Vermenigvuldiging van breuken met verschillende basen. Vermenigvuldiging van eenvoudige en gemengde breuken met verschillende noemers

In de middelbare en middelbare school hebben studenten het onderwerp "Fracties" bestudeerd. Dit concept is echter veel breder dan gegeven in het leerproces. Tegenwoordig komt het concept van een breuk vrij vaak voor, en niet iedereen kan een uitdrukking berekenen, bijvoorbeeld het vermenigvuldigen van breuken.

Wat is een breuk?

Historisch gezien gebeurde het zo dat fractionele getallen verschenen vanwege de noodzaak om te meten. Zoals de praktijk laat zien, zijn er vaak voorbeelden voor het bepalen van de lengte van een segment, het volume van een rechthoekige rechthoek.

In eerste instantie maken studenten kennis met een dergelijk concept als een aandeel. Als u bijvoorbeeld een watermeloen in 8 delen verdeelt, krijgt elk een achtste van een watermeloen. Dit ene deel van acht wordt een aandeel genoemd.

Een aandeel gelijk aan ½ van elke waarde wordt de helft genoemd; ⅓ - derde; - een kwart. Vermeldingen zoals 5/8, 4/5, 2/4 worden gewone breuken genoemd. Een gewone breuk is verdeeld in een teller en een noemer. Daartussen is een breuklijn of breuklijn. Een gebroken staaf kan worden getekend als een horizontale of een schuine lijn. In dit geval staat het voor het delingsteken.

De noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen de waarde waarin het object is verdeeld; en de teller is hoeveel gelijke aandelen worden genomen. De teller staat boven de breukstreep, de noemer eronder.

Het is het handigst om gewone breuken op een coördinatenstraal weer te geven. Als een enkel segment is verdeeld in 4 gelijke delen, wordt elk deel aangeduid met een Latijnse letter, waardoor u een uitstekend visueel hulpmiddel kunt krijgen. Dus punt A toont een aandeel gelijk aan 1/4 van het gehele eenheidssegment, en punt B markeert 2/8 van dit segment.

Soorten breuken

Breuken zijn gewone, decimale en gemengde getallen. Bovendien kunnen breuken worden onderverdeeld in goed en onjuist. Deze classificatie is meer geschikt voor gewone breuken.

Een echte breuk is een getal waarvan de teller kleiner is dan de noemer. Dienovereenkomstig is een oneigenlijke breuk een getal waarvan de teller groter is dan de noemer. De tweede soort wordt meestal geschreven als een gemengd getal. Zo'n uitdrukking bestaat uit een integer deel en een fractioneel deel. Bijvoorbeeld 1½. 1 - geheel getal, ½ - fractioneel. Als u echter enkele manipulaties met de uitdrukking moet uitvoeren (breuken delen of vermenigvuldigen, verkleinen of converteren), wordt het gemengde getal omgezet in een oneigenlijke breuk.

Een correcte fractionele uitdrukking is altijd kleiner dan één, en een incorrecte is altijd groter dan of gelijk aan 1.

Wat deze uitdrukking betreft, ze begrijpen een record waarin een willekeurig getal wordt weergegeven, waarvan de noemer van de fractionele uitdrukking kan worden uitgedrukt door één met meerdere nullen. Als de breuk correct is, is het gehele deel in de decimale notatie nul.

Om een decimaalteken te schrijven, moet u eerst het gehele deel schrijven, dit scheiden van de breuk met een komma en vervolgens de breukuitdrukking schrijven. Houd er rekening mee dat de teller na de komma net zoveel numerieke tekens moet bevatten als er nullen in de noemer staan.

Voorbeeld. Geef de breuk 7 21 / 1000 weer in decimale notatie.

Algoritme voor het converteren van een onechte breuk naar een gemengd getal en vice versa

Het is niet juist om een oneigenlijke breuk op te schrijven in het antwoord van de opgave, dus het moet omgezet worden naar een gemengd getal:

deel de teller door de bestaande noemer;
in een specifiek voorbeeld is een onvolledig quotiënt een geheel getal;
en de rest is de teller van het breukdeel, waarbij de noemer ongewijzigd blijft.

Voorbeeld. Converteer oneigenlijke breuk naar gemengd getal: 47 / 5 .

Oplossing. 47: 5. Het onvolledige quotiënt is 9, de rest = 2. Dus 47/5 = 9 2/5.

Soms moet u een gemengd getal weergeven als een oneigenlijke breuk. Dan moet je het volgende algoritme gebruiken:

het gehele deel wordt vermenigvuldigd met de noemer van de fractionele uitdrukking;
het resulterende product wordt toegevoegd aan de teller;
het resultaat wordt in de teller geschreven, de noemer blijft ongewijzigd.

Voorbeeld. Druk het getal in gemengde vorm uit als een oneigenlijke breuk: 9 8/10 .

Oplossing. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 is de teller.

Antwoord: 98 / 10.

Vermenigvuldiging van gewone breuken

U kunt verschillende algebraïsche bewerkingen uitvoeren op gewone breuken. Om twee getallen te vermenigvuldigen, moet je de teller met de teller vermenigvuldigen en de noemer met de noemer. Bovendien verschilt de vermenigvuldiging van breuken met verschillende noemers niet van het product van breuken met dezelfde noemers.

Het komt voor dat u na het vinden van het resultaat de breuk moet verminderen. Het is noodzakelijk om de resulterende uitdrukking zo veel mogelijk te vereenvoudigen. Natuurlijk kan niet worden gezegd dat een onjuiste breuk in het antwoord een vergissing is, maar het is ook moeilijk om het het juiste antwoord te noemen.

Voorbeeld. Vind het product van twee gewone breuken: ½ en 20/18.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, wordt na het vinden van het product een reduceerbare fractionele notatie verkregen. Zowel de teller als de noemer zijn in dit geval deelbaar door 4 en het resultaat is het antwoord 5 / 9.

