Typische taken. Cirkel. Typische problemen Een hoek construeren die gelijk is aan een gegeven hoek

"Computertekening" - Computergraphics. Klep. dit is het wapen van de kunstenaar. Taken: Resultaat van de les, kruiswoordpuzzel “Mill”. Gravure. Het belangrijkste expressieve tekenmiddel is lijn. Hij studeerde aan de Moskouse School voor Schilderkunst en vervolgens aan de Stroganovschool. Potlood. Illustratie voor het boek. Geïntegreerde les: beeldende kunst + informatica.

“Tekeningen opslaan” - Welk commando moet ik kiezen? Er wordt voorgesteld om al uw bestanden op te slaan in een speciale map “Mijn Documenten”. Verplaatsen met de muis, kopiëren (CTRL), verwijderen (DELETE). Praktisch werk “Een tekening opslaan op een harde schijf.” Om informatie op een computer op te slaan, wordt langetermijngeheugen gebruikt: een harde schijf.

“Afbeeldingen bewerken” - 1. Selecteer het gewenste gebied, selecteer een willekeurig gebied 2. Kopiëren. Een cirkel, vierkant, rechte lijn tekenen. Beeld wissen Selecteer het te verwijderen gebied Verwijderen. Cirkel Vierkant Rechte lijn. Kopiëren. Tekeningparameters instellen. Een tekening maken en bewerken. Een tekening maken.

"3D-tekeningen op asfalt" - Philip Kozlov - de eerste Russische Madonnari. Als jonge man werkte Kurt Wenner als illustrator voor NASA, waar hij de eerste beelden maakte van toekomstige ruimtevaartuigen. 3D-tekeningen op asfalt. Kurt Wenner is een van de bekendste straatartiesten die met gewone kleurpotloden 3D-tekeningen op asfalt tekent.

"Recht segment van de straal" - Punt O - het begin van de straal. Punten C en D zijn de uiteinden van het segment CD. S. Punt. Recht, segment, balk. Punt, lijn. Direct. Getallen - coördinaten van punten: Ray PM. Coördineren. Noem de segmenten, rechte lijnen en stralen die in de figuur worden weergegeven. Segment OE is een eenheidssegment, OE=1. Straal FR.

"Omtrek" - Diameter. Zoek de omtrek van deze schijf. Zoek het gebied van de wijzerplaat. Omtrek. Wat is de diameter van de maan? Het getal "pi" wordt het Archimedische getal genoemd. Zoek de diameter van het wiel. Zoek de diameter en oppervlakte van de arena. Zoek de diameter van het locomotiefwiel. Moskou. De grote oude Griekse wiskundige Archimedes.

Deze videoles is speciaal gemaakt voor zelfstudie van het onderwerp “Cirkel”. Studenten zullen de strikte geometrische definitie van een cirkel kunnen leren. De leraar zal de oplossing van verschillende typische problemen bij het construeren van een cirkel in detail analyseren.

Cirkel is een geometrische figuur bestaande uit vele punten die op gelijke afstand van een bepaald punt liggen.

Figuur 1 toont een cirkel.

Rijst. 1. Omtrek

De verkorte vorm van een bepaalde cirkel is Okr (O, r), wat luidt: "Een cirkel met een middelpunt op punt O en straal r." Een punt waarvan andere punten op gelijke afstand liggen, wordt genoemd centrum cirkels. Het segment dat het middelpunt verbindt met een punt dat op de cirkel ligt, wordt genoemd straal. Als je twee punten met elkaar verbindt die op een cirkel liggen, kun je een segment tekenen met de naam akkoord. Een akkoord dat door het middelpunt van een cirkel gaat, wordt genoemd diameter.

Er bestaan ​​dus de volgende notaties:

O - middelpunt van de cirkel;

OM = r - straal van de cirkel;

OM = AAN = r - stralen van de cirkel;

MN - akkoord;

AM - diameter;

AM = 2r - relatie tussen straal en diameter.

Elke twee punten snijden de cirkel in twee bogen, bijvoorbeeld: bogen NLM en NAM voor gegeven punten N en M.

Voorbeeld 1: Figuur 2 toont een cirkel. Bepaal het middelpunt, de straal, de akkoorden, de diameter en mogelijke bogen.

Oplossing:

Rijst. 2. Tekening bijvoorbeeld 1

Laten we de belangrijkste elementen van deze cirkel definiëren:

O - middelpunt van de cirkel;

OE = OD = OA = OC - stralen van de cirkel;

EF, BA - akkoorden;

Gelijkstroom - diameter.

