De Tg van de hoek is gelijk aan de verhouding. Rechte driehoek. Volledige geïllustreerde gids (2019)

Een van de takken van de wiskunde waarmee schoolkinderen de grootste moeilijkheden hebben, is trigonometrie. Geen wonder: om dit kennisgebied vrijelijk onder de knie te krijgen, heb je ruimtelijk denken nodig, het vermogen om sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen, cotangenten te vinden met behulp van formules, uitdrukkingen te vereenvoudigen en het getal pi in berekeningen te kunnen gebruiken. Daarnaast moet je trigonometrie kunnen toepassen bij het bewijzen van stellingen, en dit vereist ofwel een ontwikkeld wiskundig geheugen of het vermogen om complexe logische ketens af te leiden.

Oorsprong van trigonometrie

Kennismaking met deze wetenschap zou moeten beginnen met de definitie van de sinus, cosinus en tangens van de hoek, maar eerst moet je uitzoeken wat trigonometrie in het algemeen doet.

Historisch gezien waren rechthoekige driehoeken het belangrijkste studieobject in dit deel van de wiskundige wetenschap. De aanwezigheid van een hoek van 90 graden maakt het mogelijk om verschillende bewerkingen uit te voeren waarmee men de waarden van alle parameters van de betreffende figuur kan bepalen met behulp van twee zijden en één hoek of twee hoeken en één zijde. In het verleden merkten mensen dit patroon op en begonnen het actief te gebruiken bij de constructie van gebouwen, navigatie, astronomie en zelfs kunst.

eerste fase

Aanvankelijk sprak men uitsluitend over de relatie van hoeken en zijden naar het voorbeeld van rechthoekige driehoeken. Toen werden speciale formules ontdekt die het mogelijk maakten om de grenzen van het gebruik in het dagelijks leven van dit deel van de wiskunde te verleggen.

De studie van trigonometrie op school begint tegenwoordig met rechthoekige driehoeken, waarna de opgedane kennis wordt gebruikt door studenten in de natuurkunde en het oplossen van abstracte trigonometrische vergelijkingen, waarmee het werk op de middelbare school begint.

Sferische trigonometrie

Later, toen de wetenschap het volgende ontwikkelingsniveau bereikte, werden formules met sinus, cosinus, tangens en cotangens gebruikt in sferische meetkunde, waar andere regels van toepassing zijn, en de som van de hoeken in een driehoek is altijd meer dan 180 graden. Dit gedeelte wordt niet op school bestudeerd, maar het is noodzakelijk om te weten over het bestaan ervan, tenminste omdat het aardoppervlak, en het oppervlak van elke andere planeet, convex is, wat betekent dat elke oppervlaktemarkering "boogvormig" zal zijn in driedimensionale ruimte.

Neem de wereldbol en rijg deze in. Bevestig de draad aan twee willekeurige punten op de wereldbol zodat deze strak staat. Let op - het heeft de vorm van een boog gekregen. Het is met dergelijke vormen dat sferische meetkunde, die wordt gebruikt in geodesie, astronomie en andere theoretische en toegepaste gebieden, te maken heeft.

Rechthoekige driehoek

Nadat we iets hebben geleerd over de manieren om trigonometrie te gebruiken, keren we terug naar de basisgonometrie om verder te begrijpen wat sinus, cosinus en tangens zijn, welke berekeningen met hun hulp kunnen worden uitgevoerd en welke formules we moeten gebruiken.

De eerste stap is om de concepten met betrekking tot een rechthoekige driehoek te begrijpen. Ten eerste is de hypotenusa de zijde tegenover de hoek van 90 graden. Ze is de langste. We herinneren ons dat, volgens de stelling van Pythagoras, de numerieke waarde gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de andere twee zijden.

Als twee zijden bijvoorbeeld respectievelijk 3 en 4 centimeter zijn, is de lengte van de hypotenusa 5 centimeter. Trouwens, de oude Egyptenaren wisten dit ongeveer vier en een half duizend jaar geleden.

De twee resterende zijden die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd. Bovendien moeten we onthouden dat de som van de hoeken in een driehoek in een rechthoekig coördinatensysteem 180 graden is.

Definitie

Eindelijk, met een goed begrip van de geometrische basis, kunnen we ons wenden tot de definitie van de sinus, cosinus en tangens van een hoek.

De sinus van een hoek is de verhouding van het tegenoverliggende been (d.w.z. de zijde tegenover de gewenste hoek) tot de hypotenusa. De cosinus van een hoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

Onthoud dat sinus en cosinus niet groter kunnen zijn dan één! Waarom? Omdat de hypotenusa standaard de langste is, maakt het niet uit hoe lang het been is, het zal korter zijn dan de hypotenusa, wat betekent dat hun verhouding altijd minder dan één zal zijn. Dus als je een sinus of cosinus krijgt met een waarde groter dan 1 in het antwoord op het probleem, zoek dan naar een fout in berekeningen of redenering. Dit antwoord is duidelijk fout.

Ten slotte is de tangens van een hoek de verhouding van de overstaande zijde tot de aangrenzende zijde. Hetzelfde resultaat geeft de deling van de sinus door de cosinus. Kijk: volgens de formule delen we de lengte van de zijde door de hypotenusa, waarna we delen door de lengte van de tweede zijde en vermenigvuldigen met de hypotenusa. We krijgen dus dezelfde verhouding als in de definitie van tangens.

De cotangens is respectievelijk de verhouding van de zijde grenzend aan de hoek tot de tegenoverliggende zijde. We krijgen hetzelfde resultaat door de eenheid te delen door de tangens.

We hebben dus de definities bekeken van wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, en we kunnen omgaan met formules.

