Hoe een kwadratische vergelijking te berekenen. Kwadratische vergelijkingen oplossen met behulp van de discriminant

In de moderne samenleving kan het vermogen om te werken met vergelijkingen die een gekwadrateerde variabele bevatten, nuttig zijn op veel activiteitsgebieden en wordt het in de praktijk veel gebruikt bij wetenschappelijke en technische ontwikkelingen. Dit blijkt onder meer uit het ontwerp van zee- en rivierschepen, vliegtuigen en raketten. Met behulp van dergelijke berekeningen worden de trajecten van de beweging van verschillende lichamen, inclusief ruimtevoorwerpen, bepaald. Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden niet alleen gebruikt in economische prognoses, bij het ontwerp en de constructie van gebouwen, maar ook in de meest gewone alledaagse omstandigheden. Ze kunnen nodig zijn op kampeertrips, bij sportevenementen, in winkels tijdens het winkelen en in andere veel voorkomende situaties.

Laten we de uitdrukking opsplitsen in componentfactoren

De graad van een vergelijking wordt bepaald door de maximale waarde van de graad van de variabele die de gegeven uitdrukking bevat. Als het gelijk is aan 2, dan wordt zo'n vergelijking een kwadratische vergelijking genoemd.

Als we spreken in de taal van formules, dan kunnen deze uitdrukkingen, hoe ze er ook uitzien, altijd in de vorm worden gebracht als de linkerkant van de uitdrukking uit drie termen bestaat. Onder hen: ax 2 (dat wil zeggen een variabele in het kwadraat met zijn coëfficiënt), bx (een onbekende zonder kwadraat met zijn coëfficiënt) en c (vrije component, dat wil zeggen een gewoon getal). Dit alles aan de rechterkant is gelijk aan 0. In het geval dat zo'n polynoom geen van zijn samenstellende termen heeft, met uitzondering van ax 2, wordt het een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd. Voorbeelden met de oplossing van dergelijke problemen, waarbij de waarde van de variabelen niet moeilijk te vinden is, moeten eerst worden overwogen.

Als de uitdrukking eruitziet alsof er twee termen aan de rechterkant van de uitdrukking staan, meer bepaald ax 2 en bx, is het het gemakkelijkst om x te vinden door de variabele tussen haakjes te plaatsen. Nu ziet onze vergelijking er als volgt uit: x(ax+b). Verder wordt het duidelijk dat ofwel x=0, ofwel het probleem wordt gereduceerd tot het vinden van een variabele uit de volgende uitdrukking: ax+b=0. Dit wordt bepaald door een van de eigenschappen van vermenigvuldiging. De regel zegt dat het product van twee factoren alleen in 0 resulteert als een van hen nul is.

Voorbeeld

x=0 of 8x - 3 = 0

Als resultaat krijgen we twee wortels van de vergelijking: 0 en 0,375.

Dergelijke vergelijkingen kunnen de beweging beschrijven van lichamen onder invloed van de zwaartekracht, die vanaf een bepaald punt begonnen te bewegen, als oorsprong genomen. Hier heeft de wiskundige notatie de volgende vorm: y = v 0 t + gt 2 /2. Door de benodigde waarden te vervangen, de rechterkant gelijk te stellen aan 0 en mogelijke onbekenden te vinden, kunt u de tijd achterhalen die is verstreken vanaf het moment dat het lichaam opkomt tot het moment dat het valt, evenals vele andere grootheden. Maar we zullen hier later over praten.

Factoring van een uitdrukking

De hierboven beschreven regel maakt het mogelijk om deze problemen in complexere gevallen op te lossen. Overweeg voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen van dit type.

X2 - 33x + 200 = 0

Deze vierkante trinominaal is voltooid. Eerst transformeren we de uitdrukking en ontleden deze in factoren. Er zijn er twee: (x-8) en (x-25) = 0. Als resultaat hebben we twee wortels 8 en 25.

Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen in rang 9 stellen deze methode in staat om een variabele te vinden in uitdrukkingen, niet alleen van de tweede, maar zelfs van de derde en vierde orde.

Bijvoorbeeld: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Als je de rechterkant ontbindt in factoren met een variabele, zijn er drie, namelijk (x + 1), (x-3) en (x + 3).

Als resultaat wordt het duidelijk dat deze vergelijking drie wortels heeft: -3; -een; 3.

De vierkantswortel extraheren

Een ander geval van een onvolledige tweede-ordevergelijking is een uitdrukking die in de lettertaal zo is geschreven dat de rechterkant is opgebouwd uit de componenten ax 2 en c. Hier, om de waarde van de variabele te verkrijgen, wordt de vrije term naar de rechterkant overgebracht en daarna wordt de vierkantswortel aan beide zijden van de gelijkheid geëxtraheerd. Opgemerkt moet worden dat er in dit geval meestal twee wortels van de vergelijking zijn. De enige uitzonderingen zijn gelijkheden die de term c helemaal niet bevatten, waarbij de variabele gelijk is aan nul, evenals varianten van uitdrukkingen wanneer de rechterkant negatief blijkt te zijn. In het laatste geval zijn er helemaal geen oplossingen, omdat bovenstaande acties niet met wortels kunnen worden uitgevoerd. Voorbeelden van oplossingen voor kwadratische vergelijkingen van dit type moeten worden overwogen.

In dit geval zijn de wortels van de vergelijking de getallen -4 en 4.

Berekening van de oppervlakte van het land

De behoefte aan dit soort berekeningen ontstond in de oudheid, omdat de ontwikkeling van de wiskunde in die verre tijden grotendeels te danken was aan de noodzaak om de oppervlakten en omtrekken van percelen met de grootste nauwkeurigheid te bepalen.

We moeten ook voorbeelden bekijken met de oplossing van kwadratische vergelijkingen die zijn samengesteld op basis van dit soort problemen.

Dus laten we zeggen dat er een rechthoekig stuk land is, waarvan de lengte 16 meter meer is dan de breedte. U moet de lengte, breedte en omtrek van de site vinden als bekend is dat de oppervlakte 612 m 2 is.

Om aan de slag te gaan, zullen we eerst de nodige vergelijking maken. Laten we de breedte van de sectie als x aangeven, dan is de lengte (x + 16). Uit wat is geschreven volgt dat het gebied wordt bepaald door de uitdrukking x (x + 16), die, volgens de conditie van ons probleem, 612 is. Dit betekent dat x (x + 16) \u003d 612.

De oplossing van complete kwadratische vergelijkingen, en deze uitdrukking is precies dat, kan niet op dezelfde manier worden gedaan. Waarom? Hoewel de linkerkant ervan nog steeds twee factoren bevat, is het product ervan helemaal niet gelijk aan 0, dus worden hier andere methoden gebruikt.

discriminerend

Allereerst zullen we de nodige transformaties maken, waarna het uiterlijk van deze uitdrukking er als volgt uitziet: x 2 + 16x - 612 = 0. Dit betekent dat we een uitdrukking hebben ontvangen in de vorm die overeenkomt met de eerder gespecificeerde standaard, waarbij a=1, b=16, c= -612.

Dit kan een voorbeeld zijn van het oplossen van kwadratische vergelijkingen via de discriminant. Hier worden de nodige berekeningen gemaakt volgens het schema: D = b 2 - 4ac. Deze hulpwaarde maakt het niet alleen mogelijk om de gewenste waarden in de tweede-orde vergelijking te vinden, het bepaalt het aantal mogelijke opties. In geval D>0 zijn er twee; voor D=0 is er één wortel. In het geval D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Over wortels en hun formule

In ons geval is de discriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Dit geeft aan dat ons probleem een antwoord heeft. Als je dat weet, moet het oplossen van kwadratische vergelijkingen worden voortgezet met behulp van de onderstaande formule. Hiermee kunt u de wortels berekenen.

Dit betekent dat in het gepresenteerde geval: x 1 =18, x 2 =-34. De tweede optie in dit dilemma kan geen oplossing zijn, omdat de grootte van het perceel niet in negatieve waarden kan worden gemeten, wat betekent dat x (dat wil zeggen de breedte van het perceel) 18 m is. Vanaf hier berekenen we de lengte: 18+16=34, en de omtrek 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Voorbeelden en taken

We gaan verder met de studie van kwadratische vergelijkingen. Voorbeelden en een gedetailleerde oplossing van een aantal daarvan zullen hieronder worden gegeven.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Laten we alles naar de linkerkant van de gelijkheid verplaatsen, een transformatie maken, dat wil zeggen, we krijgen de vorm van de vergelijking, die gewoonlijk de standaardvergelijking wordt genoemd, en stellen deze gelijk aan nul.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nadat we soortgelijke hebben toegevoegd, bepalen we de discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Onze vergelijking heeft dus twee wortels. We berekenen ze volgens de bovenstaande formule, wat betekent dat de eerste gelijk is aan 4/3 en de tweede 1.

2) Nu zullen we raadsels van een ander soort onthullen.