Laten we voorlopig de definitie van een cirkel onthouden. Een cirkel is een deel van een vlak dat wordt begrensd door een cirkel. Het is volkomen duidelijk dat het verschil tussen een cirkel en een cirkel als volgt is: een cirkel is een lijn, en een cirkel is een deel van het vlak dat wordt begrensd door deze lijn. Figuur 3 toont bijvoorbeeld een cirkel.

Rijst. 3. Cirkel

Voorbeeld 2: De figuur toont een cirkel met diameters AB en CD. Bewijs dat de akkoorden AC en BD gelijk zijn. Bewijs dat de akkoorden BC en AD gelijk zijn. Bewijs dat de hoeken BAD en BCD gelijk zijn.

Rijst. 4. Tekening bijvoorbeeld 2

Oplossing:

Laten we eerst eens kijken dat CO = OD = OB = OA, aangezien de aangegeven segmenten stralen van dezelfde cirkel zijn. We zullen deze uitspraken bewijzen met behulp van ketens van driehoeken. Volgens het eerste teken bijvoorbeeld, aangezien OB = OA als stralen, CO = OD op dezelfde manier, zoals verticaal. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt dat AC = BD.

Vervolgens zullen we bewijzen dat het vergelijkbaar is in termen van het eerste teken. OD = OA, CO = OB als stralen, en zoals verticaal. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt dat AD = BC.

Vervolgens zullen we dat bewijzen volgens het derde teken. BD is de gemeenschappelijke zijde van de driehoeken, AD = CB volgens de bewezen bewering in paragraaf 2, AB = CD als de diameters van de cirkel. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt dat .

QED

Voorbeeld 3: segment MK is de diameter van een cirkel, en PM en RK zijn gelijke akkoorden. Zoek de hoek POM.

Rijst. 5. Tekening bijvoorbeeld 3

Oplossing:

Per definitie is het gelijkbenig, aangezien RK = RM. Omdat OK - OM de stralen van cirkels zijn, is PO de mediaan getekend naar de basis. Volgens de eigenschap van een gelijkbenige driehoek is de mediaan die naar de basis wordt getrokken respectievelijk de hoogte.

1. Helpportaal calc.ru ().

1. Nr. 99. Butuzov VF, Kadomtsev SB, Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, uitg. Sadovnichego VA - M.: Onderwijs, 2010.
2. Vanuit een punt op een bepaalde cirkel worden twee koorden getrokken die gelijk zijn aan de straal. Zoek de hoek ertussen.
3. Bewijs dat elke straal die uit het middelpunt van een cirkel komt, de cirkel op één punt snijdt.
4. Bewijs dat de diameter van een cirkel die door het middelpunt van een akkoord gaat, er loodrecht op staat.

Test nr. 4 over het onderwerp “Cirkel”

Theoretische kennis testen.

Op het bord: bewijs de eigenschap van een raaklijn aan een cirkel, de stelling over de ingeschreven hoek, de stelling over segmenten van snijdende akkoorden, de middelloodlijn op een segment, de stelling over cirkels ingeschreven in een driehoek en omgeschreven rond een driehoek.

Klasse (frontaal gesprek).

De relatieve positie van een rechte lijn en een cirkel. Definitie van een raaklijn aan een cirkel en zijn eigenschappen. Welke hoek wordt centraal genoemd? Welke hoek wordt ingeschreven genoemd? Wat is de graadmaatstaf? Vier prachtige punten van de driehoek. Welke cirkel wordt een ingeschreven cirkel genoemd? Beschreven? Welke veelhoek wordt omschreven genoemd? Ingeschreven? Welke eigenschappen hebben de zijden van een vierhoek die om een ​​cirkel is begrensd? Welke eigenschappen hebben de hoeken van een in een cirkel ingeschreven vierhoek? Geef de stelling over segmenten van elkaar snijdende akkoorden.

T-1 Vul de lege plekken (ellipsen) in om de juiste uitspraak te doen.

OPTIE 1.