De eenvoudigste formules

In trigonometrie kan men niet zonder formules - hoe vind je sinus, cosinus, tangens, cotangens zonder formules? En dit is precies wat nodig is bij het oplossen van problemen.

De eerste formule die je moet weten als je trigonometrie gaat bestuderen, zegt dat de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van een hoek gelijk is aan één. Deze formule is een direct gevolg van de stelling van Pythagoras, maar het bespaart tijd als je de waarde van de hoek wilt weten, niet de zijde.

Veel leerlingen kunnen zich de tweede formule niet herinneren, die ook erg populair is bij het oplossen van schoolproblemen: de som van één en het kwadraat van de tangens van een hoek is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus van de hoek. Kijk eens goed: dit is immers dezelfde uitspraak als in de eerste formule, alleen werden beide zijden van de identiteit gedeeld door het kwadraat van de cosinus. Het blijkt dat een eenvoudige wiskundige bewerking de trigonometrische formule volledig onherkenbaar maakt. Onthoud: als je weet wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, de conversieregels en een paar basisformules, kun je op elk moment zelfstandig de benodigde meer complexe formules op een vel papier afleiden.

Dubbele-hoekformules en toevoeging van argumenten

Nog twee formules die u moet leren, hebben betrekking op de sinus- en cosinuswaarden van de som en het verschil van de hoeken. Ze zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding. Houd er rekening mee dat in het eerste geval de sinus en de cosinus beide keren worden vermenigvuldigd en in het tweede geval het paarsgewijze product van de sinus en de cosinus wordt toegevoegd.

Er zijn ook formules die verband houden met dubbele-hoekargumenten. Ze zijn volledig afgeleid van de vorige - probeer ze als oefening zelf te krijgen, waarbij de hoek van alfa gelijk is aan de hoek van bèta.

Merk ten slotte op dat de dubbele-hoekformules kunnen worden omgezet om de graad van sinus, cosinus, tangens alfa te verlagen.

stellingen

De twee belangrijkste stellingen in de basistrigonometrie zijn de sinusstelling en de cosinusstelling. Met behulp van deze stellingen kun je gemakkelijk begrijpen hoe je de sinus, cosinus en tangens kunt vinden, en dus het gebied van de figuur, en de grootte van elke zijde, enz.

De sinusstelling stelt dat als we de lengte van elk van de zijden van de driehoek delen door de waarde van de tegenovergestelde hoek, we hetzelfde getal krijgen. Bovendien zal dit aantal gelijk zijn aan twee stralen van de omgeschreven cirkel, dat wil zeggen de cirkel die alle punten van de gegeven driehoek bevat.

De cosinusstelling generaliseert de stelling van Pythagoras en projecteert deze op alle driehoeken. Het blijkt dat van de som van de kwadraten van de twee zijden, hun product aftrekt, vermenigvuldigd met de dubbele cosinus van de aangrenzende hoek - de resulterende waarde zal gelijk zijn aan het kwadraat van de derde zijde. De stelling van Pythagoras blijkt dus een speciaal geval van de cosinusstelling te zijn.

Fouten door onoplettendheid

Zelfs als je weet wat sinus, cosinus en tangens zijn, kun je gemakkelijk een fout maken door verstrooidheid of een fout in de eenvoudigste berekeningen. Laten we, om dergelijke fouten te voorkomen, kennis maken met de meest populaire.

Ten eerste moet u gewone breuken niet naar decimalen converteren totdat het eindresultaat is verkregen - u kunt het antwoord als een gewone breuk laten staan, tenzij de voorwaarde anders aangeeft. Een dergelijke transformatie kan geen fout worden genoemd, maar er moet aan worden herinnerd dat in elke fase van de taak nieuwe wortels kunnen verschijnen, die volgens het idee van de auteur moeten worden verminderd. In dit geval verspilt u tijd aan onnodige wiskundige bewerkingen. Dit geldt met name voor waarden zoals de wortel van drie of twee, omdat ze bij elke stap in taken voorkomen. Hetzelfde geldt voor het afronden van "lelijke" getallen.

Merk verder op dat de cosinusstelling van toepassing is op elke driehoek, maar niet op de stelling van Pythagoras! Als u per ongeluk vergeet tweemaal het product van de zijden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek ertussen af te trekken, krijgt u niet alleen een volledig verkeerd resultaat, maar toont u ook een volledig verkeerd begrip van het onderwerp aan. Dit is erger dan een onvoorzichtige fout.

Ten derde, verwar de waarden voor hoeken van 30 en 60 graden niet voor sinussen, cosinuslijnen, raaklijnen, cotangensen. Onthoud deze waarden, want de sinus van 30 graden is gelijk aan de cosinus van 60 en vice versa. Het is gemakkelijk om ze door elkaar te halen, waardoor je onvermijdelijk een foutief resultaat krijgt.

Sollicitatie

Veel studenten hebben geen haast om trigonometrie te gaan studeren, omdat ze de toegepaste betekenis ervan niet begrijpen. Wat is sinus, cosinus, tangens voor een ingenieur of astronoom? Dit zijn concepten waarmee je de afstand tot verre sterren kunt berekenen, de val van een meteoriet kunt voorspellen, een onderzoekssonde naar een andere planeet kunt sturen. Zonder hen is het onmogelijk om een gebouw te bouwen, een auto te ontwerpen, de belasting op het oppervlak of de baan van een object te berekenen. En dit zijn nog maar de meest voor de hand liggende voorbeelden! Trigonometrie in een of andere vorm wordt immers overal gebruikt, van muziek tot geneeskunde.

Eindelijk

Dus je bent sinus, cosinus, tangens. Je kunt ze gebruiken in berekeningen en met succes schoolproblemen oplossen.