Laten we eens kijken of er hier wortels x 2 - 4x + 5 = 1 zijn? Om een uitputtend antwoord te krijgen, brengen we de polynoom naar de overeenkomstige bekende vorm en berekenen we de discriminant. In dit voorbeeld is het niet nodig om de kwadratische vergelijking op te lossen, omdat de essentie van het probleem hier helemaal niet in zit. In dit geval D \u003d 16 - 20 \u003d -4, wat betekent dat er echt geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

Het is handig om kwadratische vergelijkingen op te lossen met behulp van de bovenstaande formules en de discriminant, wanneer de vierkantswortel wordt geëxtraheerd uit de waarde van de laatste. Maar dit gebeurt niet altijd. Er zijn echter veel manieren om in dit geval de waarden van variabelen te krijgen. Voorbeeld: kwadratische vergelijkingen oplossen met de stelling van Vieta. Het is vernoemd naar een man die in het 16e-eeuwse Frankrijk woonde en een schitterende carrière had dankzij zijn wiskundig talent en connecties aan het hof. Zijn portret is te zien in het artikel.

Het patroon dat de beroemde Fransman opmerkte was als volgt. Hij bewees dat de som van de wortels van de vergelijking gelijk is aan -p=b/a, en dat hun product overeenkomt met q=c/a.

Laten we nu eens kijken naar specifieke taken.

3x2 + 21x - 54 = 0

Laten we voor de eenvoud de uitdrukking transformeren:

x 2 + 7x - 18 = 0

Als we de stelling van Vieta gebruiken, krijgen we het volgende: de som van de wortels is -7 en hun product is -18. Hieruit halen we dat de wortels van de vergelijking de getallen -9 en 2 zijn. Na een controle te hebben uitgevoerd, zullen we ervoor zorgen dat deze waarden van de variabelen echt in de uitdrukking passen.

Grafiek en vergelijking van een parabool

De concepten van een kwadratische functie en kwadratische vergelijkingen zijn nauw verwant. Voorbeelden hiervan zijn al eerder gegeven. Laten we nu wat meer in detail kijken naar enkele wiskundige puzzels. Elke vergelijking van het beschreven type kan visueel worden weergegeven. Zo'n afhankelijkheid, getekend in de vorm van een grafiek, wordt een parabool genoemd. De verschillende typen zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Elke parabool heeft een hoekpunt, dat wil zeggen een punt van waaruit de takken naar buiten komen. Als a>0, gaan ze hoog naar oneindig, en wanneer a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuele representaties van functies helpen bij het oplossen van alle vergelijkingen, ook kwadratische. Deze methode wordt grafisch genoemd. En de waarde van de variabele x is de abscis-coördinaat op de punten waar de grafieklijn 0x snijdt. De coördinaten van het hoekpunt kunnen worden gevonden met de zojuist gegeven formule x 0 = -b / 2a. En als je de resulterende waarde in de oorspronkelijke vergelijking van de functie vervangt, kun je y 0 vinden, dat wil zeggen, de tweede coördinaat van de parabooltop die bij de y-as hoort.

Het snijpunt van de takken van de parabool met de as van de abscis

Er zijn veel voorbeelden met het oplossen van kwadratische vergelijkingen, maar er zijn ook algemene patronen. Laten we ze eens bekijken. Het is duidelijk dat het snijpunt van de grafiek met de 0x-as voor a>0 alleen mogelijk is als y 0 negatieve waarden heeft. en voor een<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Anders D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Uit de grafiek van een parabool kun je ook de wortels bepalen. Het omgekeerde is ook waar. Dat wil zeggen, als het niet gemakkelijk is om een visuele weergave van een kwadratische functie te krijgen, kun je de rechterkant van de uitdrukking gelijkstellen aan 0 en de resulterende vergelijking oplossen. En als u de snijpunten met de 0x-as kent, is het gemakkelijker om te plotten.

uit de geschiedenis

Met behulp van vergelijkingen die een kwadratische variabele bevatten, werden vroeger niet alleen wiskundige berekeningen uitgevoerd en het gebied van geometrische vormen bepaald. De Ouden hadden zulke berekeningen nodig voor grootse ontdekkingen op het gebied van natuurkunde en astronomie, maar ook voor het maken van astrologische voorspellingen.

Zoals moderne wetenschappers suggereren, behoorden de inwoners van Babylon tot de eersten die kwadratische vergelijkingen oplosten. Het gebeurde vier eeuwen voor de komst van onze jaartelling. Natuurlijk waren hun berekeningen fundamenteel anders dan die welke momenteel worden geaccepteerd en bleken ze veel primitiever te zijn. Mesopotamische wiskundigen hadden bijvoorbeeld geen idee van het bestaan van negatieve getallen. Ze waren ook niet bekend met andere subtiliteiten die bekend waren bij elke student van onze tijd.

Misschien zelfs eerder dan de wetenschappers van Babylon, nam de wijze uit India, Baudhayama, de oplossing van kwadratische vergelijkingen ter hand. Dit gebeurde ongeveer acht eeuwen voor de komst van het tijdperk van Christus. Toegegeven, de vergelijkingen van de tweede orde, de methoden voor het oplossen die hij gaf, waren de eenvoudigste. Naast hem waren vroeger ook Chinese wiskundigen geïnteresseerd in soortgelijke vragen. In Europa begonnen kwadratische vergelijkingen pas aan het begin van de 13e eeuw op te lossen, maar later werden ze in hun werk gebruikt door grote wetenschappers als Newton, Descartes en vele anderen.

In vervolg op het onderwerp "Vergelijkingen oplossen", zal het materiaal in dit artikel u kennis laten maken met kwadratische vergelijkingen.

Laten we alles in detail bekijken: de essentie en notatie van een kwadratische vergelijking, stel de bijbehorende termen in, analyseer het schema voor het oplossen van onvolledige en volledige vergelijkingen, maak kennis met de formule van wortels en de discriminant, leg verbanden tussen wortels en coëfficiënten, en van natuurlijk geven we een visuele oplossing van praktijkvoorbeelden.

Yandex.RTB RA-339285-1

Kwadratische vergelijking, zijn typen

Definitie 1

Kwadratische vergelijking is de vergelijking geschreven als a x 2 + b x + c = 0, waar x– variabel, a , b en c zijn enkele cijfers, terwijl a is niet nul.

Vaak worden kwadratische vergelijkingen ook wel vergelijkingen van de tweede graad genoemd, aangezien een kwadratische vergelijking in feite een algebraïsche vergelijking van de tweede graad is.

Laten we een voorbeeld geven om de gegeven definitie te illustreren: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, enz. zijn kwadratische vergelijkingen.

definitie 2

Nummers a , b en c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0, terwijl de coëfficiënt a heet de eerste, of senior, of coëfficiënt bij x 2, b - de tweede coëfficiënt, of coëfficiënt bij x, a c een gratis lid genoemd.

Bijvoorbeeld, in de kwadratische vergelijking 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 de hoogste coëfficiënt is 6 , de tweede coëfficiënt is − 2 , en de vrije termijn is gelijk aan − 11 . Laten we aandacht besteden aan het feit dat wanneer de coëfficiënten b en/of c negatief zijn, dan wordt de stenovorm gebruikt 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, maar niet 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Laten we ook dit aspect verduidelijken: als de coëfficiënten a en/of b Gelijk 1 of − 1 , dan mogen ze geen expliciete rol spelen bij het schrijven van de kwadratische vergelijking, wat wordt verklaard door de eigenaardigheden van het schrijven van de aangegeven numerieke coëfficiënten. Bijvoorbeeld, in de kwadratische vergelijking y 2 − y + 7 = 0 de senior coëfficiënt is 1 en de tweede coëfficiënt is − 1 .

Gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen

Volgens de waarde van de eerste coëfficiënt worden kwadratische vergelijkingen verdeeld in gereduceerd en niet-gereduceerd.

Definitie 3

Gereduceerde kwadratische vergelijking is een kwadratische vergelijking waarbij de leidende coëfficiënt 1 is. Voor andere waarden van de leidende coëfficiënt is de kwadratische vergelijking niet gereduceerd.

Hier zijn enkele voorbeelden: kwadratische vergelijkingen x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 worden gereduceerd, waarbij de leidende coëfficiënt 1 is.

9 x 2 - x - 2 = 0- niet-gereduceerde kwadratische vergelijking, waarbij de eerste coëfficiënt verschilt van 1 .

Elke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking kan worden omgezet in een gereduceerde vergelijking door beide delen te delen door de eerste coëfficiënt (equivalente transformatie). De getransformeerde vergelijking zal dezelfde wortels hebben als de gegeven niet-gereduceerde vergelijking of zal ook helemaal geen wortels hebben.

Door een specifiek voorbeeld in overweging te nemen, kunnen we de overgang van een niet-gereduceerde kwadratische vergelijking naar een gereduceerde vergelijking duidelijk demonstreren.

voorbeeld 1

Gegeven de vergelijking 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Het is noodzakelijk om de oorspronkelijke vergelijking om te zetten in de gereduceerde vorm.

Beslissing

Volgens het bovenstaande schema delen we beide delen van de oorspronkelijke vergelijking door de leidende coëfficiënt 6 . Dan krijgen we: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, en dit is hetzelfde als: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 en verder: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Vanaf hier: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Er wordt dus een vergelijking verkregen die equivalent is aan de gegeven.