Decimaal breuken vermenigvuldigen

Het product van decimale breuken verschilt in principe nogal van het product van gewone breuken. Het vermenigvuldigen van breuken is dus als volgt:

twee decimale breuken moeten onder elkaar worden geschreven, zodat de meest rechtse cijfers onder elkaar staan;
je moet de geschreven getallen vermenigvuldigen, ondanks de komma's, dat wil zeggen als natuurlijke getallen;
tel het aantal cijfers na de komma in elk van de cijfers;
in het resultaat verkregen na vermenigvuldiging, moet u rechts zoveel digitale tekens tellen als in de som in beide factoren achter de komma, en een scheidingsteken plaatsen;
als er minder cijfers in het product zijn, dan moeten er zoveel nullen voor worden geschreven om dit aantal te dekken, een komma te plaatsen en een geheel getal toe te kennen dat gelijk is aan nul.

Voorbeeld. Bereken het product van twee decimalen: 2,25 en 3,6.

Oplossing.

Vermenigvuldiging van gemengde breuken

Om het product van twee gemengde breuken te berekenen, moet u de regel voor het vermenigvuldigen van breuken gebruiken:

converteer gemengde getallen naar onechte breuken;
vind het product van tellers;
vind het product van de noemers;
noteer het resultaat;
vereenvoudig de uitdrukking zo veel mogelijk.

Voorbeeld. Vind het product van 4½ en 6 2/5.

Een getal vermenigvuldigen met een breuk (breuken met een getal)

Naast het vinden van het product van twee breuken, gemengde getallen, zijn er taken waarbij je moet vermenigvuldigen met een breuk.

Dus om het product van een decimale breuk en een natuurlijk getal te vinden, heb je nodig:

schrijf het getal onder de breuk zodat de meest rechtse cijfers boven elkaar staan;
vind het werk, ondanks de komma;
in het verkregen resultaat, scheidt u het gehele deel van het breukdeel met een komma, waarbij u naar rechts het aantal tekens telt dat achter de komma in de breuk staat.

Om een gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je het product van de teller en de natuurlijke factor vinden. Als het antwoord een reduceerbare breuk is, moet deze worden omgerekend.

Voorbeeld. Bereken het product van 5/8 en 12.

Oplossing. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Antwoord: 7 1 / 2.

Zoals je in het vorige voorbeeld kunt zien, was het nodig om het resulterende resultaat te verkleinen en de onjuiste fractionele uitdrukking om te zetten in een gemengd getal.

De vermenigvuldiging van breuken is ook van toepassing op het vinden van het product van een getal in gemengde vorm en een natuurlijke factor. Om deze twee getallen te vermenigvuldigen, moet je het gehele deel van de gemengde factor vermenigvuldigen met het getal, de teller vermenigvuldigen met dezelfde waarde en de noemer ongewijzigd laten. Indien nodig moet u het resultaat zo veel mogelijk vereenvoudigen.

Voorbeeld. Vind het product van 9 5 / 6 en 9.

Oplossing. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Antwoord: 88 1 / 2.

Vermenigvuldiging met factoren 10, 100, 1000 of 0,1; 0,01; 0,001

De volgende regel volgt uit de vorige paragraaf. Om een decimale breuk te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, 10000, enz., moet u de komma naar rechts verplaatsen met zoveel tekens als er nullen in de vermenigvuldiger na één staan.

voorbeeld 1. Zoek het product van 0,065 en 1000.

Oplossing. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Antwoord: 65.

Voorbeeld 2. Zoek het product van 3.9 en 1000.

Oplossing. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Antwoord: 3900.

Als u een natuurlijk getal en 0,1 moet vermenigvuldigen; 0,01; 0,001; 0,0001, enz., moet u de komma in het resulterende product met zoveel tekens naar links verplaatsen als er nullen voor één staan. Indien nodig wordt een voldoende aantal nullen voor een natuurlijk getal geschreven.

voorbeeld 1. Zoek het product van 56 en 0,01.

Oplossing. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Antwoord: 0,56.

Voorbeeld 2. Zoek het product van 4 en 0,001.

Oplossing. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Antwoord: 0,004.

Dus het vinden van het product van verschillende breuken zou geen problemen moeten opleveren, behalve misschien de berekening van het resultaat; In dit geval kun je gewoon niet zonder rekenmachine.

We zullen de vermenigvuldiging van gewone breuken op verschillende mogelijke manieren bekijken.

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk

Dit is het eenvoudigste geval, waarin u het volgende moet gebruiken: regels voor vermenigvuldiging van breuken.

Naar een breuk vermenigvuldigen met een breuk, vereist:

vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en schrijf hun product in de teller van de nieuwe breuk;
vermenigvuldig de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk en schrijf hun product in de noemer van de nieuwe breuk;

Controleer voordat u tellers en noemers vermenigvuldigt of de breuken kunnen worden verkleind. Het verminderen van breuken in berekeningen zal uw berekeningen veel gemakkelijker maken.

Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

naar breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal U moet de teller van de breuk vermenigvuldigen met dit getal en de noemer van de breuk ongewijzigd laten.

Als het resultaat van vermenigvuldiging een onjuiste breuk is, vergeet dan niet om er een gemengd getal van te maken, dat wil zeggen, selecteer het hele deel.

Vermenigvuldiging van gemengde getallen

Om gemengde getallen te vermenigvuldigen, moet u ze eerst omzetten in onechte breuken en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken.

Een andere manier om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

Soms is het bij het berekenen handiger om een andere methode te gebruiken om een gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen.

Om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, moet je de noemer van de breuk delen door dit getal en de teller gelijk laten.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, is deze versie van de regel handiger om te gebruiken als de noemer van de breuk zonder rest deelbaar is door een natuurlijk getal.

Acties met breuken

Breuken met dezelfde noemers optellen

Het toevoegen van breuken is van twee soorten:

Breuken met dezelfde noemers optellen
Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we beginnen met het optellen van breuken met dezelfde noemers. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet u hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en toevoegen. We tellen de tellers op en laten de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2 Voeg breuken en toe.