De hele essentie van trigonometrie komt erop neer dat onbekende parameters moeten worden berekend uit de bekende parameters van de driehoek. Er zijn in totaal zes parameters: de lengtes van drie zijden en de grootten van drie hoeken. Het hele verschil in de taken zit hem in het feit dat er verschillende invoergegevens worden gegeven.

Hoe je de sinus, cosinus, tangens kunt vinden op basis van de bekende lengtes van de benen of de hypotenusa, weet je nu. Aangezien deze termen niets meer betekenen dan een verhouding, en een verhouding een breuk is, is het belangrijkste doel van het trigonometrische probleem het vinden van de wortels van een gewone vergelijking of een stelsel vergelijkingen. En hier word je geholpen door gewone schoolwiskunde.

De lijn y \u003d f (x) raakt de grafiek in de figuur op het punt x0 als deze door het punt met coördinaten (x0; f (x0)) gaat en een helling heeft f "(x0). Vind zo'n coëfficiënt, die de kenmerken van de raaklijn kent, is niet moeilijk.

Je zal nodig hebben

- wiskundig naslagwerk;
- een eenvoudig potlood;
- notitieboekje;
- gradenboog;
- kompas;
- pen.

Instructie

Als de waarde f'(x0) niet bestaat, dan is er ofwel geen raaklijn, of gaat deze verticaal voorbij. Met het oog hierop is de aanwezigheid van de afgeleide van de functie in het punt x0 te wijten aan het bestaan van een niet-verticale raaklijn die in contact staat met de grafiek van de functie in het punt (x0, f(x0)). In dit geval is de helling van de raaklijn gelijk aan f "(x0). Zo wordt de geometrische betekenis van de afgeleide duidelijk - de berekening van de helling van de raaklijn.

Teken op aanvullende raaklijnen die in contact zouden komen met de grafiek van de functie in de punten x1, x2 en x3, en markeer ook de hoeken gevormd door deze raaklijnen met de abscis (een dergelijke hoek wordt geteld in de positieve richting van de as naar de raaklijn). De hoek, dat wil zeggen α1, zal bijvoorbeeld scherp zijn, de tweede (α2) is stomp en de derde (α3) is nul, omdat de raaklijn evenwijdig is aan de OX-as. In dit geval is de raaklijn van een stompe hoek negatief, de raaklijn van een scherpe hoek positief en voor tg0 is het resultaat nul.

Opmerking

Bepaal correct de hoek gevormd door de raaklijn. Gebruik hiervoor een gradenboog.

Nuttig advies

Twee schuine lijnen zullen evenwijdig zijn als hun hellingen gelijk zijn aan elkaar; loodrecht als het product van de hellingen van deze raaklijnen -1 is.

bronnen:

Raaklijn aan functiegrafiek

Cosinus wordt, net als sinus, "directe" trigonometrische functies genoemd. De tangens (samen met de cotangens) wordt toegevoegd aan een ander paar genaamd "derivaten". Er zijn verschillende definities van deze functies, die het mogelijk maken om de tangens van de cosinus te vinden die wordt gegeven door de bekende waarde van dezelfde waarde.

Instructie

Trek het quotiënt van de eenheid af door de cosinus van de gegeven hoek verheven tot de waarde, en extraheer de vierkantswortel uit het resultaat - dit is de waarde van de tangens uit de hoek, uitgedrukt door de cosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Let er tegelijkertijd op dat in de formule de cosinus in de noemer van de breuk staat. De onmogelijkheid om te delen door nul sluit het gebruik van deze uitdrukking uit voor hoeken gelijk aan 90°, evenals het verschillen van deze waarde door veelvouden van 180° (270°, 450°, -90°, enz.).

Er is een alternatieve manier om de tangens te berekenen uit een bekende cosinuswaarde. Het kan worden gebruikt als er geen beperking is op het gebruik van andere . Om deze methode te implementeren, bepaalt u eerst de waarde van de hoek uit de bekende waarde van de cosinus - dit kan worden gedaan met behulp van de arccosinus-functie. Bereken dan eenvoudig de tangens voor de hoek van de resulterende waarde. In het algemeen kan dit algoritme als volgt worden geschreven: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Er is nog een exotische optie die de definitie van cosinus en raaklijn door de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek gebruikt. De cosinus in deze definitie komt overeen met de verhouding van de lengte van het been naast de beschouwde hoek tot de lengte van de hypotenusa. Als u de waarde van de cosinus kent, kunt u de lengtes van deze twee zijden kiezen die ermee overeenkomen. Als cos(α)=0,5 bijvoorbeeld, dan kan de aangrenzende gelijk zijn aan 10 cm, en de hypotenusa - 20 cm. Specifieke getallen doen er hier niet toe - u krijgt hetzelfde en corrigeert met alle waarden die hetzelfde hebben. Bepaal vervolgens met behulp van de stelling van Pythagoras de lengte van de ontbrekende zijde - het andere been. Het is gelijk aan de vierkantswortel van het verschil tussen de lengtes van de vierkante hypotenusa en het bekende been: √(20²-10²)=√300. Per definitie komt de tangens overeen met de verhouding van de lengtes van de tegenoverliggende en aangrenzende benen (√300/10) - bereken deze en verkrijg de gevonden tangenswaarde met behulp van de klassieke definitie van cosinus.

bronnen:

cosinus door tangens formule

Een van de trigonometrische functies, meestal aangeduid met de letters tg, hoewel de notatie tan ook wordt gevonden. De gemakkelijkste manier is om de tangens weer te geven als de verhouding van de sinus hoek naar zijn cosinus. Dit is een oneven periodieke en niet continue functie, waarvan elke cyclus gelijk is aan het getal Pi, en het breekpunt komt overeen met de markering op de helft van dit getal.