Antwoord: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Volledige en onvolledige kwadratische vergelijkingen

Laten we ons wenden tot de definitie van een kwadratische vergelijking. Daarin specificeerden we dat: een ≠ 0. Een vergelijkbare voorwaarde is nodig voor de vergelijking a x 2 + b x + c = 0 was precies vierkant, aangezien een = 0 het verandert in wezen in een lineaire vergelijking b x + c = 0.

In het geval dat de coëfficiënten b en c gelijk zijn aan nul (wat zowel individueel als gezamenlijk mogelijk is), wordt de kwadratische vergelijking onvolledig genoemd.

Definitie 4

Onvolledige kwadratische vergelijking is een kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c \u003d 0, waarbij ten minste één van de coëfficiënten b en c(of beide) is nul.

Volledige kwadratische vergelijking is een kwadratische vergelijking waarin alle numerieke coëfficiënten niet gelijk zijn aan nul.

Laten we bespreken waarom de soorten kwadratische vergelijkingen precies zulke namen krijgen.

Voor b = 0 heeft de kwadratische vergelijking de vorm a x 2 + 0 x + c = 0, wat hetzelfde is als a x 2 + c = 0. Bij c = 0 de kwadratische vergelijking wordt geschreven als a x 2 + b x + 0 = 0, wat equivalent is a x 2 + b x = 0. Bij b = 0 en c = 0 de vergelijking zal de vorm aannemen a x 2 = 0. De vergelijkingen die we hebben verkregen, verschillen van de volledige kwadratische vergelijking doordat hun linkerzijden geen term met de variabele x bevatten, of een vrije term, of beide tegelijk. Eigenlijk gaf dit feit de naam aan dit soort vergelijkingen - onvolledig.

Bijvoorbeeld, x 2 + 3 x + 4 = 0 en − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 zijn volledige kwadratische vergelijkingen; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

De hierboven gegeven definitie maakt het mogelijk om de volgende soorten onvolledige kwadratische vergelijkingen te onderscheiden:

a x 2 = 0, coëfficiënten komen overeen met een dergelijke vergelijking b = 0 en c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 voor b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 voor c = 0 .

Beschouw achtereenvolgens de oplossing van elk type onvolledige kwadratische vergelijking.

Oplossing van de vergelijking a x 2 \u003d 0

Zoals hierboven al vermeld, komt zo'n vergelijking overeen met de coëfficiënten b en c, gelijk aan nul. De vergelijking a x 2 = 0 kan worden omgezet in een equivalente vergelijking x2 = 0, die we krijgen door beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking te delen door het getal a, niet gelijk aan nul. Het voor de hand liggende feit is dat de wortel van de vergelijking x2 = 0 is nul omdat 0 2 = 0 . Deze vergelijking heeft geen andere wortels, wat wordt verklaard door de eigenschappen van de graad: voor elk getal p , niet gelijk aan nul, de ongelijkheid is waar p2 > 0, waaruit volgt dat wanneer p ≠ 0 gelijkwaardigheid p2 = 0 zal nooit worden bereikt.

Definitie 5

Dus voor de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 = 0, is er een unieke wortel x=0.

Voorbeeld 2

Laten we bijvoorbeeld een onvolledige kwadratische vergelijking oplossen − 3 x 2 = 0. Het is gelijk aan de vergelijking x2 = 0, de enige wortel is x=0, dan heeft de oorspronkelijke vergelijking een enkele wortel - nul.

De oplossing is als volgt samengevat:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Oplossing van de vergelijking a x 2 + c \u003d 0

De volgende in de rij is de oplossing van onvolledige kwadratische vergelijkingen, waarbij b \u003d 0, c ≠ 0, dat wil zeggen vergelijkingen van de vorm a x 2 + c = 0. Laten we deze vergelijking transformeren door de term van de ene kant van de vergelijking naar de andere over te dragen, het teken in het tegenovergestelde te veranderen en beide kanten van de vergelijking te delen door een getal dat niet gelijk is aan nul:

volhouden c naar de rechterkant, wat de vergelijking geeft a x 2 = − c;
deel beide zijden van de vergelijking door a, krijgen we als resultaat x = - c a .

Onze transformaties zijn respectievelijk equivalent, de resulterende vergelijking is ook equivalent aan de originele, en dit feit maakt het mogelijk om een conclusie te trekken over de wortels van de vergelijking. Van wat zijn de waarden? a en c hangt af van de waarde van de uitdrukking - c a: het kan een minteken hebben (bijvoorbeeld if een = 1 en c = 2, dan - c a = - 2 1 = - 2) of een plusteken (bijvoorbeeld als een = -2 en c=6, dan - c a = - 6 - 2 = 3); het is niet gelijk aan nul omdat c ≠ 0. Laten we dieper ingaan op situaties waarin - c a< 0 и - c a > 0 .

In het geval dat - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p gelijkheid p 2 = - c a kan niet waar zijn.

Alles is anders wanneer - c a > 0: onthoud de vierkantswortel, en het zal duidelijk worden dat de wortel van de vergelijking x 2 \u003d - c a het getal is - c a, aangezien - c a 2 \u003d - c a. Het is gemakkelijk te begrijpen dat het getal - - c a - ook de wortel is van de vergelijking x 2 = - c a: inderdaad, - - c a 2 = - c a .

De vergelijking heeft geen andere wortels. We kunnen dit aantonen met behulp van de tegenovergestelde methode. Laten we eerst de notatie van de hierboven gevonden wortels instellen als x 1 en − x 1. Laten we aannemen dat de vergelijking x 2 = - c a ook een wortel heeft x2, wat anders is dan de wortels x 1 en − x 1. We weten dat door in de vergelijking te substitueren in plaats van x zijn wortels, transformeren we de vergelijking in een eerlijke numerieke gelijkheid.

Voor x 1 en − x 1 schrijf: x 1 2 = - c a , en for x2- x 2 2 \u003d - c a. Op basis van de eigenschappen van numerieke gelijkheden trekken we term voor term een echte gelijkheid af van een andere, wat ons het volgende geeft: x 1 2 x 2 2 = 0. Gebruik de eigenschappen van getalbewerkingen om de laatste gelijkheid te herschrijven als (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Het is bekend dat het product van twee getallen nul is als en slechts dan als ten minste één van de getallen nul is. Uit wat is gezegd, volgt dat: x1 − x2 = 0 en/of x1 + x2 = 0, wat hetzelfde is x2 = x1 en/of x 2 = − x 1. Er ontstond een duidelijke tegenstrijdigheid, omdat in eerste instantie werd afgesproken dat de wortel van de vergelijking x2 is anders dan x 1 en − x 1. We hebben dus bewezen dat de vergelijking geen andere wortels heeft dan x = - c a en x = - - c a .

We vatten alle bovenstaande argumenten samen.

Definitie 6

Onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + c = 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 = - c a , die:

zal geen wortels hebben op - c a< 0 ;
heeft twee wortels x = - c a en x = - - c a wanneer - c a > 0 .

Laten we voorbeelden geven van het oplossen van vergelijkingen a x 2 + c = 0.

Voorbeeld 3

Gegeven een kwadratische vergelijking 9 x 2 + 7 = 0 . Het is noodzakelijk om de oplossing ervan te vinden.

Beslissing

We zetten de vrije term over naar de rechterkant van de vergelijking, dan krijgt de vergelijking de vorm 9 x 2 \u003d - 7.
We delen beide zijden van de resulterende vergelijking door 9 , komen we bij x 2 = - 7 9 . Aan de rechterkant zien we een getal met een minteken, wat betekent: de gegeven vergelijking heeft geen wortels. Dan is de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking 9 x 2 + 7 = 0 zal geen wortels hebben.

Antwoord: de vergelijking 9 x 2 + 7 = 0 heeft geen wortels.

Voorbeeld 4

Het is noodzakelijk om de vergelijking op te lossen − x2 + 36 = 0.

Beslissing

Laten we 36 naar de rechterkant verplaatsen: − x 2 = − 36.
Laten we beide delen opsplitsen in: − 1 , we krijgen x2 = 36. Aan de rechterkant staat een positief getal, waaruit we kunnen concluderen dat x = 36 of x = - 36 .
We extraheren de wortel en schrijven het eindresultaat: een onvolledige kwadratische vergelijking − x2 + 36 = 0 heeft twee wortels x=6 of x = -6.

Antwoord: x=6 of x = -6.

Oplossing van de vergelijking a x 2 +b x=0

Laten we de derde soort onvolledige kwadratische vergelijkingen analyseren, wanneer: c = 0. Een oplossing vinden voor een onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + b x = 0, gebruiken we de factorisatiemethode. Laten we de veelterm, die zich aan de linkerkant van de vergelijking bevindt, ontbinden in factoren, waarbij we de gemene deler tussen haakjes halen x. Deze stap maakt het mogelijk om de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking om te zetten in zijn equivalent x (a x + b) = 0. En deze vergelijking is op zijn beurt gelijk aan de verzameling vergelijkingen x=0 en a x + b = 0. De vergelijking a x + b = 0 lineair, en de wortel: x = − b a.

