Handleiding kansrekening. Ministerie van Onderwijs van de Russische Federatie Kazan State Technical University vernoemd naar V.I. A. N. Tupoleva kansrekening (zelfstudie). Taken voor zelfoplossend vermogen voor de atleet zullen verbeteren
, Wetboek van Strafvordering van de Russische Federatie van 18.1.rtf , Grondbeginselen van de wetgeving van de Russische Federatie inzake gezondheidsbescherming , EHRM. Juridisch mechanisme voor het indienen van een individuele klacht en juridische .
Les 4. De stelling van optelling van kansen.
14.1. Kort theoretisch gedeelte
De kans op de som van twee gebeurtenissen wordt bepaald door de formuleP( EEN+BIJ) = P( EEN)+P( B) - R( AB),
die generaliseert naar de som van een willekeurig aantal gebeurtenissen
Voor onverenigbare gebeurtenissen is de kans op de som van gebeurtenissen gelijk aan de som van de kansen van deze gebeurtenissen, d.w.z. .
24.2. Testen
In welk geval worden gebeurtenissen A en B incompatibel of incompatibel genoemd?
b) Wanneer ten minste één van deze gebeurtenissen optreedt tijdens de test
c) Wanneer het gezamenlijk optreden van deze gebeurtenissen onmogelijk is
d) Wanneer beide gebeurtenissen plaatsvinden in de loop van het experiment
Geef gebeurtenissen op die compatibel zijn.
b) De aanwezigheid van dezelfde student op hetzelfde moment bij een lezing in de klas en in de bioscoop
c) Het begin van de lente volgens de kalender en sneeuwval
d) Het verschijnen van drie punten op de weggelaten zijde van elk van de twee dobbelstenen en de gelijkheid van de som van de punten op de gevallen zijde van beide dobbelstenen tot een oneven aantal
e) Een voetbalwedstrijd laten zien op de ene televisiezender en een nieuwsbericht op een andere
De optellingsstelling voor de kansen op onverenigbare gebeurtenissen is als volgt geformuleerd:
b) De kans op optreden van een van twee onverenigbare gebeurtenissen is gelijk aan de som van de kansen van deze gebeurtenissen
c) De kans op optreden van een van twee onverenigbare gebeurtenissen is gelijk aan het verschil tussen de kansen op optreden van deze gebeurtenissen
De optellingsstelling voor kansen op gezamenlijke gebeurtenis is als volgt geformuleerd:
b) De kans op het optreden van ten minste één van de twee gezamenlijke gebeurtenissen is gelijk aan de som van de kansen op deze gebeurtenissen zonder de waarschijnlijkheid van hun gezamenlijke optreden
c) De kans op het optreden van ten minste één van de twee gezamenlijke gebeurtenissen is gelijk aan de som van de kansen op deze gebeurtenissen en de kans op hun gezamenlijke optreden
De kansoptellingsstelling wordt gegeneraliseerd tot de som van een willekeurig aantal gebeurtenissen, en de waarschijnlijkheid van de som van gebeurtenissen in het algemeen wordt berekend met de formule:
Als de gebeurtenissen onverenigbaar zijn, is de kans op de som van deze gebeurtenissen gelijk aan:
b)
in)
34.3. Oplossing van typische taken
Voorbeeld 4.1. Bepaal de kans dat een batch van honderd producten, waaronder vijf defecte producten, wordt geaccepteerd wanneer willekeurig een geselecteerde helft van de hele batch wordt getest, als de acceptatievoorwaarden niet meer dan één op de vijftig defecte producten toestaan.Oplossing.
VAN, bestaande in het feit dat een partij van honderd producten, waarvan vijf defect zijn, zal worden geaccepteerd bij het willekeurig testen van een geselecteerde helft van de gehele partij.
Aanduiden door MAAR een gebeurtenis die bestaat in het feit dat er geen defecte producten zijn ontvangen tijdens de test, en daarna BIJ- een gebeurtenis die erin bestaat dat slechts één defect artikel wordt ontvangen.
Aangezien С=А+В, dan is de gewenste kans P(C) = Р( MAAR+B).
ontwikkelingen MAAR en BIJ onverenigbaar. Daarom P(C) = P( MAAR)+ P( B).
Van de 100 producten zijn er 50 op verschillende manieren te selecteren. Van de 95 niet-defecte producten kunnen er 50 op verschillende manieren worden geselecteerd.
daarom R( EEN)=.