1. Een punt dat op gelijke afstand ligt van alle punten op een cirkel, wordt zijn... genoemd.

2. Een segment dat twee punten op een cirkel verbindt, wordt zijn... genoemd.

3. Alle stralen van een cirkel....

4. In de figuur is 0(r) een cirkel, AB raakt daaraan; punt B heet...

6. De hoek tussen de raaklijn aan de cirkel en de straal naar het contactpunt is gelijk aan...

7. In de figuur is AB de diameter van de cirkel, C is het punt dat op de cirkel ligt. Driehoek DIA... (type driehoek).

8. In de figuur is AB = 2BC, AB de diameter van de cirkel. Hoek-CAB is...

9. In de figuur snijden de koorden AB en CD elkaar in punt M. Hoek ACD is gelijk aan hoek....

10. In de figuur is O het middelpunt van de cirkel. Boog AmB is 120°. Hoek ABC is gelijk.

11. In de figuur AK = 24 cm, KB = 9 cm, CK = 12 cm Dan KD = ....

12*. In de figuur AB = BC = 13 cm, hoogte BD = 12 cm Dan VC = ..., KS = ....

OPTIE 2.

1. Een geometrische figuur waarvan alle punten zich op dezelfde afstand van een bepaald punt bevinden, wordt genoemd...

2. Een akkoord dat door het middelpunt van een cirkel gaat, heet ....

3. Alle cirkeldiameters....

4. In figuur 0(d) is een cirkel, B is het raakpunt tussen rechte lijn AB en de cirkel. De rechte lijn AB heet... naar de cirkel.

6. Raaklijn aan een cirkel en straal getrokken naar het raakpunt, ....

7. In de figuur is AB een raaklijn, OA een secans die door het middelpunt van de cirkel gaat. Driehoek OVA... (type driehoek).

8. In de figuur OS = CA raakt AB een cirkel met middelpunt O. Hoek BAC is gelijk aan....

9. Akkoorden AB en CD van een cirkel snijden elkaar in punt K. Hoek ADC is gelijk aan hoek....

10. In de figuur is O het middelpunt van de cirkel, hoek CBA is 40°. Boog CmB is gelijk aan...

11. In de figuur AM = 15 cm, MB = 4 cm, MC = 3 cm Dan DM = ... .

12*. In de figuur is AB = BC, BD de hoogte van driehoek ABC, BC = 8 cm, KS = 5 cm Dan BD = ..., DC = ....

T-2. Bepaal of de volgende beweringen waar of onwaar zijn.

OPTIE 1.

1. Een rechte lijn die slechts één gemeenschappelijk punt met een cirkel heeft, wordt een raaklijn aan deze cirkel genoemd.

2. Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal die naar het raakpunt wordt getrokken.

3. De figuur toont een cirkel. Dan ÐDAC = ÐDBC.

4. Elke lijn die door het midden van een akkoord van een cirkel gaat, staat er loodrecht op.

5. Een straal raakt een cirkel als deze slechts één gemeenschappelijk punt heeft.

6. In de figuur is AB de diameter van de cirkel, Ð 1 = 30°. Dan is ð 2 = 60°.

7. De figuur toont een cirkel. Dan Ð DAB = Ð DOB.

8. In de figuur is O het middelpunt van de cirkel. Als ÈVS = 60°, dan is Ð SVA = 60°.

9. In de figuur is de diameter AB van de cirkel 10 cm, het koorde AC = 8 cm. Dan is de oppervlakte van driehoek ABC 24 cm2.

10. Twee koorden van een cirkel AB en CD snijden elkaar in punt O zodat AO = 16 cm, BO = 9 cm, OD = 24 cm. Dan CO = 6 cm.

elf*. Het raakpunt van een cirkel ingeschreven in een gelijkbenige driehoek verdeelt de zijde in segmenten van 5 cm en 8 cm, gerekend vanaf de basis. Dan is de oppervlakte van de driehoek 60 cm2.

OPTIE 2.

1. Een rechte lijn, waarvan de afstand vanaf het middelpunt van een cirkel gelijk is aan de straal van deze cirkel, raakt daaraan.

2. De straal getrokken naar het raakpunt van de lijn en de cirkel staat loodrecht op deze lijn.

3. De figuur toont een cirkel. Dan ÐDAC = ÐDBC.

5. Een lijnstuk raakt een cirkel als het slechts één gemeenschappelijk punt heeft.

6. In de figuur is AB de diameter van de cirkel. Als dan Ð 2 = 50°, dan is Ð1 = 40°.

7. De figuur toont een cirkel. Dan Ð ABC = ÐAOC.

8. In de figuur is O het middelpunt van de cirkel. Als dan ÐCAB - 60°, dan is È AC = 60°.

9. In de figuur is de diameter BD van de cirkel 13 cm. Als het akkoord BC = 5 cm, dan is de oppervlakte van de driehoek CBD 30 cm2.