Definitie 7

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + b x = 0 zal twee wortels hebben x=0 en x = − b a.

Laten we het materiaal consolideren met een voorbeeld.

Voorbeeld 5

Het is noodzakelijk om de oplossing van de vergelijking 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 te vinden.

Beslissing

Laten we eruit halen x buiten de haakjes en krijg de vergelijking x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Deze vergelijking is gelijk aan de vergelijkingen x=0 en 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Nu moet je de resulterende lineaire vergelijking oplossen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

In het kort schrijven we de oplossing van de vergelijking als volgt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 of 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 of x = 3 3 7

Antwoord: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formule van de wortels van een kwadratische vergelijking

Om een oplossing voor kwadratische vergelijkingen te vinden, is er een wortelformule:

Definitie 8

x = - b ± D 2 a, waarbij D = b 2 − 4 een c is de zogenaamde discriminant van een kwadratische vergelijking.

Schrijven x \u003d - b ± D 2 a betekent in wezen dat x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Het is handig om te begrijpen hoe de aangegeven formule is afgeleid en hoe u deze kunt toepassen.

Afleiding van de formule van de wortels van een kwadratische vergelijking

Stel dat we worden geconfronteerd met de taak om een kwadratische vergelijking op te lossen a x 2 + b x + c = 0. Laten we een aantal equivalente transformaties uitvoeren:

deel beide zijden van de vergelijking door het getal a, anders dan nul, verkrijgen we de gereduceerde kwadratische vergelijking: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
selecteer het volledige vierkant aan de linkerkant van de resulterende vergelijking:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Hierna zal de vergelijking de vorm aannemen: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
nu is het mogelijk om de laatste twee termen naar de rechterkant te verplaatsen, het teken in het tegenovergestelde veranderen, waarna we krijgen: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
ten slotte transformeren we de uitdrukking die aan de rechterkant van de laatste gelijkheid is geschreven:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

We zijn dus tot de vergelijking gekomen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , die gelijk is aan de oorspronkelijke vergelijking a x 2 + b x + c = 0.

We hebben de oplossing van dergelijke vergelijkingen in de vorige paragrafen besproken (de oplossing van onvolledige kwadratische vergelijkingen). De reeds opgedane ervaring maakt het mogelijk een conclusie te trekken over de wortels van de vergelijking x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

voor b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
voor b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, heeft de vergelijking de vorm x + b 2 · a 2 = 0, dan x + b 2 · a = 0.

Vanaf hier is de enige wortel x = - b 2 · a duidelijk;

voor b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, is de juiste: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 of x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , wat de hetzelfde als x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 of x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , d.w.z. de vergelijking heeft twee wortels.

Het is mogelijk om te concluderen dat de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van de vergelijking x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (en dus de oorspronkelijke vergelijking) afhangt van het teken van de uitdrukking b 2 - 4 a c 4 · een 2 geschreven aan de rechterkant. En het teken van deze uitdrukking wordt gegeven door het teken van de teller, (de noemer 4 een 2 zal altijd positief zijn), dat wil zeggen, het teken van de uitdrukking b 2 − 4 een c. Deze uitdrukking b 2 − 4 een c er wordt een naam gegeven - de discriminant van een kwadratische vergelijking en de letter D wordt gedefinieerd als de aanduiding. Hier kun je de essentie van de discriminant opschrijven - door zijn waarde en teken concluderen ze of de kwadratische vergelijking echte wortels zal hebben, en zo ja, hoeveel wortels - een of twee.

Laten we terugkeren naar de vergelijking x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Laten we het herschrijven met de discriminantnotatie: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Laten we de conclusies samenvatten:

Definitie 9

Bij D< 0 de vergelijking heeft geen echte wortels;
Bij D=0 de vergelijking heeft een enkele wortel x = - b 2 · a;
Bij D > 0 de vergelijking heeft twee wortels: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 of x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Op basis van de eigenschappen van radicalen kunnen deze wortels worden geschreven als: x \u003d - b 2 a + D 2 a of - b 2 a - D 2 a. En wanneer we de modules openen en de breuken reduceren tot een gemeenschappelijke noemer, krijgen we: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Het resultaat van onze redenering was dus de afleiding van de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D berekend door de formule D = b 2 − 4 een c.

Deze formules maken het mogelijk om, wanneer de discriminant groter is dan nul, beide reële wortels te bepalen. Als de discriminant nul is, geeft het toepassen van beide formules dezelfde wortel als de enige oplossing van de kwadratische vergelijking. In het geval dat de discriminant negatief is en we proberen de kwadratische wortelformule te gebruiken, zullen we worden geconfronteerd met de noodzaak om de vierkantswortel van een negatief getal te extraheren, waardoor we verder gaan dan reële getallen. Met een negatieve discriminant heeft de kwadratische vergelijking geen echte wortels, maar een paar complexe geconjugeerde wortels is mogelijk, bepaald door dezelfde wortelformules die we hebben verkregen.

Algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met wortelformules

Het is mogelijk om een kwadratische vergelijking op te lossen door onmiddellijk de wortelformule te gebruiken, maar in principe wordt dit gedaan wanneer het nodig is om complexe wortels te vinden.

In de meeste gevallen is het zoeken meestal niet bedoeld voor complexe, maar voor echte wortels van een kwadratische vergelijking. Dan is het optimaal om, alvorens de formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking te gebruiken, eerst de discriminant te bepalen en ervoor te zorgen dat deze niet negatief is (anders zullen we concluderen dat de vergelijking geen echte wortels heeft), en dan verder gaan met het berekenen van de waarde van de wortels.

Bovenstaande redenering maakt het mogelijk om een algoritme te formuleren voor het oplossen van een kwadratische vergelijking.

Definitie 10

Een kwadratische vergelijking oplossen a x 2 + b x + c = 0, vereist:

volgens de formule D = b 2 − 4 een c vind de waarde van de discriminant;
bij D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
voor D = 0 zoek de enige wortel van de vergelijking met de formule x = - b 2 · a;
bepaal voor D > 0 twee reële wortels van de kwadratische vergelijking met de formule x = - b ± D 2 · a.

Merk op dat wanneer de discriminant nul is, je de formule x = - b ± D 2 · a kunt gebruiken, dit geeft hetzelfde resultaat als de formule x = - b 2 · a .

Denk aan voorbeelden.

Voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen

We presenteren de oplossing van voorbeelden voor verschillende waarden van de discriminant.

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om de wortels van de vergelijking te vinden x 2 + 2 x - 6 = 0.

Beslissing

We schrijven de numerieke coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a \u003d 1, b \u003d 2 en c = − 6. Vervolgens handelen we volgens het algoritme, d.w.z. Laten we beginnen met het berekenen van de discriminant, waarvoor we de coëfficiënten a , b . vervangen en c in de discriminantformule: D = b 2 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dus we hebben D > 0, wat betekent dat de oorspronkelijke vergelijking twee echte wortels zal hebben.
Om ze te vinden, gebruiken we de wortelformule x \u003d - b ± D 2 · a en, door de juiste waarden te vervangen, krijgen we: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. We vereenvoudigen de resulterende uitdrukking door de factor uit het teken van de wortel te halen, gevolgd door reductie van de breuk:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 of x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 of x = - 1 - 7

Antwoord: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Voorbeeld 7

Het is noodzakelijk om een kwadratische vergelijking op te lossen − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Beslissing

Laten we de discriminant definiëren: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Met deze waarde van de discriminant heeft de oorspronkelijke vergelijking maar één wortel, bepaald door de formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Antwoord: x = 3, 5.

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om de vergelijking op te lossen 5 jaar 2 + 6 jaar + 2 = 0

Beslissing

De numerieke coëfficiënten van deze vergelijking zijn: a = 5 , b = 6 en c = 2 . We gebruiken deze waarden om de discriminant te vinden: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . De berekende discriminant is negatief, dus de oorspronkelijke kwadratische vergelijking heeft geen echte wortels.

In het geval dat het de taak is om complexe wortels aan te geven, passen we de wortelformule toe door bewerkingen uit te voeren met complexe getallen:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ik 10 of x \u003d - 6 - 2 ik 10,

x = - 3 5 + 1 5 i of x = - 3 5 - 1 5 i .

Antwoord: er zijn geen echte wortels; de complexe wortels zijn: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

In het schoolcurriculum is het standaard niet vereist om naar complexe wortels te zoeken, dus als de discriminant tijdens de oplossing als negatief wordt gedefinieerd, wordt onmiddellijk geregistreerd dat er geen echte wortels zijn.

Wortelformule voor even tweede coëfficiënten

De wortelformule x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) maakt het mogelijk om een andere formule te verkrijgen, compacter, waardoor u oplossingen kunt vinden voor kwadratische vergelijkingen met een even coëfficiënt bij x (of met een coëfficiënt van de vorm 2 a n, bijvoorbeeld 2 3 of 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Laten we laten zien hoe deze formule is afgeleid.