Op dezelfde manier R( B)= .
P(C) = P( MAAR)+ P( B)=+==0,181.
Voorbeeld 4.2.
Elektrisch circuit tussen punten M en N samengesteld volgens het schema in Fig. 5.
Falen na verloop van tijd T verschillende elementen van de keten - onafhankelijke gebeurtenissen met de volgende kansen (tabel 1).
tafel 1
Element K 1
K 2
L 1
L 2
L 3
Waarschijnlijkheid0,60,50,40,70,9 Bepaal de kans dat een circuit in een bepaald tijdsinterval breekt.
Oplossing.
Laten we eens kijken naar het evenement VAN, bestaande in het feit dat er gedurende de aangegeven periode een kettingbreuk zal zijn.
Aanduiden door EEN j (j= 1,2) een gebeurtenis die bestaat uit het falen van een element Tot j, door MAAR- falen van ten minste één element Tot j, en door BIJ- falen van alle drie de elementen MAAR i (i=1, 2, 3).
Dan de gewenste kans
R( VAN) = P( EEN + BIJ) = P( EEN) + P( BIJ) - R( EEN)R( B).
R( EEN) = P( EEN 1 ) + P( EEN 2 ) - R( EEN 1 )R( EEN 2 ) = 0,8,
R( BIJ) = P( L 1 )R( L 2 ) R( L 3 ) = 0,252,
dan.
Voorbeeld 4.3.
De urn bevat n wit, m zwart zand ik rode ballen, die willekeurig één voor één worden getrokken:
a) geen terugkeer
b) met retour na elke extractie.
Bepaal in beide gevallen de kansen dat de witte bal eerder wordt getrokken dan de zwarte.
Oplossing.
Laten R 1 is de kans dat de witte bal eerder wordt getrokken dan de zwarte, en R 11 is de kans dat de zwarte bal eerder wordt getrokken dan de witte.
Waarschijnlijkheid R 1 is de som van de kansen om een witte bal te trekken onmiddellijk na het trekken van een rode, twee rode, enz. Dus kan men schrijven in het geval dat de ballen niet worden teruggegeven,
en wanneer de ballen terugkeren
Om kansen te krijgen R 11
in de vorige formules, moet je vervangen n op de m, a m op de n. Hieruit volgt dat in beide gevallen R 1
:R 11
= n:m. Aangezien bovendien R 1
+R 11
= 1, dan is de gewenste kans bij het trekken van ballen zonder vervanging ook gelijk.
Voorbeeld 4.4.
Iemand schreef n brieven, verzegelde ze in enveloppen en schreef vervolgens willekeurig een ander adres op elk van hen. Bepaal de kans dat ten minste één van de enveloppen het juiste adres heeft.
Oplossing.
Laat het evenement EEN k is dat aan? k-de envelop bevat het juiste adres ( k=l, 2,..., n).
De gewenste kans.
ontwikkelingen EEN k gewricht; voor elk ander k, j, i, ... gelijkheid geldt:
Met behulp van de formule voor de kans op de som n evenementen, we krijgen
in het algemeen n.
44.4. Taken voor zelfstandig werk
4.1. Elk van de vier onverenigbare gebeurtenissen kan optreden met respectievelijk kansen 0,012, 0,010, 0,006 en 0,002. Bepaal de kans dat ten minste één van deze gebeurtenissen zal plaatsvinden als gevolg van het experiment.(Antwoorden:
p = 0,03)
4.2. De schutter lost één schot op een doel dat bestaat uit een centrale cirkel en twee concentrische ringen. De kansen om de cirkel en de ring te raken zijn respectievelijk 0,20, 0,15 en 0,10. Bepaal de kans om het doel te raken.
(Antwoorden:
p = 0,55)
4.3. Twee identieke munten met een straal r gelegen binnen een cirkel met straal R, waarin willekeurig een punt wordt gegooid. Bepaal de kans dat dit punt op een van de munten valt als de munten elkaar niet overlappen.
(Antwoorden:
p =)
4.4. Wat is de kans om een stuk van een reeks of een schoppenkaart te trekken uit een kaartspel van 52 kaarten (een stuk wordt een boer, vrouw of koning genoemd)?
(Antwoorden:
p =)
4.5. De doos bevat 10 munten van 20 kopeken, 5 munten van 15 kopeken. en 2 munten van 10 kopeken. Er worden willekeurig zes munten getrokken. Wat is de kans dat ze in totaal maximaal één roebel bedragen?
(Antwoorden:
p =)
4.6. Twee urnen bevatten ballen die alleen in kleur verschillen, en in de eerste urn zijn er 5 witte ballen, 11 zwarte en 8 rode, en in de tweede 10, 8 en 6. Er wordt willekeurig één bal getrokken uit beide urnen. Wat is de kans dat beide ballen dezelfde kleur hebben?
(Antwoorden:
p = 0,323)
4.7. spel tussen EEN en B wordt uitgevoerd onder de volgende voorwaarden: als gevolg van de eerste zet, die altijd maakt MAAR, hij kan winnen met een kans van 0,3; als de eerste zet EEN wint niet, dan is de zet gedaan BIJ en kan winnen met een kans van 0,5; als als gevolg van deze beweging BIJ wint dan niet EEN doet een tweede zet, wat kan leiden tot zijn winst met een kans van 0,4. Bepaal de winnende kansen voor: MAAR en voor BIJ.
(Antwoorden:
= 0,44, = 0,35)
4.8. De kans voor een bepaalde atleet om zijn vorige resultaat in één poging te verbeteren is: R. Bepaal de kans dat een atleet zijn prestatie in een competitie zal verbeteren als twee pogingen zijn toegestaan.
(Antwoorden:
p(A) =)
4.9. Van een urn met daarin n ballen genummerd van 1 tot n, worden twee ballen achter elkaar getrokken, waarbij de eerste bal wordt teruggegeven als het aantal niet gelijk is aan één. Bepaal de kans dat de bal met nummer 2 wordt getrokken bij de tweede trekking.
(Antwoorden:
p =)
4.10. Speler MAAR afwisselend spelen met de spelers BIJ en VAN, met een kans om te winnen in elk spel van 0,25, en stopt het spel na het eerste verlies of na twee spellen gespeeld met elke speler. Bepaal de kans om te winnen BIJ en VAN.
(Antwoorden:
)
4.11. Twee mensen gooien om de beurt een munt op. Degene met het wapen als eerste wint. Bepaal de kans om te winnen voor elk van de spelers.
(Antwoorden:
)
4.12. De kans om een punt te behalen zonder een service te verliezen, bij het spelen van twee gelijkwaardige volleybalteams, is de helft. Bepaal de kans op één punt voor het serverende team.
(Antwoorden:
p =)
4.13. Twee schutters schieten afwisselend op het doel tot de eerste treffer. De trefferkans voor de eerste schutter is 0,2 en voor de tweede schutter 0,3. Bereken de kans dat de eerste schutter meer schoten afvuurt dan de tweede.
(Antwoorden:
p = 0,455)
4.14. Twee spelen om te winnen, en hiervoor is het noodzakelijk dat de eerste wint t partijen, en de tweede P partijen. De kans dat de eerste speler elk spel wint, is gelijk aan R, en de tweede q=1-R. Bepaal de kans dat de eerste speler het hele spel wint.
(Antwoorden: p(A) =)
1. De eerste doos bevat 2 witte en 10 zwarte ballen; De tweede doos bevat 8 witte en 4 zwarte ballen. Uit elke doos werd een bal genomen. Wat is de kans dat beide ballen wit zijn?
2. De eerste doos bevat 2 witte en 10 zwarte ballen; De tweede doos bevat 8 witte en 4 zwarte ballen. Uit elke doos werd een bal genomen. Wat is de kans dat de ene bal wit is en de andere zwart?
3. Er zitten 6 witte en 8 zwarte ballen in een doos. Twee ballen worden uit de box gehaald (zonder de verwijderde bal terug in de box te leggen). Bereken de kans dat beide ballen wit zijn.
4. Drie schutters schieten onafhankelijk van elkaar op het doel. De kans om het doel te raken voor de eerste schutter is 0,75, voor de tweede - 0,8, voor de derde - 0,9. Bepaal de kans dat alle drie de pijlen het doel tegelijkertijd raken; ten minste één schutter zal het doel raken.
5. Er zitten 9 witte en 1 zwarte ballen in de urn. Er werden drie ballen tegelijk uitgenomen. Wat is de kans dat alle ballen wit zijn?
6. Vuur drie schoten af op één doel. De kans om elk schot te raken is 0,5. Bereken de kans dat er slechts één treffer zal optreden als gevolg van deze schoten.
7. Twee schutters, voor wie de kans om het doel te raken respectievelijk 0,7 en 0,8 is, lossen elk één schot. Bepaal de kans op ten minste één treffer op het doel.
8. De kans dat een onderdeel dat op de eerste machine is gemaakt eersteklas is, is 0,7. Als hetzelfde onderdeel op de tweede machine wordt gemaakt, is deze kans 0,8. Op de eerste machine worden twee onderdelen gemaakt, op de tweede drie. Bereken de kans dat alle onderdelen eersteklas zijn.
9. De werking van het apparaat is gestopt vanwege het uitvallen van één van de vijf lampen . De zoektocht naar deze lamp wordt uitgevoerd door elke lamp om de beurt te vervangen door een nieuwe. Bepaal de kans dat je moet checken 2 lampen, als de faalkans van elke lamp p = 0.2 . is .
10. Op de site AB Er zijn 12 obstakels voor een racemotorrijder, de kans om bij elk van hen te stoppen is 0,1. De kans dat uit het item BIJ naar de eindbestemming VAN de motorrijder passeert zonder te stoppen, is gelijk aan 0,7. Bepaal de kans dat het gebied AC er zal geen stoppen zijn.
11. Er zijn 4 verkeerslichten onderweg van de auto. De kans om te stoppen bij de eerste twee is 0,3 en de volgende twee zijn 0,4. Wat is de kans om verkeerslichten te passeren zonder te stoppen?
12. Er zijn 3 verkeerslichten onderweg van de auto. De kans om te stoppen bij de eerste twee is 0,4 en bij de derde 0,5. Wat is de kans om met één stop verkeerslichten te passeren?
13. Per dag lopen twee netwerkservers op internet risico op een virusaanval met een kans van 0,3. Wat is de kans dat er in 2 dagen geen enkele aanval op hen is geweest?
14. De kans om het doel met één schot te raken voor een bepaalde schutter is 2/3 Als een treffer wordt geregistreerd bij het eerste schot, krijgt de schutter het recht op het tweede. Als hij bij de tweede weer slaat, dan schiet hij een derde keer. Wat is de kans om te raken met drie schoten?
15. Spel tussen MAAR en BIJ wordt gespeeld onder de volgende voorwaarden: als gevolg van de eerste zet, die altijd maakt MAAR, hij kan winnen met een kans van 0,3; als de eerste zet MAAR wint niet, dan is de zet gedaan BIJ en kan winnen met een kans van 0,5; als als gevolg van deze beweging BIJ wint dan niet MAAR doet een tweede zet, wat kan leiden tot zijn winst met een kans van 0,4. Bepaal de winnende kansen voor: MAAR en voor BIJ.
16. De kans voor een bepaalde atleet om zijn vorige resultaat in één poging te verbeteren is 0.2 . Bepaal de kans dat een atleet zijn prestatie in een competitie zal verbeteren als twee pogingen zijn toegestaan.
17. Speler MAAR speelt afwisselend twee spellen met de spelers BIJ en VAN. Kansen op het winnen van de eerste game voor BIJ en VAN zijn gelijk aan respectievelijk 0,1 en 0,2; de kans om te winnen in de tweede game voor BIJ is 0,3, voor VAN gelijk aan 0,4. Bepaal de kans dat: a) B als eerste wint; b) eerst winnen VAN.
18. Uit een urn met daarin P ballen genummerd van 1 tot n, worden twee ballen achter elkaar getrokken, waarbij de eerste wordt geretourneerd als het aantal niet gelijk is aan één. Bepaal de kans dat de bal met nummer 2 wordt getrokken bij de tweede trekking.
19. Speler MAAR speelt afwisselend met spelers B en C, met een winkans in elke set van 0,25, en stopt het spel na de eerste overwinning of na twee verloren games met een van beide spelers. Bepaal de kansen om B en C te winnen.
20. Twee mensen gooien om de beurt een munt op. Degene die wint. waarop het wapen als eerste zal verschijnen. Bepaal de kans om te winnen voor elk van de spelers.
21. Er zitten 8 witte en 6 zwarte ballen in een urn. Twee spelers trekken achtereenvolgens één bal, waarbij ze telkens de getrokken bal teruggeven. Het spel gaat door totdat een van hen een witte bal krijgt. Bepaal de kans dat de speler die het spel begint als eerste een witte bal trekt.
22. Er werd een koerier gestuurd voor documenten in 4 archieven. De kans op aanwezigheid van de benodigde documenten in het I-de archief is 0,9; in II - 0,95; in III-em - 0,8; in IV - ohm - 0,6. Vind de kans P van de afwezigheid van een document in slechts één archief.
23. Bereken de kans dat twee van de drie onafhankelijk werkende elementen van het rekenapparaat falen als de kans op falen van respectievelijk het eerste, tweede en derde element 0,3, 0,5, 0,4 is.
24. Er zitten 8 witte en 4 grijze muizen in een kooi. Drie muizen worden willekeurig geselecteerd voor laboratoriumtests en niet teruggestuurd. Bereken de kans dat alle drie de muizen wit zijn.
25. Er zitten 8 cavia's in een kooi. Drie van hen lijden aan een schending van de uitwisseling van minerale zouten. Drie dieren worden achtereenvolgens genomen zonder terugkeer. Hoe groot is de kans dat ze gezond zijn?
26. De vijver bevat 12 crucians, 18 brasems en 10 karpers. Drie vissen gevangen. Bereken de kans dat twee karpers en crucian achter elkaar werden gevangen.
27. Er zijn 12 koeien in de kudde, 4 van hen zijn van het Simmentaler-ras, de rest is van het Hallstein-Friest-ras. Drie dieren werden geselecteerd voor selectiewerk. Bereken de kans dat ze alle drie Simmental-rassen zijn.
28. Op de renbaan staan 10 bruine paarden, 3 grijze en 7 witte. 2 paarden werden willekeurig geselecteerd voor de race. Wat is de kans dat er geen wit paard tussen zit?
29. Er zijn 9 honden in de kennel, 3 daarvan zijn collies, 2 zijn boxers, de rest zijn honden. Drie honden worden willekeurig geselecteerd. Wat is de kans dat er minstens één bokser tussen zit?
30. Het gemiddelde nageslacht van dieren is 4. Het uiterlijk van vrouwelijke en mannelijke individuen is even waarschijnlijk. Bereken de kans dat er twee mannetjes in het nageslacht zijn.
31. De verpakking bevat zaden waarvan de kiemkracht 0,85 is. De kans dat de plant gaat bloeien is 0,9. Wat is de kans dat een plant die is gekweekt uit een willekeurig geselecteerd zaadje, gaat bloeien?
32. De verpakking bevat bonenzaden waarvan de kiemkracht 0,9 is. De kans dat bonenbloemen rood zijn is 0,3. Wat is de kans dat een plant uit een willekeurig geselecteerd zaadje rode bloemen heeft?
33. De kans dat een willekeurig gekozen persoon de komende maand in het ziekenhuis wordt opgenomen, is 0,01. Wat is de kans dat van de drie mensen die willekeurig op straat zijn geselecteerd, er de komende maand precies één in het ziekenhuis wordt opgenomen?
34. Een melkmeisje bedient 4 koeien. De kans op mastitis gedurende de maand voor de eerste koe is 0,1, voor de tweede - 0,2, voor de derde - 0,2, voor de vierde - 0,15. Bereken de kans dat ten minste één koe binnen een maand mastitis krijgt.
35. Vier jagers kwamen overeen om beurtelings op het wild te schieten. De volgende jager lost alleen een schot als de vorige mist. De kansen om het doelwit te raken door elk van de jagers zijn hetzelfde en gelijk aan 0,8. Bereken de kans dat er drie schoten worden gelost.
36. Een student studeert scheikunde, wiskunde en biologie. Hij schat dat de kansen om "uitstekend" te worden in deze cursussen respectievelijk 0,5, 0,3 en 0,4 zijn. Ervan uitgaande dat de cijfers in deze cursussen onafhankelijk zijn, bereken dan de kans dat hij geen "uitstekende" cijfers krijgt.
37. De student kent 20 van de 25 vragen van het programma. Hoe groot is de kans dat hij alle drie de vragen kent van het programma dat de examinator hem heeft gegeven?
38. Twee jagers schieten op een wolf en maken elk één schot. De kansen om het doel te raken door de eerste en tweede jager zijn respectievelijk 0,7 en 0,8. Wat is de kans dat je een wolf met minstens één schot raakt?
39. De kans om het doel met drie schoten minstens één keer te raken voor een schutter is 0,875. Vind de kans om met één schot te raken.
40. Uit de kudde worden zeer productieve koeien geselecteerd. De kans dat een willekeurig geselecteerd dier zeer productief is, is 0,2. Bereken de kans dat slechts twee van de drie geselecteerde koeien zeer productief zullen zijn.
41. In de eerste kooi zitten 3 witte en 4 grijze konijnen, in de tweede kooi zitten 7 witte en 5 zwarte konijnen. Uit elke kooi werd willekeurig één konijn genomen. Wat is de kans dat beide konijnen wit zijn?
42. De werkzaamheid van twee vaccins is onderzocht bij een groep dieren. Beide vaccins kunnen bij dieren allergie veroorzaken met gelijke kansen van 0,2. Bereken de kans dat de vaccins geen allergie veroorzaken.
43. Er zijn drie kinderen in het gezin. Ervan uitgaande dat de gebeurtenissen bestaande in de geboorte van een jongen en een meisje even waarschijnlijk zijn, bereken dan de kans dat alle kinderen in het gezin van hetzelfde geslacht zijn.
44. De kans op het ontstaan van een stabiel sneeuwdek in een bepaald gebied sinds oktober is 0,1. Bepaal de kans dat er in de komende drie jaar in dit gebied minimaal één keer sinds oktober een stabiel sneeuwdek zal ontstaan.
45. Bepaal de kans dat een willekeurig gekozen product eersteklas is, als bekend is dat 4% van alle producten defect is en 75% van de niet-defecte producten voldoet aan de eisen van het eerste leerjaar.
46. Twee schutters, voor wie de kans om het doel te raken respectievelijk 0,7 en 0,8 is, lossen elk één schot. Bepaal de kans op ten minste één treffer op het doel.
47. De kans dat een gebeurtenis zich voordoet in elk experiment is hetzelfde en gelijk aan 0,2. Experimenten worden achtereenvolgens uitgevoerd totdat de gebeurtenis plaatsvindt. Bepaal de kans dat een vierde experiment moet worden uitgevoerd.
48. De kans dat het onderdeel dat op de eerste machine is gemaakt eersteklas is, is 0,7. Bij de vervaardiging van hetzelfde onderdeel op de tweede machine is deze kans 0,8. Op de eerste machine worden twee onderdelen gemaakt, op de tweede drie. Bereken de kans dat alle onderdelen eersteklas zijn.
49. Een breuk in het elektrische circuit kan optreden wanneer een element of twee elementen falen en die onafhankelijk van elkaar falen, respectievelijk met een kans van 0,3; 0,2 en 0,2. Bepaal de kans dat het elektrische circuit wordt verbroken.
50. De werking van het apparaat is gestopt vanwege het uitvallen van één lamp op 10. De zoektocht naar deze lamp wordt uitgevoerd door elke lamp om de beurt te vervangen door een nieuwe. Bepaal de kans dat 7 lampen gecontroleerd moeten worden als de faalkans van elke lamp 0,1 is.
51. De kans dat de spanning in het elektrische circuit de nominale waarde overschrijdt, is 0,3. Bij verhoogde spanning is de kans op een ongeval van het apparaat - de verbruiker van elektrische stroom 0,8. Bepaal de kans dat het apparaat uitvalt als gevolg van spanningstoename.
52. De kans om het eerste doel te raken voor een bepaalde schutter is 2/3. Als een treffer wordt geregistreerd tijdens het eerste schot, krijgt de schutter het recht om op een ander doel te schieten. De kans om beide doelen met twee schoten te raken is 0,5. Bepaal de kans om het tweede doelwit te raken.
53. Met behulp van zes kaarten, waarop één letter is geschreven, wordt het woord “koets” samengesteld. De kaarten worden geschud en vervolgens willekeurig één voor één getrokken. Wat is de kans dat het woord "raket" in de volgorde van de letters wordt gevormd?
54. De abonnee is het laatste cijfer van het telefoonnummer vergeten en kiest het daarom willekeurig. Bepaal de kans dat hij op maximaal drie plaatsen zal moeten callen.
55. Elk van de vier onverenigbare gebeurtenissen kan respectievelijk optreden met een kans van 0,012; 0,010; 0,006 en 0,002. Bepaal de kans dat ten minste één van deze gebeurtenissen zal plaatsvinden als gevolg van het experiment.
56. Wat is de kans om uit een kaartspel van 52 kaarten een stuk van een willekeurige reeks of een schoppenkaart te halen (een stuk wordt een boer, vrouw of heer genoemd)?
57. Er zitten 10 munten van 20 kopeken in een doos, 5 munten van elk 15 kopeken. en 2 munten van 10 kopeken. Er worden willekeurig 6 munten genomen. Wat is de kans dat ze in totaal maximaal één roebel bedragen?
58. Er zijn ballen in twee urnen: in de eerste 5 witte, 11 zwarte en 8 rode, en in de tweede respectievelijk 10, 8 en 6. Uit beide urnen wordt willekeurig één bal getrokken. Wat is de kans dat beide ballen dezelfde kleur hebben?
59. De kans voor een bepaalde atleet om zijn vorige resultaat in één poging te verbeteren, is 0,4. Bepaal de kans dat een atleet zijn prestatie in een competitie zal verbeteren als twee pogingen zijn toegestaan.
4.1. Elk van de vier onverenigbare gebeurtenissen kan optreden met respectievelijk kansen 0,012, 0,010, 0,006 en 0,002. Bepaal de kans dat ten minste één van deze gebeurtenissen zal plaatsvinden als gevolg van het experiment.
(Antwoord: p = 0,03)
4.2. De schutter lost één schot op een doel dat bestaat uit een centrale cirkel en twee concentrische ringen. De kansen om de cirkel en de ring te raken zijn respectievelijk 0,20, 0,15 en 0,10. Bepaal de kans om het doel te raken.
(Antwoord: p = 0,55)
4.3. Twee identieke munten met straal r worden in een cirkel met straal R geplaatst waarin willekeurig een punt wordt gegooid. Bepaal de kans dat dit punt op een van de munten valt als de munten elkaar niet overlappen.
(Antwoord: p = )
4.4. Wat is de kans om een stuk van een reeks of een schoppenkaart te trekken uit een kaartspel van 52 kaarten (een stuk wordt een boer, vrouw of koning genoemd)?
(Antwoord: p = 
)
4.5. De doos bevat 10 munten van 20 kopeken, 5 munten van 15 kopeken. en 2 munten van 10 kopeken. Er worden willekeurig zes munten getrokken. Wat is de kans dat ze in totaal maximaal één roebel bedragen?
(Antwoord: p = 
)
4.6. Twee urnen bevatten ballen die alleen in kleur verschillen, en in de eerste urn zijn er 5 witte ballen, 11 zwarte en 8 rode, en in de tweede 10, 8 en 6. Er wordt willekeurig één bal getrokken uit beide urnen. Wat is de kans dat beide ballen dezelfde kleur hebben?
(Antwoord: p = 0,323)
4.7. Het spel tussen A en B wordt gespeeld onder de volgende voorwaarden: als resultaat van de eerste zet, die A altijd doet, kan hij winnen met een kans van 0,3; als A niet wint bij de eerste zet, dan doet B de zet en kan hij winnen met een kans van 0,5; wint B als gevolg van deze zet niet, dan doet A een tweede zet, die hem kan winnen met een kans van 0,4. Bepaal de winkansen voor A en B.
(Antwoorden: 
= 0,44, = 0,35)
4.8. De kans voor een bepaalde atleet om zijn vorige resultaat in één poging te verbeteren, is gelijk aan p. Bepaal de kans dat een atleet zijn prestatie in een competitie zal verbeteren als twee pogingen zijn toegestaan.
(Antwoord: p(A) = )
4.9. Uit een urn met n ballen genummerd van 1 tot n, worden twee ballen achter elkaar getrokken, waarbij de eerste bal wordt geretourneerd als het aantal niet gelijk is aan één. Bepaal de kans dat de bal met nummer 2 wordt getrokken bij de tweede trekking.
(Antwoord: p = )
4.10. Speler A wisselt af met spelers B en C, met een kans om elke set te winnen van 0,25, en stopt het spel na het eerste verlies of na twee games gespeeld met elke speler. Bepaal de kansen om B en C te winnen.
4.11. Twee mensen gooien om de beurt een munt op. Degene met het wapen als eerste wint. Bepaal de kans om te winnen voor elk van de spelers.
(Antwoorden: 
)
4.12. De kans om een punt te behalen zonder een service te verliezen, bij het spelen van twee gelijkwaardige volleybalteams, is de helft. Bepaal de kans op één punt voor het serverende team.
(Antwoord: p = )
4.13. Twee schutters schieten afwisselend op het doel tot de eerste treffer. De trefferkans voor de eerste schutter is 0,2 en voor de tweede schutter 0,3. Bereken de kans dat de eerste schutter meer schoten afvuurt dan de tweede.
(Antwoord: p = 0,455)
4.14. Twee spelen tot de overwinning, en hiervoor is het nodig dat de eerste m games wint en voor de tweede n games. De kans om elk spel te winnen door de eerste speler is p, en de tweede is q=1-p. Bepaal de kans dat de eerste speler het hele spel wint.
Optie 9
1. Op elk van de 6 identieke kaarten is één van de volgende letters gedrukt: o, g, o, p, o, d De kaarten worden grondig gemengd. Bereken de kans dat, door ze op een rij te plaatsen, het woord "tuin" kan worden gelezen.
2. De kans voor een bepaalde atleet om zijn vorige resultaat van 1 poging te verbeteren is 0,6. Bepaal de kans dat een atleet in een wedstrijd zijn resultaat zal verbeteren als 2 pogingen zijn toegestaan.
3. De eerste doos bevat 20 onderdelen, waarvan 15 standaard; in de tweede - 30 delen, waarvan 24 standaard; in de derde - 10 delen, waarvan 6 standaard. Bereken de kans dat een willekeurig gekozen onderdeel uit een willekeurig gekozen vak een standaardkans is.
4. Los problemen op met behulp van de Bernoulli-formule en de stelling van Moivre-Laplace: a) bij het verzenden van een bericht is de kans op vervorming van 1 teken 0,24. Bepaal de kans dat een bericht van 10 karakters niet meer dan 3 vervormingen bevat;
b) Er werden 400 bomen geplant. De kans dat een individuele boom zal overleven is 0,8. Bereken de kans dat het aantal overlevende bomen: 1) gelijk is aan 300; 2) meer dan 310 maar minder dan 330.
5. Bereken met behulp van tabelgegevens de wiskundige verwachting, variantie en standaarddeviatie van de willekeurige variabele X, en bepaal ook de kans dat de willekeurige variabele een waarde zal aannemen die groter is dan verwacht.
|
ik |
||||||
|
P i |
6. Een continue willekeurige variabele X wordt gegeven door de verdelingsfunctie
Vind: a) parameter k; b) wiskundige verwachting; c) dispersie.
7. De sociologische organisatie voert een enquête uit onder de werknemers van de onderneming om hun houding ten opzichte van de structurele reorganisatie die door het management van de onderneming wordt uitgevoerd, te verduidelijken. Ervan uitgaande dat het percentage mensen dat tevreden is met structurele transformaties wordt beschreven door een normale verdelingswet met parameters a = 53,1% en σ = 3,9%, vind de kans dat het percentage mensen dat tevreden is met de transformaties lager dan 50% zal zijn.
8. Er is een steekproef getrokken uit de algemene populatie, die wordt weergegeven in de vorm van een intervalvariatiereeks (zie tabel): a) aangenomen dat de algemene populatie een normale verdeling heeft, construeer dan een betrouwbaarheidsinterval voor de wiskundige verwachting met een betrouwbaarheid kans γ = 0,95; b) de coëfficiënten van scheefheid en kurtosis berekenen met behulp van een vereenvoudigde methode en passende veronderstellingen maken over de vorm van de populatieverdelingsfunctie; c) test met behulp van de Pearson-test de hypothese van een normale verdeling van de algemene bevolking op een significantieniveau van α = 0,05.
|
29-32 |
|
|
32-35 |
|
|
35-38 |
|
|
38-41 |
|
|
41-44 |
|
|
44-47 |
|
|
47-50 |
9. Een correlatietabel van X- en Y-waarden wordt gegeven: a) bereken de correlatiecoëfficiënt r xy, trek conclusies over de relatie tussen X en Y; b) zoek de vergelijkingen van lineaire regressie X op Y en Y op X, en plot hun grafieken.
|
5.24-5.35 |
5.35-5.46 |
5.46-5.47 |
5.47-5.68 |
5.68-5.79 |
5.79-5.90 |
5.90-6.01 |
6.01-6.12 |
6.12-6.23 |
||
|
21.3-22.0 |
||||||||||
|
22.0-22.7 |
||||||||||
|
22.7-23.4 |
||||||||||
|
23.4-24.1 |
||||||||||
|
24.1-24.8 |
||||||||||
|
24.8-25.5 |
||||||||||
|
25.5-26.2 |
||||||||||
|
26.2-26.9 |
||||||||||