voorwaarden 

Cirkelgebied online rekenmachine in vierkante meters. Cirkelgebied: formule. Wat is de oppervlakte van een cirkel omgeschreven en ingeschreven in een vierkant, een rechthoekige en gelijkbenige driehoek, een rechthoekige, gelijkbenige trapezium

Hoe de oppervlakte van een cirkel te vinden? Zoek eerst de straal. Leer eenvoudige en complexe problemen op te lossen.

Een cirkel is een gesloten kromme. Elk punt op de cirkellijn ligt op dezelfde afstand van het middelpunt. Een cirkel is een platte figuur, dus het oplossen van problemen met het vinden van het gebied is eenvoudig. In dit artikel zullen we bekijken hoe we het gebied van een cirkel kunnen vinden die is ingeschreven in een driehoek, trapeziumvormig, vierkant en beschreven rond deze figuren.

Om de oppervlakte van een bepaalde figuur te vinden, moet je weten wat de straal, diameter en het getal π zijn.

Straal R is de afstand begrensd door het middelpunt van de cirkel. De lengtes van alle R-stralen van één cirkel zijn gelijk.

Diameter D is een lijn tussen twee willekeurige punten op een cirkel die door het middelpunt gaat. De lengte van dit segment is gelijk aan de lengte van de R-straal maal 2.

Nummer is een constante waarde, die gelijk is aan 3,1415926. In de wiskunde wordt dit getal meestal naar boven afgerond op 3,14.

De formule voor het vinden van het gebied van een cirkel met behulp van de straal:



Voorbeelden van het oplossen van taken voor het vinden van het S-gebied van een cirkel door de R-straal:

Een taak: Zoek de oppervlakte van een cirkel als de straal 7 cm is.

Oplossing: S=πR², S=3.14*7², S=3.14*49=153.86 cm².

Antwoorden: De oppervlakte van de cirkel is 153,86 cm².

De formule voor het vinden van het S-oppervlak van een cirkel in termen van de D-diameter is:

Voorbeelden van het oplossen van taken voor het vinden van S, als D bekend is:

————————————————————————————————————————-

Een taak: Zoek de S van de cirkel als de D 10 cm is.

Oplossing: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 cm².

Antwoorden: De oppervlakte van een plat rond figuur is 78,5 cm².

De S-cirkel vinden als de omtrek bekend is:

Zoek eerst wat de straal is. De omtrek wordt berekend met de formule: L=2πR, respectievelijk, de straal R is gelijk aan L/2π. Nu vinden we het gebied van de cirkel met behulp van de formule door R.

Overweeg de oplossing aan de hand van het voorbeeld van het probleem:

———————————————————————————————————————-

Een taak: Zoek het gebied van een cirkel als de omtrek L bekend is - 12 cm.

Oplossing: Eerst vinden we de straal: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Nu vinden we de oppervlakte door de straal: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 cm².

Antwoorden: De oppervlakte van een cirkel is 11,46 cm².



Het vinden van het gebied van een cirkel die is ingeschreven in een vierkant is eenvoudig. De zijde van het vierkant is de diameter van de cirkel. Om de straal te vinden, moet je de zijde door 2 delen.

De formule voor het vinden van de oppervlakte van een cirkel ingeschreven in een vierkant is:

Voorbeelden van het oplossen van problemen bij het vinden van het gebied van een cirkel die is ingeschreven in een vierkant:

———————————————————————————————————————

Taak 1: Van een vierkante figuur is de zijde bekend, die gelijk is aan 6 centimeter. Zoek het S-gebied van de ingeschreven cirkel.

Oplossing: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 cm².

Antwoorden: De oppervlakte van een plat rond figuur is 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Taak #2: Vind S van een cirkel ingeschreven in een vierkante figuur en zijn straal als één zijde a=4 cm is.

Beslis zo: Zoek eerst R=a/2=4/2=2 cm.

Laten we nu de oppervlakte van de cirkel S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm² vinden.

Antwoorden: De oppervlakte van een plat rond figuur is 12,56 cm².



Het is iets moeilijker om de oppervlakte van een ronde figuur te vinden die wordt omschreven door een vierkant. Maar als u de formule kent, kunt u deze waarde snel berekenen.