10. Twee koorden van een cirkel AB en CD snijden elkaar in punt M zodat MB = 3 cm, MA = 28 cm, CM = 21 cm.

elf*. Het raakpunt van een cirkel ingeschreven in een gelijkbenige driehoek verdeelt de zijde in segmenten van 4 cm en 6 cm, gerekend vanaf het hoekpunt. Dan is de oppervlakte van deze driehoek 48 cm2.

T-3.Bepaal bij elke taak het juiste antwoord uit de voorgestelde antwoorden.

OPTIE 1.

1. In de figuur is boog AC 84°. Wat is de hoek ABC die door deze boog wordt ingesloten?

A) 84°; B) 42°; B) Ik weet het niet.

2. In de figuur is de hoek MRC 88°. Wat is de grootte van de boog MK, waarop de hoek MKK rust?

A) 88°; B) 176°; B) Ik weet het niet.

3. Vanaf punt A, gelegen op een afstand van twee stralen van het middelpunt van de cirkel, wordt een raaklijn AB getekend. Wat is hoek OAB?

A) 60°; B) 30°; B) Ik weet het niet.

4. Twee akkoorden MA en MB worden getrokken vanuit punt M van de cirkel. Het akkoord MA omvat een boog gelijk aan 80°, en hoek AMB is gelijk aan 70°. Bepaal de boog die wordt ingesloten door het akkoord MB.

A) 210°; B) 140°; B) Ik weet het niet.

5. In de figuur is de diameter AB van de cirkel 10 cm, het akkoord BC = 6 cm. Zoek de oppervlakte van driehoek ACB.

A) 30 cm2; B) 24 cm2; B) Ik weet het niet.

6. Vanuit punt K van een cirkel met middelpunt O worden twee onderling loodrechte koorden KM en KD getekend. De afstand van punt O tot het akkoord KM is 15 cm, en tot het akkoord KD is 20 cm. Wat zijn de lengtes van de akkoorden KM en KD7

A) 30 cm en 40 cm; B) 15 cm en 20 cm; B) Ik weet het niet.

7. Twee akkoorden AB en CD worden op hun snijpunt gedeeld door een punt O, zodat AO = 9 cm, OB = 6 cm, CO = 3 cm

A) 12cm; B) 18 cm; B) Ik weet het niet.

8. Van punt A naar de cirkel worden een raaklijn AB en een secans AC getekend die door het middelpunt van de cirkel gaan. De afstand van A tot de cirkel is 4 cm, en de diameter van de cirkel is 12 cm. Wat is de lengte van de raaklijn?

A) 8 cm; B) 6 cm; B) Ik weet het niet.

9*. Lijn AB raakt een cirkel met middelpunt O en een straal van 5 cm in punt A. Bereken de afstand van punt B tot de cirkel als de lengte van de raaklijn 12 cm is.

A) 7 cm; B) 8cm; B) Ik weet het niet.

OPTIE 2.

1. In de figuur is boog AB gelijk aan 164°. Wat is de hoek ACB die door deze boog wordt ingesloten?

A) 168°; B) 82°; B) Ik weet het niet.

2. In de figuur is hoek ABC 44°. Wat is de boog AC waarop hoek ABC rust?

A) 88°; B) 44°; B) Ik weet het niet.

3. Vanaf punt M, gelegen op een afstand van twee stralen van het middelpunt van de cirkel, wordt een raaklijn MK getekend. Wat is de COM-hoek?

A) 60°; B) 30°; B) Ik weet het niet.

4. Twee akkoorden AM en AB worden getrokken vanuit punt A van de cirkel. Het akkoord AM omvat een boog gelijk aan 120°, en de hoek MAB is gelijk aan 80°. Bepaal de grootte van de boog die wordt ingesloten door het akkoord AB.

A) 80°; B) 120°; B) Ik weet het niet.

5. In de figuur is de diameter AC van de cirkel 13 cm, het akkoord AB = 12 cm. Zoek de oppervlakte van driehoek ACB.

A) 78 cm2; B) 30 cm2; B) Ik weet het niet.

6. Vanuit punt A van een cirkel met middelpunt O worden twee onderling loodrechte koorden AB en AC getekend. De afstand van punt O tot het akkoord AB is 40 cm, en tot het akkoord AC is 25 cm. Wat zijn de lengtes van de akkoorden AB en AC?