Stel dat we voor de taak staan om een oplossing te vinden voor de kwadratische vergelijking a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. We handelen volgens het algoritme: we bepalen de discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , en gebruiken dan de wortelformule:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c een .

Laat de uitdrukking n 2 − a c worden aangeduid als D 1 (soms wordt het aangeduid met D "). Dan zal de formule voor de wortels van de beschouwde kwadratische vergelijking met de tweede coëfficiënt 2 n de vorm aannemen:

x \u003d - n ± D 1 a, waarbij D 1 \u003d n 2 - a c.

Het is gemakkelijk in te zien dat D = 4 · D 1 , of D 1 = D 4 . Met andere woorden, D 1 is een kwart van de discriminant. Het teken van D 1 is uiteraard hetzelfde als het teken van D, wat betekent dat het teken van D 1 ook kan dienen als een indicator voor de aan- of afwezigheid van de wortels van een kwadratische vergelijking.

Definitie 11

Dus om een oplossing te vinden voor een kwadratische vergelijking met een tweede coëfficiënt van 2 n, is het noodzakelijk:

vind D 1 = n 2 − een c ;
bij D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
voor D 1 = 0, bepaal de enige wortel van de vergelijking met de formule x = - n a ;
bepaal voor D 1 > 0 twee reële wortels met de formule x = - n ± D 1 a.

Voorbeeld 9

Het is noodzakelijk om de kwadratische vergelijking 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 op te lossen.

Beslissing

De tweede coëfficiënt van de gegeven vergelijking kan worden weergegeven als 2 · (− 3) . Dan herschrijven we de gegeven kwadratische vergelijking als 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , waarbij a = 5 , n = − 3 en c = − 32 .

Laten we het vierde deel van de discriminant berekenen: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . De resulterende waarde is positief, wat betekent dat de vergelijking twee reële wortels heeft. We definiëren ze door de overeenkomstige formule van de wortels:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 of x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 of x = - 2

Het zou mogelijk zijn om berekeningen uit te voeren met de gebruikelijke formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking, maar in dit geval zou de oplossing omslachtiger zijn.

Antwoord: x = 3 1 5 of x = - 2 .

Vereenvoudiging van de vorm van kwadratische vergelijkingen

Soms is het mogelijk om de vorm van de oorspronkelijke vergelijking te optimaliseren, wat het proces van het berekenen van de wortels vereenvoudigt.

De kwadratische vergelijking 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 is bijvoorbeeld duidelijk handiger om op te lossen dan 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Vaker wordt de vereenvoudiging van de vorm van een kwadratische vergelijking uitgevoerd door de beide delen ervan te vermenigvuldigen of te delen door een bepaald aantal. Hierboven hebben we bijvoorbeeld een vereenvoudigde weergave getoond van de vergelijking 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, verkregen door beide delen te delen door 100.

Een dergelijke transformatie is mogelijk wanneer de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking geen relatief priemgetallen zijn. Vervolgens worden meestal beide delen van de vergelijking gedeeld door de grootste gemene deler van de absolute waarden van de coëfficiënten.

Als voorbeeld gebruiken we de kwadratische vergelijking 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Laten we de ggd van de absolute waarden van zijn coëfficiënten definiëren: ggd (12 , 42, 48) = ggd(ggd (12 , 42) , 48) = ggd (6 , 48) = 6 . Laten we beide delen van de oorspronkelijke kwadratische vergelijking delen door 6 en de equivalente kwadratische vergelijking 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 krijgen.

Door beide zijden van de kwadratische vergelijking te vermenigvuldigen, worden fractionele coëfficiënten meestal geëlimineerd. Vermenigvuldig in dit geval met het kleinste gemene veelvoud van de noemers van zijn coëfficiënten. Als bijvoorbeeld elk deel van de kwadratische vergelijking 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 wordt vermenigvuldigd met LCM (6, 3, 1) \u003d 6, dan wordt het in een eenvoudigere vorm x 2 + geschreven 4x - 18 = 0 .

Ten slotte merken we op dat bijna altijd de min wordt verwijderd bij de eerste coëfficiënt van de kwadratische vergelijking, waardoor de tekens van elke term van de vergelijking worden gewijzigd, wat wordt bereikt door beide delen te vermenigvuldigen (of te delen) met − 1. Uit de kwadratische vergelijking - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, kunt u bijvoorbeeld naar de vereenvoudigde versie 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 gaan.

Relatie tussen wortels en coëfficiënten

De reeds bekende formule voor de wortels van kwadratische vergelijkingen x = - b ± D 2 · a drukt de wortels van de vergelijking uit in termen van zijn numerieke coëfficiënten. Op basis van deze formule hebben we de mogelijkheid om andere afhankelijkheden tussen de wortels en coëfficiënten in te stellen.

De meest bekende en toepasselijke zijn de formules van de stelling van Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a en x 2 \u003d c a.

In het bijzonder, voor de gegeven kwadratische vergelijking, is de som van de wortels de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, en is het product van de wortels gelijk aan de vrije term. Door bijvoorbeeld de vorm van de kwadratische vergelijking 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0, is het mogelijk om onmiddellijk te bepalen dat de som van de wortels 7 3 is en het product van de wortels 22 3 is.

Je kunt ook een aantal andere relaties vinden tussen de wortels en coëfficiënten van een kwadratische vergelijking. De som van de kwadraten van de wortels van een kwadratische vergelijking kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt in coëfficiënten:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Kopjevskaja landelijke middelbare school

10 manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen

Hoofd: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

wiskunde leraar

s.Kopyevo, 2007

1. Geschiedenis van de ontwikkeling van kwadratische vergelijkingen

1.1 Kwadratische vergelijkingen in het oude Babylon

1.2 Hoe Diophantus kwadratische vergelijkingen samenstelde en oploste

1.3 Kwadratische vergelijkingen in India

1.4 Kwadratische vergelijkingen in al-Khwarizmi

1.5 Kwadratische vergelijkingen in Europa XIII - XVII eeuw

1.6 Over de stelling van Vieta

2. Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Conclusie

Literatuur

1. Geschiedenis van de ontwikkeling van kwadratische vergelijkingen

1.1 Kwadratische vergelijkingen in het oude Babylon

De noodzaak om vergelijkingen op te lossen, niet alleen van de eerste, maar ook van de tweede graad in de oudheid, werd veroorzaakt door de noodzaak om problemen op te lossen met betrekking tot het vinden van de gebieden van land en grondwerken van militaire aard, evenals de ontwikkeling van astronomie en wiskunde zelf. Kwadratische vergelijkingen waren in staat om ongeveer 2000 voor Christus op te lossen. e. Babyloniërs.

Met behulp van moderne algebraïsche notatie kunnen we zeggen dat in hun spijkerschriftteksten, naast onvolledige, dergelijke, bijvoorbeeld volledige kwadratische vergelijkingen voorkomen:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

De regel voor het oplossen van deze vergelijkingen, vermeld in de Babylonische teksten, valt in wezen samen met de moderne, maar het is niet bekend hoe de Babyloniërs tot deze regel kwamen. Bijna alle spijkerschriftteksten die tot nu toe zijn gevonden, geven alleen problemen met oplossingen in de vorm van recepten, zonder vermelding van hoe ze zijn gevonden.

Ondanks het hoge ontwikkelingsniveau van de algebra in Babylon, missen de spijkerschriftteksten het concept van een negatief getal en algemene methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

1.2 Hoe Diophantus kwadratische vergelijkingen samenstelde en oploste.

Diophantus' Arithmetic bevat geen systematische uiteenzetting van algebra, maar bevat een systematische reeks problemen, vergezeld van verklaringen en opgelost door vergelijkingen van verschillende gradaties te formuleren.

Bij het samenstellen van vergelijkingen kiest Diophantus vakkundig onbekenden om de oplossing te vereenvoudigen.

Hier is bijvoorbeeld een van zijn taken.

Taak 11."Vind twee getallen wetende dat hun som 20 is en hun product 96"

Diophantus redeneert als volgt: uit de voorwaarde van het probleem volgt dat de gewenste getallen niet gelijk zijn, want als ze gelijk waren, dan zou hun product niet gelijk zijn aan 96, maar aan 100. Dus één van hen zal meer zijn dan de helft van hun som, d.w.z. . 10+x, de andere is kleiner, d.w.z. 10. Het verschil tussen hen 2x .

Vandaar de vergelijking:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Vanaf hier x = 2. Een van de gewenste nummers is 12 , ander 8 . Beslissing x = -2 want Diophantus bestaat niet, aangezien de Griekse wiskunde alleen positieve getallen kende.

Als we dit probleem oplossen door een van de gewenste getallen als het onbekende te kiezen, komen we tot de oplossing van de vergelijking

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Het is duidelijk dat Diophantus de oplossing vereenvoudigt door het halve verschil van de gewenste getallen als het onbekende te kiezen; hij slaagt erin het probleem terug te brengen tot het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking (1).