De formule voor het vinden van S van een cirkel beschreven rond een vierkante figuur:

Voorbeelden van het oplossen van taken voor het vinden van het gebied van een cirkel beschreven in de buurt van een vierkante figuur:

Een taak





Een cirkel die is ingeschreven in een driehoekige figuur is een cirkel die alle drie zijden van de driehoek raakt. Een cirkel kan in elke driehoekige figuur worden ingeschreven, maar slechts één. Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de bissectrices van de hoeken van de driehoek.

De formule voor het vinden van het gebied van een cirkel ingeschreven in een gelijkbenige driehoek is:



Als de straal bekend is, kan de oppervlakte worden berekend met de formule: S=πR².

De formule voor het vinden van het gebied van een cirkel ingeschreven in een rechthoekige driehoek is:



Voorbeelden van het oplossen van taken:

Taak 1



Als je in dit probleem ook de oppervlakte van een cirkel met een straal van 4 cm moet vinden, dan kan dit met de formule: S=πR²

Taak #2



Oplossing:



Nu je de straal kent, kun je het gebied van de cirkel vinden in termen van de straal. Zie de formule hierboven.

Taak #3



Gebied van een cirkel omgeschreven rond een rechthoekige en gelijkbenige driehoek: formule, voorbeelden van probleemoplossing

Alle formules voor het vinden van de oppervlakte van een cirkel komen erop neer dat je eerst de straal moet vinden. Als de straal bekend is, is het vinden van het gebied eenvoudig, zoals hierboven beschreven.

Het gebied van een cirkel beschreven rond een rechthoekige en gelijkbenige driehoek wordt gevonden door de volgende formule:



Voorbeelden van probleemoplossing:



Hier is nog een voorbeeld van het oplossen van een probleem met behulp van de formule van Heron.



Het oplossen van dergelijke problemen is moeilijk, maar ze kunnen worden beheerst als je alle formules kent. Studenten lossen dergelijke problemen op in het 9e leerjaar.

Gebied van een cirkel ingeschreven in een rechthoekig en gelijkbenig trapezium: formule, voorbeelden van probleemoplossing

Een gelijkbenig trapezium heeft twee gelijke zijden. Een rechthoekig trapezium heeft één hoek gelijk aan 90º. Overweeg hoe u het gebied van een cirkel kunt vinden die is ingeschreven in een rechthoekig en gelijkbenig trapezium met behulp van het voorbeeld van het oplossen van problemen.

Een cirkel is bijvoorbeeld ingeschreven in een gelijkbenig trapezium, dat op het contactpunt een zijde verdeelt in segmenten m en n.

Om dit probleem op te lossen, moet u de volgende formules gebruiken:



Het gebied van een cirkel ingeschreven in een rechthoekig trapezium wordt gevonden met behulp van de volgende formule:



Als de zijkant bekend is, kun je de straal vinden via deze waarde. De hoogte van de zijkant van het trapezium is gelijk aan de diameter van de cirkel en de straal is de helft van de diameter. Dienovereenkomstig is de straal R=d/2.

Voorbeelden van probleemoplossing:



Een trapezium kan in een cirkel worden ingeschreven als de som van de overstaande hoeken 180º is. Daarom kan alleen een gelijkbenig trapezium worden ingeschreven. De straal voor het berekenen van het gebied van een cirkel beschreven rond een rechthoekig of gelijkbenig trapezium wordt berekend met behulp van de volgende formules:





Voorbeelden van probleemoplossing:



Oplossing: De grote basis gaat in dit geval door het centrum, omdat een gelijkbenig trapezium in een cirkel is ingeschreven. Het midden verdeelt deze basis precies in tweeën. Als het grondtal AB 12 is, dan is de straal R als volgt te vinden: R=12/2=6.

Antwoorden: De straal is 6.

