Zoek de hoekpunten van een driehoek waarvan de zijden worden gegeven door de vergelijking. Hoe leer je problemen in de analytische meetkunde op te lossen? Typisch probleem met een driehoek in een vlak. Wat je moet weten en kunnen om geometrieproblemen succesvol op te lossen

Hoe leer je problemen in de analytische meetkunde op te lossen?
Typisch probleem met een driehoek in een vlak

Deze les is gemaakt over de benadering van de evenaar tussen de geometrie van het vlak en de geometrie van de ruimte. Op dit moment is het nodig om de verzamelde informatie te systematiseren en een zeer belangrijke vraag te beantwoorden: hoe leer je problemen in de analytische meetkunde op te lossen? De moeilijkheid is dat je een oneindig aantal problemen in de meetkunde kunt bedenken, en dat geen enkel leerboek de grote hoeveelheid en verscheidenheid aan voorbeelden zal bevatten. Is niet afgeleide van een functie met vijf differentiatieregels, een tabel en verschillende technieken….

Er is een oplossing! Ik zal niet luid spreken over het feit dat ik een soort grandioze techniek heb ontwikkeld, maar naar mijn mening is er een effectieve aanpak van het probleem in kwestie, waardoor zelfs een complete dummy goede en uitstekende resultaten kan behalen. Het algemene algoritme voor het oplossen van geometrische problemen kreeg in ieder geval heel duidelijk vorm in mijn hoofd.

WAT JE MOET WETEN EN KUNNEN DOEN
voor het succesvol oplossen van geometrieproblemen?

Hieraan kun je niet ontsnappen - om niet willekeurig met je neus in de knoppen te prikken, moet je de basisprincipes van analytische meetkunde beheersen. Daarom, als je net bent begonnen met het studeren van meetkunde of het helemaal bent vergeten, begin dan met de les Vectoren voor dummies. Naast vectoren en acties daarmee, moet je in het bijzonder de basisconcepten van de vlakke geometrie kennen: vergelijking van een lijn in een vlak En . De geometrie van de ruimte wordt gepresenteerd in artikelen Vliegtuigvergelijking, Vergelijkingen van een lijn in de ruimte, Basisproblemen op een rechte lijn en een vlak en enkele andere lessen. Gebogen lijnen en ruimtelijke oppervlakken van de tweede orde staan ​​enigszins uit elkaar, en er zijn niet zo veel specifieke problemen mee.

Laten we aannemen dat de student al over basiskennis en vaardigheden beschikt in het oplossen van de eenvoudigste problemen van de analytische meetkunde. Maar het gebeurt als volgt: je leest de probleemstelling, en... je wilt het hele ding helemaal afsluiten, het in de verste hoek gooien en het vergeten, als een nare droom. Bovendien hangt dit in principe niet af van het niveau van je kwalificaties; zelf kom ik af en toe taken tegen waarvan de oplossing niet voor de hand ligt. Wat te doen in dergelijke gevallen? U hoeft niet bang te zijn voor een taak die u niet begrijpt!

Ten eerste, moet worden geïnstalleerd - Is dit een “vlak” of ruimtelijk probleem? Als de voorwaarde bijvoorbeeld vectoren met twee coördinaten omvat, dan is dit uiteraard de geometrie van een vlak. En als de leraar de dankbare luisteraar een piramide heeft gegeven, dan is er duidelijk sprake van de geometrie van de ruimte. De resultaten van de eerste stap zijn al behoorlijk goed, omdat we erin zijn geslaagd een enorme hoeveelheid informatie die onnodig is voor deze taak af te snijden!

Seconde. De aandoening zal u meestal bezighouden met een geometrische figuur. Als je door de gangen van je eigen universiteit loopt, zul je veel bezorgde gezichten zien.

Bij ‘platte’ problemen, om nog maar te zwijgen van de voor de hand liggende punten en lijnen, is de meest populaire figuur een driehoek. We zullen het tot in detail analyseren. Vervolgens komt het parallellogram, en veel minder gebruikelijk zijn de rechthoek, het vierkant, de ruit, de cirkel en andere vormen.

Bij ruimtelijke problemen kunnen dezelfde platte figuren + de vlakken zelf en gewone driehoekige piramides met parallellepipedums vliegen.

Vraag twee - Weet jij alles over dit figuur? Stel dat de voorwaarde spreekt over een gelijkbenige driehoek, en je herinnert je heel vaag wat voor soort driehoek het is. We openen een schoolboek en lezen over een gelijkbenige driehoek. Wat te doen... de dokter zei een ruit, dat betekent een ruit. Analytische meetkunde is analytische meetkunde, maar het probleem zal worden opgelost door de geometrische eigenschappen van de figuren zelf, bij ons bekend uit het schoolcurriculum. Als je niet weet wat de som van de hoeken van een driehoek is, kun je daar lang last van hebben.

Derde. Probeer ALTIJD de tekening te volgen(op een concept/afwerkingskopie/mentaal), zelfs als dit niet vereist is door de voorwaarde. Bij 'platte' problemen gaf Euclides zelf de opdracht een liniaal en een potlood op te pakken - en niet alleen om de toestand te begrijpen, maar ook met het oog op zelftest. In dit geval is de handigste schaal 1 eenheid = 1 cm (2 notebookcellen). Laten we het niet hebben over zorgeloze studenten en wiskundigen die zich in hun graf omdraaien - het is bijna onmogelijk om bij dergelijke problemen een fout te maken. Voor ruimtelijke taken voeren we een schematische tekening uit, die ook zal helpen bij het analyseren van de toestand.

Met een tekening of schematische tekening kun je vaak meteen zien hoe je een probleem kunt oplossen. Hiervoor moet je natuurlijk de basis van de geometrie kennen en de eigenschappen van geometrische vormen begrijpen (zie de vorige paragraaf).

Vierde. Ontwikkeling van een oplossingsalgoritme. Veel geometrieproblemen bestaan ​​uit meerdere stappen, dus de oplossing en het ontwerp ervan zijn erg handig om in punten op te splitsen. Vaak denk je meteen aan het algoritme nadat je de voorwaarde hebt gelezen of de tekening hebt voltooid. Bij moeilijkheden beginnen we met de VRAAG van de taak. Bijvoorbeeld, volgens de voorwaarde "je moet een rechte lijn construeren...". Hier is de meest logische vraag: “Wat is genoeg om te weten om deze rechte lijn te construeren?” Stel: "we kennen het punt, we moeten de richtingsvector kennen." We stellen de volgende vraag: “Hoe vind je deze richtingsvector? Waar?" enz.

Soms is er een "bug" - het probleem is niet opgelost en dat is alles. De redenen voor de stop kunnen de volgende zijn:

– Ernstige leemte in de basiskennis. Met andere woorden, je weet en/of ziet iets heel eenvoudigs niet.

– Onwetendheid over de eigenschappen van geometrische figuren.

- De taak was moeilijk. Ja, het gebeurt. Het heeft geen zin om urenlang te stomen en de tranen in een zakdoek te verzamelen. Vraag advies aan je docent of medestudenten, of stel een vraag op het forum. Bovendien is het beter om zijn verklaring concreet te maken - over dat deel van de oplossing dat u niet begrijpt. Een kreet in de vorm van “Hoe het probleem op te lossen?” ziet er niet zo goed uit... en vooral voor je eigen reputatie.

Fase vijf. We beslissen-controleren, beslissen-controleren, beslissen-controleren-geven een antwoord. Het is nuttig om elk punt van de taak te controleren onmiddellijk nadat het is voltooid. Hierdoor kunt u de fout onmiddellijk opsporen. Natuurlijk verbiedt niemand om het hele probleem snel op te lossen, maar het risico bestaat dat alles opnieuw wordt geschreven (vaak meerdere pagina's).

Dit zijn misschien wel de belangrijkste overwegingen die moeten worden gevolgd bij het oplossen van problemen.

Het praktische deel van de les wordt gepresenteerd in vlakke geometrie. Er zullen slechts twee voorbeelden zijn, maar het lijkt niet genoeg =)

Laten we de draad van het algoritme doornemen waar ik zojuist naar heb gekeken in mijn kleine wetenschappelijke werk:

voorbeeld 1

Er zijn drie hoekpunten van een parallellogram gegeven. Vind de bovenkant.

Laten we beginnen te begrijpen:

Stap een: Het is duidelijk dat we het over een “plat” probleem hebben.

Stap twee: Het probleem heeft betrekking op een parallellogram. Herinnert iedereen zich deze parallellogramfiguur? Er is geen reden om te glimlachen, veel mensen ontvangen hun opleiding op de leeftijd van 30-40-50 jaar of ouder, dus zelfs simpele feiten kunnen uit het geheugen worden gewist. De definitie van een parallellogram vindt u in voorbeeld nr. 3 van de les Lineaire (niet) afhankelijkheid van vectoren. Basis van vectoren.

Stap drie: Laten we een tekening maken waarop we drie bekende hoekpunten markeren. Het is grappig dat het niet moeilijk is om meteen het gewenste punt te construeren:

Het construeren ervan is uiteraard goed, maar de oplossing moet analytisch geformuleerd worden.

Stap vier: Ontwikkeling van een oplossingsalgoritme. Het eerste dat in je opkomt is dat een punt kan worden gevonden als het snijpunt van lijnen. We kennen hun vergelijkingen niet, dus we zullen met dit probleem te maken krijgen:

1) Overstaande zijden zijn evenwijdig. Op punten Laten we de richtingsvector van deze zijden vinden. Dit is het eenvoudigste probleem dat in de klas is besproken. Vectoren voor dummies.

Opmerking: het is juister om te zeggen ‘de vergelijking van een lijn die een zijde bevat’, maar hier en verder zal ik kortheidshalve de uitdrukkingen ‘vergelijking van een zijde’, ‘richtingsvector van een zijde’, enz. gebruiken.

3) Overstaande zijden zijn evenwijdig. Met behulp van de punten vinden we de richtingsvector van deze zijden.

4) Laten we een vergelijking maken van een rechte lijn met behulp van een punt- en een richtingsvector

In de paragrafen 1-2 en 3-4 hebben we hetzelfde probleem feitelijk twee keer opgelost; het werd besproken in voorbeeld nr. 3 van de les De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak. Het was mogelijk om een ​​langere route te nemen - zoek eerst de vergelijkingen van de lijnen en trek er pas daarna de richtingsvectoren uit.

5) Nu zijn de vergelijkingen van de lijnen bekend. Het enige dat overblijft is het samenstellen en oplossen van het overeenkomstige systeem van lineaire vergelijkingen (zie voorbeelden nr. 4, 5 van dezelfde les De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak).

Het punt is gevonden.

De taak is vrij eenvoudig en de oplossing ligt voor de hand, maar er is een kortere manier!

Tweede oplossing:

De diagonalen van een parallellogram worden doorsneden door hun snijpunt. Ik heb het punt gemarkeerd, maar om de tekening niet rommelig te maken, heb ik de diagonalen zelf niet getekend.

Laten we de vergelijking van de zijde punt voor punt opstellen:

Om dit te controleren, moet u mentaal of op basis van een schets de coördinaten van elk punt in de resulterende vergelijking vervangen. Laten we nu de helling vinden. Om dit te doen, herschrijven we de algemene vergelijking in de vorm van een vergelijking met een hellingscoëfficiënt:

De helling is dus:

Op dezelfde manier vinden we de vergelijkingen van de zijden. Ik zie niet veel nut in het beschrijven van hetzelfde, dus ik zal onmiddellijk het eindresultaat geven:

2) Zoek de lengte van de zijkant. Dit is het eenvoudigste probleem dat in de les wordt behandeld. Vectoren voor dummies. Voor punten wij gebruiken de formule:

Met dezelfde formule is het gemakkelijk om de lengtes van andere zijden te vinden. De controle kan heel snel worden uitgevoerd met een gewone liniaal.

Wij gebruiken de formule .

Laten we de vectoren vinden:

Dus:

Trouwens, onderweg vonden we de lengtes van de zijkanten.

Als gevolg:

Nou, het lijkt waar; het is overtuigend, je kunt een gradenboog aan de hoek bevestigen.

Aandacht! Verwar de hoek van een driehoek niet met de hoek tussen rechte lijnen. De hoek van een driehoek kan stomp zijn, maar de hoek tussen rechte lijnen niet (zie de laatste paragraaf van het artikel De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak). Om de hoek van een driehoek te vinden kun je echter ook de formules uit de bovenstaande les gebruiken, maar het ruwe is dat die formules altijd een scherpe hoek geven. Met hun hulp heb ik dit probleem in concept opgelost en het resultaat gekregen. En op het uiteindelijke exemplaar zou ik aanvullende excuses moeten opschrijven, dat .

4) Schrijf een vergelijking voor een lijn die door een punt evenwijdig aan de lijn gaat.

Standaardtaak, in detail besproken in voorbeeld nr. 2 van de les De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak. Uit de algemene vergelijking van de lijn Laten we de gidsvector eruit halen. Laten we een vergelijking maken van een rechte lijn met behulp van een punt- en een richtingsvector:

Hoe vind je de hoogte van een driehoek?

5) Laten we een vergelijking maken voor de hoogte en de lengte ervan bepalen.

Er is geen ontkomen aan strikte definities, dus je zult uit een schoolboek moeten stelen:

Driehoek hoogte wordt de loodlijn genoemd die wordt getrokken vanaf de top van de driehoek naar de lijn die de tegenoverliggende zijde bevat.

Dat wil zeggen, het is noodzakelijk om een ​​vergelijking te maken voor een loodlijn getrokken van het hoekpunt naar de zijkant. Deze taak wordt besproken in voorbeelden nr. 6, 7 van de les De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak. Van vgl. verwijder de normaalvector. Laten we de hoogtevergelijking samenstellen met behulp van een punt- en een richtingsvector:

Houd er rekening mee dat we de coördinaten van het punt niet kennen.

Soms wordt de hoogtevergelijking gevonden uit de verhouding van de hoekcoëfficiënten van loodrechte lijnen: . In dit geval dan: . Laten we de hoogtevergelijking samenstellen met behulp van een punt en een hoekcoëfficiënt (zie het begin van de les Vergelijking van een rechte lijn in een vlak):

De hoogte lengte kan op twee manieren gevonden worden.

Er is een omweg:

a) zoek – het snijpunt van hoogte en zijkant;
b) vind de lengte van het segment met behulp van twee bekende punten.

Maar in de klas De eenvoudigste problemen met een rechte lijn in een vlak Er werd nagedacht over een handige formule voor de afstand van een punt tot een lijn. Het punt is bekend: , de vergelijking van de lijn is ook bekend: , Dus:

6) Bereken de oppervlakte van de driehoek. In de ruimte wordt traditioneel de oppervlakte van een driehoek berekend met behulp van vectorproduct van vectoren, maar hier krijgen we een driehoek in een vlak. Wij hanteren de schoolformule:
– De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de helft van het product van zijn basis en zijn hoogte.

In dit geval:

Hoe vind je de mediaan van een driehoek?

7) Laten we een vergelijking maken voor de mediaan.

Mediaan van een driehoek een segment genoemd dat het hoekpunt van een driehoek verbindt met het midden van de tegenoverliggende zijde.

a) Zoek het punt - het midden van de zijkant. We gebruiken formules voor de coördinaten van het middelpunt van een segment. De coördinaten van de uiteinden van het segment zijn bekend: , dan de coördinaten van het midden:

Dus:

Laten we de mediaanvergelijking punt voor punt samenstellen :

Om de vergelijking te controleren, moet u de coördinaten van de punten erin vervangen.

8) Zoek het snijpunt van de hoogte en de mediaan. Ik denk dat iedereen al heeft geleerd hoe je dit element van kunstschaatsen kunt uitvoeren zonder te vallen:

HoofdstukV. ANALYTISCHE GEOMETRIE OP HET VLIEGTUIG

EN IN DE RUIMTE

De sectie bevat taken die worden besproken in het onderwerp "Analytische meetkunde in het vlak en in de ruimte": het opstellen van verschillende vergelijkingen van rechte lijnen in het vlak en in de ruimte; het bepalen van de relatieve positie van lijnen op een vlak, rechte lijnen, een rechte lijn en een vlak, vlakken in de ruimte; afbeelding van curven van de tweede orde. Opgemerkt moet worden dat dit gedeelte problemen van economische inhoud presenteert, waarvan de oplossing gebruik maakt van informatie uit de analytische meetkunde op een vlak.

Bij het oplossen van problemen van analytische meetkunde is het raadzaam om leerboeken van de volgende auteurs te gebruiken: D.V. Kletenika, N. Sh Kremer, D.T. Geschreven door V.I. Malychina, omdat Deze literatuur omvat een breder scala aan taken die kunnen worden gebruikt voor zelfstudie over dit onderwerp. De toepassing van analytische meetkunde bij het oplossen van economische problemen wordt gepresenteerd in educatieve publicaties van M.S. Krass en V.I. Ermakova.

Probleem 5.1. Gegeven de coördinaten van de hoekpunten van de driehoekabc . Nodig

a) schrijf de vergelijkingen van de zijden van de driehoek;

b) schrijf de vergelijking van de hoogte van een driehoek, getrokken vanaf het hoekpuntMET naar de zijkantAB en vind de lengte ervan;

c) schrijf de vergelijking van de mediaan van een driehoek, getrokken vanaf het hoekpuntIN naar de zijkantAC ;

d) vind de hoeken van de driehoek en bepaal het type (rechthoekig, scherp, stomp);

e) vind de lengtes van de zijden van de driehoek en bepaal het type (schubben, gelijkbenig, gelijkzijdig);

e) zoek de coördinaten van het zwaartepunt (het snijpunt van de medianen) van de driehoekabc ;

g) zoek de coördinaten van het orthocentrum (het snijpunt van de hoogten) van de driehoekabc .

Maak voor elk van de punten a) – c) van de oplossing tekeningen in een coördinatensysteem. Markeer op de afbeeldingen de lijnen en punten die overeenkomen met de punten van de taak.

Voorbeeld 5.1

Gegeven de coördinaten van de hoekpunten van de driehoekabc : . Het is noodzakelijk om a) de vergelijkingen van de zijden van de driehoek te schrijven; b) schrijf de vergelijking van de hoogte van een driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt MET naar de zijkantAB en vind de lengte ervan; c) schrijf de vergelijking van de mediaan van een driehoek, getrokken vanaf het hoekpuntIN naar de zijkantAC ; d) vind de lengtes van de zijden van de driehoek en bepaal het type (schubben, gelijkbenig, gelijkzijdig); e) vind de hoeken van de driehoek en bepaal het type (rechthoekig, scherp, stomp); e) zoek de coördinaten van het zwaartepunt (het snijpunt van de medianen) van de driehoek abc ; g) zoek de coördinaten van het orthocentrum (het snijpunt van de hoogten) van de driehoekabc .

Oplossing

A) Voor elke zijde van de driehoek zijn de coördinaten bekend van twee punten die op de vereiste lijnen liggen, wat betekent dat de vergelijkingen van de zijden van de driehoek de vergelijkingen zijn van lijnen die door twee gegeven punten gaan

,

Waar
En
de overeenkomstige coördinaten van de punten.

Door dus de coördinaten van de punten die overeenkomen met de rechte lijnen in formule (5.1) te plaatsen, verkrijgen we

,
,
,

van waaruit we, na transformaties, de vergelijkingen van de zijden opschrijven

In afb. 7 geven we de overeenkomstige zijden van de driehoek weer
direct.

Antwoord:

B) Laten
– hoogte getrokken vanaf het hoekpunt naar de zijkant
. Omdat de
gaat door een punt loodrecht op de vector
, dan zullen we de vergelijking van de rechte lijn samenstellen met behulp van de volgende formule

Waar
– coördinaten van de vector loodrecht op de gewenste lijn,
– coördinaten van een punt dat bij deze lijn hoort. Zoek de coördinaten van de vector loodrecht op de lijn
, en vervang het in formule (5.2)

,
,

.

Zoek de lengte van de hoogte CH als afstand vanaf het punt naar een rechte lijn

,

Waar
– vergelijking van een rechte lijn
,
– puntcoördinaten .

In de vorige paragraaf werd het gevonden

Door de gegevens in formule (5.3) te vervangen, verkrijgen we

,

In afb. 8 teken een driehoek en de gevonden hoogte CH.

Antwoord: .

R is.

8 V)
mediaan
driehoek
verdeelt de zijkant in twee gelijke delen, d.w.z. punt
is het middelpunt van het segment
. Op basis hiervan kun je de coördinaten vinden

, ,

Waar
En
En punten

;
.

, door dit te vervangen door formules (5.4), verkrijgen we
mediaan
Mediane vergelijking
En
Laten we het schrijven als een vergelijking van een lijn die door de punten gaat

,

.

Antwoord: volgens formule (5.1)

R (Afb. 9).

is. 9

,
,
.

G)
En
mediaan
We vinden de lengtes van de zijden van de driehoek als de lengtes van de overeenkomstige vectoren, d.w.z.
.

Antwoord: Partijen
gelijkbenig met basis
;

,
.

D) Hoeken van een driehoek
laten we de hoeken vinden tussen de vectoren die afkomstig zijn van de overeenkomstige hoekpunten van een gegeven driehoek, d.w.z.

,
,
.

Omdat de driehoek gelijkbenig is met een basis
, Dat

,

We berekenen de hoeken tussen de vectoren met behulp van formule (4.4), waarvoor scalaire producten van vectoren nodig zijn
,
.

Laten we de coördinaten en grootten vinden van de vectoren die nodig zijn om de hoeken te berekenen

,
;

,
,
.

Door de gevonden gegevens in formule (4.4) te vervangen, verkrijgen we

,

Omdat de cosinus van alle gevonden hoeken positief is, geldt de driehoek
is scherphoekig.

Antwoord: Partijen
scherphoekig;

,
,
.

e) Laten

en vervolgens de coördinaten
. Op basis hiervan kun je de coördinaten vinden
kan worden gevonden met behulp van formules (5.5)

, ,

Waar
,
En
– coördinaten van respectievelijk de punten , En , vandaar,

,
.

Antwoord:
– zwaartepunt van de driehoek
.

En) Laten – orthocentrum van de driehoek
. Zoek de coördinaten van het punt als de coördinaten van het snijpunt van de hoogten van de driehoek. Hoogtevergelijking
werd gevonden bij B). Laten we de hoogtevergelijking vinden
:

,
,

.

Omdat de
, dan de oplossing van het systeem

zijn de coördinaten van het punt , waar wij vinden
.

Antwoord:
– orthocentrum van de driehoek
.

Probleem 5.2. Vaste kosten bij een onderneming bij het produceren van sommige producten zijn dat welF V 0 wrijven. per productie-eenheid, met een omzet vanR 0 wrijven. per eenheid vervaardigd product. Creëer een winstfunctieP (Q ) (Q

Gegevens voor de probleemtoestand die overeenkomt met de opties:

Voorbeeld 5.2

Vaste kosten bij een onderneming bij het produceren van sommige producten zijn dat wel
wrijven. per maand, variabele kosten –
wrijven. per productie-eenheid, met een omzet van
wrijven. per eenheid vervaardigd product. Creëer een winstfunctieP (Q ) (Q – hoeveelheid geproduceerde producten); bouw de grafiek en bepaal het break-evenpunt.

Oplossing

Laten we de totale productiekosten bij vrijgave berekenen Q eenheden van sommige producten

Indien verkocht Q productie-eenheden, dan zal het totale inkomen zijn

Op basis van de verkregen functies van totale inkomsten en totale kosten vinden we de winstfunctie

,

.

Break-evenpunt – het punt waarop de winst nul is, of het punt waarop de totale kosten gelijk zijn aan de totale opbrengsten

,

,

waar vinden we het vandaan?

- gelijkspel.

Om een ​​grafiek (Fig. 10) van de winstfunctie te plotten, zullen we nog een punt vinden

Antwoord: winst functie
, gelijkspel
.

Probleem 5.3. De wetten van vraag en aanbod naar een bepaald product worden respectievelijk bepaald door de vergelijkingenP = P D (Q ), P = P S (Q ), WaarP – prijs van het product,Q - hoeveelheid goederen. Er wordt aangenomen dat de vraag alleen wordt bepaald door de prijs van het product op de marktP MET , en het aanbod is alleen op prijsP S ontvangen door leveranciers. Nodig

a) het marktevenwichtspunt bepalen;

b) het evenwichtspunt na de introductie van een belasting gelijk aanT . Bepaal de prijsstijging en de daling van het evenwichtsverkoopvolume;

c) een subsidie ​​vindenS , wat zal leiden tot een omzetstijging vanQ 0 eenheden ten opzichte van het origineel (gedefinieerd in paragraaf a));

d) een nieuw evenwichtspunt en een nieuw overheidsinkomen vinden bij de invoering van een belasting die evenredig is aan de prijs en gelijk isN %;

e) bepalen hoeveel geld de overheid zal uitgeven aan het opkopen van het overschot bij het vaststellen van een minimumprijs gelijk aan P 0 .

Maak voor elk oplossingspunt een tekening in het coördinatensysteem. Markeer in de figuur de lijnen en punten die overeenkomen met het taakpunt.

Gegevens voor de probleemtoestand die overeenkomt met de opties:

In de meetkunde wordt vaak gedacht aan het concept van “hoekpunt van een driehoek”. Dit is het snijpunt van twee zijden van een gegeven figuur. Dit concept komt in bijna elk probleem voor, dus het is zinvol om er meer in detail over na te denken.

Het bepalen van het hoekpunt van een driehoek

In een driehoek zijn er drie punten waar de zijden elkaar snijden, waardoor er drie hoeken ontstaan. Ze worden hoekpunten genoemd, en de zijden waarop ze rusten worden zijden van de driehoek genoemd.

Rijst. 1. Hoekpunt in een driehoek.

De hoekpunten in driehoeken worden aangegeven in hoofdletters. Daarom worden zijden in de wiskunde meestal aangegeven met twee Latijnse hoofdletters, achter de namen van de hoekpunten die de zijkanten binnenkomen. Zijde AB is bijvoorbeeld de zijde van een driehoek die de hoekpunten A en B verbindt.

Rijst. 2. Aanduiding van hoekpunten in een driehoek.

Kenmerken van het concept

Als we een driehoek nemen die willekeurig in een vlak is georiënteerd, dan is het in de praktijk erg handig om de geometrische kenmerken ervan uit te drukken via de coördinaten van de hoekpunten van deze figuur. Zo kan hoekpunt A van een driehoek worden uitgedrukt als een punt met bepaalde numerieke parameters A(x; y).

Als u de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek kent, kunt u de snijpunten van de medianen vinden, de lengte van de hoogte verlaagd naar een van de zijden van de figuur en het gebied van de driehoek.

Om dit te doen, worden de eigenschappen van vectoren gebruikt die zijn weergegeven in het cartesiaanse coördinatensysteem, omdat de lengte van de zijde van een driehoek wordt bepaald door de lengte van de vector met de punten waarop de overeenkomstige hoekpunten van deze figuur zich bevinden.

Gebruik het hoekpunt van een driehoek

Voor elk hoekpunt van een driehoek kun je een hoek vinden die grenst aan de interne hoek van de figuur in kwestie. Om dit te doen, moet je een van de zijden van de driehoek verlengen. Omdat er bij elk hoekpunt twee zijden zijn, zijn er bij elk hoekpunt ook twee uitwendige hoeken. Een buitenhoek is gelijk aan de som van twee binnenhoeken van een driehoek die er niet aan grenzen.

Rijst. 3. Eigenschap van de uitwendige hoek van een driehoek.

Als je twee externe hoeken op één hoekpunt construeert, zullen ze gelijk zijn, net als verticale hoeken.

Wat hebben we geleerd?

Een van de belangrijke geometrische concepten bij het kijken naar verschillende soorten driehoeken is het hoekpunt. Dit is het punt waar de twee zijden van de hoek van een bepaalde geometrische figuur elkaar snijden. Het wordt aangegeven met een van de hoofdletters van het Latijnse alfabet. Het hoekpunt van een driehoek kan worden uitgedrukt in termen van x- en y-coördinaten, dit helpt bij het definiëren van de zijdelengte van de driehoek als de lengte van een vector.

Test over het onderwerp

Artikelbeoordeling

Gemiddelde score: 4.2. Totaal ontvangen beoordelingen: 153.