Waar de taken voor het oplossen van een rechthoekige driehoek werden overwogen, beloofde ik een techniek te presenteren voor het uit het hoofd leren van de definities van sinus en cosinus. Als u het gebruikt, zult u altijd snel onthouden welk been bij de hypotenusa hoort (aangrenzend of tegenovergesteld). Ik heb besloten het niet voor onbepaalde tijd uit te stellen, het benodigde materiaal staat hieronder, lees het aub

Het is een feit dat ik herhaaldelijk heb gezien hoe studenten in de groepen 10-11 moeite hebben om deze definities te onthouden. Ze herinneren zich heel goed dat het been verwijst naar de hypotenusa, maar welke?- vergeet en verward. De prijs van een fout, zoals je weet in het examen, is een verloren score.

De informatie die ik rechtstreeks aan de wiskunde zal presenteren, heeft niets te maken. Het wordt geassocieerd met figuratief denken en met de methoden van verbaal-logische verbinding. Dat klopt, ik heb het zelf voor eens en altijd onthoudendefinitie gegevens. Als je ze nog steeds vergeet, dan is het met behulp van de gepresenteerde technieken altijd gemakkelijk te onthouden.

Laat me je de definities van sinus en cosinus in een rechthoekige driehoek herinneren:

Cosinus scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa:

Sinus scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het andere been tot de hypotenusa:

Dus, welke associaties roept het woord cosinus bij jou op?

Waarschijnlijk heeft iedereen zijn eigenOnthoud de link:

Zo heb je meteen een uitdrukking in je geheugen -

«… verhouding van AANgrenzend been tot hypotenusa».

Het probleem met de definitie van cosinus is opgelost.

Als u de definitie van de sinus in een rechthoekige driehoek moet onthouden, en als u de definitie van de cosinus onthoudt, kunt u gemakkelijk vaststellen dat de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek de verhouding is van het andere been tot de hypotenusa. Er zijn immers maar twee benen, als het aangrenzende been wordt "bezet" door de cosinus, dan blijft alleen de tegenoverliggende zijde over voor de sinus.

Hoe zit het met tangens en cotangens? Zelfde verwarring. Studenten weten dat dit de verhouding van benen is, maar het probleem is om te onthouden welke naar welke verwijst - ofwel tegenovergesteld aan aangrenzend, of omgekeerd.

definities:

Raaklijn een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende:

Cotangens scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenovergestelde:

Hoe onthouden? Er zijn twee manieren. De ene gebruikt ook een verbaal-logische verbinding, de andere - een wiskundige.

WISKUNDE METHODE

Er is zo'n definitie - de tangens van een scherpe hoek is de verhouding van de sinus van een hoek tot zijn cosinus:

* Onthoud de formule, je kunt altijd bepalen dat de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek de verhouding is van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been.

Insgelijks.De cotangens van een scherpe hoek is de verhouding van de cosinus van een hoek tot zijn sinus:

Dus! Als u deze formules onthoudt, kunt u altijd bepalen dat:

- de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende

- de cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenoverliggende been.

VERBAAL-LOGISCHE METHODE

Over raaklijn. Onthoud de link:

Dat wil zeggen, als u de definitie van de raaklijn moet onthouden, kunt u met behulp van deze logische verbinding gemakkelijk onthouden wat het is

"... de verhouding van het andere been tot het aangrenzende"

Als het op cotangens aankomt, onthoud dan de definitie van tangens, je kunt gemakkelijk de definitie van cotangens uitspreken -

"... de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenovergestelde"

Er is een interessante techniek om tangens en cotangens op de site te onthouden " Wiskundige tandem " , kijk.

METHODE UNIVERSEEL

Je kunt gewoon malen.Maar zoals de praktijk laat zien, onthoudt een persoon, dankzij verbaal-logische verbindingen, informatie voor een lange tijd, en niet alleen wiskundig.

Ik hoop dat het materiaal nuttig voor je was.

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh

P.S: Ik zou het op prijs stellen als u op sociale netwerken over de site vertelt.

In de vijfde eeuw voor Christus formuleerde de oude Griekse filosoof Zeno van Elea zijn beroemde aporieën, waarvan de meest bekende de aporia "Achilles en de schildpad" is. Zo klinkt het:

Laten we zeggen dat Achilles tien keer sneller loopt dan de schildpad en duizend passen achter hem loopt. Gedurende de tijd dat Achilles deze afstand aflegt, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Als Achilles honderd stappen heeft gelopen, kruipt de schildpad nog eens tien stappen, enzovoort. Het proces zal oneindig doorgaan, Achilles zal de schildpad nooit inhalen.

Deze redenering werd een logische schok voor alle volgende generaties. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Allemaal beschouwden ze op de een of andere manier Zeno's aporieën. De schok was zo sterk dat " ... de discussies gaan momenteel door, de wetenschappelijke gemeenschap is er nog niet in geslaagd om tot een gemeenschappelijke mening te komen over de essentie van paradoxen ... wiskundige analyse, verzamelingenleer, nieuwe fysieke en filosofische benaderingen waren betrokken bij de studie van het probleem ; geen van hen werd een algemeen aanvaarde oplossing voor het probleem ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Iedereen begrijpt dat ze voor de gek worden gehouden, maar niemand begrijpt wat het bedrog is.

Vanuit het oogpunt van wiskunde toonde Zeno in zijn aporia duidelijk de overgang van de waarde naar. Deze overgang impliceert het toepassen in plaats van constanten. Voor zover ik begrijp, is het wiskundige apparaat voor het toepassen van variabele meeteenheden ofwel nog niet ontwikkeld, ofwel is het niet toegepast op Zeno's aporie. De toepassing van onze gebruikelijke logica leidt ons in een val. Wij, door de traagheid van het denken, passen constante tijdseenheden toe op het wederkerige. Fysiek gezien lijkt het alsof de tijd vertraagt tot een volledige stilstand op het moment dat Achilles de schildpad inhaalt. Als de tijd stopt, kan Achilles de schildpad niet meer inhalen.