Voeg opnieuw de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Als het einde van de taak komt, is het gebruikelijk om onjuiste breuken te verwijderen. Om van een onjuiste breuk af te komen, moet je het hele deel erin selecteren. In ons geval wordt het gehele deel gemakkelijk toegewezen - twee gedeeld door twee is gelijk aan één:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan de pizza toevoegt, krijg je een hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan pizza toevoegt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 4 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden toegevoegd en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is het optellen van breuken met dezelfde noemers niet moeilijk. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer gelijk laten;
Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, moet u het hele deel erin selecteren.

Breuken met verschillende noemers optellen

Nu zullen we leren hoe je breuken met verschillende noemers kunt optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van die breuken gelijk zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemer hebben.

Maar breuken kunnen niet in één keer worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden teruggebracht tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te reduceren. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de rest van de methoden misschien ingewikkeld lijkt voor een beginner.

De essentie van deze methode is dat eerst wordt gezocht naar het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen. Ze doen hetzelfde met de tweede breuk - de NOC wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en de tweede extra factor wordt verkregen.

Vervolgens worden de tellers en noemers van de breuken vermenigvuldigd met hun extra factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.

voorbeeld 1. Voeg breuken toe en

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3 en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6

LCM (2 en 3) = 6

Nu terug naar breuken en . Eerst delen we de LCM door de noemer van de eerste breuk en krijgen de eerste extra factor. LCM is het getal 6 en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3, we krijgen 2.

Het resulterende getal 2 is de eerste extra factor. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, maken we een kleine schuine lijn boven de breuk en noteren we de gevonden extra factor erboven:

We doen hetzelfde met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6 en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2, we krijgen 3.

Het resulterende getal 3 is de tweede extra factor. We schrijven het naar de tweede breuk. Nogmaals, we maken een kleine schuine lijn boven de tweede breuk en noteren de gevonden extra factor erboven:

Nu zijn we helemaal klaar om toe te voegen. Het blijft om de tellers en noemers van breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

Kijk goed waar we toe zijn gekomen. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde voltooien:

Zo eindigt het voorbeeld. Toevoegen blijkt.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt, krijg je een hele pizza en nog een zesde van een pizza:

Reductie van breuken tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer kan ook worden weergegeven met een afbeelding. Door de breuken en naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, krijgen we de breuken en . Deze twee fracties worden weergegeven door dezelfde pizzapunten. Het enige verschil is dat ze dit keer in gelijke delen worden verdeeld (gereduceerd tot dezelfde noemer).

De eerste tekening toont een breuk (vier stukken van de zes) en de tweede afbeelding toont een breuk (drie stukken van de zes). Als we deze stukjes samenvoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is onjuist, daarom hebben we het gehele deel erin gemarkeerd. Het resultaat was (een hele pizza en nog een zesde pizza).

Merk op dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben geschilderd. In onderwijsinstellingen is het niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en ook snel de aanvullende factoren die door uw tellers en noemers worden gevonden, kunnen vermenigvuldigen. Op school zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:

Maar er is ook de keerzijde van de medaille. Als er geen gedetailleerde aantekeningen worden gemaakt in de eerste stadia van het bestuderen van wiskunde, dan kunnen dergelijke vragen “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom worden breuken ineens totaal andere breuken? «.

Om het optellen van breuken met verschillende noemers gemakkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

Vind de LCM van de noemers van breuken;
Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk;
Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun extra factoren;
Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, selecteer dan het hele deel;

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking .

Laten we het bovenstaande diagram gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM voor de noemers van breuken

We vinden de LCM voor de noemers van beide breuken. De noemers van de breuken zijn de getallen 2, 3 en 4. Voor deze getallen moet je de LCM vinden:

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk

Deel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2, we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven het over de eerste breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. We delen 12 door 3, we krijgen 4. We hebben de tweede extra factor 4. We schrijven het over de tweede breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12 en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We hebben de derde extra factor 3. We schrijven het over de derde breuk:

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met uw extra factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met onze extra factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het blijft om deze breuken toe te voegen. Tel op:

De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. Dit is toegestaan in de wiskunde. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze overgedragen naar de volgende regel en moet een gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van een nieuwe regel worden geplaatst. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.

Stap 5. Als het antwoord een ongepaste breuk bleek te zijn, selecteer dan het gehele deel ervan

Ons antwoord is een ongepaste breuk. We moeten het hele deel ervan uitkiezen. Wij benadrukken:

Ik heb een antwoord

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers

Er zijn twee soorten breuken aftrekken:

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers
Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Laten we eerst leren hoe we breuken met dezelfde noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk en de noemer gelijk laten.

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de uitdrukking zoeken. Om dit voorbeeld op te lossen, is het nodig om de teller van de tweede breuk af te trekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer hetzelfde te laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 2 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer hetzelfde:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Als het voorbeeld compleet is, is het gebruikelijk om de oneigenlijke breuk te verwijderen. Laten we de verkeerde breuk in het antwoord weglaten. Om dit te doen, selecteert u het hele deel:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

Om een andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk en de noemer hetzelfde laten;

Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, moet u het hele deel ervan selecteren.

Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Een breuk kan bijvoorbeeld van een breuk worden afgetrokken, aangezien deze breuken dezelfde noemers hebben. Maar een breuk kan niet van een breuk worden afgetrokken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden teruggebracht tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden volgens hetzelfde principe dat we gebruikten bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen, die over de eerste breuk wordt geschreven. Evenzo wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die over de tweede breuk wordt geschreven.

De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun extra factoren. Als gevolg van deze bewerkingen veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemer. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van een uitdrukking:

Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3 en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12

LCM (3 en 4) = 12

Nu terug naar breuken en

Laten we een extra factor zoeken voor de eerste breuk. Hiervoor delen we de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We schrijven de vier over de eerste breuk:

We doen hetzelfde met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We schrijven de triple over de tweede breuk:

Nu zijn we helemaal klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde voltooien:

Ik heb een antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's.