A) 25 cm en 40 cm; B) 50 cm en 80 cm; B) Ik weet het niet.

7. Twee akkoorden MK en CD worden gedeeld door hun snijpunt P zodat MP = 8 cm, PC = 4 cm. Wat is de lengte van het segment PD.

A) 24cm; B) 32cm; B) Ik weet het niet.

8. Van punt M naar de cirkel worden een raaklijn MA en een secans MC getekend, die door het middelpunt van de cirkel O gaan. De afstand van M tot het middelpunt O is 20 cm, de straal van de cirkel is 12 cm Wat is de lengte van de raaklijn?

A) 16 cm; B) 24 cm; B) Ik weet het niet.

9*. Lijn AB raakt een cirkel met middelpunt O en een straal van 5 cm in punt B. Bereken de lengte van de raaklijn als de afstand van punt A tot de cirkel 8 cm is.

A) 13cm; B) 12cm; B) Ik weet het niet.

Kaarten voor individueel werk.

Kaart 1.

1. Hoeveel gemeenschappelijke punten kunnen een rechte lijn en een cirkel hebben? Formuleer de eigenschap en het teken van een raaklijn.

2. Segment BD - de hoogte van een gelijkbenige driehoek ABC met basis AC. In welke delen verdeelt een cirkel met middelpunt B en straal BD de zijde van de driehoek als AB = cm, BD = 5 cm?

3. De figuur toont een rechthoekige driehoek ABC, waarvan de zijden een cirkel raken met een straal van 1 cm. In welke segmenten verdeelt het contactpunt de hypotenusa van de driehoek, gelijk aan 5 cm?

Kaart 2.

1. Welke hoek wordt ingeschreven genoemd? Geef de ingeschreven hoekstelling.

2. De hoekpunten van een driehoek met zijden 2 cm, 5 cm en 6 cm liggen op een cirkel. Bewijs dat geen van de zijden van de driehoek de diameter van deze cirkel heeft.

3. De figuur toont een cirkel met middelpunt O, AB is de raaklijn en AC is de secans van deze cirkel. Bereken de hoeken van driehoek ABC als ÈBD=62°.

Kaart 3.

1. Geef de stelling over segmenten van elkaar kruisende akkoorden.

2. Akkoorden KL en MN van de cirkel snijden elkaar in punt A. Vind AK en AL als AM=2 dm, AN=6 dm, KL=7 dm.

3. De figuur toont een cirkel met middelpunt O, AC is de diameter en BC is de raaklijn aan deze cirkel. Uit welke delen bestaat segment AB gedeeld door punt D als AC = 20 cm, BC = 15 cm?

Kaart 4.

1. Geef de stelling over een cirkel ingeschreven in een driehoek.

2. Schrijf een cirkel in de gegeven rechthoekige driehoek.

3. De basis van een gelijkbenige driehoek is 16 cm, de zijde is 17 cm. Zoek de straal van de cirkel die in deze driehoek is ingeschreven.

Kaart 5.

1. Formuleer een uitspraak over de eigenschap van de omgeschreven vierhoek. Is de tegenovergestelde bewering waar?

2. Zoek de oppervlakte van een rechthoekig trapezium, omgeschreven rond een cirkel als de zijden van dit trapezium 10 cm en 16 cm zijn.

3. De oppervlakte van een vierhoek ABCD, omgeschreven rond een cirkel met een straal van 5 dm, is gelijk aan 90. Vind de zijden CD en AD van deze vierhoek als AB = 9 dm, BC = 10 dm.

Kaart 6.

1. Geef de stelling over de omgeschreven cirkel van een driehoek.

2. Construeer een omgeschreven cirkel rond deze stompe driehoek.

3..jpg" breedte = "115 hoogte = 147" hoogte = "147">

Kruiswoordraadsel.

Horizontaal: 1. Een rechte lijn die twee gemeenschappelijke punten heeft met een cirkel. 2. Het vlak op zichzelf in kaart brengen. 3. Dubbele straal.

Verticaal: 4. Hoekeenheid of 1/60 minuut. 5. Deel van een cirkel begrensd door twee stralen en de boog van de omtrek van de cirkel. 6. Een segment dat het middelpunt van een cirkel verbindt met een willekeurig punt op de cirkel. 7. Bepaling van een punt op een cirkel.

Let op: bij de ontwikkeling is gebruik gemaakt van materialen uit de krant ‘Wiskunde’.