Als we de logica omdraaien die we gewend zijn, valt alles op zijn plaats. Achilles loopt met een constante snelheid. Elk volgend segment van zijn pad is tien keer korter dan het vorige. Dienovereenkomstig is de tijd die wordt besteed aan het overwinnen ervan tien keer minder dan de vorige. Als we in deze situatie het concept van 'oneindig' toepassen, zou het juist zijn om te zeggen: 'Achilles zal de schildpad oneindig snel inhalen'.

Hoe deze logische val te vermijden? Blijf in constante tijdseenheden en schakel niet over naar wederzijdse waarden. In de taal van Zeno ziet het er als volgt uit:

In de tijd die Achilles nodig heeft om duizend stappen te lopen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Gedurende het volgende tijdsinterval, gelijk aan de eerste, zal Achilles nog duizend stappen lopen en de schildpad honderd stappen. Achilles loopt nu achthonderd passen voor op de schildpad.

Deze benadering beschrijft de werkelijkheid adequaat zonder enige logische paradox. Maar dit is geen volledige oplossing voor het probleem. Einsteins uitspraak over de onoverkomelijkheid van de lichtsnelheid lijkt sterk op Zeno's aporia "Achilles en de schildpad". We moeten dit probleem nog bestuderen, heroverwegen en oplossen. En de oplossing moet niet in oneindig grote aantallen worden gezocht, maar in meeteenheden.

Een andere interessante aporie van Zeno vertelt over een vliegende pijl:

Een vliegende pijl is bewegingloos, omdat hij op elk moment in rust is, en aangezien hij op elk moment in rust is, is hij altijd in rust.

In deze aporie wordt de logische paradox heel eenvoudig overwonnen - het is voldoende om te verduidelijken dat de vliegende pijl op elk moment in rust is op verschillende punten in de ruimte, wat in feite beweging is. Hier moet nog een ander punt worden opgemerkt. Aan de hand van één foto van een auto op de weg is het onmogelijk om het feit van zijn beweging of de afstand tot de auto te bepalen. Om het feit van de beweging van de auto te bepalen, zijn twee foto's nodig die vanaf hetzelfde punt op verschillende tijdstippen zijn genomen, maar ze kunnen niet worden gebruikt om de afstand te bepalen. Om de afstand tot de auto te bepalen, heb je twee foto's nodig die tegelijkertijd vanaf verschillende punten in de ruimte zijn gemaakt, maar je kunt het feit van beweging ervan niet bepalen (je hebt natuurlijk nog steeds aanvullende gegevens nodig voor berekeningen, trigonometrie zal je helpen) . Waar ik in het bijzonder op wil wijzen, is dat twee punten in de tijd en twee punten in de ruimte twee verschillende dingen zijn die niet met elkaar verward mogen worden, aangezien ze verschillende mogelijkheden voor verkenning bieden.

woensdag 4 juli 2018

Heel goed worden de verschillen tussen set en multiset beschreven in Wikipedia. Wij kijken.

Zoals je kunt zien, "de set kan geen twee identieke elementen hebben", maar als er identieke elementen in de set zijn, wordt zo'n set een "multiset" genoemd. Redelijke wezens zullen een dergelijke logica van absurditeit nooit begrijpen. Dit is het niveau van pratende papegaaien en getrainde apen, waarbij de geest afwezig is bij het woord 'volledig'. Wiskundigen treden op als gewone trainers en prediken hun absurde ideeën aan ons.

Er waren eens de ingenieurs die de brug bouwden tijdens de tests van de brug in een boot onder de brug. Als de brug instortte, stierf de middelmatige ingenieur onder het puin van zijn creatie. Als de brug de belasting kon weerstaan, bouwde de getalenteerde ingenieur andere bruggen.

Hoe wiskundigen zich ook verschuilen achter de uitdrukking "let op, ik ben in huis", of beter gezegd "wiskunde bestudeert abstracte concepten", er is één navelstreng die hen onlosmakelijk met de werkelijkheid verbindt. Deze navelstreng is geld. Laten we de wiskundige verzamelingenleer toepassen op wiskundigen zelf.

We hebben heel goed wiskunde gestudeerd en nu zitten we aan de kassa en betalen de salarissen. Hier komt een wiskundige naar ons toe voor zijn geld. We tellen het hele bedrag bij hem en leggen het op onze tafel in verschillende stapels, waarin we biljetten van dezelfde waarde leggen. Dan nemen we van elke stapel een rekening en geven de wiskundige zijn "wiskundige salarisset". We leggen de wiskunde uit dat hij de rest van de rekeningen alleen krijgt als hij bewijst dat de verzameling zonder identieke elementen niet gelijk is aan de verzameling met identieke elementen. Dit is waar het plezier begint.

Allereerst zal de logica van de deputaten werken: "je kunt het op anderen toepassen, maar niet op mij!" Verder zullen de verzekeringen beginnen dat er verschillende bankbiljetnummers op bankbiljetten van dezelfde denominatie staan, wat betekent dat ze niet als identieke elementen kunnen worden beschouwd. Welnu, we tellen het salaris in munten - er staan geen cijfers op de munten. Hier zal de wiskundige zich verwoed natuurkunde herinneren: verschillende munten hebben verschillende hoeveelheden vuil, de kristalstructuur en rangschikking van atomen voor elke munt is uniek ...