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Omdat we op school zijn, zouden we dit voorbeeld op een kortere manier moeten oplossen. Een dergelijke oplossing ziet er als volgt uit:

Reductie van breuken en tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, krijgen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze verdeeld in dezelfde breuken (gereduceerd tot dezelfde noemer):

De eerste tekening toont een breuk (acht stuks van de twaalf), en de tweede afbeelding toont een breuk (drie stuks van de twaalf). Door drie stukken van acht stukken af te snijden, krijgen we vijf stukken van twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze eerst naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Vind de LCM van de noemers van deze breuken.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we extra factoren voor elke breuk. Om dit te doen, delen we de LCM door de noemer van elke breuk.

Laten we een extra factor zoeken voor de eerste breuk. LCM is het getal 30 en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven het over de eerste breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Deel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven het over de tweede breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Deel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven het over de derde breuk:

Nu is alles klaar om af te trekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een juiste breuk te zijn, en alles lijkt ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het eenvoudiger en esthetischer maken. Wat gedaan kan worden? U kunt deze fractie verkleinen. Bedenk dat de reductie van een breuk de deling is van teller en noemer door de grootste gemene deler van teller en noemer.

Om een breuk correct te verkleinen, moet je de teller en noemer delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 20 en 30.

Verwar GCD niet met NOC. De meest voorkomende fout die veel beginners maken. GCD is de grootste gemene deler. We vinden het voor breukreductie.

En LCM is het kleinste gemene veelvoud. We vinden het om breuken naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer te brengen.

Nu vinden we de grootste gemene deler (ggd) van de getallen 20 en 30.

We vinden dus de GCD voor de getallen 20 en 30:

GCD (20 en 30) = 10

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en noemer van de breuk door 10:

Leuk antwoord gekregen

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dit getal vermenigvuldigen en de noemer gelijk laten.

voorbeeld 1. Vermenigvuldig de breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van 1 keer. Als je bijvoorbeeld 1 keer pizza neemt, krijg je pizza

Uit de wetten van vermenigvuldiging weten we dat als het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking is geschreven als , dan is het product nog steeds gelijk aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:

Deze invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van de eenheid. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als je bijvoorbeeld 4 keer pizza's neemt, krijg je twee hele pizza's.

En als we het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger van plaats wisselen, krijgen we de uitdrukking. Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's van vier hele pizza's:

Vermenigvuldiging van breuken

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onjuiste breuk is, moet u het hele deel erin selecteren.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Ik heb een antwoord. Het is wenselijk om deze fractie te verminderen. De fractie kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza van een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe neem je tweederde van deze helft? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee van deze drie stukken:

We gaan pizza halen. Onthoud hoe een pizza eruitziet, verdeeld in drie delen:

Eén plak van deze pizza en de twee plakken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, we hebben het over dezelfde pizzamaat. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Laten we er een heel deel van nemen:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Het antwoord bleek een correcte breuk te zijn, maar het zal goed zijn als het wordt verminderd. Om deze breuk te verkleinen, moet deze worden gedeeld door de ggd van de teller en de noemer. Laten we dus de GCD van de nummers 105 en 450 vinden:

GCD voor (105 en 150) is 15

Nu delen we de teller en noemer van ons antwoord op de GCD:

Een geheel getal weergeven als een breuk

Elk geheel getal kan worden weergegeven als een breuk. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Hieruit zal vijf de betekenis niet veranderen, omdat de uitdrukking "het getal vijf gedeeld door één" betekent, en dit is, zoals u weet, gelijk aan vijf:

Nummers omkeren

Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet "omgekeerde nummers".

Definitie. Keer terug naar nummer een is het getal dat, vermenigvuldigd met een geeft een eenheid.

Laten we in deze definitie substitueren in plaats van een variabele een nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Keer terug naar nummer 5 is het getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft een eenheid.

Is het mogelijk om een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één geeft? Het blijkt dat je het kunt. Laten we vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk dan met zichzelf, verwissel gewoon de teller en noemer. Met andere woorden, vermenigvuldig de breuk met zichzelf, alleen omgekeerd:

Wat zal hiervan het resultaat zijn? Als we doorgaan met het oplossen van dit voorbeeld, krijgen we er een:

Dit betekent dat de inverse van het getal 5 het getal is, want als 5 wordt vermenigvuldigd met één, wordt er één verkregen.

Het omgekeerde kan ook worden gevonden voor elk ander geheel getal.

het omgekeerde van 3 is een breuk
het omgekeerde van 4 is een breuk

Je kunt ook het omgekeerde vinden voor elke andere breuk. Om dit te doen, volstaat het om het om te draaien.

) en de noemer bij de noemer (we krijgen de noemer van het product).

Formule voor vermenigvuldiging van breuken:

Bijvoorbeeld:

Alvorens verder te gaan met de vermenigvuldiging van tellers en noemers, is het noodzakelijk om te controleren op de mogelijkheid van breukvermindering. Lukt het je om de breuk te verkleinen, dan kun je makkelijker door blijven rekenen.

Deling van een gewone breuk door een breuk.

Deling van breuken met een natuurlijk getal.

Het is niet zo eng als het lijkt. Net als bij optellen zetten we een geheel getal om in een breuk met een eenheid in de noemer. Bijvoorbeeld:

Vermenigvuldiging van gemengde breuken.

Regels voor het vermenigvuldigen van breuken (gemengd):

converteer gemengde breuken naar onjuist;
vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken;
we verkleinen de breuk;
als we een onechte breuk krijgen, dan zetten we de onechte breuk om in een gemengde.

Opmerking! Om een gemengde breuk met een andere gemengde breuk te vermenigvuldigen, moet u ze eerst in de vorm van onechte breuken brengen en vervolgens vermenigvuldigen volgens de regel voor het vermenigvuldigen van gewone breuken.

De tweede manier om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.

Het is handiger om de tweede methode te gebruiken om een gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen.

Opmerking! Om een breuk met een natuurlijk getal te vermenigvuldigen, is het noodzakelijk om de noemer van de breuk door dit getal te delen en de teller ongewijzigd te laten.

Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt duidelijk dat deze optie handiger is wanneer de noemer van een breuk zonder rest wordt gedeeld door een natuurlijk getal.

Breuken op meerdere niveaus.

Op de middelbare school worden vaak breuken van drie verdiepingen (of meer) gevonden. Voorbeeld:

Om zo'n breuk naar zijn gebruikelijke vorm te brengen, wordt deling door 2 punten gebruikt:

Opmerking! Bij het delen van breuken is de volgorde van delen erg belangrijk. Wees voorzichtig, het is gemakkelijk om hier in de war te raken.

Opmerking, bijvoorbeeld:

Als je één deelt door een breuk, is het resultaat dezelfde breuk, alleen omgekeerd:

Praktische tips voor het vermenigvuldigen en delen van breuken:

1. Het belangrijkste bij het werken met fractionele uitdrukkingen is nauwkeurigheid en aandacht. Voer alle berekeningen zorgvuldig en nauwkeurig, geconcentreerd en duidelijk uit. Het is beter om een paar extra regels in een concept op te schrijven dan in de war te raken in de berekeningen in je hoofd.

2. Ga in taken met verschillende soorten breuken naar het type gewone breuken.

3. We verkleinen alle breuken totdat het niet meer mogelijk is om te verkleinen.

4. We brengen fractionele uitdrukkingen op meerdere niveaus om in gewone, met behulp van deling door 2 punten.

5. We verdelen de eenheid in onze geest in een breuk, simpelweg door de breuk om te draaien.

In de vijfde eeuw voor Christus formuleerde de oude Griekse filosoof Zeno van Elea zijn beroemde aporia's, waarvan de meest bekende de aporia "Achilles en de schildpad" is. Zo klinkt het:

Laten we zeggen dat Achilles tien keer sneller loopt dan de schildpad en duizend passen achter hem loopt. Gedurende de tijd dat Achilles deze afstand aflegt, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Als Achilles honderd stappen heeft gelopen, kruipt de schildpad nog eens tien stappen, enzovoort. Het proces zal oneindig doorgaan, Achilles zal de schildpad nooit inhalen.

Deze redenering werd een logische schok voor alle volgende generaties. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Allemaal beschouwden ze op de een of andere manier Zeno's aporieën. De schok was zo sterk dat " ... de discussies gaan momenteel door, de wetenschappelijke gemeenschap is er nog niet in geslaagd om tot een gemeenschappelijke mening te komen over de essentie van paradoxen ... wiskundige analyse, verzamelingenleer, nieuwe fysieke en filosofische benaderingen waren betrokken bij de studie van het probleem ; geen van hen werd een algemeen aanvaarde oplossing voor het probleem ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Iedereen begrijpt dat ze voor de gek worden gehouden, maar niemand begrijpt wat het bedrog is.

Vanuit het oogpunt van wiskunde toonde Zeno in zijn aporia duidelijk de overgang van de waarde naar. Deze overgang impliceert het toepassen in plaats van constanten. Voor zover ik begrijp, is het wiskundige apparaat voor het toepassen van variabele meeteenheden ofwel nog niet ontwikkeld, ofwel is het niet toegepast op Zeno's aporie. De toepassing van onze gebruikelijke logica leidt ons in een val. Wij, door de traagheid van het denken, passen constante tijdseenheden toe op het wederkerige. Fysiek gezien lijkt het alsof de tijd vertraagt tot een volledige stilstand op het moment dat Achilles de schildpad inhaalt. Als de tijd stopt, kan Achilles de schildpad niet meer inhalen.

Als we de logica omdraaien die we gewend zijn, valt alles op zijn plaats. Achilles loopt met een constante snelheid. Elk volgend segment van zijn pad is tien keer korter dan het vorige. Dienovereenkomstig is de tijd die wordt besteed aan het overwinnen ervan tien keer minder dan de vorige. Als we in deze situatie het concept 'oneindig' toepassen, zou het juist zijn om te zeggen: 'Achilles zal de schildpad oneindig snel inhalen'.

Hoe deze logische val te vermijden? Blijf in constante tijdseenheden en schakel niet over naar wederzijdse waarden. In de taal van Zeno ziet het er als volgt uit:

In de tijd die Achilles nodig heeft om duizend stappen te lopen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Gedurende het volgende tijdsinterval, gelijk aan de eerste, zal Achilles nog duizend stappen lopen en de schildpad honderd stappen. Achilles loopt nu achthonderd passen voor op de schildpad.

Deze benadering beschrijft de werkelijkheid adequaat zonder enige logische paradox. Maar dit is geen volledige oplossing voor het probleem. Einsteins uitspraak over de onoverkomelijkheid van de lichtsnelheid lijkt sterk op Zeno's aporia "Achilles en de schildpad". We moeten dit probleem nog bestuderen, heroverwegen en oplossen. En de oplossing moet niet in oneindig grote aantallen worden gezocht, maar in meeteenheden.

Een andere interessante aporie van Zeno vertelt over een vliegende pijl:

Een vliegende pijl is bewegingloos, omdat hij op elk moment in rust is, en aangezien hij op elk moment in rust is, is hij altijd in rust.

In deze aporie wordt de logische paradox heel eenvoudig overwonnen - het is voldoende om te verduidelijken dat de vliegende pijl op elk moment op verschillende punten in de ruimte rust, wat in feite beweging is. Hier moet nog een ander punt worden opgemerkt. Aan de hand van één foto van een auto op de weg is het onmogelijk om het feit van zijn beweging of de afstand tot de auto te bepalen. Om het feit van de beweging van de auto te bepalen, zijn twee foto's nodig die vanaf hetzelfde punt op verschillende tijdstippen zijn genomen, maar ze kunnen niet worden gebruikt om de afstand te bepalen. Om de afstand tot de auto te bepalen, heb je twee foto's nodig die tegelijkertijd vanaf verschillende punten in de ruimte zijn gemaakt, maar je kunt het feit van beweging ervan niet bepalen (je hebt natuurlijk nog steeds aanvullende gegevens nodig voor berekeningen, trigonometrie zal je helpen) . Waar ik in het bijzonder op wil wijzen, is dat twee punten in de tijd en twee punten in de ruimte twee verschillende dingen zijn die niet met elkaar verward mogen worden, aangezien ze verschillende mogelijkheden voor verkenning bieden.

woensdag 4 juli 2018

Heel goed worden de verschillen tussen set en multiset beschreven in Wikipedia. Wij kijken.

