgetallen te berekenen, moet je al deze getallen met elkaar vermenigvuldigen.

Andere optie:

Om het kleinste gemene veelvoud (LCM) van meerdere getallen te vinden, heb je nodig:

1) geef elk getal weer als een product van zijn priemfactoren, bijvoorbeeld:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) schrijf de machten van alle priemfactoren op:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) noteer alle priemdelers (vermenigvuldigers) van elk van deze getallen;

4) kies de grootste graad van elk van hen, gevonden in alle uitbreidingen van deze nummers;

5) vermenigvuldig deze bevoegdheden.

Voorbeeld. Zoek de LCM van getallen: 168, 180 en 3024.

Oplossing. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

We schrijven de grootste machten van alle priemdelers op en vermenigvuldigen ze:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Definitie. Het grootste natuurlijke getal waardoor de getallen a en b deelbaar zijn zonder rest, heet grootste gemene deler (gg) deze nummers.

Laten we de grootste gemene deler van de getallen 24 en 35 vinden.
De delers van 24 zijn de getallen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 en de delers van 35 zijn de getallen 1, 5, 7, 35.
We zien dat de getallen 24 en 35 maar één gemeenschappelijke deler hebben - het getal 1. Dergelijke getallen worden genoemd coprime.

Definitie. De natuurlijke getallen worden genoemd coprime als hun grootste gemene deler (ggd) 1 is.

Grootste gemene deler (GCD) kan worden gevonden zonder alle delers van de gegeven getallen op te schrijven.

Als we de getallen 48 en 36 in rekening brengen, krijgen we:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen, verwijderen we de factoren die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van het tweede getal (d.w.z. twee deuces).
De factoren 2 * 2 * 3. blijven bestaan. Hun product is 12. Dit getal is de grootste gemene deler van de getallen 48 en 36. De grootste gemene deler van drie of meer getallen wordt ook gevonden.

Vinden grootste gemene deler

2) van de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van deze nummers, haal de factoren door die niet zijn opgenomen in de uitbreiding van andere nummers;
3) vind het product van de overige factoren.

Als alle gegeven getallen deelbaar zijn door een van hen, dan is dit getal grootste gemene deler gegeven nummers.
De grootste gemene deler van 15, 45, 75 en 180 is bijvoorbeeld 15, omdat het alle andere getallen deelt: 45, 75 en 180.

Kleinste gemene veelvoud (LCM)

Definitie. Kleinste gemene veelvoud (LCM) natuurlijke getallen a en b is het kleinste natuurlijke getal dat een veelvoud is van zowel a als b. Het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de getallen 75 en 60 kan worden gevonden zonder veelvouden van deze getallen achter elkaar te schrijven. Om dit te doen, ontleden we 75 en 60 in eenvoudige factoren: 75 \u003d 3 * 5 * 5 en 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Laten we de factoren opschrijven die zijn opgenomen in de uitbreiding van het eerste van deze getallen, en daarbij de ontbrekende factoren 2 en 2 van de uitbreiding van het tweede getal toevoegen (d.w.z. we combineren de factoren).
We krijgen vijf factoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, waarvan het product 300 is. Dit getal is het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 60.

Zoek ook het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen.

Naar vind het kleinste gemene veelvoud verschillende natuurlijke getallen, je hebt nodig:
1) ontbind ze in priemfactoren;
2) schrijf de factoren op die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen;
3) voeg de ontbrekende factoren van de uitbreidingen van de resterende nummers toe;
4) vind het product van de resulterende factoren.

Merk op dat als een van deze getallen deelbaar is door alle andere getallen, dit getal het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is.
Het kleinste gemene veelvoud van 12, 15, 20 en 60 zou bijvoorbeeld 60 zijn, omdat het deelbaar is door alle gegeven getallen.

Pythagoras (VI eeuw voor Christus) en zijn studenten bestudeerden de kwestie van de deelbaarheid van getallen. Een getal gelijk aan de som van al zijn delers (zonder het getal zelf), noemden ze het perfecte getal. De getallen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) zijn bijvoorbeeld perfect. De volgende perfecte getallen zijn 496, 8128, 33.550.336. De Pythagoreeërs kenden alleen de eerste drie perfecte getallen. De vierde - 8128 - werd bekend in de 1e eeuw. N. e. De vijfde - 33 550 336 - werd gevonden in de 15e eeuw. In 1983 waren er al 27 perfecte getallen bekend. Maar tot nu toe weten wetenschappers niet of er oneven perfecte getallen zijn, of het grootste perfecte getal.
De belangstelling van oude wiskundigen voor priemgetallen is te wijten aan het feit dat elk getal een priemgetal is of kan worden weergegeven als een product van priemgetallen, dat wil zeggen dat priemgetallen zijn als stenen waaruit de rest van de natuurlijke getallen is opgebouwd.
Je hebt waarschijnlijk gemerkt dat priemgetallen in de reeks van natuurlijke getallen ongelijk voorkomen - in sommige delen van de reeks zijn er meer, in andere - minder. Maar hoe verder we langs de getallenreeks gaan, hoe zeldzamer de priemgetallen. De vraag rijst: bestaat het laatste (grootste) priemgetal? De oude Griekse wiskundige Euclid (3e eeuw voor Christus) bewees in zijn boek "Beginnings", dat tweeduizend jaar lang het belangrijkste leerboek van de wiskunde was, dat er oneindig veel priemgetallen zijn, dat wil zeggen dat achter elk priemgetal een even groter priemgetal.
Om priemgetallen te vinden, bedacht een andere Griekse wiskundige uit dezelfde tijd, Eratosthenes, een dergelijke methode. Hij noteerde alle getallen van 1 tot een getal, en schrapte vervolgens de eenheid, die geen priemgetal of samengesteld getal is, en doorstreepte vervolgens alle getallen na 2 (getallen die veelvouden zijn van 2, d.w.z. 4, 6, 8, enz.). Het eerste resterende getal na 2 was 3. Daarna, na twee, werden alle getallen na 3 doorgestreept (getallen die veelvouden zijn van 3, d.w.z. 6, 9, 12, enz.). uiteindelijk bleven alleen de priemgetallen niet doorgestreept.