namen

Kritische punten van een functie. Hoe het maximum en minimum punten van een functie te vinden Hoe het maximum punt van de afgeleide van een functie te vinden

Een functie en de studie van zijn kenmerken beslaat een van de belangrijkste hoofdstukken in de moderne wiskunde. Het belangrijkste onderdeel van elke functie zijn grafieken die niet alleen de eigenschappen ervan weergeven, maar ook de parameters van de afgeleide van deze functie. Laten we eens kijken naar dit lastige onderwerp. Dus wat is de beste manier om de maximale en minimale punten van een functie te vinden?

Functie: Definitie

Elke variabele die op de een of andere manier afhankelijk is van de waarden van een andere grootheid, kan een functie worden genoemd. De functie f(x 2) is bijvoorbeeld kwadratisch en bepaalt de waarden voor de hele verzameling x. Laten we zeggen dat x = 9, dan is de waarde van onze functie gelijk aan 9 2 = 81.

Functies zijn er in verschillende soorten: logisch, vector, logaritmisch, trigonometrisch, numeriek en andere. Uitmuntende geesten als Lacroix, Lagrange, Leibniz en Bernoulli waren bezig met hun studie. Hun geschriften dienen als een bolwerk in moderne manieren om functies te bestuderen. Voordat u de minimumpunten vindt, is het erg belangrijk om de betekenis van de functie en zijn afgeleide te begrijpen.

Derivaat en zijn rol

Alle functies zijn afhankelijk van hun variabelen, wat betekent dat ze hun waarde op elk moment kunnen wijzigen. In de grafiek wordt dit weergegeven als een curve die daalt of stijgt langs de y-as (dit is de hele reeks "y"-getallen langs de verticaal van de grafiek). En dus is de definitie van een punt van een maximum en een minimum van functie gewoon verbonden met deze "oscillaties". Laten we uitleggen wat deze relatie is.

De afgeleide van elke functie wordt in een grafiek getekend om de belangrijkste kenmerken ervan te bestuderen en te berekenen hoe snel de functie verandert (dwz verandert de waarde afhankelijk van de variabele "x"). Op het moment dat de functie toeneemt, zal de grafiek van zijn afgeleide ook toenemen, maar op elk moment kan de functie beginnen te dalen, en dan zal de grafiek van de afgeleide afnemen. Die punten waarop de afgeleide van min naar plus gaat, worden minimumpunten genoemd. Om te weten hoe u minimumpunten kunt vinden, moet u beter begrijpen:

Hoe de afgeleide berekenen?

Definitie en functies impliceert verschillende concepten uit In het algemeen kan de definitie van de afgeleide als volgt worden uitgedrukt: dit is de waarde die de veranderingssnelheid van de functie aangeeft.

De wiskundige manier om het te definiëren lijkt voor veel studenten ingewikkeld, maar in feite is alles veel eenvoudiger. Het is alleen nodig om het standaardplan te volgen om de afgeleide van een functie te vinden. Hieronder wordt beschreven hoe u het minimumpunt van een functie kunt vinden zonder de differentiatieregels toe te passen en zonder de tabel met afgeleiden te onthouden.

Je kunt de afgeleide van een functie berekenen met behulp van een grafiek. Om dit te doen, moet je de functie zelf afbeelden, dan één punt erop nemen (punt A in de figuur), een lijn verticaal naar beneden trekken naar de as van de abscis (punt x 0), en in punt A een raaklijn aan de grafiek van de functie. De abscis en de raaklijn vormen een hoek a. Om de waarde te berekenen van hoe snel de functie toeneemt, moet je de tangens van deze hoek a berekenen.
Het blijkt dat de tangens van de hoek tussen de tangens en de richting van de x-as de afgeleide is van de functie in een klein gebied met punt A. Deze methode wordt beschouwd als een geometrische manier om de afgeleide te bepalen.

Methoden voor het onderzoeken van een functie

In het schoolcurriculum wiskunde is het mogelijk om het minimumpunt van een functie op twee manieren te vinden. We hebben de eerste methode al geanalyseerd met behulp van de grafiek, maar hoe bepaal je de numerieke waarde van de afgeleide? Om dit te doen, moet je verschillende formules leren die de eigenschappen van de afgeleide beschrijven en helpen om variabelen zoals "x" in getallen om te zetten. De volgende methode is universeel en kan dus op bijna alle soorten functies worden toegepast (zowel geometrisch als logaritmisch).

Het is noodzakelijk om de functie gelijk te stellen aan de afgeleide functie en vervolgens de uitdrukking te vereenvoudigen met behulp van de differentiatieregels.
In sommige gevallen, wanneer een functie wordt gegeven waarin de variabele "x" een deler is, is het noodzakelijk om het bereik van aanvaardbare waarden te bepalen door het punt "0" ervan uit te sluiten (om de eenvoudige reden dat in de wiskunde één kan in geen geval door nul delen).
Daarna moet de oorspronkelijke vorm van de functie worden omgezet in een eenvoudige vergelijking, waarbij de hele uitdrukking gelijk wordt gesteld aan nul. Als de functie er bijvoorbeeld zo uitzag: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, dan is volgens de differentiatieregels de afgeleide gelijk aan f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Dan transformeren we dit uitdrukking in een vergelijking van de volgende vorm: 3x 2 +1 \u003d 0 .
Nadat je de vergelijking hebt opgelost en de punten "x" hebt gevonden, moet je ze op de x-as weergeven en bepalen of de afgeleide in deze gebieden tussen de gemarkeerde punten positief of negatief is. Na de aanduiding wordt duidelijk op welk punt de functie begint af te nemen, dat wil zeggen, het verandert van teken van min naar het tegenovergestelde. Op deze manier kunt u zowel de minimum- als de maximumpunten vinden.

differentiatie regels

De meest elementaire component in de studie van een functie en zijn afgeleide is de kennis van de differentiatieregels. Alleen met hun hulp is het mogelijk om omslachtige uitdrukkingen en grote complexe functies te transformeren. Laten we er kennis mee maken, er zijn er veel, maar ze zijn allemaal heel eenvoudig vanwege de reguliere eigenschappen van zowel macht als logaritmische functies.

De afgeleide van elke constante is nul (f(x) = 0). Dat wil zeggen, de afgeleide f (x) \u003d x 5 + x - 160 zal de volgende vorm aannemen: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
De afgeleide van de som van twee termen: (f+w)" = f"w + fw".
Afgeleide van een logaritmische functie: (log a d)" = d/ln a*d. Deze formule is van toepassing op alle soorten logaritmen.
Machtsafgeleide: (x n)"= n*x n-1. Bijvoorbeeld (9x 2)" = 9*2x = 18x.
Afgeleide van de sinusoïdale functie: (sin a)" = cos a. Als de sin van hoek a 0,5 is, dan is zijn afgeleide √3/2.

extreme punten

We hebben al besproken hoe we de minimumpunten kunnen vinden, maar er is het concept van maximumpunten van een functie. Als het minimum die punten aangeeft waarop de functie van min naar plus gaat, dan zijn de maximumpunten die punten op de x-as waar de afgeleide van de functie verandert van plus naar het tegenovergestelde - minus.

Je kunt het vinden met behulp van de hierboven beschreven methode, er moet alleen rekening mee worden gehouden dat ze die gebieden aangeven waar de functie begint af te nemen, dat wil zeggen dat de afgeleide kleiner dan nul zal zijn.

In de wiskunde is het gebruikelijk om beide concepten te generaliseren en te vervangen door de uitdrukking "punten van extrema". Wanneer de taak vraagt om deze punten te bepalen, betekent dit dat het nodig is om de afgeleide van deze functie te berekenen en de minimum- en maximumpunten te vinden.

Beschouw de volgende figuur.

Het toont de grafiek van de functie y = x^3 - 3*x^2. Beschouw een interval met het punt x = 0, bijvoorbeeld van -1 tot 1. Zo'n interval wordt ook wel de buurt van het punt x = 0 genoemd. Zoals te zien is in de grafiek, is in deze buurt de functie y = x ^3 - 3*x^2 heeft de grootste waarde precies op het punt x = 0.

Maximum en minimum van een functie

In dit geval wordt het punt x = 0 het maximale punt van de functie genoemd. Analoog hieraan wordt het punt x = 2 het minimumpunt van de functie y = x^3 - 3*x^2 genoemd. Omdat er zo'n buurt is van dit punt waarin de waarde op dit punt minimaal zal zijn tussen alle andere waarden uit deze buurt.

punt maximum functie f(x) heet een punt x0, op voorwaarde dat er een buurt is van het punt x0 zodat voor alle x niet gelijk is aan x0 uit deze buurt, de ongelijkheid f(x)< f(x0).

punt minimum functie f(x) wordt een punt x0 genoemd, op voorwaarde dat er een buurt is van het punt x0 zodat voor alle x niet gelijk aan x0 van deze buurt, aan de ongelijkheid f(x) > f(x0) is voldaan.

Op de maximum- en minimumpunten van de functies is de waarde van de afgeleide van de functie gelijk aan nul. Maar dit is geen voldoende voorwaarde voor het bestaan van een functie op een maximum of minimum punt.

De functie y = x ^ 3 op het punt x = 0 heeft bijvoorbeeld een afgeleide die gelijk is aan nul. Maar het punt x = 0 is niet het minimum- of maximumpunt van de functie. Zoals u weet, neemt de functie y = x ^ 3 toe op de gehele reële as.

De minimum- en maximumpunten zullen dus altijd in de wortel van de vergelijking f'(x) = 0 liggen. Maar niet alle wortels van deze vergelijking zullen maximum- of minimumpunten zijn.

Stationaire en kritieke punten

De punten waarop de waarde van de afgeleide van een functie gelijk is aan nul worden stationaire punten genoemd. Er kunnen ook punten van maximum of minimum zijn op punten waar de afgeleide van de functie helemaal niet bestaat. Bijvoorbeeld y = |x| op het punt x = 0 heeft een minimum, maar de afgeleide bestaat op dit punt niet. Dit punt zal het kritieke punt van de functie zijn.

De kritieke punten van een functie zijn de punten waarop de afgeleide gelijk is aan nul, of de afgeleide op dit punt niet bestaat, dat wil zeggen dat de functie op dit punt niet-differentieerbaar is. Om het maximum of minimum van een functie te vinden, moet aan een voldoende voorwaarde worden voldaan.

Laat f(x) een functie zijn die differentieerbaar is op het interval (a;b). Het punt x0 hoort bij dit interval en f'(x0) = 0. Dan:

1. als, bij het passeren van het stationaire punt x0, de functie f (x) en zijn afgeleide van teken verandert, van “plus” naar “min”, dan is het punt x0 het maximale punt van de functie.

2. als bij het passeren van het stationaire punt x0 de functie f (x) en zijn afgeleide van teken verandert, van “min” naar “plus”, dan is het punt x0 het minimumpunt van de functie.

Een eenvoudig algoritme voor het vinden van extreme..

De afgeleide van een functie vinden
Stel deze afgeleide gelijk aan nul
We vinden de waarden van de variabele van de resulterende uitdrukking (de waarden van de variabele waarbij de afgeleide wordt omgezet naar nul)
We verdelen de coördinaatlijn in intervallen met deze waarden (tegelijk moeten we de breekpunten niet vergeten, die ook op de lijn moeten worden uitgezet), al deze punten worden "verdachte" punten voor het extremum genoemd
We berekenen op welke van deze intervallen de afgeleide positief en op welke negatief zal zijn. Om dit te doen, moet u de waarde van het interval in de afgeleide vervangen.

Van de punten die verdacht worden van een extremum, is het noodzakelijk om precies te vinden. Om dit te doen, kijken we naar onze gaten op de coördinatenlijn. Als bij het passeren van een bepaald punt het teken van de afgeleide verandert van plus naar min, dan wordt dit punt maximum, en als van min naar plus, dan minimum.

Om de grootste en kleinste waarde van een functie te vinden, moet je de waarde van de functie aan de uiteinden van het segment en aan de uiterste punten berekenen. Kies dan de grootste en kleinste waarde.

Overweeg een voorbeeld
We vinden de afgeleide en stellen deze gelijk aan nul:

We passen de verkregen waarden van de variabelen toe op de coördinaatlijn en berekenen het teken van de afgeleide op elk van de intervallen. Nou, bijvoorbeeld voor de eerste take-2 , dan is de afgeleide-0,24 , voor de tweede take0 , dan is de afgeleide2 , en voor de derde nemen we2 , dan is de afgeleide-0,24. We hebben de juiste borden neergezet.

We zien dat bij het passeren van punt -1 de afgeleide van teken verandert van min naar plus, dat wil zeggen dat het een minimumpunt zal zijn, en bij het passeren van 1, respectievelijk van plus naar min, is dit een maximumpunt.

Wat is een extremum van een functie en wat is de noodzakelijke voorwaarde voor een extremum?

Het extremum van een functie is het maximum en het minimum van de functie.

De noodzakelijke voorwaarde voor het maximum en minimum (extremum) van de functie is als volgt: als de functie f(x ) een extremum heeft in het punt x = a, dan is op dit punt de afgeleide nul of oneindig, of bestaat niet.

Deze voorwaarde is noodzakelijk, maar niet voldoende. De afgeleide in het punt x = a kan verdwijnen, naar oneindig gaan of niet bestaan zonder dat de functie op dit punt een extremum heeft.

Wat is de voldoende voorwaarde voor het extremum van de functie (maximum of minimum)?

Eerste voorwaarde:

F? (x ) positief is links van a en negatief rechts van a, dan is precies op het punt x = a de functie f(x ) Het heeft maximum op voorwaarde dat de functie f(x ) is hier continu.

Als in voldoende nabijheid van het punt x \u003d a, de afgeleide F? (x ) negatief is links van a en positief rechts van a, dan is precies op het punt x = a de functie f(x ) Het heeft minimum op voorwaarde dat de functie f(x ) is hier continu.

In plaats daarvan kunt u de tweede voldoende voorwaarde functie extreem:

Laat in het punt x = en de eerste afgeleide F? (x ) verdwijnt; als de tweede afgeleide F?? (a) negatief is, dan is de functie f (x) heeft in het punt x = a maximum, indien positief - minimum.

Over geval f?? (a) = 0 is te vinden in het Handbook of Higher Mathematics door M.Ya. Vygodski.

Wat is het kritieke punt van een functie en hoe vind je deze?

Dit is de waarde van het functieargument waarbij de functie een extremum heeft (d.w.z. maximum of minimum). Om het te vinden, heb je nodig vind de afgeleide functies F? (x ) en het gelijkstellen aan nul, los De vergelijking op F? (x ) = 0. De wortels van deze vergelijking, evenals die punten waarop de afgeleide van deze functie niet bestaat, zijn kritieke punten, d.w.z. de waarden van het argument waarbij er een extremum kan zijn. Ze kunnen gemakkelijk worden geïdentificeerd door te kijken naar: afgeleide grafiek: we zijn geïnteresseerd in die waarden van het argument waarbij de grafiek van de functie de abscis (Ox-as) snijdt en die waarbij de grafiek onderbreekt.

Laten we bijvoorbeeld zoeken naar extremum van de parabool.

Functie y (x) \u003d 3 x 2 + 2 x - 50.

Functie afgeleide: jij? (x) = 6x + 2

We lossen de vergelijking op: jij? (x) = 0

6x + 2 \u003d 0,6x \u003d -2, x \u003d -2/6 \u003d -1/3

In dit geval is het kritieke punt x 0 = -1/3. Voor deze waarde van het argument heeft de functie extreem. Om het te krijgen vinden, vervangen we het gevonden getal in de uitdrukking voor de functie in plaats van "x":

y 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hoe het maximum en minimum van een functie te bepalen, d.w.z. zijn grootste en kleinste waarden?

Als het teken van de afgeleide verandert van "plus" in "min" bij het passeren van het kritieke punt x 0, dan is x 0 maximum punt; als het teken van de afgeleide verandert van min naar plus, dan is x 0 minimum punt; als het teken niet verandert, dan is er op het punt x 0 noch een maximum noch een minimum.

Voor het overwogen voorbeeld:

We nemen een willekeurige waarde van het argument links van het kritieke punt: x = -1

Als x = -1, is de waarde van de afgeleide y? (-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (d.w.z. het teken is "min").

Nu nemen we een willekeurige waarde van het argument rechts van het kritieke punt: x = 1

Voor x = 1 is de waarde van de afgeleide y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d.w.z. het plusteken).

Zoals je kunt zien, veranderde de afgeleide bij het passeren van het kritieke punt van teken van min naar plus. Dit betekent dat we bij de kritische waarde van x 0 een minimumpunt hebben.

De grootste en kleinste waarde van de functie op de pauze(op het segment) worden gevonden met dezelfde procedure, alleen rekening houdend met het feit dat misschien niet alle kritieke punten binnen het gespecificeerde interval zullen liggen. Die kritische punten die buiten het interval liggen, moeten buiten beschouwing worden gelaten. Als er slechts één kritiek punt binnen het interval is, heeft dit een maximum of een minimum. In dit geval, om de grootste en kleinste waarden van de functie te bepalen, houden we ook rekening met de waarden van de functie aan het einde van het interval.

Laten we bijvoorbeeld de grootste en kleinste waarden van de functie zoeken

y (x) \u003d 3 zonde (x) - 0,5x

met tussenpozen:

een) [-9; negen]

b) [-6; -3]

Dus de afgeleide van de functie is

jij? (x) \u003d 3 cos (x) - 0,5

Vergelijking 3 . oplossen cos (x) - 0,5 \u003d 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

We vinden kritische punten op het interval [-9; negen]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2 π *2 = -11.163 (buiten bereik)

x \u003d - arccos (0.16667) - 2 π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667) - 2 π * 1 \u003d -4.88

x \u003d - arccos (0.16667) + 2 π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2 π * 0 \u003d 1.403

x \u003d - arccos (0.16667) + 2 π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2 π * 1 \u003d 7.687

x \u003d - arccos (0.16667) + 2 π *2 = 11.163 (niet inbegrepen in het assortiment)

We vinden de waarden van de functie bij kritische waarden van het argument:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0,5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Het is te zien dat op het interval [-9; 9] de functie heeft de grootste waarde bij x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

en de kleinste - bij x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Op de pauze [-6; -3] we hebben maar één kritiek punt: x = -4,88. De waarde van de functie bij x = -4,88 is y = 5,398.

We vinden de waarde van de functie aan het einde van het interval:

y (-6) = 3 cos (-6) - 0,5 = 3,838

y (-3) = 3 cos (-3) - 0,5 = 1,077

Op de pauze [-6; -3] we hebben de grootste waarde van de functie

y = 5,398 bij x = -4,88

de kleinste waarde is

y = 1,077 bij x = -3

Hoe de buigpunten van een functiegrafiek te vinden en de zijden van convexiteit en concaafheid te bepalen?

Om alle breekpunten van een lijn te vinden y=f(x ), moet je de tweede afgeleide vinden, deze gelijkstellen aan nul (de vergelijking oplossen) en al die waarden van x testen waarvoor de tweede afgeleide nul, oneindig of niet bestaat. Als bij het passeren van een van deze waarden de tweede afgeleide van teken verandert, heeft de grafiek van de functie op dit punt een verbuiging. Als het niet verandert, is er geen verbuiging.

De wortels van de vergelijking f ? (x ) = 0, evenals mogelijke discontinuïteitspunten van de functie en de tweede afgeleide, verdelen het domein van de functie in een aantal intervallen. De convexiteit op elk van hun intervallen wordt bepaald door het teken van de tweede afgeleide. Als de tweede afgeleide in een punt op het bestudeerde interval positief is, dan is de lijn y=f(x ) wordt hier door concaafheid naar boven gedraaid, en als het negatief is, dan naar beneden.

Hoe vind je extrema van een functie van twee variabelen?

De extrema van een functie vinden f (x, y ), differentieerbaar in het domein van zijn opdracht, is het noodzakelijk:

1) vind de kritische punten en los hiervoor het stelsel vergelijkingen op

fx? (x, y) \u003d 0, f y? (x, y) = 0

2) voor elk kritiek punt Р 0 ( een; B ) om te onderzoeken of het teken van het verschil ongewijzigd blijft

f (x, y) - f (a, b)

voor alle punten (x; y) voldoende dicht bij Р 0 . Als het verschil een positief teken behoudt, dan hebben we op het punt P 0 een minimum, indien negatief, dan een maximum. Als het verschil zijn teken niet behoudt, is er geen extremum op het punt Р 0.

Evenzo worden de extrema van de functie bepaald voor een groter aantal argumenten.

bronnen:

Vygodsky M.Ya. Handboek Hogere Wiskunde
Tsjernenko VD Hogere wiskunde in voorbeelden en taken. In 3 delen. Deel 1