In de meetkunde is het belangrijk om de formules te kennen. Maar het is onmogelijk om ze allemaal te onthouden, dus zelfs bij veel examens is het toegestaan ​​om een ​​speciaal formulier te gebruiken. Het is echter belangrijk om de juiste formule te kunnen vinden om een ​​bepaald probleem op te lossen. Oefen met het oplossen van verschillende problemen voor het vinden van de straal en het gebied van een cirkel om formules correct te kunnen vervangen en nauwkeurige antwoorden te krijgen.

Video: Wiskunde | Het gebied van een cirkel en zijn delen berekenen

  • De lengte van de diameter - een segment dat door het middelpunt van de cirkel gaat en twee tegenovergestelde punten van de cirkel verbindt, of de straal - een segment, waarvan een van de uiterste punten zich in het midden van de cirkel bevindt, en de tweede - op de boog van de cirkel. De diameter is dus gelijk aan de lengte van de straal vermenigvuldigd met twee.
  • De waarde van het getal . Deze waarde is een constante - een irrationele breuk die geen einde heeft. Het is echter niet periodiek. Dit getal drukt de verhouding uit omtrek naar zijn straal. Om het gebied van een cirkel in de taken van de schoolcursus te berekenen, wordt de waarde van π gebruikt, gegeven op de dichtstbijzijnde honderdste - 3,14.

Formules voor het vinden van het gebied van een cirkel, zijn segment of sector

Afhankelijk van de bijzonderheden van de voorwaarden van het geometrische probleem, twee formules voor het vinden van de oppervlakte van een cirkel:

Om te bepalen hoe u het gebied van een cirkel op de gemakkelijkste manier kunt vinden, moet u de voorwaarden van de taak zorgvuldig analyseren.

De cursus schoolgeometrie bevat ook taken voor het berekenen van het gebied van segmenten of sectoren waarvoor speciale formules worden gebruikt:

  1. Een sector is een deel van een cirkel begrensd door een cirkel en een hoek met het hoekpunt in het midden. Het gebied van de sector wordt berekend met de formule: S = (π*r 2 /360)*А;
    • r is de straal;
    • A is de hoek in graden.
    • r is de straal;
    • p is de lengte van de boog.

    2. Er is ook een tweede optie S = 0,5 * p * r;

  2. Segment - is een deel dat wordt begrensd door een sectie van een cirkel (akkoord) en een cirkel. Het gebied kan worden gevonden met de formule S \u003d (π * r 2 / 360) * A ± S∆;
  • r is de straal;
  • A is de hoekwaarde in graden;
  • S ∆ is het gebied van een driehoek, waarvan de zijden de stralen en de koorde van de cirkel zijn; bovendien bevindt een van zijn hoekpunten zich in het midden van de cirkel en de andere twee bevinden zich op de contactpunten van de cirkelboog met het akkoord. Een belangrijk punt is dat het minteken wordt geplaatst als de waarde van A kleiner is dan 180 graden, en het plusteken als het meer dan 180 graden is.

Om de oplossing van een meetkundig probleem te vereenvoudigen, kan men berekenen: cirkel gebied online. Een speciaal programma maakt de berekening snel en nauwkeurig in een paar seconden. Hoe het gebied van cijfers online berekenen? Om dit te doen, moet u de bekende begingegevens invoeren: straal, diameter, hoek.

Een cirkel is een zichtbare verzameling van veel punten die op dezelfde afstand van het middelpunt liggen. Om de oppervlakte te vinden, moet je weten wat de straal, diameter, π-getal en omtrek zijn.

Hoeveelheden betrokken bij het berekenen van de oppervlakte van een cirkel

De afstand begrensd door het middelpunt van de cirkel en een van de punten van de cirkel wordt de straal van deze geometrische figuur genoemd. De lengtes van alle stralen van een cirkel zijn hetzelfde. Het lijnstuk tussen 2 willekeurige punten op de cirkel dat door het middelpunt gaat, wordt de diameter genoemd. De lengte van de diameter is gelijk aan de lengte van de straal vermenigvuldigd met 2.

Om de oppervlakte van een cirkel te berekenen, wordt de waarde van het getal π gebruikt. Deze waarde is gelijk aan de verhouding van de omtrek tot de lengte van de diameter van de cirkel en heeft een constante waarde. Π = 3.1415926. De omtrek wordt berekend met de formule L=2πR.