Zoals je kunt zien, "de set kan geen twee identieke elementen hebben", maar als er identieke elementen in de set zijn, wordt zo'n set een "multiset" genoemd. Redelijke wezens zullen een dergelijke logica van absurditeit nooit begrijpen. Dit is het niveau van pratende papegaaien en getrainde apen, waarbij de geest afwezig is bij het woord 'volledig'. Wiskundigen treden op als gewone trainers en prediken hun absurde ideeën aan ons.

Er waren eens de ingenieurs die de brug bouwden tijdens de tests van de brug in een boot onder de brug. Als de brug instortte, stierf de middelmatige ingenieur onder het puin van zijn creatie. Als de brug de belasting kon weerstaan, bouwde de getalenteerde ingenieur andere bruggen.

Hoe wiskundigen zich ook verschuilen achter de uitdrukking "let op, ik ben in huis", of beter gezegd "wiskunde bestudeert abstracte concepten", er is één navelstreng die hen onlosmakelijk met de werkelijkheid verbindt. Deze navelstreng is geld. Laten we de wiskundige verzamelingenleer toepassen op wiskundigen zelf.

We hebben heel goed wiskunde gestudeerd en nu zitten we aan de kassa en betalen de salarissen. Hier komt een wiskundige naar ons toe voor zijn geld. We tellen het hele bedrag voor hem en leggen het op onze tafel in verschillende stapels, waarin we biljetten van dezelfde waarde leggen. Dan nemen we van elke stapel een rekening en geven de wiskundige zijn "wiskundige salarisset". We leggen de wiskunde uit dat hij de rest van de rekeningen alleen krijgt als hij bewijst dat de verzameling zonder identieke elementen niet gelijk is aan de verzameling met identieke elementen. Dit is waar het plezier begint.

Allereerst zal de logica van de deputaten werken: "je kunt het op anderen toepassen, maar niet op mij!" Verder zullen de verzekeringen beginnen dat er verschillende bankbiljetnummers op bankbiljetten van dezelfde denominatie staan, wat betekent dat ze niet als identieke elementen kunnen worden beschouwd. Welnu, we tellen het salaris in munten - er staan geen cijfers op de munten. Hier zal de wiskundige zich verwoed natuurkunde herinneren: verschillende munten hebben verschillende hoeveelheden vuil, de kristalstructuur en rangschikking van atomen voor elke munt is uniek ...

En nu heb ik de meest interessante vraag: waar ligt de grens waarachter elementen van een multiset veranderen in elementen van een set en vice versa? Zo'n lijn bestaat niet - alles wordt bepaald door sjamanen, de wetenschap is hier niet eens in de buurt.

Kijk hier. We selecteren voetbalstadions met hetzelfde veldoppervlak. De oppervlakte van de velden is hetzelfde, wat betekent dat we een multiset hebben. Maar als we kijken naar de namen van dezelfde stadions, dan krijgen we veel, omdat de namen anders zijn. Zoals je kunt zien, is dezelfde set elementen tegelijkertijd zowel een set als een multiset. Hoe goed? En hier haalt de wiskundige-sjamaan-shuller een troef uit zijn mouw en begint ons te vertellen over een set of een multiset. Hij zal ons in ieder geval overtuigen van zijn gelijk.

Om te begrijpen hoe moderne sjamanen werken met de verzamelingenleer en deze verbinden met de werkelijkheid, volstaat het om één vraag te beantwoorden: hoe verschillen de elementen van de ene verzameling van de elementen van een andere verzameling? Ik zal je laten zien, zonder enige "denkbaar als geen enkel geheel" of "niet voorstelbaar als een enkel geheel."

zondag 18 maart 2018

De som van de cijfers van een getal is een dans van sjamanen met een tamboerijn, die niets met wiskunde te maken heeft. Ja, in wiskundelessen wordt ons geleerd om de som van de cijfers van een getal te vinden en te gebruiken, maar daarvoor zijn ze sjamanen, om hun nakomelingen hun vaardigheden en wijsheid te leren, anders sterven sjamanen gewoon uit.

Heb je bewijs nodig? Open Wikipedia en probeer de pagina "Sum of Digits of a Number" te vinden. Ze bestaat niet. Er is geen formule in de wiskunde waarmee je de som van de cijfers van een willekeurig getal kunt vinden. Getallen zijn tenslotte grafische symbolen waarmee we getallen schrijven, en in de taal van de wiskunde klinkt de taak als volgt: "Zoek de som van grafische symbolen die een willekeurig getal vertegenwoordigen." Wiskundigen kunnen dit probleem niet oplossen, maar sjamanen wel.

Laten we uitzoeken wat en hoe we doen om de som van de cijfers van een bepaald getal te vinden. Laten we zeggen dat we het getal 12345 hebben. Wat moet er gebeuren om de som van de cijfers van dit getal te vinden? Laten we alle stappen in volgorde bekijken.

1. Schrijf het nummer op een stuk papier. Wat hebben we gedaan? We hebben het getal omgezet naar een grafisch symbool voor een getal. Dit is geen wiskundige bewerking.

2. We knippen een ontvangen foto in meerdere foto's met afzonderlijke nummers. Het knippen van een afbeelding is geen wiskundige bewerking.

3. Converteer individuele grafische karakters naar cijfers. Dit is geen wiskundige bewerking.

4. Tel de resulterende getallen op. Dat is nou wiskunde.

De som van de cijfers van het getal 12345 is 15. Dit zijn de "knip- en naaicursussen" van sjamanen die door wiskundigen worden gebruikt. Maar dat is niet alles.