En nu heb ik de meest interessante vraag: waar ligt de grens waarachter elementen van een multiset veranderen in elementen van een set en vice versa? Zo'n lijn bestaat niet - alles wordt bepaald door sjamanen, de wetenschap is hier niet eens in de buurt.

Kijk hier. We selecteren voetbalstadions met hetzelfde veldoppervlak. De oppervlakte van de velden is hetzelfde, wat betekent dat we een multiset hebben. Maar als we kijken naar de namen van dezelfde stadions, dan krijgen we veel, omdat de namen anders zijn. Zoals je kunt zien, is dezelfde set elementen tegelijkertijd zowel een set als een multiset. Hoe goed? En hier haalt de wiskundige-sjamaan-shuller een troef uit zijn mouw en begint ons te vertellen over een set of een multiset. Hij zal ons in ieder geval overtuigen van zijn gelijk.

Om te begrijpen hoe moderne sjamanen werken met de verzamelingenleer en deze verbinden met de werkelijkheid, volstaat het om één vraag te beantwoorden: hoe verschillen de elementen van de ene verzameling van de elementen van een andere verzameling? Ik zal je laten zien, zonder enige "denkbaar als geen enkel geheel" of "niet voorstelbaar als een enkel geheel."

zondag 18 maart 2018

De som van de cijfers van een getal is een dans van sjamanen met een tamboerijn, die niets met wiskunde te maken heeft. Ja, in wiskundelessen wordt ons geleerd om de som van de cijfers van een getal te vinden en te gebruiken, maar daarvoor zijn ze sjamanen, om hun nakomelingen hun vaardigheden en wijsheid te leren, anders sterven sjamanen gewoon uit.

Heb je bewijs nodig? Open Wikipedia en probeer de pagina "Sum of Digits of a Number" te vinden. Ze bestaat niet. Er is geen formule in de wiskunde waarmee je de som van de cijfers van een willekeurig getal kunt vinden. Getallen zijn tenslotte grafische symbolen waarmee we getallen schrijven, en in de taal van de wiskunde klinkt de taak als volgt: "Zoek de som van grafische symbolen die een willekeurig getal vertegenwoordigen." Wiskundigen kunnen dit probleem niet oplossen, maar sjamanen wel.

Laten we uitzoeken wat en hoe we doen om de som van de cijfers van een bepaald getal te vinden. Laten we zeggen dat we het getal 12345 hebben. Wat moet er gebeuren om de som van de cijfers van dit getal te vinden? Laten we alle stappen in volgorde bekijken.

1. Schrijf het nummer op een stuk papier. Wat hebben we gedaan? We hebben het getal omgezet naar een grafisch symbool voor een getal. Dit is geen wiskundige bewerking.

2. We knippen een ontvangen foto in meerdere foto's met afzonderlijke nummers. Het knippen van een afbeelding is geen wiskundige bewerking.

3. Converteer individuele grafische karakters naar cijfers. Dit is geen wiskundige bewerking.

4. Tel de resulterende getallen op. Dat is nou wiskunde.

De som van de cijfers van het getal 12345 is 15. Dit zijn de "knip- en naaicursussen" van sjamanen die door wiskundigen worden gebruikt. Maar dat is niet alles.

Vanuit het oogpunt van wiskunde maakt het niet uit in welk getalsysteem we het getal schrijven. Dus in verschillende nummersystemen zal de som van de cijfers van hetzelfde nummer anders zijn. In de wiskunde wordt het getallenstelsel aangegeven als een subscript rechts van het getal. Met een groot aantal van 12345 wil ik mijn hoofd niet voor de gek houden, denk aan het getal 26 uit het artikel over. Laten we dit getal in binaire, octale, decimale en hexadecimale getalsystemen schrijven. We zullen niet elke stap onder een microscoop bekijken, dat hebben we al gedaan. Laten we eens kijken naar het resultaat.

Zoals je kunt zien, is in verschillende getalsystemen de som van de cijfers van hetzelfde getal anders. Dit resultaat heeft niets met wiskunde te maken. Het is alsof het vinden van de oppervlakte van een rechthoek in meters en centimeters je totaal andere resultaten zou geven.

Nul in alle getalsystemen ziet er hetzelfde uit en heeft geen som van cijfers. Dit is een ander argument voor het feit dat . Een vraag voor wiskundigen: hoe wordt in de wiskunde datgene aangegeven wat geen getal is? Wat, voor wiskundigen, bestaat er niets anders dan getallen? Voor sjamanen kan ik dit toestaan, maar voor wetenschappers niet. De werkelijkheid gaat niet alleen over cijfers.

Het verkregen resultaat moet worden beschouwd als bewijs dat getalsystemen eenheden zijn voor het meten van getallen. We kunnen immers geen getallen vergelijken met verschillende meeteenheden. Als dezelfde acties met verschillende meeteenheden van dezelfde grootheid tot verschillende resultaten leiden na vergelijking, dan heeft dit niets met wiskunde te maken.

Wat is echte wiskunde? Dit is wanneer het resultaat van een wiskundige actie niet afhangt van de waarde van het getal, de gebruikte maateenheid en van wie deze actie uitvoert.

Teken op de deur Opent de deur en zegt:

Au! Is dit niet het damestoilet?
- Jonge vrouw! Dit is een laboratorium voor het bestuderen van de onbepaalde heiligheid van zielen bij hemelvaart! Nimbus bovenaan en pijl omhoog. Welk ander toilet?

Vrouw... Een halo bovenop en een pijl naar beneden is mannelijk.