Vind het gebied van een cirkel met behulp van de straal

Daarom is de oppervlakte van een cirkel gelijk aan het product van het getal π en de straal van de cirkel verheven tot de 2e macht. Laten we als voorbeeld nemen dat de lengte van de straal van de cirkel gelijk is aan 5 cm, dan is de oppervlakte van de cirkel S gelijk aan 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 vierkante meter. cm.


Cirkelgebied in termen van diameter

Het gebied van een cirkel kan ook worden berekend door de diameter van de cirkel te kennen. In dit geval is S = (π/4)*d^2, waarbij d de diameter van de cirkel is. Laten we hetzelfde voorbeeld nemen met een straal van 5 cm, dan is de diameter 5*2=10 cm. De oppervlakte van de cirkel is S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm. Het resultaat, dat gelijk is aan het totaal van de berekeningen in het eerste voorbeeld, bevestigt in beide gevallen de juistheid van de berekeningen.


Oppervlakte van een cirkel qua omtrek

Als de straal van een cirkel door de omtrek wordt weergegeven, ziet de formule er als volgt uit: R=(L/2)π. Vervang deze uitdrukking in de formule voor de oppervlakte van een cirkel en als resultaat krijgen we S=(L^2)/4π. Beschouw een voorbeeld waarin de omtrek 10 cm is, dan is de oppervlakte van de cirkel S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 vierkante meter. cm.

Oppervlakte van een cirkel in termen van de lengte van een zijde van een ingeschreven vierkant

Als een vierkant is ingeschreven in een cirkel, dan is de lengte van de diameter van de cirkel gelijk aan de lengte van de diagonaal van het vierkant. Als u de grootte van de zijde van het vierkant kent, kunt u de diameter van de cirkel gemakkelijk vinden met de formule: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Met andere woorden, de diameter tot de macht 2 is gelijk aan de zijde van het vierkant tot de macht 2 maal 2.

Nadat u de waarde van de lengte van de diameter van een cirkel hebt berekend, kunt u ook de straal ervan achterhalen en vervolgens een van de formules gebruiken om het gebied van een cirkel te bepalen.

Sectorgebied van een cirkel

Een sector is een deel van een cirkel begrensd door 2 stralen en een boog ertussen. Om de oppervlakte te bepalen, moet u de hoek van de sector meten. Daarna is het noodzakelijk om een ​​​​breuk samen te stellen, in de teller waarvan de waarde van de hoek van de sector zal zijn, en in de noemer - 360. Om het gebied van de sector te berekenen, moet de waarde verkregen als resultaat van het delen van de breuk moet worden vermenigvuldigd met het gebied van de cirkel berekend met behulp van een van de bovenstaande formules.


in geometrie in de omgeving van een verzameling van alle punten op het vlak wordt genoemd, die verwijderd zijn van één punt, het middelpunt genoemd, op een afstand die niet groter is dan een gegeven, de straal genoemd. In dit geval is de buitengrens van de cirkel cirkel, en als de lengte van de straal gelijk is aan nul, een cirkel degenereert tot een punt.

De oppervlakte van een cirkel bepalen

Indien nodig gebied van een cirkel kan worden berekend met de formule:

S pr 2 D2

r- cirkelstraal

D- cirkeldiameter

S- oppervlakte van een cirkel

π - 3.14

Deze geometrische figuur is heel gebruikelijk, zowel in de techniek als in de architectuur. Ontwerpers van machines en mechanismen ontwikkelen verschillende onderdelen, waarvan de secties precies zijn: een cirkel. Dit zijn bijvoorbeeld assen, stangen, stangen, cilinders, assen, zuigers, enzovoort. Bij de vervaardiging van deze onderdelen worden blanco's van verschillende materialen (metalen, hout, kunststof) gebruikt, hun secties vertegenwoordigen ook precies een cirkel. Het spreekt voor zich dat ontwikkelaars vaak moeten rekenen gebied van een cirkel door de diameter of straal, met behulp van voor dit doel eenvoudige wiskundige formules die in de oudheid zijn ontdekt.

precies dan ronde elementen begon actief en op grote schaal te worden gebruikt in de architectuur. Een van de meest opvallende voorbeelden hiervan is het circus, een soort gebouwen die zijn ontworpen om verschillende amusementsevenementen te organiseren. Hun arena's zijn gevormd cirkel, en voor het eerst werden ze gebouwd in de oudheid. Het woord " cirkel" in het Latijn betekent " een cirkel". Als circussen in de oudheid theatervoorstellingen en gladiatorengevechten organiseerden, dienen ze nu als een plaats waar circusvoorstellingen bijna uitsluitend worden gehouden met de deelname van dierentrainers, acrobaten, goochelaars, clowns, enz. De standaarddiameter van de circusarena is 13 meter , en dit is volledig Het is geen toeval: het feit is dat hij het is die de minimaal noodzakelijke geometrische parameters van de arena levert, waarlangs circuspaarden in galop in een cirkel kunnen rennen. Als we berekenen gebied van een cirkel door de diameter blijkt dat voor de circusarena deze waarde 113,04 vierkante meter is.

De architecturale elementen die de vorm van een cirkel kunnen aannemen, zijn ramen. Natuurlijk zijn ze in de meeste gevallen rechthoekig of vierkant (grotendeels omdat het voor zowel architecten als bouwers makkelijker is), maar in sommige gebouwen vind je ook ronde ramen. Bovendien zijn ze in voertuigen als lucht-, zee- en rivierschepen meestal precies zo.

Het is geenszins ongebruikelijk om ronde elementen te gebruiken voor de productie van meubels zoals tafels en stoelen. Er is zelfs een concept ronde Tafel”, wat een constructieve discussie inhoudt, waarin een uitgebreide bespreking van verschillende belangrijke problemen plaatsvindt en manieren worden ontwikkeld om deze op te lossen. Wat betreft de vervaardiging van de tafelbladen zelf, die een ronde vorm hebben, worden gespecialiseerde gereedschappen en apparatuur gebruikt voor hun productie, onder voorbehoud van de deelname van werknemers met vrij hoge kwalificaties.

Cirkels vereisen een meer zorgvuldige aanpak en komen veel minder vaak voor bij B5-taken. Tegelijkertijd is het algemene oplossingsschema zelfs eenvoudiger dan in het geval van polygonen (zie de les "Veelhoekgebieden op een coördinatenraster").

Het enige dat nodig is bij dergelijke taken is het vinden van de straal van de cirkel R . Vervolgens kun je de oppervlakte van de cirkel berekenen met de formule S = πR 2 . Ook uit deze formule volgt dat het voldoende is om R2 voor de oplossing te vinden.

Om de aangegeven waarden te vinden, volstaat het om op de cirkel een punt aan te duiden dat op het snijpunt van de rasterlijnen ligt. En gebruik dan de stelling van Pythagoras. Overweeg specifieke voorbeelden van het berekenen van de straal:

Een taak. Zoek de stralen van de drie cirkels in de afbeelding:

Laten we in elke cirkel extra constructies uitvoeren:


In elk geval wordt punt B op de cirkel gekozen om op het snijpunt van de rasterlijnen te liggen. Punt C in cirkels 1 en 3 voltooit de figuur tot een rechthoekige driehoek. Het blijft om de stralen te vinden:

Beschouw driehoek ABC in de eerste cirkel. Volgens de stelling van Pythagoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Voor de tweede cirkel is alles duidelijk: R = AB = 2.

Het derde geval is vergelijkbaar met het eerste. Van de driehoek ABC volgens de stelling van Pythagoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Nu weten we hoe we de straal van een cirkel (of in ieder geval zijn vierkant) kunnen vinden. Daarom kunnen we het gebied vinden. Er zijn taken waarbij het nodig is om het gebied van een sector te vinden, en niet de hele cirkel. In dergelijke gevallen is het gemakkelijk om erachter te komen welk deel van de cirkel deze sector is en zo het gebied te vinden.

Een taak. Zoek het gebied S van de gearceerde sector. Geef in je antwoord S / π aan.

Uiteraard is de sector een kwart van de cirkel. Daarom is S = 0,25 S van de cirkel.

Het blijft om de S van de cirkel te vinden - het gebied van de cirkel. Om dit te doen, zullen we een extra constructie uitvoeren:

Driehoek ABC is een rechthoekige driehoek. Volgens de stelling van Pythagoras hebben we: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Nu vinden we de oppervlakte van de cirkel en de sector: S van de cirkel = πR 2 = 8π; S = 0,25 S cirkel = 2π.

Ten slotte is de gewenste waarde gelijk aan S /π = 2.

Sectorgebied met onbekende straal

Dit is een volledig nieuw soort taak, er was niets zoals het in 2010-2011. Per voorwaarde krijgen we een cirkel van een bepaald gebied (namelijk het gebied, niet de straal!). Vervolgens wordt binnen deze cirkel een sector toegewezen waarvan het gebied moet worden gevonden.

Het goede nieuws is dat deze problemen de gemakkelijkste zijn van alle problemen op het plein, die in het examen wiskunde zitten. Bovendien worden de cirkel en sector altijd op het coördinatenraster geplaatst. Daarom, om te leren hoe u dergelijke problemen kunt oplossen, hoeft u alleen maar naar de afbeelding te kijken:

Laat de oorspronkelijke cirkel oppervlakte S van de cirkel = 80 hebben. Dan kan deze worden verdeeld in twee sectoren met oppervlakte S = 40 elk (zie stap 2). Op dezelfde manier kan elk van deze "halve" sectoren opnieuw in tweeën worden gedeeld - we krijgen vier sectoren met oppervlakte S = 20 elk (zie stap 3). Ten slotte kun je elk van deze sectoren nog in twee delen - we krijgen 8 sectoren - "stukjes". Het gebied van elk van deze "brokken" is S = 10.

Let op: er is geen kleinere indeling in een USE-taak in de wiskunde! Het algoritme voor het oplossen van probleem B-3 is dus als volgt:

  1. Snijd de originele cirkel in 8 sectoren - "stukjes". Het gebied van elk van hen is precies 1/8 van het gebied van de hele cirkel. Als de cirkel bijvoorbeeld volgens de voorwaarde de oppervlakte S van de cirkel = 240 heeft, dan hebben de "klonten" de oppervlakte S = 240: 8 = 30;
  2. Ontdek hoeveel "klonten" passen in de oorspronkelijke sector, het gebied waarvan u wilt zoeken. Als onze sector bijvoorbeeld 3 "klonten" bevat met een oppervlakte van 30, dan is de oppervlakte van de gewenste sector S = 3 30 = 90. Dit is het antwoord.

Dat is alles! Het probleem wordt praktisch mondeling opgelost. Als je iets nog steeds niet begrijpt, koop dan een pizza en snij deze in 8 stukken. Elk van deze stukken zal dezelfde sector zijn - "chunk" die kan worden gecombineerd tot grotere stukken.

En laten we nu eens kijken naar voorbeelden uit het proefexamen:

Een taak. Op geruit papier is een cirkel getekend met een oppervlakte van 40. Zoek het gebied van de gearceerde figuur.

Het gebied van de cirkel is dus 40. Verdeel het in 8 sectoren - elk met een gebied van S = 40: 5 = 8. We krijgen:

Uiteraard bestaat de gearceerde sector uit precies twee "kleine" sectoren. Daarom is de oppervlakte 2 5 = 10. Dat is de hele oplossing!

Een taak. Op geruit papier is een cirkel getekend met een oppervlakte van 64. Zoek het gebied van de gearceerde figuur.

Verdeel opnieuw de hele cirkel in 8 gelijke sectoren. Het is duidelijk dat het gebied van een van hen alleen moet worden gevonden. Daarom is het gebied S = 64: 8 = 8.

Een taak. Op geruit papier is een cirkel getekend met een oppervlakte van 48. Zoek het gebied van de gearceerde figuur.

Verdeel de cirkel opnieuw in 8 gelijke sectoren. Het gebied van elk van hen is gelijk aan S = 48: 8 = 6. Precies drie sectoren - "klein" worden in de gewenste sector geplaatst (zie afbeelding). Daarom is het gebied van de gewenste sector 3 6 = 18.