1.3 Kwadratische vergelijkingen in India

Problemen voor kwadratische vergelijkingen zijn al gevonden in het astronomische traktaat "Aryabhattam", samengesteld in 499 door de Indiase wiskundige en astronoom Aryabhatta. Een andere Indiase wetenschapper, Brahmagupta (7e eeuw), schetste de algemene regel voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot een enkele canonieke vorm:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

In vergelijking (1) zijn de coëfficiënten, behalve a, kan ook negatief zijn. De regel van Brahmagupta valt in wezen samen met de onze.

In het oude India waren openbare wedstrijden voor het oplossen van moeilijke problemen heel gewoon. In een van de oude Indiase boeken wordt het volgende gezegd over dergelijke wedstrijden: "Zoals de zon de sterren overtreft met zijn schittering, zo zal een geleerd persoon de glorie van een ander overtreffen in openbare bijeenkomsten, waarbij hij algebraïsche problemen voorstelt en oplost." Taken waren vaak in poëtische vorm gekleed.

Hier is een van de problemen van de beroemde Indiase wiskundige van de twaalfde eeuw. Bhaskara.

Opdracht 13.

"Een speelse kudde apen En twaalf in wijnstokken ...

Na macht te hebben gegeten, plezier gehad. Ze begonnen te springen, hangend ...

Deel acht van hen in een vierkant Hoeveel apen waren er,

Lekker in de wei. Vertel je me, in deze kudde?

Bhaskara's oplossing geeft aan dat hij op de hoogte was van de tweeledigheid van de wortels van kwadratische vergelijkingen (Fig. 3).

De vergelijking die overeenkomt met probleem 13 is:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara schrijft onder het mom van:

x 2 - 64x = -768

en om de linkerkant van deze vergelijking tot een vierkant te maken, voegt hij aan beide zijden toe 32 2 , krijg dan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Kwadratische vergelijkingen in al-Khorezmi

Al-Khorezmi's algebraïsche verhandeling geeft een classificatie van lineaire en kwadratische vergelijkingen. De auteur somt 6 soorten vergelijkingen op en drukt ze als volgt uit:

1) "Vierkanten zijn gelijk aan wortels", d.w.z. bijl 2 + c = b X.

2) "Vierkanten zijn gelijk aan nummer", d.w.z. bijl 2 = s.

3) "De wortels zijn gelijk aan het getal", d.w.z. ah = s.

4) "Vierkanten en getallen zijn gelijk aan wortels", d.w.z. bijl 2 + c = b X.

5) "Vierkanten en wortels zijn gelijk aan het getal", d.w.z. ah 2+ bx = s.

6) "Wortels en getallen zijn gelijk aan vierkanten", d.w.z. bx + c \u003d bijl 2.

Voor al-Khwarizmi, die het gebruik van negatieve getallen vermeed, zijn de termen van elk van deze vergelijkingen optellingen, geen aftrekkingen. In dit geval wordt er uiteraard geen rekening gehouden met vergelijkingen die geen positieve oplossingen hebben. De auteur schetst de methoden voor het oplossen van deze vergelijkingen, met behulp van de methoden van al-jabr en al-muqabala. Zijn beslissingen vallen natuurlijk niet helemaal samen met de onze. Om nog maar te zwijgen van het feit dat het puur retorisch is, moet worden opgemerkt dat bijvoorbeeld bij het oplossen van een onvolledige kwadratische vergelijking van het eerste type

al-Khorezmi houdt, net als alle wiskundigen vóór de 17e eeuw, geen rekening met de nuloplossing, waarschijnlijk omdat het er niet toe doet in specifieke praktische problemen. Bij het oplossen van volledige kwadratische vergelijkingen, zet al-Khorezmi de regels voor het oplossen en vervolgens geometrische bewijzen uiteen, met behulp van bepaalde numerieke voorbeelden.

Opdracht 14.“Het vierkant en het getal 21 zijn gelijk aan 10 wortels. Zoek de wortel" (ervan uitgaande dat de wortel van de vergelijking x 2 + 21 = 10x).

De oplossing van de auteur gaat ongeveer als volgt: deel het aantal wortels doormidden, je krijgt 5, vermenigvuldig 5 met zichzelf, trek 21 af van het product, er blijven 4. Neem de wortel van 4, je krijgt 2. Trek 2 af van 5, je get 3, dit zal de gewenste root zijn. Of voeg 2 tot 5 toe, wat 7 geeft, dit is ook een wortel.

Verhandeling al - Khorezmi is het eerste boek dat tot ons is gekomen, waarin de classificatie van kwadratische vergelijkingen systematisch wordt vermeld en formules voor hun oplossing worden gegeven.

1.5 Kwadratische vergelijkingen in Europa XIII - XVII eeuwen

Formules voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen naar het model van al - Khorezmi in Europa werden voor het eerst uiteengezet in het "Book of the Abacus", geschreven in 1202 door de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci. Dit omvangrijke werk, dat de invloed van de wiskunde weerspiegelt, zowel de landen van de islam als het oude Griekenland, onderscheidt zich door zowel volledigheid als duidelijkheid van presentatie. De auteur ontwikkelde onafhankelijk enkele nieuwe algebraïsche voorbeelden van probleemoplossing en was de eerste in Europa die de introductie van negatieve getallen benaderde. Zijn boek droeg niet alleen bij aan de verspreiding van algebraïsche kennis in Italië, maar ook in Duitsland, Frankrijk en andere Europese landen. Veel taken uit het "Book of the Abacus" gingen over in bijna alle Europese leerboeken van de 16e - 17e eeuw. en gedeeltelijk XVIII.

De algemene regel voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot een enkele canonieke vorm:

x 2+ bx = met,

voor alle mogelijke combinaties van tekens van de coëfficiënten b , met werd pas in 1544 in Europa geformuleerd door M. Stiefel.

Vieta heeft een algemene afleiding van de formule voor het oplossen van een kwadratische vergelijking, maar Vieta herkende alleen positieve wortels. De Italiaanse wiskundigen Tartaglia, Cardano, Bombelli behoorden tot de eersten in de 16e eeuw. Houd naast positieve ook rekening met negatieve wortels. Pas in de zeventiende eeuw. Dankzij het werk van Girard, Descartes, Newton en andere wetenschappers krijgt de manier om kwadratische vergelijkingen op te lossen een modern aanzien.

1.6 Over de stelling van Vieta

De stelling die de relatie uitdrukt tussen de coëfficiënten van een kwadratische vergelijking en zijn wortels, die de naam Vieta draagt, werd door hem voor het eerst in 1591 als volgt geformuleerd: "Als B + D vermenigvuldigd met EEN - EEN 2 , is gelijk aan BD, dan EEN gelijk aan BIJ en gelijk D ».

Om Vieta te begrijpen, moet men onthouden dat MAAR, zoals elke klinker, betekende voor hem het onbekende (onze X), de klinkers BIJ, D- coëfficiënten voor het onbekende. In de taal van de moderne algebra betekent de bovenstaande formulering van Vieta: als

(een + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (een + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Door de relatie tussen de wortels en coëfficiënten van vergelijkingen uit te drukken door middel van algemene formules geschreven met symbolen, vestigde Viet uniformiteit in de methoden voor het oplossen van vergelijkingen. De symboliek van Vieta is echter nog verre van zijn moderne vorm. Hij herkende geen negatieve getallen en daarom beschouwde hij bij het oplossen van vergelijkingen alleen gevallen waarin alle wortels positief zijn.

2. Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen zijn de basis waarop het majestueuze bouwwerk van de algebra rust. Kwadratische vergelijkingen worden veel gebruikt bij het oplossen van trigonometrische, exponentiële, logaritmische, irrationele en transcendente vergelijkingen en ongelijkheden. We weten allemaal hoe we kwadratische vergelijkingen moeten oplossen vanaf school (graad 8) tot het afstuderen.

Kwadratische vergelijking - eenvoudig op te lossen! *Verder in de tekst "KU". Vrienden, het lijkt erop dat het in de wiskunde gemakkelijker kan zijn dan zo'n vergelijking op te lossen. Maar iets vertelde me dat veel mensen problemen met hem hebben. Ik besloot te kijken hoeveel vertoningen Yandex per verzoek per maand geeft. Dit is wat er is gebeurd, kijk eens:

Wat betekent het? Dit betekent dat ongeveer 70.000 mensen per maand op zoek zijn naar deze informatie, en dit is zomer, en wat er tijdens het schooljaar zal gebeuren - er zullen twee keer zoveel verzoeken zijn. Dit is niet verwonderlijk, want die jongens en meisjes die al lang van school zijn afgestudeerd en zich voorbereiden op het examen, zijn op zoek naar deze informatie, en schoolkinderen proberen ook hun geheugen op te frissen.

Ondanks het feit dat er veel sites zijn die vertellen hoe deze vergelijking op te lossen, heb ik besloten om ook een bijdrage te leveren en het materiaal te publiceren. Ten eerste wil ik dat bezoekers op dit verzoek naar mijn site komen; ten tweede, in andere artikelen, wanneer de toespraak "KU" verschijnt, zal ik een link naar dit artikel geven; ten derde zal ik u iets meer vertellen over zijn oplossing dan gewoonlijk op andere sites wordt vermeld. Laten we beginnen! De inhoud van het artikel:

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm:

waar coëfficiënten a,ben met willekeurige getallen, met a≠0.