Vanuit het oogpunt van wiskunde maakt het niet uit in welk getalsysteem we het getal schrijven. Dus in verschillende nummersystemen zal de som van de cijfers van hetzelfde nummer anders zijn. In de wiskunde wordt het getallenstelsel aangegeven als een subscript rechts van het getal. Met een groot aantal van 12345 wil ik mijn hoofd niet voor de gek houden, denk aan het getal 26 uit het artikel over. Laten we dit getal in binaire, octale, decimale en hexadecimale getalsystemen schrijven. We zullen niet elke stap onder een microscoop bekijken, dat hebben we al gedaan. Laten we eens kijken naar het resultaat.

Zoals je kunt zien, is in verschillende getalsystemen de som van de cijfers van hetzelfde getal anders. Dit resultaat heeft niets met wiskunde te maken. Het is hetzelfde alsof je totaal andere resultaten zou krijgen bij het bepalen van de oppervlakte van een rechthoek in meters en centimeters.

Nul in alle getalsystemen ziet er hetzelfde uit en heeft geen som van cijfers. Dit is een ander argument voor het feit dat . Een vraag voor wiskundigen: hoe wordt in de wiskunde datgene aangegeven wat geen getal is? Wat, voor wiskundigen, bestaat er niets anders dan getallen? Voor sjamanen kan ik dit toestaan, maar voor wetenschappers niet. De werkelijkheid gaat niet alleen over cijfers.

Het verkregen resultaat moet worden beschouwd als bewijs dat getalsystemen eenheden zijn voor het meten van getallen. We kunnen immers geen getallen vergelijken met verschillende meeteenheden. Als dezelfde acties met verschillende meeteenheden van dezelfde grootheid tot verschillende resultaten leiden na vergelijking, dan heeft dit niets met wiskunde te maken.

Wat is echte wiskunde? Dit is wanneer het resultaat van een wiskundige actie niet afhangt van de waarde van het getal, de gebruikte maateenheid en van wie deze actie uitvoert.

Teken op de deur Opent de deur en zegt:

Au! Is dit niet het damestoilet?
- Jonge vrouw! Dit is een laboratorium voor het bestuderen van de onbepaalde heiligheid van zielen bij hemelvaart! Nimbus bovenaan en pijl omhoog. Welk ander toilet?

Vrouw... Een halo bovenop en een pijl naar beneden is mannelijk.

Als je zo'n kunstwerk meerdere keren per dag voor je ogen ziet flitsen,

Dan is het niet gek dat je ineens een vreemd icoontje aantreft in je auto:

Persoonlijk span ik me in om min vier graden te zien in een poepende persoon (één afbeelding) (samenstelling van meerdere afbeeldingen: minteken, nummer vier, graden aanduiding). En ik beschouw dit meisje niet als een dwaas die geen natuurkunde kent. Ze heeft gewoon een boogstereotype van perceptie van grafische afbeeldingen. En wiskundigen leren ons dit de hele tijd. Hier is een voorbeeld.

1A is niet "min vier graden" of "één a". Dit is "poepman" of het getal "zesentwintig" in het hexadecimale getallensysteem. Die mensen die constant in dit cijfersysteem werken, zien het cijfer en de letter automatisch als één grafisch symbool.

Inhoud van de les

Breuken met dezelfde noemers optellen

Het toevoegen van breuken is van twee soorten:

Breuken met dezelfde noemers optellen
Breuken met verschillende noemers optellen

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2 Voeg breuken en toe.

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan de pizza toevoegt, krijg je een hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.

Voeg opnieuw de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza's aan pizza toevoegt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 4 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden toegevoegd en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is het optellen van breuken met dezelfde noemers niet moeilijk. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten;

Breuken met verschillende noemers optellen

Nu zullen we leren hoe je breuken met verschillende noemers kunt optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van die breuken gelijk zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemer hebben.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te reduceren. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de rest van de methoden misschien ingewikkeld lijkt voor een beginner.

De essentie van deze methode ligt in het feit dat eerst (LCM) van de noemers van beide breuken wordt gezocht. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste extra factor verkregen. Ze doen hetzelfde met de tweede breuk - de NOC wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en de tweede extra factor wordt verkregen.

voorbeeld 1. Voeg breuken toe en

LCM (2 en 3) = 6

Nu zijn we helemaal klaar om toe te voegen. Het blijft om de tellers en noemers van breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

Zo eindigt het voorbeeld. Toevoegen blijkt.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's aan een pizza toevoegt, krijg je een hele pizza en nog een zesde van een pizza:

Om het optellen van breuken met verschillende noemers gemakkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

Vind de LCM van de noemers van breuken;
Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk;
Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun extra factoren;
Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, selecteer dan het hele deel;

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking .

Laten we de bovenstaande instructies gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM van de noemers van breuken

Vind de LCM van de noemers van beide breuken. De noemers van de breuken zijn de getallen 2, 3 en 4

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en krijg een extra vermenigvuldiger voor elke breuk

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met uw extra factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met onze extra factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben

We kwamen tot de conclusie dat breuken die verschillende noemers hadden, veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het blijft om deze breuken toe te voegen. Tel op:

Stap 5. Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, selecteer dan het hele deel erin

Ons antwoord is een ongepaste breuk. We moeten het hele deel ervan uitkiezen. Wij benadrukken:

Ik heb een antwoord

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers

Er zijn twee soorten breuken aftrekken:

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers
Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de uitdrukking zoeken. Om dit voorbeeld op te lossen, is het nodig om de teller van de tweede breuk af te trekken van de teller van de eerste breuk en de noemer ongewijzigd te laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in vier delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 2 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we denken aan een pizza die in drie delen is verdeeld. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het volstaat om de volgende regels te begrijpen:

Om een andere van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk van de teller van de eerste breuk aftrekken en de noemer ongewijzigd laten;
Als het antwoord een onjuiste breuk bleek te zijn, moet u het hele deel erin selecteren.

