familie psychologie 

Optellen en aftrekken van gewone breuken. Optellen van breuken met hele getallen en verschillende noemers

Gewone gebroken getallen ontmoeten voor het eerst schoolkinderen in de 5e klas en begeleiden hen hun hele leven, omdat het in het dagelijks leven vaak nodig is om een ​​object niet volledig, maar in afzonderlijke stukken te overwegen of te gebruiken. Het begin van de studie van dit onderwerp - delen. Aandelen zijn gelijke delen waarin een object is verdeeld. Het is immers niet altijd mogelijk om bijvoorbeeld de lengte of prijs van een product uit te drukken in een geheel getal; men moet rekening houden met delen of aandelen van elke maat. Gevormd uit het werkwoord "verpletteren" - in delen verdelen, en met Arabische wortels, verscheen in de VIIIe eeuw het woord "fractie" zelf in het Russisch.

Fractionele uitdrukkingen worden lange tijd beschouwd als het moeilijkste onderdeel van de wiskunde. In de 17e eeuw, toen de eerste leerboeken in de wiskunde verschenen, werden ze "gebroken getallen" genoemd, wat erg moeilijk was om in het begrip van mensen weer te geven.

De moderne vorm van eenvoudige fractionele residuen, waarvan delen precies worden gescheiden door een horizontale lijn, werd voor het eerst gepromoot door Fibonacci - Leonardo van Pisa. Zijn geschriften zijn gedateerd 1202. Maar het doel van dit artikel is om de lezer eenvoudig en duidelijk uit te leggen hoe de vermenigvuldiging van gemengde breuken met verschillende noemers plaatsvindt.

Breuken met verschillende noemers vermenigvuldigen

In eerste instantie is het nodig om te bepalen variëteiten van breuken:

  • juist;
  • mis;
  • gemengd.

Vervolgens moet u onthouden hoe fractionele getallen met dezelfde noemers worden vermenigvuldigd. De regel van dit proces is gemakkelijk onafhankelijk te formuleren: het resultaat van het vermenigvuldigen van eenvoudige breuken met dezelfde noemers is een fractionele uitdrukking, waarvan de teller het product van de tellers is, en de noemer is het product van de noemers van deze breuken . Dat wil zeggen, in feite is de nieuwe noemer aanvankelijk het kwadraat van een van de bestaande.

bij vermenigvuldiging eenvoudige breuken met verschillende noemers voor twee of meer factoren verandert de regel niet:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Het enige verschil is dat het gevormde getal onder de breuklijn het product is van verschillende getallen en het kan natuurlijk niet het kwadraat van één numerieke uitdrukking worden genoemd.

Het is de moeite waard om de vermenigvuldiging van breuken met verschillende noemers te overwegen met behulp van voorbeelden:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

De voorbeelden gebruiken manieren om fractionele uitdrukkingen te verminderen. U kunt alleen de getallen van de teller verkleinen met de getallen van de noemer; aangrenzende factoren boven of onder de breukstreep kunnen niet worden verminderd.

Naast eenvoudige fractionele getallen is er het concept van gemengde breuken. Een gemengd getal bestaat uit een geheel getal en een breukdeel, dat wil zeggen, het is de som van deze getallen:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hoe werkt vermenigvuldigen?

Ter overweging worden verschillende voorbeelden gegeven.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Het voorbeeld gebruikt de vermenigvuldiging van een getal met gewoon gebroken deel, kunt u de regel voor deze actie opschrijven met de formule:

a * b/c = a*b /c.

In feite is zo'n product de som van identieke fractionele resten, en het aantal termen geeft dit natuurlijke getal aan. Speciaal geval:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Er is nog een andere mogelijkheid om de vermenigvuldiging van een getal met een fractionele rest op te lossen. U hoeft alleen de noemer door dit getal te delen:

d* e/f = e/v: d.

Het is handig om deze techniek te gebruiken wanneer de noemer wordt gedeeld door een natuurlijk getal zonder rest of, zoals ze zeggen, volledig.

Converteer gemengde getallen naar onechte breuken en verkrijg het product op de eerder beschreven manier:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Dit voorbeeld betreft een manier om een ​​gemengde breuk weer te geven als een oneigenlijke breuk, het kan ook worden weergegeven als een algemene formule:

a bc = a*b+ c / c, waarbij de noemer van de nieuwe breuk wordt gevormd door het gehele deel met de noemer te vermenigvuldigen en op te tellen bij de teller van de oorspronkelijke fractionele rest, en de noemer blijft hetzelfde.