In de schoolcursus wordt het materiaal in de volgende vorm gegeven - de verdeling van vergelijkingen in drie klassen is voorwaardelijk gedaan:

1. Heb twee wortels.

2. * Heb maar één wortel.

3. Heb geen wortels. Het is vermeldenswaard dat ze geen echte wortels hebben

Hoe worden wortels berekend? Alleen maar!

We berekenen de discriminant. Onder dit "verschrikkelijke" woord ligt een heel eenvoudige formule:

De basisformules zijn als volgt:

*Deze formules moeten uit het hoofd bekend zijn.

U kunt direct opschrijven en beslissen:

Voorbeeld:

1. Als D > 0, dan heeft de vergelijking twee wortels.

2. Als D = 0, dan heeft de vergelijking één wortel.

3. Als D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Laten we naar de vergelijking kijken:

Bij deze gelegenheid, wanneer de discriminant nul is, zegt de schoolcursus dat één wortel is verkregen, hier is deze gelijk aan negen. Dat klopt, dat is zo, maar...

Deze voorstelling is enigszins onjuist. In feite zijn er twee wortels. Ja, ja, wees niet verbaasd, het blijken twee gelijke wortels te zijn, en om wiskundig correct te zijn, moeten er twee wortels in het antwoord worden geschreven:

x 1 = 3 x 2 = 3

Maar dit is zo - een kleine uitweiding. Op school kun je opschrijven en zeggen dat er maar één wortel is.

Nu het volgende voorbeeld:

Zoals we weten, wordt de wortel van een negatief getal niet geëxtraheerd, dus er is in dit geval geen oplossing.

Dat is het hele beslissingsproces.

Kwadratische functie.

Hier ziet u hoe de oplossing er geometrisch uitziet. Dit is uiterst belangrijk om te begrijpen (in de toekomst zullen we in een van de artikelen in detail de oplossing van een kwadratische ongelijkheid analyseren).

Dit is een functie van de vorm:

waarbij x en y variabelen zijn

a, b, c zijn getallen, waarbij a ≠ 0

De grafiek is een parabool:

Dat wil zeggen, het blijkt dat door het oplossen van een kwadratische vergelijking met "y" gelijk aan nul, we de snijpunten van de parabool met de x-as vinden. Er kunnen twee van deze punten zijn (de discriminant is positief), één (de discriminant is nul) of geen (de discriminant is negatief). Meer over de kwadratische functie U kunt bekijken artikel van Inna Feldman.

Denk aan voorbeelden:

Voorbeeld 1: Beslis 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

Antwoord: x 1 = 8 x 2 = -12

* Je zou de linker- en rechterkant van de vergelijking meteen door 2 kunnen delen, dat wil zeggen, vereenvoudigen. De berekeningen zullen eenvoudiger zijn.

Voorbeeld 2: Beslissen x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

We hebben dat x 1 \u003d 11 en x 2 \u003d 11

In het antwoord is het toegestaan om x = 11 te schrijven.

Antwoord: x = 11

Voorbeeld 3: Beslissen x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

De discriminant is negatief, er is geen oplossing in reële getallen.

Antwoord: geen oplossing

De discriminant is negatief. Er is een oplossing!

Hier zullen we praten over het oplossen van de vergelijking in het geval dat een negatieve discriminant wordt verkregen. Weet jij iets van complexe getallen? Ik zal hier niet in detail treden over waarom en waar ze zijn ontstaan en wat hun specifieke rol en noodzaak in de wiskunde is, dit is een onderwerp voor een groot apart artikel.

Het concept van een complex getal.

Een beetje theorie.

Een complex getal z is een getal van de vorm

z = a + bi

waar a en b reële getallen zijn, is i de zogenaamde imaginaire eenheid.

a+bi is een ENKEL NUMMER, geen toevoeging.

De denkbeeldige eenheid is gelijk aan de wortel van min één:

Beschouw nu de vergelijking:

Neem twee geconjugeerde wortels.

Onvolledige kwadratische vergelijking.

Overweeg speciale gevallen, dit is wanneer de coëfficiënt "b" of "c" gelijk is aan nul (of beide gelijk zijn aan nul). Ze zijn eenvoudig op te lossen zonder enige discriminant.

Geval 1. Coëfficiënt b = 0.

De vergelijking heeft de vorm:

Laten we transformeren:

Voorbeeld:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Geval 2. Coëfficiënt c = 0.

De vergelijking heeft de vorm:

Transformeren, ontbinden:

*Het product is gelijk aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul.

Voorbeeld:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 of x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Geval 3. Coëfficiënten b = 0 en c = 0.

Hier is het duidelijk dat de oplossing van de vergelijking altijd x = 0 zal zijn.

Nuttige eigenschappen en patronen van coëfficiënten.

Er zijn eigenschappen die het oplossen van vergelijkingen met grote coëfficiënten mogelijk maken.

ax 2 + bx+ c=0 gelijkwaardigheid

a + b+ c = 0, dan

— als voor de coëfficiënten van de vergelijking ax 2 + bx+ c=0 gelijkwaardigheid

a+ met =b, dan

Deze eigenschappen helpen bij het oplossen van een bepaald soort vergelijking.

Voorbeeld 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

De som van de coëfficiënten is 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dus

Voorbeeld 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Gelijkwaardigheid a+ met =b, middelen

Regelmatigheden van coëfficiënten.

1. Als in de vergelijking ax 2 + bx + c \u003d 0 de coëfficiënt "b" is (a 2 +1) en de coëfficiënt "c" numeriek gelijk is aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Als in de vergelijking ax 2 - bx + c \u003d 0 de coëfficiënt "b" is (a 2 +1) en de coëfficiënt "c" numeriek gelijk is aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Als in de vergelijking ax 2 + bx - c = 0 coëfficiënt "b" is gelijk aan (een 2 – 1), en de coëfficiënt “c” numeriek gelijk aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels gelijk

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Als in de vergelijking ax 2 - bx - c \u003d 0, de coëfficiënt "b" gelijk is aan (a 2 - 1), en de coëfficiënt c numeriek gelijk is aan de coëfficiënt "a", dan zijn de wortels

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Voorbeeld. Beschouw de vergelijking 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

De stelling van Vieta.

De stelling van Vieta is vernoemd naar de beroemde Franse wiskundige Francois Vieta. Met behulp van de stelling van Vieta kan men de som en het product van de wortels van een willekeurige KU uitdrukken in termen van zijn coëfficiënten.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kortom, het getal 14 geeft alleen 5 en 9. Dit zijn de wortels. Met een bepaalde vaardigheid, met behulp van de gepresenteerde stelling, kun je veel kwadratische vergelijkingen onmiddellijk mondeling oplossen.

De stelling van Vieta bovendien. handig omdat na het oplossen van de kwadratische vergelijking op de gebruikelijke manier (via de discriminant), de resulterende wortels kunnen worden gecontroleerd. Ik raad aan om dit altijd te doen.

OVERDRACHT METHODE:

Met deze methode wordt de coëfficiënt "a" vermenigvuldigd met de vrije term, alsof hij ernaar is "overgedragen", daarom wordt het genoemd overdracht methode. Deze methode wordt gebruikt wanneer het gemakkelijk is om de wortels van een vergelijking te vinden met behulp van de stelling van Vieta en, belangrijker nog, wanneer de discriminant een exact vierkant is.

Als een a± b+c≠ 0, dan wordt de overdrachtstechniek gebruikt, bijvoorbeeld:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Volgens de stelling van Vieta in vergelijking (2) is het gemakkelijk om te bepalen dat x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De verkregen wortels van de vergelijking moeten worden gedeeld door 2 (aangezien de twee werden "gegooid" van x 2), krijgen we

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Wat is de reden? Kijk wat er gebeurt.

De discriminanten van vergelijkingen (1) en (2) zijn:

Als je naar de wortels van de vergelijkingen kijkt, krijg je alleen verschillende noemers, en het resultaat hangt precies af van de coëfficiënt bij x 2:

De tweede (gemodificeerde) wortels zijn 2 keer groter.

Daarom delen we het resultaat door 2.

*Als we three of a kind gooien, delen we het resultaat door 3, enzovoort.

Antwoord: x 1 = 5 x 2 = 0,5

vierkante meter ur-ie en het examen.

Ik zal kort iets zeggen over het belang ervan - JE MOET snel en zonder na te denken KUNNEN BESLISSEN, je moet de formules van de wortels en de discriminant uit je hoofd kennen. Veel van de taken die deel uitmaken van de USE-taken komen neer op het oplossen van een kwadratische vergelijking (inclusief geometrische).

Wat is het vermelden waard!

1. De vorm van de vergelijking kan "impliciet" zijn. De volgende invoer is bijvoorbeeld mogelijk:

15+ 9x 2 - 45x = 0 of 15x+42+9x 2 - 45x=0 of 15 -5x+10x 2 = 0.

Je moet het naar een standaardformulier brengen (om niet in de war te raken bij het oplossen).