Als je zo'n kunstwerk meerdere keren per dag voor je ogen ziet flitsen,

Dan is het niet gek dat je ineens een vreemd icoontje aantreft in je auto:

Persoonlijk span ik me in om min vier graden te zien in een poepende persoon (één afbeelding) (samenstelling van meerdere afbeeldingen: minteken, nummer vier, graden aanduiding). En ik beschouw dit meisje niet als een dwaas die geen natuurkunde kent. Ze heeft gewoon een boogstereotype van perceptie van grafische afbeeldingen. En wiskundigen leren ons dit de hele tijd. Hier is een voorbeeld.

1A is niet "min vier graden" of "één a". Dit is "poepman" of het getal "zesentwintig" in het hexadecimale getallensysteem. Die mensen die constant in dit cijfersysteem werken, zien het cijfer en de letter automatisch als één grafisch symbool.

Gemiddeld niveau

Rechte driehoek. Volledige geïllustreerde gids (2019)

JUISTE DRIEHOEK. EERSTE LEVEL.

Bij problemen is een rechte hoek helemaal niet nodig - de linkerbenedenhoek, dus je moet leren hoe je een rechthoekige driehoek in deze vorm kunt herkennen,

en in zo'n

en in zo'n

Wat is er goed aan een rechthoekige driehoek? Nou... ten eerste zijn er bijzondere mooie namen voor zijn feestjes.

Let op de tekening!

Onthoud en verwar niet: benen - twee, en de hypotenusa - slechts één(de enige, unieke en langste)!

Nou, we hebben de namen besproken, nu het belangrijkste: de stelling van Pythagoras.

De stelling van Pythagoras.

Deze stelling is de sleutel tot het oplossen van veel problemen met een rechthoekige driehoek. Het werd bewezen door Pythagoras in onheuglijke tijden, en sindsdien heeft het vele voordelen gebracht voor degenen die het kennen. En het beste aan haar is dat ze eenvoudig is.

Dus, De stelling van Pythagoras:

Herinner je je de grap: "Pythagorasbroeken zijn aan alle kanten gelijk!"?

Laten we deze zeer Pythagoreïsche broek tekenen en ernaar kijken.

Lijkt het echt op een korte broek? Welnu, aan welke kanten en waar zijn ze gelijk? Waarom en waar komt de grap vandaan? En deze grap hangt precies samen met de stelling van Pythagoras, meer bepaald met de manier waarop Pythagoras zelf zijn stelling formuleerde. En hij formuleerde het als volgt:

"Som oppervlakte van vierkanten, gebouwd op de benen, is gelijk aan vierkante oppervlakte gebouwd op de hypotenusa.

Klinkt het niet een beetje anders, niet? En dus, toen Pythagoras de verklaring van zijn stelling trok, bleek precies zo'n foto.

In deze afbeelding is de som van de oppervlakten van de kleine vierkantjes gelijk aan de oppervlakte van het grote vierkant. En zodat de kinderen beter onthouden dat de som van de vierkanten van de benen gelijk is aan het vierkant van de hypotenusa, heeft iemand geestig deze grap over Pythagoras-broeken uitgevonden.

Waarom formuleren we nu de stelling van Pythagoras?

Heeft Pythagoras geleden en over vierkanten gepraat?

Zie je, in de oudheid was er geen ... algebra! Er waren geen tekenen en ga zo maar door. Er waren geen inscripties. Kun je je voorstellen hoe verschrikkelijk het was voor de arme oude studenten om alles met woorden uit het hoofd te leren??! En we kunnen blij zijn dat we een eenvoudige formulering van de stelling van Pythagoras hebben. Laten we het nog een keer herhalen om het beter te onthouden:

Nu zou het makkelijk moeten zijn:

Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen.

Welnu, de belangrijkste stelling over een rechthoekige driehoek werd besproken. Als je geïnteresseerd bent in hoe het wordt bewezen, lees dan de volgende niveaus van de theorie, en laten we nu verder gaan ... in het donkere bos ... van trigonometrie! Op de verschrikkelijke woorden sinus, cosinus, tangens en cotangent.

Sinus, cosinus, raaklijn, cotangens in een rechthoekige driehoek.

Eigenlijk is alles helemaal niet zo eng. Natuurlijk moet in het artikel naar de "echte" definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens worden gekeken. Maar dat wil je echt niet, of wel? We kunnen ons verheugen: om problemen over een rechthoekige driehoek op te lossen, kunt u eenvoudig de volgende eenvoudige dingen invullen:

Waarom draait het allemaal om de hoek? Waar is de hoek? Om dit te begrijpen, moet je weten hoe uitspraken 1 t/m 4 in woorden worden geschreven. Kijk, begrijp en onthoud!

1.
Het klinkt eigenlijk zo:

Hoe zit het met de hoek? Is er een been dat tegenover de hoek ligt, dat wil zeggen het tegenoverliggende been (voor de hoek)? Natuurlijk hebben! Dit is een kathet!

Maar hoe zit het met de hoek? Kijk goed. Welk been grenst aan de hoek? Natuurlijk, de kat. Dus voor de hoek is het been aangrenzend, en

En nu, aandacht! Kijk wat we hebben:

Kijk hoe geweldig het is:

Laten we nu verder gaan met tangens en cotangens.

Hoe het nu onder woorden te brengen? Wat is het been ten opzichte van de hoek? Tegenover natuurlijk - het "ligt" tegenover de hoek. En de kathet? Grenzend aan de hoek. Dus wat hebben we gekregen?

Zie je hoe de teller en noemer worden omgekeerd?

En nu weer de hoeken en maakte de uitwisseling:

Overzicht

Laten we kort opschrijven wat we hebben geleerd.

De stelling van Pythagoras:

De stelling van de belangrijkste rechthoekige driehoek is de stelling van Pythagoras.

de stelling van Pythagoras

Trouwens, weet je nog goed wat de benen en hypotenusa zijn? Zo niet, kijk dan naar de afbeelding - ververs je kennis

Het is mogelijk dat je de stelling van Pythagoras al vaak hebt gebruikt, maar heb je je ooit afgevraagd waarom zo'n stelling waar is. Hoe zou je het bewijzen? Laten we doen zoals de oude Grieken. Laten we een vierkant tekenen met een zijde.