Dit proces werkt ook omgekeerd. Om het gehele deel en de fractionele rest te selecteren, moet u de teller van een onechte breuk delen door zijn noemer met een "hoek".

Vermenigvuldiging van oneigenlijke breuken op de gebruikelijke manier geproduceerd. Wanneer de invoer onder een enkele breuklijn gaat, moet u, indien nodig, de breuken verkleinen om de getallen te verminderen met deze methode en is het gemakkelijker om het resultaat te berekenen.

Er zijn veel assistenten op internet om zelfs complexe wiskundige problemen op te lossen in verschillende programmavarianten. Een voldoende aantal van dergelijke diensten biedt hun hulp bij het berekenen van de vermenigvuldiging van breuken met verschillende getallen in de noemers - de zogenaamde online rekenmachines voor het berekenen van breuken. Ze kunnen niet alleen vermenigvuldigen, maar ook alle andere eenvoudige rekenkundige bewerkingen uitvoeren met gewone breuken en gemengde getallen. Het is niet moeilijk om ermee te werken, de bijbehorende velden worden ingevuld op de sitepagina, het teken van de wiskundige actie wordt geselecteerd en de knop "berekenen" wordt ingedrukt. Het programma telt automatisch.

Het onderwerp rekenkundige bewerkingen met fractionele getallen is relevant in de hele opleiding van middelbare en hogere schoolkinderen. Op de middelbare school denken ze niet langer aan de eenvoudigste soort, maar integer fractionele uitdrukkingen, maar de kennis van de regels voor transformatie en berekeningen, eerder verkregen, wordt toegepast in zijn oorspronkelijke vorm. Goed aangeleerde basiskennis geeft het volste vertrouwen in het succesvol oplossen van de meest complexe taken.

Tot slot is het logisch om de woorden van Leo Tolstoj te citeren, die schreef: “De mens is een fractie. Het ligt niet in de macht van de mens om zijn teller te vergroten - zijn eigen verdiensten, maar iedereen kan zijn noemer - zijn mening over zichzelf, verkleinen en door deze afname dichter bij zijn perfectie komen.

Inhoud van de les

Breuken met dezelfde noemers optellen

Het toevoegen van breuken is van twee soorten:

  1. Breuken met dezelfde noemers optellen
  2. Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we beginnen met het optellen van breuken met dezelfde noemers. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet u hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en toevoegen. We tellen de tellers op en laten de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2 Voeg breuken en toe.

Het antwoord is een ongepaste breuk. Als het einde van de taak komt, is het gebruikelijk om onjuiste breuken te verwijderen. Om van een onjuiste breuk af te komen, moet je het hele deel erin selecteren. In ons geval is het hele deel gemakkelijk te onderscheiden - twee gedeeld door twee is gelijk aan één:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan de pizza toevoegt, krijg je een hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.

Voeg opnieuw de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan pizza toevoegt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 4 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden toegevoegd en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is het optellen van breuken met dezelfde noemers niet moeilijk. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

  1. Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten;

Breuken met verschillende noemers optellen

Nu zullen we leren hoe je breuken met verschillende noemers kunt optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van die breuken gelijk zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemer hebben.

Maar breuken kunnen niet in één keer worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden teruggebracht tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te reduceren. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de rest van de methoden misschien ingewikkeld lijkt voor een beginner.

De essentie van deze methode ligt in het feit dat eerst (LCM) van de noemers van beide breuken wordt gezocht. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen. Ze doen hetzelfde met de tweede breuk - de LCM wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en de tweede extra factor wordt verkregen.

Vervolgens worden de tellers en noemers van de breuken vermenigvuldigd met hun extra factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.

voorbeeld 1. Voeg breuken toe en

Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3 en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6

LCM (2 en 3) = 6

Nu terug naar breuken en . Eerst delen we de LCM door de noemer van de eerste breuk en krijgen de eerste extra factor. LCM is het getal 6 en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3, we krijgen 2.

Het resulterende getal 2 is de eerste extra factor. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, maken we een kleine schuine lijn boven de breuk en noteren we de gevonden extra factor erboven:

We doen hetzelfde met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6 en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2, we krijgen 3.

Het resulterende getal 3 is de tweede extra factor. We schrijven het naar de tweede breuk. Nogmaals, we maken een kleine schuine lijn boven de tweede breuk en schrijven de gevonden extra factor erboven:

Nu zijn we helemaal klaar om toe te voegen. Het blijft om de tellers en noemers van breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

Kijk goed naar wat we hebben bereikt. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde voltooien:

Zo eindigt het voorbeeld. Toevoegen blijkt.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt, krijg je een hele pizza en nog een zesde van een pizza:

Reductie van breuken tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer kan ook worden weergegeven met een afbeelding. Door de breuken en naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, krijgen we de breuken en . Deze twee fracties worden weergegeven door dezelfde pizzapunten. Het enige verschil is dat ze dit keer in gelijke delen worden verdeeld (gereduceerd tot dezelfde noemer).

De eerste tekening toont een breuk (vier stukken van de zes) en de tweede afbeelding toont een breuk (drie stukken van de zes). Als we deze stukjes samenvoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is onjuist, daarom hebben we het gehele deel erin gemarkeerd. Het resultaat was (een hele pizza en nog een zesde pizza).

Merk op dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben geschilderd. In onderwijsinstellingen is het niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en ook snel de aanvullende factoren die door uw tellers en noemers worden gevonden, kunnen vermenigvuldigen. Op school zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:

Maar er is ook de keerzijde van de medaille. Als er geen gedetailleerde aantekeningen worden gemaakt in de eerste stadia van het bestuderen van wiskunde, dan kunnen dergelijke vragen “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom worden breuken ineens totaal andere breuken? «.

Om het optellen van breuken met verschillende noemers gemakkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

  1. Vind de LCM van de noemers van breuken;
  2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk;
  3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun extra factoren;
  4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
  5. Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, selecteer dan het hele deel;

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking .

Laten we de bovenstaande instructies gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM van de noemers van breuken

Vind de LCM van de noemers van beide breuken. De noemers van de breuken zijn de getallen 2, 3 en 4

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk

Deel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2, we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven het over de eerste breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. We delen 12 door 3, we krijgen 4. We hebben de tweede extra factor 4. We schrijven het over de tweede breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We hebben de derde extra factor 3. We schrijven het over de derde breuk:

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met uw extra factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met onze extra factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het blijft om deze breuken toe te voegen. Tel op:

De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. Dit is toegestaan ​​in de wiskunde. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze overgedragen naar de volgende regel en moet een gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van een nieuwe regel worden geplaatst. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.

Stap 5. Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, selecteer dan het hele deel erin

Ons antwoord is een ongepaste breuk. We moeten het hele deel ervan uitkiezen. Wij benadrukken:

Ik heb een antwoord

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers

Er zijn twee soorten breuken aftrekken:

  1. Aftrekken van breuken met dezelfde noemers
  2. Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Laten we eerst leren hoe we breuken met dezelfde noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een ​​andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk en de noemer gelijk laten.

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de uitdrukking zoeken. Om dit voorbeeld op te lossen, is het nodig om de teller van de tweede breuk af te trekken van de teller van de eerste breuk en de noemer ongewijzigd te laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 2 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

  1. Om een ​​andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk van de teller van de eerste breuk aftrekken en de noemer ongewijzigd laten;
  2. Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, moet u het hele deel erin selecteren.

Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Een breuk kan bijvoorbeeld van een breuk worden afgetrokken, aangezien deze breuken dezelfde noemers hebben. Maar een breuk kan niet van een breuk worden afgetrokken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden teruggebracht tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden volgens hetzelfde principe dat we gebruikten bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen, die over de eerste breuk wordt geschreven. Evenzo wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die over de tweede breuk wordt geschreven.

De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun extra factoren. Als gevolg van deze bewerkingen veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemer. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van een uitdrukking:

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3 en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12

LCM (3 en 4) = 12

Nu terug naar breuken en

Laten we een extra factor zoeken voor de eerste breuk. Hiervoor delen we de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We schrijven de vier over de eerste breuk:

We doen hetzelfde met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. Schrijf een triple over de tweede breuk:

Nu zijn we helemaal klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde voltooien:

Ik heb een antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's.

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Omdat we op school zijn, zouden we dit voorbeeld op een kortere manier moeten oplossen. Een dergelijke oplossing ziet er als volgt uit:

Reductie van breuken en tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, krijgen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze verdeeld in dezelfde breuken (gereduceerd tot dezelfde noemer):

De eerste tekening toont een breuk (acht stuks van de twaalf), en de tweede afbeelding toont een breuk (drie stuks van de twaalf). Door drie stukken van acht stukken af ​​te snijden, krijgen we vijf stukken van twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze eerst naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Vind de LCM van de noemers van deze breuken.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we extra factoren voor elke breuk. Om dit te doen, delen we de LCM door de noemer van elke breuk.

Laten we een extra factor zoeken voor de eerste breuk. LCM is het getal 30 en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven het over de eerste breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Deel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven het over de tweede breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Deel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven het over de derde breuk:

Nu is alles klaar om af te trekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een juiste breuk te zijn, en alles lijkt ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het makkelijker maken. Wat gedaan kan worden? U kunt deze fractie verkleinen.

Om een ​​breuk te verkleinen, moet je de teller en noemer delen door (ggd) de getallen 20 en 30.

We vinden dus de GCD van de getallen 20 en 30:

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en noemer van de breuk door de gevonden GCD, dat wil zeggen door 10

Ik heb een antwoord

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een ​​breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dit getal vermenigvuldigen en de noemer gelijk laten.

voorbeeld 1. Vermenigvuldig de breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van 1 keer. Als je bijvoorbeeld 1 keer pizza neemt, krijg je pizza

Uit de wetten van vermenigvuldiging weten we dat als het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking is geschreven als , dan is het product nog steeds gelijk aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:

Deze invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van de eenheid. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

Het antwoord is een ongepaste breuk. Laten we er een heel deel van nemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als je bijvoorbeeld 4 keer pizza's neemt, krijg je twee hele pizza's.

En als we het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger van plaats wisselen, krijgen we de uitdrukking. Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's van vier hele pizza's:

Vermenigvuldiging van breuken

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onjuiste breuk is, moet u het hele deel erin selecteren.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Ik heb een antwoord. Het is wenselijk om deze fractie te verminderen. De fractie kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza van een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe neem je tweederde van deze helft? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee van deze drie stukken:

We gaan pizza halen. Onthoud hoe een pizza eruitziet, verdeeld in drie delen:

Eén plak van deze pizza en de twee plakken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, we zijn aan het praten ongeveer dezelfde pizzagrootte. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Laten we er een heel deel van nemen:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord bleek een correcte breuk te zijn, maar het zal goed zijn als het wordt verminderd. Om deze breuk te verkleinen, moet je de teller en noemer van deze breuk delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 105 en 450.

Laten we dus de GCD van de nummers 105 en 450 vinden:

Nu delen we de teller en noemer van ons antwoord op de GCD die we nu hebben gevonden, dat wil zeggen, door 15

Een geheel getal weergeven als een breuk

Elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Hieruit zal vijf de betekenis niet veranderen, omdat de uitdrukking "het getal vijf gedeeld door één" betekent, en dit is, zoals u weet, gelijk aan vijf:

Nummers omkeren

Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet "omgekeerde nummers".

Definitie. Keer terug naar nummera is het getal dat, vermenigvuldigd meta geeft een eenheid.

Laten we in deze definitie substitueren in plaats van een variabele a nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Keer terug naar nummer 5 is het getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft een eenheid.

Is het mogelijk om een ​​getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één geeft? Het blijkt dat je het kunt. Laten we vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk dan met zichzelf, verwissel gewoon de teller en noemer. Met andere woorden, laten we de breuk met zichzelf vermenigvuldigen, alleen omgekeerd:

Wat zal hiervan het resultaat zijn? Als we doorgaan met het oplossen van dit voorbeeld, krijgen we er een:

Dit betekent dat de inverse van het getal 5 het getal is, want als 5 wordt vermenigvuldigd met één, wordt er één verkregen.

Het omgekeerde kan ook worden gevonden voor elk ander geheel getal.

Je kunt ook het omgekeerde vinden voor elke andere breuk. Om dit te doen, volstaat het om het om te draaien.

Deling van een breuk door een getal

Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Laten we het gelijk over twee verdelen. Hoeveel pizza's krijgt elk?

Het is te zien dat na het splitsen van de helft van de pizza twee gelijke plakken werden verkregen, die elk een pizza vormen. Dus iedereen krijgt een pizza.

Het delen van breuken gebeurt met behulp van reciprocals. Met reciprocals kun je delen door vermenigvuldigen vervangen.

Om een ​​breuk door een getal te delen, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

Met behulp van deze regel zullen we de verdeling van onze helft van de pizza in twee delen opschrijven.

Dus je moet de breuk delen door het getal 2. Hier is het deeltal een breuk en is de deler 2.

Om een ​​breuk te delen door het getal 2, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler 2. Het omgekeerde van de deler 2 is een breuk. Dus je moet vermenigvuldigen met

Opmerking! Kijk voordat u een definitief antwoord schrijft of u de ontvangen breuk kunt verkleinen.

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers voorbeelden:

,

,

Een juiste breuk van één aftrekken.

Als het nodig is om een ​​breuk van de eenheid af te trekken die correct is, wordt de eenheid omgezet in de vorm van een onechte breuk, de noemer is gelijk aan de noemer van de afgetrokken breuk.

Een voorbeeld van het aftrekken van een juiste breuk van één:

De noemer van de af te trekken breuk = 7 , d.w.z. we stellen de eenheid voor als een oneigenlijke breuk 7/7 en trekken af ​​volgens de regel voor het aftrekken van breuken met dezelfde noemers.

Een juiste breuk aftrekken van een geheel getal.

Regels voor het aftrekken van breuken - correct van geheel getal (natuurlijk nummer):

  • We vertalen de gegeven breuken, die een geheel getal bevatten, naar oneigenlijke. We krijgen normale termen (het maakt niet uit of ze verschillende noemers hebben), die we beschouwen volgens de bovenstaande regels;
  • Vervolgens berekenen we het verschil van de breuken die we hebben ontvangen. Hierdoor zullen we bijna het antwoord vinden;
  • We voeren de inverse transformatie uit, dat wil zeggen, we verwijderen de onjuiste breuk - we selecteren het gehele deel in de breuk.

Trek een echte breuk af van een geheel getal: we stellen een natuurlijk getal voor als een gemengd getal. Die. we nemen een eenheid in een natuurlijk getal en vertalen deze in de vorm van een oneigenlijke breuk, de noemer is dezelfde als die van de afgetrokken breuk.

Voorbeeld van aftrekken van breuken:

In het voorbeeld hebben we de eenheid vervangen door een oneigenlijke breuk 7/7 en in plaats van 3 hebben we een gemengd getal opgeschreven en een breuk van het breukdeel afgetrokken.

Aftrekken van breuken met verschillende noemers.

Of, om het anders te zeggen, aftrekken van verschillende breuken.

Regel voor het aftrekken van breuken met verschillende noemers. Om breuken met verschillende noemers af te trekken, is het noodzakelijk deze breuken eerst naar de kleinste gemene deler (LCD) te brengen, en pas daarna af te trekken zoals bij breuken met dezelfde noemer.

De gemeenschappelijke noemer van meerdere breuken is LCM (kleinste gemene veelvoud) natuurlijke getallen die de noemers zijn van de gegeven breuken.

Aandacht! Als in de laatste breuk de teller en noemer gemeenschappelijke factoren hebben, moet de breuk worden verkleind. Een onechte breuk wordt het best weergegeven als een gemengde breuk. Het resultaat van de aftrekking laten staan ​​zonder de breuk waar mogelijk te verminderen, is een onvoltooide oplossing voor het voorbeeld!

Procedure voor het aftrekken van breuken met verschillende noemers.

  • vind de LCM voor alle noemers;
  • zet extra vermenigvuldigers voor alle breuken;
  • vermenigvuldig alle tellers met een extra factor;
  • we schrijven de resulterende producten in de teller en ondertekenen een gemeenschappelijke noemer onder alle breuken;
  • trek de tellers van breuken af ​​en onderteken de gemeenschappelijke noemer onder het verschil.

Op dezelfde manier wordt het optellen en aftrekken van breuken uitgevoerd in aanwezigheid van letters in de teller.

Aftrekken van breuken, voorbeelden:

Aftrekken van gemengde breuken.

Bij aftrekken van gemengde breuken (getallen) afzonderlijk wordt het gehele deel afgetrokken van het gehele deel en het fractionele deel wordt afgetrokken van het fractionele deel.

De eerste optie is om gemengde breuken af ​​te trekken.

Als de fractionele delen hetzelfde noemers en teller van het fractionele deel van de minuend (we trekken ervan af) ≥ de teller van het fractionele deel van de subtrahend (we trekken het af).

Bijvoorbeeld:

De tweede optie is om gemengde breuken af ​​te trekken.

Wanneer de fractionele delen verscheidene noemers. Om te beginnen reduceren we de breuken tot een gemeenschappelijke noemer, en dan trekken we het gehele deel af van het gehele getal, en het breukdeel van het breukdeel.

Bijvoorbeeld:

De derde optie is om gemengde breuken af ​​te trekken.

Het fractionele deel van de minuend is kleiner dan het fractionele deel van de subtrahend.

Voorbeeld:

Omdat breuken hebben verschillende noemers, wat betekent dat we, net als bij de tweede optie, eerst gewone breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen.

De teller van het fractionele deel van de minuend is kleiner dan de teller van het fractionele deel van de subtrahend.3 < 14. We nemen dus een eenheid van het gehele deel en brengen deze eenheid in de vorm van een onechte breuk met dezelfde noemer en teller = 18.

In de teller vanaf de rechterkant schrijven we de som van de tellers, dan openen we de haakjes in de teller vanaf de rechterkant, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen alles en geven soortgelijke. We openen geen haakjes in de noemer. Het is gebruikelijk om het product in de noemers te laten staan. We krijgen:

De regels voor het optellen van breuken met verschillende noemers zijn heel eenvoudig.

Overweeg de regels voor het optellen van breuken met verschillende noemers in stappen:

1. Zoek de LCM (kleinste gemene veelvoud) van de noemers. De resulterende LCM zal de gemeenschappelijke noemer van de breuken zijn;

2. Breng breuken naar een gemeenschappelijke noemer;

3. Voeg breuken toe tot een gemeenschappelijke noemer.

Aan de hand van een eenvoudig voorbeeld zullen we leren hoe we de regels voor het optellen van breuken met verschillende noemers kunnen toepassen.

Voorbeeld

Een voorbeeld van het optellen van breuken met verschillende noemers.

Breuken met verschillende noemers optellen:

1 + 5
6 12

Laten we stap voor stap beslissen.

1. Zoek de LCM (kleinste gemene veelvoud) van de noemers.

Het getal 12 is deelbaar door 6.

Hieruit concluderen we dat 12 het kleinste gemene veelvoud is van de getallen 6 en 12.

Antwoord: de nok van de nummers 6 en 12 is 12:

LCM(6, 12) = 12

De resulterende NOC is de gemeenschappelijke noemer van de twee breuken 1/6 en 5/12.

2. Breng breuken naar een gemeenschappelijke noemer.

In ons voorbeeld hoeft alleen de eerste breuk te worden teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer van 12, omdat de tweede breuk al een noemer van 12 heeft.

Deel de gemeenschappelijke noemer van 12 door de noemer van de eerste breuk:

2 heeft een extra vermenigvuldiger.

Vermenigvuldig de teller en noemer van de eerste breuk (1/6) met een extra factor 2.

Een van de belangrijkste wetenschappen, waarvan de toepassing te zien is in disciplines als scheikunde, natuurkunde en zelfs biologie, is wiskunde. De studie van deze wetenschap stelt je in staat om enkele mentale kwaliteiten te ontwikkelen, het concentratievermogen te verbeteren. Een van de onderwerpen die speciale aandacht verdienen in de cursus "Wiskunde" is het optellen en aftrekken van breuken. Veel studenten vinden het moeilijk om te studeren. Misschien helpt ons artikel om dit onderwerp beter te begrijpen.

Hoe breuken af ​​te trekken waarvan de noemers hetzelfde zijn

Breuken zijn dezelfde getallen waarmee je verschillende acties kunt uitvoeren. Hun verschil met gehele getallen ligt in de aanwezigheid van een noemer. Dat is de reden waarom je bij het uitvoeren van acties met breuken enkele van hun functies en regels moet bestuderen. Het eenvoudigste geval is het aftrekken van gewone breuken, waarvan de noemers worden weergegeven als hetzelfde getal. Het zal niet moeilijk zijn om deze actie uit te voeren als u een eenvoudige regel kent:

  • Om de tweede van een breuk af te trekken, is het noodzakelijk om de teller van de af te trekken breuk af te trekken van de teller van de gereduceerde breuk. We schrijven dit getal in de teller van het verschil, en laten de noemer hetzelfde: k / m - b / m = (k-b) / m.

Voorbeelden van het aftrekken van breuken waarvan de noemers hetzelfde zijn

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Van de teller van de gereduceerde breuk "7" trek je de teller van de afgetrokken breuk "3" af, we krijgen "4". We schrijven dit getal in de teller van het antwoord en zetten in de noemer hetzelfde getal dat in de noemers van de eerste en tweede breuk stond - "19".

Op de onderstaande afbeelding ziet u nog enkele van dergelijke voorbeelden.

Overweeg een complexer voorbeeld waarbij breuken met dezelfde noemers worden afgetrokken:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Van de teller van de gereduceerde breuk "29" door op zijn beurt de tellers van alle volgende breuken af ​​te trekken - "3", "8", "2", "7". Als resultaat krijgen we het resultaat "9", dat we in de teller van het antwoord schrijven, en in de noemer schrijven we het getal dat in de noemers van al deze breuken staat - "47".

Breuken met dezelfde noemer optellen

Optellen en aftrekken van gewone breuken gebeurt volgens hetzelfde principe.

  • Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je de tellers optellen. Het resulterende getal is de teller van de som, en de noemer blijft hetzelfde: k/m + b/m = (k + b)/m.

Laten we eens kijken hoe het eruit ziet in een voorbeeld:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Bij de teller van de eerste term van de breuk - "1" - voegen we de teller van de tweede term van de breuk - "2" toe. Het resultaat - "3" - wordt geschreven in de teller van het bedrag en de noemer blijft hetzelfde als die aanwezig was in de breuken - "4".

Breuken met verschillende noemers en hun aftrekking

We hebben al gekeken naar de actie met breuken die dezelfde noemer hebben. Zoals u kunt zien, is het vrij eenvoudig om dergelijke voorbeelden op te lossen als u eenvoudige regels kent. Maar wat als je een actie moet uitvoeren met breuken die verschillende noemers hebben? Veel middelbare scholieren zijn in de war door dergelijke voorbeelden. Maar zelfs hier, als u het principe van de oplossing kent, zullen de voorbeelden niet langer moeilijk voor u zijn. Er is hier ook een regel, zonder welke de oplossing van dergelijke breuken eenvoudigweg onmogelijk is.

    Om breuken met verschillende noemers af te trekken, moeten ze worden teruggebracht tot dezelfde kleinste noemer.

    We zullen in meer detail praten over hoe dit te doen.

    breukeigenschap

    Om meerdere breuken tot dezelfde noemer te reduceren, moet je de hoofdeigenschap van de breuk in de oplossing gebruiken: na het delen of vermenigvuldigen van de teller en noemer met hetzelfde getal, krijg je een breuk die gelijk is aan de gegeven breuk.

    De breuk 2/3 kan bijvoorbeeld noemers hebben zoals "6", "9", "12", enz., dat wil zeggen dat het eruit kan zien als elk getal dat een veelvoud is van "3". Nadat we de teller en noemer met "2" hebben vermenigvuldigd, krijgen we een breuk van 4/6. Nadat we de teller en noemer van de oorspronkelijke breuk met "3" hebben vermenigvuldigd, krijgen we 6/9, en als we een soortgelijke actie uitvoeren met het getal "4", krijgen we 8/12. In één vergelijking kan dit worden geschreven als:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Hoe meerdere breuken naar dezelfde noemer te brengen?

    Overweeg hoe u meerdere breuken tot dezelfde noemer kunt reduceren. Neem bijvoorbeeld de breuken die in de onderstaande afbeelding worden getoond. Eerst moet u bepalen welk getal de noemer voor al deze getallen kan worden. Laten we, om het gemakkelijker te maken, de beschikbare noemers ontleden in factoren.

    De noemer van de breuk 1/2 en de breuk 2/3 kunnen niet worden ontbonden. De noemer van 7/9 heeft twee factoren 7/9 = 7/(3 x 3), de noemer van de breuk 5/6 = 5/(2 x 3). Nu moet je bepalen welke factoren het kleinst zijn voor al deze vier breuken. Aangezien de eerste breuk het getal "2" in de noemer heeft, betekent dit dat het in alle noemers aanwezig moet zijn, in de breuk 7/9 zijn er twee triples, wat betekent dat ze ook in de noemer aanwezig moeten zijn. Gezien het bovenstaande stellen we vast dat de noemer uit drie factoren bestaat: 3, 2, 3 en gelijk is aan 3 x 2 x 3 = 18.

    Overweeg de eerste breuk - 1/2. De noemer bevat "2", maar er is geen enkele "3", maar er zouden er twee moeten zijn. Om dit te doen, vermenigvuldigen we de noemer met twee triples, maar volgens de eigenschap van de breuk moeten we de teller vermenigvuldigen met twee triples:
    1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

    Op dezelfde manier voeren we acties uit met de resterende breuken.

    • 2/3 - een drie en een twee ontbreken in de noemer:
      2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
    • 7/9 of 7/(3 x 3) - de noemer mist er twee:
      7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
    • 5/6 of 5/(2 x 3) - de noemer mist een triple:
      5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

    Alles bij elkaar ziet het er zo uit:

    Breuken met verschillende noemers aftrekken en optellen?

    Zoals hierboven vermeld, moeten om breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, ze worden teruggebracht tot dezelfde noemer en vervolgens de regels gebruiken voor het aftrekken van breuken met dezelfde noemer, die al zijn beschreven.

    Beschouw dit met een voorbeeld: 4/18 - 3/15.

    Veelvouden van 18 en 15 vinden:

    • Het getal 18 bestaat uit 3 x 2 x 3.
    • Het getal 15 bestaat uit 5 x 3.
    • Het gemene veelvoud zal bestaan ​​uit de volgende factoren 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

    Nadat de noemer is gevonden, moet een factor worden berekend die voor elke breuk anders zal zijn, dat wil zeggen het getal waarmee niet alleen de noemer, maar ook de teller moet worden vermenigvuldigd. Hiervoor delen we het gevonden getal (gemeenschappelijk veelvoud) door de noemer van de breuk waarvoor aanvullende factoren bepaald moeten worden.

    • 90 gedeeld door 15. Het resulterende getal "6" is een vermenigvuldiger voor 3/15.
    • 90 gedeeld door 18. Het resulterende getal "5" is een vermenigvuldiger voor 4/18.

    De volgende stap in onze oplossing is om elke breuk naar de noemer "90" te brengen.

    Hoe dat komt hebben we al besproken. Laten we eens kijken hoe dit is geschreven in een voorbeeld:

    (4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Als breuken met kleine getallen zijn, dan kun je de gemeenschappelijke noemer bepalen, zoals in het voorbeeld in de onderstaande afbeelding.

    Op dezelfde manier geproduceerd en met verschillende noemers.

    Aftrekken en gehele delen hebben

    Aftrekken van breuken en hun optelling hebben we al in detail geanalyseerd. Maar hoe af te trekken als de breuk een geheel getal heeft? Nogmaals, laten we een paar regels gebruiken:

    • Converteer alle breuken met een geheel getal naar onechte breuken. In eenvoudige bewoordingen, verwijder het hele onderdeel. Om dit te doen, wordt het getal van het gehele deel vermenigvuldigd met de noemer van de breuk, het resulterende product wordt toegevoegd aan de teller. Het getal dat na deze acties wordt verkregen, is de teller van een oneigenlijke breuk. De noemer blijft ongewijzigd.
    • Als breuken verschillende noemers hebben, moeten ze tot dezelfde worden teruggebracht.
    • Voer optellen of aftrekken uit met dezelfde noemers.
    • Als u een oneigenlijke breuk ontvangt, selecteert u het hele deel.

    Er is een andere manier waarop u breuken met gehele delen kunt optellen en aftrekken. Hiervoor worden acties afzonderlijk uitgevoerd met gehele delen, en afzonderlijk met breuken, en worden de resultaten samen geregistreerd.

    Het bovenstaande voorbeeld bestaat uit breuken die dezelfde noemer hebben. In het geval dat de noemers verschillend zijn, moeten ze worden teruggebracht tot hetzelfde, en dan de stappen volgen zoals getoond in het voorbeeld.

    Breuken aftrekken van een geheel getal

    Een andere van de variëteiten van acties met breuken is het geval wanneer de breuk moet worden afgetrokken. Op het eerste gezicht lijkt zo'n voorbeeld moeilijk op te lossen. Alles is hier echter vrij eenvoudig. Om het op te lossen, is het noodzakelijk om een ​​geheel getal om te zetten in een breuk, en met zo'n noemer, die zich in de af te trekken breuk bevindt. Vervolgens voeren we een aftrekking uit die vergelijkbaar is met aftrekken met dezelfde noemers. Het ziet er bijvoorbeeld zo uit:

    7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

    Het aftrekken van breuken in dit artikel (graad 6) is de basis voor het oplossen van complexere voorbeelden, die in de volgende klassen worden besproken. Kennis van dit onderwerp wordt vervolgens gebruikt om functies, afgeleiden, enzovoort op te lossen. Daarom is het erg belangrijk om de hierboven besproken acties met breuken te begrijpen en te begrijpen.