2. Onthoud dat x een onbekende waarde is en kan worden aangegeven met elke andere letter - t, q, p, h en andere.

Sommige problemen in de wiskunde vereisen de mogelijkheid om de waarde van de vierkantswortel te berekenen. Deze problemen omvatten het oplossen van vergelijkingen van de tweede orde. In dit artikel presenteren we een effectieve methode voor het berekenen van vierkantswortels en gebruiken deze bij het werken met formules voor de wortels van een kwadratische vergelijking.

Wat is een vierkantswortel?

In de wiskunde komt dit concept overeen met het symbool √. Historische gegevens zeggen dat het voor het eerst werd gebruikt rond de eerste helft van de 16e eeuw in Duitsland (het eerste Duitse werk over algebra door Christoph Rudolf). Wetenschappers geloven dat dit symbool een getransformeerde Latijnse letter r is (radix betekent "wortel" in het Latijn).

De wortel van een willekeurig getal is gelijk aan een dergelijke waarde, waarvan het kwadraat overeenkomt met de worteluitdrukking. In de taal van de wiskunde ziet deze definitie er als volgt uit: √x = y als y 2 = x.

De wortel van een positief getal (x > 0) is ook een positief getal (y > 0), maar als je de wortel van een negatief getal (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Hier zijn twee eenvoudige voorbeelden:

√9 = 3 omdat 3 2 = 9; √(-9) = 3i aangezien i 2 = -1.

Heron's iteratieve formule voor het vinden van de waarden van de vierkantswortels

De bovenstaande voorbeelden zijn heel eenvoudig en de berekening van de wortels daarin is niet moeilijk. Er beginnen zich al moeilijkheden te voordoen bij het vinden van de wortelwaarden voor elke waarde die niet kan worden weergegeven als een kwadraat van een natuurlijk getal, bijvoorbeeld √10, √11, √12, √13, om nog maar te zwijgen van het feit dat het in de praktijk is nodig om wortels te vinden voor niet-gehele getallen: bijvoorbeeld √(12.15), √(8.5) enzovoort.

In alle bovenstaande gevallen moet een speciale methode voor het berekenen van de vierkantswortel worden gebruikt. Op dit moment zijn er verschillende van dergelijke methoden bekend: bijvoorbeeld expansie in een Taylor-reeks, deling door een kolom en enkele andere. Van alle bekende methoden is misschien wel de meest eenvoudige en effectieve het gebruik van Herons iteratieve formule, die ook bekend staat als de Babylonische methode voor het bepalen van vierkantswortels (er zijn aanwijzingen dat de oude Babyloniërs het in hun praktische berekeningen gebruikten).

Laat het nodig zijn om de waarde van √x te bepalen. De formule voor het vinden van de vierkantswortel is als volgt:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), waarbij lim n->∞ (a n) => x.

Laten we deze wiskundige notatie ontcijferen. Om √x te berekenen, moet je een getal a 0 nemen (het kan willekeurig zijn, maar om snel het resultaat te krijgen, moet je het zo kiezen dat (a 0) 2 zo dicht mogelijk bij x ligt. Vervang het dan in de gespecificeerde formule voor het berekenen van de vierkantswortel en een nieuw getal a 1 krijgen, dat al dichter bij de gewenste waarde ligt. Daarna is het noodzakelijk om een 1 in de uitdrukking te vervangen en een 2 te krijgen. Deze procedure moet worden herhaald totdat de vereiste nauwkeurigheid wordt verkregen.

Een voorbeeld van het toepassen van de iteratieve formule van Heron

Het hierboven beschreven algoritme voor het verkrijgen van de vierkantswortel van een bepaald getal klinkt voor velen misschien nogal ingewikkeld en verwarrend, maar in werkelijkheid blijkt alles veel eenvoudiger, omdat deze formule zeer snel convergeert (vooral als een goed getal een 0 wordt gekozen) .

Laten we een eenvoudig voorbeeld geven: het is noodzakelijk om √11 te berekenen. We kiezen een 0 \u003d 3, sinds 3 2 \u003d 9, wat dichter bij 11 ligt dan bij 4 2 \u003d 16. Als we de formule vervangen, krijgen we:

een 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

een 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

een 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

Het heeft geen zin om verder te rekenen, aangezien we hebben ontdekt dat een 2 en een 3 pas beginnen te verschillen in de 5e decimaal. Het was dus voldoende om de formule slechts 2 keer toe te passen om √11 te berekenen met een nauwkeurigheid van 0,0001.

Momenteel worden rekenmachines en computers veel gebruikt om de wortels te berekenen, maar het is handig om de gemarkeerde formule te onthouden om de exacte waarde handmatig te kunnen berekenen.

Tweede orde vergelijkingen

Begrijpen wat een vierkantswortel is en de mogelijkheid om deze te berekenen, wordt gebruikt bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Deze vergelijkingen zijn gelijkheden met één onbekende, waarvan de algemene vorm is weergegeven in de onderstaande figuur.

Hier zijn c, b en a enkele getallen, en a mag niet gelijk zijn aan nul, en de waarden van c en b kunnen volledig willekeurig zijn, inclusief gelijk aan nul.

Alle waarden van x die voldoen aan de in de figuur aangegeven gelijkheid, worden de wortels genoemd (dit concept moet niet worden verward met de vierkantswortel √). Aangezien de vergelijking in kwestie de 2e orde heeft (x 2), kunnen er niet meer wortels voor zijn dan twee getallen. We zullen later in het artikel bekijken hoe we deze wortels kunnen vinden.

De wortels van een kwadratische vergelijking vinden (formule)

Deze methode om het soort gelijkheden in kwestie op te lossen, wordt ook wel universeel genoemd, of de methode via de discriminant. Het kan worden toegepast op alle kwadratische vergelijkingen. De formule voor de discriminant en de wortels van de kwadratische vergelijking is als volgt:

Hieruit blijkt dat de wortels afhankelijk zijn van de waarde van elk van de drie coëfficiënten van de vergelijking. Bovendien verschilt de berekening van x 1 van de berekening van x 2 alleen door het teken voor de vierkantswortel. De radicale uitdrukking, die gelijk is aan b 2 - 4ac, is niets meer dan de discriminant van de beschouwde gelijkheid. De discriminant in de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking speelt een belangrijke rol omdat deze het aantal en het type oplossingen bepaalt. Dus als het nul is, dan is er maar één oplossing, als het positief is, dan heeft de vergelijking twee reële wortels, en ten slotte leidt een negatieve discriminant tot twee complexe wortels x 1 en x 2.

Stelling van Vieta of enkele eigenschappen van de wortels van vergelijkingen van de tweede orde

Aan het einde van de 16e eeuw was een van de grondleggers van de moderne algebra, een Fransman, die vergelijkingen van de tweede orde bestudeerde, in staat om de eigenschappen van zijn wortels te verkrijgen. Wiskundig kunnen ze als volgt worden geschreven:

x 1 + x 2 = -b / a en x 1 * x 2 = c / a.

Beide gelijkheden kunnen gemakkelijk door iedereen worden verkregen; hiervoor is het alleen nodig om de juiste wiskundige bewerkingen uit te voeren met de wortels die zijn verkregen via een formule met een discriminant.

De combinatie van deze twee uitdrukkingen kan met recht de tweede formule van de wortels van een kwadratische vergelijking worden genoemd, die het mogelijk maakt om de oplossingen te raden zonder de discriminant te gebruiken. Hier moet worden opgemerkt dat hoewel beide uitdrukkingen altijd geldig zijn, het handig is om ze alleen te gebruiken om een vergelijking op te lossen als deze kan worden ontbonden.

De taak om de opgedane kennis te consolideren

We zullen een wiskundig probleem oplossen waarin we alle technieken zullen demonstreren die in het artikel worden besproken. De voorwaarden van het probleem zijn als volgt: je moet twee getallen vinden waarvan het product -13 is, en de som is 4.

Deze voorwaarde doet onmiddellijk denken aan de stelling van Vieta, met behulp van de formules voor de som van vierkantswortels en hun product, schrijven we:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Uitgaande van a = 1, dan is b = -4 en c = -13. Met deze coëfficiënten kunnen we een vergelijking van de tweede orde opstellen:

x 2 - 4x - 13 = 0.

We gebruiken de formule met de discriminant, we krijgen de volgende wortels:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Dat wil zeggen, de taak werd teruggebracht tot het vinden van het getal √68. Merk op dat 68 = 4 * 17, dan krijgen we, met behulp van de vierkantsworteleigenschap: √68 = 2√17.

Nu gebruiken we de weloverwogen vierkantswortelformule: a 0 \u003d 4, dan:

een 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

een 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

Het is niet nodig om een 3 te berekenen omdat de gevonden waarden slechts 0,02 verschillen. Dus √68 = 8,246. Als we het in de formule voor x 1,2 substitueren, krijgen we:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 en x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

Zoals je kunt zien, is de som van de gevonden getallen in werkelijkheid gelijk aan 4, maar als je hun product vindt, dan is het gelijk aan -12.999, wat voldoet aan de voorwaarde van het probleem met een nauwkeurigheid van 0,001.