Aftrekken van breuken met verschillende noemers

voorbeeld 1 Zoek de waarde van een uitdrukking:

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

LCM (3 en 4) = 12

Nu terug naar breuken en

Nu zijn we helemaal klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

Ik heb een antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een afbeelding. Als je pizza's van een pizza snijdt, krijg je pizza's.

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Omdat we op school zijn, zouden we dit voorbeeld op een kortere manier moeten oplossen. Een dergelijke oplossing ziet er als volgt uit:

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze eerst naar dezelfde (gemeenschappelijke) noemer brengen.

Vind de LCM van de noemers van deze breuken.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we extra factoren voor elke breuk. Om dit te doen, delen we de LCM door de noemer van elke breuk.

Nu is alles klaar om af te trekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun extra factoren:

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een juiste breuk te zijn, en alles lijkt ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het makkelijker maken. Wat gedaan kan worden? U kunt deze fractie verkleinen.

Om een breuk te verkleinen, moet je de teller en noemer delen door (ggd) de getallen 20 en 30.

We vinden dus de GCD van de getallen 20 en 30:

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en noemer van de breuk door de gevonden GCD, dat wil zeggen door 10

Ik heb een antwoord

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dit getal vermenigvuldigen en de noemer gelijk laten.

voorbeeld 1. Vermenigvuldig de breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van 1 keer. Als je bijvoorbeeld 1 keer pizza neemt, krijg je pizza

Deze invoer kan worden opgevat als het nemen van de helft van de eenheid. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

Het antwoord is een ongepaste breuk. Laten we er een heel deel van nemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als je bijvoorbeeld 4 keer pizza's neemt, krijg je twee hele pizza's.

Vermenigvuldiging van breuken

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onjuiste breuk is, moet u het hele deel erin selecteren.

voorbeeld 1 Zoek de waarde van de uitdrukking .

Ik heb een antwoord. Het is wenselijk om deze fractie te verminderen. De fractie kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza van een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe neem je tweederde van deze helft? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee van deze drie stukken:

We gaan pizza halen. Onthoud hoe een pizza eruitziet, verdeeld in drie delen:

Eén plak van deze pizza en de twee plakken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, we hebben het over dezelfde pizzamaat. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord is een ongepaste breuk. Laten we er een heel deel van nemen:

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord bleek een correcte breuk te zijn, maar het zal goed zijn als het wordt verminderd. Om deze breuk te verkleinen, moet je de teller en noemer van deze breuk delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 105 en 450.

Laten we dus de GCD van de nummers 105 en 450 vinden:

Nu delen we de teller en noemer van ons antwoord op de GCD die we nu hebben gevonden, dat wil zeggen, door 15

Een geheel getal weergeven als een breuk

Nummers omkeren

Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet "omgekeerde nummers".

Definitie. Keer terug naar nummereen is het getal dat, vermenigvuldigd meteen geeft een eenheid.

Laten we in deze definitie substitueren in plaats van een variabele een nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Keer terug naar nummer 5 is het getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft een eenheid.

Is het mogelijk om een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één geeft? Het blijkt dat je het kunt. Laten we vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk dan met zichzelf, verwissel gewoon de teller en noemer. Met andere woorden, laten we de breuk met zichzelf vermenigvuldigen, alleen omgekeerd:

Wat zal hiervan het resultaat zijn? Als we doorgaan met het oplossen van dit voorbeeld, krijgen we er een:

Dit betekent dat de inverse van het getal 5 het getal is, want als 5 wordt vermenigvuldigd met één, wordt er één verkregen.

Het omgekeerde kan ook worden gevonden voor elk ander geheel getal.

Je kunt ook het omgekeerde vinden voor elke andere breuk. Om dit te doen, volstaat het om het om te draaien.

Deling van een breuk door een getal

Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Laten we het gelijk over twee verdelen. Hoeveel pizza's krijgt elk?

Het is te zien dat na het splitsen van de helft van de pizza twee gelijke stukken werden verkregen, die elk een pizza vormen. Dus iedereen krijgt een pizza.

Het delen van breuken gebeurt met behulp van reciprocals. Met reciprocals kun je delen door vermenigvuldigen vervangen.

Om een breuk door een getal te delen, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

Met behulp van deze regel zullen we de verdeling van onze helft van de pizza in twee delen opschrijven.

Dus je moet de breuk delen door het getal 2. Hier is het deeltal een breuk en is de deler 2.

Om een breuk te delen door het getal 2, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler 2. Het omgekeerde van de deler 2 is een breuk. Dus je moet vermenigvuldigen met

Vermenigvuldiging van breuken met verschillende basen. Vermenigvuldiging van eenvoudige en gemengde breuken met verschillende noemers

Wat is een breuk?

Soorten breuken

Algoritme voor het converteren van een onechte breuk naar een gemengd getal en vice versa

Vermenigvuldiging van gewone breuken

Decimaal breuken vermenigvuldigen

Vermenigvuldiging van gemengde breuken

Een getal vermenigvuldigen met een breuk (breuken met een getal)

Vermenigvuldiging met factoren 10, 100, 1000 of 0,1; 0,01; 0,001

Een breuk vermenigvuldigen met een breuk

Een breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

Vermenigvuldiging van gemengde getallen

Een andere manier om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

Acties met breuken

Breuken met dezelfde noemers optellen

Breuken met verschillende noemers optellen

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers

Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Vermenigvuldiging van breuken

Een geheel getal weergeven als een breuk

Nummers omkeren

Deling van een gewone breuk door een breuk.

Deling van breuken met een natuurlijk getal.

Vermenigvuldiging van gemengde breuken.

De tweede manier om een ​​breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.

Breuken op meerdere niveaus.

woensdag 4 juli 2018

zondag 18 maart 2018

Breuken met dezelfde noemers optellen

Breuken met verschillende noemers optellen

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers

Aftrekken van breuken met verschillende noemers

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Vermenigvuldiging van breuken

Een geheel getal weergeven als een breuk

Nummers omkeren

Deling van een breuk door een getal

Een andere manier om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal

De tweede manier om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.