Je ziet hoe sluw we de zijkanten in segmenten van lengte verdeelden en!

Laten we nu de gemarkeerde punten verbinden

Hier merkten we echter nog iets anders op, maar je kijkt zelf naar de foto en bedenkt waarom.

Wat is de oppervlakte van het grotere vierkant? Rechts, . Hoe zit het met de kleinere oppervlakte? Zeker, . De totale oppervlakte van de vier hoeken blijft. Stel je voor dat we er twee nemen en met hypotenusa tegen elkaar leunen. Wat is er gebeurd? Twee rechthoeken. Het gebied van "stekken" is dus gelijk.

Laten we het nu allemaal op een rijtje zetten.

Laten we transformeren:

Dus bezochten we Pythagoras - we bewezen zijn stelling op een oude manier.

Rechthoekige driehoek en trigonometrie

Voor een rechthoekige driehoek gelden de volgende relaties:

De sinus van een scherpe hoek is gelijk aan de verhouding van het andere been tot de hypotenusa

De cosinus van een scherpe hoek is gelijk aan de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

De tangens van een scherpe hoek is gelijk aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been.

De cotangens van een scherpe hoek is gelijk aan de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenoverliggende been.

En nogmaals, dit alles in de vorm van een bord:

Het is erg handig!

Tekenen van gelijkheid van rechthoekige driehoeken

I. Op twee benen

II. Door been en hypotenusa

III. Door hypotenusa en scherpe hoek

IV. Langs het been en scherpe hoek

een)

Aandacht! Hierbij is het erg belangrijk dat de poten "corresponderen". Als het bijvoorbeeld zo gaat:

DAN ZIJN DE DRIEHOEKEN NIET GELIJK, ondanks het feit dat ze één identieke scherpe hoek hebben.

Nodig hebben in beide driehoeken was het been aangrenzend, of in beide - tegenovergestelde.

Is het je opgevallen hoe de tekens van gelijkheid van rechthoekige driehoeken verschillen van de gebruikelijke tekens van gelijkheid van driehoeken? Kijk naar het onderwerp "en let op het feit dat je voor de gelijkheid van "gewone" driehoeken de gelijkheid van hun drie elementen nodig hebt: twee zijden en een hoek ertussen, twee hoeken en een zijde ertussen, of drie zijden. Maar voor de gelijkheid van rechthoekige driehoeken zijn slechts twee corresponderende elementen voldoende. Het is geweldig, toch?

Ongeveer dezelfde situatie met tekenen van gelijkenis van rechthoekige driehoeken.

Tekenen van gelijkenis van rechthoekige driehoeken

I. Acute hoek

II. Op twee benen

III. Door been en hypotenusa

Mediaan in een rechthoekige driehoek

Waarom is het zo?

Beschouw een hele rechthoek in plaats van een rechthoekige driehoek.

Laten we een diagonaal tekenen en een punt beschouwen - het snijpunt van de diagonalen. Wat weet je over de diagonalen van een rechthoek?

En wat volgt hieruit?

Dus het gebeurde dat

- mediaan:

Onthoud dit feit! Helpt veel!

Wat nog verrassender is, is dat het omgekeerde ook waar is.

Wat heb je eraan dat de mediaan die naar de hypotenusa wordt getrokken gelijk is aan de helft van de hypotenusa? Laten we naar de foto kijken

Kijk goed. We hebben: , dat wil zeggen, de afstanden van het punt tot alle drie de hoekpunten van de driehoek bleken gelijk te zijn. Maar in een driehoek is er maar één punt, waarvan de afstanden ongeveer alle drie de hoekpunten van de driehoek gelijk zijn, en dit is het MIDDEL VAN HET BESCHREVEN CIRCUM. Dus wat gebeurde er?

Dus laten we beginnen met dit "bovendien...".

Laten we eens kijken naar ik.

Maar in gelijkvormige driehoeken zijn alle hoeken gelijk!

Hetzelfde kan gezegd worden over en

Laten we het nu samen tekenen:

Welk nut kan worden getrokken uit deze "drievoudige" gelijkenis.

Nou, bijvoorbeeld - twee formules voor de hoogte van een rechthoekige driehoek.

We schrijven de relaties van de corresponderende partijen:

Om de hoogte te vinden, lossen we de verhouding op en krijgen eerste formule "Hoogte in een rechthoekige driehoek":

Laten we dus de overeenkomst toepassen: .

Wat gaat er nu gebeuren?

Opnieuw lossen we de verhouding op en krijgen de tweede formule:

Beide formules moeten goed worden onthouden en degene die handiger is om toe te passen. Laten we ze nog eens opschrijven.

De stelling van Pythagoras:

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de benen:.

Tekenen van gelijkheid van rechthoekige driehoeken:

op twee benen:
langs het been en de hypotenusa: of
langs het been en de aangrenzende scherpe hoek: of
langs het been en de tegenovergestelde scherpe hoek: of
door hypotenusa en scherpe hoek: of.

Tekenen van gelijkenis van rechthoekige driehoeken:

een scherpe hoek: of
van de evenredigheid van de twee benen:
uit de evenredigheid van het been en de hypotenusa: of.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens in een rechthoekige driehoek

De sinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa:
De cosinus van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa:
De tangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende:
De cotangens van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenovergestelde:.

Hoogte van een rechthoekige driehoek: of.

In een rechthoekige driehoek is de mediaan getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek gelijk aan de helft van de hypotenusa: .

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek:

via de katheters: