Logaritmen met dezelfde exponenten. Natuurlijke logaritme, ln x functie

Logaritme van b (b > 0) naar grondtal a (a > 0, a ≠ 1) is de exponent waartoe je het getal a moet verhogen om b te krijgen.

De logaritme met grondtal 10 van b kan worden geschreven als log(b), en de logaritme naar het grondtal e (natuurlijke logaritme) - ln(b).

Vaak gebruikt bij het oplossen van problemen met logaritmen:

Eigenschappen van logaritmen

Er zijn vier hoofd eigenschappen van logaritmen.

Laat a > 0, a ≠ 1, x > 0 en y > 0.

Eigenschap 1. Logaritme van het product

Logaritme van het product is gelijk aan de som van logaritmen:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Eigenschap 2. Logaritme van het quotiënt

Logaritme van het quotiënt is gelijk aan het verschil van logaritmen:

log a (x / y) = log a x – log a y

Eigenschap 3. Logaritme van de graad

Graad logaritme is gelijk aan het product van de graad en de logaritme:

Als het grondtal van de logaritme in de exponent ligt, dan geldt een andere formule:

Eigenschap 4. Logaritme van de wortel

Deze eigenschap kan worden verkregen uit de eigenschap van de logaritme van de graad, aangezien de wortel van de n-de graad gelijk is aan de macht van 1/n:

De formule om van een logaritme in het ene grondtal naar een logaritme in een ander grondtal te gaan

Deze formule wordt ook vaak gebruikt bij het oplossen van verschillende taken voor logaritmen:

Speciaal geval:

Vergelijking van logaritmen (ongelijkheden)

Stel we hebben 2 functies f(x) en g(x) onder logaritmen met dezelfde grondtalen en er staat een ongelijkheidsteken tussen:

Om ze te vergelijken, moet je eerst kijken naar de basis van de logaritmen a:

Als a > 0, dan is f(x) > g(x) > 0
Als 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hoe problemen met logaritmen op te lossen: voorbeelden

Taken met logaritmen opgenomen in het GEBRUIK in wiskunde voor graad 11 in taak 5 en taak 7, je kunt taken met oplossingen vinden op onze website in de daarvoor bestemde secties. Ook zijn taken met logaritmen te vinden in de takenbank in de wiskunde. U kunt alle voorbeelden vinden door op de site te zoeken.

Wat is een logaritme

Logaritmen zijn altijd als een moeilijk onderwerp beschouwd in de wiskundecursus op school. Er zijn veel verschillende definities van de logaritme, maar om de een of andere reden gebruiken de meeste leerboeken de meest complexe en ongelukkige ervan.

We zullen de logaritme eenvoudig en duidelijk definiëren. Laten we hiervoor een tabel maken:

We hebben dus bevoegdheden van twee.

Logaritmen - eigenschappen, formules, hoe op te lossen

Als je het getal van de onderste regel neemt, kun je gemakkelijk de macht vinden waartoe je een twee moet verhogen om dit getal te krijgen. Om bijvoorbeeld 16 te krijgen, moet je twee tot de vierde macht verheffen. En om 64 te krijgen, moet je twee tot de zesde macht verheffen. Dit is te zien aan de tabel.

En nu - in feite, de definitie van de logaritme:

grondtal a van het argument x is de macht waartoe het getal a moet worden verheven om het getal x te krijgen.

Notatie: log a x \u003d b, waarbij a de basis is, x het argument, b is eigenlijk waar de logaritme gelijk aan is.

Bijvoorbeeld, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (de logaritme met grondtal 2 van 8 is drie omdat 2 3 = 8). Zou net zo goed 2 64 = 6 kunnen loggen, want 2 6 = 64.

De bewerking van het vinden van de logaritme van een getal naar een bepaald grondtal wordt genoemd. Laten we dus een nieuwe rij aan onze tabel toevoegen:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
logboek 2 2 = 1	logboek 2 4 = 2	logboek 2 8 = 3	stam 2 16 = 4	logboek 2 32 = 5	logboek 2 64 = 6

Helaas worden niet alle logaritmen zo gemakkelijk beschouwd. Probeer bijvoorbeeld log 2 5 te vinden. Het getal 5 staat niet in de tabel, maar de logica schrijft voor dat de logaritme ergens op het interval zal liggen. Omdat 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Dergelijke getallen worden irrationeel genoemd: de getallen achter de komma kunnen voor onbepaalde tijd worden geschreven en worden nooit herhaald. Als de logaritme irrationeel blijkt te zijn, kun je het beter zo laten: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Het is belangrijk om te begrijpen dat de logaritme een uitdrukking is met twee variabelen (grondtal en argument). In het begin verwarren veel mensen waar de basis is en waar het argument is. Om vervelende misverstanden te voorkomen, kijk maar eens naar de afbeelding:

Voor ons is niets meer dan de definitie van de logaritme. Onthouden: de logaritme is de macht, waarop u de basis moet verhogen om het argument te krijgen. Het is de basis die tot een macht wordt verheven - op de foto is deze rood gemarkeerd. Het blijkt dat de basis altijd onderaan is! Ik vertel deze prachtige regel aan mijn studenten tijdens de allereerste les - en er is geen verwarring.

Hoe logaritmen te tellen

We hebben de definitie bedacht - het blijft om te leren hoe logaritmen te tellen, d.w.z. verwijder het teken "log". Om te beginnen merken we op dat uit de definitie twee belangrijke feiten volgen:

Het argument en de basis moeten altijd groter zijn dan nul. Dit volgt uit de definitie van de graad door een rationale exponent, waartoe de definitie van de logaritme wordt gereduceerd.
De basis moet anders zijn dan eenheid, aangezien een eenheid voor elke macht nog steeds een eenheid is. Hierdoor is de vraag "tot welke macht moet men worden verheven om een twee te krijgen" zinloos. Zo'n diploma bestaat niet!

Dergelijke beperkingen worden genoemd Geldig bereik(ODZ). Het blijkt dat de ODZ van de logaritme er als volgt uitziet: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk op dat er geen beperkingen zijn aan het getal b (de waarde van de logaritme) wordt niet opgelegd. De logaritme kan bijvoorbeeld heel goed negatief zijn: log 2 0,5 = −1, omdat 0,5 = 2 1 .

Nu beschouwen we echter alleen numerieke uitdrukkingen, waarbij het niet vereist is om de ODZ van de logaritme te kennen. Met alle beperkingen is al rekening gehouden door de samenstellers van de problemen. Maar wanneer logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden in het spel komen, zullen de DHS-vereisten verplicht worden. Inderdaad, in de basis en argumentatie kunnen er zeer sterke constructies zijn die niet noodzakelijkerwijs overeenkomen met de bovenstaande beperkingen.

Beschouw nu het algemene schema voor het berekenen van logaritmen. Het bestaat uit drie stappen:

Druk het grondtal a en het argument x uit als een macht met het kleinst mogelijke grondtal groter dan één. Onderweg is het beter om decimale breuken kwijt te raken;
Los de vergelijking voor de variabele b op: x = a b ;
Het resulterende getal b is het antwoord.

Dat is alles! Als de logaritme irrationeel blijkt te zijn, is dit al bij de eerste stap te zien. De eis dat de basis groter is dan één is zeer relevant: dit verkleint de kans op fouten en vereenvoudigt de berekeningen aanzienlijk. Zo ook met decimale breuken: als je ze meteen naar gewone breuken converteert, zijn er vele malen minder fouten.

Laten we eens kijken hoe dit schema werkt met specifieke voorbeelden:

Een taak. Bereken de logaritme: log 5 25

Laten we de basis en het argument voorstellen als een macht van vijf: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Laten we de vergelijking maken en oplossen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Antwoord gekregen: 2.

Een taak. Bereken de logaritme:

Een taak. Bereken de logaritme: log 4 64

Laten we de basis en het argument voorstellen als een macht van twee: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Laten we de vergelijking maken en oplossen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Antwoord gekregen: 3.

Een taak. Bereken de logaritme: log 16 1

Laten we de basis en het argument voorstellen als een macht van twee: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Laten we de vergelijking maken en oplossen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Reactie ontvangen: 0.

Een taak. Bereken de logaritme: log 7 14

Laten we de basis en het argument voorstellen als een macht van zeven: 7 = 7 1 ; 14 wordt niet weergegeven als een macht van zeven, omdat 7 1< 14 < 7 2 ;
Uit de vorige paragraaf volgt dat er geen rekening wordt gehouden met de logaritme;
Het antwoord is geen verandering: log 7 14.

Een kleine opmerking bij het laatste voorbeeld. Hoe zorg je ervoor dat een getal geen exacte macht is van een ander getal? Heel eenvoudig - ontbind het gewoon in priemfactoren. Als er ten minste twee verschillende factoren in de uitbreiding zijn, is het aantal geen exacte macht.

Een taak. Zoek uit of de exacte machten van het getal zijn: 8; 48; 81; 35; veertien.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - de exacte graad, omdat er is maar één vermenigvuldiger;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 is geen exacte macht omdat er twee factoren zijn: 3 en 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - exacte graad;
35 = 7 5 - wederom geen exacte graad;
14 \u003d 7 2 - wederom geen exacte graad;

Merk ook op dat de priemgetallen zelf altijd exacte krachten van zichzelf zijn.

Decimale logaritme

Sommige logaritmen zijn zo gewoon dat ze een speciale naam en aanduiding hebben.

van het x-argument is de logaritme met grondtal 10, d.w.z. de macht waartoe 10 moet worden verheven om x te verkrijgen. Benaming: lgx.

Bijvoorbeeld log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - enz.

Wanneer vanaf nu een zin als "Find lg 0.01" in het leerboek verschijnt, weet dan dat dit geen typfout is. Dit is de decimale logaritme. Als u echter niet gewend bent aan een dergelijke aanduiding, kunt u deze altijd herschrijven:
log x = log 10 x

Alles wat voor gewone logaritmen geldt, geldt ook voor decimalen.

natuurlijke logaritme

Er is nog een logaritme dat zijn eigen notatie heeft. In zekere zin is het zelfs belangrijker dan decimaal. Dit is de natuurlijke logaritme.

van het x-argument is de logaritme van het grondtal e, d.w.z. de macht waartoe het getal e moet worden verheven om het getal x te krijgen. Benaming: lnx.

Velen zullen vragen: wat is het cijfer e? Dit is een irrationeel getal, de exacte waarde kan niet worden gevonden en opgeschreven. Dit zijn slechts de eerste cijfers:
e = 2.718281828459…

We gaan niet in op wat dit nummer is en waarom het nodig is. Onthoud dat e de basis is van de natuurlijke logaritme:
ln x = log e x

Dus ln e = 1; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - enz. Aan de andere kant is ln 2 een irrationeel getal. Over het algemeen is de natuurlijke logaritme van elk rationaal getal irrationeel. Behalve natuurlijk eenheid: ln 1 = 0.

Voor natuurlijke logaritmen zijn alle regels die gelden voor gewone logaritmen geldig.

Zie ook:

Logaritme. Eigenschappen van de logaritme (macht van de logaritme).

Hoe een getal als logaritme weer te geven?

We gebruiken de definitie van een logaritme.

De logaritme is een maat voor de macht waartoe het grondtal moet worden verheven om het getal onder het teken van de logaritme te krijgen.

Dus om een bepaald getal c als logaritme voor het grondtal a weer te geven, is het nodig om een graad onder het teken van het logaritme te zetten met hetzelfde grondtal als het grondtal van het logaritme, en dit getal c in de exponent te schrijven :

In de vorm van een logaritme kun je absoluut elk getal vertegenwoordigen - positief, negatief, geheel getal, fractioneel, rationeel, irrationeel:

Om a en c niet te verwarren in stressvolle omstandigheden van een toets of examen, kunt u de volgende regel gebruiken om te onthouden:

wat beneden is gaat naar beneden, wat boven is gaat omhoog.

U wilt bijvoorbeeld het getal 2 weergeven als een logaritme met grondtal 3.

We hebben twee getallen - 2 en 3. Deze getallen zijn het grondtal en de exponent, die we onder het teken van de logaritme zullen schrijven. Het blijft om te bepalen welke van deze getallen moet worden opgeschreven, in de basis van de graad, en welke - omhoog, in de exponent.

De basis 3 in de record van de logaritme staat onderaan, wat betekent dat wanneer we de tweeën weergeven als een logaritme naar de basis van 3, we ook 3 naar de basis zullen schrijven.

2 is hoger dan 3. En in de notatie van de graad schrijven we de twee boven de drie, dat wil zeggen in de exponent:

Logaritmen. Eerste level.

logaritmen

logaritme positief nummer B door reden een, waar a > 0, a ≠ 1, is de exponent waartoe het getal moet worden verheven. een, Verkrijgen B.

Definitie van logaritme kan in het kort als volgt worden geschreven:

Deze gelijkheid is geldig voor b > 0, a > 0, a 1. Hij wordt meestal genoemd logaritmische identiteit.
De actie van het vinden van de logaritme van een getal heet logaritme.

Eigenschappen van logaritmen:

De logaritme van het product:

Logaritme van het quotiënt uit deling:

De basis van de logaritme vervangen:

Graad logaritme:

wortel logaritme:

Logaritme met machtsbasis:

Decimale en natuurlijke logaritmen.

Decimale logaritme getallen noemen de logaritme met grondtal 10 van dat getal en schrijven lg B
natuurlijke logaritme nummers noemen de logaritme van dit nummer naar de basis e, waar e is een irrationeel getal, ongeveer gelijk aan 2,7. Tegelijkertijd schrijven ze ln B.

Andere opmerkingen over algebra en geometrie

Basiseigenschappen van logaritmen

Logaritmen, zoals elk getal, kunnen op elke mogelijke manier worden opgeteld, afgetrokken en geconverteerd. Maar aangezien logaritmen niet helemaal gewone getallen zijn, zijn er hier regels, die worden genoemd basiseigenschappen.

Deze regels moeten bekend zijn - zonder hen kan geen serieus logaritmisch probleem worden opgelost. Bovendien zijn er maar heel weinig - alles kan in één dag worden geleerd. Dus laten we beginnen.

Optellen en aftrekken van logaritmen

Beschouw twee logaritmen met hetzelfde grondtal: log a x en log a y. Dan kunnen ze worden opgeteld en afgetrokken, en:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Dus de som van de logaritmen is gelijk aan de logaritme van het product, en het verschil is de logaritme van het quotiënt. Let op: het belangrijkste punt hier is - dezelfde gronden. Als de bases anders zijn, werken deze regels niet!

Deze formules helpen bij het berekenen van de logaritmische uitdrukking, zelfs als de afzonderlijke delen niet in aanmerking worden genomen (zie de les "Wat is een logaritme"). Bekijk de voorbeelden en zie:

stam 6 4 + stam 6 9.

Omdat de basissen van logaritmen hetzelfde zijn, gebruiken we de somformule:
stam 6 4 + stam 6 9 = stam 6 (4 9) = stam 6 36 = 2.

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 2 48 − log 2 3.

De basen zijn hetzelfde, we gebruiken de verschilformule:
stam 2 48 - stam 2 3 = stam 2 (48: 3) = stam 2 16 = 4.

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 3 135 − log 3 5.

Nogmaals, de basen zijn hetzelfde, dus we hebben:
boomstam 3 135 − boomstam 3 5 = boomstam 3 (135: 5) = boomstam 3 27 = 3.

Zoals u kunt zien, bestaan de oorspronkelijke uitdrukkingen uit "slechte" logaritmen, die niet afzonderlijk worden beschouwd. Maar na transformaties blijken vrij normale cijfers. Veel tests zijn hierop gebaseerd. Ja, controle - soortgelijke uitdrukkingen in alle ernst (soms - met vrijwel geen wijzigingen) worden aangeboden op het examen.

De exponent van de logaritme verwijderen

Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken. Wat als er een graad in de basis of het argument van de logaritme staat? Dan kan de exponent van deze graad uit het teken van de logaritme worden gehaald volgens de volgende regels:

Het is gemakkelijk in te zien dat de laatste regel hun eerste twee volgt. Maar het is beter om het toch te onthouden - in sommige gevallen zal het de hoeveelheid berekeningen aanzienlijk verminderen.

Al deze regels zijn natuurlijk logisch als de ODZ-logaritme in acht wordt genomen: a > 0, a ≠ 1, x > 0. En nog iets: leer alle formules niet alleen van links naar rechts toe te passen, maar ook vice versa, d.w.z. u kunt de getallen vóór het teken van de logaritme in de logaritme zelf invoeren.

Hoe logaritmen op te lossen

Dit is wat het vaakst nodig is.

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 7 49 6 .

Laten we de graad in het argument verwijderen volgens de eerste formule:
stam 7 49 6 = 6 stam 7 49 = 6 2 = 12

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Merk op dat de noemer een logaritme is waarvan het grondtal en het argument exacte machten zijn: 16 = 2 4 ; 49 = 72. We hebben:

Ik denk dat het laatste voorbeeld verduidelijking behoeft. Waar zijn logaritmen gebleven? Tot het allerlaatste moment werken we alleen met de noemer. Ze presenteerden de basis en het argument van de logaritme die daar stond in de vorm van graden en haalden de indicatoren eruit - ze kregen een "drie verdiepingen tellende" breuk.

Laten we nu naar de hoofdbreuk kijken. De teller en noemer hebben hetzelfde nummer: log 2 7. Aangezien log 2 7 0, kunnen we de breuk verkleinen - 2/4 blijft in de noemer. Volgens de rekenregels kunnen de vier worden overgedragen naar de teller, wat is gebeurd. Het resultaat is het antwoord: 2.

Overgang naar een nieuwe stichting

Sprekend over de regels voor het optellen en aftrekken van logaritmen, heb ik specifiek benadrukt dat ze alleen met dezelfde basen werken. Wat als de basis anders is? Wat als ze geen exacte machten van hetzelfde aantal zijn?

Formules voor de overgang naar een nieuwe basis komen te hulp. We formuleren ze in de vorm van een stelling:

Laat de logaritme log a x gegeven worden. Dan is voor elk getal c zodanig dat c > 0 en c ≠ 1, de gelijkheid waar:

In het bijzonder, als we c = x zetten, krijgen we:

Uit de tweede formule volgt dat het mogelijk is om de basis en het argument van de logaritme te verwisselen, maar in dit geval wordt de hele uitdrukking "omgedraaid", d.w.z. de logaritme zit in de noemer.

Deze formules worden zelden aangetroffen in gewone numerieke uitdrukkingen. Het is alleen mogelijk om te evalueren hoe handig ze zijn bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.

Er zijn echter taken die helemaal niet kunnen worden opgelost, behalve door te verhuizen naar een nieuwe stichting. Laten we er een paar bekijken:

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 5 16 log 2 25.

Merk op dat de argumenten van beide logaritmen exacte exponenten zijn. Laten we de indicatoren verwijderen: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; logboek 2 25 = logboek 2 5 2 = 2 logboek 2 5;

Laten we nu de tweede logaritme omdraaien:

Omdat het product niet verandert door permutatie van factoren, vermenigvuldigden we kalm vier en twee en bedachten vervolgens de logaritmen.

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 9 100 lg 3.

De basis en het argument van de eerste logaritme zijn exacte machten. Laten we het opschrijven en de indicatoren verwijderen:

Laten we nu de decimale logaritme verwijderen door naar een nieuwe basis te gaan:

Basis logaritmische identiteit

Vaak is het tijdens het oplossen vereist om een getal als logaritme voor een bepaald grondtal weer te geven.

In dit geval zullen de formules ons helpen:

In het eerste geval wordt het getal n de exponent in het argument. Het getal n kan absoluut alles zijn, omdat het gewoon de waarde van de logaritme is.

De tweede formule is eigenlijk een geparafraseerde definitie. Het heet zo:

Inderdaad, wat gebeurt er als het getal b zodanig wordt verhoogd dat het getal b in deze graad het getal a geeft? Dat klopt: dit is hetzelfde nummer a. Lees deze paragraaf nog eens aandachtig - veel mensen "hangen" eraan vast.

Net als de nieuwe basisconversieformules is de logaritmische basisidentiteit soms de enige mogelijke oplossing.

Een taak. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Merk op dat log 25 64 = log 5 8 - net het vierkant uit de basis en het argument van de logaritme heeft gehaald. Gegeven de regels voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, krijgen we:

Als iemand niet op de hoogte is, was dit een echte taak van het Unified State Examination

Logaritmische eenheid en logaritmische nul

Ter afsluiting zal ik twee identiteiten geven die moeilijk eigenschappen te noemen zijn - dit zijn eerder consequenties van de definitie van de logaritme. Ze worden voortdurend aangetroffen in problemen en, verrassend genoeg, zorgen ze voor problemen, zelfs voor "gevorderde" studenten.

log a a = 1 is. Onthoud voor eens en altijd: de logaritme van elk grondtal a vanaf dit grondtal zelf is gelijk aan één.
log een 1 = 0 is. Het grondtal a kan van alles zijn, maar als het argument één is, is de logaritme nul! Omdat een 0 = 1 een direct gevolg is van de definitie.

Dat zijn alle eigenschappen. Zorg ervoor dat je ze in de praktijk brengt! Download het spiekbriefje aan het begin van de les, print het uit en los de problemen op.

We blijven logaritmen bestuderen. In dit artikel zullen we het hebben over berekening van logaritmen, dit proces heet logaritme. Eerst behandelen we de berekening van logaritmen per definitie. Overweeg vervolgens hoe de waarden van logaritmen worden gevonden met behulp van hun eigenschappen. Daarna zullen we stilstaan bij de berekening van logaritmen door de aanvankelijk gegeven waarden van andere logaritmen. Laten we tot slot leren hoe we tabellen met logaritmen kunnen gebruiken. De hele theorie is voorzien van voorbeelden met gedetailleerde oplossingen.

Paginanavigatie.

Logaritmen per definitie berekenen

In de eenvoudigste gevallen is het mogelijk om snel en gemakkelijk uit te voeren per definitie de logaritme vinden. Laten we eens nader bekijken hoe dit proces plaatsvindt.

De essentie ervan is om het getal b in de vorm a c weer te geven, vanwaar, volgens de definitie van de logaritme, het getal c de waarde van de logaritme is. Dat wil zeggen, per definitie komt het vinden van de logaritme overeen met de volgende keten van gelijkheden: log a b=log a a c =c .

Dus de berekening van de logaritme komt per definitie neer op het vinden van zo'n getal c dat a c \u003d b, en het getal c zelf is de gewenste waarde van de logaritme.

Gezien de informatie van de vorige paragrafen, wanneer het getal onder het teken van de logaritme wordt gegeven door een bepaalde graad van het grondtal van de logaritme, dan kun je meteen aangeven waar de logaritme gelijk aan is - het is gelijk aan de exponent. Laten we voorbeelden laten zien.

Voorbeeld.

Zoek log 2 2 −3 , en bereken ook de natuurlijke logaritme van e 5.3 .

Oplossing.

De definitie van de logaritme stelt ons in staat om meteen te zeggen dat log 2 2 −3 = −3 . Inderdaad, het getal onder het teken van de logaritme is gelijk aan het grondtal 2 tot de macht −3.

Op dezelfde manier vinden we de tweede logaritme: lne 5,3 = 5,3.

Antwoord:

log 2 2 −3 = −3 en lne 5.3 =5.3 .

Als het getal b onder het teken van de logaritme niet wordt gegeven als de macht van het grondtal van de logaritme, dan moet je goed overwegen of het mogelijk is om een representatie van het getal b in de vorm a c te bedenken. Vaak is deze weergave vrij duidelijk, vooral wanneer het getal onder het teken van de logaritme gelijk is aan het grondtal tot de macht 1, of 2, of 3, ...

Voorbeeld.

Bereken de logaritmen log 5 25 en .

Oplossing.

Het is gemakkelijk in te zien dat 25=5 2 , hiermee kun je de eerste logaritme berekenen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

We gaan verder met de berekening van de tweede logaritme. Een getal kan worden weergegeven als een macht van 7: (zie indien nodig). Vervolgens, .

Laten we de derde logaritme herschrijven in de volgende vorm. Nu kun je dat zien , waaruit we concluderen dat . Daarom, volgens de definitie van de logaritme .

In het kort kan de oplossing als volgt worden geschreven:

Antwoord:

logboek 5 25=2 , En .

Wanneer een voldoende groot natuurlijk getal onder het teken van de logaritme staat, kan het geen kwaad om het te ontleden in priemfactoren. Het helpt vaak om zo'n getal weer te geven als een macht van het grondtal van de logaritme, en daarom deze logaritme per definitie te berekenen.

Voorbeeld.

Zoek de waarde van de logaritme.

Oplossing.

Met sommige eigenschappen van logaritmen kunt u onmiddellijk de waarde van logaritmen specificeren. Deze eigenschappen omvatten de eigenschap van de logaritme van één en de eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal: log 1 1=log a a 0 =0 en log a a=log a a 1 =1 . Dat wil zeggen, wanneer het getal 1 of het getal a onder het teken van de logaritme staat, gelijk aan het grondtal van de logaritme, dan zijn de logaritmen in deze gevallen respectievelijk 0 en 1.

Voorbeeld.

Wat zijn de logaritmen en lg10?

Oplossing.

Aangezien , volgt uit de definitie van de logaritme .

In het tweede voorbeeld valt het getal 10 onder het teken van de logaritme samen met zijn grondtal, dus de decimale logaritme van tien is gelijk aan één, dat wil zeggen lg10=lg10 1 =1 .

Antwoord:

EN lg10=1 .

Merk op dat het berekenen van logaritmen per definitie (die we in de vorige paragraaf hebben besproken) het gebruik van de gelijkheidslog a a p =p impliceert, wat een van de eigenschappen van logaritmen is.

In de praktijk, wanneer het getal onder het teken van de logaritme en de basis van de logaritme gemakkelijk kunnen worden weergegeven als een macht van een getal, is het erg handig om de formule te gebruiken , wat overeenkomt met een van de eigenschappen van logaritmen. Overweeg een voorbeeld van het vinden van de logaritme, ter illustratie van het gebruik van deze formule.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme van .

Oplossing.

Antwoord:

De eigenschappen van logaritmen die hierboven niet zijn genoemd, worden ook gebruikt in de berekening, maar we zullen hier in de volgende paragrafen over praten.

Logaritmen vinden in termen van andere bekende logaritmen

De informatie in deze paragraaf gaat verder met het onderwerp van het gebruik van de eigenschappen van logaritmen in hun berekening. Maar hier is het belangrijkste verschil dat de eigenschappen van logaritmen worden gebruikt om de oorspronkelijke logaritme uit te drukken in termen van een andere logaritme, waarvan de waarde bekend is. Laten we een voorbeeld nemen ter verduidelijking. Laten we zeggen dat we weten dat log 2 3≈1.584963 , dan kunnen we bijvoorbeeld log 2 6 vinden door een kleine transformatie uit te voeren met behulp van de eigenschappen van de logaritme: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

In het bovenstaande voorbeeld was het voor ons voldoende om de eigenschap van de logaritme van het product te gebruiken. Veel vaker moet je echter een breder arsenaal aan eigenschappen van logaritmen gebruiken om de oorspronkelijke logaritme te berekenen in termen van de gegeven.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme van 27 tot grondtal 60 als bekend is dat log 60 2=a en log 60 5=b .

Oplossing.

Dus we moeten log 60 27 vinden. Het is gemakkelijk in te zien dat 27=3 3 , en de oorspronkelijke logaritme, vanwege de eigenschap van de logaritme van de graad, kan worden herschreven als 3·log 60 3 .

Laten we nu eens kijken hoe log 60 3 kan worden uitgedrukt in termen van bekende logaritmen. Met de eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal kun je het gelijkheidslog 60 60=1 schrijven. Aan de andere kant, log 60 60=log60(2 2 3 5)= stam 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 stam 60 2+log 60 3+log 60 5 . Op deze manier, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vervolgens, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Tenslotte berekenen we de oorspronkelijke logaritme: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Antwoord:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Afzonderlijk is het de moeite waard om de betekenis van de formule te vermelden voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme van de vorm . Hiermee kunt u van logaritmen met elk grondtal naar logaritmen met een specifiek grondtal gaan, waarvan de waarden bekend zijn of waarvan u ze kunt vinden. Meestal schakelen ze van de oorspronkelijke logaritme, volgens de overgangsformule, over naar logaritmen in een van de basen 2, e of 10, omdat er voor deze basen tabellen met logaritmen zijn waarmee hun waarden met een bepaalde mate kunnen worden berekend van nauwkeurigheid. In de volgende sectie zullen we laten zien hoe dit wordt gedaan.

Tabellen met logaritmen, hun gebruik

Voor een benaderende berekening van de waarden van de logaritmen kan men gebruik maken van logaritme tabellen. De meest gebruikte zijn de logaritmetabel met grondtal 2, de natuurlijke logaritmetabel en de decimale logaritmetabel. Wanneer u in het decimale getalsysteem werkt, is het handig om een tabel met logaritmen tot grondtal tien te gebruiken. Met zijn hulp zullen we leren de waarden van logaritmen te vinden.

De gepresenteerde tabel maakt het mogelijk om met een nauwkeurigheid van één tienduizendste de waarden van de decimale logaritmen van getallen van 1.000 tot 9.999 (met drie decimalen) te vinden. We zullen het principe van het vinden van de waarde van de logaritme analyseren met behulp van een tabel met decimale logaritmen met behulp van een specifiek voorbeeld - het is duidelijker. Laten we lg1.256 vinden.

In de linkerkolom van de tabel met decimale logaritmen vinden we de eerste twee cijfers van het getal 1.256, dat wil zeggen, we vinden 1.2 (dit getal is voor de duidelijkheid blauw omcirkeld). Het derde cijfer van het getal 1.256 (nummer 5) vind je in de eerste of laatste regel links van de dubbele regel (dit getal is rood omcirkeld). Het vierde cijfer van het oorspronkelijke getal 1.256 (nummer 6) bevindt zich in de eerste of laatste regel rechts van de dubbele regel (dit getal is groen omcirkeld). Nu vinden we de getallen in de cellen van de tabel met logaritmen op het snijpunt van de gemarkeerde rij en de gemarkeerde kolommen (deze getallen zijn oranje gemarkeerd). De som van de gemarkeerde getallen geeft de gewenste waarde van de decimale logaritme tot op de vierde decimaal, dat wil zeggen, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Is het mogelijk om met behulp van de bovenstaande tabel de waarden te vinden van de decimale logaritmen van getallen met meer dan drie cijfers achter de komma en ook verder te gaan dan de limieten van 1 tot 9,999? Ja, dat kan. Laten we laten zien hoe dit wordt gedaan met een voorbeeld.

Laten we lg102.76332 berekenen. Eerst moet je schrijven nummer in standaardvorm: 102.76332=1.0276332 10 2 . Daarna moet de mantisse naar boven worden afgerond op de derde decimaal, we hebben 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, terwijl de oorspronkelijke decimale logaritme ongeveer gelijk is aan de logaritme van het resulterende getal, dat wil zeggen, we nemen lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Pas nu de eigenschappen van de logaritme toe: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Ten slotte vinden we de waarde van de logaritme lg1.028 volgens de tabel met decimale logaritmen lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Als resultaat ziet het hele proces van het berekenen van de logaritme er als volgt uit: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Concluderend is het vermeldenswaard dat u met behulp van de tabel met decimale logaritmen de geschatte waarde van elke logaritme kunt berekenen. Om dit te doen, volstaat het om de overgangsformule te gebruiken om naar decimale logaritmen te gaan, hun waarden in de tabel te vinden en de resterende berekeningen uit te voeren.

Laten we bijvoorbeeld log 2 3 berekenen. Volgens de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme hebben we . Uit de tabel met decimale logaritmen vinden we lg3≈0.4771 en lg2≈0.3010. Op deze manier, .

Bibliografie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. en anderen.Algebra en het begin van analyse: een leerboek voor de klassen 10-11 van algemene onderwijsinstellingen.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor kandidaten voor technische scholen).

De basiseigenschappen van de natuurlijke logaritme, grafiek, definitiedomein, verzameling van waarden, basisformules, afgeleide, integraal, expansie in een machtreeks en weergave van de functie ln x door middel van complexe getallen worden gegeven.

Definitie

natuurlijke logaritme is de functie y = ln x, inverse van de exponent, x \u003d e y , en wat de logaritme is van de basis van het getal e: ln x = log e x.

De natuurlijke logaritme wordt veel gebruikt in de wiskunde omdat de afgeleide de eenvoudigste vorm heeft: (ln x)′ = 1/ x.

gebaseerd definities, de basis van de natuurlijke logaritme is het getal e:
e 2.718281828459045...;
.

Grafiek van de functie y = ln x.

Grafiek van de natuurlijke logaritme (functies y = ln x) wordt verkregen uit de grafiek van de exponent door spiegelreflectie rond de rechte lijn y = x .

De natuurlijke logaritme is gedefinieerd voor positieve waarden van x. Het neemt monotoon toe op zijn domein van definitie.

Als x → 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is min oneindig ( - ∞ ).

Als x → + ∞ is de limiet van de natuurlijke logaritme plus oneindig ( + ∞ ). Voor grote x neemt de logaritme vrij langzaam toe. Elke machtsfunctie x a met een positieve exponent a groeit sneller dan de logaritme.

Eigenschappen van de natuurlijke logaritme

Definitiedomein, waardenverzameling, extrema, toename, afname

De natuurlijke logaritme is een monotoon stijgende functie en heeft dus geen extrema. De belangrijkste eigenschappen van de natuurlijke logaritme zijn weergegeven in de tabel.

ln x-waarden

logboek 1 = 0

Basisformules voor natuurlijke logaritmen

Formules die voortkomen uit de definitie van de inverse functie:

De belangrijkste eigenschap van logaritmen en de gevolgen ervan

Basis vervangende formule

Elke logaritme kan worden uitgedrukt in natuurlijke logaritmen met behulp van de formule voor basisverandering:

De bewijzen van deze formules worden gepresenteerd in de sectie "Logaritme".

Omgekeerde functie

Het omgekeerde van de natuurlijke logaritme is de exponent.

Als dan

Als dan .

Afgeleide ln x

Afgeleide van de natuurlijke logaritme:
.
Afgeleide van de natuurlijke logaritme van de modulo x:
.
Afgeleide van de nde orde:
.
Afleiding van formules > > >

Integraal

De integraal wordt berekend door integratie in delen:
.
Dus,

Uitdrukkingen in termen van complexe getallen

Beschouw een functie van een complexe variabele z :
.
Laten we de complexe variabele uitdrukken z via module R en argument φ :
.
Met behulp van de eigenschappen van de logaritme hebben we:
.
Of
.
Het argument φ is niet uniek gedefinieerd. Als we zetten
, waarbij n een geheel getal is,
dan zal het hetzelfde getal zijn voor verschillende n.

Daarom is de natuurlijke logaritme, als functie van een complexe variabele, geen functie met één waarde.

Uitbreiding vermogensreeks

Voor , vindt de uitbreiding plaats:

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics voor ingenieurs en studenten van instellingen voor hoger onderwijs, Lan, 2009.

Logaritmische uitdrukkingen, oplossing van voorbeelden. In dit artikel gaan we in op problemen die te maken hebben met het oplossen van logaritmen. De taken roepen de vraag op om de waarde van de uitdrukking te vinden. Opgemerkt moet worden dat het concept van de logaritme in veel taken wordt gebruikt en dat het uiterst belangrijk is om de betekenis ervan te begrijpen. Wat de USE betreft, wordt de logaritme gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen, bij toegepaste problemen en ook bij taken die verband houden met de studie van functies.

Hier zijn voorbeelden om de betekenis van de logaritme te begrijpen:

Basis logaritmische identiteit:

Eigenschappen van logaritmen die u altijd moet onthouden:

*De logaritme van het product is gelijk aan de som van de logaritmen van de factoren.

* * *

* De logaritme van het quotiënt (breuk) is gelijk aan het verschil van de logaritmen van de factoren.

* * *

* De logaritme van de graad is gelijk aan het product van de exponent en de logaritme van zijn grondtal.

* * *

*Overgang naar nieuwe basis

* * *

Meer eigenschappen:

* * *

Het berekenen van logaritmen is nauw verwant aan het gebruik van de eigenschappen van exponenten.

We noemen er enkele:

De essentie van deze eigenschap is dat bij het overzetten van de teller naar de noemer en vice versa, het teken van de exponent verandert in het tegenovergestelde. Bijvoorbeeld:

Gevolg van deze eigenschap:

* * *

Bij het verheffen van een macht tot een macht blijft het grondtal hetzelfde, maar worden de exponenten vermenigvuldigd.

* * *

Zoals u kunt zien, is het concept van de logaritme eenvoudig. Het belangrijkste is dat goede oefening nodig is, wat een bepaalde vaardigheid geeft. Zeker kennis van formules is verplicht. Als de vaardigheid in het converteren van elementaire logaritmen niet is gevormd, kan men bij het oplossen van eenvoudige taken gemakkelijk een fout maken.

Oefen, los eerst de eenvoudigste voorbeelden uit de wiskundecursus op en ga dan verder met complexere. In de toekomst zal ik zeker laten zien hoe de "lelijke" logaritmen worden opgelost, die zullen er niet zijn op het examen, maar ze zijn interessant, mis het niet!

Dat is alles! Veel succes!

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh

P.S: Ik zou het op prijs stellen als u op sociale netwerken over de site vertelt.

Een van de elementen van de algebra op primitief niveau is de logaritme. De naam komt uit de Griekse taal van het woord "getal" of "graad" en betekent de mate waarin het nodig is om het getal aan de basis te verhogen om het uiteindelijke getal te vinden.

Soorten logaritmen

log a b is de logaritme van het getal b met het grondtal a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - decimale logaritme (logaritme met grondtal 10, a = 10);
ln b - natuurlijke logaritme (logaritme met grondtal e, a = e).

Hoe logaritmen op te lossen?

De logaritme van het getal b tot het grondtal a is een exponent, wat vereist dat het grondtal a wordt verheven tot het getal b. Het resultaat wordt als volgt uitgesproken: "logaritme van b tot de basis van a". De oplossing voor logaritmische problemen is dat je de gegeven graad moet bepalen door de getallen door de opgegeven getallen. Er zijn enkele basisregels voor het bepalen of oplossen van de logaritme, evenals voor het transformeren van de notatie zelf. Door ze te gebruiken, worden logaritmische vergelijkingen opgelost, afgeleiden gevonden, integralen opgelost en vele andere bewerkingen uitgevoerd. Kortom, de oplossing voor de logaritme zelf is de vereenvoudigde notatie ervan. Hieronder staan de belangrijkste formules en eigenschappen:

Voor elke een; een > 0; a 1 en voor elke x ; j > 0.

a log a b = b is de logaritmische basisidentiteit
log een 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , voor k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - formule voor de overgang naar een nieuwe basis
log a x = 1/log x a

Hoe logaritmen op te lossen - stap voor stap instructies voor het oplossen

Schrijf eerst de vereiste vergelijking op.

Let op: als de basislogaritme 10 is, wordt het record ingekort en wordt een decimale logaritme verkregen. Als er een natuurlijk getal e is, dan schrijven we op, reducerend tot een natuurlijke logaritme. Het betekent dat het resultaat van alle logaritmen de macht is waartoe het grondtal wordt verheven om het getal b te verkrijgen.

De oplossing ligt direct in de berekening van deze graad. Voordat een uitdrukking met een logaritme wordt opgelost, moet deze worden vereenvoudigd volgens de regel, dat wil zeggen met behulp van formules. U kunt de belangrijkste identiteiten vinden door een beetje terug te gaan in het artikel.

Bij het optellen en aftrekken van logaritmen met twee verschillende getallen maar met hetzelfde grondtal, vervang dan door een enkele logaritme met respectievelijk het product of de deling van de getallen b en c. In dit geval kunt u de overgangsformule toepassen op een andere basis (zie hierboven).

Als u expressies gebruikt om de logaritme te vereenvoudigen, zijn er enkele beperkingen waarmee u rekening moet houden. En dat is: het grondtal van de logaritme a is alleen een positief getal, maar niet gelijk aan één. Het getal b moet, net als a, groter zijn dan nul.

Er zijn gevallen waarin u, nadat u de uitdrukking hebt vereenvoudigd, de logaritme niet in numerieke vorm kunt berekenen. Het komt voor dat zo'n uitdrukking niet logisch is, omdat veel graden irrationele getallen zijn. Laat onder deze voorwaarde de macht van het getal als een logaritme.